精品解析：广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 若，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数公式直接求解即可 【详解】由，得， ，解得或（舍去）， 故选：C 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令二项展开式中的，即可求展开式中各项系数的和. 【详解】因为， 所以令，即，可得， 即. 故选：A 3. 疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴，，三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去检测点，则不同的安排方法有（ ） A. 76 B. 88 C. 100 D. 124 【答案】C 【解析】 【分析】先将护士安排好，再对4位医生分安排去两个检测点和三个检测点两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得； 【详解】解：首先将护士安排去、两个核酸检测点中的一个有种安排方法， 再将4位医生安排去两个检测点或三个检测点， 若安排去两个检测点，则有种安排方法， 若安排去三个检测点，则有种安排方法， 综上一共有种安排方法； 故选：C 4. 设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 若，则A与B相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式计算可判断A；由条件概率与对立事件概率公式计算可判断B；由，，可得，可判断C；由已知不能说明成立判断D. 【详解】对于A选项，，若，则，不符合题意，故A选项不正确； 对于B选项，，若， 则，所以，即不符合题意.故B选项不正确； 对于C选项，因为A与B互斥，所以，又，， 所以，，所以，故，故C选项正确； 对于D选项，，不能说明成立，故D选项不正确. 故选：C. 【点睛】方法点睛：理解独立事件的判断方法，以及条件概率的计算公式是解决这类问题的基础. 5. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 6. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 【答案】D 【解析】 【详解】先把字相同的卡片看成一组， 第一步：从这5组中选出一组有种选法. 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选一张卡片有. 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学有. 所以不同的分配方案有种. 7. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件与事件B相互独立 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项； B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确； C选项，利用条件概率公式求解即可. 【详解】由题意得，所以A错误； 因为， ，所以，即， 故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确； ，所以C错误； 故选：D 8. 某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ） A. 40 B. 28 C. 20 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先分配特殊的两个人，再将剩余4个人分到两个路口，按照分组分配相关知识进行计算即可． 【详解】若小王在甲路口，小李在乙路口，则剩余4个人分到两个路口， 两个路口为人分布，共有种方案， 两个路口为人分布，共有种方案， 此时共有种方案； 同理若小王在乙路口，小李在甲路口，也共有种方案； 所以一共有28种不同的安排方案种数． 故选：B． 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，且，则 B. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从二项分布，且，则， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两点分布定义及期望即可判断选项A，由超几何分布可判断选项B，由二项分布可判断选项C，根据二项分布的期望和方差，及期望和方差的性质可判断选项D. 【详解】对于A，因为随机变量服从两点分布，且，所以，所以，所以A正确； 对于B，恰好有2只测量过该指标的概率为，所以B正确； 对于C，因为随机变量服从二项分布，则，，所以，所以C错误； 对于D，因为随机变量服从二项分布，则，，又，所以,，所以D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可. 【详解】由，得， 设切点为，则切线的斜率为， 所以有， 整理可得：， 由题意可知：此方程有且恰有两个解，令， ， ， 令，则， 所以在上单调递增，因为， 所以当时，；当时，， ①当，即时， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以只要或，即或； ②当，即时， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 所以只要，即，而； ③当，即时， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，， 所以只要或，由可得：， 由得； ④当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意； 综上：当时，； 当时，或； 当时，或， 所以选项正确，错误，错误，正确， 故选：. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是，此数列记为，其前项的和记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用数据求出数列的通项公式,进一步利用分类讨论思想的应用求出数列的和. 【详解】根据题意:当n为奇数时, ， 当n为偶数时, 对于A :当n=20时, ,故A正确; 对于B:当n=39时，,故B正确; 对于D :当第n项为偶数时, , 所以,故D正确； 对于C:当第n项为奇数时, , 所以, 故C错误. 故选:ABD. 【点睛】利用组合数的性质可以计算前个正自然数的平方和公式： 三、填空题 12. 某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是______. 【答案】 【解析】 【分析】设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B，由题意及条件概率公式可得答案. 【详解】设第1次抽到选择题为事件A，第2次抽到填空题为事件B， 则，，从而所求概率为：. 故答案为： 13. 若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】运用分类计数原理，结合排列组合知识可求解. 【详解】因为，所以有两类不同情形： （1）是两位数，都是三位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法， 又因为不可能有，可知与的排法各占一半，所以有300个满足条件的幸运数组； （2）是两位数，是四位数.先不考虑的大小，由于的首位均不能排0， 所以三个0可在五个位置中选择有种排法，两个2有种排法， 其余三个数5，6，7有种的排法，共有种不同的排法. 如果，则只有，的四个位置上的数字为0，5，6，7，共有种排法， 此外，与的排法各占一半，即， 所以，有291个满足条件的幸运数组； 综上，所求幸运数组的个数为591. 故答案为：591. 14. 已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】由题得，设图象上两点，，则有解，或，解不等式得解. 【详解】由题得， 设图象上两点，， 即有两切线的斜率分别为，， 假设函数的图象上存在互相垂直的切线， 不妨设在与处的切线互相垂直，可得， 则有解， 因为， 又因为有解， 所以， 所以 或 所以要有解，必须. 故答案为： 四、解答题 15. 设，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】先由二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，求出； （1）令，根据，即可求出结果； （2）令，根据（1）的结果，即可得出结果； （3）对原式两边同时求导，将代入求导后的等式，即可得出结果. 【详解】二项式展开式的第项为， 令，则，所以； （1）令代入得 ，所以； （2）令代入得 ， 所以 ， 因此； （3）对两边同时求导， 得到， 将代入得. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及导数的计算，属于常考题型. 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 【答案】（1）当  时，  在  上单调递增；当  时，  在  上单调递增，在  上单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并讨论和两种情况讨论函数的单调性； （2）首先将不等式变形，参变分离为 在  上恒成立．转化为求函数的最值问题，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 当  时，  在  上恒成立，此时  在  上单调递增； 当  时，，得舍去，， 当  时，  ，则  在  上单调递增； 当  时，  ，则  在  上单调递减； 综上：当  时，  在  上单调递增； 当  时，  在  上单调递增，在  上单调递减． 【小问2详解】 因为对任意  ，  恒成立， 所以  在  上恒成立， 即  在  上恒成立． 设  ，则  . 设  ，  ，则  在  上单调递减， 因为  ，  ， 所以  ，使得  ，即  . 当  时，  ； 当  时，  . 所以  在  上单调递增，在  上单调递减， 所以  . 因为  ，所以  ， 故整数 m 的最小值为 【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是将中的部分再构造函数，从而利用导数分析函数. 17. 某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. （1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； （2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 【答案】（1） （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明：依题意，.所有可能的取值为0，1，2，…，.当时，对应，概率为.当时，满足的站点对有两类组合方式： 第一类，此时为，，…，，共种； 第二类，此时为，，…，，共种； 即有种基本事件组合.所以，. ， 而，因为且，显然. 所以，. 【解析】 【分析】（1）转化为古典概率类型，即组合，与均服从集合上的离散型均匀分布，利用列举法，结合古典概率公式求解； （2）（ⅰ）根据公式，再根据（1）的结果，分别求和，即可求解； （ⅱ），分和时，，再代入期望公式求解. 【小问1详解】 根据题意，与均服从集合上的离散型均匀分布.由于两次指令独立且等概率随机选择，因此组合的所有可能结果共有种，且每种结果发生的概率相同.设事件为“数据重载”，即.此时可以是，，…，，共种情况.故. 设事件为“顺向传输”，即.在种总情况中，除去的种情况，剩下的种情况分布在与两个对立且对称的事件中.由对称性可知，包含的情况数均为种.故. 【小问2详解】 （ⅰ）由于且，对于任意一对实数，其最大值与最小值之和永远等于这两数之和，因此恒等式成立，即.根据题干中已知随机变量期望的线性可加性，有：.对于离散型均匀分布的随机变量和，其可能的取值为1，2，…，，对应的概率均为. 故. 因此，. （ⅱ）略 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，再按，，，分类求出函数的单调区间； （2）由（1）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减； 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 即，因此，即 所以实数的最小值. 19. 某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表： 气温/℃ 天数 4 14 36 21 15 以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率． （1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值； （2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值． 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2）Y的均值的最大值为11900，此时 【解析】 【分析】（1）今年9月份这种食品一天的销量（件）的可能取值为2000、3500、5000，分别计算概率，然后求数学期望即可. （2）根据气温分三段计算利润：若气温不低于，能全部销售，每件的利润是4元，则总利润可求；若气温位于，只能销售3500件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；若气温低于，只能销售2000件，每件的利润是4元，件未能销售，每件亏3元，则总利润可求；据此可求出的数学期望的最大值以及对应的的值. 【小问1详解】 X的可能取值为2000，3500，5000． ，，． 故X的分布列为 X 2000 3500 5000 P 0.2 0.4 0.4 ． 【小问2详解】 由题知，这种食品一天的需求量最多为5000件，最少为2000件． 当时， 若气温不低于30℃，则； 若气温在内，则； 若气温低于25℃，则． ． 当时，取得最大值11900． 故Y的均值的最大值为11900，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 若，则=（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 疫情期间，某医院召集4位医生，1位护士共5人赶赴，，三个核酸检测点进行核酸采样工作，每个检测点至少派1人，且护士不去检测点，则不同的安排方法有（ ） A. 76 B. 88 C. 100 D. 124 4. 设A，B是两个随机事件，且，，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 若，则A与B相互独立 5. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片各2张（同字卡片颜色不同），同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ） A. 120种 B. 210种 C. 1440种 D. 2880种 7. 甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件与事件B相互独立 C. D. 8. 某居委会派小王、小李等6人到甲乙两个路口做引导员，每人去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若小王和小李不能去同一路口，则不同的安排方案种数为（ ） A. 40 B. 28 C. 20 D. 14 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量服从两点分布，且，则 B. 某实验室有6只小白鼠，其中有3只已经测量过某项指标，若从这6只小白鼠中随机取出3只，则恰好有2只测量过该指标的概率为 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从二项分布，且，则， 10. 已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ） A. B. C. D. 11. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．如图示，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和，其前10项依次是，此数列记为，其前项的和记为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某中学举办诗词大会选拔赛，选手需要从7道选择题，3道填空题中任选2题作答，每次随机抽取一道题，抽出的题不再放回，甲同学在第1次抽到选择题的条件下，第2次抽到填空题的概率是______. 13. 若三个正整数的位数之和为，且组成的个数码能排列为则称为“幸运数组”，例如是一个幸运数组.则满足的幸运数组的个数为__________. 14. 已知函数的图象在某两点处的切线相互垂直，则实数a的取值范围为____. 四、解答题 15. 设，求下列各式的值： （1）； （2）； （3）． 16. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值 17. 某气象观测网在沿海某干线上部署了个自动气象站，按照自南向北依次编号为1，2，…，.为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令.每次指令均从这个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）.记第一次指令选中的气象站的编号为，第二次指令选中的气象站编号为. （1）若两次指令选中同一个气象站，则会引发“数据重载”；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为“顺向传输”.请分别计算触发“数据重载”与“顺向传输”的概率； （2）为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况，将与中的较大值记为（即相对偏北的站点编号），将与中的较小值记为（即相对偏南的站点编号）. （ⅰ）记两次指令的选中编号之和为，即，求； （ⅱ）定义两次指令的空间跨度，证明：. （参考公式：） 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求实数的最小值． 19. 某地政府为了帮助当地农民提高经济收入，开发了一种新型水果类食品，该食品生产成本为每件8元．当天生产当天销售时，销售价为每件12元，当天未卖出的则只能卖给水果罐头厂，每件只能卖5元．每天的销售量与当天的气温有关，根据市场调查，若气温不低于30℃，则销售量为5000件；若气温在内，则销售量为3500件；若气温低于25℃，则销售量为2000件．为制定今年9月份的生产计划，统计了前三年9月份的气温数据，得到下表： 气温/℃ 天数 4 14 36 21 15 以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率． （1）求今年9月份这种食品一天的销售量X（单位：件）的分布列和均值； （2）设今年9月份一天销售这种食品的利润为Y（单位：元），这种食品一天的生产量为n（单位：件），若，求Y的均值的最大值及对应的n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $