学易金卷：高一数学下学期期末模拟卷（人教B版，范围：人教B版必修第三册+必修第四册）

**基本信息** 高一数学期末模拟卷覆盖必修三、四核心知识，通过新定义（正矢余矢）、实际情境（货船观测）及综合应用（立体几何与解三角形），考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数模、三角函数奇偶性与周期|基础巩固，如复数运算考查数学思维| |多选|3/18|复数几何意义、新定义三角函数|创新应用，如新定义正矢余矢培养创新意识| |填空|3/15|三角恒等变换、立体几何折叠外接球|空间观念，如折叠问题体现数学眼光| |解答|5/77|三角函数图像变换、解三角形应用、立体几何表面积与线面角|综合实践，如货船航行问题考查数学语言表达现实世界|

2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册+必修第四册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D．5 2．下列函数中，既是偶函数又是最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．14 D．24 5．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ） A． B．函数的对称中心为 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（   ） A．直线与是异面直线 B．直线与共面 C．平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若是线段上的动点，则平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则________. 13．已知，，则________． 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 16．（15分）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)计算的大小； (2)设、，若、、三点共线，求实数的值； (3)设，求的面积． 17．（15分）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 18．（17分）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 19．（17分）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册+必修第四册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D．5 2．下列函数中，既是偶函数又是最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．14 D．24 5．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，满足，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 10．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ） A． B．函数的对称中心为 C．若，则 D．若，则的最大值为 11．如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（   ） A．直线与是异面直线 B．直线与共面 C．平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若是线段上的动点，则平面 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则________. 13．已知，，则________． 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 16．（15分）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)计算的大小； (2)设、，若、、三点共线，求实数的值； (3)设，求的面积． 17．（15分）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 18．（17分）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 19．（17分）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【详解】，. 2．下列函数中，既是偶函数又是最小正周期为的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A：是偶函数，但不是周期函数，故A错误； 对于B：是偶函数，最小正周期为，故B错误； 对于C：的最小正周期为，且是偶函数，故C正确； 对于D：的最小正周期为，故D错误. 3．已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 4．如图，为水平放置的直观图，其中，则的面积为（    ） A．6 B．12 C．14 D．24 【答案】B 【详解】由斜二测画法得的直观图如图所示： ，， 所以. 5．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 6．一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正四棱台的上底边长为，则侧棱长为，下底边长为， 正四棱台的侧面是等腰梯形，设斜高为，则 ， 侧面积为：， 解得，或（舍去）， ， 设棱台的高为，则， 上底面积， 下底面积， 该正四棱台的体积： ． 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 8．已知向量，，满足，，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】B 【详解】由，得，而，解得， 则，又，解得， 在平面直角坐标系中，取点，令向量，则， ，设，， 由，得，因此点的轨迹是直线， 令点关于直线的对称点为， 则，解得， 令，因此， 当且仅当是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A：例如，，则， 但，不能比较大小，故A错误； 对于选项BCD：设，， 则，，， 所以，故B正确； 因为，， 若，则， 整理可得，所以，故C正确； 因为， 且， 则， 所以，D正确． 10．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则有（ ） A． B．函数的对称中心为 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于选项，，故正确； 对于选项 令，故对称中心为，选项错误； 对于选项，， ，故选项正确； 对于选项，， 令， 则， 对称轴为，所以当时，取到最大值，此时故D选项正确. 11．如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（   ） A．直线与是异面直线 B．直线与共面 C．平面截正方体所得截面图形的周长为 D．若是线段上的动点，则平面 【答案】BCD 【详解】对于选项ABC：连接， 因为分别是的中点，则，， 又因为，，可知四边形为平行四边形， 则， 可得，，即四点共面， 所以直线与共面，故A错误，B正确； 可知平面截正方体所得截面图形为梯形（图见上图）， 且，， 所以截面图形的周长为，故C正确； 对于选项D：因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，则平面， 同理可得平面， 且，平面，可知平面平面， 且平面，所以平面，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．，则________. 【答案】 【详解】由已知， 所以 . 13．已知，，则________． 【答案】 【详解】因为，所以 ， 因为，所以 ， 两式相加可得 ， 解得， 两式相减可得 ， 化简可得， 因为， 代入可得 ，解得. 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【详解】连接，交于点，交于点，连接，， 设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上， 所以点即为点在平面上的射影，即平面， 因为平面，所以， 因为为对角线、的交点，所以， 即，所以为三棱锥外接球的球心， 则三棱锥外接球的半径，则，解得， 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则， 在中，，即三棱锥的高为， 则三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 2分 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 5分 令，，得的对称轴方程为，. 7分 （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， 10分 ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； 12分 ∴当，即时，取得最大值，此时； 13分 16．（15分）如图，设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．假设． (1)计算的大小； (2)设、，若、、三点共线，求实数的值； (3)设，求的面积． 【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得， 1分 由题意可得， 所以. 3分 （2）由题意可得，， 又因为，则，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 6分 由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值. 8分 （3）因为，则， ， 10分 所以， 12分 又，所以， 13分 所以． 15分 17．（15分）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【详解】（1）由题意：，，， ，，则， 2分 解得， ． 3分 （2）由余弦定理得： ， 即， 5分 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． 6分 （3）在中，根据余弦定理得，则， 8分 设延长线交于点，则，， 则， 9分 ， 10分 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 11分 过点作垂直于点， 在中，，，， 13分 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 15分 18．（17分）如图所示，正四棱锥，，，P为侧棱上的点，且，Q是的中点，E是侧棱上的点，且． (1)求正四棱锥的表面积； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正切值． 【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 2分 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． 4分 （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 6分 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 8分 因为，平面，所以平面平面． 10分 （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以， 12分 取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 15分 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 17分 19．（17分）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 2分 所以. 所以，则. 所以的边长 5分 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. 8分 ② 10分 由，得. 又， 12分 所以. 14分 由于，，所以， 则，所以， 故. 17分 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 2 Oπ元 23 -2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) e 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 北 B 45% A E 南 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) ◇ A ->D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) M P D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期期末模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B D C D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD ACD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．-1 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 2分 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 5分 令，，得的对称轴方程为，. 7分 （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， 10分 ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； 12分 ∴当，即时，取得最大值，此时； 13分 16．【详解】（1）由平面向量数量积的定义可得， 1分 由题意可得， 所以. 3分 （2）由题意可得，， 又因为，则，， 又、、三点共线，则存在实数使得， 即， 6分 由平面向量基本定理得，解得，所以实数的值. 8分 （3）因为，则， ， 10分 所以， 12分 又，所以， 13分 所以． 15分 17．【详解】（1）由题意：，，， ，，则， 2分 解得， ． 3分 （2）由余弦定理得： ， 即， 5分 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． 6分 （3）在中，根据余弦定理得，则， 8分 设延长线交于点，则，， 则， 9分 ， 10分 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 11分 过点作垂直于点， 在中，，，， 13分 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 15分 18．【详解】（1）因为是正四棱锥，所以底面为正方形，侧面是四个全等的等腰三角形， 则底面面积，取中点，连接，则， 在中，， 2分 所以侧面积， 所以正四棱锥的表面积． 4分 （2）连接，与交于点，连接， 因为四边形为正方形，所以为中点， 因为是的中点，，即，又， 所以，即为的中点， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 6分 在中，，所以， 又，即，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面, 8分 因为，平面，所以平面平面． 10分 （3）连接，因为是正四棱锥，所以平面， 又平面，所以， 在中，， 所以， 12分 取的中点，连接， 因为是的中点，是的中点，所以且， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为直线与平面所成的角， 15分 因为是中点，是中点，且， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正切值为． 17分 19．【详解】（1）由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 2分 所以. 所以，则. 所以的边长 5分 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. 8分 ② 10分 由，得. 又， 12分 所以. 14分 由于，，所以， 则，所以， 故. 17分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $