精品解析：广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷

广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知，集合，，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2. 设复数，其中是虚数单位，若为纯虚数，则实数a＝(　　) A. B. C. 或 D. 3. 已知四面体的所有棱长都等于，，分别是棱，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天的课表的不同排法种数有（ ） 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 英语 历史 星期二 星期三 星期四 A. B. C. D. 5. 若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 A. B. C. D. 6. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆过点 10. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点的轨迹长度为 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 存在唯一的点满足 D. 存在点满足 11. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 （ ） A. B. 是奇数 C. D. 三、填空题 12. __________. 13. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 14. 设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为______； 四、解答题 15. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 16. 已知，其图象一个对称轴为， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 17. 如图，所在平面与菱形所在平面垂直，且，，点为中点，点在线段上且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知平面内的动点到两定点,的距离之比为. （1）求点的轨迹方程; （2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于不同两点、,为坐标原点，求的面积. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，方程有且仅有一个解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东东莞市第十三高级中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷 一、单选题 1. 已知，集合，，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素和集合的关系可知且，即可求出，的值，问题得以解决． 【详解】，，，，， 且， ， ，， ． 故选：． 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数和指数的运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 2. 设复数，其中是虚数单位，若为纯虚数，则实数a＝(　　) A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用复数运算法则化简，再利用复数类型求解即可. 【详解】， 是纯虚数，则：，解得：. 故选： 3. 已知四面体的所有棱长都等于，，分别是棱，的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将，再由数量积公式求解即可. 【详解】如图：，分别是，的中点， ， 空间四面体的每条棱长都等于， 每个面都是等边三角形， . 故选：D. 4. 某教师要把语文、数学、外语、历史四个学科排到如下的课表中，如果相同科目既不同行也不同列，星期一的课表已经确定如下表，则其余三天的课表的不同排法种数有（ ） 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 英语 历史 星期二 星期三 星期四 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】周二、周三和周四的第一节课可以把除去语文以外的三节课全排列，结果是，然后考虑某天第一节排数学这天第二节课的安排，不妨假设星期二第一节课排数学课，星期三第一节排外语课，星期四第一节排历史课，列举出符合条件的课表，然后利用分步计数乘法原理求解即可. 【详解】由题意可知，周二、周三和周四的第一节课可以把除去语文以外的三节课全排列，有种， 接下来考虑排某天第一节排数学这天第二节课的安排，不妨假设星期二第一节课排数学课， 星期三第一节排外语课，星期四第一节排历史课. 若星期二第二节课排语文课，则课表可以为下面两种情况： 表1 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 数学 语文 历史 外语 星期三 外语 历史 语文 数学 星期四 历史 外语 数学 语文 表2 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 数学 语文 历史 外语 星期三 外语 历史 数学 语文 星期四 历史 外语 语文 数学 若星期二第二节课排外语课，则课表如下表所示： 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 数学 外语 历史 语文 星期三 外语 历史 语文 数学 星期四 历史 语文 数学 外语 若星期二第二节课排历史课，则课表如下： 第一节 第二节 第三节 第四节 星期一 语文 数学 外语 历史 星期二 数学 历史 语文 外语 星期三 外语 语文 历史 数学 星期四 历史 外语 数学 语文 综上所述，共有种不同的结果. 故选：C. 【点睛】本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 5. 若是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据韦达定理求出，，不妨设，根据题目信息列式即可求出答案. 【详解】因为是函数的两个不同的零点， 所以，， 不妨设，所以成等差数列，成等比数列， 所以，解得，所以， 所以. 6. 已知直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，点是线段的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出恒过的定点，求出恒过的定点，由题可得，进而可得点轨迹，根据圆的性质结合条件得到点的轨迹，求出，则，代入相应的数据得解. 【详解】整理为，设， 解得，即直线恒过点， 整理为，设， 解得，即直线恒过点， 当时，，，则， 当时，的斜率为，的斜率为，， 则， 直线与直线相交于点， 这条直线的斜率一定存在，此直线不可能为这条直线， 这条直线的斜率一定不为0，此直线不可能为这条直线， 直线与直线相交于点， 不可能为点， 直线与直线相交于点， 点是以，为直径端点的圆上的点， ，的中点为，， 点的轨迹方程为，去掉点， 线段是圆的一条动弦，点是线段的中点， ，， ，， 的轨迹是以为圆心，为半径的圆， ，， ， . 故选：D. 7. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，由此构造函数，利用导数判断其单调性结合对数运算，即可得出答案. 【详解】由题意可知， 于是构造函数，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 而， 又，故， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答数的比较大小问题，关键是将数的形式转化为结构一致的形式，从而确定变量，可构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较大小. 8. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块．甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验指尖非遗”，“甲体验潮玩非遗”，“乙体验舌尖非遗”，则（ ） A. 与对立 B. C. 与相互独立 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题，结合排列组合知识依次计算总的样本点数，事件，，，包含的样本点数，依次判断选项即可. 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验，则必有1名游客选择2个主题，其余2人选择1个主题， 则总的样本点总数为：， 对于A选项，甲可能同时体验两个主题，所以事件与不对立，故A错误； 对于B，事件“甲体验指尖非遗”，分两种情况： 当甲只选“指尖非遗”时，则剩余2名游客有名游客选择两个主题，另外1人选择1个主题，所以样本点数为：， 当甲选两个主题，其中一个是“指尖非遗”时，则甲从剩下3个选一个主题，则剩余的2主题分配给乙，丙，所以样本点数为：， 所以事件包含的样本点数为， 故，故B正确； 同理，， 对于C，事件表示甲选“指尖非遗”且乙选“舌尖非遗”，分三种情况讨论： 当甲选2个主题，其中一个是“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙选2个主题，其中一个是“舌尖非遗”，此时的样本点数为：， 当甲只选“指尖非遗”，乙只选“舌尖非遗”，则丙选剩下的两个主题，此时样本点数为：1， 所以事件包含的样本点数为：，所以， 由于， 所以与不独立，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：BD 二、多选题 9. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ） A. B. C. D. 以为直径的圆过点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质求出的值，可得出抛物线的方程，设、，分析可知为的中点，利用点差法可求得直线的方程，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，写出两切线的方程，联立两切线的方程，求出点的坐标，逐项判断可得出合适的选项. 【详解】抛物线的焦点到准线的距离为，所以，抛物线的方程为， 设、，由可知为的中点， 所以，且，， 由可得， 所以，直线的斜率为，则直线的方程为，可得， 联立可得，所以，， 对函数求导可得， 所以，切线的方程为，即， 同理可知，切线的方程为， 联立可得，即点， 易知抛物线的焦点为，所以，，A对； 因为直线过点，所以，，B错； 因为，，所以，，所以，故C正确； 因为，且为的中点，所以，， 因此，以为直径的圆过点，故D正确. 故选：ACD． 10. 如图，已知正方体的棱长为，点为的中点，点为正方体上底面上的动点，则（ ） A. 满足平面的点的轨迹长度为 B. 满足的点的轨迹长度为 C. 存在唯一的点满足 D. 存在点满足 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可以证得点的轨迹，进而判断A；建立空间直角坐标系，得到，，且，，进而对BCD各个选项进行计算验证即可判断并得到答案． 【详解】对于A，取的中点，的中点，又点为的中点， 由正方体的性质知，平面，平面 所以平面，同理平面，，平面， 所以平面平面，又平面，平面， 故点的轨迹为线段，故A正确； 以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，设且，， ，，， 对于B，，即， 又，，则点的轨迹为线段， ，且，故B正确； 对于C，， 显然，只有，时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确； 对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短， 故，故不存在点满足，故D错误． 故选：ABC． 11. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为，则 （ ） A. B. 是奇数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据递推公式求出即可判断A；观察数列的奇偶特点即可判断B；根据递推公式，结合累加法即可判断C；根据递推公式可得，结合累加法计算即可判断D. 【详解】对于A，由，且，可得斐波那契数列：，，，，，，，，故故A正确； 对于B：由斐波那契数列：，，，，，，，，，，，， 可得每三个数中前两个为奇数，后一个偶数，且，所以是奇数，故B正确； 对于C：因为， 相加可得：，故C错误； 对于D：因为斐波那契数列总满足，且， 所以， ， ， 类似的有，， 其中 累加得， ， 故：，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂和对数的运算求解. 【详解】原式. 故答案为：. 13. 已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由得到重心与内心纵坐标相等，得出P点纵坐标与内切圆半径关系，继而用三角形面积的两种表示方式结合双曲线定义求出，最后用余弦定理结合正弦值计算离心率. 【详解】设双曲线E方程为， 则重心， 因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以， 因为的面积， 代入得， 不妨设， 则有， 在中，由余弦定理得， 即， 因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 14. 设全集，，，若，则实数a的所有取值构成的集合为______； 【答案】 【解析】 【分析】先求出，分和两种情况，得到相应的方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得，又，故， ，若，满足，此时，即； 若，也满足，此时，解得； 故实数a的所有取值构成的集合为. 故答案为： 四、解答题 15. 2024年10月13日，成都市将举办马拉松比赛，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.成都市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值; （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第百分位数; （3）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率乘以组距等于，可求得 （2）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的计算方法即可求解； （3）先计算出第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，由题意，再根据分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由图得， 解之可得； 【小问2详解】 根据题意知， ，， 设第百分位数为，所以， ，解之可得， 故这名候选者面试成绩的平均数为，第80百分位数为. 【小问3详解】 设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为， 且两组的频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 ， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为. 16. 已知，其图象一个对称轴为， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围； （3）将看做整体，结合函数的最小值，确定，即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以， 所以； 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为函数上有个不同的零点， 令，即， 根据题意有：，即，解得， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以，解得， 所以， ，即，所以， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为：. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将看成整体，再根据正弦函数的单调性，值域解析本题. 17. 如图，所在平面与菱形所在平面垂直，且，，点为中点，点在线段上且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 【答案】(1)见证明；(2) 【解析】 【分析】（1）取中点中点，连．在菱形中可得，根据所在平面与菱形所在平面垂直可得平面，进而得．又可得，，所以，于是可得平面，再根据线面垂直的性质可得．（2）由平面平面，可得平面，再由条件得点到平面的距离．又可得，且，于是，根据可得解． 【详解】（1）如图，取中点中点，连， 因为四边形为菱形且， 所以． 因为所在平面与菱形所在平面垂直，平面平面， 所以平面， 因为平面， 所以． 又点为的中点，， 所以． 因为， 所以， 所以， 因为， 所以平面， 因为平面， 所以． （2）由平面平面，可得平面， 由，可得点到平面的距离． 由菱形中，点为中点，可得， 且， 所以的面积 所以三棱锥的体积． 又， 所以三棱锥的体积为． 【点睛】证明空间中的垂直关系时要注意三种垂直间的相互转化，解题时要认真分析图形的特点，从中发现证题的思路和方法．求三棱锥的体积时要注意等体积法的应用，合理选择求解的角度进行计算，属于中档题． 18. 已知平面内的动点到两定点,的距离之比为. （1）求点的轨迹方程; （2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于不同两点、,为坐标原点，求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由题可知,设,结合距离公式可得到关于的方程,即为点的轨迹方程; （2）先求出直线的方程,然后分别求出弦长及原点到直线的距离,再利用三角形面积公式可得到答案. 【详解】（1）设,则由题设知,即, 化简得,. 故点的轨迹方程为. （2）易知直线方程为，即, 则圆心到直线的距离为， 则， 又原点到直线的距离为， 所以的面积为. 【点睛】本题考查了轨迹方程的求法,考查直线与圆的位置关系,考查了弦长的求法,考查了三角形面积公式的运用,考查了计算能力,属于基础题. 19. 已知函数，. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，方程有且仅有一个解. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）分类讨论参数的值，利用导数证明单调性即可； （2）构造函数，利用导数得出其单调性，结合，即可得出结论. 【详解】（1） 当时，；或 在，上单调递减，在上单调递增 当时， ； 在上单调递减，在上单调递增 当时，或； 在，上单调递增，在上单调递减 当时，，则在上单调递增 （2）当时，，令 ， ； 在上单调递减，在上单调递增 ，即 即在上单调递增，且 有且仅有一个解 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $