专题09 轴对称与旋转常见模型、综合探究5大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

专题09 轴对称与旋转常见模型、综合探究5大题型归类 考点01 轴对称之规律探究 考点02 轴对称之最值问题 考点03 轴对称之作图问题 考点04 关于旋转的证明 考点05 旋转递进式探究 考点01 轴对称之规律探究 1．观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填______． 【答案】 【分析】本题是一道规律型的题，考查的是设计轴对称图形．找到图形的特征和规律是解题关键． 【详解】解：从图中可以发现所有的图形都是轴对称图形，而且图形从左到右分别是1-4的数字的轴对称， 即：右边都是原数字，左边是与原数字成轴对称的数字， ∴填上的图形：画一个轴对称图形且数字为4即可，即． 故答案为：． 2．下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 【答案】 【分析】本题考查图形的规律探究，掌握通过观察图案特征，对应英文字母的轴对称变形规律是解题的关键． 观察这组图案，发现它们是按大写英文字母的顺序，对每个字母关于某条直线对称后所得的图形，据此找出规律并补全空白处的图案． 【详解】解：第一个图案：字母的上下轴对称变形； 第二个图案：字母的左右轴对称变形； 第四个图案：字母的左右轴对称变形； 第五个图案：字母的上下轴对称变形； 第六个图案：字母的左右轴对称变形； ∴横线上的图形应该是由字母经过上下对称得到， 故答案为： 3．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． _______． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，规律探索，根据给出的图形得出一般规律，是解题的关键．根据图形得出这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现，得出答案即可． 【详解】解：由题意得这六个图形是字母各自组成的轴对称图形，并且按照上下对称，左右对称循环出现， ∴第3个图形的图案为： 故答案为：． 4．如图，根据观察，找出其中的规律，并完成空格． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字规律，根据前几个数字找到规律来求解． 根据观察图形可知，单数个图形是两相反的数字开头结尾，中间是两相反的字母，双数个图形是两相反的字母开头结尾，中间是两相反的数字，顺序是几数字就是几，字母顺序是按英文大写字母按顺序排列，从而求解． 【详解】解：观察可知，第一个图形是两相反的数字1开头结尾，中间是两相反的字母， 第二个图形是两相反的数字2在中间，相反的两字母相反在开头和结尾， 第三个图形是两个相反的数字3开头结尾，中间是两相反的字母， 第四个图形是两相反的数字4在中间，相反的两字母相反在开头和结尾， 第六个图形是两相反的数字6在中间，相反的两字母相反在开头和结尾， 则第五个图形是两相反的数字5开头结尾，中间是两相反的字母． 得到规律：单数个图形是相反的两个数字开头结尾，中间是相反的两个字母，双数个图形是相反的两个字母开头结尾，中间是相反两个数字，顺序是几数字就是几，字母顺序是按英文大写字母按顺序排列． 故答案为：． 5．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 【答案】(1)对应点：点A和点，点B和点，点C和点 (2)线段被直线m垂直平分 (3)线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上；规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 【分析】本题考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴． （1）根据轴对称的性质即可得出答案； （2）根据轴对称的性质即可得出答案； （3）根据轴对称的性质即可得出答案； 【详解】（1）解：对称点有和，和，和； （2）解：根据对称的性质可得，线段被直线m垂直平分； （3）解：线段与的延长线的交点在直线m上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上； 故可得规律：若两线段关于一条直线对称，且不平行，则它们的交点或它们的延长线的交点一定在这条直线上 6．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 【答案】（1）；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；（2）①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及角度的计算，解题的关键是利用“等角的余角相等”和“两直线平行，内错角相等”等定理，结合反弹规律进行角度推导． （1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 又因为， 所以（等角的余角相等）． 同理， 又因为， 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 又因为， 所以， 所以， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行． （2）① 解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， 故答案为：． ② 解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围， 故答案为：． 7．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 【答案】 （1）3 （2）5 （3）7 （4） 【分析】本题考查了折射的提醒，在于观察生活以及对物体成像的理解，较为抽象，比较难懂，解题关键在于熟悉知识体系， 根据两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，然后分别解答即可. 【详解】解：（1）原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 故答案为：3. （2）由题可知，当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为5． 故答案为：5. （3）如图：可知当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为7． 故答案为：7. （4）两个平面镜互相成像，所成像与小球将角分成几个均等的区域，并呈放射状，出现的像与小球就在每个区域上面，故当“镜子门”张角的大小为（且能被360整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为． 故答案为：. 考点02轴对称之最值问题 8．如图，中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称和最短路径问题．过点A作于点M，交于点P，过点P作于点Q，由是的平分线，得出，这时有最小值，即的长度，再利用等积法得出的值就为最小值． 【详解】解：如图所示， 过点A作于点M，交于点P，过点P作于点Q， 是的平分线，得出 有最小值，即的长度， ，，， ． 故选：C． 9．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 10．如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 _____ ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积，折叠变换；过点B作于点H，证明是等腰直角三角形，的面积，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图，过点B作于点H． ∵的面积， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，的面积， 当与重合时，的面积最小， 最小值． 故答案为：． 11．已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为______________________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点这间线段最短，通过作对称点把折线转化为线段问题，利用两点之间线段最短来解答本题． 作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P，根据得到当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度，然后利用等面积法求解即可． 【详解】解：作点B关于的对称点，过点作于点D，交于点P， ∵ ∴点B，C，三点共线，且 ∴， ∴ ∴当点D，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∵ ∴ ∴． ∴的最小值为． 故答案为：． 12．如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为_____． 【答案】16 【分析】连接交于，利用对称性质可得，根据垂线段最短，当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大，利用三角形的面积求解即可． 【详解】解：连接交于，如图，    ∵点B关于直线的对称点是E， ∴， 当时，最小，则最大，即点到的距离最大，此时面积最大， 由得， ∴， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称性质、垂线段最短、三角形的面积等知识，能得出当时面积最大是解答的关键． 13．如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 【答案】 90 【分析】先利用翻折的性质，得出，，，再利用两角的和结合，证得，然后根据三角形面积公式，得到，当时，最小，则的面积最小，先求出，再求出面积的最小值即可． 【详解】解：由翻折得：，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 要使最小，当时，最小，则的面积最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 【答案】(1)两点之间线段最短 (2)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题. （1）根据两点之间线段最短解决问题； （2）利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点C即为所求，依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图2中，点P即为所求． 理由：在直线l上任意取一点，连接， ． ∵A，关于直线l对称， ∴，， ∵， ∴点P即为所求的点P． 15．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出A、B、C的对应点即可； （2）连接交直线于点P，利用两点之间线段最短判断P点满足条件．再运用勾股定理可求最短距离． 【详解】（1）解：如图，即为所作图形和所作点： （2）解：如图，点P为所作． 根据题意得， 由勾股定理得． 16．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 考点03轴对称之作图问题 17．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了学生利用轴对称求最短路径， （1）利用轴对称求最短路线的方法即可得出； （2）作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求； （3）根据轴对称的性质可得，根据两点之间，线段最短即可证明． 【详解】（1）解： （2）解：作A点关于直线的对称点，再连接交于点N，点N即为所求． （3）证明：∵A点关于直线的对称点是， ∴， ∴（两点之间，线段最短） 18．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？（用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） 【答案】见解析 【分析】作居民区A（点A）关于直线l（街道）的对称点，连接A′B交直线l于点M，则，故此，然后依据两点之间线段最短的性质解答即可． 【详解】解：作居民区A（点A）关于直线l（街道）的对称点，连接交直线l于点M，则点M即为所求点． 【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； 20．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，以及轴对称图形的性质，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形的性质． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）先找到点B关于y轴的对称点，再连接，则与y轴的交点即为所求． 【详解】（1）解：如图1所示，即为所求， （2）解：如图2所示，作点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点D即为所求． 21．在正方形中有一条线段，请设计2种方案添加一条线段，使得添加后图形是一个轴对称图形，并标出对称轴．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法，可作必要文字说明） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了尺规作图，设计轴对称图形，根据尺规作图添加一条线段，根据轴对称的性质画出对称轴，即可求解． 【详解】解：如图所示，在正方形的一边，截取，连接，直线为对称轴， 如图所示，在正方形的一边，截取，连接，直线为对称轴； 22．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查作图平移变换、作图轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）在的右侧作，且，连接交于点，则点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求 （2）如图，即为所求 （3）如图，在的右侧作，且，连接交于点， 此时为等腰直角三角形， ， 即， 则点即为所求． 23．转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）直接连接交直线l于点C即可； （2）作A关于l的对称点，连接交l于点C即可； （3）根据轴对称性的性质得出，，然后根据“两点之间，线段最短”得出，即可得证； （4）作P关于的对称点，关于的对称点，连接交于E，于F即可； （5）利用轴对称的性质可以解决最短问题． 【详解】解：（1）如图，点C即为所求； （2）如图，点C即为所求； （3）连接， ∵、关于对称， ∴，， ∴，， ∴； （4）如图，点E、F即为所求， （5）感悟：利用轴对称的性质可以解决最短问题． 24．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题的关键，根据轴对称图形的特征直接画图即可． 【详解】解：如图所示， 25．【问题呈现】如图①，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点都看作一个点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图②． 【解决问题】（1）按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图③，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短； ②请利用图④解决题干中的问题． 【能力迁移】（2）如图⑤，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线作在图上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）①见解析②见解析（2）见解析 【分析】本题考查了将军饮马模型，熟练掌握该模型是解题的关键； （1）①根据两点之间线段最短即可求解；②根据对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）根据对称的性质以及两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：（1）①如图①，点C即为所求． ②如图②，点C即为所求． （2）如图③，黑球移动的路线为A→M→N→B． 考点04关于旋转的证明 26．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，根据旋转得到，即可得到，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵绕点A逆时针旋转得到，点在的延长线上， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴． 27．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【详解】（1）绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； （2），理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； （3）设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 28．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容： 如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形． (1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：　 　． (2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则： ①∠DAE=　 度； ②∠CDE=　 度； ③线段EF的长是　 ． 【答案】(1)画图见解析，； (2)，理由见解析； (3)①80，②40，③6． 【分析】（1）根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）由旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可； （3）①利用轴对称的性质求出∠DAF，然后根据旋转的性质得出答案； ②根据旋转的性质和等腰三角形的性质求出∠ADB和∠ADE，进而可得∠CDE的度数； ③利用旋转的性质和轴对称的性质求出DE和DF即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，△ABD即为所求，CE＝DB，CE⊥DB， 证明：设CE、AC分别与BD交于点F、G， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB， ∴△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠ACE＝∠ADB， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （2）CE＝DB，CE⊥DB； 理由：∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB， ∴△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠C＝∠D， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （3）①∵△ADF与△ADB关于AD对称， ∴∠DAF＝∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝80°， 由旋转的性质可知，∠DAE＝∠BAC＝80°， 故答案为：80； ②由旋转的性质可知，AB＝AD，∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝40°， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°−40°）＝70°， ∴∠ADE＝70°， ∴∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB＝40°， 故答案为：40； ③由旋转的性质可知，BC＝DE＝9， ∵△ADF与△ADB关于AD对称， ∵BD＝DF＝3， ∴EF＝DE−DF＝9−3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题． 29．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 30．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON． (1)如图1，证明：ON平分∠MOB； (2)如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数； (3)如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m＋n）°，∠BOT＋∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数． 【答案】(1)见解析 (2)22.5°或45° (3)40°或80° 【分析】（1）设，，则，由补角的定义可求得，即可证明结论； （2）分两种情况：若射线在内时，若射线在内时，由角平分线的定义求解，结合可得关于的等式，计算可求解； （3）由（1）（2）结论可得，可分两种情况：情况1：射线在内，情况2：射线在内，分别计算可求解． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：若射线在内时， 平分， ， ， ， ， ， 即， 若射线在内时， ， ， ， ， 即， 故的度数为或； （3）解：由（1）（2）知；，；， ， 平分， ， 情况1：射线在内， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 情况2：射线在内， ， ， ， 由情况1可知：， ，，， ， 解得， ． 故的度数为或． 【点睛】本题主要考查余角和补角，角的计算，角平分线的定义，解题的关键是灵活运用余角和补角的定义与性质求解． 31．【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或或或 【分析】（1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）如图3，分别过点F、H作，运用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （3）如图2，过点E作，利用平行线性质即可求得；分四种情况：①当时，同时，②当时，③当时，④时，分别求出旋转角度求解即可． 【详解】（1）证明：在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图3，分别过点F、H作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线相交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ①当时，同时，如图，过点H作，交于G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； ②当时，如图，过点H作，过点E作，交于G， 由①可得， ∴， ∴旋转时间为； ③当时，如图，过点E作，延长交于点K，则， ∴， 这时在上停止运动， ∴旋转时间为； ④当时，如图，延长交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为； 当时，延长交于G， 同理， ∴旋转时间为， 综上所述，当运动或或或或时，的一边与的一边平行． 【点睛】本题主要考查了平行线性质及判定，角平分线定义，平移的性质等，三角板中角度的计算，辅助线的运用，利用平行线性质是解题关键． 考点05旋转递进式探究 32．数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 【答案】(1) (2) (3)不存在， 【分析】（1）当旋转角时，则，，，根据角平分线定义得，由此可得的度数； （2）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，则，由此可得的值； （3）当旋转角时，则，，根据角平分线定义得，，由此可得与之间的关系． 此题主要考查了角平分线的定义，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】（1）解：当旋转角时，则， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：不存在，与之间的关系是：，理由如下： 当旋转角时，则， ， 平分， ， ， ， 即， ， ． 33．数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 将两块直角三角板的顶点叠在一起，已知，，将三角板绕点旋转，在旋转过程中，保持始终在的内部．    (1)将两块直角三角板按如图1方式摆放． ①若时，求的度数； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若平分，平分，在三角板旋转过程中，的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围． 【答案】(1)①；②，见解析 (2)不变，60° 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． （1）①根据角的和差即可得结论；②根据角的和差即可得结论； （2）由平分，平分，得，，由即可得结论． 【详解】（1）解：①∵， ，， ∴， ， ②，理由如下： ∵ ， ∴； （2）解：的大小不变，理由如下： ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴． 34．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为__________； (2)在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，求的度数； ②如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①；②，或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键. （1）根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，即可得出答案； ②分为当平分，当平分，当平分三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，， ∴， 故答案为： ； （2）解：①∵为直角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当平分时， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ； 当平分时， ， ； 当平分时， ， ； 故为或或． 35．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)， (4)点成中心 (5)画图见解析 【分析】（1）根据平移和轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质即可得证； （3）根据旋转和轴对称的性质求解即可； （4）画出符合题意的图形，然后根据中心对称的定义判断即可； （5）以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线,据此即可作出． 【详解】（1）解：当直线与直线平行时：可看作是沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度； （2）解：根据题意得，，， ∴； （3）解：当直线与直线相交于点时： 可看作是绕着点旋转而成的， ，， ∴， ∴与的数量关系为； （4）解：当直线与直线垂直时， 与的对称关系是关于点O成中心对称； （5）解：如图：以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线，以直线为对称轴作的对称图形，连接，作线段的垂直平分线． ． 36．如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，，．三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)如图②，当时，______，______，______； (2)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另外两条射线构成夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当三角板在直线上方旋转时，且平分平分，试探究的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)，，； (2)存在，的值为5或20或50 (3)的度数不会发生变化，它的度数为 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）分三种情况讨论，利用旋转的性质和角平分线的定义求解即可； （3）由题意可知：．结合角平分线的定义可得，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ①如图，当是构成的夹角的平分线， ． （秒）． ②如图，当是构成的夹角的平分线， ． （秒）． ③如图，当是构成的夹角的平分线， ． 绕旋转了． （秒）． 综上所述：的值为5或20或50； （3）解：的度数不会发生变化．理由如下： 由题意可知：． 平分平分，且始终在的右边， ， ． ． 的度数不会发生变化，它的度数为． 37．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)不会， 【分析】（1）求得，再利用平行线的性质可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，再根据角平分线的定义推出，即可解答； （3）过点作，可得，再推出，利用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：，， ，   ， ，    ； （2）解：，理由如下： 当时， ， ， ，    平分， ， ． . （3）解：不会，，理由如下： 过点作， ，      ，， 为的角平分线， ， 由对顶角相等得：， 为的角平分线， ， ， ． 38．【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 【答案】(1) (2) (3) (4)①秒或27秒或36秒；②的值为8秒或17秒或23秒或32秒 【分析】（1）根据平行线的性质求解即可； （2）如图，过点作，得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可； （3）由，得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （4）①根据题意分情况讨论，分别根据平行线的性质求解即可； ②根据题意分情况讨论，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ； （3）解：如图，延长，交于点，交于点， ， ， 由题意得，，， ， ， ， ， ； （4）①解：如图，当时， ， ， ； 如图，当时， ， ， ； 当时，此时正好旋转了半周， ， 符合条件的值为9秒或27秒或36秒； ②解：如图，当平分，且时， 则，，，，， ， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为8秒． 如图，当平分时， ， ， ，， 平分， ， ， 解得， 符合条件的值为17秒． 如图，当平分时， 则，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， 解得， 符合条件的值为23秒， 如图，当平分，且时， ， 平分， ， ， 解得 综上所述，符合条件的值为8秒或17秒或23秒或32秒． 39．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 40．图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 【答案】（1）详见解析；（2）①三角形的面积是；②线段的长是6；（3） 【分析】本题考查旋转的性质，图形面积的计算，以及列代数式等知识点，掌握相关的知识点，准确添加辅助线是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）①联结，根据旋转的性质，得出，根据面积公式进行计算即可；②得出面积的相关表达式，，，即可求出线段的长； （3）根据面积关系进行计算即可． 【详解】解：（1）如图1，三角形即为所求． （2）①联结，如图2所示， ∵将三角形绕点旋转到三角形， ∴，，， ∵正方形， ∴． ∴，． ∴． ∴ ． 又∵， ∴． 解得． 答：三角形的面积是． ②如图2，由①可知： ， ， ． 根据题意，得；，， ∴，． ∵， 又∵， ∴． 答：线段的长是6． （3）如图3所示： 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 轴对称与旋转常见模型、综合探究5大题型归类 考点01 轴对称之规律探究 考点02 轴对称之最值问题 考点03 轴对称之作图问题 考点04 关于旋转的证明 考点05 旋转递进式探究 考点01 轴对称之规律探究 1．观察如图所示的图形符号，找出他们蕴含的内在规律．根据发现的规律，横线上应填______． 2．下列图案均可看作由一个大写英文字母经过适当变换得到的．通过找出这组图形符号中所蕴含的内在规律，在空白处的横线上填上恰当的图形． 3．仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图案． _______． 4．如图，根据观察，找出其中的规律，并完成空格． 5．如图，和关于直线m对称． (1)结合图形指出对应点； (2)连接，直线m与线段有什么关系？ (3)延长线段与，它们的交点与直线m有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律？请叙述出来． 6．小丁在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点A滚向挡板，碰到上的点B后进行第一次反弹滚向挡板（A、B为定点），碰着上的点C后进行第二次反弹滚向点D．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】小丁发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小丁完善证明过程． （1）因为． 所以． 所以，． 又因为， 所以________（_____________） 同理， 又因为， 所以________（_____________） 所以（等量代换）． 又因为． 所以． 所以________ 所以（_____________） 【引申拓展】 （2）如图3，小丁把挡板固定，将挡板绕点B逆时针旋转（）至直线，若，球从A打到挡板和球从B打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则_______．（用含的代数式表示）； ②当______时，． 7．项目化学习：万花筒是一种通过光的反射产生对称图形的光学玩具．是1816年苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特发明． 为了寻找万花筒成像完整的方法，项目化小组将两面镜的背面用胶带粘贴形成一个可以自由开合的“镜子门”，通过实验探究“镜子门”张角的大小对成像完整的影响，发现了一些规律，请你协助他们完成下列数据的填写． 【实验一】如图（1）当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的2个小球． （1）【实验二】如图（2），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，可以在两平面镜中看到完整的______个小球． 项目化小组成员通过查阅资料，了解到其中的原理：左边的镜子成一个像，右边的镜子成一个像，这是两个基本像点，只要它们落在另一镜前就会相互反射形成多个镜像，因此左边的镜像在右边的镜子里又成一个像，右边的镜像在左边的镜子里也成一个像，但是由于角度问题这两个像是重合的． 如图（3），当镜子M，N形成的“镜子门”张角大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球S，小球S在平面镜中所成的像为，，像在镜面N里又成像同理在镜面M里又成像，由角度可以推算出，，是重合的． （2）【实验三】如图（4），当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． （3）【实验四】当“镜子门”张角的大小为时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______． …… （4）【规律总结】当“镜子门”张角的大小为（且能被整除）时，在两镜面夹角的平分线上放一个小球，它在两平面镜中所成完整像的个数为______．（用含n的式子表示） 考点02轴对称之最值问题 8．如图，中，，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．5 9．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 10．如图，在中，．点D为边所在直线上一动点，连接，将分别沿翻折至，连接，则面积的最小值为 _____ ． 11．已知在中，，，，，点P为边上的动点，点D为边上的动点，则的最小值为______________________． 12．如图，在中，，，，，点是上的一个动点（点与点不重合），连接，作点关于直线的对称点，当点在的下方时，连接、，则面积的最大值为_____． 13．如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则________°，面积的最小值为________． 14． “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据： ； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值，并说明理由． 15．如图，在正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上． (1)在图中作关于直线对称的； (2)若直线上有一点，请标出使的值最小时的位置，并求出的最小值． 16．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 考点03轴对称之作图问题 17．如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边上建一自来水厂向A村与B村供水，若要使水厂到A，B村的水管（同样的料）用料最省，则水厂应建在什么位置？ (1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置（保留作图痕迹）； (2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤； (3)请根据画法证明你的结论． 18．如图，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A，B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？（用尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法） 19．图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 20．如图，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的，其中点A，B，C的对称点分别为，，； (2)在y轴上找一点D，使的值最小，在图中画出点D（保留必要的作图痕迹）． 21．在正方形中有一条线段，请设计2种方案添加一条线段，使得添加后图形是一个轴对称图形，并标出对称轴．（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法，可作必要文字说明） 22．如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，为格点（网格线的交点）三角形． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)用无刻度直尺在边上作一点，使（保留作图痕迹）． 23．转化策略 数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，很多问题的解决都用到了转化策略，转化是解决数学问题的一种重要策略．相信你也经历过“理解问题——拟定计划——实施计划——回顾反思”的思考和解决问题的过程，感悟到转化策略在问题解决过程中起着重要作用． 问题提出 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 问题解决 （1）如图，直线l的两侧分别有A、B两点，请你在直线l上确定一个点C，使最短； （2）上述“将军饮马”问题可以转化成（1）中的问题解决，即两点位于直线同一侧的问题转化为两点分别位于直线两侧的问题．如图2，请你用尺规作图在直线l上求出C点的位置；（不写作法，保留作图痕迹） （3）为了说明（2）中点C的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线l上另外取点C，连接，，说明即可，请你借助（2）中所作的图说明道理； 类比探究 （4）如图3，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处．请分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短，并说明道理．（辅助线用虚线，最短路径用实线表示．） 反思提炼 （5）回顾本题的解决过程，你有哪些感悟？ 24．如图是正方形网格，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．请补全图形，并且画出对称轴（如图例），要求所画的三种方案不能重复． 25．【问题呈现】如图①，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进入工厂大门后，先到储物点取物品，再到车间．你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短？ 【数学理解】如果把大门、车间和储物点都看作一个点，把道路看作一条直线，那么就可以把上述问题抽象成数学问题，如图②． 【解决问题】（1）按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①如图③，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使最短； ②请利用图④解决题干中的问题． 【能力迁移】（2）如图⑤，四边形EFGH是一个长方形的台球桌，有黑、白两球分别位于A，B两点．怎样撞击黑球，能使黑球先碰撞台边GH，反弹后再碰撞台边EF，最后击中白球？请你认真思考，将黑球移动的路线作在图上（保留作图痕迹，不写作法）． 考点04关于旋转的证明 26．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上．求证：．    27．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 28．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容： 如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形． (1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：　 　． (2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则： ①∠DAE=　 度； ②∠CDE=　 度； ③线段EF的长是　 ． 29．取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 30．如图，点O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，在直线AB上方有射线OM、ON分别从OA和OC开始绕点O顺时针旋转，旋转过程中始终保持∠AOM＝2∠CON，OQ平分∠AON． (1)如图1，证明：ON平分∠MOB； (2)如图2，在旋转过程中，当∠CON＝2∠MOQ时，求∠CON的度数； (3)如图3，在旋转过程中，∠AOM是锐角，射线OD在∠MON内部，∠MOD＝30°，OP平分∠MON，∠MOQ：∠POD＝m，∠NOB：∠QOC＝n，在AB下方有射线OT，∠AOT＝90°﹣（m＋n）°，∠BOT＋∠MOQ＝110°，求∠AOM的度数． 31．【难】如图，直线，一副三角尺中，． (1)若如图①摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图②，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上．当固定，将沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线相交于点H（图③），求的度数； (3)若图②中固定，将绕点B逆时针旋转（图④），速度为2分钟半圈，在旋转至与直线首次重合的过程中，请求出当的一边与的一边平行时旋转的时间． 考点05旋转递进式探究 32．数学综合实践课上，小明用一块直角三角板进行探究：将三角板的直角顶点O放在直线上，将边落在射线上，边位于直线上方，三角板 绕点O顺时针旋转，旋转角为a，作直线平分交所在直线于点E． (1)提出问题：如图1，若旋转角，求的度数； (2)探索发现：如图2，若旋转角时，求的值； (3)拓展探究：继续旋转三角板，若旋转角时，此时与还存在（2）中的结论吗？若存在，说明理由；如不存在，直接写出与之间的关系． 33．数学实验课上，同学们探究角度之间的关系． 将两块直角三角板的顶点叠在一起，已知，，将三角板绕点旋转，在旋转过程中，保持始终在的内部．    (1)将两块直角三角板按如图1方式摆放． ①若时，求的度数； ②试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若平分，平分，在三角板旋转过程中，的大小是否发生改变？若不变，请说明理由；若改变，请求出变化范围． 34．某校七（1）班数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为__________； (2)在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点顺时针旋转一个角度． ①如图2，当为直角时，求的度数； ②如图3，在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由，，其中任意两边组成的角时，请直接写出旋转角的度数． 35．【实践操作】小明同学以线段作为研究对象研究三种图形变换之间的关系．已知线段，直线和，作线段关于直线对称的线段，再作关于直线对称的线段，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、． 【问题探究】如图①，当直线与直线平行时 (1)可看作是沿着______方向平移而成的图形，平移的距离等于线段______的长度； (2)试说明：； 【类比探究】如图②，当直线与直线相交于点时 (3)可看作是绕着点______旋转而成的，与的数量关系为______； (4)当直线与直线垂直时，与关于______对称； 【知识应用】 (5)由实践操作可知：平移和旋转都可转化为若干次轴对称变换，即图形的变换都可由轴对称完成．如图③，可以由经过3次轴对称变换得到，请画出3次轴对称变换的示意图（保留画图痕迹，写出必要的文字说明）． 36．如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，，．三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)如图②，当时，______，______，______； (2)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另外两条射线构成夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当三角板在直线上方旋转时，且平分平分，试探究的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 37．在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“平行线和直角三角尺”开展数学活动． 【操作发现】如图1，将一个含角的直角三角尺的一边与直线重合，其中，．将该三角尺绕点逆时针旋转，如图2所示，过点作直线，的角平分线与直线交于点． (1)当时，求的度数； (2)当为多少度时，？请说明理由． (3)【拓展探究】如图3，延长得射线，与的角平分线交于点．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用含的代数式表示；若不会，求出的度数． 38．【问题背景】 综合与实践活动课上，老师以“一副三角板和两条平行线”为背景指导同学们开展数学探究活动． 如图1，已知直线，三角板和三角板中，，，，． 【探索发现】 (1)如图2，老师指导同学们摆放三角板，使得三角形的顶点P、Q分别落在直线和上，则__________．（填写度数） (2)如图3，摆放两块三角板，让和分别落在直线，上，且使直角顶点与重合（以下称为点），求的度数； 【迁移运用】 (3)如图4，三角板和三角板仍按原位置摆放，转动两条平行线，使与交于点E，与交于点F，若，，请求出和的数量关系； 【拓展创新】 (4)在图3的基础上，三角板和三角板分别绕点R旋转，设运动时间为t秒（）． ①固定三角板的位置不变，三角板绕点R顺时针每秒旋转半周（即），当__________时，与三角板的某条边平行； ②在①的条件下，三角板绕点R逆时针每秒旋转一周（即），两块三角板同时开始旋转并同时结束．在旋转过程中，存在射线、、，其中一条射线平分另外两条射线所组成的角，请直接写符合条件的t值． 39．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 40．图形运动藏奥秘，动手实践出真知！某校七年级数学兴趣小组围绕直角三角形运动，解锁几何探究新乐趣． 【操作】 如图，在正方形中，点是边上一动点（不与、重合），连结． （1）将三角形绕点逆时针旋转得到三角形（点、分别与点、对应），请在图中画出旋转后的图形；（不要求写作图步骤，只写结论） 【探究】 （2）在（1）所画图形的基础上，已知，（其中），连结． ①当，时，求三角形的面积； ②如果三角形的面积为，三角形的面积为，求线段的长． 【拓展】 （3）在（2）的条件下，画出三角形关于直线成轴对称的三角形（点A与点G是对称点），设交于点，直接写出三角形与三角形的面积差．（用含b的代数式表示） 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $