专题13 正方形的性质与判定常考题型14题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦正方形性质与判定，构建从基础认知到综合应用的层级训练体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础认知|10题|判定定理理解、添加条件证正方形|从平行四边形到正方形的概念递进，强化判定条件的严谨性| |性质应用|30题|角度/线段/面积计算、折叠/坐标/重叠问题|以性质为核心，结合图形变换与坐标思想，培养空间观念| |综合探究|25题|证明、作图、压轴题、实践探究|融合推理与创新，通过动态问题发展应用意识与逻辑思维|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题13正方形的性质与判定常考题型 题型归纳内容导航 题型1正方形的判定定理理解（基础） 题型8利用正方形的性质求点坐标（重点） 题型2添加一个条件使得四边形是正方形（基 题型9求正方形重叠部分的面积（重点） 础) 题型3根据正方形的性质求角度（重点） 题型10根据正方形的性质证明（常考） 题型4根据正方形的性质求线段长度（重点） 题型11证明四边形是正方形（常考） 题型5根据正方形的性质求面积（重点） 题型12正方形中的作图问题（重点） 题型6根据正方形的性质求最值（难点） 题型13正方形中解答题压轴（压轴） 题型14正方形的性质与判定实践探究问题（压 题型7正方形中的折叠问题（重点） 轴) 题型通关·靶向提分 题型一正方形的判定定理理解（共5小题） 1.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)下列命题正确的是() A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.平行四边形的对角线相等 D.矩形具有正方形的一切性质 2.(25-26八年级下·重庆·期中)下列说法正确的是() A.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B.有一组邻边相等的四边形是菱形 C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3.(25-26八年级下，江苏宿迁期中)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点 O,则下列结论中错误的是（) 1/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是正方形 C.当AC=BD时，四边形ABCD是矩形 D.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 4.（25-26八年级下，江苏宿迁期中)下列说法正确的是() A.对角线相等的四边形是平行四边形 B.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5.（2526八年级下·广东广州期中)下列命题中是真命题的是() A.两边相等的平行四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 题型二添加一个条件使得四边形是正方形（共5小题） 1.(25-26八年级下.陕西安康期中)在平行四边形ABCD中，AB=AD.添加下列一个条件，使得四边 形ABCD为正方形，则添加的条件可以是() A.AC⊥BDB.AC=BD C.∠ABC=∠ADCD.AC平分∠BAD 2.(2026江苏扬州一模)如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正 方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是() 4 A.①∠ABC=90° B.②AC⊥BD C.③BD平分∠ABCD.④ AB=BC 3.(24-25八年级下·江西南昌·期中)小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图， (1)(2)(3)(4)处需要添加条件，则下列条件添加错误的是() 2/23 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D (1) 矩形 (2) D B D 平行 四边形 D 正方形 (3) 菱形 (4) B A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=BC C.(3)处可填AB=AD D.(4)处可填∠A=90° 4.(25-26八年级下.甘肃张掖期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,添加下列一个 条件，能使矩形ABCD成为正方形的是()· D B C A.AO=AD B.AC⊥BD C.∠AOB=60° D.OC=CD 5.(25-26八年级下.陕西渭南期中)己知在口ABCD中，AC⊥BD.添加一个条件，使得四边形 ABCD为正方形.添加的条件可以为() A.AB=CDB.AC平分∠BADC.AC=BD D.∠ABC=∠ADC 题型三根据正方形的性质求角度（共5小题） 1.(2026河北张家口·二模)如图，正方形ABCD与平行四边形BCEF的一边重合.若BF平分∠ABC, 则∠E的度数为() B A.30 B.45° C.60° D.135° 2.(25-26八年级下，云南普洱期中)如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的一点，且CE=CA,则 ∠BAE=() 3/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.45° B.60° c.67.5° D.75° 3.(25-26八年级下辽宁鞍山期中)如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、 ED,延长BE交AD于F.当∠ABE=20°时，∠BED的度数为() E A.110 B.120° C.130° D.135° 4.(25-26八年级下.河南濮阳期中)如图，分别以正方形ABCD的顶点A,B为圆心，AB的长为半径作 弧，两弧在正方形的内部交于点E,连接ED,EC,则∠EDC的度数为() B A.40° B.30° C.22.5° D.15° 5.(25-26九年级下，贵州铜仁阶段检测)如图，在正方形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧， 再以点D为圆心，AD的长为半径画弧，交BD于点E,作射线AE交BC于点F,连接DE,则∠AFB的度 数为() D A.30° B.45° C.60° D.120° 4/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型四根据正方形的性质求线段长度（共5小题） 1.(25-26八年级下.上海崇明·期中)如图，正方形ABCD的边长为6，E是BC的中点，DF⊥AE,与 AB交于点F,则DF的长为 B E 2.(25-26八年级下·贵州铜仁期中)在边长为3的正方形ABCD中，BE=2,连接CE,将△CBE沿CE 折叠得到△CGE,CG交BD于点M,延长CG交AD于点F,则点G到AB的距离是 F G M E 3.(25-26八年级下·上海青浦·期中)如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上的一点，PE⊥AD于 点E,若AB=6,PE=2,则BP的长为一· 4.（2026河南三门峡.二模)如图，正方形ABCD中，AB=6,M为CD边上一动点，延长CB到点N, 使BN=DM,连接AN,MN,过点A作AE⊥MN于点F,交BC于点E.当点E恰好为BC边的三等分 点时，CM的长为 B 5.(25-26八年级下江苏无锡·期中)如图，在正方形ABCD中，F为CB上任意一点，连接DF,取DF中 5/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点M,过点M作GH⊥DF交AB于点G,交DC于点H,连接AC交GH于点N,若MN=1,则GH为 A G M 题型五根据正方形的性质求面积（共5小题） 1.(25-26七年级下·江苏准安·期中)如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，且B、C、G三点在 同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接AE、DG、EG.若阴影部分的面积为I6,则大正 方形CEFG的面积与小正方形ABCD的面积之差为一， A D B 2.（2026广东珠海模拟预测)如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面 积为12，则阴影部分的面积为 D 3.(25-26八年级下·江苏南京·期中)如图，将两个正方形按下列方式摆放，B,C,E三点在同一条直线 上.若阴影部分的面积之和是17，△BCG的面积为11，则BE= A D F 6/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(2026江苏无锡.一模)如图，在四边形ABCD中，ABCD,∠A=90°，AB-CD=5,AD=12. 现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为一 ① ④ ① ④ ③ ③ A B 5.（2026江苏南通.一模)中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理，如图， 己知正方形ABCD和正方形CEFG,D、C、E三点在一条直线上.现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方 形BHIE.若正方形ABCD和正方形CEFG的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则DE的长为 B H D 题型六根据正方形的性质求最值（共5小题） 1.(25-26九年级下.黑龙江大庆期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，且DM=1,点 N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为 A D M B 2.(25-26八年级下.陕西西安期中)如图，正方形ABCD中，AB=6,点E是线段AB上一点，且 ∠ADE=22.5°，点F是线段AD上的动点，点M是DE上的动点，且FM⊥DE,连接CF,点N为CF 的中点，连接MN,则MN的最小值为 7/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF D E M B 3.(24-25八年级下，辽宁葫芦岛·期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动，点F在边 CD上运动，运动过程中EF的长度保持不变，且EF=2.若M是EF的中点，P是边AB上的动点，则 PC+PM的最小值为 B 4.(2026河南周口.二模)如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CD边上的一个动点，连接 EF,BF.若AB=2,则EF+BF的最小值为 D E 5.(2026广西崇左.一模)如图所示，在边长为2Cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对 角线AC上一动点，连接PB,PQ,则△PBQ周长的最小值为cm.(结果保留根号) D 题型七正方形中的折叠问题（共5小题） 1.(25-26八年级下江苏常州期中)如图，把一块边长为6的正方形纸片ABCD沿着PQ翻折，使顶点A 8/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 恰好与CD边上的点E重合，若DE=2,则折痕PQ= D G B 2.(25-26八年级下.安徽阜阳·期中)边长为6的正方形ABCD中，M是BC边上的动点，以AM为折痕将 △ABM翻折，使点B落在E处，延长ME交CD于点F. B (1)若A,E,C三点共线，则MC= (2)若AMCE,则CF= 3.(25-26八年级下江苏南通期中)如图，将正方形ABCD顶点A折叠至BC边上的点E,折痕为GF. 若DF=2,BG=3,则AD的长是 G E D 4.(25-26八年级下，湖北黄冈·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,点M,N分别在 边AD,BC上，沿着MN折叠矩形ABCD,使点A,B分别落在E,F处，且点F在线段CD上（可与点C, D重合)，过点M作MH⊥BC于点H,连接BF.当F与D重合时，CN=Cm;若四边形 CDMH为正方形，则NC=cm. 9/23 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D(F) D B B∠ 图1 图2 5.(2023吉林长春.模拟预测)如图，在正方形ABCD中，AB=4Cm,点E为AB的中点，点F为AD边 一动点，将△AEF沿EF翻折得到△AEF,连接AC,则线段AC的长度的最小值为Cm. 题型八利用正方形的性质求点坐标（共5小题） 1.(2026年河南洛阳市中招模拟试卷（三）数学)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形， 点A的坐标是43,0p为边AB上一点，沿CP折叠正方形OABC'点B的对应点为B,若0B=AB' 则点B的坐标是 C B P B 0 A 2.(25-26八年级下山西期中)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A,C分别在x轴，y 轴上，点O是坐标原点，点D(0,1)是边OC上一点，点MN都是x轴上的动点，若点B(4,4),MN=1 (点M在点N的左侧)，则DM+MN+NB最小时，点M的坐标是 10/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 % B(4,4) C D OMNA末 3.(2026海南省直辖县级单位二模)图，平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐 标为8,0，点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为0,6，则线段BF的 长为，点E的坐标为· D 4.(2026山东枣庄·模拟预测)图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC,边OA,OC分别 在X轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB,C1,再以对角线OB为边作第三个正方形 OB1B2C2…照此规律作下去，则点B2026的坐标为 B B 5.(2526八年级下，黑龙江齐齐哈尔期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A 的坐标是-3,1，则点B的坐标是 11/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型九，求正方形重叠部分的面积（共5小题） 1.(25-26七年级下河南平顶山期中)如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图 1,已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为AE的中点，连接DH,FH.将乙纸片放到甲的内部得到 图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为 D HB 图1 图2 2.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔.专题练习)现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图(1）所示)， 取①②③木板各一块，按如图(2)所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖 的面积为 ；在图(2)摆放的基础上再放置一块木板②，如图(3)所示，则此时的木板①没有被 覆盖的面积为 ① ② 图(1) 图(2) 图(3) 3.(25-26八年级下浙江温州期中)如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方 形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为· 4.(21-22八年级下，山东泰安期中)如图，将5个边长都为4Cm的正方形按如图所示的方法摆放，点 A、B、C、D是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为一· 5.(2023山东菏泽一模)如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点O是其中一个正方形的中心，则 12/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图中阴影部分的面积为· G M D 题型土根据正方形的性质证明（共5小题） 1.(25-26八年级下·陕西榆林期中)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、AB上，连接 CE、CF、EF,已知CE=CF. D (1)求证：AE=AF: (2)若正方形ABCD的边长为2，CE=CF=5,求EF的长. 2.(25-26八年级下·江苏扬州期中)如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，连接AE,过点D 作DF⊥AE于点F,连接CF,过点C作CG⊥DF于点G. D (1)求证：DF=CG (2)若正方形ABCD的边长为6，BE=2,求CG的长. 3.(25-26八年级下，江苏常州期中)如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,BD所在的 直线上有两点E、F(点E、F在正方形ABCD的外部)，满足BE=DF,连接AE、AF、CE、CF. 13/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：四边形AECF是菱形 (2)若AE=V26,OE=3V2,直接写出AB的长为_. 4.(25-26八年级下·湖南岳阳期中)如图，BD是边长为4的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC 交DC于点E,延长BC到点F,使CF=CE,连接DF,交BE的延长线于点G. (1)求证：△BCE≌△DCF: (2)求CF的长。 5.(25-26八年级下广东珠海期中)在正方形ABCD中，E,F分别为直线BC,CD上的点， ∠EAF=45°. D D B B E 图1 图2 (1)如图1，E,F分别在边BC,CD上，求证：EF=BE+DF: (2)如图2，点E在BC的延长线上，点F在CD的延长线上，判断BE,EF,DF之间的数量关系并证明. 题型十一证明四边形是正方形（共5小题） 1.(2026山东青岛二模)已知：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O,分别过点C、D作 CF‖BD,DF‖AC,连接BF交AC于点E 14/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 E (1)求证：△FCE≌△BOE: (2)当AD⊥CD时，判断四边形OCFD的形状，并说明理由. 2.(25-26八年级下，广东东莞期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E,F在 对角线BD上，且BE=DF,AC=EF,连接AE,CE,CF,AF.求证：四边形AECF是正方形. B 3.(25-26八年级下广东江门期中)如图所示，在口ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，点 E、F、G、H分别是AD、BC、OB、OD的中点， (1)证明：四边形EGFH是平行四边形： (2)若AB⊥BD,DC:BD=1:2,证明：四边形EGFH是正方形. 4.(2026山东青岛一模)如图，在口ABCD中，BC⊥AC,点M为CD的中点，连接AM并延长，交 BC的延长线于点E,连接DE. A B E (1)求证：BE=2AD: (2)当AB⊥AE时，四边形ACED是 形，请证明. 15/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025贵州铜仁二模)如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC, 设MN交∠BCA的角平分线于点E,交∠GCA的平分线于点F, B (1)说明：EO=FO: (2)当点O运动到何处，四边形AECF是矩形？说明你的结论， (3)当点O运动到何处，AC与BC具有怎样的关系时，四边形AECF是正方形？为什么？ 题型十二正方形中的作图问题（共4小题） 1.(25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和 线段CD,点A、B、C、D均在小正方形的顶点上. (1)在方格纸中画以AB为一边的正方形ABEF,点E、F均在小正方形的顶点上： (2)在方格纸中画以CD为一边的菱形CDGH,点G、H均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为20，连接 EH,并直接写出线段EH的长， 2.(25-26八年级下江苏扬州期中)如图1，已知点E,F,G,H分别是四边形ABCD各边 AB,BC,CD,DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形. 连接BD, EH是 △ABD的 由己知条件 EH丝BD 中位线 四边形EFGH EH ZFG 是平行四边形 同理 FG号BD 16/23 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F,G,H仍是BC,CD,DA的中点，求证：四边形 CFGH是平行四边形： (2)如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A,C,B都在格点上，在格点上画出点D,使点C 与BC,CD,DA的中点F,G,H组成正方形CFGH,并利用格点在图中作出正方形CFGH; (3)在(2)条件下，求证：四边形CFGH为正方形，并求出正方形CFGH的周长 3.（25-26八年级下.吉林松原期中)如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、 B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的项点均在格点上 B B B 图① 图② 图③ (1)在图①中以线段AB为边画一个面积为6的平行四边形ABCD: (2)在图②中以线段AB为边画一个菱形ABEF: (3)在图③中以线段AB为边画一个正方形ABGH, 4.(25-26八年级下.浙江宁波.期中)图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，线段AB的端点均在格点上.在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均 在格点上 B B 图① 图② 图③ 17/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)在图①中画出以AB为边的平行四边形ABCD(非菱形)； (2)在图②中画出以AB为边的菱形ABCD(非正方形)； (3)在图③中画出以AB为边的正方形ABCD. 题型土三正方形中解答题压轴（共5小题） 1.(25-26八年级下辽宁大连期中)如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别是边BC,CD上的点， 连接AF,作EH⊥AF于点H,延长EH交边AD于点G. G E E E 图1 图2 备用图 (1)判断∠AFD与∠GEC的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若CE=CF,连接CH,判断线段EH,FH,CH的数量关系，并说明理由： (3)在(2)的条件下，若AG=2,DG=1,则CH的长为_. 2.(25-26八年级下.广东汕头期中)四边形ABCD为正方形，点E为对角线AC上一动点，连接DE. B B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E是线段AC的中点时，以DE,EC为邻边作矩形DECG,求证：矩形DECG是正方形： (2)如图2或图3，当点E不是线段AC的中点时，过点E作EF⊥DE,交线段BC或BC的延长线于点F, 以DE,EF为邻边作矩形DEFG.四边形DEFG还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论， 如果不是，请说明理由： (3)在(2)的条件下，连接CG.试探究CG,EC,CD的数量关系，并说明理由. 3.(25-26八年级下，黑龙江哈尔滨期中)已知E正方形ABCD对角线AC上一点，F为CD上一点，连接 BE、EF,∠FEC+∠ABE=45° 18/23 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E M B B (1)求证：BE⊥EF: (2)求证：DF=V2AE: (3)连接BF,过F作FN⊥AC于W,若AE:CM=3:4,MN=2,求FM. 4.(25-26八年级下，吉林松原期中)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为BC上一点 0<CD<BC小将△ACD绕点A按逆时针方向旋转，使AC卢AB至合，得到的AABE则有 △ABE≌△ACD,过点E作EF‖BC,交AB于点F,过点F作FG⊥BC于点G. G G 图1 图2 解决问题 (1)如图1，若连接DE,判断△ADE的形状是 (2)如图1，判断四边形BEFG的形状，并说明理由： (3)如图2，延长EF交AC于点H,连接DH,判断四边形DGFH的形状为 5.(25-26八年级下.黑龙江哈尔滨期中)如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线BD上的点， BF=DE (1)如图，求证：AE=AF; 19/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图，点Q是菱形ABCD内一点，四边形BQDP为平行四边形，∠EAF=4∠QBD, ∠AFE=2∠ADP. B ①求证：∠BAD=90°， ②BP与AE相交于点G:且G是BP的中点，求A D的值： (3)如图，在(2)的条件下，四边形BQDP为菱形时，连接CQ,若BP=21时，直接写出CQ的长. B 题型土四正方形的性质与判定实践探究问题（共5小题） 1.(25-26八年级下.河南商丘期中)如图(1)，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上， ∠EAF=45°，连接EF.试猜想EF、BE、DF之间的数量关系. B G E 图(1) 图(2) 图(3) 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG.可使AB与AD重合，由 ∠ADG=∠B=90°，得∠FDG=180°，即点F,D,G共线，从而证明出△AFG≌△AFE,故得出 了EF、BE、DF之间的数量关系；小红同学：如图(1)延长CD,并在CD的延长线上截取DG=BE, 20/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从而证明出△AFG≌△AFE,故得出了EF、BE、DF之间的数量关系： (1)请你选择一名同学的解题思路，得出EF、BE、DF之间的数量关系： 【类比引申】 (2)如图(2)，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=120°，AB=AD,点E,F分别在边 BC,CD上，且∠EAF=60°，试猜想EF、BE、DF之间的数量关系，并给出证明. 【联想拓展】 (3)如图(3)，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，试 猜想BD、DE、EC满足的等量关系，并写出推理过程 2.(2026湖北.二模)【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片ABCD(AB=10, AD=10V2)和一张正方形纸片GHMN(GH=10),要求同学们通过折叠，折出一些特殊角. 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片ABCD翻折，使点A的对应点A1落在边BC上，折痕为BO,此时折出的 ∠A1BO= 图1 图2 图3 (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段.如图2，在矩形纸片ABCD中， 请你用尺规作图在边AB上取点T,使得BT=52,保留作图痕迹，不要求写作法： (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片ABCD按如图3所示的方式折叠，可得到 ∠ABC1=-—-: (4)【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片GHMN的∠G沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正 方形GHMN内部的点P处，折痕为HE,再将∠M沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合， 折痕为HF. 21/23 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G 图4 ①此时可得到∠EHF=·;②若MF=2,求GE的长度. 3.(25-26八年级下，江苏南通·期中)【问题情境】如图，矩形ABCD中，AD=6,折叠矩形纸片ABCD, 使点C的对应点F落在边AB上，得到折痕BE,把纸片展平：继续沿过点E的直线折叠，点A的对应点M 落在边BC上，得到折痕EG,把纸片展平，AD的对应边MN交CD于点P A G (1)【初步探究】四边形BCEF的形状是； (2)【深入探究】用等式表示线段PE,PM之间的数量关系，并证明： (3)【拓展延伸】设MG交BE于点Q,CM=2,求BG的长. 4.(2026甘肃白银.一模)【模型建立】 如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边BC,CD上的点，连接AE,BF,AE⊥BF,点M,N分别 为直线AE,BF上的动点，连接BM,CN,AM=BN 图1 图2 图3 (1)如图1，当点M,N在线段BF上时，猜想线段BM与CN的数量关系和位置关系，并说明理由； 【模型应用】 22/23 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当点M在AE的延长线上，M,N,C三点共线时，连接CM,(1)中的结论还成立吗？请说明 理由； 【模型迁移】 当M八，A三点共线疵， ,DC,猜想线段BM,AM之间的数量关系，并说明理由. 5.(25-26八年级下·江苏苏州期中)综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E,使∠CED=90°，将点 E绕点C逆时针旋转90°得到点E,射线DE,EB交于点F. 特例研究： A E (E B G B E' E 图1 图2 图3 备用图 (1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线AC中点O处时，点 F与点B重合，此时四边形EFEC的形状为 探究发现： (2)博雅小组发现，如图2，只要∠CED=90°，四边形EFEC的形状都是正方形，请证明. (3)卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取BC中点G,连接EG,FO,AF,又发现： 在点E运动过程中，FO与EG始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： (4)在(3)的条件下，己知AF=1,BC=5,直接写出BF的长. 23/23 专题13 正方形的性质与判定常考题型 题型1 正方形的判定定理理解（基础） 题型8利用正方形的性质求点坐标（重点） 题型2 添加一个条件使得四边形是正方形（基础） 题型9 求正方形重叠部分的面积（重点） 题型3 根据正方形的性质求角度（重点） 题型10 根据正方形的性质证明（常考） 题型4 根据正方形的性质求线段长度（重点） 题型11 证明四边形是正方形（常考） 题型5 根据正方形的性质求面积（重点） 题型12 正方形中的作图问题（重点） 题型6 根据正方形的性质求最值（难点） 题型13 正方形中解答题压轴（压轴） 题型7 正方形中的折叠问题（重点） 题型14 正方形的性质与判定实践探究问题（压轴） 题型一 正方形的判定定理理解（共5小题） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题正确的是（    ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．平行四边形的对角线相等 D．矩形具有正方形的一切性质 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关定理逐项判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形才是矩形，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故A选项错误； B、根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故B选项正确； C、平行四边形的性质是对角线互相平分，不一定相等，只有特殊平行四边形才满足对角线相等，故C选项错误； D、矩形不具备正方形的部分性质，例如矩形对角线不互相垂直，邻边不一定相等，因此矩形不具有正方形的一切性质，故D选项错误． 2．（25-26八年级下·重庆·期中）下列说法正确的是（     ） A．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】D 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．有一个角是直角的平行四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的任意四边形不一定是矩形，故该选项错误， B．有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，缺少平行四边形的前提条件，故该选项错误， C．对角线相等且互相垂直平分的四边形才是正方形，缺少对角线互相平分的条件，故该选项错误 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形的判定定理，故该选项正确，符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知四边形是平行四边形，对角线，相交于点，则下列结论中错误的是（    ） A．当时，四边形是菱形 B．当时，四边形是正方形 C．当时，四边形是矩形 D．当时，四边形是菱形 【答案】B 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确； B、当时，四边形是矩形，不是正方形，故错误； C、当时，四边形是矩形，正确； D、当时，四边形是菱形，正确． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（     ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵对角线互相平分的四边形才是平行四边形，仅对角线相等不能判定是平行四边形， ∴A错误； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形， ∴对角线相等且互相平分的四边形是矩形， ∴B正确； ∵对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直不能判定是菱形， ∴C错误； ∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅互相垂直平分的四边形是菱形， ∴D错误． 5．（25-26八年级下·广东广州·期中）下列命题中是真命题的是（     ） A．两边相等的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定规则，逐一判断各选项命题真假即可得到答案． 【详解】解：A∵平行四边形本身对边相等，只有邻边相等的平行四边形才是菱形， ∴原命题是假命题； B∵对角线相等的平行四边形才是矩形，任意对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴原命题是假命题； C∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形的标准判定定理，符合判定规则， ∴原命题是真命题； D∵对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，原命题缺少对角线互相平分的条件，∴原命题是假命题． 题型二 添加一个条件使得四边形是正方形（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西安康·期中）在平行四边形中，．添加下列一个条件，使得四边形为正方形，则添加的条件可以是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出平行四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴四边形是菱形． A选项，菱形本身对角线互相垂直，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． B选项，对角线相等的菱形是正方形，因此添加可判定菱形是正方形，符合要求． C选项，平行四边形本身对角相等，因此添加不能判定四边形是正方形，不符合要求． D选项，菱形本身对角线平分内角，因此添加平分不能判定四边形是正方形，不符合要求． 2．（2026·江苏扬州·一模）如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（   ） A．① B．② C．③平分 D．④ 【答案】D 【分析】根据矩形，菱形，正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意； C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意； D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意． 3．（24-25八年级下·江西南昌·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 4．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】掌握正方形的判定条件是解题的关键． 有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形． 【详解】解：在矩形中， 当时不能判定四边形是正方形，故A不符合题意； 当时，四边形是正方形，故B符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故C不符合题意； 当时不能判定四边形是正方形，故D不符合题意． 5．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知在中，．添加一个条件，使得四边形为正方形．添加的条件可以为（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知条件推出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形， A、菱形对边相等，是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； B、菱形对角线平分内角，平分是菱形原本就成立的性质，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误； C、根据正方形的判定，对角线相等的菱形是正方形， ∴添加，可判定菱形是正方形，正确； D、平行四边形对角相等，原本就成立，添加该条件不能判定四边形是正方形，错误． 题型三 根据正方形的性质求角度（共5小题） 1．（2026·河北张家口·二模）如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平行四边形的性质，角的平分线求解即可； 【详解】解：因为正方形与平行四边形的一边重合， 所以，， 因为平分， 所以， 所以． 2．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，E是正方形的边延长线上的一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，利用平角定义求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在正方形中，为对角线，为上一点，连接、，延长交于．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质，可得，，，证明，可得，由三角形的内角和定理，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·河南濮阳·期中）如图，分别以正方形的顶点A，B为圆心，的长为半径作弧，两弧在正方形的内部交于点E，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到是等边三角形，求出，然后结合正方形得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，， 由作图得，， 是等边三角形， ， 在正方形中，，， ，， ， ． 5．（25-26九年级下·贵州铜仁·阶段检测）如图，在正方形中，以点A为圆心，的长为半径画弧，再以点D为圆心，的长为半径画弧，交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是等边三角形，求解即可； 【详解】解：正方形， 故，， 根据作图，得到， 故是等边三角形， ， ， ； 题型四 根据正方形的性质求线段长度（共5小题） 1．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，正方形的边长为6，E是的中点，，与交于点F，则的长为__________． 【答案】 【分析】由正方形的性质得出，，由E是的中点，得出，由勾股定理得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·贵州铜仁·期中）在边长为3的正方形中，，连接，将沿折叠得到，交于点，延长交于点，则点到的距离是_____________． 【答案】 【分析】根据题意可知，，，过点G作于H，作于K，证明四边形为矩形，设，，在和中，运用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠可知：，，， 如图，，过点G作于H，作于K． ∴四边形为矩形， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 联立①②得：， ， 代入①中得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 即点到的距离是． 3．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，在正方形中，为对角线上的一点，于点，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】由正方形的性质可得，，结合题意可得为等腰直角三角形，则，延长交于点，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 4．（2026·河南三门峡·二模）如图，正方形中，，M 为边上一动点，延长到点 N，使，连接，过点A作 于点F，交于点E．当点E恰好为边的三等分点时，的长为____________． 【答案】3或 【分析】连接，证明 ，推出垂直平分，进而得到，分2种情况，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴ ． ∴． ∵于点， ∴为的中点． ∴垂直平分． ∴． 设，则， ①当点恰好为边靠近点的三等分点时，如图1， 则， ∴． 在中，， ∴．解得． ∴， ②当点恰好为边靠近点的三等分点时，如图2，， ∴． 在中，， ∴． 解得． ∴． 综上：或． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在正方形中，F为上任意一点，连接，取中点M，过点M作交于点G，交于点H，连接交于点N，若，则为____． 【答案】2 【分析】连接，，推出是线段的垂直平分线，得到，作于点，作于点，证明四边形是正方形，再证明是等腰直角三角形，求得，作于点，证明，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵，且点M是中点， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 作于点，作于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵点M是中点， ∴， 作于点， ∵正方形，∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型五 根据正方形的性质求面积（共5小题） 1．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积为16，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为___． 【答案】32 【分析】设正方形的边长为x，小正方形的边长为y，则，根据题意，得，求的值即可； 【详解】解：设正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 则，根据题意，得， 故， 故， 因为正方形的面积为，小正方形的面积为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为， 故大正方形的面积与小正方形的面积之差为32 2．（2026·广东珠海·模拟预测）如图，大、小两个正方形连在一起，大正方形的面积为20，小正方形的面积为12，则阴影部分的面积为_________． 【答案】10 【分析】连接，根据正方形的性质推出，则和等底等高，所以，，，即阴影部分的面积等于大正方形的面积的一半． 【详解】解：如图，连接， ∵、为正方形的对角线， ∴， ∴， ∴和等底等高， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵大正方形的面积为20， ∴． 即阴影部分的面积为10． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，将两个正方形按下列方式摆放，B，C，E三点在同一条直线上．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则______________． 【答案】10 【分析】设大正方形边长为，小正方形边长为，根据阴影部分面积和的面积列出关于的等式，利用完全平方公式求出的值，即为的长． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴，，， 点在边上， ， 阴影部分的面积之和是， ，即， 整理得①， 的面积为， 即， ②， 将②代入①得， ， ， ， ， ， ． 4．（2026·江苏无锡·一模）如图，在四边形中，，，，．现将其分割成①、②、③、④四部分，然后再拼成两个正方形（不重叠、无缝隙），则②的面积为______． 【答案】 【分析】过点作于点，判定出四边形为矩形，结合两个图形，利用勾股定理求出相关线段的长度，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， 由勾股定理得， 由图形可得，， 由勾股定理得， ∴②的面积为． 5．（2026·江苏南通·一模）中国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理，如图，已知正方形和正方形，D、C、E三点在一条直线上．现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形．若正方形和正方形的面积之和为177，阴影部分的面积为165，则的长为_____． 【答案】15 【分析】设正方形和正方形的边长分别为，则由题意得，,证明，则，由勾股定理可得，再由，求出，然后结合完全平方公式求解即可． 【详解】解：设正方形和正方形的边长分别为， 则由题意得， ∵正方形和正方形 ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴（舍负）． 题型六 根据正方形的性质求最值（共5小题） 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长为4，点M在上，且，点N是上一动点，则的最小值为___________． 【答案】5 【分析】连接，，，根据轴对称的性质，得到，的最小值即的最小值，即为线段的长，再根据勾股定理，即可求得的长，即得答案． 【详解】解：连接，，， 正方形是轴对称图形，点B与点D是以直线为对称轴的对称点， 直线即为的垂直平分线， ， ， 当点N在与的交点P处，取得最小值，最小值为的长， 正方形的边长为4，且， ，，， ， 的最小值为5． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，正方形中，，点E是线段上一点，且，点F是线段上的动点，点M是上的动点，且，连接，点N为的中点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，根据正方形的性质得出是等腰直角三角形， ，再由直角三角形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质得出， ，结合图形，利用三角形的中位线求解即可． 【详解】解：连接，延长交于点P，连接，过点C作于点H，如图所示： ∵四边形是正方形，且， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， 在中，由勾股定理得： ， ∵于点H， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴ ， 在和中， ， ， 即点M是的中点， 又∵点N为的中点， ∴是 的中位线， ∴当为最小时，为最小， 根据“垂线段最短”得： ∴当点P与点H重合时，为最小，最小值为 此时为最小，最小值为 ． 3．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，正方形的边长为，点在边上运动，点在边上运动，运动过程中的长度保持不变，且．若是的中点，是边上的动点，则的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】作点关于的对称点，连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据轴对称的性质可得，，得出当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值，利用勾股定理求出，进而求出的长即可得出答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、， ∵正方形的边长为， ∴，， ∵是的中点，， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， ∴当点、、、在同一条直线上时，的值最小，此时取最小值， ∵， ∴， ∴, ∴的最小值为． 4．（2026·河南周口·二模）如图，在正方形中，E是边的中点，F是边上的一个动点，连接．若，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】作点E关于的对称点Q，连接，则，可得当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点Q，连接，则， ∴， ∴当点B，F，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在正方形中，∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．（2026·广西崇左·一模）如图所示，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，则周长的最小值为______cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】由于点B与点D关于对称，连接，交于点P，那么的周长最小，此时的周长．在中，由勾股定理先计算出的长度，再得出结果． 【详解】解：如图所示,连接， 当点三点共线时,的周长最小, 即当点在处时,的周长最小. 因为为的中点, 所以在Rt中, 连接, 因为四边形是正方形, 所以垂直平分, 所以, 所以周长的最小值的周长 ． 题型七 正方形中的折叠问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，把一块边长为6的正方形纸片沿着翻折，使顶点A恰好与边上的点E重合，若，则折痕________． 【答案】 【分析】过点作于点，利用正方形的性质和折叠的性质及三角形全等的判定得到，从而求出然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：连接交于点O， 由折叠得到， ， 过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴， 在中，，， ． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）边长为的正方形中，是边上的动点，以为折痕将翻折，使点落在处，延长交于点． （1）若，，三点共线，则________； （2）若 ，则________． 【答案】 【分析】（1）根据三点共线，得出，进而得出为等腰直角三角形，根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明得出，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解析：①如图： ∵以为折痕将翻折，使点落在处， ∴ ∵三点共线，则 ∵边长， ， ∵正方形中，为对角线 ∴ 又∵ 为等腰直角三角形， ． ②如图：连接， ， ， ， ， 设，则． 在中，， ∴ 解得：． ． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 【答案】 【分析】连接，，过点F作于点M，根据折叠得出，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， ∵， ∴， 解得：， 即． 4．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【分析】利用矩形的性质得，利用折叠的性质可得，当与重合时，设，则，在中，根据勾股定理可得； 连接，当四边形为正方形时，，由勾股定理得出，在中，利用勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 当与重合时，由折叠可得， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当四边形为正方形时，如图，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 由折叠可得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 5．（2023·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，，点E为的中点，点F为边一动点，将沿翻折得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，可得，由可得当点在线段上时，线段的长度最小，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ， 点为的中点 由折叠的性质可知： ∵， 则 ∴当点在线段上时，线段的长度最小 在中，由勾股定理得： 线段的长度的最小值为． 题型八 利用正方形的性质求点坐标（共5小题） 1．（2026年河南洛阳市中招模拟试卷（三）数学）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，为边上一点，沿折叠正方形，点的对应点为，若，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】连接、，过点作轴于点，交于点，根据正方形性质及点坐标得出边长，利用等腰三角形三线合一的性质确定点横坐标，由折叠性质得，在中利用勾股定理求，进而求得及点坐标． 【详解】解：连接、，过点作轴于点，交于点， ∵四边形是正方形， ， ，轴， ，， ， ， ，， ，， ∵沿折叠正方形，点的对应点为， ， 在中，， ， ． 2．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 3．（2026·海南省直辖县级单位·二模）图，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则线段的长为_____，点的坐标为_____． 【答案】 10 【分析】由折叠可知，，利用勾股定理求出，再设，在中，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由折叠可知，， ∵点的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴，， 即正方形的边长为， 设与轴交于点，，则， 在中，，即， 解得， ． 4．（2026·山东枣庄·模拟预测）图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形，边，分别在轴、轴上，如果以对角线为边作第二个正方形，再以对角线为边作第三个正方形……照此规律作下去，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】首先根据各点的坐标求出，，，，，，，，的长度，找出这些长度之间的规律，然后根据规律即可求解． 【详解】解：正方形边长为， ， 正方形是正方形的对角线为边， ，， 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 同理可知； 点坐标为， 可知； 点坐标为， 可知， 点坐标为， 可知， ， 可知， ， 可知， ∴， …… 由规律可以发现，， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同， ， 的横纵坐标符号与点相同，且都在第二象限上， 的坐标为． 5．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标是，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】过点作轴，过点作轴，过点作，构造全等三角形，利用对应边相等求出，的长，进而求出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， ∵点的坐标是， ，， 四边形是正方形， ，， ， 轴，轴，， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ∵点在第二象限， 点的坐标为． 题型九 求正方形重叠部分的面积（共5小题） 1．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图：现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，点H为的中点，连接．将乙纸片放到甲的内部得到图2，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为__________． 【答案】19 【分析】先设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，即可求出，然后根据中点的定义可得，接下来求出 ，最后根据得出答案． 【详解】解：设甲正方形的边长为a，乙正方形的边长为b，根据题意得 ，， 由①，得， 由，得， ∴． ∵点H是的中点， ∴， ∴ ， ∴． 2．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）现有①②③三种不同的矩形木板（边长如图（1）所示），取①②③木板各一块，按如图（2）所示的方式摆放（木板②③无重叠，无缝隙），则木板①没有被覆盖的面积为________；在图（2）摆放的基础上再放置一块木板②，如图（3）所示，则此时的木板①没有被覆盖的面积为________． 【答案】 【分析】此题考查正方形的性质，整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 图（2）木板①没有被覆盖的是长为，宽为的矩形，利用矩形的面积公式直接求解即可；图（3）木板①没有被覆盖的部分可以用长为，宽为的矩形面积减去长为，宽为的矩形，化简后合并同类项即可． 【详解】解：图（2）木板①没有被覆盖的面积为， 图（3）木板①没有被覆盖的面积为， 故答案为：，． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）如图，将面积为2和8的两个小正方形放到一个面积为16的大正方形中，两个小正方形的重叠部分（阴影部分）面积为______． 【答案】/ 【分析】先求出三个正方形的边长，再将面积为2的小正方形分成阴影部分和剩余空白部分的面积，据此求解即可． 【详解】解：由题意可知，大正方形的边长为， 面积为8的小正方形边长为，面积为2的小正方形边长为， ． 4．（21-22八年级下·山东泰安·期中）如图，将5个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____． 【答案】 【分析】如图，连接，，证明出，得到，推出每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴每一个阴影部分的面积等于正方形的， ∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和． 5．（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】连接、，证明，得到，再由，代值求解即可得到答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ， ， 是正方形，为正方形的中心， ，， 在和中， ， ， ， ， 故答案是：4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质，构造全等三角形得到阴影部分的面积等于的面积是解决问题的关键． 题型十 根据正方形的性质证明（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在正方形中，点分别在边、上，连接、、，已知． (1)求证：； (2)若正方形的边长为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用正方形的性质证明即可求证； （）利用勾股定理求出，进而得到的长，再利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：∵四边形是正方形，边长为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又由（）知，， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． (1)求证：； (2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证； （2）过点作，由题意易得，则有，然后可得，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图所示： ∵四边形是边长为6的正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，在正方形中，对角线、交于点O，所在的直线上有两点E、F（点E、F在正方形的外部），满足，连接、、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再结合题意得出，则四边形是平行四边形，再结合，即可得证； （2）根据正方形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，是边长为4的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，结合，利用即可证明； （2）根据正方形的性质结合角平分线的定义可得 ，由（1）知，得到 ，进而求出 ；证明，得到，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中，， ； （2）解：平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， ， ， ； 在和中，， ， ， ， ，． 5．（25-26八年级下·广东珠海·期中）在正方形中，，分别为直线，上的点，． (1)如图1，，分别在边，上，求证：； (2)如图2，点在的延长线上，点在的延长线上，判断之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接．由正方形的性质证明，可得，，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案； （2）在上截取，连接．证明，可得．，根据正方形的性质求出，再证，可得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：延长到点，使，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下：如图，在上截取，连接． 四边形为正方形， ， ， ， ，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． ， ． 题型十一 证明四边形是正方形（共5小题） 1．（2026·山东青岛·二模）已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． (1)求证：； (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的形状是正方形，理由见解析 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； （2）解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 2．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，在对角线上，且，，连接，，，．求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，，结合，得出，根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等且垂直，可得四边形是正方形． 【详解】证明：四边形是菱形， ，，， ， ，即， 四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是矩形， 又 ， 四边形是正方形． 3．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图所示，在中，点是对角线，的交点，点分别是、、、的中点， (1)证明：四边形是平行四边形； (2)若，，证明：四边形是正方形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由平行四边形的性质得，进而由三角形中位线的性质可得，即可求证； （）连接，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，进而证明即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是、的中点， ∴，， 同理可证，， ∴，， ∴四边形是平行四边形 （2）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵点分别是、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（）知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 4．（2026·山东青岛·一模）如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：； (2)当时，四边形是________形，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)正方，见解析 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又 ， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 5．（2025·贵州铜仁·二模）如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的平分线于点F． (1)说明：； (2)当点O运动到何处，四边形是矩形？说明你的结论． (3)当点O运动到何处，与具有怎样的关系时，四边形是正方形？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)当O点运动到的中点时，四边形为矩形，证明见解析 (3)当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形判断即可； （3）先证明四边形是矩形，再根据对角线互相垂直的矩形是正方形，即可得解． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 同理可得：， ； （2）解：当点运动到的中点时，四边形是矩形； 证明如下：当点运动到的中点时，， ， 四边形是平行四边形， 由（1）可得， ， ，即， 四边形是矩形； （3）解：当O点运动到的中点，且时，四边形是正方形， 理由：∵O点为的中点时，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是正方形． 题型十二 正方形中的作图问题（共4小题） 1．（25-26九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上． (1)在方格纸中画以为一边的正方形，点、均在小正方形的顶点上； (2)在方格纸中画以为一边的菱形，点、均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为，连接，并直接写出线段的长． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【分析】（1）利用一线三直角模型依次找到点和点，连接成四边形即可； （2）利用网格可知，，结合面积为，则菱形的高为，故取点和点上5个单位处的格点，即为所求的点和点，连接即可，再使用勾股定理计算出． 【详解】（1）解：正方形如图所示： 由一线三直角模型，容易证明，由网格可知，， ∴四边形是正方形． （2）解：菱形和线段如图所示： 由图可知，，，， ∵， ∴四边形是菱形， ，符合题意． 2．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图1，已知点分别是四边形各边的中点，根据以下思路可以证明四边形是平行四边形． (1)如图2，将图1中的点移动至与点重合的位置，，，仍是的中点，求证：四边形是平行四边形； (2)如图3，在边长为1的小正方形组成的网格中，点都在格点上，在格点上画出点，使点与的中点组成正方形，并利用格点在图中作出正方形； (3)在（2）条件下，求证：四边形为正方形，并求出正方形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【分析】（1）连接根据三角形的中位线的性质得到，，同理，，由平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质分别取边的中点，顺次连接即可得到结果； （3）根据勾股定理得到，由三角形的中位线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：如图2，连接， ∵C，H是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图3所示， （3）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 由作图得：点分别是边的中点， ∴， ∴，， 同理得，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴， ∴四边形是菱形， 又， ∴四边形是正方形； ∵， ∴， ∴正方形的边长是， ∴正方形的周长为． 3．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，请按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上． (1)在图①中以线段为边画一个面积为6的平行四边形； (2)在图②中以线段为边画一个菱形； (3)在图③中以线段为边画一个正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及题目要求画出图形即可； （2）根据菱形的判定画出图形即可； （3）根据正方形的判定画出图形即可． 【详解】（1）解：如图①中，四边形即为所求； 理由：由作图可得：， ∴四边形是平行四边形，且面积为； ∴四边形即为所求； （2）解：如图②中，四边形即为所求； 由作图可得：， ∴四边形为菱形， ∴四边形即为所求； （3）解：如图③中，四边形即为所求． 由作图可得：， 则四边形为菱形， 连接， ， ， ， ∴四边形为正方形； ∴四边形即为所求． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图中按要求各画一个符合条件的四边形，且所画四边形的顶点均在格点上． (1)在图中画出以为边的平行四边形（非菱形）； (2)在图中画出以为边的菱形（非正方形）； (3)在图中画出以为边的正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形； （2）根据菱形的判定以及题目要求作出图形； （3）根据正方形的判定以及题目要求作出图形． 【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求； ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形不是菱形； （2）解：如图，菱形即为所求； ， 四边形是菱形， ，， ， 不是直角三角形，不垂直于， 四边形不是正方形； （3）解：如图，正方形即为所求； ， 四边形是菱形， ，， ， 是直角三角形，， 四边形是正方形． 题型十三 正方形中解答题压轴（共5小题） 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）如图1，四边形是正方形，，分别是边，上的点，连接，作于点，延长交边于点． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由； (3)在（）的条件下，若，，则的长为 ． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，从而得到，，由，得到，从而得到进而得出； （2）作交延长线于，则，从而得到，由正方形的性质可得，从而得到，由四边形的内角和定理可得，由，可得，通过证明，可得，，再由勾股定理可得，从而即可得到答案； （3）作于点，连接，由得，，再，进而证明，得，由，得，可求得，则，，由，求得，则，，所以，于是得，即可求得，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： 如图，   ，四边形是正方形， ，， ，， ， ， ． ， ； （2）解：， 作交延长线于，   ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在中，根据勾股定理得，， ， ， ； （3）解：如图，作于点，连接，   ， 则， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·广东汕头·期中）四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接． (1)如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形； (2)如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形； （2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可； 当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证； （3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论. 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； （2）证明：当点在边上时， 过点作于，于，如图1， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴，． ∴四边形为正方形， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 当点在的延长线上时， 如图，过点分别作于点，于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （3）解：     理由如下： 由（2）可知，矩形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵， 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知E正方形对角线上一点，F为上一点，连接、，． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，过F作于N，若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）设，表示出，再根据三角形的外角的定义表示出，即可证明； （2）连接，过点E作，先证，再证，可得；证明，得出，再证明是等腰直角三角形，问题可证； （3）过点A作，，连接交于O，利用 “”证明，结合（1）、（2）的结论，利用 “”证明，设，，即，利用勾股定理可得，进而表示出、，接着利用 “”证明，可表示出， 即可求出，最后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ． （2）连接，过点E作，如图， 四边形为正方形， ， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴， ∵在（1）中已证明：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即； （3）过点A作，，连接交于O， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在（1）、（2）中已经证明，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴设，，即， 在中，， ∴， ，即，， ，即，, 即， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ， ∵在中，， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，问题的难点在第三问，构造全等三角形，得到与等线段的长度关系是解答本题的关键． 4．（25-26八年级下·吉林松原·期中）如图1，在中，，，为上一点，将绕点按逆时针方向旋转，使与重合，得到的，则有，过点作，交于点，过点作于点． 解决问题 (1)如图1，若连接，判断的形状是______； (2)如图1，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，延长交于点，连接，判断四边形的形状为______． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)正方形，理由见解析 (3)矩形 【分析】（1）利用全等三角形的性质，得到边相等和角相等，再通过角的和差推出直角，再结合边相等判断形状； （2）先通过平行线和等腰直角三角形的性质，证明四边形是矩形，再通过等角对等边，证明一组邻边相等，从而判定为正方形； （3）先通过平行线和等腰三角形性质，得到边相等，再用全等三角形证明角相等，进而证明，再结合判定为平行四边形，最后结合直角条件，判定其为矩形． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形． （2）解： ，， ， ， ， ， ，， ，， 四边形为矩形，， ， ， 四边形为正方形． （3）解： ， ， ，， ， ， ， 据（2）可知，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，是对角线上的点， (1)如图，求证：； (2)如图，点是菱形内一点，四边形为平行四边形，，． ①求证：， ②与相交于点；且是的中点，求的值； (3)如图，在（2）的条件下，四边形为菱形时，连接，若时，直接写出的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)①证明见详解；②，见详解 (3)，见详解 【分析】（1）观察所在的图形，证明即可； （2）①首先连接，交于点，，然后把条件中涉及的角和建立联系，进而得证； ②由于是中点，连接，首先结合已知条件和中位线的性质证明，然后在等腰直角三角形中可知，问题得解； （3）首先结合已知条件画出图形，然后证明，最后在中求出即可． 【详解】（1）证明：四边形为菱形，   ，   ．   在和中，   ．   ； （2）解：①如图1，连接，交于点，   四边形为菱形，   ，．   ． 由(1)已知，   ． ，   ．   四边形为平行四边形，   ，   ，   ．   在中，．   ，   ，   ，即，   ，   ．   ②如图2，连接，由条件易知为中点．   是中点，   ，   ，   ．   由①易知．   在中，   ， ，   ．   由①可知为等腰直角三角形，   ，   ，即．   ； （3）如图3，当四边形为菱形时易知落在对角线上，设与交于点，连接．   由对称性易知，为中点，   ．   由①可知四边形为正方形，   ，   ．   由②可知，   ，   是等边三角形，   ，   ．   ．   四边形为菱形，，   ．   如图3，过点作于．   在中，，，   则．   在中，，   ，   ． 题型十四 正方形的性质与判定实践探究问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)，见解析． 【分析】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【详解】（1）解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图（），把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 2．（2026·湖北·二模）【综合与实践】数学活动课上，老师发给每名同学一张矩形纸片（，）和一张正方形纸片（），要求同学们通过折叠，折出一些特殊角． 【操作与判断】 (1)如图1，小明将矩形纸片翻折，使点A的对应点落在边上，折痕为，此时折出的______°； (2)小刚受到小明折叠过程的启发，发现可以利用尺规作图找特殊的线段．如图2，在矩形纸片中，请你用尺规作图在边上取点T，使得，保留作图痕迹，不要求写作法； (3)小亮通过对纸片进行不同形式的折叠后，将矩形纸片按如图3所示的方式折叠，可得到______°； (4)【探究与解决】如图4，小慧将正方形纸片的沿过点H的直线翻折，点G的对应点落在正方形内部的点P处，折痕为，再将沿过点H的直线翻折，使点M的对应点与点P重合，折痕为． ①此时可得到______°；②若，求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)①；② 【分析】（1）根据矩形纸片，得到，由折叠可得； （2）先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）由矩形得到，，由折叠可得，再由勾股定理求出，得到； （4）①由折叠可得，，根据，得到； ②由折叠可得，，再在中由，得到，解方程即可． 【详解】（1）解： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴； （2）解：如图，先作的垂直平分线交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则； （3）解：∵矩形纸片， ∴，， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴； （4）解：①∵正方形纸片， ∴，， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴； ②由折叠可得，， ∵， ∴，， ∴，， ∵中， ∴， 解得：． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）【问题情境】如图，矩形ABCD中，，折叠矩形纸片，使点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平；继续沿过点的直线折叠，点的对应点落在边上，得到折痕，把纸片展平，的对应边交于点． (1)【初步探究】四边形的形状是______； (2)【深入探究】用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】设交于点，，求的长． 【答案】(1)正方形 (2)，理由见解析 (3)． 【分析】（1）先证明，可得四边形为矩形，再证明，从而可得结论； （2）连接，证明，．，可得，而可得结论； （3）由≌得，，设，则，由勾股定理得，，即，可得． 【详解】（1）解：四边形为正方形，理由如下： ∵矩形纸片， ∴， 由折叠可得：， ∴四边形为矩形， 由折叠可得：， ∴四边形为正方形； （2）解：， 证明：连接，    ∵四边形是矩形， ∴． ∴． 由折叠知，，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由≌得，， ∴， ∵正方形中， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， 即． 4．（2026·甘肃白银·一模）【模型建立】 如图，在正方形中，E，F分别是边上的点，连接，点M，N分别为直线上的动点，连接． (1)如图1，当点M，N在线段上时，猜想线段与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【模型应用】 (2)如图2，当点M在的延长线上，M，N，C三点共线时，连接，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【模型迁移】 (3)如图3，当M，N，A三点共线时，若 ，猜想线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先证明，得，再证明，得，，进而可证明； （2）方法思路同（1）； （3）设正方形的边长为3，则 ，，，再分别求出，，可得结论． 【详解】（1）解：猜想：，， 理由：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴, 又 ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵ ∴， 即， ∴； （2）解：结论，仍然成立：理由： 设和的交点为点， 同理：四边形是正方形， ∴，，， 同理得：， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：设正方形的边长为3，则 ，，， ∵， 由面积关系得， ∴, ∴， ∴, ∴, ∴， ∴ 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）综合与实践 问题情境： 数学兴趣小组在探究与正方形有关的动点问题时，如图2，在正方形内取一点E，使，将点E绕点C逆时针旋转得到点，射线，交于点F． 特例研究： (1)精勤小组在探究过程中遵循由特殊到一般的探究规律：如图1，发现点E在对角线中点O处时，点F与点B重合，此时四边形的形状为______． 探究发现： (2)博雅小组发现，如图2，只要，四边形的形状都是正方形，请证明. (3)卓越小组受博雅小组的启发，进一步深入探究，如图3，取中点G，连接，，，又发现：在点E运动过程中，与始终保持特定的数量关系，请写出此数量关系，并说明理由. 拓展应用： (4)在（3）的条件下，已知，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）利用正方形的性质即可得出结论； （2）先证明，再利用正方形的判定定理证明即可； （3）利用正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的特点，推理证明即可； （4）取的中点M，取的中点N，连接，求得，再证明，利用勾股定理求得，即可求得． 【详解】（1）解：点E在对角线中点O处，点F与点B重合，四边形是正方形， ∴，， 由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）证明：四边形是正方形， ， ， 点E绕点C逆时针旋转得到点， ， ， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． （3）解：，理由如下： 连接， 四边形是正方形，O是的中点， O是的中点，， 四边形是正方形， ， ， 四边形是正方形，O是的中点， ， G是的中点， ， ， 四边形是正方形， ， G是的中点， ， ， ． （4）解：取的中点M，取的中点N，连接， ， 根据（3）得， ，， ， 四边形是正方形，O是的中点， ，，， ， ， 过点M作于点Q， ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ， ， ， ． 1 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $