专题08 轴对称与旋转6大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦轴对称与旋转核心考点，通过6大题型系统构建从概念判断到综合应用的解题逻辑，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |轴对称判断|10题|选择/填空/作图|从定义辨析到对称性质应用，层层递进| |轴对称求解|12题|计算/最值/动态问题|结合折叠、最短路径，培养推理能力| |折叠问题|13题|角度计算/多步折叠|通过矩形纸带等载体，深化对称变换理解| |台球轴对称|11题|路径设计/角度推理|联系生活实际，强化数学建模意识| |旋转性质应用|11题|角度/线段计算|从静态旋转到动态探究，提升空间想象| |旋转证明|8题|线段/角相等证明|结合正方形等背景，培养逻辑推理能力|

专题08 轴对称与旋转6大题型归类 考点01 根据成轴对称图形的特征进行判断 考点02 根据成轴对称图形的特征进行求解 考点03 折叠问题 考点04 台球桌面上的轴对称问题 考点05 根据旋转的性质求解 考点06 根据旋转的性质说明线段或角相等 考点01 根据成轴对称图形的特征进行判断 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D．两点之间，线段最短 【答案】D 【分析】根据轴对称图形，成轴对称图形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等逐项判断即可． 【详解】解：对于A，根据轴对称的性质，成轴对称的两个图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，原说法颠倒关系，故A错误； 对于B，根据角平分线的判定定理，在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的角平分线上，故B错误； 对于C，对称轴是直线，等腰三角形底边上的高线是线段，正确表述为等腰三角形底边上的高线所在直线是它的对称轴，故C错误； 对于D，“两点之间，线段最短”是基本几何事实，说法正确． 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解；轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 【详解】解：与关于直线对称， ， ， ，故A、C、D选项正确， 不一定成立，故B选项错误， 所以，不一定正确的是B． 3．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质；根据对称点所连线段被对称轴垂直平分，即可得到答案． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴对称点所连线段被对称轴垂直平分， ∴能被直线垂直平分的是， 故选：D． 4．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等，对应点到对称轴的距离相等是解决问题的关键． 根据轴对称的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、点和对称点是点和，．故该选项说法正确，不符合题意； B、∵点、、、对称点是点、、和，，．故该选项说法错误，符合题意； C、∵点、对称点分别是点、，直线故该选项说法正确，不符合题意； D、∵点对称点是点，，故该选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 5．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．利用轴对称的性质进行判断，全等三角形不一定轴对称，但轴对称的三角形一定全等；对应点可能在对称轴上；对称轴通常唯一． 【详解】解： A、 全等三角形不一定关于某直线对称，例如通过平移得到的全等三角形，故该选项不符合题意； B、 如果两个三角形关于某直线轴对称，则它们全等，这是轴对称的基本性质，故该选项符合题意； C、 成轴对称的两个图形的对应点不一定在对称轴的两侧，有些点（如对称轴上的点）对应自身，故该选项不符合题意； D、 成轴对称的两个三角形对于给定的对称关系只有一条对称轴，故该选项不符合题意； 故选：B． 6．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 【答案】(1)， (2) (3)，（答案不唯一） 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴点的对称点是点，点的对称点是点 （2）解：∵与关于直线对称， ∴，则 （3）解：∵与关于直线对称， ∴，．（答案不唯一）． 7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 【答案】(1)直线垂直平分线段 (2) 【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可得出结果； （2）根据图形的平移作图，然后由平移的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图，线段即为所求的线段． 直线垂直平分线段； （2）解：如图，线段即为所求的线段．． 8．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【分析】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 9．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 10．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 (2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析 【分析】（1）连接交河岸于点，点为所选的位置；（2）作点关于直线的对称点，连接交河岸于点,点为所选的位置。 【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求； 理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。 答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。 （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。 理由：点与点关于直线对称， . . 即：. 由两点之间线段最短， 点M为所选择的位置。 答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。 【点睛】本题考查了两点之间线段最短求点的位置，掌握对称点作法及轴对称性质与两点之间线段最短是解题的关键。 考点02根据成轴对称图形的特征进行求解 11．如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质可得，，进而根据三角形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点是点关于的对称点是， ∴，． ∵， ∴． 12．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，， ∴，， ， ∴的周长 ． 13．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】根据折叠的性质可得，点与点关于直线对称，从而得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当三点共线时周长最小，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由折叠的性质可知，，点与点关于直线对称 点在上，点与点关于直线对称 的周长 两点之间线段最短 当点在同一直线上时，的值最小，最小值为的长 的周长最小值为． 14．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出和关于直线对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：和关于所在的直线成轴对称， 是的对称轴， ， 点，是边上的两点， 和关于直线对称， ， 由图可知，阴影部分的面积． 15．如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 16．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 17．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 18．如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 【答案】 【详解】解：∵，分别是点关于、的对称点，， ∴，， ∴， 即的周长为． 19．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 20．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 【答案】15 【分析】根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：∵点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． 【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析 (2) (3) 【分析】（）利用轴对称性质，证得的两边相等且夹角为，判定其为等腰直角三角形； （）结合等腰直角三角形面积公式与垂线段最短，通过的面积求出到的距离，进而算出的最小面积； （）通过作点关于、的对称点、，利用轴对称性质将转化为(两点之间线段最短)，结合推出；再求出在上运动时OP的最值(最小值为斜边上的高，最大值为)，从而得到的范围为． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 理由如下： 由轴对称的性质得：，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：由（）知，是等腰直角三角形， ∴面积， 根据垂线段最短，的最小值是点到直线的距离， ∵，，， ∴，即， ∴面积最小值为； （3）解：作点关于、的对称点、，则，， ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 22．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 考点03折叠问题 23．如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线和折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 又由折叠得，， ∴． 24．利用如图所示的方法（图下方的（1）（2）（3）（4）表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．下列依据：①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角相等，两直线平行；⑤平行于同一直线的两直线平行，其中合理依据有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先根据折叠的性质得到折痕都垂直于过点的直线，根据平行线的判定方法求解． 【详解】解：如图， 由题图（2）的操作可知， 所以， 由题图（3）的操作可知， 所以， 所以， 所以可依据②同位角相等，两直线平行，或③内错角相等，两直线平行，判定． 综上所述，合理依据有2个． 25．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质得出，根据折叠得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵长方形纸条中， ∴， 根据折叠可得：． 26．按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则____． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，根据折叠得出，进而得到，由即可得出结果． 【详解】解：由题意得， ∴，， 由折叠的性质得， ∴， ∴． 27．如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 【答案】96度/ 【分析】由得出，然后结合折叠的性质求解． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由翻折的性质得，图2中，， ∵ ∴， ∴， ∴图3中，． 28．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，由翻折变换的性质可知，据此根据平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， 由翻折变换的性质可知， ∴． 29．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________ 度，_______ 度． 【答案】 120 45 【分析】由折叠性质和平行可得，从而求得，再由与即可求解． 【详解】解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 【答案】 【分析】由折叠可得，，，由，得，则，当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小，根据的面积为，，求出，即可求解． 【详解】解：、分别沿、向外翻折，得到，， ，，， ， ， ， 当取最小值时，的面积最小，在中，当为边的高，即时，最小， 的面积为，， ， ， 面积的最小值为， 故答案为：． 31．如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 【答案】 【分析】平角的定义，求出的度数，折叠，得到，再根据角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴． 32．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 【答案】(1)，45 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据内错角的定义即可得到与是内错角，先推导出，再根据折叠的性质，得到，即可解答； （2）先推导出，，则，即可解答； （3）先推导出，再求出，根据将纸片沿折痕EF折叠，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图1 ∵点E与点A重合，使点恰好落在线段上， ∴与是内错角， 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图 ， ， ， ， ； （3）解：如图 ， ， ， ， ∵将纸片沿折痕折叠， ， ， ． 33．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】(1) (2)或或 (3)①或；② 【分析】（1）按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可； （2）根据角的和差关系以及新定义进行判断即可； （3）①按照“伙伴角”的定义可得或，再建立方程解答即可；②按照“伙伴角”的定义可得，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【详解】（1）解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． （2）解：如图， 两个角差的绝对值为， 则此两个角互为“伙伴角”， 而， 设其伙伴角为， ， 则或， 由图知，， 的伙伴角是或或． （3）①∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或； ②由对折可得：，， ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 34．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)90 (2)选择图（2）：；选择图（3） (3)或 【分析】（1）根据折叠可得：，，再根据，即可得出答案； （2）设，，根据图形中角度关系求出，根据求出结果即可； （3）分两种情况讨论：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠可得：，， ∵， ∴； （2）解：选图（2），由折叠可知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ ； 选图（3），由折叠可知，， 设，， ∵， ∴， 即， ∴ ； （3）解：如图，当在下方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 如图，当在上方时， 由折叠可知：，， 设，则， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴； 综上，或． 35．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 【答案】(1)或 (2)或；或或 【分析】（1）根据定义得出，从而求得结果； （2）①设，则，根据定义得出，进而求得结果； ②设，当在或内时，，进一步得出结果； 当在外部时，可得出方程，进一步得出结果． 【详解】（1）解：和互为“美妙角”， ， ， ， 或； （2）解：①设，则， 与互为“美妙角”， ， 或； ②设， 如图1﹣1和图1﹣2 当在或内时， ， ， 与互为“美妙角”， ， 或， 如图2， 当在外部时， ， ， ， ， 综上所述：或或． 考点04台球桌面上的轴对称问题 36．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 37．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 38．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】本题考查轴对称的知识，根据题意画出图形，然后即可作出判断．难度不大，注意画出图形会使问题比较简单直观． 【分析】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 39．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 40．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 【答案】B 【分析】作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH，根据两点之间，线段最短即可． 【详解】解：作A关于BC的对称点G，A关于DE的对称点H，连接MG，NH， 则AM=MG，AN=NH， ∴△AMN的周长为AM+MN+AN=MG+MN+NH， 由两点之间，线段最短可知：当G、M、N、H共线时，△AMN的周长最小， ∵∠BAE=152°， ∴∠G+∠H=28°， ∵AM=MG，AN=NH， ∴∠G=∠GAM，∠H=∠HAN， ∠AMN+∠ANM=2∠G+2∠H=2×28°=56°， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，两点之间，线段最短等知识，正确找出△AMN周长最小时，点M，N的位置是解题的关键． 41．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 42．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 43．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，最后由垂直的概念可得答案． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， ． 44．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 45．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，生活中的轴对称现象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）取格点，连接交于点，连接，构造等腰直角三角形，取格点，连接，将平移，使点与点重合，交于，交于点，点，点即为所求； （2）作点关于的对称点，连接交一点，连接，点即为所求，作点关于的对称点，连接分别交于点，连接，路径即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，点，点即为所求；   ， 由勾股定可得：，，，，，， ，，， 、、是等腰直角三角形， ，， 由平移的性质可得， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：如图2中，点即为所求，路径即为所求．   ． 46．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求． （2）作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【详解】（1）解：如图2中，作点P关于的对称点，连接交于T，线路即为所求， 原理：∵点和点P关于对称， ∴， ∵， ∴； （2）如图3中， 作点P关于的对称点，作点Q关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于E，交于F，连接交于点G，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题． 考点05根据旋转的性质求解 47．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可知，， ， ． 48．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴． 49．如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据旋转的性质得到，是旋转角，据此解答即可． 【详解】解：将绕点A按逆时针旋转得到， 此时点B与点对应，点C与点对应， 则旋转角． 50．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 【答案】/ 【分析】根据旋转的性质结合角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：∵把绕点按逆时针方向旋转得到，， ∴， ∴. 51．踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 【答案】32 【分析】设绕点逆时针旋转至时，，再由两直线平行，同位角相等即可求解． 【详解】解：当绕点逆时针旋转至时，， ， ，又， ． 52．如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得出旋转角的度数，再利用角的和差关系计算的度数． 【详解】解：绕点逆时针旋转到的位置， 旋转角， ， ． 53．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 【答案】8或20 【分析】分2种情形分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图1时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 如图2时， ∵， ∴， ， 旋转时间． 综上可知，边与平行的时间为或． 54．一副直角三角尺按如图1所示方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）所有符合条件的度数为__________． 【答案】 ， 【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：当，， ． 当， ． 55．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转角的定义计算即可； （2）设，分别表示出和，进而求解； 【详解】（1）解：由题意知，至少旋转的大小， ∵，， ∴， 即至少旋转75度，才能使落在上； （2）解：由旋转的性质得， 设， 则， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 56．小宁同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供“一块含角的直角三角板，两条平行线”． 【动手实践】将三角板绕着某点旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 【问题解决】点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的直角三角板按图1放置，使点F，E分别在直线，上，且点E在点P的右侧，，，设． (1)填空：当时，则________； (2)如图2，若的平分线交直线于点H． ①当于点时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，求出此时t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）当时，，再根据平行的性质得到，再由求出答案即可； （2）①根据题意得到，证明，再根据角平分线的定义得到，得到，再根据平行的性质得到，即可得到答案； ②当射线旋转到时，旋转至，延长至点，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ； （2）解：①， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ； ②旋转时间， ， 如图，当射线旋转到时，旋转至，延长至点， ， ， ， ， 由题意可得，， 未旋转前，， ， ， 解得； 当与在直线同侧且平行时， 由， 解得，此时两直线重合，不符合题意舍去， 综上所述，． 57．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 58．如图1，在和中，点在边上，点与点重合，，，，．将绕点按逆时针方向旋转（如图2），得到（点分别与对应）． (1)填空：__________． (2)判断线段与的关系，并说明理由； (3)保持不动，将沿射线平移，得到（点分别与点对应），连接，若四边形是轴对称图形，求的度数． 【答案】(1) (2)线段与平行且相等．理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得答案． （2）证明，可得，结合旋转的性质可得． （3）如图，四边形是轴对称图形，直线是对称轴，进一步结合轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转， ∴． （2）解：，，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：如图，四边形是轴对称图形，直线是对称轴， 则． ， ， 由平移，得， ， ， ， ． 考点06根据旋转的性质说明线段或角相等 59．如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：旋转角为， ， ， 故选：B． 60．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转变为， ∴， 故A，B，D选项正确，不符合题意， C选项不正确，符合题意． 故选：C． 61．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 62．如图，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，若，，则______． 【答案】 30 【分析】根据旋转的性质可知对应角相等，即，结合图形中角的和差关系即可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，，且， ， ． 63．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 64．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)灯A射线经过20秒，第一次照射到灯B (2) (3)①或；②或 【分析】（1）根据平行线的性质求出，据此可得答案； （2）设和为灯A和灯B发出的射线，再根据平行线的性质求解即可； （3）①分当时，当时，当时三种情况进行讨论求解即可；②根据①所求，分当时，当时，两种情况分别求出与即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 灯A转动的速度是秒， 灯A射线经过秒，第一次照射到灯B； （2）解：如图所示，设和为灯A和灯B发出的射线，则， ，， ，， ， 解得； （3）解：①如图所示，当时，过点C作，则， ，， ； 当时，两条射线的交点C不在两灯带之间，不符合题意，舍去； 如图所示，当时， 同理可得 ； 综上所述，或； ②如图所示，当时， 由（3）①得，． ， ， ； 如图所示，当时， 由（3）①得， ， ， ； 综上所述，或． 【点睛】本题的关键是利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合光线的动态转动，分情况讨论角度变化，通过构造辅助线和用含t的代数式表示角度，再消元求解数量关系． 65．如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 【答案】(1)点，90 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可； （2）由旋转的性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形； （3）由旋转可得，进而得到，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， ∵经逆时针旋转后能与重合， ∴旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）解：是等腰直角三角形，理由为 四边形是正方形， ， 由旋转，得，， 是等腰直角三角形； （3）证明：由旋转，得， ， ， ． 66．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分三种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）解：①如图，， ， ②如图，， ， ③如图，延长交于点， ， ， ， ， ， 综上所述：度数为或或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 67．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容： 如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形． (1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：　 　． (2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则： ①∠DAE=　 度； ②∠CDE=　 度； ③线段EF的长是　 ． 【答案】(1)画图见解析，； (2)，理由见解析； (3)①80，②40，③6． 【分析】（1）根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）由旋转的性质得出△ADB≌△ACE，利用全等三角形的性质解决问题即可； （3）①利用轴对称的性质求出∠DAF，然后根据旋转的性质得出答案； ②根据旋转的性质和等腰三角形的性质求出∠ADB和∠ADE，进而可得∠CDE的度数； ③利用旋转的性质和轴对称的性质求出DE和DF即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，△ABD即为所求，CE＝DB，CE⊥DB， 证明：设CE、AC分别与BD交于点F、G， ∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB， ∴△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠ACE＝∠ADB， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （2）CE＝DB，CE⊥DB； 理由：∵△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB， ∴△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠C＝∠D， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （3）①∵△ADF与△ADB关于AD对称， ∴∠DAF＝∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝80°， 由旋转的性质可知，∠DAE＝∠BAC＝80°， 故答案为：80； ②由旋转的性质可知，AB＝AD，∠ADE＝∠B， ∵∠BAD＝40°， ∴∠B＝∠ADB＝×（180°−40°）＝70°， ∴∠ADE＝70°， ∴∠CDE＝180°−∠ADE−∠ADB＝40°， 故答案为：40； ③由旋转的性质可知，BC＝DE＝9， ∵△ADF与△ADB关于AD对称， ∵BD＝DF＝3， ∴EF＝DE−DF＝9−3＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 轴对称与旋转6大题型归类 考点01 根据成轴对称图形的特征进行判断 考点02 根据成轴对称图形的特征进行求解 考点03 折叠问题 考点04 台球桌面上的轴对称问题 考点05 根据旋转的性质求解 考点06 根据旋转的性质说明线段或角相等 考点01 根据成轴对称图形的特征进行判断 1．下列说法中，正确的是（   ） A．两个成轴对称的图形中，对称轴被对应点所连线段垂直平分 B．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点不一定在这个角的角平分线上 C．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高线是它的对称轴 D．两点之间，线段最短 2．如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中，不一定正确的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，与关于直线对称，下列所连线段中，能被直线垂直平分的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，六边形ABCDEF关于直线l对称的图形是六边形．下列判断错误的是（   ） A． B． C．直线 D． 5．在下列说法中，正确的是（        ） A．如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称 B．如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形 C．成轴对称的两个图形的对应点一定在对称轴的两侧 D．成轴对称的两个三角形可以有多条对称轴 6．如图，若与关于直线对称，交于点． (1)点的对称点是点 ，点的对称点是点 ； (2)若，则 ； (3)写出两组相等的线段． 7．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），请按下列要求作图，并标出相应的字母． (1)在图中，画出线段关于直线对称的线段，点A对应的点为，点B对应的点为．连接，线段和直线的位置关系为________； (2)在图中，将线段向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段，点A对应的点为，点B对应的点为，画出线段，连接、，线段和线段的数量关系和位置关系分别为________． 8．如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 9．如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 10．笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场． (1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由． (2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由． 考点02根据成轴对称图形的特征进行求解 11．如图所示，内有一点，点关于的对称点是点关于的对称点是，分别交，于，点，若的长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 12．如图，为的边上一点，点关于直线的对称点恰好在线段上，连接，若，则的周长是（    ） A．10 B．13 C．14 D．15 13．如图，在中，，，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．9 14．如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是边上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是______． 15．如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 16．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 17．如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 18．如图，已知点是内的一点，，分别是点关于、的对称点，连接，与、分别相交于点，，已知，求的周长． 19．如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 20．【中档】如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，求线段的长． 21．【探究活动】已知：，是平面内一点． 知识建构：如图，点在内部，分别作点关于边的对称点，连接与相交于点，则此时的周长最小，且连接后，得到的是等腰直角三角形．理由如下： ∵点关于边的对称点分别为， ∴． ∴， 根据“两点之间线段最短”，得到周长的最小值为线段的长度． ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形． 学以致用： (1)如图，若点在外部，分别作点关于边的对称点，顺次连接，试判断的形状，并说明理由． 继续探究： (2)如图：点分别在两边上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，则的面积最小值为________． 拓展提升： (3)如图，把由旋转成，连接，得到直角．若边，且分别是边上的动点．小明研究发现：对于点在线段上的每一个不同的位置，存在一个与之相应的最小值．当点从运动到点时，请直接写出的变化范围________． ∴，即最小值， ∵， ∴，且， ∴、、共线，，即， 在上运动： 的最小值为斜边上的高：， ∴， 的最大值出现在端点：在点时最大， ， 故的变化范围为． 22．【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 考点03折叠问题 23．如图把一张长方形纸片沿折叠后，交于点，点分别落在、位置上．若，那么（    ） A． B． C． D． 24．利用如图所示的方法（图下方的（1）（2）（3）（4）表示折的顺序），可以折出“过已知直线外一点和已知直线平行”的直线．下列依据：①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角相等，两直线平行；⑤平行于同一直线的两直线平行，其中合理依据有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．如图，把一张长方形纸片沿折叠，使点落在点处．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 26．按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则____． 27．如图1是长方形纸带，，先将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的度数为___． 28．如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则________． 29．如图①，已知长方形纸带，，，，点、分别在边，上，，如图②，将纸带先沿直线折叠后，点、分别落在、的位置，如图③，将纸带再沿折叠一次，使点落在线段上点的位置，则________ 度，_______ 度． 30．如图，在锐角中，，，的面积为，为上一动点，将、分别沿、向外翻折，得到，，连接，则面积的最小值为________． 31．如图，将三角形纸片折叠，折痕为，点落在点处，已知．求的度数． 32．综合与探究 问题情境：数学课上，同学们以“长方形纸带的折叠”为主题开展数学活动，已知长方形纸带的边，将纸片沿折痕折叠，点E是折痕与边的交点，点F是折痕与边的交点，点A，B的对应点分别为点，，线段与交于点G．（说明：折叠后纸带的边始终成立） 操作探究： (1)如图1，若点E与点A重合，使点恰好落在线段上，与______是内错角，如图2，若，则的度数为______°； (2)如图3，改变折痕的位置，其余条件不变，猜想图中和的大小关系，并说明理由； (3)如图3，若，求的度数． 33．若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： (1)若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； (2)如图1，O为直线上一点，，，则的“伙伴角”是_______； (3)①如图2，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点，若与互为“伙伴角”，求的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 34．折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片的边上找到一个异于A，D的点E，连接，，将纸片分别沿，折叠，点A落在点F处，点D落在点G处． (1)【问题初探】如图（1），若点F在线段上，直接写出 °； (2)【问题再探】如图（2）、（3），当E，F，G三点不共线时，若，请在图（2）、（3）中选取一个，求出的度数（用含β的代数式表示）； (3)【问题深探】如图（4），在边上取一点M，连接，将纸片沿折叠，点A落在点H处，当点M在边上移动到使时，若，直接写出和的数量关系． 35．若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“美妙角”．即，则称和互为“美妙角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“美妙角”，当时，求的度数； (2)如图1，一张长方形纸片，点P在边上，点E在边上．将纸片沿着折叠，点B落在点处． ①若与互为“美妙角”，求的度数； ②点F在线段或上，再将纸片沿着折叠，使点C落在．若与互为“美妙角”，则 ． 考点04台球桌面上的轴对称问题 36．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 37．如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 38．下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（    ）次． A．6 B．7 C．8 D．9 39．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 40．如图，在五边形中，，，，在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（    ） A．55° B．56° C．57° D．58° 41．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 42．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 43．一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面的点滚向桌边，碰到上的点后便反弹而滚向桌边，碰到上的点便反弹而滚入点，一共反弹两次．已知都是直线，，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，若，则的度数为______． 44．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 45．如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．长方台球桌的顶点都是格点，台球桌上有两个小球，分别位于格点处．    (1)在图1中，先在边上画点，使，再在边上画点，使； (2)在图2中，先在边上画点，连接，使，再画一条路径，使球两次撞击台球桌边，经过两次反弹（反射角等于入射角）后，正好撞到球． 46．公元一世纪，正在亚历山大城学习的古希腊数学家海伦发现：光在镜面上反射时，反射角等于入射角．如图1，法线垂直于反射面，入射光线与法线的夹角为入射角，反射光线与法线的夹角为反射角．台球碰撞台球桌边后反弹与光线在镜面上反射原理相同． 如图2，长方型球桌上有两个球，．请你尝试解决台球碰撞问题： (1)请你设计一条路径，使得球撞击台球桌边反射后，撞到球．在图2中画出，并说明做法的合理性． (2)请你设计一路径，使得球连续三次撞击台球桌边反射后，撞到球，在图3中画出一种路径即可． 考点05根据旋转的性质求解 47．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 48．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 49．如图，将绕点A按逆时针旋转到的位置，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．如图，把绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______． 51．踢正步是解放军战士的一门必修课．图1是一名解放军战士踢正步的场景，图2是其简化示意图，，．若要使臂部与腿部平行（），则应绕点逆时针旋转__________°． 52．如图，绕点O逆时针旋转到的位置，已知，则______． 53．已知两个完全相同的直角三角形纸片、，如图放置，点、重合，点在上，与交于点．，，现将图中的绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，的边与平行的时间为_________秒． 54．一副直角三角尺按如图1所示方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动，当两块三角尺至少有一组边互相平行，则（）所有符合条件的度数为__________． 55．在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放． (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转　　　度，才能使落在上； (2)如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转到如图2的位置，得到，当时，为多少度？ 56．小宁同学在学习“平行线”后进行了课后探究： 素材提供“一块含角的直角三角板，两条平行线”． 【动手实践】将三角板绕着某点旋转能形成丰富的图形，也能得到许多有趣的结论． 【问题解决】点P为直线外一点，过点P作直线．现将一个含角的直角三角板按图1放置，使点F，E分别在直线，上，且点E在点P的右侧，，，设． (1)填空：当时，则________； (2)如图2，若的平分线交直线于点H． ①当于点时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点E以每秒的转速顺时针旋转，同时射线绕点P以每秒的转速顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．设旋转时间为t秒，在旋转过程中，当时，求出此时t的值． 57．已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 58．如图1，在和中，点在边上，点与点重合，，，，．将绕点按逆时针方向旋转（如图2），得到（点分别与对应）． (1)填空：__________． (2)判断线段与的关系，并说明理由； (3)保持不动，将沿射线平移，得到（点分别与点对应），连接，若四边形是轴对称图形，求的度数． 考点06根据旋转的性质说明线段或角相等 59．如图，中，，将绕点B顺时针旋转得到，其中点A的对应点为点D，若旋转角为，则的大小是（   ） A． B． C． D． 60．如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 61．如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 62．如图，将绕着点C顺时针旋转一定的角度得到，若，，则______． 63．如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 64．青岛灯光秀，尤其是浮山湾灯光秀，是青岛城市夜景的核心品牌，被官方和媒体广泛认可为集科技、文化与生态于一体的高水平城市光影工程．青岛利用浮山湾180度扇面地理优势，以53栋连续高层建筑为舞台，打造世界最长的滨海曲面灯光影视屏幕，通过水墨崂山、“五月的风”雕塑、胶东机场、青岛港、海洋生物等元素，展现青岛的开放、宜居与海洋文化．灯光秀中，灯带作为建筑立面亮化的基础单元，与投影、激光等技术融合，共同构成“以城为景、以天为幕”的巨型视觉叙事载体，展现青岛历史、科技与生态等多元主题．如图1，灯A位于灯带上，灯B位于灯带上．灯A射线自逆时针旋转至便立即回转，灯B射线自顺时针旋转至便立即回转．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒．假定两侧的灯带是平行的，即，且． (1)当时，灯A射线经过多少秒，第一次照射到灯B； (2)若，，且两灯同时转动．设两灯转动的时间为秒，若满足两灯的射线光束互相平行，求此时对应的t； (3)两灯以（2）中的速度同时转动，在灯B射线到达之前，若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C． ①用含t的代数式表示； ②若D是上一点，且，请直接写出与的数量关系． 65．如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 66．在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 67．【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容： 如图①，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD=∠EAB=90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形． (1)【操作发现】在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：　 　． (2)【探究证明】如图②，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，判断CE和DB的数量关系和位置关系，并说明理由． (3)【问题解决】如图③，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC=9，BD=3，则： ①∠DAE=　 度； ②∠CDE=　 度； ③线段EF的长是　 ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $