专题01 期末真题百练通关（期末复习专项训练，242题40个常考题+10大压轴题型）七年级数学下学期新教材浙教版

### 基本信息 以浙江期末真题为载体，通过40个常考题型+10大压轴题型的分层设计，系统覆盖七年级下册核心知识，突出几何直观与代数运算的综合应用。 ### 专项设计 |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填常考题|40题型|聚焦基础概念与基本技能，如直线相交、幂运算、因式分解|从几何图形认识到代数变形，构建"概念-运算-应用"的递进逻辑| |解答压轴题|10题型|强调综合探究与实际应用，包含平行线拐点问题、方程组方案问题等|整合跨章节知识，体现数学建模与逻辑推理，培养数据意识与创新思维|

专题01 期末真题百练通关 （242题40个常考题+10大压轴题型） 选填常考题 题型26 同底数幂的除法 题型1 直线的相交 题型27 整式的除法 题型2 同位角、内错角、同旁内角 题型28 因式分解的意义 题型3 平行线的性质和判定 题型29 提取公因式法因式分解 题型4 二元一次方程的定义及解 题型30 平方差公式分解因式 题型5 二元一次方程组的解求参数 题型31 完全平方公式分解因式 题型6 二元一次方程组的解法 题型32 综合提公因式和公式法分解因式 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型33 分式的意义 题型8 二元一次方程组的错解复原问题 题型34 分式的基本性质 题型9 方程组相同解问题 题型35 分式的乘除 题型10 二元一次方程组的应用 题型36 分式的加减 题型11 三元一次方程组及其解法 题型37 分式方程 题型12 同底数幂的乘法 题型38 数据的收集与整理 题型13 单项式的乘法 题型39 条形统计图和折线统计图 题型14 多项式乘多项式 题型40 频数直方图 题型15 已知多项式乘积不含某项求字母的值 解答压轴题 题型16多项式乘多项式与图形面积 题型41 平行线中的”拐点”问题 题型17 多项式乘法中的规律性问题 题型42 平行线中的探究问题 题型18 整式乘法混合运算 题型43 二元一次方程组方案问题 题型19 运用平方差公式进行运算 题型44二元一次方程组几何问题 题型20 平方差公式与几何图形 题型45二元一次方程组销售、利润问题 题型21运用完全平方公式进行运算 题型46 整式的乘除中的阅读解答 题型22 完全平方公式在几何图形中的应用 题型47因式分解的综合应用 题型23 求完全平方公式中的字母系数 题型48 分式方程应用题 题型24 整式的混合运算 题型49 分式方程无解问题 题型25 通过对完全平方公式变形求值 题型50 数据与统计图表解答题 题型1 直线的相交 1．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图，当剪刀口减少时，的度数（　　） A．增大 B．减少 C．增大 D．减少 【答案】B 【分析】本题考查对顶角，理解对顶角的定义是正确解答的前提．根据对顶角的性质进行判断即可． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∴当剪刀口减少时，的度数也减少， 故选∶B． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，三条直线，，相交于点，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角，垂线的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据对顶角相等以及垂线的含义，得出，，即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据垂直定义可得：∠，从而可得，进而可得，，然后利用平角定义可得：，再利用角平分线的定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 4．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的含义，解答此题的关键是要明确：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，特别注意是“垂线段的长度”．根据点A到起跳线的垂线段的长度，据此判断出跳远成绩应该为多少米即可． 【详解】解∶∵，米， ∴小明的跳远成绩应该是米， 故选∶B． 题型2 同位角、内错角、同旁内角 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）图中与为同位角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同位角的概念，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解：A、和不是同位角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B符合题意； C、和不是同位角，故C不符合题意； D、和不是同位角，故D不符合题意． 故选：B． 7．（19-20七年级下·浙江温州·期末）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据在截线的同旁，在被截线之间的角是同旁内角进行判断即可． 【详解】解：根据同旁内角的概念可得：和是同旁内角． 故选：D． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角，对顶角的定义，其中同位角，内错角，同旁内角是两直线被第三条直线所截产生的具有特殊位置关系的角，而对顶角是两直线相交产生的具有特殊位置关系的角，厘清概念是解题关键．观察和的位置关系进行判断即可． 【详解】解：如图所示，和具有公共边，另外两条边分别在直线和上，在截线的同一侧，被截线和的内部，故和是直线、被直线所截而成的同旁内角． 故选：C． 9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线a与直线b被第三条直线c所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三线八角．找准截线，确定角的位置关系，是解题的关键．根据两角在截线的两旁，在两条被截线的内侧，即可得出结论． 【详解】解：由图可知：与的位置关系是内错角； 故选：B 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据内错角的定义，即可求解． 【详解】解：根据内错角的定义，与是内错角的是． 故选：B． 题型3 平行线的性质和判定 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 12．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，点分别在线段上，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行进行判断即可得． 【详解】解：A、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），但不能判断，则此项不符合题意； B、∵， ∴（同位角相等，两直线平行），但不能判断，则此项不符合题意； C、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），但不能判断，则此项不符合题意； D、∵， ∴（内错角相等，两直线平行），则此项符合题意； 故选：D． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，应该在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的关系上入手，满足三者中的任一个都能使，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．与是一对对顶角，它们相等对于证明两直线平行没有帮助，故A不符合题意； B．与是一对邻补角，它们互补对于证明两直线平行没有帮助，故B不符合题意； C．与是一对同旁内角，但并不互补，所以不能推出两直线平行，故C不符合题意； D．，同旁内角互补，两直线平行，可得，故D符合题意 故选D ． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质和平角的性质解答即可． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质．由平行线的性质得出，由平角定义得到，即可得出结论． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 故选：B ． 题型4 二元一次方程的定义及解 16．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是求解本题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 根据二元一次方程的定义分别对各选项进行判断． 【详解】解：A、不是整式，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； B、为二次，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； C、方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，所以该选项符合题意； D、有三个未知数，不是二元一次方程，所以该选项不符合题意； 故选：C． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并把选项的值代入原方程验证二元一次方程的解． 题目要求从选项中找出满足二元一次方程的解，只需要将每个选项中的数对代入方程左边，看结果是否等于5即可． 【详解】解：A．， ∴是方程的解，故此选项符合题意； B．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D．， ∴不是方程的解，故此选项不符合题意． 故选：A ． 18．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若是方程的一组解，则的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程解的性质，将已知方程的解代入，得到关于和的关系式，再通过代数变形求解目标表达式． 【详解】解：已知是方程的解，代入得： ， 将方程两边乘以2，得： 当时， 则原式． 故选：A． 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 直接将代入计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：D． 20．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知方程，则下列解满足此方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程的解，运算正确是解题的关键． 将四个选项中的解分别代入原方程，等式成立的即为此解满足此方程，即可选出答案． 【详解】解：①将代入到中，得，故此解满足此方程； ②将代入到中，得，故此解满足此方程； ③将代入到中，得，故此解不满足此方程； ④将代入到中，得，故此解不满足此方程； 即①②满足此方程． 故选． 题型5 二元一次方程组的解求参数 21．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的解的定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 所以，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 22．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把，代入方程得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 23．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是（      ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】把代入方程组即可求解． 【详解】解：把代入方程组得：， 解得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键． 24．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】把代入方程组可求得，，再整体代入计算即可求解本题． 【详解】解：把代入方程组得， ①②得，①②得， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组解的定义，正确理解题意并整体代入计算是解题关键． 25．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）如果方程组中x与y相等，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据x与y相等结合方程组中第一个方程可求出，然后代入到方程组中的第二个方程即可求出a的值． 【详解】解：∵x与y相等， ∴， ∴， ∴变为， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，求出是解题的关键． 题型6 二元一次方程组的解法 26．（20-21七年级下·浙江台州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用等式性质将①变形即可． 【详解】解：由①得：， 故选：C． 27．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（   ） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 【答案】C 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组的解法，解出关于和的方程组，将解用表示，再逐一代入选项验证即可． 【详解】解∶解方程组，得方程组的解为， 当时，，，，故选项A不符合题意； 若，代入得：， 解得，故选项B不符合题意； ，与无关，始终为1，故选项C符合题意， 当时，，，则，故选项D不符合题意； 故选：C． 28．（24-25七年级下·吉林松原·期末）解方程组中，下列步骤能消元的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法，解题关键是熟练运用用加减法解二元一次方程组．根据题意对各选项求解，即可得出答案． 【详解】解：A、得，未消去任意一个未知数，不符合题意； B、得，消去未知数，符合题意； C、得，未消去任意一个未知数，不符合题意； D、得，未消去任意一个未知数，不符合题意． 故选：B． 29．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 已知方程组的解满足两个方程，先利用第一个方程求出未知数的值，再将解代入各选项验证是否成立． 【详解】解：将解，代入第一个方程， 得：， 解得：， ∴方程组的解为， 将解代入各选项验证： A．，，，不成立，故该选项不符合题意； B．，，，成立，故该选项符合题意； C． ，，，不成立，故该选项不符合题意； D．，，，不成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 30．（20-21七年级下·浙江·期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握二元一次方程组的解的意义． 整理方程组，从形式上和原方程组相同，然后根据方程组的解进行求解即可． 【详解】解：， 整理得， 对照得，， 解得， 故选：A． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 31．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 32．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义．由关于x，y的方程组有无数组解，求出关于a，b的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解∶ ，得， ∵方程组有无数组解， ∴，， ∴，， 故选∶D． 33．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组，已知二元一次方程组的解的情况求参数，根据二元一次方程组得解法得到，又，代入求值即可，熟练掌握知识点的应用及整体思想是解题的关键． 【详解】解： 得：， 又∵， ∴，解得：， 故选：． 34．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于，的二元一次方程组的解还满足，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法．由得：，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 35．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组的问题，掌握解二元一次方程组的方法是解题关键．根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；将代入方程组，求得，再将、代入，求出，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；将变形，即可判断④结论． 【详解】解：， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， 得：， ， 解得：，①结论正确； 当时，， 解得： 将代入中，得：， 解得：， 方程组的解不是方程的解，②结论错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，③结论正确； ，④结论正确； 综上所述，正确的结论有①③④， 故选：B． 题型8 二元一次方程组的错解复原问题 36．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值代入组成方程组求解即可． 【详解】解：根据题意可知，将代入， 得， 解得：， 将代入， 得， 解得：， 将，代入原方程组， 得， 解得：， ∴原方程组正确的解是． 故选：A． 37．（23-24七年级下·山东济宁·阶段检测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，将甲同学的解代入方程组得到关于a与b的方程，并求出c的值，将乙同学的解代入方程组中第一个方程得到关于a与b的二元一次方程，联立组成关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值即可． 【详解】解：将代入方程组得：①，，即， 将代入方程组中的第一个方程得：②， 得：，即， 将代入①得：，即， 则． 故选：B． 38．（22-23七年级下·四川广安·阶段检测）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 【答案】B 【分析】本题考查方程组错解复原问题，看错，得到的解满足方程，正解满足两个方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：和都能使成立， ∴，解得：， 能使方程成立， ∴， ∴； 故选B． 39．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 40．（25-26七年级下·重庆·期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】先根据去分母时，两边都要乘以2判断，再根据代入法求出方程组的解． 【详解】解：丙同学出现错误，去分母时，18应该乘以2，正确的过程如下： ， 解：由①，得， 将③代入②，得， 去分母，得，即， 解得， 将代入③，得． 题型9 方程组相同解问题 41．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 42．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将化为，可知，即可求解． 【详解】解：可化为， ∵关于，的方程组的解是， ∴， 即． 43．（19-20七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组与方程组有相同的解，则a，b的值分别为（    ） A．1，2 B．1，0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的解，由两个方程组的解相同这个条件，可以重新组合两个方程组为，即可求解． 【详解】解：解方程组得， 把代入得， 解得：， 故选：A 44．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将两个方程组中不含字母、的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于、的二元一次方程组，进而确定、的值，代入求解即可． 【详解】解：根据题意可得， 得：， 解得：， 将代入，得， 解得：， ∴； 将代入，得， ，得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的同解问题，建立不含字母项的新二元一次方程组，并求解是解题的关键． 45．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D．2021 【答案】A 【分析】根据同解方程组的含义可得，求解方程组的解，再代入系数未知的两个方程可得，解方程组得到a，b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得： ， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：， ∴ ， 同理解得：， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查的是同解方程组的含义，二元一次方程组的解法，求解代数式的值，理解同解方程组的含义是解本题的关键． 题型10 二元一次方程组的应用 46．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题意，从两种住宿方案中分别找出总人数的等量关系，列出二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设该店有客房间，房客人． ∵ 每间客房住7人时，有7人无房住，总人数满足 ． 又∵ 每间客房住9人时，空出一间客房，即只有间房住人，总人数满足 ． ∴ 可得方程组 ． 47．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列方程组求出长方形的长宽，再用割补法求阴影部分面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 根据题意得，，解得：， ∴小长方形的长为、宽为， ∴阴影部分的面积是：． 48．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意，图②所示的算筹图表示的方程组为 ， 故选：D ． 50．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 题型11 三元一次方程组及其解法 51．（22-23七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用代入消元法，逐步消元求解三元一次方程组即可． 【详解】解：， 将①代入②，得 解得， 将①和代入③，得 解得， 将代入①，得， 原方程组的解为． 52．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组的解，将代入方程组，然后相加求解即可． 【详解】解：∵是三元一次方程组的解， ∴， 三式相加，得， 解得． 故选：A． 53．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了三元一次方程组．解决此题的关键列出方程组，求解时用其中的一个数表示其他两个数，从而使问题解决． 设“”“”“”的质量分别为，，，由图列出方程组解答即可解决问题． 【详解】 解：设“”“”“”的质量分别为，，． 由题图可列方程组 解得 ，即“”的个数为． 故选：A． 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据系数特征进行整体加减消元，直接求解目标表达式．设甲、乙、丙每件价格分别为元、元、元，根据条件列出方程组，通过加减消元法整体求解的值． 【详解】解：设购买甲货物每件需元，乙货物每件需元，丙货物每件需元． ∵ 得： 得： ∴ ∴ 故购买甲、乙、丙各一件共需34元． 故选：B． 题型12 同底数幂的乘法 56．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 57．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故答案为：B ． 58．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据所给等式整理推出，再结合幂的乘方，同底数幂的乘法将整理为，最后将代入求解，即可解题． 【详解】解：， ， 即， 整理得， ； 故选：B． 59．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂乘法和幂的乘方．逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故选：D 60．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键． 先化简得，代入数值即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型13 单项式的乘法 61．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）计算（－3a）2·a3的结果是（    ） A．－6a5 B．6a5 C．9a5 D．9a6 【答案】C 【分析】直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了单项式乘单项式以及积的乘方运算，解题的关键是正确掌握相关运算法则． 62．（23-24七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法，熟练掌握单项式的乘法法则是解题的关键，根据单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 63．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方体的体积公式列式，根据积的乘方和幂的乘方法则，单项式乘单项式的法则计算即可． 【详解】解：它的体积为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方和幂的乘方，单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 64．（21-22七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单项式的乘法进行计算即可求解． 【详解】解：原式＝． 故选A． 【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键． 65．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 【答案】A 【分析】该题考查了单项式乘法，根据单项式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意小沈这一步做法的依据是“乘法的交换律和结合律”， 故选：A． 题型14 多项式乘多项式 66．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，合并后再得出选项即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式法则，能正确根据法则进行计算是解此题的关键． 67．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算的结果中一次项为，则常数的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，利用多项式乘多项式的法则将原式计算后得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：， 则， 解得：， 故选：A． 68．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 【详解】解：， 则被污染的部分为， 故选：A． 69．（19-20七年级上·上海青浦·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用多项式乘多项式法则，得到等式左侧的结果，根据对应项，对应相等，求出、的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 【点睛】本题考查多项式乘多项式．熟练掌握多项式乘多项式的法则，是解题的关键． 70．（11-12七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将等号右侧展开得，根据对应项系数相等列等式计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了多项式的乘法运算．解题的关键在于根据对应项系数相等列等式． 题型15 已知多项式乘积不含某项求字母的值 71．（22-23七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算，再由不含x的一次项计算答案即可． 【详解】解：， 由于不含x的一次项， 故． 故选A． 72．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把p、q看作常数，合并关于 与 的同类项，令其系数为0，得出p与q的值，即可求出结果． 【详解】解： 乘积中不含 与 项， ，则 ， 故选：D． 73．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项可得，则该项系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， 由于结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：A． 74．（22-23七年级下·浙江金华·期末）要使的展开式中不含常数项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的法则，理解多项式中不含常数项是解题的关键．先根据多项式乘以多项式的法则，将展开，合并同类项之后令常数项为0，即可求解． 【详解】解：， 的展开式中不含常数项， ． 故选：C． 75．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且常数项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则得到，即可得到． 【详解】解：∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，常数项为， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 题型16多项式乘多项式与图形面积 76．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘法的运算能力，关键是能准确根据题意列式、计算．根据题意列式表示出该阴影部分的面积，再运用多项式的乘法法则进行化简、计算． 【详解】解：图中阴影部分面积为：，或或， 故选：D． 77．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】】本题考查了整式的有关运算，先计算出左边四个拼图的面积和，再计算拼成的图形的面积，从而得到答案即可 【详解】解：观察图形可知：左边四个拼图的面积和为：， 右边拼成的图形的是长为，宽为，拼成的图形的面积为， ， 反映如图所示的拼图过程的是：， ∴A，C，D选项均不符合题意，B选项符合题意， 故选：B． 78．（21-22七年级下·浙江衢州·期末）一间厨房的平面布局如图，我们可以用多种方法表示厨房的总面积，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形的面积计算公式及用几何图形表示乘法公式进行判断即可． 【详解】解：厨房的总面积为：==， ∴选项A，B，C表示正确，不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查用几何图形表示乘法公式，解题关键是看清图形与整式乘法公式之间的关系． 79．（20-21七年级下·浙江·期末）长方形一边长为，另一边比它小则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出长方形另一边长，根据多项式与多项式相乘的法则计算即可． 【详解】解：长方形另一边长为2a+b-（a-b）=a+2b， 则长方形面积为：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键． 80．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出未被覆盖的阴影部分面积与空白部分面积的差，本题得以解决． 【详解】解：设小正方形的边长为x，则a+x=b+2x， 解得，x=a-b， 空白部分面积与未被覆盖的阴影部分面积的差为： = 原式= 故选：A． 【点睛】本题考查整式加减的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型17 多项式乘法中的规律性问题 81．（24-25七年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究，根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．根据题意得到展开式的所有项的系数和为，即可得到答案． 【详解】解：根据图中所给等式， 展开式的第二项为    ， 展开式的第二项为， 展开式的第二项为， ……， 根据变化规律，展开式的所有项的系数和为， ∴则的展开式所有项的系数和是， 故选：D． 82．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘方的系数规律问题，根据图形得出，进而代入计算即可求解，解题的关键是根据题意正确分析出各项系数的有关规律． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 83．（23-24七年级下·山东聊城·期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，关键是利用“首尾为1、中间数为肩上两数之和”的规律，逐步推导的展开式的系数． 【详解】解：观察发现贾宪三角形每行的最左侧和最右侧的数都是；除首尾的外，每行中间的每个数，都等于它肩上两个数的和，所以 第7行(对应：； 第8行(对应：； 第9行(对应：． 观察第9行，从左起第五项的数为，即展开式中从左起第五项的系数为； 故选：D． 84．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给规律求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了多形式与多项式的乘法的规律问题，灵活运用规律求解是解答本题的关键． 85．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘法中的规律性问题，由杨辉三角得出的展开式，用替换b得出的展开式，即可得出答案． 【详解】解：由题意知，杨辉三角第5行数字从左到右依次为：，，，，，， ∴ ， ∴展开式中含项的系数是5， 故选A． 题型18 整式乘法混合运算 86．（20-21七年级下·广西梧州·期末）计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，熟练掌握单项式乘以多项式是解题的关键；因此此题可根据单项式乘以多项式进行求解． 【详解】解：； 故选：D． 87．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，多项式乘多项式，代数求值等知识点，解题的关键是熟练掌握整式乘法的法则． 将代数式展开后，利用已知条件代入求值即可． 【详解】解： 已知 ，，代入得： ， 故选：B． 88．（21-22七年级上·陕西咸阳·月考）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出代数式，根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意，这个多项式是 故选D 【点睛】本题考查了整式加减乘除混合运算，根据题意列出式子是解题的关键． 89．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为（y-15）cm，说法①正确；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为（2x+5-y）cm，说法②错误；③由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为2（2x+5），结合y为定值可得出说法③错误；④由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为（xy-25y+375）cm2，代入x=25可得出说法④正确． 【详解】解：①∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为5cm， ∴小长方形的长为y-3×5=（y-15）cm，说法①正确； ②∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为（y-15）cm，小长方形的宽为5cm， ∴阴影A的较短边为x-2×5=（x-10）cm，阴影B的较短边为x-（y-15）=（x-y+15）cm， ∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x-10+x-y+15=（2x+5-y）cm，说法②错误； ③∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm， ∴阴影A的周长为2（y-15+x-10）=2（x+y-25），阴影B的周长为2（15+x-y+15）=2（x-y+30）， ∴阴影A和阴影B的周长之和为2（x+y-25）+2（x-y+30）=2（2x+5）， ∴若y为定值，则阴影A和阴影B的周长之和不为定值，说法③错误； ④∵阴影A的较长边为（y-15）cm，较短边为（x-10）cm，阴影B的较长边为3×5=15cm，较短边为（x-y+15）cm， ∴阴影A的面积为（y-15）（x-10）=（xy-15x-10y+150）cm2，阴影B的面积为15（x-y+15）=（15x-15y+225）cm2， ∴阴影A和阴影B的面积之和为xy-15x-10y+150+15x-15y+225=（xy-25y+375）cm2， 当x=25时，xy-25y+375=375cm2，说法④正确． 综上所述，正确的说法有①④． 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，逐一分析四条说法的正误是解题的关键． 90．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】D 【分析】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，准确识图，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，则，再分别求出，，，进而得，据此即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ，， ， ，， 又， ， 若要求出的面积，只需知道的长． 故选：D． 题型19 运用平方差公式进行运算 91．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式：解答． 【详解】解：A、能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； B、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； D、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． 92．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算，化简求值，利用单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的法则，将代数式进行化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：A． 93．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特点对各选项分析判断即可求解． 【详解】解：A选项：，不能用平方差公式计算； B选项：，不能用平方差公式计算； C选项：，可以用平方差公式计算； D选项：，不能用平方差公式计算. 故选：C. 【点睛】本题主要考查平方差公式：（1）两个两项式相乘；（2）有一项相同，另一项互为相反数，熟记公式结构是解题的关键． 94．（20-21七年级下·浙江·期末）下列运算，不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法． 【详解】解：A、（-b-c）（-b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、-（x+y）（-x-y）=（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、（x+y）（x-y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、（y-x）（x+y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键． 95．（20-21七年级下·浙江·期末）在乘法公式的学习中我们常采用构造几何图形的方法研究问题，如图，边长为的正方形，剪去一个边长为b的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个大长方形的边长为x，根据拼接前后的面积相同可列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这个大长方形的长为x， 由题意得（b+2）2-b2=2x， 解得x=2b+2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平方差公式的几何背景，利用平方差公式计算是解题的关键． 题型20 平方差公式与几何图形 96．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 97．（2011·江苏南京·中考模拟）如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的几何推导，根据图形，利用正方形和矩形的面积公式得到阴影面积，根据两阴影面积相等可得等式． 【详解】解：第1个图形的阴影面积为大正方形的面积与小正方形的面积的差，即， 第2个图形的阴影面积为， ∵两阴影面积相等， ∴， 故选：A． 98．（15-16八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形()，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接用大正方形的面积，减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：该平行四边形的面积为； 故选A． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键． 99．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，根据图形及已知条件可将③长方形的长和宽表示出来，再根据每个小长方形的面积均为16及大长方形的面积为100，得出x2与y2的数量关系，然后解得y2即可． 【详解】解：设标号为①的正方形的边长为x，标号为②的正方形的边长为y，则标号为③的长方形长为（x+y），宽为（x-y）， ∵每个小长方形③的面积均为16， ∴（x+y）（x-y）=16， ∴x2-y2=16， ∴x2=16+y2． ∵大长方形的长等于标号为③的小长方形的长与标号为①的正方形的边长的和，宽等于标号为③的小长方形的宽与标号为①的正方形的边长的和， ∴大长方形的长为：[（x+y）+x]=2x+y，宽为：[（x-y）+x]=2x-y， ∵大长方形的面积为100， ∴（2x+y）（2x-y）=100， ∴4x2-y2=100， ∴4（16+y2）-y2=100， ∴y2=12， 即标号为②的正方形的面积为y2=12． 故选：C． 【点睛】本题考查了平方差公式在几何图形面积计算中的应用，数形结合并理清题中的数量关系是解题的关键． 100．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（  ） A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变 【答案】A 【分析】由已知：原来正方形的边长为，分别表示出改建后的养鸡场长和宽，求出面积差． 【详解】解：原来正方形的边长为， 则改建后的养鸡场长为：，宽为， 原来面积为，改建后面积为， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平方差公式和长方形的面积，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系求解． 题型21运用完全平方公式进行运算 101．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，涉及同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项．根据同底数幂乘法、幂的乘方、完全平方公式及合并同类项，逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A：，故本选项错误，不符合题意； 选项B：，故本选项错误，不符合题意； 选项C：，故本选项错误，不符合题意； 选项D：，故本选项正确，符合题意； 故选：D 102．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开并代入已知条件即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 103．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，分解因式，设，则，将原方程转化为关于的方程，通过代数变形直接求解的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故选D． 104．（22-23七年级下·江苏南京·期中）在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式逐个判断即可． 【详解】解：A：，故本选项不符合题意； B：不是一个多项式的完全平方，故本选项符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式和多项式、单项式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方公式有两个：，． 105．（21-22七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】凑完全平分公式，代入数值求解即可． 【详解】解： = = = = 故选：D． 【点睛】本题主要考查完全平方公式的掌握． 题型22 完全平方公式在几何图形中的应用 106．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（    ）    A．21 B．24 C．34 D．42 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式及运用，解题关键是运用整体思维求解，虽然不能将两个正方形的边长分别求出来，但可以利用它们之间的和与平方和的关系，根据，巧妙变形从而得到整体的值，而这个整体就是要求的长方形的面积，问题得解． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则． ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴长方形的面积为 故选A ． 107．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用完全平方公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，不符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选D． 108．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 109．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积加上1个三角形的面积，减去空白三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分面积等于 故选：C． 110．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型23 求完全平方公式中的字母系数 111．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方式的结构，中间项为平方项两数乘积的2倍或倍，从而建立方程求解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：多项式是完全平方式，可表示为， 比较中间项系数得：，即， 解得：或， 因此，的值为5或1， 故选：A． 112．（21-22七年级下·浙江金华·期末）如果是关于的完全平方式，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据完全平方公式：，即可求出． 【详解】∵完全平方公式： ∴在中，得， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是掌握：． 113．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若代数式通过变形可以写成的形式，则m的值是（    ） A．5 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】直接利用完全平方公式得出答案． 【详解】解：∵代数式通过变形可以写成（x+n）2的形式， ∴， ∵， ∴m=±10，故D正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式，是解题关键． 114．（23-24七年级下·重庆·期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式，将原式展开后，设，通过比较系数法求常数a的值． 【详解】∵，且该式为完全平方式， ∴设， 比较系数得：， ∴， 又， ∴． 故选：D． 115．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值是（　　） A． B．9 C．或9 D．或5 【答案】C 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，解题关键是掌握求完全平方式中的字母系数求解方法． 根据完全平方式列出方程求解． 【详解】解：∵关于的多项式是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故选：C． 题型24 整式的混合运算 116．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项，单项式除以单项式，单项式乘单项式的法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 117．（22-23七年级下·浙江·期末）下列四种说法中正确的有（    ） ①． ②若两个不等实数a、b满足，则、互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 根据整式的混合运算，完全平方公式进行一一判断即可求解； 【详解】解：①； 故①错误； ②，整理得， 即得：，由于实数，不相等，即得出、互为相反数， 故②正确； ③整理得， 即得， 即， 故③正确； ④由， 可得， 即可变形为：， 可以得到或， 故④错误； 故选：B 118．（20-21七年级下·浙江·期末）若多项式可以表示为的形式．则的值是（    ） A．9 B．7 C． D． 【答案】B 【分析】利用x2+3x-2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解：∵x2+3x-2 =（x-1）2+a（x-1）+b =x2+（a-2）x+（b-a+1）， ∴a-2=3， ∴a=5， ∵b-a+1=-2， ∴b-5+1=-2， ∴b=2， ∴a+b=5+2=7， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x-2=x2+（a-2）x+（b-a+1）是解题关键． 119．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）有三个连续偶数，中间的偶数为，则它们的积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出三个连续偶数，求出之积即可． 【详解】解：根据题意得：（2n-2）•2n•（2n+2）=2n（4n2-4）=8n3-8n． 故选：A． 【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 120．（22-23七年级下·浙江·期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用含有、的代数式分别表示，，再根据，得，整理，得，所以． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，数形结合并熟练运用完全平方公式是解题的关键． 题型25 通过对完全平方公式变形求值 121．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，已知和，要求的值，利用完全平方公式的变形关系，结合已知条件直接计算． 【详解】解：， 又∵，， ∴， ∴． 故选：A． 122．（22-23七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查完全平方公式，正确用表示，是解题的关键； 先用表示，，代入已知等式中，即可求解； 【详解】解：，，， ，， ， ， 解得：； 故选：A 123．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变形进行求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键. 将两边同时平方，然后根据完全平方公式的变形进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， 即， ∴， 故选B 124．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 【详解】解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 125．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知实数，满足，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 题型26 同底数幂的除法 126．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除、积的乘方和完全平方公式，需逐一验证各选项的正确性即可. 【分析】解：A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：A． 127．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零次幂的含义等知识点．由题意可得，，，然后比较其大小即可． 【详解】解：，，， ∴， 故选：D． 128．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法．需分步计算各部分的符号和指数，再合并结果即可． 【详解】解： ； 故选：A． 129．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算的值是（　　） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查零次幂，根据零指数幂的定义，当时，求解即可． 【详解】解： ． 故选：D 130．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，将已知条件转化为方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 题型27 整式的除法 131．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了整式的除法计算，根据多项式除以单项式法则依次计算并判断 【详解】解：A.除不尽，故错误； B.除不尽，故错误； C.，故正确； D.，故错误； 故选：C 132．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4＋20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（    ） A．2y3﹣3xy2＋4 B．3y3﹣2xy2＋4 C．3y3＋2xy2＋4 D．2xy2﹣3y3＋4 【答案】B 【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可． 【详解】解：（15x3y5-10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2） =15x3y5÷（5x3y2）-10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2） =3y3-2xy2+4． 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的除法，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和整式的除法法则． 133．（20-21七年级下·浙江·期末）如果，那么a，m，n的值分别是（    ） A．2，3，2 B．12，2，2 C．64，2，3 D．32，2，3 【答案】C 【分析】先求出，根据题意可得 ， ， ，即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ， ， 解得： ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了单项式除以单项式，熟练掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键． 134．（21-22七年级下·浙江金华·期末）一个长方形操场，面积为，其中一边长为a，则另一边长为（    ） A．ab＋1 B．ab＋2 C．a＋1 D．a2b＋ 1 【答案】A 【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵一个长方形操场，面积为，其中一边长为a， ∴另一边长为：（）÷a＝ab＋1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键． 135．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体模型的长、宽、高分别是4a（cm），3a（cm），a（cm），某种油漆每千克可漆面积为（cm），则漆这个模型表面需要的油漆是（    ）千克． A． B． C． D．38 【答案】A 【分析】先计算出长方体表面积再根据每千克可漆面积为（cm2），计算油漆的用量即可． 【详解】解：由题知，长方体的表面积为： 4a×3a×2+4a×a×2+3a×a×2=38a2（cm2）， ∴需要油漆38a2÷=76a（千克）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查长方体的表面积，代数式的计算等知识点，熟练掌握长方体表面积公式是解题的关键． 题型28 因式分解的意义 136．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键． 根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． ，等式的右边不是整式的乘积形式，故该选项不符合题意；     D． ， 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：B． 137．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解．设另一个一次多项式为，根据因式分解后与原式系数对应求解即可． 【详解】解：设另一个一次多项式为， ∴， ∵能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是， ∴， ∴， ∴， ∴另一个一次多项式为， 故选：D 138．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解．将给定的因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，求出参数的值即可． 【详解】解：， ∵多项式因式分解后的结果是， ∴，， ∴， 故选：C． 139．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 140．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【详解】解：根据题意设， ∴，， 解得：，． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 题型29 提取公因式法因式分解 141．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】提取负号添括号时，每一项都需要变号． 【详解】解：A：，A选项正确； B：，B选项错误； C：，C选项错误； D：，D选项错误． 故选A 【点睛】本题考查添括号．括号前面是负号，则括号里面每一项都需要变号．这是解决本题的关键． 142．（21-22八年级下·陕西西安·期中）把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 【答案】A 【分析】适当变形后提公因式，可得答案． 【详解】解：原式， 另一个因式是， 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 143．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：多项式为 ，其两项分别为 和， 的系数为1， 的系数为，故公因式的系数部分为1； 含字母的2次幂， 含字母的1次幂，取公共字母的最低次幂为1，即 ， ∴多项式中各项的公因式是， 故选：C． 144．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 145．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 题型30 平方差公式分解因式 146．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 平方差公式适用于形如的式子，即两个平方项的差，需逐一分析选项是否符合该结构． 【详解】A、，这是两个平方项的和，不符合平方差公式的结构，无法用平方差公式分解，故不符合题意； B、可变形为，符合平方差公式，可分解为，故符合题意； C、这是完全平方式，可分解为，但不符合平方差公式的结构，故不符合题意； D、可提取负号得，仍是两个平方项的和，无法用平方差公式分解，故不符合题意； 故选：B． 147．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，直接分解因式即可求解；根据因式分解的结果结合已知直接代入求解是解题的关键． 【详解】解：； 故选：A． 148．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解： ， 故选：B． 149．（22-23八年级上·河北唐山·期末）若，且，则值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】对原式进行因式分解，代入值即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选C． 【点睛】此题考查了应用平方差公式因式分解，整体思想是解题的关键． 150．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取,时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（  ） A．102030 B．103020 C．101030 D．102010 【答案】C 【分析】根据用“因式分解”法产生的密码的原理，先将因式分解，再模仿例子方法可得六位数密码． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴这个密码可以101030， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，理解题中用“因式分解”法产生的密码的原理是解答的关键． 题型31 完全平方公式分解因式 151．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解中，正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法为解题关键，根据因式分解的方法逐一验证每个因式分解的正确性，统计正确个数即可． 【详解】解：①：提取公因式，得，与原式一致，正确； ②：利用平方差公式，分解为，正确； ③：因式分解为，展开后与原式一致，正确； ④：若为，展开后为，与原式二次项系数不符，错误； 综上，正确的有①、②、③，共3个， 故选：C． 152．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【分析】此题考查了运用因式分解求代数式值的能力，关键是能准确理解并运用完全平方公式进行因式分解． 通过运用完全平方公式法进行因式分解进行求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 153．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用公式法进行因式分解，逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①不可以因式分解； ②可以用平方差公式进行因式分解； ③不可以因式分解； ④可以用完全平方公式进行因式分解； ⑤可以用完全平方公式进行因式分解． 故选：B． 154．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，按照两种方法计算图形面积，根据面积相等，即可解答． 【详解】解：图形的面积为：或：， ∴， 故选：B． 155．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案． 【详解】解：A、，含有因式，本选项不符合题意； B、，含有因式，本选项不符合题意； C、，含有因式，本选项不符合题意； D、，不含有因式，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键． 题型32 综合提公因式和公式法分解因式 156．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提取公因式3，然后对括号内的表达式应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 故选：A． 157．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（    ） A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学 【答案】A 【分析】将因式分解后得到，对照它们分别对应的字，即可得到答案． 【详解】解： ，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，我，爱， 原式因式分解后结果呈现的可能为：我爱鹿鸣 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法，公式法---平方差公式是解此题的关键． 158．（20-21七年级下·浙江·期末）下列多项式中不能分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的结构特点，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、可以提公因式a2b2-ab=ab（ab-1），故不符合； B、（x-y）2+（y-x）可以提公因式x-y，故不符合； C、可以利用平方差公式因式分解，故不符合； D、，两平方项同号，不能进行因式分解，故符合． 故选：D． 【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，准确找出公因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解本题的关键． 159．（24-25七年级下·河北承德·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．甲的结果正确，乙的结果错误 B．乙的结果正确，甲的结果错误 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，需先提取公因式，再利用平方差公式分解，注意符号的处理． 【详解】解：， 甲的计算结果错误，乙的计算结果正确； 故选：B． 160．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行判断，即可． 【详解】解：①，不能用完全平方公式分解因式； ②； ③，不能用完全平方公式分解因式； ④； ⑤．， 所以能用完全平方公式分解因式的有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了因式分解——运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：；完全平方公式：． 题型33 分式的意义 161．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可知，解这个不等式得． 故答案为：C． 162．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 163．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了分式的值为0，即分子为0，分母不为0，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选：A． 164．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，分母不能为零，列出不等式求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，分母必须不等于零， 即：， 解得：； 故选C． 165．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．由题意得，即可得到答案． 【详解】解：依题意得：， 故且． 故选D． 题型34 分式的基本性质 166．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是判断分式变形是否正确，依据分式的基本性质对分式进行适当变形是解题的关键．依据分式的基本性质对分式进行变形即可． 【详解】解：． 故选：D 167．（17-18八年级上·山东聊城·期末）将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 【答案】B 【分析】将原分式中的、分别替换为、，根据分式的基本性质化简，再和原分式比较即可得到结果． 【详解】解：∵把、都扩大到3倍后，则用替换，替换， ∴ ∵原分式为， ∴新分式的值是原分式的倍， 即分式的值扩大到倍． 168．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的求值，由已知条件，可将分式转化为关于的表达式，代入计算即可． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故选C． 169．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 170．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式性质，将原分式中的变量扩大倍后，代入计算新分式的值，并与原值比较即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 当和均扩大2倍时，新分式， 则变化后的分式值为， 故选：D． 题型35 分式的乘除 171．（20-21七年级下·安徽安庆·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D．x 【答案】C 【分析】除法转化为乘法，约分即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的除法，掌握分式除法法则是解题的关键． 172．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）已知，则M等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式的乘除法的法则进行运算即可． 【详解】解：， M= ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 173．（2019·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】根据追击与相遇问题列出关系式，联立后变形即可求出所求式子的值． 【详解】不妨设甲乙两人开始时相距千米，甲的速度为，乙的速度为， 则根据题意有a（v1+v2）=s和b（v1-v2）=s， 于是， 所以  ， 即． 甲的速度是乙的倍． 故选：C． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的混合运算，关键是根据行程问题和追及问题分析速度路程时间的关系解答． 174．（20-21八年级下·河南郑州·期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 【答案】C 【分析】乙的分子由2-x变成了x-2，也就是分子乘了-1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误． 【详解】解：乙的分子由2-x变成了x-2，也就是分子乘了-1，而分母和分式本身的符号并没有发生变化，所以乙有错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的乘除法法则，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键． 175．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）原来花100元能购买某种糖果千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果(   ) 千克 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出糖果原来的价格，再求出糖果涨价后的价格，由此即可得． 【详解】解：由题意得：糖果原来的价格为元/千克， 则糖果涨价后的价格为（元/千克）， 所以涨价后花100元能买到糖果重量为（千克）， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的应用，正确列出各运算式子是解题关键． 题型36 分式的加减 176．（24-25七年级下·广西百色·期末）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算的法则，通过通分将整式与分式化为同分母分式，再进行分子的运算与化简． 【详解】解： 故选B． 177．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减运算．原式两个分式分母相同，直接合并后分子为，利用平方差公式分解后约分即可． 【详解】解：． 故选：D． 178．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，幂的乘方与积的乘方，根据幂的乘方与积的乘方得到，则可确定a、b的值，然后把它们代入分式中计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：A． 179．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查异分母的分式的加减运算．利用，求出，再求出倒数即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：D． 180．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的化简计算，先将化简得到，再代入代数式进行计算. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D 题型37 分式方程 181．（24-25七年级下·浙江·期末）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程的无解问题，先把原方程去分母化为整式方程，进而得到，当时，满足原方程无解，当时，，此时原方程有增根，即，则，解之即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得， 当，即时，此时方程的左边为0，右边不为0，即此时方程无解，符合题意； 当，即时，则， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，a的值为0或1， 故选：C． 182．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的除法运算，解分式方程， 将分式除法转化为乘法，化简后分析可能的取值即可． 【详解】解：由题，，，则 ， 需满足 ， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时不符合条件， 令 ，解得 ，此时分母均非零，符合条件， 令 ，无解，此时不符合条件， 故选C． 183．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，乙的平均速度为，则甲的平均速度为，总赛程为21公里，甲比乙早到30分钟（即小时），据此建立方程，即可作答． 【详解】解：依题意，乙的用时为小时，甲的用时为小时， ∵甲比乙早到小时， ∴得方程：， 故选：D 184．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 【答案】B 【分析】题考查由实际问题抽象出分式方程，根据甲乙两地的距离为并且小慈比小溪先到分钟，可说明小慈比小溪快，据此可解答此题，解题的关键是明确题意，列出相应的分式方程． 【详解】解：若设小溪每小时走，所列方程为，可知小慈每小时比小溪多骑行，即小慈每分钟比小溪多骑行， 故选：． 185．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A，B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设B种客房每间租金为x元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设B种客房每间租金为x元，根据题意得： ． 故选：A 题型38 数据的收集与整理 186．（20-21七年级下·浙江·期末）要调查某校七年级850名学生对“天文知识”的了解情况，下列调查对象选取最合适的是（   ） A．随机选取该校七年级一个班级的学生 B．随机选取该校七年级50名男生 C．随机选取该校七年级50名女生 D．随机选取该校七年级50名学生 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性：抽样调查时，应根据总体的特点，恰当地选取样本，使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性，熟练掌握抽样调查的可靠性是解题关键．根据抽样调查时，应根据总体的特点，恰当地选取样本，使所选取的样本能客观地反映总体，即抽样要具有代表性、广泛性、随机性，由此即可得． 【详解】解：A、随机选取该校七年级一个班级的学生；仅选取一个班级的学生，样本范围过小且可能不具备年级的普遍性，则此项不符合题意； B、随机选取该校七年级50名男生；未考虑性别差异对调查结果的影响，样本缺乏代表性，则此项不符合题意； C、随机选取该校七年级50名女生；未考虑性别差异对调查结果的影响，样本缺乏代表性，则此项不符合题意； D、随机选取该校七年级50名学生；覆盖不同班级和性别，符合随机抽样原则，能较好反映整体情况，则此项符合题意； 故选：D． 187．（23-24七年级下·浙江温州·期末）为了解我校“美食节”最受学生喜爱的美食，对全校1200名学生的代金券使用情况进行汇总，抽取50名学生（男、女生各25名）进行调查．在这个问题中样本容量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：∵一共抽取50名学生进行调查． 在这个问题中样本容量是50， 故选：B． 188．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（    ） A．抽取某一片区的七年级学生进行调查 B．抽取三个片区的九年级学生进行调查 C．抽取某所学校的所有学生进行调查 D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查 【答案】D 【分析】本题考查抽样调查的合理性，需确保样本具有代表性和广泛性．合理的抽样需满足分层抽样原则，即按片区（分层）随机抽取多所学校，确保各片区、各年级均有覆盖． 【详解】A：仅抽取某一片区的七年级学生，样本范围过窄，无法代表三个片区所有年级的情况． B：抽取三个片区的九年级学生，虽覆盖三个片区，但仅针对单一年级，样本缺乏年级多样性． C：仅抽取某所学校的所有学生，样本局限于单一学校，无法反映三个片区的整体情况． D：按片区各抽取3所学校（共9所），覆盖所有片区，且调查所有学生，样本具有广泛性和代表性． 选项D能有效减少偏差，提高调查结果的准确性． 故选D． 189．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校为定制七、八、九年级男生的校服，要调查这三个年级男生的身高情况．下列做法中，比较合理的是（   ） A．测量八年级60名男生身高； B．随机测量该校七、八、九年级各60名男生的身高； C．查阅有关外地七、八、九年级共180名男生身高的统计资料； D．测量参加学校男子篮球队、排球队的七、八、九年级共60名学生的身高． 【答案】B 【分析】本题考查抽样调查的合理性，需确保样本具有代表性和广泛性． 【详解】解：选项A：仅测量八年级男生，未覆盖七、九年级，样本不全面，无法反映三个年级的整体情况，故本选项不符合题意； 选项B：随机测量七、八、九年级各60名男生，每个年级均抽取足够样本且随机，能代表各年级身高特征，符合实际需求，故本选项符合题意； 选项C：外地学生身高可能与本校存在差异，数据不具备针对性，无法用于定制本校校服，故本选项不符合题意； 选项D：篮球队、排球队学生身高通常偏高，样本存在偏差，不能代表全体男生，故本选项不符合题意； 故选：B． 190．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某校为了了解七年级12个班级学生（每班40人），课后作业用时情况，开展了一次抽样调查，那么选择下面哪个样本更合适（　　） A．以七年级每一名学生作为样本 B．以七年级每一名男生作为样本 C．以七年级每一名女生作为样本 D．每班各抽取5名男生和5名女生作为样本 【答案】D 【分析】本意考查了抽样调查的可靠性，注意样本容量太小不具代表性，样本容量太大费时费力．根据抽样调查的样本容量要适当，可得答案． 【详解】解：A、样本容量太大，费时费力，故不可取，不符合题意； B、样本不具有代表性，故不可取，不符合题意； C、样本不具有代表性，故不可取，不符合题意； D 、样本容量适中，省时省力又具代表性，故符合题意； 故选：D． 题型39 条形统计图和折线统计图 191．（23-24七年级下·浙江温州·期末）我校“美食节”某摊位在四个时段销售情况如图所示，则其中销售数量增长最快的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 【详解】解：由图可以看出：点销售数量增长最快，销售数量增长， 故选B． 192．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）中华人民共和国2019-2024年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示. （以上数据引自《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》） 根据以上信息，下列四个说法正确的是（　　） A．从2019到2024年，全国居民人均可支配收入增长超过12000元 B．从2021年到2022年全国居民人均可支配收入下降了 C．2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年 D．2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，所以2021年全国居民人均可支配收入最高 【答案】C 【分析】本题主要考查条形统计图和折线统计图的运用，理解图示的信息，掌握条形统计图的意义，获取相关信息是解题的关键． 根据图象依次判断即可． 【详解】解：A、根据统计图得：，选项错误，不符合题意； B、2021年人均可支配收入35128元，2022年人均可支配收入36883元，故可支配收入增长了，选项错误，不符合题意； C、由图得，2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年，选项正确，符合题意； D、2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，2024年全国居民人均可支配收入最高，选项错误，不符合题意； 故选：C． 193．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．琪琪的步数高于嘉嘉的天数有6天 B．嘉嘉的步数逐天增加 C．在统计中的第10日，嘉嘉和琪琪的步数均达到最多 D．第11日，琪琪的步数一定比嘉嘉的步数多 【答案】D 【分析】本题考查了折线统计图，折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况.不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况，理解折线起伏的意义是解题关键．对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，两条线，分开看，即可作答． 【详解】解：A. 通过折线统计图可得琪琪的步数高于嘉嘉的天数有6天，原说法正确，不符合题意； B. 通过折线统计图可得嘉嘉的步数逐天增加，原说法正确，不符合题意； C. 通过折线统计图可得在统计中的第10日，嘉嘉和琪琪的步数均达到最多，原说法正确，不符合题意； D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以第11日，琪琪的步数不一定比嘉嘉的步数多，原说法不正确，符合题意； 故选D． 194．（24-25七年级下·浙江台州·期末）统计甲和乙两个模型在百科、数学、代码、语言领域的测试成绩，得到如图所示的统计图．我们通常用的值表示甲对乙的相对优势，根据图中数据，在以下四个领域中甲对乙的相对优势最大的领域是（    ） A．百科 B．数学 C．代码 D．语言 【答案】C 【分析】本题考查的是从统计图中获取信息，分别计算四个领域中甲对乙的相对优势，再比较大小即可. 【详解】解：百科：甲对乙的相对优势为：， 数学：甲对乙的相对优势为：， 代码：甲对乙的相对优势为：， 语言：甲对乙的相对优势为：， 而， ∴四个领域中甲对乙的相对优势最大的领域是：代码； 故选：C 195．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某中学开展以“我最喜爱的课后服务项目”为主题的调查活动．通过对七年级200名学生的随机调查得到一组数据，并绘制成条形统计图（不完整）．已知乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，则选择羽毛球的学生人数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图，根据条形统计图求相关的数据；由条形统计图知，乒乓球与羽毛球两个项目的人数和为（人），再乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，则可求得选择羽毛球的学生人数． 【详解】解：由条形统计图知，乒乓球与羽毛球两个项目的人数和为（人），由于乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3， 则选择羽毛球的学生人数为：； 故选：C． 题型40 频数直方图 196．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 【答案】B 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据直方图得出解题所需数据是解题的关键． 根据频数分布直方图，可知购票等候时间小于3分钟为第1、2组，将人数相加即可求解． 【详解】解：由直方图知购票等候时间小于3分钟的人数是人． 故选：B． 197．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）某校24个班级在植树节进行植树活动，活动后统计了各班级植树的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．根据统计结果，有两种说法：①组界为的频数是5；②一定有2个班级的植树数量相等．下列判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 【答案】B 【分析】本题考查了频数直方图，从直方图中获取信息对各选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意，组距为， ①，则组界为的频数是5；故正确； ②根据频数分布直方图，无法判断植树数量相等的班级数，故不正确， 则①正确，②错误． 故选：B． 198．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图是15名学生数学测试成绩的频数分布直方图，则成绩高于60分的人数是(    )    A．4人 B．8人 C．12人 D．14人 【答案】C 【分析】根据题目所给的直方图及题意可直接得到高于60分的人数． 【详解】解：由图及题意可知：高于60分的人数为：(人)； 故选C． 【点睛】本题主要考查数据统计，解题的关键是根据题目所给的直方图得到信息进行求解． 199．（19-20七年级下·浙江杭州·期末）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先可求得合格的人数，再用合格的人数除以总人数即可求得． 【详解】解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比为： ， 故选C． 【点睛】本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 200．（20-21七年级下·浙江温州·期末）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在82.5kg及以上的生猪有（　　） A．20头 B．50头 C．140头 D．200头 【答案】B 【分析】在横轴找到82.5kg的位置，由图可知在80与85的中间，即第三个与第三个长方形的前一个边界值开始算起，将后2组频数相加，即可求解． 【详解】依题意，质量在82.5kg及以上的生猪有：（头） 故选B． 【点睛】本题考查了频数直方图的应用，根据频数直方图获取信息是解题的关键． 题型41 平行线中的”拐点”问题 201．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）设，而，可得，如图，记的交点为，表示，结合平行线的性质可得，求解，证明，进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，而， ∴， 如图，记的交点为， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，因式分解的应用，分式的约分，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用角度关系进行运算是解本题的关键． 202．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B在直线上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是_______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识， （1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过作． ∵， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ， ， ， 同理：， ， ； （3）解：如图，设交于． 当点在内部时， ， ， 平分， ， ， ，， ， ． 当点在直线的下方时， ， ， 平分， ， ， ，， ， ∴， 综上所述：或． 203．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)60； (2)①平行，见解析；②E在A的左侧，；E在A的右侧，． 【分析】本题主要考查平行线的性质及角平分线的应用，解题关键是利用平行线性质（内错角、同旁内角等关系）和角平分线定义，结合三角板角度，通过角度转化推导结论． （1）利用直角三角板性质得，由得．因平分，故．依据，内错角相等，，即． （2）①由得．结合三角板角度和角的和，算出．利用三角形外角性质，求得，因，根据内错角相等，判定结论．②由得，结合角平分线得，算出（在左侧）或（在右侧）．因平分，分别算出（在左侧）或（在右侧）．再依据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直角三角板的角顶点A在直线上， ∴，，， ∵， ∴， ∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ∵， ∴， ∵的度数为， 的值为60； （2）解：①与的位置关系是平行 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是的外角， ∴ ∴ ∴； ②∵， ∴， ∵∵的平分线AD交直线PQ于点D， ∴， ， 当E在A的左侧，如图： ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 当E在A的右侧，如图 ∵的角平分线交直线于点G， ∴ ∵， ∴； 题型42 平行线中的探究问题 204．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）在四边形ABCD中，． (1)如图1，比较大小：______（填＞、＜或＝）： (2)如图2，连接BD，作AE、CF分别平分、交BD于E、F，判断AE、CF的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，若，探究并写出与的数量关系． 【答案】(1)＝ (2)平行，见解析 (3)，探究见解析 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）延长AE交BC于点G，先证明，再由，得到即可证明 （3）设，则，然后根据平行线的性质得到，  则． 【详解】（1）解：∵， ∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠BCD， 故答案为：＝； （2）解：．理由如下： 延长AE交BC于点G， 由（1）可知，， ∵AE、CF分别平分、， ∴，， ∴， ∵．   ∴ ∴ （3）解：设，则， ∴ ∵，          ∴， ∴，   ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定是解题的关键． 205．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)不成立，或，理由见解答 【分析】本题主要考查了平行㦱的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是过点P作平行线，构造内错角． （1）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，即； （2）过点作，根据平行线的性质即可得到，，根据，可得； （3）根据（1）的方法，过点作，根据平行线的性质，可得，图2中根据，可得；图3中，根据，可得． 【详解】（1）解：如图1，过点作，   ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）结论：， 证明：如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （3）不成立， 如图2； 理由：过点P作，   ， ， ， ， ， ， ②如图3： ， 理由：过点作，   ， ， ， ， ， 即； 综上，或． 206．（20-21七年级下·浙江·期末）已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则________； （2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论． 【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析 【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解． （2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°． （3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解． 【详解】解：（1）如图，作CP//a， ∵a//b，CP//a， ∴CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°， ∴∠BCP=180°-∠CEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+180°-∠CEF=90°， ∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°． （2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下： 如图，作CP//a，则CP//a//b， ∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°， ∵∠NEF+∠CEF=180°， ∴∠BCP=∠NEF， ∵∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠AOG+∠NEF=90°． （3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF, ∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°， ∴∠GOP=135°-∠POQ， ∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF． 如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b， ∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ， ∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN， ∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF， ∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF． 【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解． 题型43 二元一次方程组方案问题 207．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 【答案】(1)B (2)A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元 (3)共有3种购买方案：①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆；②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆；③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设两次汽油单价分别为a元，b元（），记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元，分别求出两次的平均单价，然后作差比较即可； （2）设A型汽车每辆的进价为x万元，B型汽车每辆的进价为y万元，列出二元一次方程组即可计算出答案； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，列出二元一次方程，求出正整数解即可得到答案． 【详解】（1）设两次汽油单价分别为a元，b元（）， 记①中每次所加的油量固定为A升，②中每次加油的付款额固定为B元， 则①中平均单价为（元）， ②中平均单价为（元）， 当时， ∴，即， ∴方式②平均油价更低． 故选：B． （2）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为15万元； （3）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴， ，， ∴共有3种购买方案： ①购进A型号汽车7辆，B型号汽车5辆； ②购进A型号汽车4辆，B型号汽车10辆； ③购进A型号汽车1辆，B型号汽车15辆． 208．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； (3)购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，，， 共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元． 209．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 【答案】(1)540 (2)A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨 (3)共有3种可行的运输方案：方案1：使用2辆A货车，10辆B货车；方案2：使用5辆A货车，6辆B货车；方案3：使用8辆A货车，2辆B货车 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）根据第一、二次A，B两种货车使用数量比例相同，即可求出第二次运算防疫物资的质量； （2）设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨，根据第一、三次运输记录的数据，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设使用m辆A货车，n辆B货车，根据要一次运输190吨防疫物资且每辆货车均满载，列出二元一次方程，求出自然数解，即可得出各运输方案． 【详解】（1）解：∵， ∴表格中被污渍盖住的数是（吨）， 故答案为：540． （2）解：设A货车每辆每次可以运送物资x吨，B货车每辆每次可以运送物资y吨， 依题意得：， 解得：， 答：A货车每辆每次可以运送物资20吨，B货车每辆每次可以运送物资15吨． （3）解：设使用m辆A货车，n辆B货车， 依题意得：， 整理得：， 又∵m、n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种可行的运输方案： 方案1：使用2辆A货车，10辆B货车； 方案2：使用5辆A货车，6辆B货车； 方案3：使用8辆A货车，2辆B货车． 题型44二元一次方程组几何问题 210．（20-21七年级下·浙江·期末）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器， （1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ （2）现有长方形铁片a张，正方形铁片b张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则的值可能是（    ） A．2019            B．2020            C．2021              D．2022 （3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒? 【答案】（1）竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个；（2）B；（3）19个 【分析】（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个，根据加工的两种长方体铁容器共用了长方形铁片2014张、正方形铁片1176张，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设竖式纸盒c个，横式纸盒d个，由题意列出方程组可求解． （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块，由铁板的总数量及所需长方形铁片的数量为正方形铁皮的2倍，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，取其整数部分再将剩余铁板按一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片处理，即可得出结论． 【详解】解：（1）设可以加工竖式长方体铁容器x个，横式长方体铁容器y个， 依题意，得：， 解得：， 答：可以加工竖式长方体铁容器100个，横式长方体铁容器538个． （2）设竖式纸盒c个，横式纸盒d个， 根据题意得：， ∴5c+5d=5（c+d）=a+b， ∴a+b是5的倍数，可能是2020， 故选B； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：， ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3=75（张），9块做正方形铁片可做9×4=36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1=76（张），正方形铁片36+2=38（张）， ∴可做铁盒76÷4=19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． 211．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)9；15 (2)用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒 【分析】（1）根据题意进行解答即可； （2）设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板，根据原材料板材共260张，每个长方体纸盒有4个侧面，2个底面列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：每张原材料板材可以裁得A型纸板（张）或裁得B型纸板（张）． 故答案为：9；15． （2）解：设用张原材料板材裁A型纸板，张原材料板材裁型纸板， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是方程组的解且符合题意 ∴能做纸盒数为：（个） 答：用200张原材料板材裁A型纸板，60张原材料板材裁型纸板，恰好能使做出的竖式有盖长方体纸盒配套，能做出450个纸盒． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确解方程组． 212．（20-21七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 【答案】(1)x-2；y-2；8-y； (2)42； (3)x=6，y=7 【分析】（1）根据图形中各线段的关系，用x、y的代数式表示各线段便可； （2）根据，由长方形面积公式列出x、y的方程，求得xy便可； （3）根据空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，可求得x+y=13，再根据xy=42求解即可． 【详解】（1）解：∵三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，，，且x<y． ∴AH=AB-BH=x-2，CI=BC-BI=y-2，GK=AG+DK-AD=5+3-y=8-y， 故答案为：x-2；y-2；8-y； （2）由题意得：S1=2HE，HE=7-x， 所以S1=14-2x， S2=3GK=24-3y， S3=QI×QF+MN×NC=3（x-5）+（y-5）（x-3）=xy-3y-2x， ∵， ∴38-2x-3y=xy-3y-2x-4， ∴xy=42， 长方形ABCD的面积为42； （3）解：由题意得：DN+DG+KA+AH+EB+BI=y-5+3+y+x-2+x-5+2=2x+2y-10， GK+NC+CI+HE=8-y+x-3+y-2+7-x=10， ∵空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6， ∴（DN+DG+KA+AH+EB+BI）-（GK+NC+CI+HE）=6， ∴2x+2y-10-10=6，即x+y=13， ∵由（2）得：xy=42， ∴或， 解得：或， ∵x＜y， ∴x=6，y=7． 【点睛】本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的边长和面积，是解题的关键． 题型45二元一次方程组销售、利润问题 213．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． (1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； (2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 【答案】(1)小明购买苹果4千克，购买梨2千克 (2)①元/千克；② 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列代数式，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程组． （1）设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据苹果和梨原来单价表示出现在单价，再根据苹果a千克，梨b千克表示出平均单价即可； ②根据按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，得出，根据支付的金额始终与小明相同，得出，求出a的值即可． 【详解】（1）解：设小明购买苹果x千克，购买梨y千克，根据题意得： ， 解得：， 答：小明购买苹果4千克，购买梨2千克； （2）解：①∵苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克， ∴苹果单价元/千克，梨单价元/千克， 搭配销售方式水果平均单价为：元/千克； ②按搭配销售方式购买，需要付款： ， ∵按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同， ∴，即 ∴按搭配销售方式购买，需要付款（元）， ∵支付的金额始终与小明相同， ∴， 解得：． 214．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 【答案】(1)文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本 (2)此次书店的总利润为480元 (3)此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用； （1）设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本，根据“共90本，销售额为2100元”列方程组，求解即可； （2）根据文学类书籍和科技类书籍的利润率都是，用总销售额乘以利润率即可得到总利润； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒，根据进货总价为2100元列出二元一次方程，求出方程的正整数解，进而可得答案． 【详解】（1）解：设文学类书籍销售x本，科技类书籍销售y本， 由题意得：， 解得：， 答：文学类书籍销售60本，科技类书籍销售30本； （2）文学类书籍的利润率为，科技类书籍的利润率为， （元）， 答：此次书店的总利润为480元； （3）设此次书店购进文学类书籍本，科技类书籍本，则需购进水彩笔盒， 由题意得：， 解得：， ∵a，b均为正整数， ∴或， ∴或， 答：此次书店购进文学类书籍42本，科技类书籍48本或文学类书籍84本，科技类书籍21本． 215．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 【答案】(1)m的值为80，n的值为60 (2)该商场可获利1200元 (3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个或A款足球0个，B款足球20个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出，再将其代入中即可求出结论； （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 答：m的值为80，n的值为60． （2）依题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1200元． （3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个， 依题意得：， 又∵a，b均为非负整数，b为3的倍数， ∴或或． 答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个或A款足球0个，B款足球20个． 题型46 整式的乘除中的阅读解答 216．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 【答案】(1) (2)16 (3)，，9 【分析】（1）根据阅读材料，先将配方后，再利用平方差公式分解即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算即可； （3）把所给的多项式配方后根据非负数的性质进行解答． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； （3） ，； ， 当，时， 即，时，取得最大值为9． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，平方差公式，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 217．（20-21七年级下·浙江·期末）阅读材料：若，求的值． 解：． ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）比较大小：_____﹔        ______ （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值 【答案】（1）≥，≥；（2）-1；（3）2 【分析】（1）将两式相减，利用完全平方公式变形即可判断； （2）已知等式利用完全平方公式整理配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，代入计算即可； （3）由已知条件可得，代入等式，即可求出a，b，c的值进而求出的值． 【详解】解：（1）∵， ∴； ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴x+y=0，y+1=0， 解得：x=1，y=-1， ∴==-1； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴c+3=0，b-4=0， ∴c=-3，b=4，a=3， ∴==2． 【点睛】本题考查了完全平方公式和偶次方具有非负性的性质，任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 218．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 【答案】(1)过程见解析，12 (2)1260 (3)54 【分析】（1）根据完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab求解即可； （2）按（1）方法进行即可求解； （3）正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，可得（13-m）2+（10-m）2=117，设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-g=13-m-10+m=3，利用求解即可． 【详解】（1）解：设则 ∴ =（a+b）2-2ab =（-4）2-2×2 =16-4 =12． （2）解：设， 则，a+b=10， ； （3）解：正方形ACFG的边长为13-m，面积为（13-m）2，正方形ABDE的边长为10-m，面积为（10-m）2，则有（13-m）2+（10-m）2=117， 设13-m=p，10-m=q，则p2+q2=（13-m）2+（10-m）2=117，p-q=13-m-10+m=3， 所以长方形AEPC的面积为： ． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式和数形结合思想，灵活变形完全平方公式成为解答本题的关键． 题型47因式分解的综合应用 219．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)能，， 【分析】本题主要考查了分解因式，已知分解因式的结果求参数等等，正确理解题意是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得到，再计算出和的结果即可得到答案； （2）把提取公因式x得到，根据产生的密码为可得因式分解的结果为，据此可得答案． 【详解】（1）解： ， 当，时，，， ∴这个六位数密码可以是； （2）解：， ∵当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为，， ∴因式分解的结果为， ∴， ∴． 220．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式， （1）根据完全平方和（差）公式进行因式分解．即可计算得出结果； （2）根据题意对算式进行配方，然后，利用平方差公式进行因式分解，即可得出结果； 首先，将代数式，进行分组，然后，结合提公因式和平方差公式，得到，进一步整理即可得出结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）① 原式 ； ② ． 221．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求的最小值： 解：原式 ， 当时，取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值； （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边满足，求的周长． 【答案】（1）取得最小值是；（2）的周长为10 【分析】本题主要考查了完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式得到，再仿照题意求解即可； （2）根据可得，再由非负数的性质求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：（1）， ∵， ∴， ∴当时，取得最小值是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴的周长为． 题型48 分式方程应用题 222．（24-25八年级下·江苏·期末）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【答案】(1)批发价为5元 (2)总体赚元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的实际应用，分式方程的经济问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设批发价为元，根据题中的等量关系，列出分式方程求解； （2）分别求出两次获利，再求出总体获利． 【详解】（1）解：设批发价为元． 则第一次购书本． 第二次批发价为， 则第二次购书本， 则， 解得：， 经检验是分式方程的根， 所以第一次购书的进价为5元； （2）第一次获利 第二次批发价， 第二次购书本， 第二次获利， 则两次总获利， 即总体赚元． 223．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 224．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 【答案】(1)个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元 (2)当机器狗的派送速度为米/分 【分析】本题考查分式方程的应用以及二元一次方程组的应用， （1）设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元，根据“一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟，利用“时间路程速度”，根据“当天派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒”，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． 【详解】（1）解：设个肉包的成本是元，个豆腐包的成本是元， 依题意，得：， 解得：， 答：个肉包的成本为元，个豆腐包的成本为元； （2）设当天机器狗的派送速度为米/分钟，则原来机器狗的派送速度为米/分钟， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， 答：当机器狗的派送速度为米/分． 题型49 分式方程无解问题 225．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 【答案】(1) (2) (3)3、29、55、185 【分析】（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可； （2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可； （3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值． 【详解】（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原分式方程的解为：． （2）解：把a=1代入原分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， ①当时，即，原分式方程无解； ②当时，得， Ⅰ.时，原分式方程无解， 即时， 此时b不存在； Ⅱ.x=5时，原分式方程无解， 即时， 此时b=5； 综上所述，时，分式方程无解． （3）解：把a=3b代入分式方程中， 得：， 方程两边同时乘以， 得：， ， 解得：， ∵b为正整数，x为整数， ∴10+ b必为195的因数，10+b≥11， ∵195=3×5×13， ∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195， ∵1、3、5都小于11， ∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数， 对应地，方程的解x=3、5、13、15、17， 又x=5为分式方程的增根，故应舍去， 对应地，b只可以取3、29、55、185， ∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数． 【点睛】本题主要考查分式方程的计算，难度较大，涉及知识点较多．熟练掌握解分式方程的步骤是解决这三道小题的前提条件；其次，分式方程无解的两种情况要熟知，一是分式方程去分母后的整式方程无解，而是分式方程去分母后的整式方程的解是原分式方程的增根．总之，解分式方程的步骤要重点掌握． 226．（25-26八年级下·重庆万州·阶段检测）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 【答案】（1）分式的分母不能为0（a≠0）；（2）且；（3）或． 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数： （1）根据分式有意义的条件：分母不能为0，即可知道小聪说得对； （2）首先按照解分式方程的步骤得到方程的解，再利用解是非负数结合分式有意义即可求出的取值范围； （3）按照解分式方程的步骤去分母得到整式方程，若分式方程无解，则得到增根或者整式方程无解，即可求出的范围． 【详解】（1）解：∵分式方程的解不能是增根，即不能使分式的分母为0 ∴小聪说得对，分式的分母不能为0． （2）解：原方程可化为 去分母得： 解得： ∵解为非负数 ∴，即 又∵ ∴，即 ∴且 （3）解：去分母得： 解得： ∵原方程无解 ∴或者 ①当时，得： ②当时，，得： 综上：当或时原方程无解． 227．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值 (2)①；②1 (3)或 【分析】（1）根据“关联分式”定义，计算出，进而即可判断； （2）①由与互为“关联分式”、，得，求出；②将代入，进而即可求解； （3）由与互为“关联分式”、，列方程化简得．方程无解分两类：整式方程无解或增根，分情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得， ， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义， ∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得； ②当时， ， ∵为正整数，且为正整数， ∴当时，解得； 当时，解得（舍去）， ∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值， ∴ 解得， ∵关于的方程无解， ∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0）， ∴将代入整式方程： 解得； 此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 【点睛】本题以“关联分式”新定义为载体，融合分式加减运算、分式化简求值、分式方程无解的分类讨论，考查代数运算能力与逻辑推理能力，体现分类讨论的核心数学思想． 题型50 数据与统计图表解答题 228．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______； (2)请直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°； (4)若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”． 【答案】(1)50，20； (2)见解析 (3)36 (4)750名 【分析】（1）利用剪纸的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义，圆心角的计算解答即可． （2）根据计算补图即可． （3）根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （4）根据样本估计整体的思想计算即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，样本估计总体，读懂统计图，熟练掌握圆心角，样本容量的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 舞蹈的人数为． ， 故n的值为20． 故答案为：50，20． （2）解：根据前面计算，补图如下： （3）解：摄影所占圆心角为： 故答案为：36． （4）解：根据题意，得（人） 答：选择绘画的有750人． 229．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年5月30日，我校举行了首届“美食节”，手打柠檬茶是最受喜爱的美食，对喜爱的原因进行问卷调查，设置了单选题，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 选项 A B C D E 喜爱“手打柠檬茶”的原因 解渴 实惠 知名度 第一次尝试 喜欢不需要理由 根据上述统计图，完成以下问题： (1)求本次调查的总人数，并补全条形统计图（要求注明人数） (2)在扇形统计图中，求E选项的圆心角度数 (3)我校有师生1500人，估计有多少师生是因为实惠而选择购买“手打柠檬茶”饮料的？ 【答案】(1)人，图见解析 (2) (3)人 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由选项A的人数及其所占百分比可求出调查的总人数，先根据条形统计图中各选项的人数与调查的总人数求出B选项人数，再补全统计图即可； （2）先根据条形统计图中E选项的人数与已求出的总人数，求出E选项所占的百分比，然后再算出E选项对应圆心角的度数． （3）用1500乘以B选项所占的百分比即可求得答案． 【详解】（1）选项A的人数为70人，所占百分比为，本次调查的总人数为：（人）． 选项D的人数为：（人） 补全的条形统计图如下： （2）选项E所占的百分比为：． 故E选项对应圆心角的度数是：． （3）因为实惠而选择购买“手打柠檬茶”饮料属于B选项， ∴（人） 答：估计有600名师生是因为实惠而选择购买“手打柠檬茶”饮料的． 230．（20-21七年级下·浙江·期末）为庆祝建党100周年，某校组织了党史知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩进行统计（成绩均为整数，满分为100分），按照成绩分成五个小组，并绘制成如下不完整的统计表和统计图： 知识竞赛成绩频数分布表 组别 成绩/分 频数 32 75 17 合计 请结合上述信息完成下列问题． (1)___________，___________，___________； (2)请补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中，小组对应的圆心角的度数是___________； (3)若全校有2000名学生，成绩在80分以上（不含80分）为优秀，根据抽样调查结果，请估计该校学生成绩优秀的人数． 【答案】(1)，， (2)图见解析，135 (3)920名 【分析】本题考查了频数分布表和频数分布直方图、扇形统计图、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用小组的人数除以其所占的百分比即可得的值，再利用的值分别乘以小组所占的百分比即可得的值； （2）根据的值补全频数分布直方图即可得；再利用乘以小组所占的百分比即可得小组对应的圆心角的度数； （3）利用全校学生人数乘以小组所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：由统计图和统计表得：， 所以， ， 故答案为：，，． （2）解：根据补全频数分布直方图如下： 小组对应的圆心角的度数是， 故答案为：135． （3）解：（名）， 答：估计该校学生成绩优秀的人数为920名． 1．阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）原式按照阅读材料提供的方法得到，利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是明确题意，可以根据材料中的例子对所求的式子进行因式分解． 2．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)1 (2)或． 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴或． 3．阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 【答案】(1) (2)时，代数式有最大值 【分析】本题考查了因式分解、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则及公式． （1）原式化为，利用完全平方公式，平方差公式分解因式即可； （2）先添括号与负号，将原式的前两项利用完全平方公式配平方，再利用非负数的性质确定最大值即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： ， ， ，即， 时，有最大值． 4．在学习整式乘法的过程中，小明和小红在计算时，出现了不同的状况．小明在计算时，把第一个多项式中前面的符号看错了，得到的结果是，小红在计算时，把第二个多项式中的看成了，得到的结果是 (1)求出代数式的值； (2)求出a与b的值； (3)请你代入a，b的值，求出这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据小明的计算，，即可求解． （2）根据小红的计算得出，结合（1）的结论，联立方程组，解方程组即可求解． （3）将，代入原式，再根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，． 因为小明的结果是， 所以． （2）解：依题意，． 因为小红的结果是， 所以， 解方程组， 得． （3）解：当，时，原题为， 所以这道整式乘法的正确结果是． 5．保护环境人人有责，垃圾分类从我做起，某市环保部门为了解垃圾分类的实施情况，抽样调查了部分居民小区一段时间内的生活垃圾分类，对数据进行整理后绘制了如下两幅统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，一共有_____吨生活垃圾； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，_____；产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是_____度； (4)假设该城市每月产生的生活垃圾为4500吨，且全部分类处理，估计每月产生的有害垃圾多少吨． 【答案】(1)200 (2)见详解 (3)25，54 (4)吨 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，补全条形统计图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，运用厨余垃圾的数量除以占比，得出一共有200吨生活垃圾； （2）运用200吨生活垃圾分别减去厨余垃圾的吨数，有害垃圾的吨数，其他垃圾的吨数，得出可回收垃圾的吨数，再补全条形统计图，即可作答． （3）运用可回收垃圾的吨数除以200，再乘，得出，结合其他垃圾的吨数除以，再乘上，得出产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角； （4）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（吨）， ∴在本次抽样调查中，一共有200吨生活垃圾； （2）解：依题意，（吨）， 补全条形统计图： （3）解：依题意，， ∴， 则 ∴产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是度； （4）解：（吨）， ∴估计每月产生的有害垃圾吨． 6．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)288000 【分析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差；图②是长为，宽为的长方形，再由长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 7．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 8．过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， 所以，，之间的等量关系是； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 所以， 所以， 因为， 所以． 9．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车，根据3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车列出方程组，然后求解即可； （2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m是整数讨论求解即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 【答案】(1)7，3 (2)加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个 (3)最多可加工铁盒19个 【分析】（1）由图可知加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张，即可求解． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意列出方程组求解即可． （3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，加工1个竖式铁容器需要长方形铁片4张，正方形铁片1 张；加工1个横式铁容器需要长方形铁片3张，正方形铁片2 张． 故如果加工竖式铁容器与横式铁容器各 1 个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3 张． （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得 解得 答：加工的竖式铁容器有10个，横式铁容器有20个． （3）解：设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得 解得 ∴在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做（片），9张做正方形铁片可做（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片 共可做长方形铁片（片），正方形铁片（片） ∴可做铁盒（个） 答：最多可加工铁盒19个． 11．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2)①：见解析；②：①中的结论改变，或 【分析】（1）过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； （2）①过点P作，根据平行线的判定和性质解答即可； ②分两种情况，结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：补全图形，如下图； 过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵，即， ∴， ∴； （2）解：①如图，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； ②：①中的结论改变， 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴ ， ∵平分，， ∴， ∵的角平分线为， ∴， ∴， ∵ ，， ∴； 如图，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵的角平分线为， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， 即； 综上所述，、与之间的数量关系为或． 12．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 【答案】(1)60° (2)①15s；②7．5s或70s 【分析】（1）利用平行线和角平分线的性质即可解决问题； （2）①首先证明∠GBC=∠DCN＝30°，由此构建方程求解即可；②分两种情形，如图③，当BGHK时，延长KH交MN于R，∠GBN＝∠KRN，构建方程即可求解；如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R，∠GBN+∠KRM＝180°，构建方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①中， ∵∠ACB＝30°， ∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°， ∵CE平分∠ACN， ∴∠ECN＝∠ACN＝75°， ∵PQMN， ∴∠QEC+∠ECN＝180°， ∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°， ∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°． （2）解：①如图②中， ∵BGCD， ∴∠GBC＝∠DCN， ∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°， ∴∠GBC＝30°， ∴2t＝30， ∴t＝15s． ∴在旋转过程中，若边BGCD，t的值为15s． ②如图③中，当BGHK时，延长KH交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN＝∠KRN， 过点K作KTPQ，则PQKTMN， ∴∠QEK=∠EKT，∠KRN=∠HKT， ∴∠QEK＝60°+t，∠K＝∠QEK+∠KRN， ∴∠KRN＝90°﹣（60°+t）＝30°﹣t， ∴2t＝30°﹣2t， ∴t＝7.5s． 如图③﹣1中，当BGHK时，延长HK交MN于R． ∵BGKR， ∴∠GBN+∠KRM＝180°， 同理可得∠QEK＝60°+t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM， ∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣t）＝t﹣30°， ∴2t+t﹣30°＝180°， ∴t＝70s． 综上所述，满足条件的t的值为7.5s或70s． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义，解题的关键在于能够准确理解题意利用分类讨论的思想求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 58 / 164 学科网（北京）股份有限公司 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3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 5．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是小明在体育课上进行跳远测试的示意图，，C为垂足．分别测得米，米，米，则小明的跳远成绩应该是（   ） A．2.19米 B．2.16米 C．2.25米 D．2.20米 题型2 同位角、内错角、同旁内角 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）图中与为同位角的是（　　） A． B． C． D． 7．（19-20七年级下·浙江温州·期末）如图，与为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线a，b，c两两相交，和是一对（   ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 9．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，已知直线a与直线b被第三条直线c所截，则的内错角是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图所示，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 题型3 平行线的性质和判定 11．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 12．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，点分别在线段上，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，直线，被直线所截，若要使，则需具备条件（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24七年级下·浙江温州·期末）如图所示，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． 题型4 二元一次方程的定义及解 16．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）属于二元一次方程的解是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若是方程的一组解，则的值为（    ） A．3 B．﹣3 C．5 D．﹣5 19．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若是二元一次方程的一个解，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知方程，则下列解满足此方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①② B．①④ C．②④ D．①②④ 题型5 二元一次方程组的解求参数 21．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知是方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则的值是（      ） A． B．1 C． D．3 24．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）若关于x，y的方程组的解为，则的值为（    ） A． B． C． D．1 25．（22-23七年级下·浙江衢州·期末）如果方程组中x与y相等，则a的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型6 二元一次方程组的解法 26．（20-21七年级下·浙江台州·期末）用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，k为常数，下列结论中成立的是（   ） A．当时， B．当时， C．不论k取什么实数，的值始终不变 D．当时，方程组的解也是方程的解 28．（24-25七年级下·吉林松原·期末）解方程组中，下列步骤能消元的是（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·浙江台州·期末）已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 30．（20-21七年级下·浙江·期末）若关于的方程组的解为，则方程组的解是（   ） A． B． C． D． 题型7 已知二元一次方程组的解的情况求参数 31．（20-21七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 32．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若关于x，y方程组有无数组解，则a与b的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 33．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）已知关于，的方程组的解满足，则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24七年级下·浙江金华·期末）若关于，的二元一次方程组的解还满足，则的值为（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 35．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的方程组，下列结论中正确的有（　　） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，； ②当时，方程组的解也是方程的解； ③无论a取什么实数，的值始终不变； ④若用x表示y，则； A．①④ B．①③④ C．②③④ D．①② 题型8 二元一次方程组的错解复原问题 36．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知关于，的方程组，甲同学看错了字母解得；乙同学看错了字母解得，则该方程组的解为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24七年级下·山东济宁·阶段检测）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么的值为（   ） A． B． C． D． 38．（22-23七年级下·四川广安·阶段检测）在解方程组时，一同学把c看错而得到，正确的解应是，那么a，b，c的值是（    ） A．不能确定 B． C．a，b不能确定， D． 39．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 40．（25-26七年级下·重庆·期中）数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步出现错误的同学是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型9 方程组相同解问题 41．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 42．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 43．（19-20七年级下·浙江绍兴·期中）若方程组与方程组有相同的解，则a，b的值分别为（    ） A．1，2 B．1，0 C． D． 44．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于，的方程组和有相同的解，则（    ） A． B． C． D． 45．（20-21七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组和的解相同，则的值为（　　） A．0 B． C．1 D．2021 题型10 二元一次方程组的应用 46．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 48．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26七年级下·浙江台州·期中）《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图①所示的算筹图用方程组的形式表述出来是类似的，如图②所示的算筹图，用方程组的形式表述为（   ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 题型11 三元一次方程组及其解法 51．（22-23七年级下·浙江温州·期中）三元一次方程组的解为（    ） A． B． C． D． 52．（23-24八年级上·河南周口·阶段检测）已知是三元一次方程组的解，那么的值为（    ） A． B．6 C．9 D．18 53．（25-26七年级下·全国·周测）设“”“”“”分别表示不同的物体，如图所示，图①、图②平衡．如果要图③也平衡，那么“？”处应放“”的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 54．（25-26八年级上·全国·课后作业）若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 55．（24-25七年级下·全国·课后作业）有甲、乙、丙三种货物，若购买3件甲货物、7件乙货物、1件丙货物，共需64元；若购买4件甲货物、10件乙货物、1件丙货物，共需79元．现购买甲、乙、丙三种货物各1件，共需（    ） A．33元 B．34元 C．35元 D．36元 题型12 同底数幂的乘法 56．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 58．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）实数满足等式，则（　　） A．20 B．100 C．200 D．1000 59．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知，，则的值为（   ） A．7 B．9 C．10 D．20 60．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型13 单项式的乘法 61．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）计算（－3a）2·a3的结果是（    ） A．－6a5 B．6a5 C．9a5 D．9a6 62．（23-24七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 63．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体，它的底面是边长为的正方形，高为，它的体积是（　　） A． B． C． D． 64．（21-22七年级下·浙江温州·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 65．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）小沈同学在计算时，他的第一步计算过程是： 则小沈这一步做法的依据是（   ） A．乘法的交换律和结合律 B．等式的基本性质1 C．等式的基本性质2 D．分配律 题型14 多项式乘多项式 66．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）计算：（    ） A． B． C． D． 67．（23-24八年级上·广东汕头·期末）计算的结果中一次项为，则常数的值为（    ） A．6 B．3 C． D． 68．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如等式，被污染的部分正确的是（   ） A． B． C． D． 69．（19-20七年级上·上海青浦·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 70．（11-12七年级下·江苏无锡·期中）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型15 已知多项式乘积不含某项求字母的值 71．（22-23七年级下·浙江·期末）要使多项式不含x的一次项，则（    ） A． B． C． D． 72．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）使 乘积中不含 与 项，则 的值为（    ） A． B． C． D．8 73．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 74．（22-23七年级下·浙江金华·期末）要使的展开式中不含常数项，则（   ） A． B． C． D． 75．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且常数项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型16多项式乘多项式与图形面积 76．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下面四个备选答案所提供的整式中，表示图中阴影部分面积的是（   ） A． B． C． D． 77．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在下列式子中，能反映如图所示的拼图过程的是(    ) A． B． C． D． 78．（21-22七年级下·浙江衢州·期末）一间厨房的平面布局如图，我们可以用多种方法表示厨房的总面积，则不正确的是（    ） A． B． C． D． 79．（20-21七年级下·浙江·期末）长方形一边长为，另一边比它小则长方形面积为（    ） A． B． C． D． 80．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）如图，一个大正方形的两个角被两个大小相同的小正方形覆盖，设覆盖部分（白色表示）的面积为，未覆盖部分（阴影表示）的面积为，则用图中所给的，来表示可得（    ） A． B． C． D． 题型17 多项式乘法中的规律性问题 81．（24-25七年级下·四川成都·期末）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着展开式中的各项的系数，则的展开式所有项的系数和是（    ） A．4050 B． C． D． 82．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段检测）我国宋代数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中记载了一个用数字排成的三角形，后人称之为“杨辉三角”（如图），此图揭示了为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，例如： 利用上述规律计算：（    ） A． B． C． D． 83．（23-24七年级下·山东聊城·期末）我国北宋数学家贾宪在1050年左右首次发现了一个奇妙的“三角形”，这个“三角形”被称为贾宪三角形，这个“三角形”第1行有1个数，第2行有2个数……第n行有n个数，不仅如此，这个“三角形”第行中的数竞与是正整数)展开式各项的系数完全吻合，如下图所示： 根据“贾宪三角形”请计算 的展开式中从左起第五项的系数为（    ） A．84 B．56 C．28 D．70 84．（22-23七年级下·广东深圳·期末）【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】由此可得：； 【应用】请运用上面的结论，计算：（   ） A． B． C． D． 85．（23-24八年级下·云南昭通·期末）在古代，数学主要服务于天文、历法、农业等领域，不同文明对数学的研究都取得了卓越的成就．古代的埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都在数学上有着独特的贡献．而在这些文明中，中国数学的发展尤为丰富和深入，“杨辉三角”正是其中一颗璀璨的明珠．杨辉是我国南宋时期的数学家，他在所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用下面所示的三角形数表解释二项和的乘方规律： 我们称这个三角形数表为“杨辉三角”．杨辉三角在数学中具有重要的地位，它不仅是一个数字阵列，更是一个数学工具，可以用来求解组合数、概率、代数等问题．此外，杨辉三角还是组合数学的基石之一，对于研究数学的其他分支如代数、几何、分析等都有着重要的影响．杨辉三角给出了展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．依据上述规律，展开式中含项的系数是（    ） A．5 B．6 C．9 D．10 题型18 整式乘法混合运算 86．（20-21七年级下·广西梧州·期末）计算结果正确的是（   ） A．2 B． C．x D． 87．（24-25七年级下·陕西西安·期末）已知，，则的值为( ) A． B． C． D． 88．（21-22七年级上·陕西咸阳·月考）已知一个多项式的2倍与的和等于，则这个多项式是（    ） A． B． C． D． 89．（20-21七年级下·浙江·期末）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外，其余5块是形状，大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（    ） ①小长方形的较长边为； ②阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为； ③若y为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值； ④当时，阴影A和阴影B的面积和为定值． A．①③④ B．①④ C．①③ D．①②③ 90．（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，正方形，点为延长线上一点，以为边向右作正方形，连结，，．若要求出的面积，只需知道（    ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 题型19 运用平方差公式进行运算 91．（22-23七年级下·浙江金华·期末）下列能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 92．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 93．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 94．（20-21七年级下·浙江·期末）下列运算，不能用平方差公式运算的是（    ） A． B． C． D． 95．（20-21七年级下·浙江·期末）在乘法公式的学习中我们常采用构造几何图形的方法研究问题，如图，边长为的正方形，剪去一个边长为b的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这个长方形的长是（    ） A． B． C． D． 题型20 平方差公式与几何图形 96．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 97．（2011·江苏南京·中考模拟）如图，在边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是（    ） A． B． C． D． 98．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为的正方形中央剪去一边长为的小正方形()，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（　　）    A． B． C． D． 99．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）如图，把一块面积为100的大长方形木板分割成2个大小一样的大正方形①，1个小正方形②和2个大小一样的长方形③后，如图摆放，且每个小长方形③的面积为16，则标号为②的正方形的面积是（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 100．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）小王叔叔改建一个边长为a米的正方形养鸡场，计划纵向扩大2米，横向缩短2米，则改建后养鸡场面积的变化情况是（  ） A．面积减少4m2 B．面积增加4m2 C．面积增加2m2 D．面积不变 题型21运用完全平方公式进行运算 101．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 102．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知实数a，b满足，，则的值是（   ） A．49 B．37 C．36 D．7 103．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 104．（22-23七年级下·江苏南京·期中）在多项式中，添加一个单项式使其成为一个整式的完全平方，则加上的单项式不可以是（    ） A． B． C． D． 105．（21-22七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为(   ) A．3 B．4 C．5 D．6 题型22 完全平方公式在几何图形中的应用 106．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，正方形与正方形的面积和为，点在线段上，点在线段上，延长交于点．若，则长方形的面积为（    ）    A．21 B．24 C．34 D．42 107．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（   ） A．B．C． D． 108．（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 109．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 110．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 题型23 求完全平方公式中的字母系数 111．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 112．（21-22七年级下·浙江金华·期末）如果是关于的完全平方式，则的值为（    ） A．6 B． C． D．12 113．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若代数式通过变形可以写成的形式，则m的值是（    ） A．5 B．10 C． D． 114．（23-24七年级下·重庆·期末）若是一个完全平方式，且为一个常数，则的值为（    ） A． B． C． D． 115．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）若关于的多项式是一个完全平方式，则常数的值是（　　） A． B．9 C．或9 D．或5 题型24 整式的混合运算 116．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题，他做对的题目是（    ） A． B． C． D． 117．（22-23七年级下·浙江·期末）下列四种说法中正确的有（    ） ①． ②若两个不等实数a、b满足，则、互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 118．（20-21七年级下·浙江·期末）若多项式可以表示为的形式．则的值是（    ） A．9 B．7 C． D． 119．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）有三个连续偶数，中间的偶数为，则它们的积为（    ） A． B． C． D． 120．（22-23七年级下·浙江·期末）有4张长为、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（    ）    A． B． C． D． 题型25 通过对完全平方公式变形求值 121．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知，，则（ ） A． B． C． D． 122．（22-23七年级下·浙江·期末）设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 123．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 124．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 125．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）已知实数，满足，．若，则（   ） A． B． C． D． 题型26 同底数幂的除法 126．（24-25七年级下·浙江台州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 127．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 128．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 129．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算的值是（　　） A． B． C． D．1 130．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 题型27 整式的除法 131．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 132．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4＋20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（    ） A．2y3﹣3xy2＋4 B．3y3﹣2xy2＋4 C．3y3＋2xy2＋4 D．2xy2﹣3y3＋4 133．（20-21七年级下·浙江·期末）如果，那么a，m，n的值分别是（    ） A．2，3，2 B．12，2，2 C．64，2，3 D．32，2，3 134．（21-22七年级下·浙江金华·期末）一个长方形操场，面积为，其中一边长为a，则另一边长为（    ） A．ab＋1 B．ab＋2 C．a＋1 D．a2b＋ 1 135．（20-21七年级下·浙江杭州·期末）一个长方体模型的长、宽、高分别是4a（cm），3a（cm），a（cm），某种油漆每千克可漆面积为（cm），则漆这个模型表面需要的油漆是（    ）千克． A． B． C． D．38 题型28 因式分解的意义 136．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 137．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知关于的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是，则另一个一次多项式是（   ） A． B． C． D． 138．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 139．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 140．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 题型29 提取公因式法因式分解 141．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）下列多项式的变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 142．（21-22八年级下·陕西西安·期中）把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（    ） A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5 143．（24-25七年级下·浙江台州·期末）多项式中各项的公因式是（   ） A．2 B． C． D． 144．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 145．（2024·安徽蚌埠·二模）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 题型30 平方差公式分解因式 146．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A． B． C． D． 147．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若，则代数式的值是（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 148．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 149．（22-23八年级上·河北唐山·期末）若，且，则值是（    ） A． B．4 C． D．5 150．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式因式分解的结果是，当取，时，各个因式的值是:,，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式，当取,时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（  ） A．102030 B．103020 C．101030 D．102010 题型31 完全平方公式分解因式 151．（24-25七年级下·浙江温州·期末）下列因式分解中，正确的个数是（   ） ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 152．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 153．（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 154．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，两条线段把正方形分割出边长分别为a、b的两个小正方形，则利用该图形可以验证因式分解成立的是（   ） A． B． C． D． 155．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）下列多项式因式分解的结果中不含因式的是（    ） A． B． C． D． 题型32 综合提公因式和公式法分解因式 156．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 157．（22-23七年级下·江苏盐城·期中）如果，，，4，，分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将因式分解，结果呈现的可能是哪句话（    ） A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学 158．（20-21七年级下·浙江·期末）下列多项式中不能分解因式的是（    ） A． B． C． D． 159．（24-25七年级下·河北承德·期末）下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（    ） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．甲的结果正确，乙的结果错误 B．乙的结果正确，甲的结果错误 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 160．（22-23七年级下·山东聊城·期末）下列式子：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型33 分式的意义 161．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 162．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 163．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若分式的值为0，则实数（　　） A． B．1 C． D．3 164．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 165．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C．或 D．且 题型34 分式的基本性质 166．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）与分式的值相等的是（   ） A． B． C． D． 167．（17-18八年级上·山东聊城·期末）将分式中的、都扩大到倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大到倍 C．扩大到倍 D．扩大到倍 168．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知，则分式的值是（   ） A．10 B． C． D．4 169．（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 170．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 题型35 分式的乘除 171．（20-21七年级下·安徽安庆·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D．x 172．（21-22七年级下·安徽合肥·期末）已知，则M等于（    ） A． B． C． D． 173．（2019·浙江杭州·模拟预测）甲､乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过相遇；若同向而行，则经过甲追上乙．那么甲的速度是乙的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 174．（20-21八年级下·河南郑州·期末）某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 175．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）原来花100元能购买某种糖果千克，由于成本上涨，糖果涨价10%，那么涨价后花100元能买到糖果(   ) 千克 A． B． C． D． 题型36 分式的加减 176．（24-25七年级下·广西百色·期末）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 177．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 178．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 179．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）有一并联电路，两电阻阻值分别为，，总电阻为R，三者的关系为：．若已知R、，则为（   ） A． B． C． D． 180．（23-24七年级下·广西百色·期末）已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 题型37 分式方程 181．（24-25七年级下·浙江·期末）若分式方程无解，则a的值为（    ） A．1 B． C．1或0 D．1或 182．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若，，则的值可能为（   ） A． B． C． D．0 183．（24-25七年级下·浙江温州·期末）马拉松赛是全民健身的热门项目，2025年乐清半程马拉松的总赛程约为21公里，在同一场比赛中选手甲每小时比选手乙快3千米，最终甲冲刺终点的时间比乙早30分钟，若乙的平均速度为每小时千米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 184．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）小慈和小溪两人同时从甲地出发，骑自行车前往乙地，已知甲乙两地的距离为，______，并且小慈比小溪先到分钟．若设小溪每小时走，所列方程为，则横线上的信息可能是（    ） A．小慈每小时比小溪少骑行 B．小慈每分钟比小溪多骑行 C．小慈和小溪每小时共骑行 D．小慈的速度是小溪的倍 185．（23-24七年级下·浙江金华·期末）某旅行社用2000元租到A客房的数量与用1600元租到B客房的数量相等，已知每间A客房租金比每间B客房租金多40元．求A，B两种客房每间客房的租金．设B种客房每间租金为x元，则可列方程为（    ）． A． B． C． D． 题型38 数据的收集与整理 186．（20-21七年级下·浙江·期末）要调查某校七年级850名学生对“天文知识”的了解情况，下列调查对象选取最合适的是（   ） A．随机选取该校七年级一个班级的学生 B．随机选取该校七年级50名男生 C．随机选取该校七年级50名女生 D．随机选取该校七年级50名学生 187．（23-24七年级下·浙江温州·期末）为了解我校“美食节”最受学生喜爱的美食，对全校1200名学生的代金券使用情况进行汇总，抽取50名学生（男、女生各25名）进行调查．在这个问题中样本容量是（    ） A． B． C． D． 188．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）要了解某地三个片区共2.7万名初中生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（    ） A．抽取某一片区的七年级学生进行调查 B．抽取三个片区的九年级学生进行调查 C．抽取某所学校的所有学生进行调查 D．按片区各抽取3所学校，对9所学校的所有学生进行调查 189．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某校为定制七、八、九年级男生的校服，要调查这三个年级男生的身高情况．下列做法中，比较合理的是（   ） A．测量八年级60名男生身高； B．随机测量该校七、八、九年级各60名男生的身高； C．查阅有关外地七、八、九年级共180名男生身高的统计资料； D．测量参加学校男子篮球队、排球队的七、八、九年级共60名学生的身高． 190．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）某校为了了解七年级12个班级学生（每班40人），课后作业用时情况，开展了一次抽样调查，那么选择下面哪个样本更合适（　　） A．以七年级每一名学生作为样本 B．以七年级每一名男生作为样本 C．以七年级每一名女生作为样本 D．每班各抽取5名男生和5名女生作为样本 题型39 条形统计图和折线统计图 191．（23-24七年级下·浙江温州·期末）我校“美食节”某摊位在四个时段销售情况如图所示，则其中销售数量增长最快的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 192．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）中华人民共和国2019-2024年全国居民人均可支配收入及其增长速度情况如图所示. （以上数据引自《中华人民共和国2024年国民经济和社会发展统计公报》） 根据以上信息，下列四个说法正确的是（　　） A．从2019到2024年，全国居民人均可支配收入增长超过12000元 B．从2021年到2022年全国居民人均可支配收入下降了 C．2019-2024年全国居民人均可支配收入实际增长速度最慢的年份是2020年 D．2019-2024年这6年中，2021年全国居民人均可支配收入增长速度最快，所以2021年全国居民人均可支配收入最高 193．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）嘉嘉与琪琪相约去跑步，两人的手机“微信运动”的步数折线统计图如图所示，则下列结论错误的是（     ） A．琪琪的步数高于嘉嘉的天数有6天 B．嘉嘉的步数逐天增加 C．在统计中的第10日，嘉嘉和琪琪的步数均达到最多 D．第11日，琪琪的步数一定比嘉嘉的步数多 194．（24-25七年级下·浙江台州·期末）统计甲和乙两个模型在百科、数学、代码、语言领域的测试成绩，得到如图所示的统计图．我们通常用的值表示甲对乙的相对优势，根据图中数据，在以下四个领域中甲对乙的相对优势最大的领域是（    ） A．百科 B．数学 C．代码 D．语言 195．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某中学开展以“我最喜爱的课后服务项目”为主题的调查活动．通过对七年级200名学生的随机调查得到一组数据，并绘制成条形统计图（不完整）．已知乒乓球与羽毛球两个项目的人数比为4∶3，则选择羽毛球的学生人数为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 题型40 频数直方图 196．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．38人 D．84人 197．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）某校24个班级在植树节进行植树活动，活动后统计了各班级植树的数量，绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含前一个数值，不含后一个数值）．根据统计结果，有两种说法：①组界为的频数是5；②一定有2个班级的植树数量相等．下列判断正确的是（    ）． A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①②都错误 D．①错误，②正确 198．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图是15名学生数学测试成绩的频数分布直方图，则成绩高于60分的人数是(    )    A．4人 B．8人 C．12人 D．14人 199．（19-20七年级下·浙江杭州·期末）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是(   ) A． B． C． D． 200．（20-21七年级下·浙江温州·期末）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在82.5kg及以上的生猪有（　　） A．20头 B．50头 C．140头 D．200头 题型41 平行线中的”拐点”问题 201．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：． (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）． 202．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知，点A，B在直线上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，P为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是_______． 203．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）如图，直线，直角三角板的角顶点A在直线上，直角顶点C和另一顶点B在两条平行线之间．的平分线交直线于点D，设的度数为． (1)如图1，若，求的值； (2)过点C的直线分别交，于点E，F（点E不与点A重合）． ①若，如图2，请判断与的位置关系，并说明理由； ②若的角平分线交直线于点G，求的度数（用含的代数式表示）． 题型42 平行线中的探究问题 204．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）在四边形ABCD中，． (1)如图1，比较大小：______（填＞、＜或＝）： (2)如图2，连接BD，作AE、CF分别平分、交BD于E、F，判断AE、CF的位置关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接AF，若，探究并写出与的数量关系． 205．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）如图，已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上的一个动点．    (1)如图1，点在段段上，，则______； (2)如果点运动到之间时，试探究之间的关系，并说明理由； (3)若点在两点的外则运动时（点与点不重合），之间的关系是否发生改变？请说明理由． 206．（20-21七年级下·浙江·期末）已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则________； （2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由； （3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论． 题型43 二元一次方程组方案问题 207．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）一直以来汽油价格总是波动调整，因此国内市场对新能源汽车的关注度逐渐提高，低碳绿色出行方式受到肯定，加上各地市对新能源汽车上牌等方面的支持，今年以来新能源汽车的月销量同比均呈现上升趋势．某汽车销售公司为提升业绩，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆A型汽车，3辆B型汽车的进价共计95万元：3辆A型汽车，2辆B型汽车的进价共计105万元． (1)若一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式： ①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定．若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则 ． A．按方式①加油更划算；       B．按方式②加油更划算； C．两种加油方式一样划算；     D．无法比较哪种加油方式更划算． (2)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (3)若该公司计划正好用250万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均有购买），请你通过计算写出所有购买方案． 208．（24-25七年级下·江苏南通·阶段检测）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 209．（24-25七年级下·浙江温州·期末）某运输公司现有190吨物资需要运往外地，拟安排A、B两种货车将全部货物一次运完（两种货车均满载），已知A、B两种货车近期的三次运输记录，如下表： A货车（辆） B货车（辆） 物资（吨） 第一次 12 8 360 第二次 18 12 ■ (1)表格中被污渍盖住的数是______． (2)第三次运输安排了5辆A货车，4辆B货车，运输物资共160吨．请问A、B两种货车每辆每次分别可以运送物资多少吨？ (3)请你通过计算说明所有可行的运输方案． 题型44二元一次方程组几何问题 210．（20-21七年级下·浙江·期末）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器， （1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ （2）现有长方形铁片a张，正方形铁片b张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则的值可能是（    ） A．2019            B．2020            C．2021              D．2022 （3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒? 211．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：）    (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板______张或裁得B型纸板______张； (2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 212．（20-21七年级下·浙江衢州·期末）如图，三个边长分别为2，3，5的正方形BIJH，DKLN，AEFG，同时放在长方形ABCD中，阴影部分对应的面积分别表示为，，，设，，且x<y． (1)AH＝______，CI＝______，GK＝______（结果用含x、y的代数式表示）． (2)若，求长方形ABCD的面积． (3)在条件（2）下，若空白部分的周长之和比阴影部分的周长之和大6，求长方形ABCD的长x和宽y的值． 题型45二元一次方程组销售、利润问题 213．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某水果店销售苹果单价8元/千克，梨单价6元/千克． (1)小明购买了苹果和梨，共支付44元，其中苹果比梨多买了2千克，求小明购买的苹果和梨的重量； (2)水果店推出一种苹果与梨搭配销售方式，若搭配方式由苹果a千克，梨b千克组成，则苹果单价下降元/千克，梨单价上涨m元/千克． ①请用含的代数式表示搭配销售方式水果平均单价________． ②按搭配销售方式购买后，发现无论m为何值，支付的金额始终与小明相同，求搭配销售方式中苹果的重量a的值． 214．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知书店的两类书籍的进货价和销售价如下表所示． 种类 文学类 科技类 进货价（元/本） 16 24 销售价（元/本） 20 30 (1)若书店销售两类书籍共90本，销售额为2100元，求这两种书籍各销售多少本？ (2)若书店销售两类书籍若干本，销售额为2400元，求此次书店的总利润为多少元？ (3)为回馈客户，书店采用促销方案销售两种书籍：买3本文学类书籍送1盒水彩笔，买3本科技类书籍送2盒水彩笔（水彩笔进货价为每盒6元）．若书店按该方案销售，购进的两类书籍和水彩笔数量恰好满足上述促销搭配方案且进货总价为2100元，求此次书店购进两种书籍各多少本？ 215．（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足球需3400元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？ (3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？ 题型46 整式的乘除中的阅读解答 216．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又例如：求代数式的最小值：∵， 又∵； ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： (1)分解因式：_______． (2)已知实数，满足，求的值； (3)当______、______时，多项式的最大值______． 217．（20-21七年级下·浙江·期末）阅读材料：若，求的值． 解：． ， ， ， ． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）比较大小：_____﹔        ______ （2）已知：，求的值； （3）已知：，求的值 218．（21-22七年级下·浙江舟山·期末）我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径．请阅读材料完成： (1)算法赏析：若x满足，求的值． 解：设则 ∴ 请继续完成计算． (2)算法体验：若满足，求的值； (3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是m、10、13．以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，延长ED交FC于P．若正方形ACFG与正方形ABDE面积的和为117，求长方形AEPC的面积 题型47因式分解的综合应用 219．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． (1)对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． (2)对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 220．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解成，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式． (1)补全以下分解因式的过程： 解： (2)请你在理解上述方法的基础上，解决下列问题： ①运用“配方法”分解因式：． ②对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解： 221．（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）（1）将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一，例如，求的最小值： 解：原式 ， 当时，取得最小值是1， 请你仿照以上方法求出的最小值； （2）非负性的含义是指大于或等于零．在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0． 请根据非负算式的性质解答下题： 已知的三边满足，求的周长． 题型48 分式方程应用题 222．（24-25八年级下·江苏·期末）某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 223．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 224．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）年月日，在嵊州氧气音乐节上，具有传承和创新精神的嵊州“六小笼”和杭州“六小龙”之一云深处科技公司组团出道，在音乐节中提供畅吃小笼包活动，体现了“小吃共富”的魅力． (1)活动现场某小笼包摊位随机每人次赠送一份小笼包，已知一份装有个肉包和个豆腐包的成本为元，装有个肉包和个豆腐包的成本为元，求个肉包和个豆腐包的成本； (2)作为小笼包“派送员”的机器狗需送货至距离出发点米处的目的地，机器狗在派送中匀速运动，由于当天地面泥泞导致机器狗工作效率降低，派送速度降低为原来的，派送来回一趟所需的时间比原来多分钟秒，求当天机器狗的派送速度． 题型49 分式方程无解问题 225．（24-25八年级上·广东广州·期末）已知，关于x的分式方程． (1)当，时，求分式方程的解； (2)当时，求b为何值时分式方程无解； (3)若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值． 226．（24-25七年级下·重庆万州·阶段检测）阅读下列材料： 在学习“分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于的分式方程的解为正数，求的取值范围．经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路，小明说：解这个关于的方程，得到方程的解为，由题目可得，所以，问题解决．小聪说：你考虑的不全面，还必须满足_______． （1）请回答：横线填什么_____． 完成下列问题： （2）已知关于的方程的解为非负数，求的取值范围； （3）若关于的方程无解，求的值． 227．（25-26八年级下·湖南衡阳·阶段检测）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”． (2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①___________（用含的式子表示）； ②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于___________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 题型50 数据与统计图表解答题 228．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）某校开设了多元活动班，设置“绘画”、“剪纸”、“舞蹈”、“摄影”四类活动课程，每名学生从中选择并且只能选择其中一类参加，学校就报名情况对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了______名学生，在扇形统计图中，n的值是______； (2)请直接补全条形统计图； (3)扇形统计图中，“摄影”对应的圆心角度数为______°； (4)若该校共有2500名学生，请估计有多少名学生选择了“绘画”． 229．（23-24七年级下·浙江温州·期末）2024年5月30日，我校举行了首届“美食节”，手打柠檬茶是最受喜爱的美食，对喜爱的原因进行问卷调查，设置了单选题，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图． 选项 A B C D E 喜爱“手打柠檬茶”的原因 解渴 实惠 知名度 第一次尝试 喜欢不需要理由 根据上述统计图，完成以下问题： (1)求本次调查的总人数，并补全条形统计图（要求注明人数） (2)在扇形统计图中，求E选项的圆心角度数 (3)我校有师生1500人，估计有多少师生是因为实惠而选择购买“手打柠檬茶”饮料的？ 230．（20-21七年级下·浙江·期末）为庆祝建党100周年，某校组织了党史知识竞赛，从中抽取了部分学生的成绩进行统计（成绩均为整数，满分为100分），按照成绩分成五个小组，并绘制成如下不完整的统计表和统计图： 知识竞赛成绩频数分布表 组别 成绩/分 频数 32 75 17 合计 请结合上述信息完成下列问题． (1)___________，___________，___________； (2)请补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中，小组对应的圆心角的度数是___________； (3)若全校有2000名学生，成绩在80分以上（不含80分）为优秀，根据抽样调查结果，请估计该校学生成绩优秀的人数． 1．阅读材料： 在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：． 解：原式 即原式 请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题． 分解因式： (1)； (2)． 2．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”． 例如：，我们称是的“3阶差分式”． 解答下列问题： (1)分式是分式的“________阶差分式”． (2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值． 3．阅读理解并解答：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解： 解：原式 例2：若利用配方法求M的最小值． 解： ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：； (2)求代数式的最小（或最大）值，并写出相应的x的值； 4．在学习整式乘法的过程中，小明和小红在计算时，出现了不同的状况．小明在计算时，把第一个多项式中前面的符号看错了，得到的结果是，小红在计算时，把第二个多项式中的看成了，得到的结果是 (1)求出代数式的值； (2)求出a与b的值； (3)请你代入a，b的值，求出这道整式乘法的正确结果． 5．保护环境人人有责，垃圾分类从我做起，某市环保部门为了解垃圾分类的实施情况，抽样调查了部分居民小区一段时间内的生活垃圾分类，对数据进行整理后绘制了如下两幅统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)在本次抽样调查中，一共有_____吨生活垃圾； (2)请根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，_____；产生的其他垃圾所对应的扇形圆心角是_____度； (4)假设该城市每月产生的生活垃圾为4500吨，且全部分类处理，估计每月产生的有害垃圾多少吨． 6．如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 7．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 8．过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 9．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 10．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要______张长方形铁片，______张正方形铁片． (2)现有长方形铁片100张，正方形铁片50张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成______个铁盒． 11．已知，点、分别是和上两个定点，的角平分线交于，点是直线上一个动点，且不与点、重合． (1)如图1，当时，请补全图1，已知，则____________； (2)如图2，平分交于，连接，设、、 ． ①当点在线段上，请证明：、与之间满足（不能直接用三角形相关知识）； ②当点在直线上运动时，、与之间的数量关系是否保持①中的结论不变？若不变，请说明理由，若发生改变，请直接写出、与之间所有其他可能的数量关系． 12．如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点以每秒2度的速度按逆时针方向旋转（，的对应点分别为，），设旋转时间为． ①在旋转过程中，当时，求的值． ②若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒1度的速度按顺时针方向旋转（，的对应点为，），请直接写出当时的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 52 / 61 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $