专题11 矩形的性质与判定常考题型12题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，以12类分层题型构建从基础到压轴的完整训练体系，强化逻辑推理与空间观念 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质理解|5题|基础概念辨析|从矩形定义出发，对比平行四边形性质差异| |性质应用|20题|角度/线段/面积计算及证明|结合勾股定理、全等三角形等知识链| |判定应用|10题|证明及条件添加|围绕"平行四边形+直角/对角线相等"双路径| |综合探究|15题|折叠/坐标/最值及实践题|融合动态几何与模型思想，体现数学应用意识|

专题11 矩形的性质与判定常考题型 题型1 矩形的性质理解 题型7 求矩形在坐标系中的坐标（常考） 题型2 利用矩形的性质求角度（重点） 题型8 矩形中折叠问题（重点） 题型3 利用矩形的性质求线段长度（重点） 题型9 证明四边形是矩形（常考） 题型4利用矩形的性质求面积（重点） 题型10 添加一个条件使四边形是矩形（基础） 题型5 利用矩形的性质求最值（难点） 题型11 矩形的性质与判定解答题综合（压轴） 题型6 利用矩形的性质证明（重点） 题型12 矩形的性质与判定实践探究（压轴） 题型一 矩形的性质理解（共5小题） 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）顺次连接四边形四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形一定满足（   ） A．两组对边分别相等 B．两条对角线互相平分 C．两条对角线互相垂直 D．四个角相等 【答案】C 【分析】根据中位线定理得到中点四边形边与原四边形对角线的关系，结合矩形性质推导即可． 【详解】解：点分别是四边形四边的中点，顺次连接得四边形为矩形，根据三角形中位线定理，可得：，， 四边形是矩形， ， ， 即四边形的两条对角线互相垂直， 2．（25-26八年级下·云南昭通·期中）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】平行四边形的性质为：对边平行且相等，对角线互相平分．矩形是特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有对角线相等，四个角都是直角的特有性质． 【详解】解：对边平行，对边相等，对角线互相平分都是平行四边形和矩形共有的性质，故A，B，C不符合要求． 对角线相等是矩形具有而平行四边形不一定具有的性质，故D符合要求． 3．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对边相等 【答案】C 【分析】本题考查矩形与平行四边形的性质，矩形是特殊的平行四边形，只需对比两者性质，找出矩形特有而平行四边形不具有的性质即可 【详解】解：∵平行四边形的性质为：对角相等，对边相等，对角线互相平分，矩形作为特殊的平行四边形，也具有以上三个性质， ∴选项A，B，D都是矩形和平行四边形共有的性质，排除； ∵矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等， ∴对角线相等是矩形具有而平行四边形不具有的性质 4．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）下列命题中正确的是（   ） A．平行四边形的对角线相等 B．平行四边形是轴对称图形 C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线相互垂直 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、矩形的性质与判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：A选项，因为平行四边形的对角线互相平分，不一定相等 所以选项A错误，不符合题意； B选项，因为一般平行四边形不存在对称轴，不是轴对称图形，所以选项B错误，不符合题意； C选项，因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，所以对角线相等且互相平分的四边形是矩形，所以选项C正确，符合题意； D选项，因为矩形的对角线相等且互相平分，不一定互相垂直，所以选项D错误，不符合题意． 5．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 题型二 利用矩形的性质求角度（共5小题） 1．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，四边形是矩形，点是的延长线上一点，且，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点，由矩形的性质，结合等边对等角，可得，由已知结合三角形的内角和定理，即可得的度数． 【详解】解：连接，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·重庆巴南·期中）如图，矩形中，点为边的中点，连接，过作交于点，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点G，证明，可得，从而得到，进而得到，然后根据余角的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵点E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，在矩形中，，交于点O，，则大小是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分和等边对等角得到，再结合是的外角，利用三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， ． 4．（25-26九年级上·陕西渭南·期末）如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·山东青岛·期末）在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 题型三 利用矩形的性质求线段长度（共5小题） 1．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在矩形中，，，对角线、相交于点，过点作垂直交于点，则的长是（   ）  A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是确定出垂直平分，作出辅助线，利用勾股定理来求解． 根据题意可得垂直平分，连接，设，则，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，，，， 又∵垂直， ∴垂直平分， 连接，如下图： 设， 则， 由勾股定理可得，， 即， 解得， 即． 2．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，已知矩形的对角线，相交于点，，点是矩形对角线上一点，且，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质及判定为等边三角形，求出及、的长，再通过角度计算证明为等腰三角形，从而求出的长，最后利用求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，，．点O为上一点，将绕点O旋转，得到．若四边形是矩形，则的长是（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据矩形的性质得出，，设，则，利用勾股定理求解即可 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 4．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，平分，交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 5．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在矩形中，对角线与交于点O，的平分线交边于点E，F是的中点，若，，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出，然后证明，得出，，在中，根据勾股定理可得出，解方程求出，最后根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：过E作交于G， ∵矩形中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∵，F是的中点， ∴． 题型四 利用矩形的性质求面积（共5小题） 1．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成矩形．若，，则的面积是（    ） A．6 B．8 C．12 D．24 【答案】D 【分析】根据中位线的性质得，根据即可求解． 【详解】解：∵点、分别是的中点， ∴， 由题意可得：， ∴． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作 ，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（　　） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由矩形的性质可证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作，交于点，交于点， ∵四边形是矩形，且 ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，，， ∵， ， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 3．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】3 【分析】根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是3． 4．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，点是矩形的对角线上的一点，过点作，分别交、于、，连接、．若，，则_______（填“”、“”或“”）；图中阴影部分的面积和是_______． 【答案】 【分析】作于M，交于N，根据矩形的性质可得 即可求解． 【详解】解：作于M，交于N． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴ ∴， ∴ 5．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点，过点的直线分别交，边于点，，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】 【分析】首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明（），得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 题型五 利用矩形的性质求最值（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，矩形中，，，点P为中点，点E为线段上一点，连接，将线段绕E顺时针旋转得线段，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作，交于点，过点作，由题意易得，，则有，，由旋转的性质可知：，，然后可得，，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：过点作，交于点，过点作，如图所示： ∴， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P为中点， ∴， 设，当点在点的左侧时，则有，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 当点在点的右侧时，如图所示： 同理可得：， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由上可知：， ∵， ∴， ∴当时，有最小值， ∴有最小值． 2．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，长方形中，，，是的中点，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为_______ ． 【答案】10 【分析】作关于的对称点，在上截取，连接交于，推出的最小值为的长，再求出的长即可． 【详解】解：如图，作关于的对称点，在上截取，连接，， 四边形是矩形， 、、， ，， 四边形是平行四边形， ， 关于的对称点是、为边的中点， ，， ， 当三点共线时，的最小值为， ，， 由勾股定理得：， 即的最小值为10． 3．（2026·山东聊城·二模）如图，在矩形中，，，E，F分别为的中点，将绕点E顺时针旋转，使点A落在处，点F落在处，连接，，则在旋转过程中，面积的最小值为________． 【答案】 【分析】计算圆心E到直线的距离，再减去圆的半径，即可得到到的最小距离，代入三角形面积公式求解． 【详解】解：由旋转知，， ∴是在以圆心，长为半径的圆上运动． ∵矩形中，，，，是中点，是中点， ∴，． ∴，即圆半径​． ∵中，， ∴，其中h是到直线的距离． ∵圆心到直线的距离等于矩形的边长， ∴​， ∴． 4．（2026·辽宁辽阳·一模）如图，在矩形中，，．对角线，交于点．点为上一个动点，连接，点为的中点，点在上，且满足，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，当，，在同一条直线上时，的值最小，求得的长即可． 【详解】解：取的中点，作直线，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一条直线上时，的值最小， 点为的中点， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ，， ，， ， ， ， ， 点为的中点，， ， ， ， ． 的最小值为：． 5．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，矩形中，，E是边上一动点，连接，过点C作于点P，连接，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 取中点，连接，根据直角三角形斜边中线可得，然后由勾股定理求解，再由三角形三边关系即可求解最值． 【详解】解：取中点，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在上时，取得最小值为． 题型六 利用矩形的性质证明（共5小题） 1．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质，掌握矩形的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及等边三角形的判定及性质是解题的关键； （1）由矩形的性质、平分可知的大小，由直角三角形的性质即可求出的度数； （2）由矩形的性质及可得是等边三角形，等量代换即可证得． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 平分， ， ， ； （2）证明：四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ． 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形中，E是边上的一点，连接，且． (1)求证：平分； (2)若，求边的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得，进而得出，再根据“等边对等角”得，然后说明，则此题可解； （2）先根据矩形的性质得，再说明，可得，然后根据勾股定理求出，进而得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：在矩形中，， ∵， ∴， ∴． 根据勾股定理，得， ∴． 3．（2026·广东梅州·一模）将两张长为8、宽为2的全等矩形纸片和按如图所示方式叠放，其中点为公共顶点，边与相交于点，边与相交于点． (1)求证：； (2)求重叠部分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质结合证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，则，再对运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵两张长为8、宽为2的全等矩形纸片和按如图所示方式叠放 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）知 ∴四边形是平行四边形， 由题意得，， ∵ ∴ ∴ 设 则 在中，∵ ∴ 解得 ∴四边形的面积． 4．（22-23八年级下·广西来宾·期中）如图，在矩形中，；，垂足分别为、．连接、． (1)求证：． (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先证明，再结合即可得证． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，， ， ，， ， ， ． （2）解：四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ， 又， 四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，若，直接写出所有等于的一半的角． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，， 【分析】（1）连接，先得出，，再证明，由此即可得证； （2）过点作于点，先得出，再证明，则可得，，然后证出，由此即可得． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点作于点， 由（1）已证：， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，（等腰三角形的三线合一）， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 综上，所有等于的一半的角是，，，． 题型七 求矩形在坐标系中的坐标（共5小题） 1．（2026·山西忻州·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于点，利用矩形对角线互相平分的性质结合中点坐标公式求出点的坐标，再计算出点的坐标． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分， ∵，， ∴点的坐标为， ∵， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26八年级下·福建厦门·期中）定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为智慧三角形．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边存在点，使得为智慧三角形，则点的坐标为（   ） A．或 B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或，设，则，；分两种情况：①若，②若，根据勾股定理分别求出、、，并根据图形列出关于的方程，解得的值，则可得答案． 【详解】解：由题意可知，智慧三角形是直角三角形，或， 设，则，； ①若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 又， ， ， 解得：或， 或； ②若，在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ． 综上，或或． 3．（25-26八年级下·重庆·阶段检测）如图，已知四边形是矩形，点的坐标为，点为边上一点，连接，现将沿折叠，点落在轴上的点处，直线交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质和点，得出，，根据折叠的性质可得，，在中，由勾股定理求出 ，则，即点坐标为，求出直线的解析式，令，得，即可求出的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，点， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得： ， ∴，即点坐标为， 设直线的解析式为， 代入、得： ，解得， 即直线解析式为， ∵是直线与轴的交点，令，得， ∴的坐标为． 4．（24-25八年级下·新疆哈密·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为_____． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 题型八 矩形中折叠问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在F处，、相交于点E，，，则的长度为________． 【答案】5 【分析】由矩形性质得，故；结合折叠性质，可推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ， 由折叠可得，， ， ， 设，则，． 在中， 解得． 2．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，矩形纸片中，，，将此矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】24 【分析】由折叠可知，设利用勾股定理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知， 设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴由勾股定理可得， 即，解得， 的面积为：． 3．（25-26八年级下·重庆璧山·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，连接，点和点E关于直线对称，点G在边上，连接．将沿折叠，点C恰好落在线段上的点处，连接，则______ 【答案】/ 【分析】连接求出，则，设，则，由勾股定理可得，，解得，得到，得到，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，连接 在矩形中，，，， ∵点A和点E关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， 解得， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在线段上的点H处， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在矩形纸片中，，，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，的延长线交于点，交的延长线于点．若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】设，则，由折叠性质得，，，证明得，，由此得，，则，在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形，且，， ∴，，， ∵点在的延长线上， ∴， 设，则， 由折叠性质得：，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的长为． 5．（2026·山东济南·二模）如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________． 【答案】 【分析】过点F作于点G，连接，设，，由矩形的性质和折叠的性质可知，，，，，由勾股定理可得，，则有，，在中，由勾股定理可得，即，同理在中可得，即，则有，最后求解即可． 【详解】如图，过点F作于点G，连接， 在矩形纸片中，，，， 设，， 由折叠可知：，， 在中，， 在中，，有， 即 ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 在中，， 即， ， ， 解得：， 即． 题型九 证明四边形是矩形（共5小题） 1．（2026·江苏常州·一模）已知：如图，在中，点E，F分别是边的中点，连接，相交于点O． (1)求证：． (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，由平行线的性质得，，再根据中点的定义得出，即可证明； （2）先证四边形是平行四边形，推出，再证四边形是平行四边形，根据对角线相等，可得四边形是矩形． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 又点E，F分别是边的中点， ， ． （2）证明：如图，连接， 中，， ， 点E，F分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 同理， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． 2．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在中，，、分别是边、中点，连接并延长到点，使，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，再由，可得，即可求证； （2）先证明四边形是平行四边形，再结合等腰三角形的性质可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵、分别是边、中点， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：∵点是边中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，点D为的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（25-26八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，D是边上一点，且，平分交边于点E，平分交边于点F，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证，，再由，即可得出结论； （2）先求出，由勾股定理求出，证出是的中位线得出，由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分，平分， ，，       ， 即，       ，平分， ，       又， 四边形是矩形． （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ，， ，，E是的中点．       ， ， ，       ，即D是的中点． 是的中位线． ，       4．（25-26八年级下·陕西延安·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得即可． 【详解】（1）证明：是边的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 又∵，且， ， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·四川南充·期中）如图，中，，分别为，的中点，，，垂足分别为，． (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知得是的中位线，则，再由，，得，根据对边互相平行的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，再由两个内角为直角即可得出结论； （2）先根据中位线的性质得，由中点的定义得，由矩形的性质得，，即可由勾股定理求出，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形； （2）解：由（1）知，是的中位线， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴． 题型十 添加一个条件使四边形是矩形（共5小题） 1．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）如图，的对角线、相交于点，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是_____（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据矩形和平行四边形的关系即可解答． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，即； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，即，……． 2．（25-26八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，连接四边形各边中点得到的四边形，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件________，使四边形是矩形． 【答案】，（答案不唯一） 【分析】利用三角形中位线定理，先证明四边形的一组对边平行且相等，从而判定它是平行四边形；再通过添加条件使对角线互相垂直，让平行四边形的一个内角为直角，进而证明它是矩形． 【详解】解：，（答案不唯一）， 如图，连接， ∵ 在中，分别是的中点， ∴，， 同理，在中，分别是的中点， ∴，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形， 当，平行四边形有一个直角，即成为矩形． 3．（25-26八年级下·北京大兴·期中）如图，在中，对角线，相交于点．在不添加辅助线的前提下，增加一个条件，使得是矩形．这个条件可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解： 四边形 是平行四边形， 若添加条件， 根据对角线相等的平行四边形是矩形， 四边形 是矩形． 故答案为 （答案不唯一）． 4．（2026·黑龙江·一模）如图，在平行四边形中，点在对角线上，且，连接，．请添加一个条件_________，使四边形为矩形（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明四边形为平行四边形，进而即可得到答案． 【详解】解：添加，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是矩形． 5．（2026·黑龙江·一模）如图，将绕着点旋转得到，连接、，请添加一个条件______，使四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，可得，进而可得． 【详解】解：绕着点旋转得到， 、， 四边形是平行四边形， 当时，， ， 即， 平行四边形是矩形， 因此，添加的条件可以是． 题型十一 矩形的性质与判定解答题综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 2．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图1，点B在线段上，分别以、为边，在线段的同侧作矩形和矩形，，，将矩形绕着点B顺时针旋转．在旋转过程中， (1)当点C落在上时，线段的长度等于 ； (2)如图2，与相交于P点，当恰好平分时，求的长； (3)当矩形的对角线经过点G时，请直接写出此时的面积 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，再结合旋转的性质即可得出结果； （2）由矩形的性质可得，，则，结合角平分线的定义得出，从而可得，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果； （3）连接、交于点，由矩形的性质并结合勾股定理可得，分两种情况：当对角线经过点时，作于点，当对角线经过点时，作于点，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 如图：点C落在上时，； （2）解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （3）解：连接、交于点， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 如图，当对角线经过点时，作于点， ∵， ∴， ∴； 如图，当对角线经过点时，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 3．（25-26八年级下·上海金山·期中）已知：在直角梯形中，，，将沿直线翻折，点恰好落在腰上的点处． (1)如图，当点是腰的中点时，求证：是等边三角形； (2)延长交线段的延长线于点，连接，如果，请画出符合题意的图形，并证明：四边形是矩形． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图与证明见解析 【分析】（1）利用翻折性质得，结合为中点证，再由角度关系推，证为等边三角形； （2）过作梯形的高，证得、，结合与，推得且，再由证四边形为矩形． 【详解】（1）证明：将沿直线翻折，点落在腰上的点处， ，，即， 是腰的中点， 垂直平分， ， ，， ， 由翻折性质，， ， （三线合一）， ， 又， ∴， ∴， 又， 是等边三角形． （2）证明：过点作，垂足为，则． ，， 四边形是矩形， ，， 由翻折性质，，， ，且， 在和中：， ， ，， ， ， 又∵， ∴，即， ，即， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是矩形． 4．（河南郑州市九校联考2026年中考二模考试数学试题）如图1， 中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点B，C的对应点分别为点M，N，延长交于点． (1)请判断：在旋转过程中，与的数量关系为_____________； (2)如图2，在旋转过程中，当时，连接，延长交于点E． ①求证：； ②若两直角边的比为，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②的值为或 【分析】（1）解：连接，由旋转，得，得到，继而证明出，则，即可解答； （2）①延长交于点，由（1），得，推导出得到继而推导出，得到，则，即可解答； ②过点作，垂足为点，推导出四边形是矩形，得到，设的一直角边长为，另一直角边为，由勾股定理，可得，由旋转，得，，则，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 由旋转，得 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：如图1，延长交于点． 由（1），得， ∴， 由旋转，得 在和中， ． ； ②的值为或，理由如下： 过点作，垂足为点，如图 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵两直角边的比为，设的一直角边长为，另一直角边为， 由勾股定理，可得， 由旋转，得，， ∴， 第一种情况：当时，， ， 由（2），得为中点， 第二种情况：当时，， 综上所述，的值为或． 5．（2026·内蒙古鄂尔多斯·二模）初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图形．在中，，，． (1)如图1，将沿进行折叠得到（与重合，与重合），连接交于点，求的长度； (2)在图1基础上，将沿射线平移到如图2所示位置，连接，，已知，求证：四边形是矩形； (3)在图1基础上，将绕点逆时针旋转度（），如图3，直线交直线于点．当点、、三点共线时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)​或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，然后利用面积法求出即可求解； （2）由折叠得，，证明可证四边形是平行四边形，进而可证四边形是矩形； （3）分①当在线段上和②当在的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：． 折叠的性质：折叠后点与点关于对称， 因此垂直平分，即，． 利用面积法求：， ∴， 解得， 因此； （2）证明：由折叠得，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形； （3）解：由旋转性质，，． 分两种情况：①当在线段上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，． 在中，由勾股定理：，即， 解得，． ∴； ②当在的延长线上，连接，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即， 解得， ∴． ∴． 综上，的面积为​或． 题型十二 矩形的性质与判定实践探究（共5小题） 1．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）实践探索：如图一，用剪刀把剪下，放在另一张纸上，并沿的边，画一个四边形，记为．则四边形和完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角都分别相等． 在中连接，它们的交点记为点O．用一枚图钉穿过点O，将绕点O旋转．我们发现，旋转之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．由此可以得到． (1)推理论证： 我们可以用演绎推理证明上述探索得到的结论．已知：如图二，的对角线相交于点O．求证：． (2)知识应用：如图三，的周长为，对角线相交于点O，的周长比长，求线与的长． (3)拓展延伸：如图四，在中，，点D在上，以为对角线的所有中，当最小时， ． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)3 【分析】（1）利用平行四边形的性质可得，易证，证明，即可得出结论； （2）由（1）知，结合题意得到，再根据平行四边形的性质可得，即可求解； （3）当时，有最小值，此时，，证明四边形是矩形，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵的周长比长， ∴， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴，； （3）解：∵四边形是以为对角线的平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 2．（2026·广西南宁·二模）【提出问题】 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接成矩形的？ （1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形． 【动手操作】 小涵所在的学习小组对这道题进行了分工合作，小涵的任务是把一张三角形纸片剪拼得到一个矩形．她在动手操作的过程中发现了两种不同的剪拼方法． 方法一：任意剪一个，分别找到边，的中点，，连接，分别过点，作，，垂足分别为，，再将和分别绕点，旋转，即可得到矩形（如图）． 方法二：任意剪一个，分别找到边，的中点，，连接，过点作于点，再将和分别绕点，旋转，即可得到矩形（如图）． 【探究发现】 (1)如图，请判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图，小涵通过测量，发现，， ①求的面积． ②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，当与的一边平行时，求出此时的长． 【答案】(1)， (2)①；②的长度为 或 【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题； （2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题； ②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题． 【详解】（1）解： 、边的中点、， ∴， 与的位置关系为，数量关系为； （2）解：① ，． 设，则， ， ， ， 解得， ，， 、边的中点、， ，， 的面积为； ② 、、在同一直线上， 与不平行； 旋转过程中，记的对应点为， 当时，   四边形为矩形， ， ， ，的面积为， ， ， ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ， ， ； 当时，作于点，   ， ， ， 由旋转的性质可知， ， ，，， ， ， 四边形为矩形； ， ， ， ； 综上所述，的长度为 或 ． 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）如图，在矩形中，，，点E是边上的动点，连接，点B关于的对称点为点F，连接，作射线交直线于点G． 【动手操作】 (1)如图（1），若点G与点A重合时，在图1中补全图形，则线段与线段的数量关系为 ； 【深入探究】 (2)如图（2），若，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 (3)若点E在射线上运动，当E，F，D三点共线时，直接写出的面积． 【答案】(1)作图见详解， (2)，理由见详解 (3)或 【分析】（1）先根据题意作出对应的图形，利用轴对称的性质和勾股定理列出方程即可求解x的值，从而得到结论； （2）利用矩形的性质，轴对称的性质及平行线的性质得到； （3）分情况讨论：①当点E在线段上时，②当点E在射线上，点C右侧时；利用勾股定理，轴对称的性质，矩形的性质及三角形面积公式即可得出结果． 【详解】（1）解：补全图形如下： ∵点B关于的对称点为点F， ∴，，， ∵，， ∴，， ∵射线交直线于点G，点G与点A重合， ∴， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即， ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点B关于的对称点为点F， ∴，， ∴， ∴， 即． （3）解：由题意知，此时分情况讨论： ①当点E在线段上时： ∵点B关于的对称点为点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，， ∴， ∴， 如图，分别过点F作，交于点M，交于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当点E在射线上，点C右侧时： ∵，点B关于的对称点为点F， ∴，， ∴， 在中，， 如图，过点F作交于点Q，与交于点P， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的面积为或． 4．（25-26八年级下·河北沧州·阶段检测）【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展项目式学习活动．创新小组通过考察测量和模拟探究环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考察测量 (1)如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m，求的长； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． (2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当时（如图1），线段能通过直角弯道； ②当时，必然存在线段的中点与点重合的情况，线段恰好不能通过直角弯道（如图2）．此时，的度数是________； ③当时，线段不能通过直角弯道． (3)如图3，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且时，矩形恰好不能通过该弯道．若，，且矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，根据勾股定理，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质，即可求解； （3）解法一：设与相交于点G，根据题意得：，证明，可得到，即可求解；解法二：设直线分别与直线相交于点I，H，根据等腰直角三角形的性质，以及勾股定理可得，即可求解. 【详解】（1）解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， 由图形可知是等腰直角三角形，则， ∴，即的长； （2）解：由图形可知是等腰直角三角形，则； （3）解法一、如图3（1），设与相交于点G，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点I，H， ∵四边形为矩形， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴根据实际情况得：a的最大整数值为7． 5．（25-26八年级下·江西上饶·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片中，，，将沿折叠，使点与点重合，折痕和交于点，， ； 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，求的长； 【拓展延伸】 (3)如图3， 在长方形纸片中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）由折叠的性质可知，利用勾股定理求出； （2）由长方形的性质可知，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可求出的长； （3）当点在长方形内部时，由折叠的性质得：，，利用勾股定理可得，设，则，利用勾股定理列方程，解方程求出的长；当点在长方形外部时，设，则，在中，由勾股定理得：，解方程求出值即可． 【详解】（1）解：，， ， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即； （2）解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； （3）解：四边形是长方形， ， 设线段的垂直平分线交于点，交于点，则， 分两种情况：①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； ②如下图所示，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 由①得：，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，的长为或． 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题11矩形的性质与判定常考题型 题型归纳内容导航 题型1矩形的性质理解 题型7求矩形在坐标系中的坐标（常考） 题型2利用矩形的性质求角度（重点） 题型8矩形中折叠问题（重点） 题型3利用矩形的性质求线段长度（重点） 题型9证明四边形是矩形（常考） 题型4利用矩形的性质求面积（重点） 题型10添加一个条件使四边形是矩形（基础） 1 题型5利用矩形的性质求最值（难点） 题型11矩形的性质与判定解答题综合（压轴） 题型6利用矩形的性质证明（重点） 题型12矩形的性质与判定实践探究（压轴） 题型通关·靶向提分 题型一矩形的性质理解（共5小题） 1.(25-26八年级下.河北廊坊·期中)顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD 一定满足() A,两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分 C.两条对角线互相垂直 D.四个角相等 2,(25-26八年级下·云南昭通·期中)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是() A,对边平行 B.对边相等 C.对角线互相平分 D.对角线相等 3,(25-26八年级下·河北石家庄·期中)矩形具有而平行四边形不具有的性质是() A.对角相等 B.对角线互相平分C.对角线相等 D.对边相等 4.(25-26八年级下.重庆巴南期中)下列命题中正确的是() A.平行四边形的对角线相等 B.平行四边形是轴对称图形 C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线相互垂直 5.（24-25八年级下辽宁大连·期末)下列关于矩形叙述正确的是() A,对角线相等且互相垂直 B,对角线互相垂直的平行四边形 C.对角线相等且互相平分的四边形 D,矩形的对角线平分一组对角 题型二利用矩形的性质求角度（共5小题） 1/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级下·山西大同·期中)如图，四边形ABCD是矩形，点E是BC的延长线上一点，且BE=BD, 连接DE.若∠ACB=40°，则∠E的度数为() D B A.40° B.50° C.60° D.70° 2.(25-26八年级下·重庆巴南·期中)如图，矩形ABCD中，点E为CD边的中点，连接AE,过E作EF1AE交BC 于点F,连接AF,若LEFC=a,则LBAF的度数为() D ● E FC A.45°+a B.45°+号 c.90°-月 D.2-90 3,(25-26八年级下.山东潍坊·期中)如图，在矩形ABCD中，AC,BD交于点O,∠A0D=108°，则∠0AB大 小是(). A.54° B.55° C.459 D.35° 4.(25-26九年级上陕西渭南·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AD边上，连 接BE交AC于点F.若∠OCD=60°，∠BED=130°，则LBF0的度数为() D B A.95° B.105 C.100° D.110° 5,(25-26九年级上山东青岛·期末)在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,∠BAD的角平分线交BC于 点E,若LA0B=50°，则∠0AE的度数是() 2/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A.15° B.20° C.25° D.30° 题型三利用矩形的性质求线段长度（共5小题） 1,(2026山东聊城模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点 O作OE垂直AC交AD于点E,则AE的长是() D A,3 B.5 c.2.4 D.2.5 2.(25-26八年级下·广东广州期中)如图，己知矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，CD=0D=1,点 P是矩形ABCD对角线BD上一点，且∠PCD=15°，则PD的长是() A B A月 B.2-V3 C.3-1 D.2-1 2 2 3,(25-26八年级下·江苏南京·期中)如图，在△ABC中，AC=3,BC=4,∠ACB=90°.点O为BC上一 点，将△ABC绕点O旋转180°，得到△A'BC.若四边形ABA'B是矩形，则BB的长是() B C O C A.6 B.6.25 C.6.5 D.6.75 4,(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD,交CD于点E,连接BE,点F为BE的中点， 连接CF,若AB=5,AD=4.则CF的长为() 3/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E D A.2 B.17 c D.3 5.(25-26八年级下.陕西安康·期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,∠BAC的平分线交边 BC于点E,F是AE的中点，若AB=8,BC=6,则OF的长为() D A号 3 B.1 C.2 0号 题型四利用矩形的性质求面积（共5小题） 1.(25-26九年级下·浙江杭州期中)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公 式的出入相补法.如图，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E,连接DE,过点A作AF⊥DE,垂足为F, 将△ABC分割后拼接成矩形BCHG.若DE=3,AF=4,则△ABC的面积是() A.6 B.8 C.12 D.24 2.（25-26八年级下江苏，期中)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EFIBC,分别交AB、 CD于点E、F,连接PB、PD,若图中阴影部分的面积为8，则AE·PF的值为() D A.4 B.8 C.16 D.32 3,(25-26八年级下·湖北武汉·期中)如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交 4/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD和BC于点E、F,AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为 E D B 4.(25-26八年级下.重庆渝北期中)如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上的一点，过点P作EFWBC,分别 交AB、CD于E、F,连接PB、PD.若AE=V2,PF=V5,则S△BEP SADEP(填“>”、“<"或”=”)； 图中阴影部分的面积和是 E 5,(24-25八年级下·福建福州·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别 交AD,BC边于点E,F,若AB=AO=2,则图中阴影部分的面积为 E B 题型五利用矩形的性质求最值（共5小题） 1.(25-26八年级下江苏扬州，期中)如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点P为AD中点，点E为线段BC 上一点，连接PE,将线段PE绕E顺时针旋转90°得线段EQ,连接DQ,则DQ的最小值为· P D Q 2.(25-26八年级下·广东佛山期中)如图，长方形ABCD中，AB=9,BC=4,G是AD的中点，线段EF在 边AB上左右滑动，若EF=1,则GE+CF的最小值为 5/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D G A E 3.(2026山东聊城二模)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E,F分别为AB,AD的中点，将△AEF 绕点E顺时针旋转，使点A落在A处，点F落在F处，连接CF,DF,则在旋转过程中，△CFPD面积的最 小值为 E B 4.(2026辽宁辽阳一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=4V3,对角线AC,BD交于点0.点E为AC 上一个动点，连接DE,点F为DE的中点，点G在AO上，且满足3AG=GO,连接CF,FG,则CF+FG的最小 值为一· G B 5.(25-26八年级下.甘肃张掖，期中)如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4,E是CD边上一动点，连接BE, 过点C作CP⊥BE于点P,连接PD,则PD的最小值为 题型六利用矩形的性质证明（共5小题） 1.(25-26八年级下，广东广州·期中)如图，在矩形ABCD中，CE平分LBCD,∠ACE=15°. (1)求∠BAC的度数； 6/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求证：BC=0D. 2.（25-26八年级下江苏苏州期中)如图，矩形ABCD中，E是AD边上的一点，连接BE,CE,且BE=BC. D (1)求证：EC平分LBED; (2)若AB=3,∠ABE=45°，求BC边的长， 3.(2026广东梅州一模)将两张长为8、宽为2的全等矩形纸片ABCD和AECF按如图所示方式叠放，其中 点A、C为公共顶点，边AD与EC相交于点H,边BC与AF相交于点G, H (1)求证：△AEH≌△CFG; (2)求重叠部分四边形AGCH的面积. 4.(22-23八年级下·广西来宾期中)如图，在矩形ABCD中，BE⊥AC;DF⊥AC,垂足分别为E、F,连接 DE、BF. D B (1)求证：BE=DF. (2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由. 5,(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测)在矩形ABCD中，点E是BC上的一个动点（点E不与端点B,C重 合)，点F为AE的中点，连接CF,DF. 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1.求证：CF=DF; (2)如图2，连接DE,若AD=ED,直接写出所有等于∠DFC的一半的角. 题型七求矩形在坐标系中的坐标（共5小题） 1.(2026山西忻州.一模)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,C,D的坐标分别为(-2,0)， (3,0),(-1,2),则点B的坐标为() A.(1.5,-2) B.(2,-1) C.(-2,2) D.(2,-2) 2.（25-26八年级下福建厦门期中)定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三 角形为智慧三角形.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形0ABC的边0A=3,OC=4,点M(2,0),在边AB 存在点P,使得△CMP为智慧三角形，则点P的坐标为() B A.(3,1)或(3,3) B.(3或(33)或3,2) c.(3,)或(3,1) D.(3,或(3,1)或(3,3) 3.(25-26八年级下·重庆阶段检测)如图，已知四边形ABC0是矩形，点B的坐标为(5,4)，点D为边A0上 点，连接BD,现将△ABD沿BD折叠，点A落在x轴上的点E处，直线BE交y轴于点P,则点P的坐标为() 8/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E C A.(0,-) B.(-0) C.(0,-3) D.(-3,0) 4.(24-25八年级下·新疆哈密期末)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是矩形，AB=4,AD=6, ABx轴，己知点A(-2,-2),则点C的坐标是 D 5.(24-25八年级下.重庆璧山·期中)如图，在平面直角坐标系中，矩形0ABC的顶点A、C的坐标分别为 (10,0),(0,3),点D为(5,0)，点P在线段BC上运动，当△0DP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 B D 题型八矩形中折叠问题（共5小题） 1.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，将矩形纸片ABCD沿直线BD折叠，使点C落在F处，BF、 AD相交于点E,AD=8Cm,AB=4cm,则DE的长度为 cm. 2.(25-26八年级下·吉林，期中)如图，矩形纸片ABCD中，AB=6,AD=18,将此矩形纸片折叠，使点D 9/18 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF,则△ABE的面积为· 3,(25-26八年级下.重庆璧山·期中)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=10,点E,F分别在边BC,AB 上，连接DF,点A和点E关于直线DF对称，点G在边BC上，连接DE,DG.将△CDG沿DG折叠，点C恰好 落在线段DE上的点H处，连接FH,则FH= H B E 4.(25-26八年级下江苏南京·期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2,BC=4,点E在边AD上，将纸片 沿BE折叠，点A落在F处，BF的延长线交AD于点G,交CD的延长线于点H.若EG=GH,则AE的长为 5,（2026山东济南·二模)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线翻折， 使点A落在点M处，点B恰好落在CD延长线上的点N处，折痕EF交BC于点F.若EF=2W13,DN=3,则BC= 题型九证明四边形是矩形（共5小题） 1,(2026江苏常州一模)己知如图，在口ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接AC,EF,相 交于点O 10/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B (1)求证：△AOE≌△COF. (2)连接AF,EC,若AB=AC,求证：四边形AFCE是矩形. 2,(25-26八年级下·上海·期中)如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AB、AC中点，连接DE并延 长到点F,使EF=DE,连接CD、CF、AF. A E B (1)求证：四边形DBCF是平行四边形； (2)求证：四边形ADCF是矩形. 3.(25-26八年级下陕西安康·期中)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，且AD=DC,DE平分LADC交 边AC于点E,DF平分LBDC交边BC于点F,∠DFC=90°. B (1)求证：四边形CEDF是矩形 (2)连接BE,若AE=1,AD=V5,求BE的长， 4.(25-26八年级下.陕西延安，期中)如图，在△ABC中，D是边AB上一点，M是边AC的中点，连接DM并延 长至点N,使得MN=DM,连接AN,CN,CD,且∠ADC=∠DCN, D B (1)求证：四边形ADCN是矩形； (2)若∠BAC=60°，BD=2AD=8,求BC的长. 11/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下.四川南充·期中)如图，△ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，DG⊥AC,EF⊥AC, 垂足分别为G,F. D B (1)求证：四边形DEFG为矩形； (2)若AB=AC=2V13,EF=3,求CF的长. 题型十添加一个条件使四边形是矩形（共5小题） 1.(25-26八年级下.甘肃平凉·期中)如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O,请你添加一个条件使 口ABCD成为矩形，这个条件可以是（写出一个即可） B 2.(25-26八年级下·黑龙江牡丹江期中)如图，连接四边形ABCD各边中点得到的四边形EFGH,在不添加 任何辅助线的情况下，请添加一个条件 ，使四边形EFGH是矩形 G 3.（25-26八年级下.北京大兴期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,在不添加辅助线的 前提下，增加一个条件，使得口ABCD是矩形.这个条件可以是 D B 4,(2026黑龙江一模)如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线BD上，且BE=DF,连接AE,EC,CF, AF.请添加一个条件 ,使四边形AECF为矩形（填一个即可）. 12/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 5,(2026黑龙江·一模)如图，将△AB0绕着点O旋转180得到△A'B0,连接AB'、A'B,请添加一个条件 ,使四边形ABA'B是矩形. B 题型十一矩形的性质与判定解答题综合（共5小题） 1.(25-26八年级下·福建厦门·期中)己知矩形ABCD的边满足AD=mAB,点E为边CD上一动点，连接AE, 将△ADE沿AE折叠至△AFE,延长AF,交矩形ABCD的边长于点G. D 图1 图2 图3 (1)当m=1时，矩形ABCD为正方形 ①如图1，若点G与点C重合，且DE=1,求CE ②如图2，连接DF,交AE于点H,连接CH,CF,若点E是CD中点，判断△CFH的形状，并说明理由； (2)如图3，点E是cD中点.求%（用含m的式子表示）。 2.(25-26八年级下·江苏常州期中)如图1，点B在线段AE上，分别以AB、BE为边，在线段AE的同侧作 矩形ABCD和矩形GBEF,AB=BG=2,BC=BE=6,将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转90°.在旋转过程 中， 13/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D D P G 图1 图2 (1)当点C落在BF上时，线段FC的长度等于_： (2)如图2，BC与GF相交于P点，当BF恰好平分LCBE时，求PF的长； (3)当矩形ABCD的对角线经过点G时，请直接写出此时△ABG的面积· 3,(25-26八年级下·上海金山·期中)已知在直角梯形ABCD中，AD II BC,∠A=90°，将△ABD沿直线BD 翻折，点A恰好落在腰CD上的点E处， (1)如图，当点E是腰CD的中点时，求证：△BCD是等边三角形； (2)延长BE交线段AD的延长线于点F,连接CF,如果CE=DF,请画出符合题意的图形，并证明四边形ABCF 是矩形， 4.(河南郑州市九校联考2026年中考二模考试数学试题)如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC 绕点A逆时针旋转α度(0°<a<90),得到△AMW,点B,C的对应点分别为点M,N,延长NM交BC于点 D M M B D B D 图1 图2 (1)请判断：在旋转过程中，BD与DM的数量关系为 (2)如图2，在旋转过程中，当AN II BCE时，连接CN,BM,延长BM交CN于点E. ①求证：NE=CE; 14/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②若△ABC两直角边的比为34，请直接写出的值 5.(2026内蒙古鄂尔多斯二模)初中几何中平移、旋转、轴对称是重要的全等变换，可以产生丰富的图 形.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4. A(D) B(EY B(E) 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，将△ABC沿AB进行折叠得到△DEF(D与A重合，E与B重合)，连接CF交DE于点G,求CF的长 度； (2)在图1基础上，将△DEF沿射线AB平移到如图2所示位置，连接AF,BF,已知DF=BF,求证：四边 形ACBF是矩形； (3)在图1基础上，将△DEF绕点B逆时针旋转a度(0<a<360),如图3，直线DF交直线AC于点M.当点 A、B、F三点共线时，请直接写出△AFM的面积. 题型十二矩形的性质与判定实践探究（共5小题） 1.（24-25八年级下四川遂宁期中)实践探索如图一，用剪刀把口ABCD剪下，放在另一张纸上，并沿口ABCD 的边，画一个四边形，记为EFGH.则四边形EFGH和口ABCD完全一样，也是平行四边形.它们的对应边、 对应角都分别相等， D (E)A D(H) E(C) H(B) (F)B FD G(A) 图 在口ABCD中连接AC、BD,它们的交点记为点O.用一枚图钉穿过点O,将口ABCD绕点O旋转180°.我们 发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中 心，由此可以得到OA=OC,OB=OD. (1)推理论证：我们可以用演绎推理证明上述探索得到的结论.已知：如图二，口ABCD的对角线AC、BD相 交于点O.求证：OA=OC,0B=0D. 15/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图二 (2)知识应用：如图三，口ABCD的周长为60cm,对角线AC、BD相交于点O,△AOB的周长比△BOC长8 cm,求线AB与BC的长. B 图三 (3)拓展延伸如图四，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,点D在BC上，以AC为对角线的所有口ADCE 中，当DE最小时，DE=-· D B 图四 2.（2026广西南宁.二模)【提出问题】 你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过 怎样的运动最后拼接成矩形的？ (1)平行四边形；(2)三角形；(3)菱形. 【动手操作】 小涵所在的学习小组对这道题进行了分工合作，小涵的任务是把一张三角形纸片剪拼得到一个矩形.她在 动手操作的过程中发现了两种不同的剪拼方法. G 图1 图2 备用图 方法一：任意剪一个△ABC,分别找到边AB,AC的中点D,E,连接DE,分别过点D,E作DF⊥BC,EG⊥BC, 垂足分别为F,G,再将△DBF和△EGC分别绕点D,E旋转180°，即可得到矩形FG(如图1). 方法二：任意剪一个△ABC,分别找到边AB,AC的中点D,E,连接DE,过点A作AH⊥DE于点H,再将△ADH 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 和△AEH分别绕点D,E旋转180°，即可得到矩形BCMN(如图2). 【探究发现】 (1)如图1，请判断DE与BC的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，小涵通过测量，发现BC=20cm,∠BAC=90°，AC=2AB. ①求△ADE的面积. ②在△AEH绕点E顺时针旋转180的过程中，点A的对应点为A',当A'E与△BDN的一边平行时，求出此时 A'N的长. 3.(2026贵州遵义，模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=V3AB,点E是BC边上的动点，连接 AE,点B关于AE的对称点为点F,连接EF,作射线CF交直线AD于点G A D 4 G D D B B E 图1 图2 备用图 【动手操作】 (1)如图(1)，若点G与点A重合时，在图1中补全图形，则线段EF与线段AB的数量关系为； 【深入探究】 (2)如图(2)，若AE IICG,探究线段EF与线段AB的数量关系，并说明理由； 【拓展探究】 (3)若点E在射线BC上运动，当E,F,D三点共线时，直接写出△ECF的面积. 4,(25-26八年级下…河北沧州阶段检测)【项目式学习】 项目主题：守护生命，“数”说安全 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要.某校为了提高学生的安全意识，开展项目式学习活 动.创新小组通过考察测量和模拟探究环节，开展地下弯道对通行车辆长度的限制研究， 外侧 内侧 外侧！ 内侧 外侧 内侧 B(E) B(E D D 图1 图2 图3 任务一：考察测量 17/18 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为4m,求AB的长； 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过， (2)创新小组用线段模拟汽车通过宽度相同的直角弯道，探究发现： ①当CD<2AB时（如图1），线段CD能通过直角弯道； ②当CD=2AB时，必然存在线段CD的中点E与点B重合的情况，线段CD恰好不能通过直角弯道（如图 2).此时，∠ADC的度数是； ③当CD>2AB时，线段CD不能通过直角弯道， (3)如图3，创新小组用矩形PQMW模拟汽车通过宽均为4m的直角弯道，发现当PQ的中点E与点B重合，且 PQ⊥AB时，矩形PQMN恰好不能通过该弯道，若PQ=am,PN=2m,且矩形PQMW能通过该直角弯道， 求a的最大整数值.（参考数据：V2≈1.414） 5.(25-26八年级下·江西上饶期中)探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探 究. B 图1 图2 图3 【初步感知】 (1)如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=16,将LA沿DE折叠，使点A与点B重合，折痕和AC交于 点E,EC=6,BC=-; 【深入探究】 (2)如图2，将长方形纸片ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点C'处，BC交AD于点E,若AB=5, BC=10,求AE的长； 【拓展延伸】 (3)如图3，在长方形纸片ABCD中，AB=10,BC=16,点E为射线AD上一个动点，把△ABE沿直线BE折 叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，直接写出AE的长， 18/18