专题12 菱形的性质与判定常考题型14题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，以15类分层题型构建从基础应用到压轴综合的训练体系，强化几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|6题型（30题）|含角度/线段/面积计算、最值、证明，标注“常考”“难点”|从菱形边/角/对角线性质出发，结合勾股定理、方程思想解决度量问题| |判定应用|4题型（20题）|含证明菱形、添加条件、判定理解，覆盖选择/填空/解答|基于平行四边形判定，强化“对角线垂直”“四边相等”等核心条件推理| |综合拓展|5题型（25题）|含折叠、坐标、函数动点、实践探究，标注“压轴”|融合图形变换、函数建模、跨学科探究，体现应用意识与创新思维|

专题12 菱形的性质与判定常考题型 题型1 利用菱形的性质求角度（常考） 题型9 对菱形的判定的理解 题型2 利用菱形的性质求线段长度（常考） 题型10 利用菱形的判定看结论是否正确 题型3 利用菱形的性质求面积（常考） 题型11 菱形中的折叠问题（重点） 题型4 利用菱形的性质求最值（难点） 题型12 利用菱形的性质求点坐标 题型5 利用菱形的性质证明（基础） 题型13 菱形与函数综合动点问题（压轴） 题型6 证明四边形是菱形（常考） 题型14 菱形的性质与判定解答题综合（压轴） 题型7 添加一个条件使得四边形是菱形（常考） 题型15 菱形的性质与判定实践探究问题（压轴） 题型一 利用菱形的性质求角度（共5小题） 1．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据菱形的性质得，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理可得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，利用等腰三角形的性质得，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在菱形中，，点、点分别在边、上，且，，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，，利用直角三角形性质求出，进而求出，证明，得到，结合判定为等边三角形，最后利用角的和差关系求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，∠，求的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据菱形的性质求出的度数，再结合，利用等腰三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：四边形是菱形， 平分， ， ， 又 ， 是等腰三角形，， ． 4．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，在菱形中，对角线和相交于点，于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出的度数及，利用等腰三角形性质求出，在 中利用直角三角形两锐角互余求出，最后根据直角三角形斜边中线性质得出即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在 中，∵， ∴， ∴． 5．（2026·河北张家口·三模）如图，在菱形中，，，相交于点，点为线段上一点（可与点重合，不与点重合），，的平分线交于点，则的度数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质，得到对角线平分内角、对角线互相垂直，进而求出、的度数；再结合角平分线的定义，用表示出，最后根据的取值范围确定的可能值． 【详解】解：在菱形中，，平分，， ， ， 平分， ， 点为上一点（可与点重合，不与点重合）， ， 平分， ， ， ． 故选． 题型二 利用菱形的性质求线段长度共（5小题） 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在菱形中，点分别是的中点，连接，若，则菱形的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】由三角形的中位线定理可得，由菱形的性质可求菱形的周长，掌握菱形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵点分别是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长． 2．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图为菱形的对角线，已知，，则边上的高为（    ） A．14.4 B．15.3 C．16.8 D．17.2 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出边长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，还等于底乘以对应的高计算即可． 【详解】解：∵菱形的两条对角线， ∴， ∴， ∵． ∴ ∴． 3．（2026·江西赣州·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边，上，．连接，，当四边形为菱形时，线段的长为_____． 【答案】3 【分析】在矩形中，可得，，设，则，由四边形为菱形，得，在中由勾股定理得求解方程即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴，， 设，则， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 4．（25-26八年级下·河南焦作·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形的面积公式可得的长，由菱形的性质可得为的中点，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可解答． 【详解】解：四边形是菱形， ， ，， ， ， ， ， 在中，为的中点， ． 5．（2026·山东东营·二模）如图，菱形的边长为2，，对角线、相交于点M．过点D作的平行线交的延长线于点N，连接．则的长为_______． 【答案】 【分析】先证明为等边三角形，进而得到，利用勾股定理求出的长，证明四边形为平行四边形，进而得到，推出，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形的边长为2，， ∴，，，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴． 题型三 利用菱形的性质求面积（共5小题） 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在菱形中，对角线和的长分别为和，则菱形的面积为_______． 【答案】 【分析】根据菱形的面积公式，菱形的面积等于对角线乘积的一半，直接代入两条对角线的长度计算即可． 【详解】解：在菱形中，对角线和的长分别为和， ． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，两条宽为的长方形纸条叠放得到四边形，若，则这个四边形的面积为__________． 【答案】/平方厘米 【分析】首先根据长方形对边平行判定四边形为平行四边形，再利用两条纸条宽度相等证明该平行四边形邻边相等，从而判定为菱形，最后在直角三角形中利用三角函数求出边长，利用底乘高计算面积，即可求解． 【详解】解：由题意可知，两条长方形纸条的对边分别平行 ， 四边形是平行四边形，过点作于点，作于点 由题意得，纸条宽度相等，即 平行四边形是菱形 在中，，， 四边形的面积为 ． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）如图，菱形的对角线与交于点，过点作于点，连接，若，，则的面积等于_____． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理解三角形，直角三角形斜边中线定理． 根据菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理，得到，，继而根据勾股定理得到，继而得到，根据菱形的面积计算公式得到，继而得到． 【详解】解；∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 5．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，菱形的对角线，相交于点O，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为____． 【答案】24 【分析】证明出四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，得到，然后利用菱形面积公式求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形 ∴，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴菱形的面积为． 题型四 利用菱形的性质求最值（共5小题） 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）菱形中，，点在边上，且．将线段绕点旋转，得到线段，连接，是线段的中点，连接，则旋转一周的过程中线段的最小值是__________． 【答案】 【分析】连接、交于点，连接，根据菱形的性质及等边三角形的判定与性质求出的长，利用三角形中位线定理求出的长，确定点的运动轨迹，根据点与圆的位置关系求得的最小值． 【详解】解：连接、交于点，连接，如图， 四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 由旋转的性质可知，， 点是线段的中点， 是的中位线， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点在线段上时，的值最小， 的最小值为． 2．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）已知四边形为菱形，为上任意一点，点为上任意一点，，．则的最小值是_________． 【答案】 【分析】接，过点作于，设、交于点，根据菱形的性质得出当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，利用菱形的性质求出，，利用菱形的面积公式求出的长即可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，设、交于点， ∵四边形为菱形，为上任意一点，，， ∴垂直平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点、、在同一条直线上，且时，的值最小，此时，点与重合， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值是． 3．（25-26八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，在菱形中，，点是边上一动点，作射线，点关于射线的对称点为点，直线与射线交于点，连接，当的周长最大值时，则的长为____． 【答案】 【分析】如图，连接，设与的交点为，由点关于射线的对称点为点，证明，，证明是等边三角形，可得，当重合时，最大，最大，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∵点关于射线的对称点为点， ∴，，，而， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴当重合时，最大，最大，如图， 此时：， ∴，． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，此时的值最小，最小值为的长．证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 题型五 利用菱形的性质证明（共5小题） 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在菱形中，是对角线上一点，连接、． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，可得，可证明，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得到，在和中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中，， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 2．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，菱形中，，E、F分别是边和的两点且，连接，，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，然后推出，即可证明是等边三角形； （2）如图，过点D作于点G，利用勾股定理求出，得到，利用勾股定理求出，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接 ∵菱形中， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）解：如图，过点D作于点G ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ 由（2）得，是等边三角形， ∴ ∴的周长． 3．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，，进而求出，结合，利用即可证明结论； （2）由（1）知，可得，推出，过点作于点，根据是等边三角形，求出，即可解答； （3）先证明是等边三角形，过点作于点，求出，求出，当时，有最小值，此时的面积最小，同理（2）求出此时即可解答． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，此时的面积最小， 同理（2）得此时， ∴． 4．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E、F分别是边的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，由线段中点的定义得到，则可证明，再由即可证明结论； （2）由菱形的性质和线段中点的定义可得，由等边对等角和三角形内角和定理证明，得到，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F分别是边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·湖北随州·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 题型六 证明四边形是菱形（共5小题） 1．（2026·北京昌平·二模）如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明： ， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． （2）设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，矩形中，对角线、相交于点，的垂直平分线分别交边、于点、，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得四边形是平行四边形，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，，则可求出，进而问题可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵的垂直平分线分别交边、于点、， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，，则同理可得， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·内蒙古通辽·阶段检测）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）根据角平分线的定义得出相等的角，利用平行线得出内错角相等，得出，根据等角对等边得出，根据菱形的定义即可得出结论； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴为直角三角形，且点为斜边的中点， ∴． 4．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在中，，点分别是的中点．连接并延长至点，使得．连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若与的周长差为7，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）根据．，先求证四边形是平行四边形；结合即可得到结论； （2）根据与的周长差为7结合勾股定理可得，证明四边形是平行四边形，得到，再根据菱形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形．            ∵在中，，点D是的中点， ∴．                             ∴四边形是菱形． （2）解：∵与的周长差为7， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴菱形的面积． 5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，已知在梯形中，，是上的一点，，，连接并延长交于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点作，垂足为点，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）容易证明，则，结合可判定四边形是平行四边形，由平行线的性质和题干可得，则，因此四边形是菱形； （2）容易证明，则，结合可得，四边形是平行四边形，则，进而得到，因此可判定四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形． 6．（25-26八年级下·吉林·期中）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点，过点作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中的，，矩形的面积是___________； (3)连接，交于点，连接，若，，的长___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)13 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质得到，由此即可证明四边形是矩形； （2）先根据菱形的性质得出，，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理求出，最后求出矩形的面积即可； （3）根据菱形的性质得出，，，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ， ， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为； （3）解：∵菱形， ，，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得： ． 题型七 添加一个条件使得四边形是菱形（共5小题） 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 2．（25-26八年级下·山东淄博·期中）如图，四边形的对角线，相交于点，，且，若______，四边形是菱形，从①，②平分，③．这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立． 【答案】② 【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 选②， 平分， ， ， ， 四边形是菱形． 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，点，，，分别是四边形的边，，，的中点．、是四边形的对角线，连接、、、，请添加一个条件：________使四边形为菱形．（填写一个即可） 【答案】 【详解】解：当 时，四边形是菱形； ，、、、分别是线段、、、的中点， 则、分别是、的中位线，、分别是、的中位线， ，， 当时， 成立， 则四边形是菱形． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，已知，，当____ 时，四边形是菱形． 【答案】5 【分析】菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形． 【详解】解：当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形，，， ， ， 又， ， 是直角三角形，且． ， 平行四边形是菱形． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在矩形中，点，分别在，上，，不添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件______，使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．根据矩形的性质得到，即，推出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：这个条件可以是， 理由：四边形是矩形， ，即， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故答案为：（答案不唯一）． 题型八 对菱形的判定的理解（共5小题） 1．（25-26八年级下·重庆潼南·期中）下列各命题中，不是真命题的是（     ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定，能够熟练掌握相关判定是解题的关键． 【详解】解：A.对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定四边形是菱形，则该选项为假命题，故符合题意； B.一组对边平行，可得同旁内角互补，结合一组对角相等，可推出另一组对角也相等，两组对角分别相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； C.根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则该选项为真命题，故不符合题意； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，则该选项为真命题，故不符合题意． 2．（25-26八年级下·北京西城·期中）下列说法正确的是（   ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定规则逐一判断选项即可． 【详解】解：对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，故A项错误． 对角线相等互相垂直且互相平分的四边形才是正方形，故B项错误． 平行四边形中对角线平分一组对角，可推出平行四边形邻边相等，邻边相等的平行四边形是菱形，故C项正确． 两组对边相等且有一个角是直角的四边形才是矩形，一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故D项错误． 3．（25-26八年级下·福建南平·期中）下列命题中正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．有三个角是直角的四边形是矩形 D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，因此A错误． B选项，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，因此B错误． C选项，四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，即四个角都是直角，因此该四边形是矩形，因此C正确． D选项，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此D错误． 4．（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列命题不正确的是（   ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断选项，找出错误命题即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，命题正确，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形；只有对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，因此该命题错误，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是正方形的判定定理，命题正确，不符合题意． 5．（25-26八年级下·湖北咸宁·期中）如图，分别以线段的两个端点A，B为圆心，以大于的相同长度为半径画弧，在的两侧交于点C，D，顺次连接，则四边形就是一个菱形，理由是（  ） A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，判定即可． 【详解】解：由图形作法可知：，可知四边形是菱形． 题型九 利用菱形的判定看结论是否正确（共5小题） 1．（25-26八年级下·广东江门·期中）如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．现对其进行操作，下列说法正确的是（    ） A．当时，是菱形 B．当时，是矩形 C．当时，是菱形 D．当时，是矩形 【答案】C 【详解】解：A、当时，是矩形，根据对角线相等的平行四边形是矩形可得，故此选项错误； B、当时，是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误； C、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，推出，判定平行四边形是菱形，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得；故此选项正确； D、由四边形是平行四边形，得到，推出，由，得到，因此，判定平行四边形是菱形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得，故此选项错误． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，则以下结论不正确的是（   ） A．， B．若，则四边形是菱形 C．若，则四边形是矩形 D． 【答案】D 【分析】利用矩形和菱形的判定、平行四边形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．平行四边形中，，，故该选项正确，不符合题意； B. 若，则平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； C. 当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； D. 平行四边形中，但不一定成立，故该选项不正确，符合题意； 3．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，则下列说法一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质即可求解． 【详解】 解：∵四边形是菱形 ∴，故B正确； ∵菱形的边长与对角线长度无必然相等关系 ∴不一定等于，故A错误； ∵四边形是菱形 ∴ ∴，而不一定等于，故C错误； ∵菱形的对角线不一定相等（仅正方形时相等） ∴不一定等于，故D错误 ． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据平行四边形的性质，结合菱形、矩形的判定定理，对各个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】∵四边形是平行四边形. 对于选项A. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意. 对于选项B. 无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意. 对于选项C. ∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是菱形，C符合题意. 对于选项D. ∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且， ∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意. 综上，答案选C. 5．（25-26八年级下·山东德州·期中）如图，点，，，分别是四边形的各边中点，顺次连接、、、，当（   ）时，四边形是菱形． A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，将四边形的边长与原四边形的对角线和的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 点，，，分别是四边形的各边中点， ，， ， 同理可得，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形， ，即， 故选：． 题型十 菱形中的折叠问题（共5小题） 1．（2026·河南三门峡·一模）如图，在菱形中，， E为边上一点，将沿翻折，使点B 的对应点 F 落在的延长线上，连接交 于点 G，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得，由折叠的性质得：，，可得为等腰直角三角形，，，再由菱形的面积解答即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，，即为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·福建莆田·期中）如图，在边长为1的菱形中，，为边上的高，将沿所在直线翻折得，与边交于点F，则的长度为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得为等腰直角三角形，，根据勾股定理求得，再由，可得． 【详解】解：∵在边长为1的菱形中，，为边上的高， ∴根据折叠易得为等腰直角三角形，， ∴ ， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·贵州黔东南·期中）如图，把菱形沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接．若，则的度数为________． 【答案】 【分析】利用折叠的性质得出的度数和，结合点E在边上得出为等腰三角形，进而求出的度数，再利用菱形邻角互补求出，最后计算的度数． 【详解】解：∵菱形沿直线折叠，点B落在边上的点E处， ∴，． ∴， ∵点E在边上， ∴在中，， ∴ ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，在矩形中，点，分别在边，上，将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点．若，，，则的长为________．连接，，，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，设，则，，进而勾股定理分别求得得出，即可得出的长；分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点，根据的面积为，利用勾股定理，等面积法求得相关线段长度，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将该矩形沿折叠，使点落在点处，点的对应点落在上，连接交于点． ∴ ∴ ∴ ∵折叠， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， 设，则，， 在中，，则， 在中， ∵， ∴ 解得： 则的长为，，， ∴ 如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，过点作于点， ∵折叠， ∴，， 又∵， ∴ ∵四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴ ∵， ∴， ∴的面积为 5．（25-26九年级下·河南商丘·阶段检测）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为_______ 【答案】或 【分析】利用菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质及勾股定理，分两种情况画出图形进行解答即可：①；②． 【详解】解：∵与菱形的对角线平行，而菱形的对角线有和， ∴分和两种情况进行讨论： ①当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 过点E作于点G， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质，得， ∴是等边三角形，点落在上， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 题型十一 利用菱形的性质求点坐标（共5小题） 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标_________． 【答案】 【分析】根据坐标可求出，再根据菱形的性质，可得，将点坐标沿水平方向向左平移5个单位即为点的坐标． 【详解】解： ，， ， 四边形为菱形， ， 点的坐标为， 点的坐标为． 2．（2026·宁夏吴忠·一模）如图，菱形的对角线交点在原点，若，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】 根据菱形的对角线互相平分且交点在原点，可知点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求解． 【详解】解： 四边形是菱形，且对角线交点在原点， 点与点关于原点对称 点的坐标为，且关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数， 点的坐标为． 3．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，菱形的边在轴上，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】根据点、的坐标可得、的长，在中利用勾股定理求出的长，由菱形的性质可得，结合点的坐标及图形中点的位置即可求解． 【详解】解：，， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ， 边在轴上，且由图可知点在点的上方， 点的纵坐标为， 点的坐标为． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）已知菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点的坐标是，则顶点的坐标是________． 【答案】 【分析】延长交轴于，根据菱形的性质求解即可 【详解】解：延长交轴于， 四边形是菱形， 轴， ， ，， 点的纵坐标为， 在中，， ， ， 点的横坐标为， ． 5．（25-26八年级下·北京房山·期中）如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，轴， ∴． 题型十二 菱形与函数综合动点问题（共5小题） 1．（2026·河南周口·模拟预测）如图1，在菱形中，，点E为边的中点，对角线与相交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，运动到点D时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，的长为（   ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为，由菱形的性质可得，，，作交的延长线于点，则，求出，，当点运动到点时，根据，计算得出，当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图2可得，当点运动到点时，的面积达到最大值，为， ∵四边形为菱形，， ∴，，， 如图，作交的延长线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴当点运动到点时，， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴当点P运动到点O时，由点为的中点，可得为的中位线，即此时． 2．（2026·湖北黄冈·二模）如图1，在菱形中，，E是边的中点，P是对角线上一动点，设的长度为x，与的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中是图象上的最低点，则（1）菱形的边长为________，（2）的值为________．      【答案】 4 16 【分析】连接，，设交于点Q，由A、C关于对称，推出，推出，推出的最小值为的长，观察图象可知，当点P与B重合时，，推出，分别求出，的长，即可解决问题． 【详解】解：连接，，设交于点Q， 在菱形中，，，且， ， 为等边三角形， ∴， 点E是边的中点， ∴， ∵A、C关于对称， ， ， ∴当A、P、E共线时，，的值最小． 观察图象可知，当点P与B重合时，， ， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的边长为4； ∴在中，， 的最小值为， 点H的横坐标， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点H的纵坐标， ． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 【答案】 【分析】先根据函数图象得到、的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后利用三角形中位线的性质即可求得点P运动至的中点处时，的长． 【详解】解：根据函数图象，可得，， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵当点P运动至的中点时，是的中位线， ∴此时． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图1，点是菱形对角线上一动点，点是线段上一点，且，连接，设的长为，，如图2是点从点运动到点时，随变化的关系图象． （1）______； （2）图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 6 【分析】（1）直接根据图象即可得出结果； （2）连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：（1）∵点是菱形对角线上一动点， ∴当与点重合时，最大，为的长， 由图可知：； （2）如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图可知：； 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 5．（2026·河南平顶山·一模）如图1，点F是菱形对角线上一动点，点E是线段上一点，且，连接，设BF的长为x，，如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象，图象最低点的纵坐标是______． 【答案】 【分析】连接，由对称的性质可得， 所以，当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，根据图，时，，设，则，根据，此时可计算， 连接交于，连接，过点作于，通过，算得，，计算通过勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，连接，，交于， ∵在菱形中点，点关于对称， ∴， ∴， 当三点在同一直线上时，取最小值，的最小值为线段的长，如图，当时，， 设，则，， ∴， ∴， ∴，， 由图知：， 如图，连接交于，连接，过点作于， ∵四边形是菱形， ∴，，， 由勾股定理得：，此时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴， 即图象最低点的纵坐标是． 题型十三 菱形的性质与判定解答题综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）已知平行四边形中，对角线、相交于点，． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，，点、在线段上，为等腰直角三角形且，连接，求证：． (3)如图3，若，，点是线段上的一个动点，连接，以线段为边在下方构造等边三角形，连接，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质，三角形的全等、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）证明是等边三角形，进而得四边形是菱形，再根据菱形性质及勾股定理求解即可； （2）过点A作，垂足为H，证明和，再根据全等三角形的性质求解即可； （3）连接，证明，是等边三角形，四边形是菱形，，进而得出当点在线段上时，的值最小，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点A作，垂足为H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （3）解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在线段上时，的值最小， 如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·山东济南·二模）如图，矩形中，，，点为边上的动点（不与、重合），连接，将沿直线折叠，得到，点的对应点为点． (1)当点落在对角线上时，求线段的长； (2)将沿直线折叠，得到，点的对应点为点，连接，，当、、三点共线时，请判断四边形的形状，并证明： (3)连接，，在点的运动过程中，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)菱形，见解析 (3) 【分析】（1）由勾股定理得，设，则，由折叠得，，由勾股定理列方程可求解； （2）由折叠得，，再证明，可得，从而可得四边形是菱形； （3）由三角形三边关系得，当三点在同一条直线上时，的值最小，最小值为的长，由对称性得，求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 由折叠得， ∴， 设，则，, 在中，， ∴， 解得：， ∴； （2）解：四边形是菱形，证明如下： 由折叠得，， ∵、、三点共线， ∴， ∴， ∴、、三点共线， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （3）由折叠性质可知，，， ， 在中，，， ， ， 最小值为，此时， 故的最小值是． 3．（25-26八年级下·湖北荆门·期中）已知四边形是菱形，，的两边分别与、相交于点E、F，且． (1)如图1，当点E是线段的中点时，直接写出线段、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点E是线段上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：； (3)如图3，，点E是线段的中点，点F是边上一动点（不与点A、B重合），连接，将沿翻折，使点A落在菱形内部点G处，请直接写出的最小值．（根号内数据不化简） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明即可判断． （2）证明即可求证． （3）先由翻折可知，，连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为，再利用含角的直角三角形的性质与勾股定理进行求解即可得出最小值． 【详解】（1）解： 理由：如图1 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； （2）证明：如图2 ，连接， 在菱形中，，， 为等边三角形， ∴， ∵， ， ∵菱形中，平分， ∴， ， ； （3）解：如图，由翻折可知，， 连接，当G点位于上时，的值最小，最小值为， ∵，点E是线段的中点， ∴， ∴， 过E点作于H， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了菱形的性质、等边三角形的判定与性质和勾股定理等知识，解题关键是构造全等三角形与利用两点之间线段最短得出使线段最短时动点所在的位置． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）在矩形纸片中，，． (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，再展开压平，连接． ①求证：四边形是菱形； ②求折痕的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，求折痕的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①先说明，再根据折叠的性质得，，，进而说明，可得，则此题可解； ②连接，设cm，则cm，，再根据勾股定理求出，以及，然后根据可得答案； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，设，则，可得，再根据勾股定理求出，即可得，，然后根据“角角边”证明，进而求出，接下来将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为，可得，再说明四边形为矩形，即可得出，最后根据勾股定理得出答案． 【详解】（1）①证明∵四边形是矩形， ∴∥， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ②解：连接 设cm，则cm，， ∵四边形是矩形， ∴cm，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵在中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长交的延长线于点，过点作于点. 设，则， ∵点为的中点， ∴． ∵四边形是矩形， ∴∥，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵∥， ∴，， 在和中 ∴， ∴，， ∴． ∵将矩形纸片折叠，使点与的中点重合，折痕为， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 题型十四 菱形的性质与判定实践探究问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 (1)先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； (2)再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【详解】（1）解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． （2）解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . （3）解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 2．（2026·河南三门峡·二模）【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【定理证明】 已知：如图（1），是的中位线． 求证：，． (1)证明：如图（2），延长到点F，使得，连接，请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证明过程．（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图（3），已知四边形纸片，，，对角线．现要将其剪成四块，使得剪成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图（3）中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明．（不需要说明作图理由） 【类比迁移】 (3)在（1）定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题： 如图（4），在菱形中，，是其对角线，点M为射线（点C右侧）上的一个动点，将点C绕点M逆时针旋转得到点，连接，，点N是的中点，连接，． ①证明：； ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①见解析；②的长为2或1 【分析】（1）由点E是的中点得，从而，故 ，故，由点D是的中点得，又，故四边形是平行四边形，，，故，； （2）取点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点，连接，，为剪痕，把向下移，使点A和点C重合，将逆时针旋转，使点B和点C重合，将顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形； （3）①延长至点G，使，连接，，由点N是的中点得，从而可推得，故，，，又，，故，，故，又是等边三角形，故，，故，，故，故是等边三角形，故；②由题意知，，分两种情况讨论：当是的中位线时，，故；当不是的中位线时，取的中点H，连接，，，从而，，故是等边三角形，设，则，故，由得，故． 【详解】（1）证明：如图（2），延长到点F，使得，连接， ∵点E是的中点， ， 又，， ， ，， ， ∵点D是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， ，， ，； （2）解：作图如下图所示：（答案不唯一） 说明：点P，Q，R，S四点分别是边，，，的中点， 由（1）知，， ∵， ∴．， 把向下移，使点A和点C重合，将绕点R逆时针旋转，使点B和点C重合，将绕点S顺时针旋转，使点D和点C重合，就会得到一个矩形，如图： （3）①证明：如图（2），延长至点G，使，连接，， ∵点N是的中点， ， 又， ， ，， ， 由旋转的性质可知，，， ，， ， ∵四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ； ②的长为2或1， 理由：由题意知，，分两种情况讨论， 当是的中位线时，如图（3），此时， ； 当不是的中位线时，如图（4），取的中点H，连接， ，，又， ，， 是等边三角形， ， 设，则， ， ，解得， ， 综上所述，的长为2或1． 3．（2026·广西南宁·二模）阅读与探究 【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题．菱形的四条边相等、每一条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平行线、垂线的尺规作图．学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究． 【学习任务】 精英组：如图1，以顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点B，交于点D，再分别以点B，D为圆心，的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点C，作射线，则射线为的平分线． 火箭组：如图2，作矩形的边的垂直平分线，分别交，于点H，F，再作线段的垂直平分线，分别交，于点E，G，和交于点O，顺次连接E，F，G，H，则四边形是菱形． 【解决问题】 (1)如图1，四边形的形状是______； (2)如图2，求证：四边形是菱形； (3)①如图3，以的对角线和的交点O为对称中心作菱形，使其四个顶点分别在的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） ②当①中所作菱形其中一条对角线与的一边平行时，菱形的面积与的面积有什么数量关系，请说明理由． 【答案】(1)菱形 (2)见解析 (3)①见解析；②，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形和菱形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用菱形的定义求解； （2）根据题意得到，则垂直平分，利用垂直平分线的性质证明四边形是平行四边形，利用“对角线垂直”证明四边形是菱形； （3）①过交点作直线，分别交、于点H、F，再作线段的垂直平分线，交剩余两条边得到点E、G，顺次连接四个点，即为所求菱形； ②根据菱形和平行四边形的性质求出是平行四边形中边上的高，再证明四边形是平行四边形，则，从而得出和之间的关系． 【详解】（1）解：由作法可知， 四边形的形状是菱形； （2）证明：垂直平分、垂直平分， 、， ， 垂直平分， ， 垂直平分， 、， 四边形是平行四边形， , 四边形是菱形； （3）解：①如图所示，四边形即为所求作的菱形； 证明：在平行四边形中，、， ， 在和中， ， ， ， 由作法知，垂直平分， 、， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； ②，理由如下： 由①作法知，， 当时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 是平行四边形中边上的高， ， 、， 四边形是平行四边形， ， ， ． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）探究下列问题： 【问题提出】 (1)如图①，菱形的边长为10，对角线的长为16，点E，F分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点G，则的长为 ． 【问题探究】如图②，在中，点D，E分别是，的中点，点F是延长线上的一点，且，连接，． (2)求证：四边形是平行四边形； (3)若，求四边形的周长． 【问题解决】 (4)如图③，在矩形中，，E是上一点，，是上一动点，连接，取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是 ． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据菱形的性质求解，证明四边形是平行四边形即可得到答案． （2）证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形； （3）由（2）得：，，四边形是平行四边形，得，再由勾股定理求出，即可求解． （4）如图，取的中点，的中点为F，证明在与的距离为的线段上运动，当时最小，此时四边形为矩形，四边形是矩形，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①∵菱形的边长为10，对角线的长为16，记对角线的交点为， ∴，，，，， ∴，， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：由（2）得：，，四边形是平行四边形， ∴， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长． （4）解：∵矩形，， ∴，，， 如图，取的中点，的中点为F，取的中点，的中点，连接， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴在与的距离为的线段上运动， ∴当时最小，此时， 此时四边形为矩形，四边形是矩形， ∴，共线，， ∴，， ∴． 5．（25-26八年级下·广东潮州·期中）综合与实践 如图，在菱形中，，对角线，的交点为，是对角线上一动点，点在的延长线上，且． 特例研究 (1)如图1，当点与点重合时，探究线段与的大小关系，请你直接写出结论：______．（填“>”“<”或“=”） 类比探究 (2)如图2，当为线段上任意一点时，探究线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸 (3)如图3，菱形的边长为8，点与点重合．若，分别在射线，射线上，且，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)= (2)，见解析 (3)15或9 【分析】（1）利用菱形性质、 推出是等边三角形；结合P与O重合、，得到等腰，算出底角；再由菱形对角线平分内角，得，等角对等边证； （2）先由菱形和条件，判定为等边三角形；用截长补短法在上截取，构造等边；利用等量代换证出两组边相等、两角都是，用SAS证三角形全等，推出； （3）先由菱形边长8、，得等边，求出；截取线段构造等边，造出等角和相等线段；然后分N在延长线上、N在线段上两种情况；利用角的和差找相等角，证全等，求出，再算出结果． 【详解】（1）解： 四边形是菱形，， ，菱形对角线互相垂直平分， 是等边三角形， ，， 是中点， ， ，点与点重合， ， ， 是等腰三角形， ， 是的外角， ， ， 菱形对角线平分一组内角， ， ， ； （2）解：，理由如下： 四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解： 四边形是菱形，边长为，， 是等边三角形， ， 是中点， ， 在上截取，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ①如图，点在线段的延长线上． ，点在延长线上， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 如图，点在线段上． 菱形边长为，是等边三角形， ， ，点在线段上， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 1 / 85 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题12菱形的性质与判定常考题型 题型归纳·内容导航 题型1利用菱形的性质求角度（常考） 题型9对菱形的判定的理解 题型2利用菱形的性质求线段长度（常考） 题型10利用菱形的判定看结论是否正确 题型3利用菱形的性质求面积（常考） 题型11菱形中的折叠问题（重点） 题型4利用菱形的性质求最值（难点） 题型12利用菱形的性质求点坐标 题型5利用菱形的性质证明（基础） 题型13菱形与函数综合动点问题（压轴） 题型6证明四边形是菱形（常考） 题型14菱形的性质与判定解答题综合（压轴） 题型7添加一个条件使得四边形是菱形（常考） 题型15菱形的性质与判定实践探究问题（压轴） 题型通关，靶向提分 题型一利用菱形的性质求角度（共5小题） 1.(25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)图，四边形ABCD为菱形，对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB 于点H,连接OH,∠CAD=25°，则∠DOH的度数是() A.120 B.125° C.130° D.1359 2.(2026内蒙古鄂尔多斯·二模)如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，点E、点F分别在边BC、CD上，且 AE⊥BC,∠EAF=60°，则∠CEF的度数是() B A.15 B.20° C.25 D.30° 3,（25-26八年级下江苏无锡·期中)如图，菱形ABCD中，∠ABC=100°，AB=BE,求LBAE的度数为() 1/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.60° B.65° C.75 D.50° 4,(25-26八年级下.四川南充·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,AE⊥BC于点E, 连接OE.若∠ABD=21°，则∠AEO的度数为() E A.20° B.21° C.23° D.25° 5,(2026河北张家口·三模)如图，在菱形ABCD中，LABC=80°，AC,BD相交于点0，点M为线段OC上一 点（可与点O重合，不与点C重合），∠MBC,∠MCB的平分线交于点N,则LBNC的度数可能为() D B A.100 B.120° C.130° D.150° 题型二利用菱形的性质求线段长度共(5小题) 1.(25-26八年级下，海南省直辖县级单位·期中)如图，在菱形ABCD中，点E,F分别是AB,AC的中点，连接 EF,若EF=1,则菱形ABCD的周长为() y D E B A.8 B.10 C.12 D.14 2/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·陕西榆林·期中)如图AC、BD为菱形ABCD的对角线，己知AC=18,BD=24,则BC边 上的高AH为() H A.14.4 B.15.3 C.16.8 D.17.2 3.(2026江西赣州模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上， AE=CF.连接BE,DF,当四边形BEDF为菱形时，线段AE的长为： A B 4,(25-26八年级下·河南焦作·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE⊥CD于点 E,连接OE.若AC=8,菱形ABCD的面积为24，则OE的长为 5,(2026山东东营.二模)如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点M.过点D 作AC的平行线交BC的延长线于点N,连接MN.则MN的长为 D 题型三利用菱形的性质求面积（共5小题） 1.(25-26八年级下.福建莆田·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别为10cm和24cm,则 菱形ABCD的面积为· 3/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 2.(25-26八年级下湖南岳阳·期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,连接 0E.若0B=3,0E=V5,则菱形ABCD的面积是· D 3.(25-26八年级下，江苏徐州·期中)如图，两条宽为2cm的长方形纸条叠放得到四边形ABCD,若 ∠ABC=45°，则这个四边形的面积为 B 4.（25-26八年级下山东烟台，期中)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点D作DH⊥BC于点H, 连接OH,若AB=5,OH=3,则△BDC的面积等于 D B 5,(25-26八年级下江苏盐城期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE II AC,AE II BD,OE 与AB交于点F.若OE=5,AC=8,则菱形ABCD的面积为 D 题型四利用菱形的性质求最值（共5小题） 1.(25-26八年级下.海南省直辖县级单位·期中)菱形ABCD中，AB=6,LABC=60°，点E在边BC上，且 4/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BE=4.将线段BE绕点B旋转，得到线段BF,连接DF,G是线段DF的中点，连接CG,则旋转一周的过程中 线段CG的最小值是 A D G F E C 2,(25-26八年级下·重庆璧山·期中)己知四边形ABCD为菱形，P为AC上任意一点，点E为AD上任意一点， CD=5,AC=8.则PE+PD的最小值是 3.(25-26八年级下·辽宁抚顺期中)如图，四边形ABCD是菱形，连接AC,BD交于点O.G为AD边上的一 动点（不与点A,D重合），GE⊥AC于点E,GF⊥DB于点F,若OA=3,OB=6,则EF的最小值为 B D 4.(25-26八年级下福建福州，期中)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6,点E是边AD上一动点， 作射线BE,点C关于射线BE的对称点为点F,直线AF与射线BE交于点G,连接GC,GF,当△CGF的周长最大 值时，则GB的长为· B 5.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=2W5,BD=4,点E、F分别 是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是 5/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B 题型五利用菱形的性质证明（共5小题） 1.(25-26八年级下·上海期中)如图，在菱形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接EA、EC. D E (1)求证：∠AED=∠CED; (2)如果AE=2,AB=4,DE=2BE,求BD的长. 2.(25-26八年级下.四川南充·期中)如图，菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是边AB和BC的两点且 AE=BF,连接DE,DF,EF. D A (1)求证：△DEF是等边三角形； (2)若AD=5,AE=4,求△BEF的周长. 3.(25-26八年级下江苏宿迁·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=60°，点E,F分别在边AB,AD 上，BE=AF.连接CE,EF,CF. (1)求证：△BCE≌△ACF; (2)求四边形AECF的面积； 6/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当点E,F分别在边AB,AD上运动时，△CEF的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出△CEF面积 的最小值；若不存在，请说明理由， 4.(25-26八年级下·上海·期中)如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、AD的中点，连接 AC、AE、CF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若四边形AECF是菱形，求证：AB⊥AC 5,(25-26八年级下·湖北随州期中)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，EF⊥AB 交AB于点F,OG⊥AB交AB于点G. D B G (1)求证：四边形OEFG是矩形； (2)若AB=20,0G=8,求BG的长. 题型六证明四边形是菱形（共5小题） 1.(2026北京昌平.二模)如图，在四边形ABCD中，AD II BC,AB=AD,对角线AC平分LBAD,过点D作 DE⊥BC,垂足为E. D B (1)求证：四边形ABCD为菱形； (2)若BE=8,DE=4,求CD的长. 2,(2026山东聊城·模拟预测)如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD的垂直平分线分别交边 AD、BC于点E、F,连接BE、DF. 7/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 B F (1)求证：四边形BEDF是菱形； (2)若∠B0C=120°，AB=6,求FC的长. 3,(25-26八年级下·内蒙古通辽·阶段检测)如图，在四边形ABCD中，AB II DC,AB=AD,对角线AC,BD 交于点O,AC平分LBAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E,连接OE. D (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若AB=5,BD=2,求0E的长. 4.(2026云南昆明模拟预测)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D,E分别是BC,AC的中点.连接DE并延 长至点F,使得EF=DE,连接AF,CF,AD. 9 B D (1)求证：四边形ADCF是菱形； (2)若△ABD与△ACD的周长差为7，BC=13,求菱形ADCF的面积. 5,(25-26八年级下·上海青浦·期中)如图，已知在梯形ABCD中，AD II BC,O是BD上的一点，A0=E0, LABD=LCBD,连接AO并延长交BC于点E. B (1)求证：四边形ABED是菱形： (2)过点C作CF⊥AE,垂足为点F,若EO=FE,求证：四边形ODCF是矩形 8/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26八年级下·吉林期中)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE II AC, 过点C作CE II BD. (1)求证：四边形0CED是矩形； (2)已知菱形ABCD中的∠ABC=60°，AB=6,矩形0CED的面积是 (3)连接BE,交AC于点F,连接DF,若AC=20,BD=24,DF的长 题型七添加一个条件使得四边形是菱形（共5小题） 1.(2026陕西咸阳二模)如图，口ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E、F分别在OB、OD上，且 BE=DF,连接AE、AF、CE、CF,若再添加一个条件，使得四边形AECF为菱形，则可以添加的条件是 (添加一个即可) 2.(25-26八年级下·山东淄博·期中)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=CD,且ABI川 CD,若，四边形ABCD是菱形，从①AD=BC,②BD平分LADC,③AC=BD,这三个选项中选择 一个作为条件，使结论成立. D 3.(25-26八年级下.陕西榆林期中)如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中 点，AC、BD是四边形ABCD的对角线，连接EF、EH、FG、HG,请添加一个条件 使四边形EFGH 为菱形.（填写一个即可） 9/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4.(25-26八年级下.江苏宿迁期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,已知AC=6,BD= 8,当AB=时，四边形ABCD是菱形. B 5.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在BC,AD上，AF=EC,不 添加任何字母与辅助线，添加一个适当的条件，使四边形AECF是菱形 D B 题型八对菱形的判定的理解（共5小题） 1.(25-26八年级下·重庆潼南·期中)下列各命题中，不是真命题的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 D,对角线相等且互相平分的四边形是矩形 2.(25-26八年级下·北京西城期中)下列说法正确的是() A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B,对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 C.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D,一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 3.(25-26八年级下福建南平，期中)下列命题中正确的是() A.对角线相等的四边形是矩形 10/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B,有一组邻边相等的四边形是菱形 C.有三个角是直角的四边形是矩形 D,一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 4,（25-26八年级下·贵州铜仁阶段检测)下列命题不正确的是() A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B,对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C,对角线相等的四边形是矩形 D.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 5,(25-26八年级下湖北咸宁期中)如图，分别以线段AB的两个端点A,B为圆心，以大于AB的相同长度 为半径画弧，在AB的两侧交于点C,D,顺次连接AC,CB,BD,DA,则四边形ACBD就是一个菱形，理由是 () A,有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B,四边相等的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 题型九利用菱形的判定看结论是香正确（共5小题） 1.(25-26八年级下·广东江门期中)如图是一个平行四边形活动支架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四 边形的形状会发生变化.现对其进行操作，下列说法正确的是() A 、0. --3D A,当AC=BD时，□ABCD是菱形 B.当AC⊥BD时，口ABCD是矩形 11/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C,当∠1=∠2时，□ABCD是菱形 D.当L1+∠3=90时，☐ABCD是矩形 2.(25-26八年级下·云南昭通·阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,则以 下结论不正确的是（) A.AB=CD,AD=BC B,若AB=AD,则四边形ABCD是菱形 C.若AC=BD,则四边形ABCD是矩形 D.AB II CD,AD=CD 3.(25-26八年级下.陕西榆林，期中)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,则下列说法一定 正确的是() A.AB=AC B.AC⊥BD C.∠ACD=∠ADC D.AC=BD 4.(25-26八年级下·浙江金华·期中)四边形ABCD是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形 的是() A.∠BAD=∠ABC B.AB⊥BD C.AC⊥BD D.AC=BD 5,(25-26八年级下山东德州期中)如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD的各边中点，顺次连接E、 F、G、H,当()时，四边形EFGH是菱形. B 12/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.AD=BC B.AC⊥BD C.AC=BD D.AC=BD且AC⊥BD 题型十菱形中的折叠问题（共5小题） 1.(2026河南三门峡.一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=45°，AB=4,E为BC边上一点，将△ABE沿AE 翻折，使点B的对应点F落在BC的延长线上，连接AF交CD于点G,则CG的长为() B A.2 B.2 C.4-2y2 D.4y2-4 2.(25-26八年级下.福建莆田·期中)如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将 △ABE沿AE所在直线翻折得△ABE,AB'与CD边交于点F,则B'C的长度为() A D B-- E B A.1 B.V2-1 c.2-V2 D.2W2-2 3.(25-26八年级下·贵州黔东南·期中)如图，把菱形ABCD沿直线AF折叠，使点B落在BC边上的点E处， 连接DE,若LBAF=20°，则∠DAE的度数为 B 4,(25-26八年级下·重庆·期中)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,AD上，将该矩形沿EF折叠， 使点A落在点A'处，点B的对应点B落在AD上，连接BB交EF于点O.若BC=11,B'F=3AF,BB'=46, 则AB的长为 ·连接A'O,A'D,D0,则△A'OD的面积为 13/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.F 5.(25-26九年级下河南商丘阶段检测)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠A=60°，点E是AB的中点， 点F为AD上一动点，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF.若A'E与菱形ABCD的对角线平行，则DF的长为 题型十一利用菱形的性质求点坐标（共5小题） 1.(25-26九年级下，黑龙江大庆期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点的坐标分别为 A(3,0),B(-2,0),点D(0,4)在y轴上，则点C的坐标 D A方 2.(2026宁夏吴忠.一模)如图，菱形ABCD的对角线交点在原点，若A(-4,3),则点C的坐标是 3.(25-26八年级下，福建厦门·期中)如图，在平面直角坐标系中，A(0,-3),B(4,0),菱形ABCD的边AD在y 轴上，则点D的坐标是一· 14/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A 4,(25-26八年级下·陕西渭南·期中)已知菱形ABC0在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点C的坐 标是(3,4)，则顶点B的坐标是 B A 5,(25-26八年级下·北京房山·期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别 为(-4,0)，(1,0)，点D在y轴上，则点C的坐标为 B 题型十二菱形与函数综合动点问题（共5小题） 1.(2026河南周口·模拟预测)如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为边AD的中点，对角线AC与BD 相交于点O.动点P从点A出发，沿AB→BD方向匀速运动，运动到点D时停止，设点P的运动路程为x, △APE的面积为y,y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到点O时，PE的长为() A 2W5 B C 图1 图2 A.3 B.2 c.2y3 D.4 2.(2026湖北黄冈·二模)如图1，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E是BC边的中点，P是对角线BD上一 动点，设PD的长度为x,PE与PC的长度和为y,图2是y关于x的函数图象，其中H(a,b)是图象上的最低 15/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，则(1)菱形的边长为 ,(2)ab的值为 6 b H 图1 图2 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)如图1，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→B→C匀速运动，到达 点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x,它与对角线交点E之间的距离为y,y与x之间的函数关系 如图2所示，则当点P运动至BC的中点处时，y的值为 图1 图2 4.（2026湖北武汉模拟预测)如图1，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=4BE, 连接EF,CF,设BF的长为x,EF+CF=y,如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象. 6 图1 图2 (1)BD= (2)图象最低点的纵坐标是 5,(2026河南平顶山一模)如图1，点F是菱形对角线BD上一动点，点E是线段BC上一点，且CE=4BE, 连接EF,CF,设BF的长为x,EF+CF=y,如图2是点F从点B运动到点D时，y随x变化的关系图象， 图象最低点的纵坐标是 16/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 6 图1 图2 题型十三菱形的性质与判定解答题综合（共5小题） 1.(25-26八年级下·重庆渝北·期中)已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，AB=AC, D E B B B 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BAC=60°，AB=6,求BD的长； (2)如图2，AB⊥AC,点E、F在线段BD上，△AEF为等腰直角三角形且LEAF=90°，连接CF,求证： OB=2CF+OF (3)如图3，若∠BAC=60°，AB=8,点P是线段BD上的一个动点，连接AP,以线段AP为边在AP下方构造等 边三角形APP',连接DP',当AP'+DP的值最小时，请直接写出△ADP的面积. 2.(2026山东济南·二模)如图，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E为边AD上的动点（不与A、D重合）， 连接CE,将△DCE沿直线CE折叠，得到△GCE,点D的对应点为点G, E E D G 图1 图2 图3 (1)当点G落在对角线AC上时，求线段DE的长： (2)将△BCE沿直线CE折叠，得到△FCE,点B的对应点为点F,连接BE,EF,当B、G、E三点共线时，请 判断四边形BCFE的形状，并证明： (3)连接BG,FG,在点E的运动过程中，请直接写出BG+FG的最小值. 3.(25-26八年级下·湖北荆门·期中)己知四边形ABCD是菱形，∠A=60°，∠EBF的两边分别与AD、DC相交 17/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点E、F,且∠EBF=60°. D D G B 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E是线段AD的中点时，直接写出线段BE、BF之间的数量关系是 ； (2)如图2，当点E是线段AD上任意一点时（点E不与A、D重合），求证：BE=BF; (3)如图3，AB=4,点E是线段AD的中点，点F是边AB上一动点（不与点A、B重合），连接EF,将△AEF 沿EF翻折，使点A落在菱形ABCD内部点G处，请直接写出CG的最小值，（根号内数据不化简） 4.(25-26八年级下.江苏宿迁·期中)在矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8Cm. A M 图1 图2 (1)如图1，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,再展开压平，连接BE, ①求证：四边形BFDE是菱形； ②求折痕EF的长； (2)如图2，将矩形纸片折叠，使点B与CD的中点G重合，折痕为MN,求折痕MN的长. 题型十四菱形的性质与判定实践探究问题（共5小题） 1.(25-26八年级下辽宁大连期中)【问题提出】 如图1，点E是菱形ABCD边BC上的一点，△AEF是等腰三角形，AE=EF,LAEF=LABC=(C≥90)， AF交CD于点G,探究LFCG与a的数量关系， 图1 【问题探究】 18/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)先将问题特殊化，如图2，当α=90时，求∠FCG的度数； 图2 (2)再探究一般情形，如图1，求∠FCG的度数；（用含aα的代数式表示） 【问题拓展】 (3)如图3，当a=120°，AB=4时，若点E为边BC的中点，请求出△CFG的面积. G 图3 2.(2026河南三门峡.二模)【课本回顾】 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半， 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 【定理证明】 己知：如图(1)，DE是△ABC的中位线 求证：DE BC,DE=BC. (1)证明：如图(2)，延长DE到点F,使得EF=DE,连接CF,请你根据已经添加的辅助线，写出完整的证 明过程.（不再添加新的辅助线） 【定理应用】 (2)如图(3)，己知四边形ABCD纸片，AB=AD,BC=DC,对角线BD⊥AC.现要将其剪成四块，使得剪 19/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成的四块可以重新拼成一个矩形（无重叠），请在图(3)中画出剪痕，并对剪痕作适当的说明.（不需要说 明作图理由) 【类比迁移】 (3)在（1)定理证明的过程中采用了“倍长法”，体现了数学的“转化思想”，请你用这种方法来解决以下问题 如图(4)，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC是其对角线，点M为射线BC(点C右侧)上的一个动点，将 点C绕点M逆时针旋转120得到点C',连接CM,CB,点N是CB的中点，连接MN,AM. ①证明：AM=2MW; ②连接CN.若AB=4,CN=CM,请直接写出CN的长。 3,（2026广西南宁.二模)阅读与探究 【问题背景】我们发现：用构造菱形的思路可以解决绝大多数尺规作图的问题，菱形的四条边相等、每一 条对角线平分一组对角、对角线互相垂直平分、对边平行等性质，可以应用在角平分线、垂直平分线、平 行线、垂线的尺规作图.学习小组受到启发，对尺规作图作菱形展开了探究 【学习任务】 精英组：如图1，以∠NAM顶点A为圆心，适当长为半径作弧，交AM于点B,交AN于点D,再分别以点B, D为圆心，AB的长为半径作弧，两弧在∠NAM的内部相交于点C,作射线AC,则射线AC为LNAM的平分 线 火箭组：如图2，作矩形ABCD的边AD的垂直平分线HF,分别交AD,BC于点H,F,再作线段HF的垂直平 分线EG,分别交AB,CD于点E,G,HF和EG交于点O,顺次连接E,F,G,H,则四边形EFGH是菱 形 H 图1 图2 图3 备用图 【解决问题】 (1)如图1，四边形ABCD的形状是 20/22 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，求证：四边形EFGH是菱形； (3)①如图3，以口ABCD的对角线AC和BD的交点O为对称中心作菱形EFGH,使其四个顶点分别在口ABCD 的边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.） ②当①中所作菱形EFGH其中一条对角线与口ABCD的一边平行时，菱形EFGH的面积S1与口ABCD的面积S2 有什么数量关系，请说明理由， 4.(25-26八年级下江苏苏州期中)探究下列问题： D 图① 图② 图③ 【问题提出】 (1)如图①，菱形ABCD的边长为10，对角线BD的长为16，点E,F分别是边AD,CD的中点，连接EF并延 长与BC的延长线相交于点G,则EG的长为_ 【问题探究】如图②，在△ABC中，点D,E分别是AC,AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且 CF=3BF,连接DB,EF (2)求证：四边形DEFB是平行四边形； (3)若∠ACB=90°，AC=12cm,DE=4cm,求四边形DEFC的周长. 【问题解决】 (4)如图③，在矩形ABCD中，AB=3,AD=6,E是AD上一点，AE=1,P是BC上一动点，连接AP,取AP的 中点F,连接EF,当线段EF取得最小值时，线段PD的长度是_· 5.(25-26八年级下·广东潮州期中)综合与实践 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC,BD的交点为O,P是对角线BD上一动点，点E在AB的延 长线上，且DP=BE. 21/22 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 B O(P)D B B O(P八 图1 图2 图3 特例研究 (1)如图1，当点P与点O重合时，探究线段AP与EP的大小关系，请你直接写出结论：APEP,(填 “>"<”或"=") 类比探究 (2)如图2，当P为线段BD上任意一点时，探究线段AP与EP的数量关系，并说明理由， 拓展延伸 (3)如图3，菱形ABCD的边长为8，点P与点O重合.若M,N分别在射线AB,射线DA上，且∠MPN=120°， AN=3,请直接写出线段AM的长. 22/22