专题14 特殊四边形压轴题常考题型11题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦特殊四边形压轴题，以12类常考题型为框架，融合几何变换、函数建模与实践探究，构建从性质应用到综合创新的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填压轴（题型1-3）|15题|多结论验证（性质综合）、最值转化（对称/旋转）、函数图像分析|从特殊四边形性质到动态问题建模，形成"性质-变换-量化"逻辑链| |解答压轴（题型4-12）|40题|动点分类讨论、折叠全等构造、新定义迁移应用、实际问题抽象|以实践探究为载体，整合几何证明、计算与创新思维，体现"操作-推理-应用"递进关系|

专题14 特殊四边形压轴题常考题型 题型1 特殊四边形中多结论问题（选填压轴） 题型8 实践探究中求角度的关系（解答压轴） 题型2 特殊四边形中最值问题（选填压轴） 题型9实践探究中求与实际结合（解答压轴） 题型3 特殊四边形中与函数综合问题（选填压轴） 题型10 实践探究中折叠问题（解答压轴） 题型4特殊平行四边形中动点问题（解答压轴） 题型11 实践探究中新定义问题（解答压轴） 题型5 四边形中线段最短问题（解答压轴） 题型12 实践探究中与函数综合（解答压轴） 题型6 实践探究中求线段之间的关系（解答压轴） 题型一 特殊四边形中多结论问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及面积计算．解题的关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， ， ，即三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 当为的中点时，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， ， 不是的中点，故②错误； 当为的中点时， ，，故③正确； 过点作于点， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 点到的距离为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接．过点E作，交于点F，以，作矩形，连接．现有下列结论： ①矩形是正方形；②；③；④当时，矩形的面积为60 ．其中结论正确的序号是（     ） A．②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】过点分别作，垂足分别为，延长交于点，证明，得到，再证明四边形是正方形，得到，进而证明，得到，即可判断四边形是正方形；由，易证，即可证明；根据，，可得，即可证明；证明是等腰直角三角形，得到，结合，得到，求出，进而得到，在求出，即可得到矩形的面积为． 【详解】解：过点分别作，垂足分别为，延长交于点， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，即，故③正确； ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，即矩形的面积为，故④错误； 综上，结论正确的序号是①②③． 3．（2026·山东东营·模拟预测）如图，中，对角线，交于点，过点作的垂线，分别交，于点，，延长交直线于点，延长交直线于点，分别连接，，有如下结论： ，；四边形是菱形；若，，则；若，，，点为上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形是平行四边形得，，由此可对结论进行判断；根据，得是的垂直平分线，进而得，，证明和全等得，继而得，由此可对结论进行判断；依题意得，证明得，再证明和全等得，进而得，则，，在中，由勾股定理得，由此可对结论进行判断；过点作于点，根据菱形性质得，证明是等边三角形得，，在中，由勾股定理得，则，在中，根据得，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，根据是的垂直平分线得，则，由此可得的最小值为，据此可对结论进行判断；综上所述即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，故结论正确； ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论正确； ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴，故结论不正确； 过点作于点，连接，如图所示， ∴和都是直角三角形， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得， ∴的最小值为， ∴的最小值为，故结论正确， 综上所述：正确的结论是． 4．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点O，折叠正方形纸片，使落在上，点A恰好与上的点F重合，展开后折痕分别交、于点E、G，连接，给出以下结论：①；②；③四边形是菱形．其中正确结论的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①由折叠可得，，，得，可得，则，由正方形可得，可得；②由折叠可得，，，，证明，可得，再由正方形的性质可得、是等腰直角三角形，即可得；③由②可得，，，再由折叠可得，即可得四边形是菱形． 【详解】解：①由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，故①错误； ②由折叠可得，，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 由①得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ③由②可得，，， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴四边形是菱形，故③正确； 综上所述，正确的有2个． 5．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，已知正方形的边长为是对角线上一点，于点于点，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为；③的最小值为；④．其中正确结论的序号为（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①证明是等腰直角三角形，则，即可判断； ②先证明是等腰直角三角形，再根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，则四边形的周长，即可判断； ③证明，则，根据矩形对角线相等得，当时，垂线段最短，即可判断； ④证明，得到，进而求解． 【详解】解：连接，如图所示： ①∵正方形的边长为是对角线上一点， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ∴，故①正确； ②由①证明过程，同理得是等腰直角三角形， ， ， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵四边形为矩形， ， ∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ， ， ，即当最小时，最小， ∴当时，垂线段最短，即时，的最小值等于，故③错误； ④延长交于，延长交于，如图所示： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，①②④正确． 题型二 特殊四边形中最值问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，已知在Rt中，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形，连接，在点运动过程中，的最小值为_______． 【答案】 【分析】以为边作等边，并作，垂足为点H，连接、，由直角三角形的性质可求得，由“”可证，得，最小即是最小，此时，故的最小值是． 【详解】解：以为边作等边，并作，垂足为点H，连接、， 在中，，，， ∴，， ∴， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴最小即是最小， ∵当时，最小，此时， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值是． 2．（2026·黑龙江大庆·二模）在平面直角坐标系中，，分别是轴正半轴上的点，为线段的中点，，分别是，轴负半轴上的点，以为边在第三象限内作正方形．若，则线段长度的最大值是__________． 【答案】 【分析】取的中点，连接、、．根据勾股定理可得，在点与之间总有（如图1），、、、四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段取最大值． 【详解】解：如图1，，，取的中点，连接、、． ． 同理． 正方形，为中点，， ，，， 在直角三角形中，由勾股定理得：． 如图1，在点与之间总有， 由于的大小为定值，只有，且、关于点中心对称时，、、、四点共线，此时等号成立，如图2， 线段取最大值， 3．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点，分别在和上，且，将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是点是的中点，则最大时的值为________． 【答案】 【分析】连接交于点H，证明，得到，连接 ，求出，且，得到，则当三点在同一直线上，设交于点Q，证明，得到，则，解得，再由勾股定理即可求出答案． 【详解】解：连接交于点H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 如图，连接 ， ∵点H是的中点，点P是的中点， ∴，，且， ∴， ∵将矩形沿折叠，点A，B的对应点分别是 ∴， ∵，且， ∴， ∴当三点在同一直线上，设交于点Q， 由折叠可得，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∴ 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，，，，四点分别在长方形的各边上，且，，则四边形周长的最小值为_______ ． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和，，可证，利用全等三角形的性质可得出，，由此可得出四边形是平行四边形，作点关于的对称点，连接交于点，此时最小，即四边形周长最小，过点作于点，由对称结合矩形的性质可知：、，利用勾股定理即可求出的长度，进而可得出四边形周长的最小值． 【详解】解：四边形为矩形， ，， 又， ， ， ， ， 同理，可得出， 四边形是平行四边形， 作点关于的对称点，连接交于点， 此时最小，即四边形周长最小， 如下图所示，过点作于点， ，， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，为正方形的边上一动点，点在边上，，连接，将绕点顺时针旋转得到．若E，F分别为，的中点，连接，则长的最小值为_____． 【答案】1 【分析】添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 由旋转的性质可得，由“”可证，可得，由三角形中位线定理可得，可得当有最小值时，有最小值，即有最小值时，有最小值，则当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点P作，且，连接， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值，此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， ∴的最小值为1． 题型三 特殊四边形中与函数综合问题（共5小题） 1．（2026·河南驻马店·三模）如图，在矩形中，动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，动点同时从点出发，以的速度沿折线向点运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点的运动时间是（单位：），的长是（单位：），图是关于的函数图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形分析出的最小值和最大值即可求解． 【详解】解：根据题意与函数图象可知当点运动到边上，且时，有最小值，此时， 由图象可知当点运动到点时，有最大值，此时运动时间为， ， ． 2.（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图①，点是矩形各边和对角线上一动点，若点从边上的一点开始移动，设点运动的路程为，，与的函数关系如图②所示，则矩形的周长为（     ） A．15 B．20 C．28 D．32 【答案】C 【分析】根据函数关系图可知，点从的中点出发，到达点后沿着方向运动，从而计算出、的值，使用勾股定理求出，进而求出矩形的周长． 【详解】解：由图可知，当时，，即， ∴点从的中点出发， ∵当时，，即， ∴此时点与点重合， ∴， ∵当时，随的增大而增大， ∴此时点沿着方向运动， ∵当时，，即， ∴此时点与点重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴矩形的周长为． 3．（2026·河南·二模）如图1，在矩形中，点，分别为，的中点，点为线段上一动点，连接，，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，已知图象最低点的横坐标为2，若图象上点的横坐标为3，则点的纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，设交于点G，则四边形为矩形，可得当点AP，C三点共线时，取得最小值，为的长，由图2得：，，证明，可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设交于点G， 在矩形中，，，， ∵点，分别为，的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，为的长， 由图2得：， ∵图象最低点的横坐标为2， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当时，此时， ∴， 即点的纵坐标为． 4．（2026·河南焦作·二模）如图1，点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E．点P的运动路程为x，设，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则m的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接交于点，连接，求解，，结合图2可得：时，，，，可得在线段上，当重合时，满足，进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接， ∵正方形边长为， ∴，， ∵为的中点， ∴，， 结合图2可得：时，，，， ∴， ∴在的垂直平分线上，即在线段上， ∵点P从边长为6的正方形的顶点A出发，沿直线运动到正方形内部一点，再从该点沿直线运动到边的中点E． ∴当重合时，满足， ∴， ∴． 5．（2026·河南南阳·一模）如图（1），在矩形中，点P以每秒个单位长度的速度从点B沿着折线运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线运动，当点P到达点D时，点Q随之停止运动，连接．的面积y与点P的运动时间x（秒）之间的函数关系图象如图（2）所示，则m的值为（   ） A．5 B． C．6 D．7 【答案】C 【分析】设，，则，根据题意得出，，求出a、b的值，即可得出答案． 【详解】解：设，，则， 根据题意可得：当点Q运动到点C时，的面积最大， 即， ∴， 根据图象可得：当点P到达点D时，所用时间为秒， ∴， 即， ∴， 解得，（舍去）， ， ． 题型四 特殊平行四边形中动点问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图①，在四边形中，，，，，，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，、两点同时出发，当点返回点C时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)求的长； (2)当以为顶点的四边形是矩形时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点是边上的一点，且，如图②，是平面内一点，是否存在点、，使以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或 (3)的值为或 (4)的值为5或或 【分析】（1）如图所示，过点作于点G，则，得到四边形是矩形，可得，在中由勾股定理即可求解； （2）根据题意，分类讨论：当时；当时；结合矩形的性质列方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论：当时，，，；当时，，；由此列式求解即可； （4）根据题意，分类讨论：当四边形是菱形；四边形是菱形时；四边形是菱形时；结合菱形的性质，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 如图所示，过点作于点G，则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：，点从点出发，沿方向以每秒1个单位长度的速度运动， ∴点P的运动时间为秒， ，点从点出发，沿方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动， ∴点Q从的运动时间为秒，点Q从的运动时间为秒， ∴当点Q从所用时间和为6秒，此时点P，D重合， 设点的运动时间为秒， 当时，，，则， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得，； 当时，，，， 若时，由得到此时的四边形是矩形， ∴， 解得，； 综上所示，当以为顶点的四边形是矩形时，的值为或； （3）解：由（1）可知，，若时， ∴当时，，，，如图所示，过点作于点H， 同理可得，四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得，； 当时，如图所示，则四边形是矩形，， 同理可得，，则， ∴， 又， ∴， 解得，，此时点B，Q重合； 综上所示，的值为或； （4）解：点是边上的一点，且， 如图所示，当四边形是菱形时， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，设交于点F， ∴，， ∴； 如图所示，四边形是菱形时，， 在中，， ∴， 在中，； 综上所示，的值为5或或． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理等知识的综合，掌握上述知识，数形结合分析是关键． 2．（25-26八年级下·吉林长春·期中）在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 3．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，同时停止运动，设点运动的时间为秒． (1)的长为___________ (2)用含的代数式表示线段的长． (3)当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)16 (2)或 (3)或 (4)或或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分三种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点， ，， ∵， ； （2）解：∵在中，，， ∴，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，； （3）解：∵以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，且， ， 或， 解得：或； （4）解：当点在上，点在上时，则， ， ， 当在线段的延长线上时，点在上时， 当时，如图所示， ， 又， ∴， 解得：， ∴时，； 当点在线段的延长线上，点在上时，则， ， 解得：， 综上所述：或或． 4．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 【答案】(1)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (2)6或7 (3)不可能 (4)不可能 【分析】（1）根据题意可知当时，四边形为平行四边形，再列方程求解； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况进行求解； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形，结合（1）的结果判断即可； （4）四边形为正方形，则，再根据是否相等即可判断． 【详解】（1）解：， ， 故当时，四边形为平行四边形， 由题可知，，，， ，解得， 当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： 由（1）知当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 设运动时间为秒，则有，， ∴， 作于M，于N，则有， ∵梯形为等腰梯形， ∴， ∴， 由得， 解得， ∴时，四边形为等腰梯形，， 综上，当运动时间为秒或秒时，； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形， 由（1）知当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形， 此时，， ， 故四边形不可能为菱形； （4）当四边形为正方形，则， ，解得， 当时，， 又， ， 故四边形不可能为正方形． 5．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，，点P从A点出发，以的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以的速度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，两点运动多长时间时，？ (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由． 【答案】(1)从运动开始，两点运动6秒或10秒时， (2)当时，四边形是正方形． 【分析】（1）分两种情况：①，且；②与不平行，但； （2）设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形，则有，据此列出方程． 【详解】（1）解：分两种情况： ①当、运动到，则平行且等于， ∴四边形是平行四边形，此时． 设运动时间为秒，则， ， ， 解得， 即时，； ②当、运动到，时，满足，过，分别作于，于， ∵，， ∴，， ∴，四边形是矩形，即， ∴， 同理可得四边形是矩形， ∴， ， ， 解得． 综上所述，从运动开始，两点运动6秒或10秒时，； （2）解：设运动时间为秒，使得四边形恰好为正方形， 如图， ∵，， ∴当时，四边形为矩形， 即，解得， 此时， ∴矩形为正方形， ∴当时，四边形是正方形． 题型五 四边形中线段最短问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在数学实践活动课上，创新小组的同学对含角的菱形进行探究． 【问题情境】如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且． 【初步感知】 (1)若点是的中点，点是的中点，则与的数量关系为：________ 【拓展应用】 (2)若，分别为边，上任意一点，当时，求周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点在边上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形的面积保持不变，请你帮助小明验证他的发现． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由菱形的性质得，，，根据证明，故可得； （2）连接，可证，当时，取得最小值，由勾股定理求出，则可得出答案． （3）根据，得出，根据解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， 要求等边三角形周长的最小值，即求出边长的最小值即可， ∵点E为边上的一点， ∴当时，取得最小值， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴此时，， ∴周长的最小值为． （3）解：由（2）可知，， ， ， ∴四边形的面积与的面积相等， 的底与高均为定值， ∴当点E在边上运动（不与端点重合）时，四边形的面积保持不变． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图1，正方形中，将绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，． (1)若，求证点恰好落在正方形的对角线上； (2)过作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由； (3)如图2，记交于点，过作交于点，四边形是平行四边形，点在上，，且．求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）通过正方形的性质结合旋转的性质证明，推出，即可得证； （2）过点作交于，证明，得出，再通过四边形的内角和证明，推出，最后根据平行线的判定定理即可得证； （3）如图，连接，先证明四边形是正方形，得到，过点作交延长线于，过点作交于，连接，证明，得到，是等腰直角三角形，推出，作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，得到当，，三点共线时，最小，最小值为的长，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知，， 四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， ， 与重合，即点恰好落在正方形的对角线上； （2）解：，理由如下： 如图，过点作交于，设交于点， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ，即， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， ，，， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形， ，， ，， ， 过点作交延长线于，过点作交于，连接， ， ， ， ，，， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ，即， ， 是等腰直角三角形， ， ， 作点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则，， 是等腰直角三角形， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即最小值为． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，正方形中，是上一点，过点作的垂线，交、于点、，连接、、． (1)求证：； (2)若，在边上且满足，求的长度． (3)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用正方形的边与直角性质，结合同角的余角相等推出等角，通过证明△，进而证得； （2）由第一问的全等结论得到，结合正方形性质推导线段等量关系，用证明△得到等腰直角，最终通过勾股定理求出的长度； （3）设正方形边长为、，利用勾股定理由得，将配方为常数加非负完全平方项，即可利用非负性求出的最小值． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设正方形边长为，，则， 在中， ， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 5．（25-26八年级下·福建莆田·阶段检测）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 题型六 实践探究中求线段之间的关系（共6小题） 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）综合与实践： 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点，易证得． 证明思路：如图2，延长至点H，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 (1)如图2，已知，，则的长为______； (2)如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，，与，边分别交于E，F两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展提升】 (3)若四边形是长与宽不相等的矩形，点E为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】(1) (2)结论成立，证明见解析， (3)，证明见解析 【分析】（1）如图，将绕点顺时针旋转得到，证明，设，可得，，结合勾股定理可得，再进一步求解即可． （2）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （3）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，，， ，， 如图，将绕点顺时针旋转得到，   ， ， ∴点在一条直线上， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 设， ∴，， ∴， 解得：，即． （2）解：成立．理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ． （3）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ∴， ， ， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ． ， ． 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 (1)如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．由三角形全等可得，，之间的数量关系 ； (2)如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 (3)在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． (4)如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （2）根据垂直的定义和余角的性质得到 ，证明，根据全等三角形的性质和线段和差即可求解； （3）由（2）得，，设，则，求出，，最后用面积公式即可求解； （4）过作，交延长线于点，由四边形是正方形得，，根据同角的余角相等得，证明，根据全等三角形的性质得，最后用面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为； （4）解：如图，过作，交延长线于点， 又∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 3．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在正方形中，，分别为直线，上的点，． (1)如图1，，分别在边，上，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在的延长线上，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接．由正方形的性质证明，可得，，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案； （2）在上截取，连接．证明，可得．，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 4．（2026·河南周口·二模）如图1，四边形是正方形，点在对角线上，点在边上，连接，且． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)如图2，若的中点恰好在线段上，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，继而根据三角形内角和定理得到． （2）根据正方形的性质证明，根据对应边相等得到，继而得证结论． （3）作于点，于点，于点，连接，根据四边形是矩形，得到，根据三角形中位线定理得到，设，通过证明、、、为等腰直角三角形，继而得到，，，从而得到或． 【详解】（1）解：四边形是正方形， 对角线平分， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， 对角线平分， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图2，作于点，于点，于点，连接， ，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ， 点是的中点，， ， ， 点是的中点， ∴是的中位线， ， 设，则，由（2）可得， 于点， ， ， ， 为等腰直角三角形，同理、、均为等腰直角三角形， 在等腰直角三角形中，， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， ， 在等腰直角三角形中，， 即． 5．（25-26八年级下·北京·期中）在中，点是对角线的中点，点在边所在直线上方． (1)当为矩形，且为等边三角形时，作垂直于交其延长线于点．连接．补全图形，则的大小关系为：___________（填入“或”）； (2)当，作垂直于交其延长线于点．连接： ①猜想的数量关系，并证明你的结论； ②当为正方形，若，则长的最大值为___________． 【答案】(1)见解析； (2)①，证明见解析；② 【分析】（1）根据题意补全图形，连接，设交于点K，由矩形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，由三角形中位线定理得到；由勾股定理得到；取的中点L，连接，则；；根据，可得； （2）①延长到点G，使得，连接，可证明，得到；证明，得到，则，即可证明C、F、G三点共线，再由直角三角形的性质可得结论；②由正方形的性质得到；取的中点P，连接，同理可得，根据，可得当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：补全图形如下所示， 连接，设交于点K， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴为的中位线， ∴； 在中，； 如图所示，取的中点L，连接， ∴是的中位线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴； （2）解：①，证明如下： 如图所示，延长到点G，使得，连接， ∵在中，点是对角线的中点， ∴点O是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C、F、G三点共线， 在中，， ∴； ②∵四边形是正方形， ∴； 如图所示，取的中点P，连接， 同理可得， ∵， ∴当O、P、F三点共线时，有最大值，最大值为． 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】 如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． (1)根据以上信息，填空： ① ； ②线段、、之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】 (2)如图2，在正方形中，若点E在射线上，，猜想线段、、之间的数量关系； 【拓展探索】 (3)如图3，已知正方形的边长为，，连接分别交、于点、，若点M恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，求出，再由计算即可得出结果；②先证明点、、在同一直线上，再证明，得出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到，由旋转的性质可得，，，再证明，得出，即可得出结果； （3）由正方形的性质可得，，，由勾股定理可得，求出，，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，，由旋转的性质可得，，，，证明，得出，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴点、、在同一直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图：将绕点A逆时针旋转，点与点重合，得到， 由旋转的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵点M恰好为线段的三等分点， ∴， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转，点与点重合，得到，连接，， 由旋转的性质可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴, 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点放在正方形的对角线上（点不与、重合），其中直角边与交于点，直角边与交于点． (1)发现：如图，当与垂直时，填空：________．（填“”、“”或“”） (2)探究：如图，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以、为邻边构造矩形，连接，请在备用图中画出图形并直接写出的度数． 【答案】(1)= (2)的结论不变，见解析 (3)见解析，或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点E作于点P，作于点Q，由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，，进而有，从而，进而证得，得证； （3）分点在点的右侧，和左侧两种情况，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接，则，由题意可得四边形是正方形，从而，，根据和，得到，从而证得，得到，根据角平分线的判定得到平分，进而即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵，， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 又∵平分，， ∴． （2）的结论不变，理由如下： 证明：过点E作于点P，作于点Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形，， ∴， ∵ ∴，即 ∴ ∴； （3）解：①当点在点的右下方时，如图，过点H作于点J，作，交的延长线于点K，连接， 则， ∵由（2）有，且四边形是矩形， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵在四边形中，， 即， ∴， ∵， ∴ ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵， ， ∴平分， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． ②当点在点的左下方时，如图，过点H作于点J，作于点K， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 同法可得：， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 综上：或． 题型七 实践探究中求角度的关系（共5小题） 1．（25-26九年级下·山东淄博·期中）如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一个等腰直角三角板按如图位置摆放于边长为5的正方形上，使得其直角顶点落在点处，点落在边上，点落在的延长线上． (1)求证：； (2)如图2，取的中点，连接，若，求的长； (3)若将等腰直角三角板沿方向平移，使其直角边恰好过点，与直线交于点， ①若，求的长度； ②若转动该等腰直角三角板，仍使得其直角顶点在对角线上，且直角边过点，当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；②或 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由是等腰直角三角形，可得，根据证明，即可得到； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，，易得是斜边上的中线，得到，进而得到等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到，最后利用勾股定理可求出； （3）①连接，过点作交于点，交于点，交于点，由正方形的性质可得、、都是等腰直角三角形，四边形、四边形都是矩形，进而得出，，再根据 证明，得到，最后根据即可得出结果；②分类讨论：第一情况，当线段与的夹角为，即时，根据及邻补角互补求出的度数；第二情况，当线段与的夹角为，即时，再由即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在与中 ∴， ∴． （2）解：过点P作交于点，连接， 由（1）得：， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∴，，, 在中，∵点P是的中点， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵， ∴在中，． （3）解：①如图所示，连接，过点作交于点，交于点，交于点， ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴，，， ∴、、都是等腰直角三角形， ∵， ∴， 在等腰直角三角形中，根据勾股定理得，，即， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴，， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ； ②当线段与的夹角为，即时，如图所示： ∴ ， 由①得：， ∴ ， ∴ ， 当线段与的夹角为，即时，如图所示： 由①得：， ∴ ， ∴ ． 综上：或． 【点睛】本题考查了正方形性质、矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形及等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、勾股定理，解题关键是数形结合和分类讨论． 2．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）旋转变换在平面几何中有着广泛的应用．特别是在解（证）有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决下面的问题．如图1，点、在正方形的边、上，其中． (1)直接写出、和三边的关系_______，与的关系_______． (2)证明（1）问中的结论． (3)如图2，在四边形中，，，平分，若，，则对角线的长度为________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图1：将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到，由旋转的性质以及正方形的性质可证明，再根据全等三角形的性质以及线段的和差分析即可解答； （2）根据（1）的思路证明即可； （3）如图2，将绕点A顺时针旋转到，连接，则，，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】（1）解：由分析可得：，．证明见（2）． （2）证明：如图1：将绕点A逆时针旋转，使与重合，得到， ∴． ∵， ∴，即点G、D、F在同一直线上， ∵正方形中， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴，即． 在和中： ， ∴． ∴，，即， ∵， ∴． （3）解：如图2，将点A绕顺时针旋转到，连接，则，，， ∵，平分， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∴均在同一直线上， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）在正方形中，，为对角线上一点，连接，过作，交于． (1)如图，求证：； (2)如图，过作交于，连接交于，证明：； (3)如图，在（）条件下，记的中点为，为线段上一点，且，求线段长度的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)线段长度的最小值为． 【分析】（）过作于点，于点，由四边形是正方形，得，平分，所以，，然后通过同角的余角相等得，证明，再由全等三角形的性质即可求证； （）过作于点，于点，延长交于点，连接交于点，由（）得，，则四边形是矩形，故有四边形是正方形，则，又四边形是正方形，所以，，平分、，再证明四边形是矩形，四边形是矩形，故有，，设，故有，所以，，即有，再证明，所以，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理得出，则； （）以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，由（）得，设，则，所以，，故有，可得点在直线上运动，设直线与，轴交于点，，所以，所以，然后根据“垂线段最短”可知，当时，线段长度有最小值，如图，延长交轴于点，所以，则，，所以，，再求出，则，即线段长度的最小值为． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于点，于点，延长交于点，连接交于点， 由（）得，，， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分、， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 同理：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 由（）得：， 设，则， ∴，， ∵的中点为， ∴， 设，， ∴，即， ∴点在直线上运动，设直线与，轴交于点，，如图， 当时，；时，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据“垂线段最短”可知，当时，线段长度有最小值，如图，延长交轴于点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值为． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形的两边与坐标轴的正半轴重合，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)直接写出点的坐标_____； (2)求证：； (3)如图2，若点的坐标为，试在上找一点，使四边形为平行四边形，求点的坐标； (4)如图3，连接交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) (4)证明见解析 【分析】（1）由正方形的性质求得点C的坐标； （2）在上取，连接，只要证明即可． （3）如图，作于F，只要证明即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标． （4）将绕点D顺时针方向旋转得，得，证明，得，进一步得出，得平分，由平分可得结论． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上取，连接， ，， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图，作于F， ∵ ∴， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 点N坐标， 四边形是平行四边形，，，由平移知识可知： ； （4）证明：将绕点D顺时针方向旋转得， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 即平分． 又 平分， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ． 题型八 实践探究中求与实际结合（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西西安·期中）综合实践： 【问题提出】 (1)如图①，点P在等边内部，且，，，求的长．经过同学们的观察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点A按顺时针方向旋转，得到，连接，发现是等边三角形，由此推出_____°，即可求得_____． 【问题探究】 (2)如图②，已知在中，，点D，E，F分别在边，，上，四边形是正方形，若，，求和的面积之和． 【问题解决】 (3)某公园准备开发一块水上游玩区域，如图③所示，扇形的圆心角为，，在扇形内部修建一个扇形为游客中心，，，和均为休闲区，阴影部分修建一个淡水湖可供划船等项目，设淡水湖面积为S，为满足淡水湖周边的建设用地需要，需要淡水湖面积尽可能的小，请问淡水湖面积S是否存在最小值?若存在，请求出面积最小值；若不存在，请说明理由．（结果保留π） 【答案】(1)90；5 (2)6 (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质和勾股定理求出结果即可； （2）将绕点D逆时针旋转，点E与点F重合，点的对应点在上，根据，利用三角形面积公式求出结果即可； （3）将绕点O逆时针旋转得到，连接，过点O作于点H，过点B作于点G，证明是等边三角形，得出，求出，根据，得出面积的最大值为，根据，得出当面积取最大值时，淡水湖面积S取得最小值，求出其最小值即可． 【详解】（1）解：根据旋转可得：，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得：； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴将绕点D逆时针旋转，点E与点F重合，点的对应点在上， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴ ； （3）解：淡水湖面积存在最小值； 如图，将绕点O逆时针旋转得到，连接，过点O作于点H，过点B作于点G， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴面积的最大值为， ， ， ∵淡水湖面积， ∴当面积取最大值时，淡水湖面积S取得最小值， ∴淡水湖面积的最小值为：． 2．（25-26八年级下·陕西延安·期中）解答下列问题： 【问题提出】 如图，在正方形中，，分别为上的两点，连接，并延长交于点，连接，为上一点，连接，． (1)如图①，若，，为的中点，则线段的长为_____； (2)如图②，过点作于点，若，平分，试探究线段，，之间存在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为的正方形花圃，现计划在边上寻找一点设置为出入口，连接，过点作于点．园林部门把沿边翻折，形成新景观区域．在直线上寻找一个户外独立洗手台，连接，沿修建水渠，沿铺设小路，已知修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元，为了节约成本，求当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用．（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 【答案】(1) (2) (3)当景观区域面积最大时，修建水渠和小路的最低总费用为万元 【分析】（1）在正方形中，，，得．在中，由勾股定理得．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可； （2）过作于，证得，．由角平分线和等腰三角形性质推出，为等腰直角三角形，故，再证为等腰直角三角形，得，则可得到； （3）当面积最大时，为等腰直角三角形，此时与重合．将总费用转化为，构造等腰直角三角形，当T，N，M共线时费用最小，计算得最低总费用为万元． 【详解】（1）解：四边形是正方形，， ，， ， ，， 在中，， 为的中点， ； （2）证明：如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ∴，， ， ， 即； （3）解：如图，取的中点，连接，连接，以为底边，在的左侧作等腰直角三角形， 由（2）同理得，， 由题意得，四边形是正方形，且边长为， ∴， ， 是直角三角形， 将沿翻折得， 是直角三角形， 是的中点， ， 当时，的面积最大， 是等腰直角三角形， 则也是等腰直角三角形， ， 此时如图所示，则点与重合， ， 三点共线时，取得最小值，则点与重合， ∴取得最小值， ∴， ∵修建水渠的费用是万元，铺设小路的费用是2万元， ∴修建水渠和小路的最低总费用为： （万元）． 【点睛】本题核心是利用直角三角形斜边中线、全等三角形和等腰直角三角形的性质，结合几何最值思想，将代数费用问题转化为几何线段和的最小值问题求解． 3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形中，在上取点M，连接，过点A作交于点N．求证：． (2)【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答．如图2，点O为正方形的对角线交点，P，Q分别在边，上，满足，连接，，． ①判断的形状，并说明理由； ②若，求的最小值． (3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接，，与交于点H，使，若，，请求出正方形的面积（用含有m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①是等腰直角三角形，理由见解析；②的最小值为 (3) 【分析】（1）根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，根据即可证明； （2）①连接、，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，根据得到，证明，得到，根据得到，即，可知是等腰直角三角形； ②根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，则当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小，根据得到，根据勾股定理得到，连接，根据中位线定理得到，，即，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得到，求出，即，根据勾股定理得到，即的最小值为，进而可知的最小值为； （3）连接、、，根据正方形的性质得到点O是的中点，进而得到是的中位线，得到，进而得到，根据得到，即，根据得到，证明，得到，根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，进而可求正方形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：①是等腰直角三角形，理由如下． 如图，连接、， ∵点O为正方形的对角线交点， ∴， 由（1）知：， ， ， 即， ， ∴，即， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， ∴当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小， ∵， ∴ ∵，， ∴， 如图，连接， ∵点M、O分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， 在中，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， 即的最小值为， ∴， 故的最小值为； （3）解：如图，连接、、， ∵点O为正方形的对角线交点， ∴点O是的中点， ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ，即， ∴，即， ∵， ∵是等腰直角三角形， ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴， 在中，， ∴， ∴正方形的面积． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）在一次数学活动课上，李老师在四边形的边上分别取点E，F． (1)如图1，四边形是正方形，，同学们将拼图中的绕点顺时针旋转至，请写出三者之间的数量关系，并说明理由； (2)在（1）的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形中，，，，点E、F分别在边、上，则当与满足______关系时，仍有题（1）的结论； (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，米，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)这条道路的长约为米 【分析】（1）根据旋转的性质可以得到，再证明，即可． （2）延长至M，使，连接，证，证，即可得出答案； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则米．把绕点A逆时针旋转至，只要再证明即可得出． 【详解】（1）解：∵绕点A顺时针旋转至， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图（2），延长至M，使，连接， ∵，， ∴， ∵, ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 即． （3）解：如图3，把绕点A逆时针旋转至，连接． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴米． 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点G在的延长线上． 由旋转得， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴（米）， 即这条道路的长约为米． 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）问题提出 (1)如图①，在中，D，E分别是边，的中点，若，则的长为________； 问题探究 (2)如图②，在菱形中，连接，P，Q分别是，边上的动点，连接，M，N分别是，的中点，若，，求的最小值； 问题解决 (3)如图③，莫莫家有一块边长为600 m的正方形菜地，爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点，且，E为的中点，F，G分别为，边上的动点，在改造的过程中始终要满足，Q为的中点，他计划在区域内种植茄子，在区域内种植西红柿，其余区域内种植辣椒，并分别沿，修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度的最小值． 【答案】(1)8 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理即可求解； （2）利用中位线定理，连接得，根据垂线段最短找到最短的情况，然后利用等面积法即可求解； （3）取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，可得四边形是矩形，，利用勾股定理可得，根据得，则可推得，据此可判断最小时的位置，利用垂线段最短和勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，D，E分别是边，的中点， ∴; （2）解：如图，连接，连接交于点O， ∵M，N分别是，的中点， ∴为的中位线，即， ∴当时，最小，从而最小， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）如图，取的中点T，作射线，交延长线于点H，在的延长线上截取，连接，过点W作于点V ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，，Q为的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， , 在中，由勾股定理，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴最小值是的长， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，即， 即灌溉水渠总长度的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，能够根据垂线段最短构造相关的三角形是解题的关键． 题型九 实践探究中折叠问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教学活动． 操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点 ，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平． 【数学思考】 (1)如图①，当点落在折痕上时，延长交于点，猜想与的数量关系为_______； 【灵活应用】 (2)小明在以上操作的基础上继续探究，连接，当点落在上且的长为时，（如图②），过点作于点，请求出的长． 【拓展延伸】 (3)如图③爱思考的小欧又有新的想法：他在操作二时在上选一点，沿折叠，使点落在上点处，然后连接并延长交于点，连接，交于点，他猜想为等边三角形，请你帮小欧进行证明． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）连接，证明，即可证明结论； （2）连接，设，则，根据勾股定理计算即可． （3）连接，证明得出，，进而证明四边形是平行四边形，得出，根据为的中垂线，得出，进而证明，即可得出，即可得证． 【详解】（1），理由如下： 连接， ， ， 由折叠可知，， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 正方形纸片，， 则， 四边形是矩形， ， 在中，， 设，则， 由折叠得， ，， 在中，， 在中，， ， 解得， ． （3）证明：如图，连接， 由折叠可知，，则， 又∵， ∴， ∴，， ∵对折正方形纸片，使与重合，得到折痕， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵为的中垂线， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 2．（25-26八年级下·西藏·期中）折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形．同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． (1)折纸1：如图1，将正方形沿对折，使点A落在平面内的点处，连接，若，则= ． (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片对折，使点B、C分别与点A，D重合，再展开得到折痕；操作二：将正方形纸片沿着折叠，使得点D落在平面内点处，延长交于点P，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由邻补角的性质先求解再由对折的性质求解结合正方形的性质解答即可； （2）连接，证明，可得，再由勾股定理可得． 【详解】（1）解： ， 由折叠可得：， 正方形， ∴， ； （2）解：如图，连接， ∵由边长为4的正方形纸片对折，再沿对折， 正方形纸片沿着折叠再展开，折痕与边交于点P， ， ， ∵， ， ， 由勾股定理得：， ， 解得：． 3．（25-26八年级下·山西大同·期中）综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片的裁剪与折叠实践活动，如图1． 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片，使得点D的对应点B落在线段上，折痕为，然后把纸片展平，再沿将纸片剪开，得到四边形和四边形． 第二步：如图3，将四边形沿折叠得到，点E在线段上，点A的对应点为点F，连接． 问题解决： (1)图2中的四边形的形状是______； (2)当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，请直接写出的度数． 【答案】(1)正方形 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用折叠的性质即可求得四边形是正方形； （2）连接，证明为等边三角形，得到点在线段的垂直平分线上，得到点也在线段的垂直平分线上，即可证明； （3）利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴， 由折叠的性质得， ∴四边形是矩形， 由折叠的性质得， ∴四边形是正方形； （2）解：；理由如下： 连接， 由折叠知，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵正方形， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴； （3）解：∵正方形，等边， ∴，， ∴， 同理， ∴． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）【教材重现】宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫作黄金矩形． 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为（约为0.618） (1)【概念理解】一条线段有 个黄金分割点； (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片对折，使与重合，得到折痕，把纸片展开，连接，继续沿过点C的直线折叠，使点E落在的延长线上的点G处，得到折痕，把纸片展开，连接，求证点P为线段的黄金分割点． (3)【操作探究】如图2，矩形纸片是黄金矩形（满足，，将矩形纸片的边沿向内折叠，使点B落在边上的点E处，折痕为，纸片展开后，连接，得到正方形和新矩形，连接，求线段的长（结果保留根号） 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由黄金分割点的定义即可得出结果； （2）利用折叠的性质并结合勾股定理计算后，根据黄金分割点的定义，即可得出结果； （3）根据黄金分割矩形的定义，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，一条线段有2个黄金分割点； （2）证明：∵边长为2的正方形纸片， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 故点P为线段的黄金分割点． （3）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）已知正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点M，N，于点H． 【初步感知】 (1)如图（1），当时，请你直接写出与的数量关系：______； 【问题探究】 (2)如图（2），小罗同学发现，当时，（1）中发现的与的数量关系仍然成立．为了证明这个猜想，小组成员们展开了讨论，得到了下面两条思路： 思路1：延长至E，使得，连接． 思路2：以A点为旋转中心，将顺时针旋转得到． 请你从中任意选择一个思路进行证明． 【拓展提升】 (3)如图（3），已知，于点H，且，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可得到答案； （2）思路1：延长至，使，先证明，得到，，再证明，能得到； 思路2：由旋转的性质可得，可证明E、B、C三点共线；证明，得到，，再证明，能得到； （3）将分别沿、翻折得到，，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形， 又， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：选择思路1，证明如下： 如图所示，延长至，使，连接， ∵四边形是正方形， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴， ， ， 在和中， ， ． ，， ∴， ； 选择思路2，证明如下： 以A点为旋转中心，将顺时针旋转得到， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴E、B、C三点共线； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ． ，， ∴， ； （3）解：如图③所示，将分别沿、翻折得到，， ，，，， ， ∵， ∴ 如图所示，延长和于交点，则四边形是正方形， ∴，， 设，则，， 在中，由勾股定理，得， ， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， ． 题型十 实践探究中新定义问题（共5小题） 1．（25-26九年级上·山西太原·期末）阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务． 等腰五边形 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验．运用已有经验，可以对其他特殊图形展开探究．下面我们按照“定义一性质一判定”的路径研究“等腰五边形”． 定义对象：如图1，在凸五边形中，，，像这样的五边形叫做等腰五边形，其各部分要素名称如图1所示． 由定义直接可以得到：等腰五边形的两条上腰相等、两条下腰相等，两个旁角相等； 分析性质： ①从整体看，等腰五边形是轴对称图形； ②从局部看，关于底角：……；关于对角线：…… 任务： 概念理解：（1）已知：如图2，正方形中，点分别在，边上，且，连接．求证：五边形是等腰五边形； 性质探究：（2）根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质． ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形，其中．在图3中适当添加线段，可以获得关于等腰五边形性质的相关结论． 例：在图3中连接，得到图4，则． 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论； 应用拓展：（3）如图5，在一张菱形纸片中，，点分别在菱形的一组邻边上（不与顶点重合），连接，可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以为底边的等腰五边形，若其面积是菱形面积的，则的长为_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）①等腰五边形的底角相等；②连接，则；（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，推出，即可得证； （2）①等腰五边形的底角相等；②连接连接，证明，得到即可； （3）连接交于点，在上分别取点，且，根据菱形的性质，推出五边形为等腰五边形，易得为含30度的等腰三角形，求出菱形的面积，根据等腰五边形的面积是菱形面积的，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在五边形中，， ∴五边形是等腰五边形； （2）①等腰五边形的底角相等； 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即等腰五边形的底角相等； ②连接，则； 由①知：， ∵， ∴， ∴； （3）连接交于点，在上分别取点，且， ∵菱形， ∴，，， ∴，即，， 在五边形中，， ∴五边形为等腰五边形， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵五边形的面积是菱形面积的， ∴， 作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键． 2．（2025·山西大同·二模）阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形． 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究． 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形是勾股四边形． 证明：如图1所示，连接，由四边形是正方形可知，在中根据勾股定理可得，所以正方形是勾股四边形． 【一般研究】如图2，四边形中，为对角线，且，求证：四边形为勾股四边形． 证明：以为边作等边三角形，连接． …… 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是 （从下列选项中选出两个即可）； A．矩形；B．等腰梯形；C．直角梯形；D．平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形中，为对角线，，，请直接写出线段的关系． 【答案】(1)AC (2)补全一般研究中的探究过程见解析 (3) 【分析】（1）由勾股四边形定义逐项验证即可得到答案； （2）由等边三角形性质，在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而由勾股四边形定义得证； （3）以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示，由旋转性质得到，，由等腰三角形性质得到，由勾股定理可得，从而在中，由勾股定理可得，再利用“手拉手”模型，由两个三角形全等的判定与性质即可得到，从而确定线段的关系． 【详解】（1）解：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形． A、如图所示： ， 矩形是勾股四边形，符合题意； B、如图所示： 等腰梯形的任意两条邻边都不垂直， 等腰梯形不是勾股四边形，不符合题意； C、如图所示： ， 直角梯形是勾股四边形，符合题意； D、如图所示： 平行四边形的任意两条邻边都不垂直， 平行四边形不是勾股四边形，不符合题意； 故选：AC； （2）解：补全一般研究中的探究过程如下： 证明：以为边作等边三角形，连接，如图所示： ，， ， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， ， 是等边三角形，则， ，， ， 在和中， ， ， ， 由勾股四边形定义可知，邻边平方和等于对角线的平方，故四边形为勾股四边形； （3）解：以点为旋转中心，将逆时针旋转到，连接、，如图所示： ，， ，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， ，， ，则， ， 在和中， ， ， , ，即， 故线段的关系是． 【点睛】本题几何综合，涉及勾股定理、矩形性质、等腰梯形性质、直角梯形性质、平行四边形性质、等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，读懂题意，理解勾股四边形定义及求证方法是解决问题的关键． 3．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形． （1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______； 猜想与验证： （2）①如图1，在四边形中，对角线于点，下列结论正确的是（    ）． A．         B．      C． ②证明①中正确的结论： 拓展思考： （3）如图2，正方形和正方形的边长分别是和，连接，且，的面积和的面积会相等吗？如果会，请证明并求的面积，如果不会，请说明理由． 【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为： 【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案； （2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边形定义，即可证明； （3）连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，进而由三角形面积公式即可得到的面积和的面积相等，代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1）菱形的对角线相互垂直， 菱形是“对垂”四边形； 正方形的对角线相互垂直， 正方形是“对垂”四边形； 故答案为：菱形或正方形； （2）①A、 ， 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 在中，由勾股定理可得；在中，由勾股定理可得； ； 当时，； 而题中并未明确与是否相等，该选项不一定正确，不符合题意； B、，选项正确，符合题意； C、由题中四边形的任意性，无法保证，选项错误，不符合题意； 故选：B； ②证明如下：， ； （3）的面积和的面积相等， 证明如下： ∵正方形和正方形的边长分别是和， ， 连接，连接交于点，过点作于点，过点作交延长线于点，如图所示： ， ，即， 又， ， ， 又，， 的面积和的面积相等； ， 即， 又， ， ， 又， ， ， ∴四边形AECG是“对垂”四边形， ， 又， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查几何综合，涉及新定义几何图形问题、菱形性质、正方形性质、勾股定理、三角形面积公式、三角形全等的判定与性质等知识．理解题中“对垂”四边形定义，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 4．（23-24八年级上·山东淄博·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形． 根据以上定义，解决下列问题： (1)如图①，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，作交延长线于点F． ①试判断四边形的形状，证明你的结论，并求出的长． ②若点M是边上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形是正方形，；②周长的最小值为 【分析】（1）由旋转可得，由全等三角形的性质则可得四边形符合“直等补”四边形的条件，因而问题解决； （2）①由已知可得四边形是矩形，现证明，则易得是正方形；设，由勾股定理建立方程即可求得x的值； ②作点C关于的对称点H，连接，交于点N，则当M与N重合时，的周长最小，即可求得周长的最小值． 【详解】（1）解：∵在正方形中，， 又绕B点旋转得到，且与重合， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为“直等补”四边形； （2）解：①∵，， ∴； ∵四边形是“直等补”四边形，， ∴， ∴， 即， ∴四边形是矩形； ∴； 即， ∴； 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形； ∴； 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ∴； ②如图，作点C关于的对称点H，连接，交于点N， 则， ∵， ∴当M与N重合时，取得最小值，最小值为线段的长； ∵的周长为， ∴的周长最小值为； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴周长的最小值为． 【点睛】本题是几何综合问题，考查了正方形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，新定义，轴对称的性质等知识，构造适当的辅助线是解题的关键． 5．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是__________；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是_________； 【操作探究】 如图2，在菱形中，，，于点，请在边上找一点，使得以点、、、组成的四边形为“对直四边形”，直接写出的长是_________； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点、作、的垂线交于点，连结、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是_______． 【答案】判断尝试：（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或或或 【分析】【判断尝试】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：分四种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：【判断尝试】（1）矩形和正方形的四个角都是直角， 矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：②④； （2）如下图， 连接， ∵四边形是对直四边形，， ， ， ， ， 故答案为：； 【探究操作】解：如下图， 在菱形中，，，， ∴，， ∴均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， 则：，同理：， ∴， ∴四边形是“对直四边形”，为等边三角形， ∴， 故答案为：； 【拓展延伸】 证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 【实践应用】 解：如下图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如下图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 如下图， 作，交于，作于，则四边形是“对直四边形”， 由上知：， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 如下图， 以为底边作等腰直角三角形，连接，作，交的延长线于点，交于， ，，四边形是“对直四边形”， ，， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 和是边长相等的等腰三角形， ， ， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或或或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是掌握新定义和分类讨论的思想． 题型十一 实践探究中与函数综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知平面直角坐标系中，四边形为面积为15的矩形，． (1)直接写出点B的坐标； (2)点D的坐标为，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，设的面积为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． (3)过点D作x轴的垂线，在点P运动过程中，在上取点M，使得A、P、M和第一象限的点N构成正方形，求出此时的t值和N点坐标． 【答案】(1) (2) (3)①，；②， 【分析】（1）根据矩形的面积即可求解的长度，由此可得点B的坐标； （2）根据点P在线段上以及的延长线上分别求解面积即可； （3）分类讨论以为正方形的边和以为正方形的对角线两种情况，设出点P的坐标，点M的坐标，以及点N的坐标，结合三角形全等的性质，即边长对应相等以及点的平移求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为面积为15的矩形，， ∴，且点B在第一象限， ∴点B的坐标为； （2）解：当点P在线段上时，， ∴，则， ∴， 当点P在的延长线上时，， ∴，则， ∴， ∴； （3）解：①当以为正方形的边时， 过点P作轴于点G，过点N作轴于点H，如图， 设点，点，点， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，，，， ∴，解得；， ∴点， ∵点，点，点，点， ∵点M的横坐标向右平移10个单位长度可得到点N的坐标， ∴点P的横坐标向右平移10个单位长度可得到点A的坐标， 即，解得， ∴点，点， 此时，则； ②以为正方形的对角线时， 记作与的交点为点C，如图， 设点，点，点， ∴，，，， 同理可证， ∴，， ∴，解得；，解得， ∴点，点， ∵点，点，点，点， ∵点M的坐标向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点A的坐标， ∴点P的坐标向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点N的坐标， ∴，，即，， ∴点， 此时，则； 综上，①，；②，． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，已知一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)如图1，当时，以为边在第一象限构造正方形，连接，，求直线和的表达式； (2)如图2，当时，以为边在第二象限构造正方形，连接，求的面积； (3)若，点在正比例函数的图象上，且，直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的表达式为；直线的表达式为 (2) (3)， 【分析】（1）先求出的坐标，作轴，作轴，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的坐标，作轴，进而求出点的坐标，再利用面积公式进行计算即可； （3）分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， 作轴，作轴，则， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为； 同理：， ∴， ∴， ∴， 同法可得直线的表达式为； （2）解：∵的图象分别与轴，轴交于点，， ∴当时，， ∴， ∴， 作轴， 同（1）法可得：， ∴， ∴的面积； （3）解：连接， 当，则， 同（1）法：，， 直线的解析式为， ∵正方形， ∴，， ∴点为直线与直线的交点， 联立，解得； ∴； 延长至点，使，连接，则， ∴， ∴当点为直线与直线的交点时，也满足题意， ∵，，， ∴， 此时点恰好在上，即点与点重合； ∴， 综上：或. 3．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点E是延长线上一点，M是线段上一动点（不包括O、B）作，交的平分线于点N． (1)①直接写出点C的坐标； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点P，使四边形是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接交于F，连接，求证：平分． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质求解即可； ②在上取点P，使得，证明即可； （2）过点N分别作轴于点H，于点Q，连接，先证明，得到，然后证明，得到，再计算的长即可； （3）延长到点A，使得，连接，先证明，再证明，得到，进一步推得，然后过点M作于点P，即可逐步证明． 【详解】（1）解：①， ， 四边形是正方形， 轴， 点C的坐标是； ②证明：在上取点P，使得， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点N分别作轴于点H，于点Q，连接， 由（1）知， 又 四边形是正方形 ， ，， 四边形是平行四边形， ， 点P的坐标为； （3）证明：如图，延长到点A，使得，连接， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 过点M作于点P， ， ， ， ， 由（1）知， 又， ， 即平分． 4．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点是原点，点分别在轴和轴的正半轴上，若顶点的坐标为，且满足：． (1)直接写出值：_______，_______； (2)正方形对角线的交点为O，已知正方形绕点O转动，且交于交于F，在正方形转动过程中，求四边形的面积．直接写出的最小值为________． (3)如图2，若正方形绕点C转动，点E是的中点，点F是的中点，连接，求的值． 【答案】(1)4；4 (2)4; (3) 【分析】（1）根据二次根式的非负性构造不等式即可求解； （2）证明，根据即可求解，再构造对应关系即可配方求得最小值； （3）延长到G，使，连接，证明，可知，再证，再根据三角形的中位线即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， 则， ∴； （2） ∵正方形ABCD ∵正方形 在和 , 设,则， ∴， 当时，取得最小值，, 则 ∴的最小值为； （3）延长到G，使，连接 ∵点E是的中点， ∵正方形 , 在和中 在和中， ． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，点为直线上一点，横坐标为．点为平面内一动点，当点不在直线上时，以为边向左作正方形． (1)求直线的函数关系式； (2)当线段时，求的值； (3)求正方形的周长（用含的代数式表示）； (4)若正方形相邻两边与线段只有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，周长为；当时，周长为 (4)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2），而为平面内一动点，故轴，再由列方程求解即可； （3）先用m的代数式表示出，即可求解周长； （4）先求出线段，再分类讨论，画图求解即可． 【详解】（1）解：设直线 代入点，，则 解得 ∴直线的函数关系式为； （2）解：由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴时， 解得或； （3）解：∵由题意得，， ∵为平面内一动点， ∴轴， ∴ ∴正方形的周长 ∴当时，周长为；当时，周长为； （4）解：∵， ∴设线段， 代入，则 ∴线段 当点落在上时， 把代入得， 解得； 随着值的增大，如图，符合题意； 点P与点A重合时，如图，符合题意 ∴， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当正方形顶点落在线段上时，如图，符合题意， ∴， ∵ ∴，即 将点代入得，， 解得； 随着的增大，如图，符合题意， 当点落在线段上时，如图： ∴， ∵ ∴，即， 将点代入，则 解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，； 当点再次落在线段上时，如图： 此时 ∵ ∴，即 把代入得， 解得， 随着的增大，符合题意，如图： 当经过点时，符合题意，如图： 此时，解得， ∴满足正方形相邻两边与线段只有两个交点时，， 综上：或或． 1 / 145 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题14特殊四边形压轴题常考题型 题型归纳：内容导航 题型1特殊四边形中多结论问题（选填压轴） 题型8实践探究中求角度的关系（解答压轴） 题型2特殊四边形中最值问题（选填压轴） 题型9实践探究中求与实际结合（解答压轴） 题型3特殊四边形中与函数综合问题（选填压轴） 题型10实践探究中折叠问题（解答压轴） 题型4特殊平行四边形中动点问题（解答压轴） 题型11实践探究中新定义问题（解答压轴） 题型5四边形中线段最短问题（解答压轴） 题型12实践探究中与函数综合（解答压轴） 题型6实践探究中求线段之间的关系（解答压轴） 题型通关·靶向提分 题型一特殊四边形中多结论问题（共5小题） 1.(25-26八年级下.内蒙古呼和浩特期中)如图，在边长为6的正方形ABCD中，将含45°角的直角三 角板.按如图所示放置，边AE,AF分别交BC,CD于点M,N,连接MN.则下列结论： ①MN=BM+DN: ②当M为BC的中点时，N为CD的中点： ③当M为BC的中点时，△AMN的面积为15： ④点A到MN的距离为6.其中正确的结论为() M A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 2.(25-26八年级下·江苏无锡期中)如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,BE, 过点E作EF⊥DE,交BC于点F,以DE,EF作矩形DEFG,连接CG.现有下列结论： ①矩形EFGD是正方形：②△ABE≌△CDG:③AC⊥CG;④当AB=9,CG=3V2时，矩形EFGD 的面积为60，其中结论正确的序号是（) 1/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A E G A.②③ B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 3.(2026山东东营模拟预测)如图，口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O作BD的垂线，分 别交BC,AD于点M,N，,延长DC交直线MN于点E,延长BA交直线MN于点F,分别连接DF,BE, 有如下结论：①OA=OC,OB=OD;②四边形BEDF是菱形；③若FA=FN=1,AB=3,则 OD=V39:④若FA=1,AB=3,∠ABE=60°，点P为EF上的一个动点，则PA+PB的最小值是V21. 上述结论中，所有正确结论的序号是() N D B M E A.①②③ B.①③④ c.②③④ D.①②④ 4.(2026黑龙江绥化·三模)如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,折叠正方形纸 片ABCD,使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、 G,连接GF,给出以下结论：OAD Ae =2:②BE=2OG:③四边形AEFG是菱形.其中正确结论的个数 为() A.0 B.1 C.2 D.3 5.(25-26八年级下.黑龙江绥化期中)如图，己知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点， 2/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连接AP,EF.给出下列结论：①PD=2DF;②四边形PECF的 周长为8；③EF的最小值为2：④AP⊥EF.其中正确结论的序号为() D B E A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 题型二特殊四边形中最值问题（共5小题） 1.(25-26八年级下·辽宁锦州期中)如图，已知在t△ACB中，∠ACB=90°，∠B=60°， BC=2Cm,点D在CB所在直线上运动，以AD为边作等边三角形ADE,连接CE,在点D运动过程中， CE的最小值为 cm. D 2.(2026黑龙江大庆.二模)在平面直角坐标系xOy中，A,B分别是x,y轴正半轴上的点，M为线段AB 的中点，D,E分别是x,y轴负半轴上的点，以DE为边在第三象限内作正方形DGFE.若DE=AB=4, 则线段MG长度的最大值是 DO 3.(2026陕西西安模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点E,F分别在AD和BC上， 且AE=CF,将矩形ABCD沿EF折叠，点A,B的对应点分别是A,B,点P是BC的中点，则AP最大时 EF的值为 3/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 4.(25-26八年级下.江苏南京期中)如图，在矩形ABCD中，AB=15,BC=8,E,F,G,H四点分 别在长方形ABCD的各边上，且AE=CG,BF=DH,则四边形EFGH周长的最小值为 E A B F H D 5.(25-26八年级下·上海青浦·期中)如图，M为正方形ABCD的边AB上一动点，点P在边BC上， BP=2,连接PM,将PM绕点P顺时针旋转90°得到PN.若E,F分别为PN,PC的中点，连接EF,则 EF长的最小值为一· 题型三特殊四边形中与函数综合问题（共5小题） 1.(2026河南驻马店·三模)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点A出发，以1cms的速度沿线段AB向 点B运动，动点Q同时从点A出发，以2Cm/s的速度沿折线AD→DC一CB向点B运动，当一个点停止时 另一个点也随之停止.设点P的运动时间是X(单位：s),PQ的长是y(单位：Cm),图2是y关于x的 函数图象，则a的值为() 4/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y/cm← D a 6 6 s 图1 图2 A.3V3 B.3V5 c.6V3 D.65 2.(25-26八年级下江苏无锡·期中)如图①，点M是矩形ABCD各边和对角线上一动点，若点M从边AB 上的一点开始移动，设点M运动的路程为x'y S△AMD, y与x的函数关系如图2所示，则矩形ABCD的 SABMC 周长为() D M ① ② A.15 B.20 C.28 D.32 3.(2026河南二模)如图1，在矩形ABCD中，点E,F分别为AB,CD的中点，点P为线段EF上一动 点，连接PA,PD,设PE=X,PA+PD=y,图2是点P从点E运动到点F的过程中，y关于x的函数图象， 已知图象最低点的横坐标为2，若图象上点M的横坐标为3，则点M的纵坐标m为() 8 E m- P O 3 图1 图2 A.4V2 B.3V2+V10 c.3V3 D.2V3+V11 5/30 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026河南焦作.二模)如图1，点P从边长为6的正方形ABCD的顶点A出发，沿直线运动到正方形 内部一点，再从该点沿直线运动到BC边的中点B。点P的运动路程为x,设y=B 图2是点P运动时y PD 随x变化的关系图象，则m的值为() (P)A, D 1 0 m E m+3主 图1 图2 A.3 B.6 c.3V2 D.6V2 5.(2026河南南阳一模)如图(1)，在矩形ABCD中AD>AB,点P以每秒个单位长度的速度从点 B沿着折线BAD运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点B沿着折线BCD运动，当点P到达点D时， 点Q随之停止运动，连接PQ.△BPQ的面积y与点P的运动时间x(秒)之间的函数关系图象如图(2) 所示，则的值为() D 12 C m15x 图(1) 图(2) A.5 1 B.2 C.6 D.7 题型四特殊平行四边形中动点问题（共5小题） 1.(25-26八年级下·吉林松原·期中)如图①，在四边形ABCD中，ADBC,∠A=90°，AD=6, BC=9,AB=4,点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿 C-B-C方向以每秒3个单位长度的速度做往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q返回点C时，点P也 随之停止运动，设点Q的运动时间为t秒. 6/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)求CD的长； (2)当以P,A,B,Q为顶点的四边形是矩形时，求t的值： (3)当PQ=5时，求t的值： (4)若点E是BC边上的一点，且BE=5,如图②，M是平面内一点，是否存在点P、M,使以P、B、E、 M为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出BM的长，若不存在，请说明理由. 2.（25-26八年级下.吉林长春.期中)在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,BD=8cm,动 点P从点D出发，以4Cm/S的速度沿折线DC-CB-BD运动，连接AP交BD于点O,设点P的运动时间 为t秒. B 备用图 (L)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长为DP=,CP=一· (用含t代数式表示) (2)在(1)的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值： (3)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1c/s,当直线PQ平分平行 四边形ABCD的面积时，直接写出△AQP的面积. 3.(25-26八年级下·吉林，期中)如图，在口ABCD中，AB=24,AD=20,DE垂直平分AB于点E.点 P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点C出发沿射线CD以每秒3 个单位长度的速度运动，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，设点P运动的时间为t秒t>O. D AP E B (四DE的长为 (2)用含t的代数式表示线段DQ的长. 7/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求的值. (4)当△PDQ为钝角三角形时，直接写出t的取值范围， 4.(24-25八年级下·吉林，期末)如图，在四边形ABCD中， AD‖BC,∠B=90°，AB=8cm,AD=24cm,BC=26cm.点P从点A出发，以1cm/s的速度 向点D运动，点Q从点C同时出发，以3Cm/s的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一 个动点也随之停止，设运动时间为Xs,解答下列各题： P ←-Q (1)当运动时间为多少秒时，四边形PQCD为平行四边形？ (2)当运动时间为 秒时，PQ=CD: (3)四边形PQCD 为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形ABQP 为正方形（填“可能”或“不可能”）， 5.(25-26九年级上河北保定·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,∠B=90°，AB=8, AD=24,BC=32,点P从A点出发，以1cm/s的速度向D运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速 度向B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动 0 (1)从运动开始，两点运动多长时间时，PQ=CD? (2)从运动开始，是否存在某个时间，使得四边形ABQP恰好为正方形？若存在，求出运动的时间；若不存 在，说明理由. 题型五四边形中线段最短问题（共5小题） 1.（25-26八年级下.贵州铜仁期中)在数学实践活动课上，创新小组的同学对含60°角的菱形进行探究. 【问题情境】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E,F分别是边AB,BC上的点，且∠EDF=60°. 8/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 【初步感知】 (1)若点E是AB的中点，点F是BC的中点，则DE与DF的数量关系为： 【拓展应用】 (2)若E,F分别为边AB,BC上任意一点，当AB=6时，求△就周长的最小值； 【问题解决】 (3)当点E在边AB上运动（不与端点重合）时，小明发现，四边形DEBF的面积保持不变，请你帮助小明 验证他的发现， 2.(25-26八年级下，广东珠海期中)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是边AB上的动点，连接 DE M B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，点F在边BC上，满足AE=BF,连接AF,求证：AF⊥DE: (2)如图2，过点E作EP⊥DE,使得EP=DE,过点P分别作PM⊥BC,PN⊥AB的延长线于点M,N, 证明：四边形BNPM是正方形： 3)如图3，在第(2)问的条件下，延长NP,DC相交于点G,连接MG,求MG的最小值 3.(25-26八年级下·广东广州期中)如图1，正方形ABCD中，将AB绕B点顺时针旋转2a|0<a<45, 点A的对应点为点E,连接AE,CE D 图1 图2 9/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若AE=CE,求证点E恰好落在正方形的对角线BD上； (2)过C作CM⊥AE交AE的延长线于M,判断DM与CE的位置关系，并说明理由： (3)如图2，记AE交BD于点F,过F作FG⊥AF交BC于点G,四边形AFGH是平行四边形，点P在BD 2 上，BD=3BP,且AB=3.求PH+ AG的最小值。 4.（25-26八年级下.福建福州期中)如图，正方形ABCD中，E是AD上一点，过点D作EC的垂线，交 AB、EC于点F、G,连接EF、CF、BE. E B (1)求证：CE=DF: (2)若EF=2,M在CB边上且满足CM=BF,求EM的长度. (3)若CF=4,求EF的最小值. 5.(25-26八年级下.福建莆田·阶段检测)已知正方形ABCD的对角线AC,BD交于O,M是AO上一点. D 4 D B (1)如图，AQ⊥DM于点N,交BO于点Q. ①求证：OM=OQ: ②若DQ=DC,求NO+MW 的值. DM (2)如图，M是AO的中点，线段EF（点E在点F的左边)在直线BD上运动，连接AF,ME,若AB=4, EF=V2,则AF+ME的最小值是 题型六实践探究中求线段之间的关系（共6小题） 1.（2526八年级下·广东江门期中)综合与实践： 10/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【问题情境】：阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为5°的两条射线，连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何 模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE,AF与BC,CD边分别交于E,F两点， 易证得EF=BE+FD 证明思路：如图2，延长CB至点H,使BH=DF,连接AH,可证△ADF≌△ABH,再证 △AEF≌△AEH,故EF=BE+DF」 D 45 60 B E B E M 图1 图2 图3 图4 【知识应用】 (1)如图2，已知DF=2,CF=3,则BE的长为； (2)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，以A为顶点的 ∠EAF=60°，AE,AF与BC,CD边分别交于E,F两点，请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论 EF=BE+DF是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由， 【拓展提升】 (3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，点E为CD中点且AE平分∠DAM,如图4，试判断AM, AD和MC之间的数量关系并给出证明. 2.（2526八年级下，广东东莞期中)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角 形全等模型图（如图2、图3），即一线三等角模型和K字模型 6 朱实 黄实 赵爽 弦图 图1 图2 图3 图4 【问题发现】 (1)如图2，已知，△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，一直线过顶点C,过A,B分别作其垂线，垂足 分别为E,F.由三角形全等可得EF,AE,BF之间的数量关系_； 11/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出EF,AE,BF之间的数量关系 【问题提出】 (3)在(2)的条件下，若BF=4AE,EF=5,则△BFC的面积为 (4)如图4，正方形ABCD中，AE⊥DE,DE=4,求△CDE的面积. 3.(25-26八年级下广东珠海期中)在正方形ABCD中，E,F分别为直线BC,CD上的点， ∠EAF=45°. D B E 图1 图2 (1)如图1，E,F分别在边BC,CD上，求证：EF=BE+DF: (2)如图2，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，判断BE,EF,DF之间的数量关系并证明， 4.(2026河南周口.二模)如图1，四边形ABCD是正方形，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接 BE、DE、EF,且DE=FE D D E M B F 图1 图2 (1)若∠ABE=25°，求∠AEB的度数： (2)求证：BE=EF; (3)如图2，若EF的中点M恰好在线段BD上，试探究AE与BD的数量关系，并说明理由： 5.(25-26八年级下.北京期中)在口ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在口ABCD边AD所在直 线上方. 12/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)当口ABCD为矩形，且△ADE为等边三角形时，作CF垂直于ED交其延长线于点F.连接OE,OF 补全图形，则OE、OF的大小关系为：OE OF(填入“>，<或=”)： (2)当∠AED=90°，作CF垂直于ED交其延长线于点F.连接OE,OF: ①猜想OE,OF的数量关系，并证明你的结论： ②当口ABCD为正方形，若AB=2V2,则OF长的最大值为 6.（25-26八年级下·广东东莞期中)【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过旋转或截长补短， 并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题. 【初步探究】 如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF.若∠EAF=45°，将 △ADF绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABG.易证：△AEF≌△AEG. D B B E 图1 图2 图3 (1)根据以上信息，填空： ①∠EAG=_: ②线段BE、EF、DF之间满足的数量关系为-： 【迁移探究】 (2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在射线CB上，∠EAF=45°，猜想线段BE、EF、DF之间的数量 关系： 【拓展探索】 (3)如图3，已知正方形ABCD的边长为3V2,∠EAF=45°，连接BD分别交AE、AF于点M、N,若点 13/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM,求线段MN的长. Z.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位期中)综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动.将直角∠MEN的顶点E放在正方形 ABCD的对角线AC上（点E不与A、C重合），其中直角边EM与BC交于点F,直角边EN与CD交于点 G D G B F B F F M M 图① 图② 图③ (1)发现：如图，当EF与BC垂直时，填空：EF EG.(填“>”、“=”或“<”) (2)探究：如图，当EF与BC不垂直时，请判断EF与EG之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明 理由：若不变，请给出证明： (3)拓展：当EF与BC不垂直时，以EF、EG为邻边构造矩形EFHG,连接CH,请在备用图中画出图形并 直接写出∠BCH的度数. 题型七实践探究中求角度的关系（共5小题） 1.(25-26九年级下山东淄博期中)如图1，在数学活动课上探究正方形的图形与性质时，小明同学将一 个等腰直角三角板GEF按如图位置摆放于边长为5的正方形ABCD上，使得其直角顶点G落在点D处，点 E落在边AB上，点F落在BC的延长线上. D(G B 图1 图2 图3 (1)求证：AE=CF: (2)如图2，取EF的中点P,连接PC,若CF=2,求CP的长： (3)若将等腰直角三角板GEF沿DB方向平移，使其直角边GF恰好过点C,GE与直线AB交于点M, ①若DG=32 ,求AM的长度： 14/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若转动该等腰直角三角板GEF,仍使得其直角顶点G在对角线BD上，且直角边GF过点C,当线段CG 与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠GMB的度数. 2.(25-26八年级下，黑龙江齐齐哈尔·期中)旋转变换在平面几何中有着广泛的应用.特别是在解（证） 有关等腰三角形、正三角形、正方形等问题时，更是经常用到的思维方法，请你用旋转变换等知识，解决 下面的问题.如图1，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，其中∠EAF=45°. 图1 图2 (L)直接写出BE、EF和DF三边的关系一，∠AFD与∠AFE的关系， (2)证明(1)问中的结论， (3)如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=45°，∠BCD=90°，AC平分∠BCD,若BC=4,CD=3, 则对角线AC的长度为】 3.(25-26八年级下，广东广州期中)在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线BD上一点，连接CE,过 E作EF⊥CE,交AB于F. D D D E E G G A F B A B F B 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：EC=EF: (2)如图2，过E作EG⊥DB交AD于G,连接BG交EF于O,证明：∠EOG=45°： 3)如图3，在(2)条件下，记GF的中点为P,Q为线段BC上一点，且CQ=1,求线段PQ长度的最小值 4.(25-26八年级下湖南岳阳期中)如图1，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OBCD的两边与坐 标轴的正半轴重合，点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B),作MN⊥DM, 交∠CBE的平分线于点N, 15/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)直接写出点C的坐标一： (2)求证：MD=MN: (3)如图2，若点M的坐标为2,0，试在OD上找一点P,使四边形MNCP为平行四边形，求点P的坐标； (4如图3，连接DN交BC于点F,连接FM,求证：∠MNB=1 ∠MFB. 题型八实践探究中求与实际结合（共5小题） 1.(25-26八年级下，陕西西安期中)综合实践： 淡水湖 D 图① 图② 图③ 【问题提出】 (1)如图①，点P在等边△ABC内部，且PA=3,PC=4,∠APC=150°，求PB的长.经过同学们的观 察、分析、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到 △APB连接PP:发现△APp是等边=角形，由此推出∠PPB=一，即可求得PB=一 【问题探究】 (2)如图②，己知在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，四边形CFDE是 正方形，若AD=3,BD=4,求△ADE和△DBF的面积之和， 【问题解决】 3)某公园准备开发一块水上游玩区域，如图③所示，扇形AOB的圆心角为120°，OA=OB=300m,在 扇形AOB内部修建一个扇形COD为游客中心，∠COD=60°，OC=OD=150m,△BOD和△AOC均 16/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为休闲区，阴影部分修建一个淡水湖可供划船等项目，设淡水湖面积为S,为满足淡水湖周边的建设用地 需要，需要淡水湖面积尽可能的小，请问淡水湖面积S是否存在最小值？若存在，请求出面积最小值：若不 存在，请说明理由.（结果保留π） 2.(25-26八年级下陕西延安期中)解答下列问题： G G E H B 图① 图② 图③ 【问题提出】 如图，在正方形ABCD中，E,F分别为AD上的两点，连接BE,CF并延长交于点G,连接DG，,H为 CF上一点，连接BH,DH (1)如图①，若AB=3,AF=2DF,H为CF的中点，则线段DH的长为_一： (2)如图②，过点B作BI⊥CH于点I,若BH=BC,BG平分∠ABH,试探究线段BI,DG,CG之间存 在的数量关系； 【问题解决】 (3)如图③，城市公园内有一块边长为30m的正方形花圃ABCD,现计划在边AD上寻找一点P设置为出入 口，连接CP,过点B作BQ⊥CP于点Q.园林部门把△BCQ沿边BC翻折，形成新景观区域△BCM.在 直线AB上寻找一个户外独立洗手台N,连接MN,沿AN修建水渠，沿MN铺设小路，已知修建水渠的费 用是2万元/km,铺设小路MN的费用是2万元/km,为了节约成本，求当景观区域△BCM面积最大时， 修建水渠AN和小路MN的最低总费用.（户外独立洗手台的大小，水渠和小路的宽度均忽略不计） 3.(25-26八年级下重庆铜梁期中)探究不同情境，回答下面问题： 图1 图2 图3 (1)【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形 17/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD中，在AB上取点M,连接DM,过点A作AN⊥DM交BC于点N.求证：BM=CN (2)【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答.如图2，点O为正方形 ABCD的对角线交点，P,Q分别在边DM,AN上，满足NQ=MP,连接OP,QP,QO ①判断△OPQ的形状，并说明理由： ②若BM=AM=4,求PQ的最小值. (3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在(2)的条件下，如图3，连接 DQ,AP,DQ与OP交于点H,使QH=DH,若AP=m,PQ=n,请求出正方形ABCD的面积（用含 有，n的式子表示)， 4.(25-26八年级下·浙江金华，期中)在一次数学活动课上，李老师在四边形ABCD的边BC,CD上分别 取点E,F 图1 图2 图3 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°，同学们将拼图中的△ADF绕点A顺时针旋转90°至 △ABG,请写出EF、BE、DF三者之间的数量关系，并说明理由： (2)在(1)的基础上，班级中有同学思考，如果我们弱化正方形的条件，如图2，四边形ABCD中， ∠BAD≠90°，AB=AD,∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD 满足关系时，仍有题(1)的结论： (3)李老师提出：自己所居住小区的公园在同一水平面上，如图3，有四条通道围成四边形ABCD.已知 AB=AD=60米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F, ∠EAF=75且AE1AD'DF=30|3-1米，现要在B、F之间修-条笔直的道路，求这条道路EF 的长 5.(25-26八年级下.甘肃张掖期中)问题提出 18/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B GC 图① 图② 图③ (1)如图①，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，若DE=4,则BC的长为 问题探究 (2)如图②，在菱形ABCD中，连接AC,P,Q分别是BC,AB边上的动点，连接PQ,M,N分别是PQ, CP的中点，若AB=5,AC=6,求MN的最小值； 问题解决 (3)如图③，莫莫家有一块边长为600的正方形菜地ABCD,爸爸计划对其进行改造，P为菜地内一动点， 且∠ABP=60°，E为CD的中点，R,G分别为AD,BC边上的动点，在改造的过程中始终要满足 CG=DF,Q为AP的中点，他计划在△ABP区域内种植茄子，在△乙区域内种植西红柿，其余区域内 种植辣椒，并分别沿EF,GQ修建灌溉水渠，为了控制成本，要求灌溉水渠的总长度EF+GQ尽可能的 短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠总长度EF+GQ的最小值. 题型九实践探究中折叠问题（共5小题） 1.(25-26八年级下·辽宁大连期中)综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展教 学活动。 操作一：对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平： 操作二：在AD上选一点P,沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平. B B P D D 图① 图② 图③ 【数学思考】 (1)如图①，当点M落在折痕EF上时，延长PM交CD于点N,猜想MN与CN的数量关系为 【灵活应用】 19/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)小明在以上操作的基础上继续探究，连接BF,当点M落在BF上且AB的长为6时，（如图②），过点P 作PI⊥BC于点I,请求出BI的长 【拓展延伸】 3)如图③爱思考的小欧又有新的想法：他在操作二时在AE上选一点P,沿DP折叠，使点A落在EF上点 M处，然后连接PM并延长交BC于点K,连接KD,交EF于点N,他猜想△KMN为等边三角形，请你 帮小欧进行证明， 2.(25-26八年级下·西藏期中)折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽 的图形.同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识. D D ① ② ③ 图1 图2 (1)折纸1：如图1，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在平面内的点A处，连接A'C,若 ∠DEA=50o' 则∠ABE· (2)折纸2：如图2，操作一：将边长为4的正方形纸片ABCD对折，使点B、C分别与点A,D重合，再展 开得到折痕EF;操作二：将正方形纸片ABCD沿着AF折叠，使得点D落在平面内点D处，延长FD交 BC于点P,求线段BP的长度 3.（2526八年级下山西大同期中)综合与实践： 数学课学习了特殊四边形之后，勤学小组的同学展开了对矩形纸片AMND的裁剪与折叠实践活动，如图 1. 实践操作： 第一步：如图2，折叠矩形纸片AMND,使得点D的对应点B落在线段AM上，折痕为AC,然后把纸片 展平，再沿BC将纸片剪开，得到四边形ABCD和四边形BMNC 第二步：如图3，将四边形ABCD沿DE折叠得到△就，点E在线段AB上，点A的对应点为点F,连接 CF,BF. 20/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B D 图1 图2 图3 问题解决： (1)图2中的四边形ABCD的形状是 (2)当∠ADE=30时，判断线段BF与CF的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，请直接写出∠BFC的度数， 4.(2526八年级下广西南宁期中)【教材重现】蜜与长的比是51（约为0.618）的矩形叫作黄金矩 2 形 【教材拓展】一个点把一条线段分为两段，如果其中较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的 V5-1 比，我们就说这个点是这条线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比，这个比值为2 (约为0.618) GB 图1 图2 (1)【概念理解】一条线段有_个黄金分割点： (2)【操作探究】如图1，先将边长为2的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，得到折痕EF,把纸 片展开，连接CE,继续沿过点C的直线折叠，使点E落在CB的延长线上的点G处，得到折痕CP,把纸 片展开，连接PE,PG,BG,求证点P为线段AB的黄金分割点 旧【换作探充】如图2，矩形纸片ABCD是黄企矩形（满足A5-5-1,AB=2,将矩形纸片ABCD的 BC 2 边AB沿AF向内折叠，使点B落在AD边上的点E处，折痕为AF,纸片展开后，连接EF,得到正方形 ABFE和新矩形EFCD,连接DF,求线段FD的长（结果保留根号） 5.(25-26八年级下.湖南湘潭期中)已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转， 它的两边分别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N,AH⊥MN于点H. 21/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M M H 图① 图② 图③ 【初步感知】 (1)如图(1)，当BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系： 【问题探究】 (2)如图(2)，小罗同学发现，当BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系仍然成立.为了证明 这个猜想，小组成员们展开了讨论，得到了下面两条思路： 思路1：延长CB至E,使得BE=DN,连接AE 思路2：以A点为旋转中心，将△人乙顺时针旋转90°得到△ABE. 请你从中任意选择一个思路进行证明。 【拓展提升】 (3)如图(3)，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H,且MH=2,NH=3,求AH的长. 题型十实践探究中新定义问题（共5小题） 1.（25-26九年级上山西太原期末)阅读与思考 下面是一篇数学小论文的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务 等腰五边形 在学习特殊四边形的 过程中，我们积累了 一定的研究经验.运 用已有经验，可以对 其他特殊图形展开探 究.下面我们按照 “定义一性质一判 定”的路径研究“等 腰五边形” 22/30 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 定义对象：如图1， 在凸五边形ABCDE 中， AB=AE,BC=ED ,∠B=∠E,像这 样的五边形叫做等腰 五边形，其各部分要 素名称如图1所示. 上腰负角上腰 B旁角旁角yE 下腰\底角底角/下腰 C底边D 图1 由定义直接可以得 到：等腰五边形的两 条上腰相等、两条下 腰相等，两个旁角相 等； 分析性质： ①从整体看，等腰五 边形是轴对称图形： ②从局部看，关于底 角：…；关于对角 线： 任务： 概念理解：(1)已知：如图2，正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD边上，且CE=CF,连接EF. 求证：五边形ABEFD是等腰五边形： 23/30 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 图2 性质探究：(2)根据定义，进一步探索等腰五边形的其他性质. ①写出等腰五边形底角的性质； ②如图3，已知等腰五边形ABCDE,其中AB=AE,BC=ED,∠B=∠E.在图3中适当添加线段，可 以获得关于等腰五边形性质的相关结论 例：在图3中连接AC,AD,得到图4，则AC=AD, 请仿照上例，在图3中添加其它线段（画出添加的线段，说明添加方法），写出相应的一个结论： A B D B 图3 图4 图5 应用拓展：(3)如图5，在一张菱形纸片ABCD中，∠A=60°，AB=6,点P,Q分别在菱形ABCD的一 组邻边上（不与顶点重合），连接PQ,可将菱形纸片分成两部分，其中一部分的形状是以PQ为底边的等 7 腰五边形，若其面积是菱形ABCD面积的g 则PQ的长为一· 2.（2025山西大同二模)阅读与思考 下面是善思小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务， 关于“勾股四边形”的研究报告 善思小组 研究对象：勾股四边形. 研究思路：分类讨论，由特殊到一般进行研究. 定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为 勾股四边形. 【特例研究】如图1，根据勾股四边形的定义证明正方形ABCD是勾股四边形. 证明：如图1所示，连接AC,由四边形ABCD是正方形可知∠B=90°，在Rt△ABC 24/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中根据勾股定理可得AB+BC=AC,所以正方形ABCD是勾股四边形. 【一般研究】如图2，四边形ABCD中，AC,BD为对角线，AB=BC=AC且 ∠ADC=30°，求证：四边形ABCD为勾股四边形， 证明：以CD为边作等边三角形CDE,连接AE, E 图1 图2 图3 任务： (1)根据勾股四边形的定义，下列特殊四边形中，一定是勾股四边形的是_（从下列选项中选出两个即可）； A.矩形；B.等腰梯形；C.直角梯形；D.平行四边形 (2)请你阅读上述报告，补全一般研究中的探究过程； (3)如图3，在四边形ABDC中，AD,BC为对角线，AB=BC,∠BAC=∠BDC=45°，请直接写出 线段BD,CD,AD的关系. 3.(24-25八年级下·江西宜春期末)定义引入： 定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形. (1)问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：一： 猜想与验证： (2)①如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD于点O,下列结论正确的是(). A.AB2+BC2=CD2+AD2 B.Sg达形ABCD-2AC×BD C.AB×CD=BC×AD ②证明①中正确的结论： 拓展思考： (3)如图2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别是3cm和5cm,连接AE,AG,CE,且 AE=7cm,△ADG的面积和△DCE的面积会相等吗？如果会，请证明并求△DCE的面积，如果不会， 请说明理由. 25/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图1 图2 4.（23-24八年级上山东淄博期末)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹 角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形 根据以上定义，解决下列问题： 图① 图② 备用图 (1)如图①，正方形ABCD中，E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应 点F在DA的延长线上，则四边形BEDF为“直等补”四边形，为什么？ (2)如图②，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=5,CD=1,AD>AB,过点B作 BE⊥AD于点E,作BF⊥DC交DC延长线于点F. ①试判断四边形BFDE的形状，证明你的结论，并求出BE的长， ②若点M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值. 5.（25-26九年级上广东深圳开学考试)【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”· 【判断尝试】 (1)在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是 ；(填序号) (2)如图1，四边形ABCD是对直四边形，若∠A=90°，AB=V3,AD=2,CD=1,则边BC的长是 A 图1 【操作探究】 26/30 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图2，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，AE⊥BC于点E,请在边CD上找一点F,使得以点A、 E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，直接写出EF的长是 D B E 图2 【拓展延伸】 如图3，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2 个单位长度的速度，分别沿正方形的边BA、BC、CD方向运动（保持CG≤CD),再分别过点E、F作 AB、BC的垂线交于点H,连结AH、HG.试说明：四边形AHGD为对直四边形， H 图3 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中AB=2米，BC=6米，∠B=∠C=90°， ∠D=45°.现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边 形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余.请直接写出分割后得到的等腰三 角形的腰长是 B 图4 备用图 题型土一实践探究中与函数综合（共5小题） 1.(25-26八年级下.黑龙江哈尔滨·期中)已知平面直角坐标系中，四边形OABC为面积为15的矩形， OA=5. 27/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E (1)直接写出点B的坐标： (2)点D的坐标为-2,0，动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿射线BC运动，设△DPC的面积为 S,运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围， (3)过点D作x轴的垂线EF,在点P运动过程中，在EF上取点M,使得A、P、M和第一象限的点N构成 正方形，求出此时的t值和N点坐标. 2.（25-26八年级下.重庆期中)如图，已知一次函数y=kx+8(k≠0的图象分别与x轴，y轴交于点A, B A 0 图1 图2 (1)如图1，当k=- 时，以AB为边在第一象限构造正方形ABCD,连接AC,BD,求直线AC和BD的表 3 达式： (2)如图2，当k>0时，以AB为边在第二象限构造正方形ABCD,连接OC,求△OBC的面积： (3)若k=2,点P在正比例函数y=-x的图象上，且∠ABP=45°，直接写出满足条件的点P的坐标. 3.(25-26八年级下·四川绵阳·期中)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，D0,3, 点E是OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括O、B)作MN⊥DM,交∠CBE的平分线于 点N. 28/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B M B E 图1 图2 图3 (1)①直接写出点C的坐标： ②求证：MD=MN: (2)如图2，若M2,0,在OD上找一点P,使四边形MNCP是平行四边形，直接写出点P的坐标； (3)如图，连接DN交BC于F,连接FM,求证：MN平分∠FMB 4.(25-26八年级下，湖北武汉期中)已知，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点B是原点，点 A、C分别在y轴和x轴的正半轴上，若顶点D的坐标为a,b,且a,b满足：b=√a-4+V8-2a+4. B (1)直接写出值：a=」 ，b= (2)正方形对角线的交点为O,已知正方形A1BC1O绕点O转动，且A1O交AB于E,C1O交BC于F,在 正方形转动过程中，求四边形BFOE的面积.直接写出EF的最小值为 (3)如图2，若正方形A1BD1C绕点C转动，点E是AA1的中点，点F是BB1的中点，连接EF,BA1,求 EF:BA1的值 5.(25-26八年级下辽宁大连期中)如图，在平面直角坐标系中，点A1,6,B6,-4,点P为直线BA 上一点，横坐标为m,点Qm,2为平面内一动点，当点Q不在直线AB上时，以PQ为边向左作正方形 PQMN. 29/30 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y A (1)求直线AB的函数关系式： (2)当线段PQ=5时，求m的值： (3)求正方形PQMN的周长（用含m的代数式表示）； (4)若正方形PQMN相邻两边与线段OA只有两个交点，直接写出m的取值范围. 30/30