精品解析：广东省东莞市东华高级中学2025届高三下学期四月月考数学试题

2025年东华高级中学高三年级四月月考 数学 本试卷总共19小题，试卷满分120分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题总共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若则的最小值为（ ） A B. C. D. 3. 设复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 定义在正整数集上，并且满足下面的两个条件：①对任意的正整数，②对于任意的非负整数则（ ） A. 3578 B. 3580 C. 3571 D. 3581 5. 芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为 6. 若存在一实数，使得对于任意实数和任意恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 若，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题总共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2~3个正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 有6个红色球，3个蓝色球和3个黄色球.将这些球放在一条直线上按序排列，假设同色球没有区别.下列说法中正确的有（ ） A. 将这12个球全排列，不同的方法共有种 B. 让蓝色球和黄色球不相邻的方法有种 C. 让同色球不相邻的放法有100种 D. 不考虑球的顺序，将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同），要求每一组内红球与蓝球的个数和不同的分法有24种 10. 已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（ ） A. 若，则“回归数列” B. 若为等比数列，则为“回归数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 D. 对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 11. 平面内到定点、轴、轴距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C. 的最大值为 D. 在第一象限对应的双曲线的离心率为 三、填空题：本大题总共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 13. 类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为______. 14. 1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则________. 四、解答题：本大题总共5小题，总共77分.解答题应写清解答、证明步骤. 15. 如图，P为抛物线上在x轴下方的一点，直线与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A，B，C，与x轴正半轴分别相交于点M，N，Q，且，直线的方程为． （1）当时，设直线的斜率分别为，证明：； （2）记点A、C到直线的距离分别为，，求的取值范围． 16. 甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. （1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. （2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. （3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜概率. 17. 已知等差数列的前项和为，且满足，公差． （1）若成等比数列，求数列的通项公式； （2）是否存在数列，使得对任意的，仍然是数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的公差；若不存在，说明理由； （3）设数列的每一项都是正整数，且，若数列是等比数列，求数列的通项公式． 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在个中性氢原子，其辐射强度称为辐射强度达到了级．已知某星系辐射强度满足，求证：该星系的辐射强度没有达到级． 19. 在空间直角坐标系Oxyz中三元方程可表示曲面.例如，方程表以为球心，1为半径的球面.已知曲面的方程为与坐标平面Oxy的交线为，平面过点，且法向量为. （1）求平面的方程; （2）若在曲线上，求|PQ|的最大值，并说明理由. （3）空间中是否存在定点M，使得上任意一点到的距离与到平面的距离之比为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年东华高级中学高三年级四月月考 数学 本试卷总共19小题，试卷满分120分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本大题总共8小题，每小题5分，共40分. 1. 设集合，则集合的非空真子集的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式及幂函数的性质求出集合，进而结合非空真子集的结论求解即可. 【详解】由，，则，即，， 由，，，，则， 所以，共有个元素， 所以集合的非空真子集的个数为. 故选：B. 2. 若则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，设，根据基本不等式即可求解． 【详解】， 因为，所以，设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，解得， 故选：A． 3. 设复数满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设复数，可得，表示出模长结合导函数得出函数的最值即可求值. 【详解】由条件不妨设．于是，． 则． 故． 设，， 当单调递增；当单调递减； 当时，取最大值27．从而最大值为． 故选：D. 4. 定义在正整数集上，并且满足下面的两个条件：①对任意的正整数，②对于任意的非负整数则（ ） A. 3578 B. 3580 C. 3571 D. 3581 【答案】D 【解析】 【分析】由可得，后续迭代计算即可得； 【详解】由，则， 又，故， ，故， ，故， ，故， 当时，有， 即，， ，； 故选：D 5. 芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由条件概率的定义判断即得；对于B，在A选项基础上，推出，结合，得到，经简单变形即可判断；对于C，利用正态分布的对称性和原则即得；对于D，先判断，得到，设，作商法得到其单调性，求得，，即可判断. 【详解】对于A，因 A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”， 由条件概率的定义，可知显然大于，故A错误； 对于B，由A已得，故，因，则， 又，故， 即，因，故得， 即，故，即B错误； 对于C，因质量指标服从正态分布，则，， 因，， 则，故C正确； 对于D，依题意，由C项所得，知， 则，设， 由解得，即； 又由解得，即， 所以取得最大值时，M的估计值应为53，故D错误. 故选：C. 6. 若存在一实数，使得对于任意实数和任意恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】处理多元问题，采用控制变量法，先将作为自变量，求关于的函数的最小值，使其大于等于，再将其看作关于的函数，这里利用换元法，令，进而将问题转化为关于的函数恒成立问题，利用参变分离求最值即可. 【详解】先给出公式：，等号成立条件为，证明如下： ， 等号成立时， 则，等号成立条件为； 则 等号成立条件为， 因对任意恒成立， 则， 即对任意恒成立， 令， 因，则，则，则， 因，则， 则对任意恒成立， 则或， 即或对任意恒成立， 因，等号成立条件为，即，则， 因对勾函数在上单调递减，则， 则， 则或， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 7. 直线过椭圆的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆的性质结合，求出直线的斜率，再根据的坐标得出直线的斜率，从而得出的关系，进而求出椭圆的离心率. 【详解】设椭圆半焦距为，则， 所以直线的方程为，即， 所以直线的斜率为， 过作的垂线，则为的中点， ，，则， 又，所以是的中点， 所以直线的斜率， ，则， . 故选：D. 8. 若，下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设条件特征变形得，进而利用导数研究函数单调性即可求解判断AB；由特殊值法举例即可分析判断CD. 【详解】对于AB，由题，所以由得， 令，因为均为增函数，所以为增函数， 所以，即，，故A错误，B正确； 对于C，若，此时，且， 而， 所以，则，此时，故C错误， 对于D，若，此时，且， 若时，，必有，故D错误； 故选：B 二、多项选择题：本大题总共3小题，每小题6分，共18分.每小题有2~3个正确选项.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 有6个红色球，3个蓝色球和3个黄色球.将这些球放在一条直线上按序排列，假设同色球没有区别.下列说法中正确的有（ ） A. 将这12个球全排列，不同的方法共有种 B. 让蓝色球和黄色球不相邻的方法有种 C. 让同色球不相邻的放法有100种 D. 不考虑球的顺序，将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同），要求每一组内红球与蓝球的个数和不同的分法有24种 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由全排列公式直接全排12个球并除以各色球的排序即可判断；对于B，先全排6个红色球，再利用插空法，分蓝色球相邻和不相邻，黄色球相邻和不相邻进行分类讨论，求出答案，对于C，分析得到任意两个红球之间至少要有1个非红球，1个蓝球与1个黄球相邻且最多出现1次，分蓝球与黄球不相邻和有1个蓝球和1个黄球相邻两种情况，求出放法后相加即可；对于D，6个红球和3个蓝球先分为2组，分法有3+6和4+5，再考虑黄球的放法，结合计数原理求出答案. 【详解】对于A，将这12个球全排列，不同的方法共有种，故A错误； 对于B，蓝色球和黄色球不相邻，可先全排6个红色球，加上两端6个红色球形成7个空隙， 若蓝色球两两间均不相邻，则将其插入上述7个空中的3个， 将黄色球选择剩余4个空插入即可，黄色球若均不相邻，则有种，黄色球有2个相邻， 此时有种，若三个黄色球均相邻，此时有种方法， 此时有种方法； 若蓝色球只有2个相邻，则将其插入上述7个空中的2个，黄色球再选择剩余5个隔空插入即可，同理可得有种方法； 若蓝色球3个都相邻，则将其插入上述7个空中的1个，黄色球再选择剩余6个隔空插入即可，同理可得有种方法； 所以蓝色球和黄色球不相邻的方法有，故B正确； 对于C，因为有6个红球和6个非红球，任意两个红球之间至少要有1个非红球， 所以1个蓝球与1个黄球相邻且最多出现1次， 若蓝球与黄球不相邻，则红球和非红球交替放置，这时红球的放法只有2种， 即最左端为红球或最右端为红球，蓝球有种放法，黄球有种放法， 不同的放法有种， 若有1个蓝球和1个黄球相邻，则可将其合并，看成一个“花球”，有种， 则非红球由2个蓝球，2个黄球和1个花球组成， 于是任意2个相邻红球之间将有1个非红球，这样的放法有种， 所以同色球不相邻的排法共有种，C正确； 对于D，不考虑球的顺序，将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同）， 要求每一组内红球与蓝球的个数和 6个红球和3个蓝球先分为2组，分法有3+6和4+5， 其中3可以为3红，2红1蓝，1红2蓝，3蓝， 再将黄球分成两组，有共4种方法， 这样情况共有种， 其中4可以为4红，3红1蓝，2红2蓝，1红3蓝， 再将黄球分成两组，有共4种方法， 这样情况共有种， 综上，不同的分法有种，D错误. 故选：BC 10. 已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中正确的是（ ） A. 若，则为“回归数列” B. 若为等比数列，则为“回归数列” C. 设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 D. 对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的公式及求和公式进行计算并判断即可. 【详解】对于A，由，可得，所以必存在， 使得，故为“回归数列”，所以A正确； 对于B，由等比数列通项公式得，当时，， 显然对任意的，，故不是“回归数列”，所以B错误； 对于C，当时，， 假设总存在，则， 由于对任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在， 再取，可得， 因为，而，所以， 当时，对任意的，由 可得总存在满足成立，所以C正确； 对于D，设等差数列， 总存在两个回归数列， 显然和是等差数列，使得， 证明如下：， 因为 所以数列{}前n项和，可得 ， 时，由为正整数，当时，， 所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”， 因为所以数列前n项和， 由于，则存正整数，使得， 所以是“回归数列”，所以D正确. 故选：ACD. 11. 平面内到定点、轴、轴的距离之和等于4的点的轨迹是如图所示的曲线，它由4部分组成，每部分都是双曲线上的一段，设是该曲线上一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 当都是整数时，称为格点，则上有2个格点 C. 的最大值为 D. 在第一象限对应的双曲线的离心率为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意得，令即可判断A；由即可判断上的格点不止两个，可判断B；要使最大，则在第一象限，此时，设，根据即可判断C；由曲线在第一象限的图象特征及方程即可判断D． 【详解】由题意， 则，整理得， 对于A，当时，有，两边平方，化简得， 当时，；当时，， 由图像可知，故A错误； 对于B，有方程可知，都在曲线上，故B错误； 对于C，要使最大，则在第一象限，此时， 所以，设， 则， 由， 得或， 又，所以，故C正确； 对于D，在第一象限对应的曲线为，即， 所以，因为是由平移得到， 又是轴为渐近线的双曲线，所以对应的标准双曲线的渐近线为， 所以，故离心率，故D正确； 故选：CD． 三、填空题：本大题总共3小题，每小题5分，共15分. 12. 空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定点、的轨迹及相关线段长度表达式，再利用余弦定理得的表达式，最后通过换元求最值. 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 13. 类似于斜率，我们给出曲率的定义：如图所示，设曲线C是光滑的，在曲线C上选定一点作为度量弧s的基点.设曲线上点M对应于弧s，在点M处的倾角为，曲线上另外一点对应于弧，在点处的倾角为，则弧段的长度为，当动点M转到时切线转动的角度为，用比值来表示弧段的平均弯曲程度，叫做平均曲率，并记作.类似于从平均速度引入瞬时速度的方法，当这个趋于M时，上述平均曲率的极限就叫做曲线C在M处的曲率，记作K；.在数学上给出曲率的公式：.（其中，分别表示在点M处的一阶、二阶导数）,根据定义，椭圆在点的曲率为______. 【答案】 【解析】 【分析】由在第一象限，可得，两次对函数求导，代入曲率计算公式求解即可. 【详解】由题意，因为在第一象限，所以， 则，记， 则， 故，，故. 故答案为： 14. 1.设函数满足下列条件：①若且则存在实数，使得；②方程至少有一个解，并在该方程的解中存在一个解不大于所有其他的解；③；④；⑤.则________. 【答案】2026 【解析】 【分析】设，由③得，设是的最小根，由②得，根据①⑤证得，且是方程的根，得，进而，得，再结合④即可得的值. 【详解】令，则． 设是的最小根，则． 若，则对于，由①及得出：存在，使得． 由⑤可知，矛盾，所以． 对于任意实数，由⑤有． ∴是方程的根． ∵是的最小根， ∴． 从而，，即． ∴． 又∵，∴． 故答案为：. 四、解答题：本大题总共5小题，总共77分.解答题应写清解答、证明步骤. 15. 如图，P为抛物线上在x轴下方的一点，直线与抛物线在第一象限的交点从左到右依次为A，B，C，与x轴正半轴分别相交于点M，N，Q，且，直线的方程为． （1）当时，设直线的斜率分别为，证明：； （2）记点A、C到直线的距离分别为，，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意首先确定点P的坐标，然后设出点的坐标，利用斜率公式求得斜率即可证得题中的等式； （2）由题意首先确定点A和点C的坐标，然后求解点到直线的距离和点到直线的距离，由函数的定义域和函数的值域可确定的取值范围. 【详解】（1）由，解得或，由图象知. 易知，由可得，（，且）， 所以，， 所以，. 所以. （2）由（1）得，当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为，适合上式， 所以直线的方程为. 由消去得， 所以，解得，所以点的坐标为. 同理得，直线的方程为， 由消去得， 所以，解得，所以点的坐标为. 则点到直线的距离为 ， 点到直线的距离为 ， 所以. 设，由反比例函数性质知在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线相交的综合问题，解题的关键是熟悉两点连线的斜率公式，利用点斜式写直线方程，点到直线的距离公式，及分离常数法求值域，考查学生的综合分析能力与运算求解能力，属于稍难题. 16. 甲同学与乙同学进行如下游戏：在个白色小方格中，甲同学将从上往下数的第i行，从左往右数的第j列涂黑，而乙同学从除黑色方格以外的任意一格出发，只能往前、后、左、右四个方向移动，且不能经过黑色方格.若乙可以不重复的一次性经过所有白色方格，则乙获胜，否则甲获胜，记甲涂黑的方格为. （1）若，甲同学随机涂黑一个方格，求甲获胜的概率. （2）若甲将涂黑，求证：当m为奇数时，甲一定获胜. （3）若m为奇数，乙从出发，甲将涂黑，其中i，j不同时为1，求证：甲获胜的概率. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）不难看出只有当甲不涂黑方格的四个角和中心处，甲一定获胜，由此可得甲获胜的概率； （2）给格子标号，若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 即1比2的数量多两个时，此时甲一定获胜，计算当m为奇数时，1号和2号的格子数， 发现1的数量比2的数量多两个，故当m为奇数时，甲一定获胜； （3）由（2）可知，考虑1比2多两个的情况，只有涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 计算2号格子的数量，除以甲能涂黑的格子数，即可证明甲获胜的概率. 【小问1详解】 甲随机涂黑一个，在方格的四个角和中心处，显然乙可以不重复地一次性经过所有白色方格， 只有当甲涂黑，，，时，乙无法不重复地一次性经过所有白色方格， 故甲获胜的概率为. 【小问2详解】 我们为格子标号： 1 黑格 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙不妨从1出发，则乙的路线必定是1→2→1→2…， 若乙要获胜，则标号为1的格子数与标号为2的格子数之差的绝对值不大于1， 若最后是2，则说明1的数量和2的数量相同，若最后是1，则说明1比2多一个， 由于m为奇数，则第1,3，5，7…m列，1的数量比2的数量多1个， 这样的列数一共有个，也就是1比2的数量多， 同理，第2，4，6，…列，2的数量比1的数量多一个（不考虑黑格），这样的列一共有列， 因此1的数量比2的数量多个， 但实际情况是第二列中1的数量和2的数量一样多，因此1的数量比2的数量多两个， 这说明乙无法不重复地一次性经过所有白色方格，因此当m为奇数时，甲一定获胜. 【小问3详解】 受到（2）的启发，我们仍然为格子标号： 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 乙的路线仍然是1→2→1→2→…,乙获胜只需要使1和2一样多，或1比2多一个， 我们考虑1比2多两个的情况： 若不考虑涂黑的格子，由（2）可知：1比2的数量多1个 当且仅当涂黑2时，1比2的数量多两个，此时甲一定获胜， 第1，3，5…m列每列个2，第2，4，6…列每列有个2，因此一共有个2， 又因为甲可以涂黑除了共个方格，因此甲获胜的概率. 17. 已知等差数列的前项和为，且满足，公差． （1）若成等比数列，求数列的通项公式； （2）是否存在数列，使得对任意的，仍然是数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的公差；若不存在，说明理由； （3）设数列的每一项都是正整数，且，若数列是等比数列，求数列的通项公式． 【答案】（1）（2）存在，（3）或 【解析】 【分析】（1）由，成等比数列转化为等比数列的首项公比，解方程组求出后得到通项公式； （2）利用等差数列的通项公式将代入整理得到的结果与通项公式对比，从而得到满足的条件，求出其值； （3）由得到数列的前2项，求得公比，进而可得到通项公式，求得的值，由得到整数，从而求出数列的通项公式． 【详解】（1）因为，解得：. 又成等比数列. 所以. 所以解得或. 又 所以. 所以； （2）由（1）知 所以， 所以， 令，则， 所以为8的正约数：1，2，4，8， 当时：，对任意的，仍然是数列中的一项，符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 当时：，当时，，不符合题意. 综上满足条件的值为1. （3）由（2）知,， 等比数列的公比， 又， 所以：， 当时：化简得： 由>7，得，， 当时：，.不满足数列的每一项都是正整数. 当时，.满足题意. 当时，.满足题意. 【点睛】本题综合考查等差数列与等比数列，其中利用数列的隐含条件确定参数的值是解本题的关键. 18. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）人类在不断地探索宇宙的结构，中性氢厘米谱线是射电天文观测到的第一条谱线，也是最重要的谱线之一．天文学家在研究星际中性氢原子分布时发现，单位体积内存在个中性氢原子，其辐射强度称为辐射强度达到了级．已知某星系辐射强度满足，求证：该星系的辐射强度没有达到级． 【答案】（1）在单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，对函数求导，再对其导函数再次求导，研究其单调性和最值，可得函数的单调性； （2）利用分类讨论思想，结合导数与函数单调性的关系，可得答案； （3）由题意建立不等式，整理不等式构造函数，结合（1）可得其单调性，可得答案. 【小问1详解】 当时．．其定义域为， 所以， 令，所以． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是的极大值点，且，所以恒成立． 则在单调递减． 【小问2详解】 因为，，，， 若，则，求导可得， 当时，，则单调递增，，不合题意； 若，当时，，不合题意； 所以考虑． 当时，等价于，令， 所以， ①若，则当时，，故在区间单调递减，， 所以当时，，故． ②若，，， 可得在区间单调递增，而， 所以当时，，． 综上，的取值范围是． 【小问3详解】 由题意需证：，即， 令，，则，有， 两边同时取对数得， 只需证：（*） 令， 所以， 由（1）知，时，，则， 所以在内单调递减，且， 所以不等式（*）成立，即该星系得辐射强度没有达到级. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 19. 在空间直角坐标系Oxyz中三元方程可表示曲面.例如，方程表以为球心，1为半径的球面.已知曲面的方程为与坐标平面Oxy的交线为，平面过点，且法向量为. （1）求平面的方程; （2）若在曲线上，求|PQ|的最大值，并说明理由. （3）空间中是否存在定点M，使得上任意一点到的距离与到平面的距离之比为定值？若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，和 【解析】 【分析】（1）利用平面法向量性质即可得 （2）联立方程求出曲线的方程式，根据椭圆性质即可得结果； （3）设定点M的坐标，根据题意列方程求解即可. 【小问1详解】 由平面过点，且法向量为， 设在平面上，则，且， 所以，即， 【小问2详解】 因为坐标平面Oxy的方程为， 所以联立，得， 即为曲线方程，又在曲线上， 所以根据椭圆性质可得|PQ|的最大值等于椭圆的长轴长， 即， 【小问3详解】 存在定点和为曲线C的两个焦点， 理由如下： 设椭圆上任一点为，A到M的距离为，A到直线的距离为， 平面与坐标平面Oxy的交线为，， 由平面的法向量可得平面与坐标平面Oxy的夹角为， 则A到平面的距离， 所以 ， 若要使该式是定值，则，即， 所以为定值. 【点睛】关键点点睛:要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新文化问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $