重庆市南开中学校2026届高三5月质量检测数学试题

高2026届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 B D A B D C B BCD AC ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.B【解析】集合A=(-∞，3]，B=(0,+∞)，则A∩B=(0,3],选B. 20【解折12===-2+2，选C 3.D【解析】a1-a1=6d=28-4=24,则d=4,所以a3=a1+2d=4+8=12,选D. 4.A【解析】在△ABC中由余弦定理得：a2=b2+c2-2 be cosA49=25+c2+10c→c=3,则c=3,选A. 5.B【解析】由题意：函数f(x)关于x=1对称，且在(1，+0)上单调递增，则1t+1-1|≥12t-1-1 1,得e(仔2小，选B 6D【解析】原式展开化简得3anaa5+(ana+anS)=3,则am(a+B)三aag子 6.D B-31 anotanp=3,又a,B是锐角，则a+B=写，选D. 1 -tanatanB 7.C【解析】△PQF1周长=QF1+PQ+PF1=QF1+PQ+PF2+2a≥QF1+QF2+2a=2QF2+2a=12 (P,Q,F2三点共线时取等)，由a=1,得QF2=5,又在Rt△Q0F2中，16+c2=25,得c=3,所以b =2W2,选C. B 8.B【解析】点A在底面的射影点为M,有AM⊥面CDM,则CM=√+= 5,且∠ACM=牙，则AM=5,即圆台的高为h=5,则圆台的母线长L =V(G-)P+F=6,则侧面积S=2(2m,+2m,)1=36m,选B 数学试题参考答案第1页（共6页） 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.BCD【解析】对于A选项，因为f(0)=1,所以A错误 对于B选项，)x)成立，所以B正确 1、1 对于cl计.所以c正 1+2 对于D选项，因为)=-1+子1，故该函数在(0，+0)单调递减，又由A知该函数为偶 函数，且|x2+11≥12xl,结合函数图象可知f(1+x2)≤f(2x),所以D正确. 故选BCD. 10.AC 【解析】对于A选项，由题可得∠DF,O=牙，所以直线MN的 倾斜角为牙或3，斜率k=±1；所以A正确， F 对于B选项，在Rt△ODF1中，D0=DF1=1,F,0=2,所以b =1,c=2,a=3,所以高心率e=,所以B结误 对于C选项，设直线MN:y=±x-√2，联立椭圆得：4x2-6√2x+3=0,所以1MW1= 21-1=2·=,所以C正确， 对于D选项，Sam=N11-汽，所以D错误 故选AC. 11.ABD【解析】由题知g(x)=cos[2(x+p)]=cos(2x+2p), 对于A选项，g(x)=cos(2x+牙)=-sin2x,所以A正确， 对于B选项，将红-p(ke2Z)代入，则2+2p=2-+2p=m是余弦函数的对 称轴，所以B正确。 对于C选项，)·g(x)=co2rcos(2x+2p)=2(eos2g+c0s(4x+2p),所以最小正周 期为T-2π=2，所以C错误 对于D选项，f(x)+g(x)=cos2x+cos(2x+2p)=2cos(2x+p)cosp,所以该函数的最大值 为12cosp=1,解得9=牙，所以D正确 故选ABD. 数学试题参考答案第2页（共6页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 13 2 【解析】6+2a=(5,x+4),所以5+2x+8=0,解得x=-3 19号 【解析】四局比赛结束共有两种情况，所以P(A)=G 12 1 3 327,而 110 8 27 4 10- 27 14.985 x+y=1 【解析】由题意，暗码8坐标为(1,2)即 x+y=4,x=1 2y-=2'“l2y-1=5y=3 ,此坐标原码为9 x+y=3 x+y=3x=1 暗码3坐标为(3,3)即 → 2y-1=3…2y-1=3y=2 。,此坐标原码为8 暗码9坐标是题中示例，对应原码为5，所以原码为985. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 解，(1油题海高0则2这果名-司》 an+122a-2 (3分) an+1 又a1=1,得1-1=1 a,220, (4分) 所以公是以为首项，2为公比的等比数列. … (5分) 2))得-2份-分厂所-+（份八aeN). (6分) <2026, (8分) 其中0<1-（分”<1，则5<分+1-（分”<号+1≤2026，则n≤4050，… (10分) 验证n=4030时，5am-40501-(日 4050 <2026, (12分) 则满足条件的最大正整数n=4050. (13分) 数学试题参考答案第3页（共6页） 16.（15分) 解：(1)当m=1时，x)=-2+x+3m(x+1),则f()=-(-2x+2) …(2分) x+1 当xe[0,2),f'(x)>0,f(x)单调递增；当xe(2,3],f'(x)<0,f(x)单调递减， …(3分) 所以x∈[0,3]时，最大值f2)=3ln3 又f0)=0,f3)=-号+3n4>0,所以最小值为f0)=0 (5分) 所以函数f(x)在[0,3]的值域为[0,3l3]… (6分) (2)f(x)=-mx+1+2m+1--m2-(m-1)x+2(m+1=-(x+2)(mx-(m+1)） (8分) x+1 x+1 x+1 ①当m=0时，f(x)=x+ln(x+1)在(-1，+o)上单调递增，不满足题意；… (9分)》 ②m0,令f()=0,有名=-2=0，其名=-2E(-1,+)月 当m>0时，x2>0, 有x∈（-1，x2),f(x)>0x∈(x2,+∞)，f(x)<0,此时：2为极大值点，不满足题意；…(11分) 当m<0时， 需要，=m+1>0,解得m<-1, (12分)》 m 有x∈（-1，x2),f'(x)<0;x∈(x2,+o),f'(x)>0,此时x2为极小值点，… (14分) 综上，实数m的取值范围(-0，-1).… (15分) 17.(15分) 解：(1)：女员工样本中位数为38.5，由写×50%=0.1， 六35+(0.1-0.015-20）x5=38.5,解得0=0.025. 0.05 (5分) (2)由样本数据，调查了300名男员工，200名女员工… (6分) 由频率分布直方图，其中青年女员工为：200×(0.015+0.025+0.025)×5=65名 … (7分) 由等高堆积条形图，则青年男员工为：300×0.45=135名 …… (8分) .2×2列联表为： 男 女 合计 资深员工 165 135 300 青年员工 135 65 200 合计 300 200 500 (10分) 零假设H。:样本中员工年龄层次与性别无关联 … (11分) X=500×165x65135x135)2=7.8125<7.879 300×200×300×200 (13分) 根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成立， 样本中企业员工的年龄层次与性别无关联。… …(15分) 数学试题参考答案第4页（共6页） 18.(17分) 解：(1)由AB=AC,故△ABC为等腰三角形，A0=20D, 设D(-m,0),A(2m,0),B(-m,-n),C(-m,n),m>0,n>0, ∴.B0=(m,n),BA=(3m,n),BC=(0,2n) …… (2分) .B0.BA=3m2+n2=7D02=7m2,解得n=2m (4分) .1BC1=4m,|BA1=√13m, BA-13.… (5分) (2)(i)如图空间坐标系，切点P(xp,0,er),则切线斜率k=z'(x)=eP, .切线为：名-e即=eP(x-xp）,交x轴为xD=xp-1,（*）… (6分) 令xD=x<0,由(1)知|BC1=4|xl,IAD=3|x 1 三棱锥P-ABC,底面积Saac=2·4xl·3引x=6r,高h=e”=e1 体积V=号Se·h=写·6x.e1=22e (8分) 令f(x)=2x2e+1,则f(x)=2(x2+2x)e*+1,由于x<0 ∴.当x∈(-2,0)时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(-0，-2)时，f'(x)>0,f(x)单调递增； (10分) 当x=-2时，x)取得最大值为f(-2)=8 … (11分) (2)(i)由题意P(xp,0,eP),由(*)式，xn=xp-1, ∴.B(xp-1,2(xp-1),0),C(xp-1,-2(xp-1),0),A(2(1-xp),0,0), .AB=(3(xp-1),2(xp-1),0),AP=(3xp-2,0,eP) (13分) 设二面角B-PA-C的平面角为0，又由图形知，此时二面角关于xOz平面对称，则二面角B-PA- D的平面角为号， 设平面BPA法向量元=(x00,),则 (n1AB=3(xp-1)%o+2(xp-1)yo=0 n.AP=(3%p-2)%o+e"zo=0 令61.听-1252 (14分) 由xp>1,令t= 3xp-2 ep>0, 平面DPA法向量n2=(0,1,0) … (15分) 3 n1·n2 2 3 则cos21n1.127 当：最大时，0号最小，0最大 …(16分)》 13√4t2+13 2+ 必时--2当，c1时>0年调遥蜡当（信，+时<0单别遥或。 当p三3时，二面角B-PA-C的取得最大值.…一 (17分) 数学试题参考答案第5页（共6页） 19.(17分) 解：(1)由AB垂直于x轴时，AB1=4,不妨设A52,代人2=2x(p>0),解得p=2…(3分) (2)(i)设直线4B:=y+1=,则CD:x=2g+4设4()，B(2,C(),D(x) 联得-40小 34 …(5分)》 y1·y2=-4 -2+4得：y产-8-16=0÷+%=80 联立=4x 16 …(7分) 3y3·y4=-16 ·y4= 所以+=8=2+)即2- Y3 整理得：-2，小+)=0“(8分) 由A,C两点在第一象限，得y3=2y1① 同理y4=2y2②… …(9分)》 所以直线AC:y-=二(x-x),代入=4：，化简得)=4e+9 x3-x1 y1+y3 同理直线BD:得y= 4x +y2y4 (11分) y2+y4 联立直线AC,BD方程，并代人①，②化简整理： 4g+_4+2.4+21_4+22x-g）=-2 y1+y3 y2+y43y1 3y2 2(y1-y2) 即点E在定直线x=-2上 …… (12分) 在中代人2解y2-=号 。,。，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。意。意。。t。。。。。、7 即E-2劉 直线E0方程为：y==>0…(14分) 由△OMN的面积S=46=)10M1·lyw1代入10M1=4,<0, 31 Γ2 则w子6 (15分) -4t 6 3* 代入E0,CD的方程组 0E:y= 3七 → (16分) CD:x=2ty +4 x=- 5+4 消去，解得1=则k= 3· (17分) 数学试题参考答案第6页（共6页）高2026届高三年级质量检测 数学试题 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.已知集合A={x1x≤3引，B={xI2*>1},则AnB= A.(1,3] B.(0,3] C.(0,+∞) D.（-0,3] 2.已知复数：=（为虚数单位），则： A.2+2i B.2-2i C.-2+2i D.-2-21 3.已知等差数列{a,}满足a1=4,a,=28,则a4= A.18 B.16 C.14 D.12 4.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=7,b=5,A=120°，则c A.3 B.39 C.8 D.√109 5.已知函数f八x)=e-2“,若f代t+1)>f2t-1),则实数t的取值范围是 A.(1,2) B层2 C.(-∞，2) D.(2,+0) 6.已知锐角a,B满足(1+5tana)(1+3tanB)=4,则a+B= 3酒 B.3 D号 7已知双曲线C:2-卡=1(>0)的左，右焦点分别为R、5,动点P为双简线右支上任意一点，点 Q(0,4),若△PQF,周长的最小值为12，则b= A./10 B.3 C.22 D.6 8.已知圆台0，O2,上底面直径AB为2，下底面直径CD为4，当AB⊥CD时，直线AC与圆台底面所成夹 角为：，则该圆台的侧面积为 A.35π B.36m C.65π D.66m 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9已知函数)5周 A.-1<f(x)<1 B.f代-x)=f八x) C当0时 =-f八x) D.Vx∈R,不等式f(1+x2)≤f2x)恒成立 短轴为直径的圆0相切于点D,LD0F=牙，则 A.直线MN的斜率k=±1 B椭面C的离心率为号 C.IMNI=3 D.△OMN面积为9 11.已知函数f(x)=cos2x,将f八x)的图象向左平移p(0<p<罗)个单位长度得到函数g(x)的图象，则 A.当p=年时，g(x)=-sin2x B.函数g()图象的对称轴为6=7-p(keZ) 2 C.函数f(x)·g(x)的最小正周期为π D.若函数f(x)+g(x)的最大值为1，则p= 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知平面向量a=(1,2),b=(3,x),若a1(b+2a),则x= 13.甲、乙两名网球选手进行网球比赛，比赛采用五局三胜制，即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束， 甲每局获胜的概率为子，乙每局获胜的概率是}，每局比赛结果相互独立，记事件A为四局结束比 赛，则P(A)= :又记事件B为甲获得比赛胜利，则P(B1A)= 14.密码学是一种编译密写技术的科学，其中原式信息为原码，对应的保密信息为暗码，将明码转化为 暗码的方式称为加密算法.现有某加密算法F:通过特定的坐标转换公式，将如图所示的3×3数字 矩阵中原码数字的坐标转换为暗码数字的坐标.将位于第x行第y列的数字m的坐标记作(x,y), 如数字5的坐标为(2,2)：记函数为k= (k1≤k≤3 k-34≤k≤6 该加密算法F的转换公式为：(x,）P (x+y,2y-1),如坐标为(2,2)的原码5，在F算法下被转化为坐标为(1,3)的暗码9.已知某原码 在F算法下的暗码为“839”，则该原码为 第1列 第2列 第3列 第1行 > e 9 第2行 4 5 6 第3行 2 3 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列{a,满足a1=l,且a1= 4a。 a +2(nEN). ()求证：数列仁-是等比数列： a,2 (2)设S,=++…+,若3，<2026，求满足条件的最大正整数 16.(15分) 已知函数f代x)=-2+x+(2m+1)h(x+1)(x>-1,且meR) (1)当m=1时，求函数f代x)在xe[0,3]上的值域： (2)若函数f(x)存在极小值点x,且0>0，求实数m的取值范围。 17.(15分) 为了解某大型企业员工的性别、年龄构成，对该企业员工按性别、年龄比例抽取500人作为样本，其 中女员工有200人，女员工年龄结构的频率分布直方图如下，已知这200名女员工年龄的样本中位 数为38.5岁 (1)求频率分布直方图中a的值： (2)已知35岁以下为青年员工，35岁以上为资深员工，根据等高堆积条形图和频率分布直方图数 据，完善2×2列联表依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为样本中员工的年龄构 成与性别有关联？ 女员工 1.0d □ 资深员工 0.4 0.015 青年员工 0.00 2025303540455055年龄 女员工男员工 n(ad-be)2 男 女 合计 参考公式X=(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)' 资深员工 其中n=a+b+c+d. 临界值表： 青年员工 a 0.0100.0050.001 合计 200 500 6.6357.879 10.828 18.(17分) 给定如图所示的空间直角坐标系0-z在平面xOy内，点A,D在x轴上，A0=2Oi,AB=AC,D 为BC中点，B0.B=7D (①)求器 (2)在平面x0z内，过点D作函数图象z(x)=e的切线，切点为P(xp,0,p): (ⅰ)若点D在x轴负半轴上，求三棱锥P-ABC体积的最大值； (ⅱ)若xp>1,当二面角B-PA-C的平面角最大时，求xp的值 (x)= 19.(17分) 已知抛物线T:y2=2x(p>0),过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，当AB垂直于x轴 时，lAB1=4. (1)求p的值： (2)过点M(4,0)作直线交抛物线于C,D两点(A,C两点在第一象限)，记直线AC与直线BD的交 点为E,其中直线B的斜率为k,直线CD的斜率为宁 (i)求证：点E在定直线上； (i)当k>0时，设直线E0交直线CD于点N,且△OMN的面积为4,5，求k的值 3