专题10 平行四边形的性质与判定常考题型17题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦平行四边形性质与判定，以17类分层题型构建从基础计算到综合应用的训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|45题（题型1-9）|含角度/线段/面积计算、最值、证明等|从边/角/对角线性质出发，层层递进至性质与尺规作图、平行线距离综合应用| |判定应用|30题（题型10-15）|涵盖判定证明、条件添加、中位线等|以判定定理为核心，结合坐标几何、中点模型，形成判定方法的多情境迁移| |综合拓展|10题（题型16-17）|动点问题与综合解答题|整合性质与判定，渗透分类讨论思想，培养复杂问题的模型构建能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10平行四边形的性质与判定常考题型 题型归纳·内容导航 题型1平行四边形的性质求角度（常考） 题型10证明四边形是平行四边形（高频） 题型2平行四边形的性质求线段长度（常考） 题型11判断能否构成平行四边形（重点） 题型12添加一个条件使得成为平行四边形（常 题型3平行四边形的性质求面积（常考） 考) 题型4平行四边形的性质中最值问题（难点） 题型13求与已知三点组成的平行四边形点 题型5利用平行四边形的性质证明（重点） 题型14与中位线有关的求解问题（常考） 题型6平行四边形的性质与尺规作图（重点） 题型15与中位线有关的证明（常考） 题型7四边形的不稳定性 题型16平行四边形中动点问题（压轴） 题型8求平行线之间的距离 题型17平行四边形解答题综合（压轴） 题型9利用平行线间的距离应用（常考） 题型通关·靶向提分 题型一平行四边形的性质求角度（共5小题） 1.(25-26八年级下.上海青浦期中)在平行四边形ABCD中，∠A:∠B=2:3,则∠C的度数为() A.36° B.54° C.72° D.108° 2.(24-25八年级下.四川遂宁，期中)平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大15°，则相邻的两个内角 为() A.30°，75° B.40°，95° C.55°，125 D.50°，115° 3.(25-26八年级下·河南南阳阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，DB=CD,∠C=80°， AE⊥BD,垂足为E.则∠BAE的度数是() A.50 B.55° C.60° D.70° 4.(25-26八年级下.山西大同·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E.若 ∠C=70°，则∠AEB的度数为() 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.45° B.35° C.25° D.20° 5.(25-26八年级下.福建泉州期中)如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE 折叠至△ADE处，AD与CE交于点R,若∠B=52'∠DAE=20:则∠FED的大小为（) A A.26° B.360 C.46° D.56° 题型二平行四边形的性质求线段长度（共5小题） 1.(25-26八年级下.福建南平期中)如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交 BC于点F.若平行四边形ABCD的周长为10，OE=1.5,则四边形EFCD的周长为() A.6 B.7 C.8 D.9 2.(2026四川成都.二模)已知在口ABCD中，E是AD上一点，△CDE的周长是口ABCD周长的一半， 且AB=7,BC=8,DE=2,则CE的长为() A.8 B.7 C.5 D.6 3.(25-26八年级下.甘肃张掖，期中)如图，在口ABCD中，AB=6,AD=8,将△ACD沿对角线AC折 叠得到△ACE,AE与BC交于点F,当F恰好为BC的中点时，AC的长为(). 2/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.6 B.2V7 C.8 D.10 4.(25-26八年级下山东济宁期中)如图，在口ABCD中，点E,F在边AD上，CE平分∠BCD,BF 平分∠ABC.若AD=12,EF=4,则CD长为() E A.8 B.10 C.12 D.16 5.(25-26八年级下，广东惠州期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O作 OE⊥AC交AD于E,若AE=4,DE=3,AB=5,则AC的长为() ⊙ D A.49V5 B.43 C.8 D.4V2 题型三平行四边形的性质求面积（共5小题） 1.(2026浙江绍兴.一模)如图，在平行四边形ABCD中，AB=2V2,BC=4,∠B=45°，点E在边 BC上，D是线段FG的中点，若AG‖EF,则四边形AEFG的面积为() G E C A.6 B.7 C.8 D.9 2.(25-26八年级下.陕西西安期中)如图，在口ABCD中，点E为BC延长线上一点，连接AE、DE. 3/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若口ABCD的面积为6，则△ADE的面积为() B A.3 B.4 C.5 D.6 3.(25-26八年级下.海南海口·期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线 EF交AB于点E,交CD于点F,且BE=AB,若S。AD=16,则阴影部分面积是 D B 4.(25-26八年级下·吉林长春期中)如图，口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E为边AD上任 意一点，若△AOB的面积为6，则△BCE的面积为 5.(25-26八年级下·江苏扬州期中)如图，口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,EF过点O,交 AD于点F,交BC于点E.若AB=5,AC=12,AD=13,则图中阴影部分的面积是 D 题型四平行四边形的性质中最值问题（共5小题） 1.(25-26八年级下.江苏徐州期中)如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，BC=3,AC=4,E为斜 边AB上的一动点，以EA,EC为边作口ADCE,则线段ED的最小值为 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.（25-26八年级下·陕西西安期中)如图有一条直角弯道河流，河宽为2，A、B两地到河岸边的距离均 为1，即AH=BF=1,HD=7,FD=9,现欲在河道上架两座桥MN、PQ,使 AM+MN+NP+PQ+QB最小，则最小值为 3.(25-26八年级下·江苏镇江期中)如图，在△ABC中，AB=BC=13,AC=10,D是BC边上任意一 点，连接AD,以AD、CD为邻边作口ADCE,连接DE,则DE长的最小值为· D 4.(25-26八年级下.江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6,AC=8,点D是 三角形内一点且CD=2,连接AD,BD,以AD,BD为邻边作口ADBE,则口ADBE面积的最小值为 E 5.(25-26八年级下.北京期中)如图，△ABC中，AB=AC=8,BC=4,D为AB边上一动点，E为平 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面内一点，则以点B、C、D、E为顶点的平行四边形有 个，DE的最小值为 D B 题型五利用平行四边形的性质证明（共5小题） 1.(25-26八年级下.海南省直辖县级单位期中)如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点O, AC⊥AD,EF经过点O且与AB,CD相交于点E,F. A D E 0 B )∠BAD=140,求平行四边形其他各个内角的度数。 (2)若AB-BC=3cm,周长为26cm,求各边的长； (3)求证：OE=OF: (4)若AB=10,AD=8,求口ABCD的面积. 2.(25-26八年级下.海南海口期中)如图，在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O分别与 CD,AB交于E,F,AB=7,AD=5,OF=2. D E 0 B (1)求证：OE=OF: (2)求四边形BCEF的周长 3.(25-26八年级下.甘肃天水期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,过点O 任意作直线分别交AB,CD于点E,F 6/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：△BEO≌△DFO; (2)若CD=10,AD=8,OE=3,求四边形BEFC的周长. 4.(25-26八年级下·湖南娄底期中)如图，口ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形， (1)求证：AE=CF. (2)若DE⊥AB,∠DAB=60°，AD=6,AB=8,求口ABCD的面积. 5.(25-26八年级下湖南长沙期中)如图，在口ABCD中，E为AD的中点，延长BE,CD交于点F,连 接AF,BD B E (1)求证：AB=DF; (2)若BF=BC,CD=6,BD=8,求AD的长. 题型六平行四边形的性质与尺规作图（共5小题） 1.（2026山西运城.一模)如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB, A D B (1)实践与操作：利用尺规作BC边的垂直平分线，交边AD于点E,交边BC于点F(要求：尺规作图并保 留作图痕迹，不写作法，标明字母)： (2)猜想与证明：在(1)的条件下，连接AF,若∠EAF=60°，试猜想线段AF与CD的数量关系，并加 7/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 以证明. 2. (2026浙江台州二模)点E是口ABCD的边AB的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操 作： 图1 图2 操作与证明 (1)如图1，连接对角线AC,BD,交于点O,连接EO并延长，交边CD于点F,求证：点F是CD的中点. 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的口ABCD中作出边BC的中点G.(不写作法，保留作图痕迹) 3.(25-26八年级下.山西临汾期中)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O. B (1)尺规作图：过点O作AC的垂线，分别与AD,BC交于点E,F(不写作法，保留作图痕迹，标明字母). (2)在(1)的条件下，判断AE与CF的数量关系，并说明理由 4.(2026广西南宁.二模)如图，口ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OD的中点，连接CE. D (1)尺规作图：作BO的中点F;(不写作法，保留作图痕迹) (2)连接AF,证明：AF=CE 5.(25-26九年级上广西南宁阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD交BD于E. E 8/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)尺规作图：过点C作CF⊥BD交BD于F(保留作图痕迹，不写作法)： (2)在（1)的条件下，求证：AE=CF 题型七四边形的不稳定性（共5小题） 1.（25-26八年级下·上海期中)如图所示的伸缩门，其原理是() A.两点之间线段最短 B.两点确定一条直线 C.三角形的稳定性 D.四边形的不稳定性 2.（25-26八年级下·广西南宁期中)以下生活现象利用四边形的不稳定性的是() 3.(25-26八年级下.福建福州期中)下列物体应用了四边形的不稳定性的是() A.木质梯子 B.学校门口的伸缩门 C.矩形门框 D.正方形地砖 4.(25-26八年级下.四川绵阳期中)如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了() A.四边形不具有稳定性 B.三角形的稳定性 C.四边形可以变成三角形 D.四边形的对称性 5.（2526八年级下·上海·期中)伸缩晾衣架的设计原理主要利用了图形的哪种性质（) 9/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.两点之间线段最短 D.两点确定一条直线 题型八求平行线之间的距离（共5小题） 1.(2026八年级下.全国.专题练习)已知直线a,b,c在同一平面内，且a‖b‖c,a与b之间的距离为 4cm,b与c之间的距离为1cm,则a与c之间的距离是() A.3cm B.5cm C.3cm或5cm D.以上都不对 2.(25-26八年级上江苏南通期中)如图，BD平分∠ABC,交边AC于点D,AE⊥BD,垂足为点 E,AF‖BC,∠AFB=90°.若AB=5,BF=4,则△ABE的面积为() E A.4 B.5 C.6 D.10 3.(24-25八年级下.广西南宁阶段检测)如图，在平行四边形ABCD中，AB=3,BC=4,过点A作 AE⊥BC,垂足为E,AE=2,则AB与CD之间的距离为() E 4.8 B.6 C.V7 0. 3 4。（2526八年级下山西大同期中)如图，己知直线，：BC=3cm'SA=3cm2,则△A,BC的 高是cm. A B 5.(24-25八年级下.浙江金华.阶段检测)如图，ABCD,O为∠BAC,∠ACD平分线的交点， OE⊥AC交AC于E,且OE=3,则AB与CD之间的距离等于一· 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 题型九利用平行线间的距离应用（共5小题） 1.(25-26八年级下陕西榆林期中)如图，已知直线ab,△ABC和△BCD的顶点A、D在直线a上， 顶点B、C在直线b上，则△ABC和△BCD的面积关系为() A.S△ABc>SABCDB.S△ABC<SABCD C.SAABC=S△BCDI D.无法确定 2.(25-26八年级下河南南阳阶段检测)如图，已知直线112，点C1在直线l1上，并且C1A112,A为 垂足，C2,C3是直线l1上任意两点，点B在直线l2上.设△ABC1的面积为S1,△ABC2的面积为S2, △ABC,的面积为S,则S,'S,'s,的大小关系是（) C C, 11 B 12 A.S1=S2=S3B.S3>S2>S1 c.S2>S3>S1 D.S2>S1>S3 3.(24-25八年级上·重庆周测)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A,B,C的坐标分别为 |0,-4,|5,-4,3,0,点P在四边形OABC内部，且S△PoC=S△AB,S△PoA=S△Pc,则点P的坐标为 4.(25-26八年级上海南儋州期末)如图，已知△ABC中，点D是BC上且离点C较近的一个点，连 11/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接AD,点E是BC的中点，连接AE,过点E作EFAD交AB于点F,连接DF,若△ABE面 积等于4，则△ABC的面积为 ,四边形AFDC的面积为 D 5.(25-26八年级上·北京期中)小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA 与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她. 若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8m和2.2m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时， 小丽距离地面的高度是 m D T777777777777777777777T 题型十证明四边形是平行四边形（共5小题） 1.(25-26八年级下.江苏泰州期中)如图，四边形ABCD中，AD=BC,CA⊥AB,CA⊥CD,对角线 AC与BD交于点O,AC=4. D B (1)求证：四边形ABCD是平行四边形： (2)若△ABO的周长为8，求线段AB的长 2.(25-26八年级下·海南省直辖县级单位期中)如图，在四边形ABCD中，ABCD,对角线AC,与 BD相交于点O,BM⊥AC于点M,DN⊥AC于点N,且AM=CN. 12/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：①△AMB≌△CND;②四边形ABCD是平行四边形. (2)若BA=BO=10,DN=8,求AC的长， 3.(25-26八年级下·浙江金华期中)如图，在口ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与 DC的延长线交于F. B (1)求证：四边形ABFC是平行四边形： (2)若AF平分∠BAD,∠D=60°，AD=8,求口ABCD的周长. 4.(25-26八年级下，辽宁鞍山期中)如图，在平行四边形ABCD中，E是AB边上的一点，点F,点G分 别在AB,CB延长线上，DE=DA=CF,连接CE,AG. D G B (1)求证：四边形EFCD是平行四边形： ②连接EG,若&LEC,∠DEC=∠AGB,求证：BE=GC 5.(25-26八年级下.江苏无锡期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,若 AB‖CD,BO=DO 13/25 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)若AB=8,AC=12,AC⊥AB,求BD的长. 题型十一判断能否构成平行四边形（共5小题） 1.(25-26八年级下.上海青浦·期中)已知四边形ABCD中，AC、BD交于点O,下列条件不能推导出四 边形ABCD是平行四边形的是() A.ADBC且AB‖CD B.AD‖BC且AB=CD C.∠DAB=∠DCB且∠ABC=∠ADCD.AD‖BC且OB=OD 2.(25-26八年级下.福建龙岩·期中)在四边形ABCD中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形 的是() A.AB‖CD,BC=AD B.AB=CD,AB‖CD C.AB‖CD,∠DAB=∠DCB D.AB=CD,AD=BC 3.(25-26八年级下，辽宁鞍山期中)在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.下列条件中，不 能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.AB=CD,AD=BC B.OA=OC,OB=OD C.AB‖CD,ADBC D.ABCD,AD=BC 4.(19-20八年级下·广东湛江期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O,下列条件 不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() B A.AB DC,AD BC B.AB=DC,AD=BC C.AB‖DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD 5.(25-26八年级下.河南开封期中)如图，四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,下列条件不 能判定这个四边形是平行四边形的是() 14/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB=BC,AD=CD B.AB=CD,∠BAC=∠ACD C.AO=CO,BO=DO D.∠ABD=∠BDC,∠ACB=∠CAD 6.(25-26八年级下·吉林长春期中)已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OB=OD,若从 下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形ABCD是平行四边形的是() B A.∠ABD=∠BDC B.OA=OC C.AD‖BCD.AD=BC 题型土二添加一个条件使得成为平行四边形（共5小题） 1.(25-26八年级下.北京期中)如图，B,D是口AECF对角线EF双向延长线上的两点，请你添加一个 适当的条件： 使四边形ABCD是平行四边形， D》 2.(25-26八年级下，北京顺义，期中)如图，E,F是口ABCD对角线AC上的两点，请你加一个适当的条 件： 使四边形BEDF是平行四边形.（只需填一个你认为正确的条件即可） E 3.(25-26九年级下·黑龙江牡丹江阶段检测)如图，已知∠A=∠E=90°，A,C,F,E在一条直线 上，AF=EC,请添加一个条件，使四边形BCDF是平行四边形. 15/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 4.(24-25八年级下.山东临沂阶段检测)如图，口ABCD中，E,F分别是边BC,AD上的点，有下列 条件：①AE‖CF;②BE=FD;③∠1=∠2；④AE=CF.若要添加其中一个条件，使四边形 AECF一定是平行四边形，则添加的条件可以是 D 题型土三求与已知三点组成的平行四边形点（共5小题） 1.（25-26八年级下.山东临沂期中)平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别 0,0,3,0,1,3,则第四个顶点的坐标可能是· 2.(25-26八年级下江西赣州期中)在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别是(-1,2)，（2,1)， (3,3),点D是平面内一点，若以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 3.(25-26八年级下·上海·期中)在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是A1,2, B4,3,C2,5,则平行四边形第四个顶点D的坐标一 4.(24-25八年级下.湖北十堰期中)在平面直角坐标系中，已知点A-1,0、B2,2、C0,3,在坐标 平面内找一点D,使得以A,B,C,D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标 5.(21-22八年级下辽宁葫芦岛阶段检测)已知平面直角坐标系中A-3,0、B-2,-1、C3,0,若 以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为 题型土四与中位线有关的求解问题（共5小题） 1.(2026内蒙古通辽三模)如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的中点，AC=2BC=4, BE=3,CF‖BE交DE的延长线于点F,连接AF,则AF的长为() 16/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A.7 B.5 c.V13 D.6 2.(25-26八年级下，黑龙江哈尔滨期中)如图，在平行四边形ABCD中，AD=8,点E为AD上一点， 连接BE,CE,点M,N分别是BE,CE的中点，连接MN,则MN的长为() D M A.4 B.5 C.6 D.不确定 3.(25-26八年级下·天津滨海新区期中)如图，口ABCD的周长为36，对角线AC,BD相交于点O,点 E是CD的中点，BD=12,则△DOE的周长为()· A D A.14 B.15 C.16 D.17 4.（25-26八年级下.陕西西安阶段检测)如图，△ABC中，N是边BC上一点，连接AN,D,E分别是 AN,AC的中点，连接BD,BD⊥AN,AB=6,BC=8,则DE=() D B A.2 C.1 5.(24-25八年级下.广东广州期中)如图，在四边形ABCD中，E,F分别为AD,BC的中点， ∠ABD=30°，∠BDC=120°，AB=CD=2,则EF的长为() 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E D B C A.2 B.3 5 C.2 D. 2 题型土五与中位线有送的证明（共5小题） 1.(25-26八年级下.山东菏泽-阶段检测)如图所示，已知E为口ABCD中DC边延长线上一点，且 CE=DC,连接AE,分别交BC,BD于点F,G,连接AC交BD于O,连接OF.求证： D E (M△ABF≌△ECF (2)AB=2OF 2.(25-26八年级下.陕西西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D,E分别是AB和AC的中 点，点F在CB的延长线上，且CF=3BF,连接BE,DE,DF B (1)求证：BE=DF: (2)若AC=10,AB=8,求四边形BEDF的周长. 3.(25-26八年级下江苏无锡期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，且 AC=3AD,连接BD,E、F分别为BC,BD的中点，连接AF,EF,DE. 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)求证：四边形ADEF是平行四边形： (2)若CD=DE,AB=15,求EF的长. 4.(25-26八年级下.广东深圳期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，E,F分别是BC,AC的中 点，延长BA到点D,使AD=号AB.连接DF,AE,EF. B (1)求证：四边形ADFE是平行四边形： (2)若BC=4,求DF的长. 5.(2026北京大兴.一模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为线段AB上一点，连接 CD,∠BCD=a0°<a<45,将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,AE,点F是BE 中点，连接DF」 D (1)连接CE,求∠ACE的度数（用含a的式子表示）； (2)用等式表示DF与AE的数量关系，并证明. 题型土六平行四边形中动点问题（共5小题） 1.（25-26八年级下·吉林长春.期中)如图，在口ABCD中，AB=12,AD=10,DE垂直平分AB于点E. 点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点C出发沿射线CD以每秒 19/25 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3个单位长度的速度运动，点P到达终点时，P、Q同时停止运动.设点P运动的时间为t秒t>0). DE的长为 (2)用含t的代数式表示线段DQ的长，并写出t的取值范围 (3)当以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值. (4)当△PDQ为钝角三角形时，直接写出t的取值范围. 2.(25-26八年级下，云南昭通阶段检测)如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, AB⊥AC,AB=6cm,BC=10cm,点F从点A出发，沿AD方向以每秒2cm的速度向终点D运动，连 接FO并延长，交BC于点G.设点F的运动时间为tS. (1)求BG的长度（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，四边形ABGF是平行四边形： ③)当t=6时，点0是否在线段AF的垂直平分线上？请说明理 3.（25-26八年级下·上海奉贤·期中)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，点O是 原点，点A的坐标是(-16,0)，线段BC交y轴于点D0,8,CD=6.动点P从点O出发，沿射线OA的方 向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向点B运动，当点Q运动到 点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t秒， B (1)用含t的代数式表示：BQ= 20/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)当以P,Q,A,B为顶点的四边形是平行四边形时，则t的值是 (3)当△BQP是等腰三角形时，求t的值， 4.(25-26八年级下广东珠海期中)如图，在平面直角坐标系中，AB‖OC,A0,12,Ba,c,Cb,0, 并且a,b满足b=a-21+V21-a+16.动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度 向点B运动：动点Q从点C出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点 A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动.设运动时间为t（秒) B (1)求B、C两点的坐标： (2)当t为何值时，PQ=CB？并求出此时P、Q两点的坐标， 5.(25-26八年级下.四川德阳，期中)如图，在△ABC中，AB=AC=20cm,BC=8V5cm,其中BD 是AC边上的高，点G从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为3Cm/s.同时点E由点B出发，沿BA方 向匀速运动，速度为1cm/s,过点E的直线EF‖AC,交BC于点F,连接EG,设运动时间为 ts0<t<5. (1)线段BE= cm,AG= cm(用含t的代数式表示)： (2)求AD的长： (3)当t为何值时，以E,F,D,G为顶点的四边形是平行四边形？ 题型十七平行四边形解答题综合（共5小题） 1.(25-26七年级下·陕西西安期中)【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三 个等角的度数为90°.当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形 【问题解决】 21/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC过点A作AD⊥DE于点D,过点B作 BE⊥DE于点E,则线段AD,BE与DE之间的数量关系是 4 E 图1 【方法应用】 (2)如图2，直角△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，过点A作AD⊥直线m于点D,CD=2,点E是直 线m上一点，且CE=8,求△BCE的面积. A B m D 图2 【拓展迁移】 (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,BC=10,SAABC=30,以AC为边向右侧作等腰直角△ACD,连接 BD,求△BCD的面积. 图3 备用图 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角 形具有特殊性质.在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍 角三角形.小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明. 在BC上取一点E,使BD=DE,连接AE, .BD=DE,AD⊥BC,∴.AB=AE,∴.∠B=∠AED, .∠B=2∠C,∴.∠AED=2∠C,∴.∠EAC=∠C, 22/25 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 '.AE=EC=AB,∴.AB+BD=CE+DE=CD,即AB+BD=CD B D B D 请根据小德发现的规律，解决下列问题： D E D B 图1 图2 图3 (1)如图1，已知：在△ABC中，AD⊥BC,∠B=2∠C,AB=5,BD=3,AC= (2)如图2，己知：在△ABC中，AD⊥BC,∠B=2∠C,E为BC的中点，若DE=3,求AB的长 (3)如图3，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,DH⊥AC于点H,DP⊥AD交AC于 点P,∠DCA=2∠ACB,OH=8,CP=4,求△ABD的面积. 3.(2526七年级下浙江绍兴期中)如图1，己知直线EFGH,且EF和HD之间的距离为1，小李同 学制作了一个直角三角形硬纸板ACB,其中∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=1.小李利用这块三角 板进行了如下的操作探究： 图1 图2 图3 (1)如图1，若点C在直线EF上，且∠ACE=15°，求∠1的度数： (2)若点A在直线EF上，点C在EF和GH之间，边BC、AB与直线GH分别交于点D和点K, ①如图2，KO平分∠BKD,DO平分∠BDK,KO与DO交于点O.在△ABC绕着点A旋转的过程中， ∠KOD的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出∠KOD的度数；如果发生变化，请说明理由： 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②如图3，在△ABC绕着点A旋转的过程中，设∠EAK=n°，∠CDK=3m-2n+15°，求m的最大值 和最小值 4.(25-26八年级下.山东青岛期中)如图1，已知直线a‖b,直线a,b的距离为h,则三角形ABC的面 积为SaAc=5×ABxh. D D B B 图1 图2 C D S 图3 图4 (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D,则S△BoD= (2)【深化拓展】如图3，记S△A0c=S1、SABOD=S2、SACOD=S3、SABOA=S4,根据图形特征，试证明： S1×S2=S3×S4; (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E是线段AD上的一点，BE与AC相交于点O,已知 SAABE=10:且EO:EB=2:5'则四边形CDEO的面积为 5.(25-26八年级下.重庆开州期中)在平行四边形ABCD中，AD=BD 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=8,AB=6,求四边形ABCD的面积； (2)如图2，若∠DAB=45°，点E为CD边上一点，连接BE.点F为BE上一点，连接AF交BD于点G, 连接GE,若点H为AB边的中点，连接HF,且∠AGD=∠EGD.求证：AD=2HF: (3)如图3，已知AD=2,∠A=45°，点P与点Q分别为线段AD与AB上的动点，满足AP=BQ,连接 DQ,BP,直接写出DQ+BP的最小值 24/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25/25 专题10 平行四边形的性质与判定常考题型 题型1 平行四边形的性质求角度（常考） 题型10 证明四边形是平行四边形（高频） 题型2 平行四边形的性质求线段长度（常考） 题型11 判断能否构成平行四边形（重点） 题型3 平行四边形的性质求面积（常考） 题型12 添加一个条件使得成为平行四边形（常考） 题型4平行四边形的性质中最值问题（难点） 题型13 求与已知三点组成的平行四边形点 题型5 利用平行四边形的性质证明（重点） 题型14与中位线有关的求解问题（常考） 题型6 平行四边形的性质与尺规作图（重点） 题型15 与中位线有关的证明（常考） 题型7 四边形的不稳定性 题型16 平行四边形中动点问题（压轴） 题型8 求平行线之间的距离 题型17 平行四边形解答题综合（压轴） 题型9 利用平行线间的距离应用（常考） 题型一 平行四边形的性质求角度（共5小题） 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平行四边形中，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，结合已知角度比例即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，平行四边形邻角互补， ∴， 又∵平行四边形对角相等， ∴． ∵， 设，， ∴， 解得， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）平行四边形的一个角比它的邻角的2倍还大，则相邻的两个内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行四边形邻角互补的性质，设未知数列出一元一次方程，即可求解出两个内角的度数． 【详解】解：∵平行四边形邻角互补， ∴相邻两个内角和为， 设较小的内角为，则根据题意得较大内角为，列方程得：， 解得， ∴较大内角为， 即相邻两个内角为． 3．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，，垂足为．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出， 根据平行四边形的性质得出，根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·福建泉州·期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，则可得，，再根据折叠的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴． 题型二 平行四边形的性质求线段长度（共5小题） 1．（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法解题，求得的长，证明即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，周长为10， 在与中 ， 则的周长 ． 2．（2026·四川成都·二模）已知在中，是上一点，的周长是周长的一半，且，则的长为（   ） A．8 B．7 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，的周长为，周长为，根据的周长是周长的一半可以得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 根据题意可得，的周长为，周长为， 根据的周长是周长的一半可得， 可得， 又∵， ∴． 3．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）如图，在中，，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，当F恰好为的中点时，的长为（   ）． A．6 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】在中，推出，，由三角形内角和为推出，从而求出的长． 【详解】解：在中，，， ，，， ， 由折叠得，，，， ， ， F恰好为的中点， ， ， ， 在中，， ，即， ． 4．（25-26八年级下·山东济宁·期中）如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，过点O作交于E，若，，，则的长为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】先得出垂直平分，则，根据勾股逆定理得出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 题型三 平行四边形的性质求面积（共5小题） 1．（2026·浙江绍兴·一模）如图，在平行四边形中，，，，点E在边上，D是线段的中点，若，则四边形的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N，根据平行四边形的性质可得，再证明，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点H，过点A作于点M，过点E作于点N， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵D是线段的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 即． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，点E为延长线上一点，连接、．若的面积为6，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】设与之间的距离为，由，根据的面积为6，可推导出，进而解答即可． 【详解】解：设与之间的距离为， ， . 3．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，在中，对角线，相交于点，过点的直线交于点，交于点，且，若，则阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】先证，得，所以，又因为，所以，再根据平行四边形性质得，所以，把代入即可求解． 【详解】解： ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 4．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，中，对角线相交于点，为边上任意一点，若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，进而求出的面积，再根据平行四边形对边平行可得与同底等高，从而得出的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴点到的距离等于点到的距离， 与同底等高， ． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】15 【分析】利用平行四边形的性质得出，利用勾股定理的逆定理得出直角三角形，证明，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型四 平行四边形的性质中最值问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，为斜边上的一动点，以，为边作，则线段的最小值为__________． 【答案】 【分析】过点作于，在中，由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由垂线段最短可得当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， 在中，，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当时，有最小值， 此时，． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图有一条直角弯道河流，河宽为2，、两地到河岸边的距离均为1，即，，，现欲在河道上架两座桥、，使最小，则最小值为________． 【答案】14 【分析】延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，，此时的值最小即为的最小值． 【详解】解：∵河宽为2， ∴， 延长到，使得，延长到，使得，连接交河道于点，，得到两座桥，， ∴，，，， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴，， ∴， 由两点之间线段最短可知：当四点共线时，的值最小，即两座桥架在，的位置， ∴的值最小为， 延长交的延长线于点， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为． 3．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，在中，，，是边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【分析】设交于点，过点作于点，由勾股定理求得的长，再根据等面积法求得的长，根据垂线段最短，可知当点与点重合时，最小，进而求得的最小值． 【详解】解：如图，设相交于点，过点作于点， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理， ， ， ∵, ∴当点与点重合时，最小，此时， 的最小值为． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为___． 【答案】28 【分析】先将平行四边形的面积转化为两倍的面积，问题随之转化为求面积的最小值；再根据，确定点D的轨迹是以C为圆心、半径为2的圆；接着在中用勾股定理算出的长，再通过面积法求出点C到的高；根据垂线段最短，点D到的最短距离为该高减去圆的半径；最后将最短距离代入，即可算出平行四边形面积的最小值． 【详解】解：如图，过点C作，以C为圆心，2为半径画一段弧分别交于G，交于H， 设h是的边上的高． 由勾股定理得， 是边上的高， ， ， 以，为边， ， 当h最小时，四边形面积最小． 由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C，D，F三点共线， ， ． 5．（25-26八年级下·北京·期中）如图，中，，，为边上一动点，为平面内一点，则以点、、、为顶点的平行四边形有______个，的最小值为______． 【答案】 3 【分析】①根据平行四边形的判定可得结论；②以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小，设、相交于O，则，利用等腰三角形的性质和勾股定理求得，再利用三角形的面积相等可求得的最小值． 【详解】解：如图， 以为边的平行四边形为，，此时， 以为对角线的平行四边形为，此时，故当时，最小，即最小， 如图，设、相交于O，则， ∵，， ∴，， ∴， 由得， ∵， ∴的最小值为， 故以点、、、为顶点的平行四边形有3个，的最小值为． 题型五 利用平行四边形的性质证明（共5小题） 1．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与相交于点． (1)，求平行四边形其他各个内角的度数． (2)若，周长为，求各边的长； (3)求证：； (4)若，求的面积． 【答案】(1)；； (2) (3)见解析 (4)48 【分析】（1）根据平行四边形的对角相等，邻角互补的性质求解即可． （2）根据题意，再结合即可得答案； （3）证明即可； （4）根据勾股定理，求得，结合的面积等于求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （2）解：∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， 又， ∴， 故平行四边形的各边长为：； （3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． （4）解：∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为：． 2．（25-26八年级下·海南海口·期中）如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为16 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，推出，根据可证明，从而得出结论； （2）根据四边形的周长等于解答即可． 【详解】（1）证明：如图， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴，， ∴，， 在中，，， 四边形BCEF的周长 ． 3．（25-26八年级下·甘肃天水·期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点O任意作直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，即要根据证明； （2）由全等三角形的性质得，，则，，再根据四边形的周长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为24． 4．（25-26八年级下·湖南娄底·期中）如图，中，在上，四边形是平行四边形， (1)求证：． (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，由平行四边形的性质得出，即可得出结论； （2）设交于点，由直角三角形性质，根据长可求出的长度，再由平行四边形面积公式即可求出结果． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，交于点， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ， ； （2）解：∵， ∴设交于点， 在中，，， ， ，， ． 5．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由平行四边形的性质得，则由平行线的性质得，证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论； （2）由、得出，再由，根据等腰三角形三线合一的性质得，即可由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 又， ， 又， ， ， ． 题型六 平行四边形的性质与尺规作图（共5小题） 1．（2026·山西运城·一模）如图，在平行四边形中，． (1)实践与操作：利用尺规作边的垂直平分线，交边于点，交边于点（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)猜想与证明：在（1）的条件下，连接，若，试猜想线段与的数量关系，并加以证明. 【答案】(1)图见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的定义可推得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，根据等边三角形的判定和性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：如图：垂直平分． （2）解：，证明如下： 连接，如图： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故是等边三角形， ∴， ∴． 2．（2026·浙江台州·二模）点是的边的中点，请你利用无刻度的直尺，完成以下探究与操作： 操作与证明 (1)如图1，连接对角线，，交于点，连接并延长，交边于点，求证：点是的中点． 拓展与探究 (2)请尝试用无刻度的直尺，在图2的中作出边的中点．（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据平行四边形的性质，及三角形全等，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质以及三角形三条中线交于一点（重心），即可证明结论． 【详解】（1）四边形是， ，，， 点是边的中点， ， ， ， 在和中，，， ， ，， ． ∴点是的中点． （2）连接对角线，，交于点，连接，交于点H，连接并延长交于点G． 四边形是， ，即是的中线， 点是边的中点， ∴也是的中线， 、的交点H是的重心， ∴也是的中线， 即点是边的中点． 3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）如图，的对角线与相交于点O． (1)尺规作图：过点O作的垂线，分别与交于点E，F（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (2)在（1）的条件下，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【分析】（1）分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作直线分别与交于点E，F，即可； （2）证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    理由：如图，连接， 由作法得：， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴． ∴． 4．（2026·广西南宁·二模）如图，的对角线相交于点，点是的中点，连接． (1)尺规作图：作的中点；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，证明：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分别以点B，O为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线交于点F，则点F即为所求作； （2）先根据平行四边形的对角线互相平分得出，即可得出，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所求作； （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）如图，在平行四边形中，交于． (1)尺规作图：过点作交于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，作垂线，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干要求，以点C为圆心，以适当长度为半径画弧交于于，再以点为圆心，以大于为半径画弧交于一点Q，再连接，此时与的交点为点，即可作答． （2）先根据平行四边形的性质得，，再运用证明，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ． 由（1）得， ， ． 在与中， ． ∴， 题型七 四边形的不稳定性（共5小题） 1．（25-26八年级下·上海·期中）如图所示的伸缩门，其原理是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．四边形的不稳定性 【答案】D 【分析】观察伸缩门的结构，发现其由许多四边形组成，利用四边形的不稳定性使其能够自由伸缩； 【详解】解：∵伸缩门是由许多四边形组成的结构， ∴利用的是四边形的不稳定性，使其能够自由伸缩． 2．（25-26八年级下·广西南宁·期中）以下生活现象利用四边形的不稳定性的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、木窗框与对角钉的木条形成的三角形，三边和三角固定，防止安装变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； B、活动梯子，张开的梯腿与地面形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意； C、伸缩门的结构是平行四边形，四角活动可以变形开关门，是利用四边形的不稳定性，符合题意； D、使用梯子的过程中，墙壁、地面和梯子形成三角形，三边和三角固定，防止登上梯子变形，是利用三角形的稳定性，不符合题意． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）下列物体应用了四边形的不稳定性的是（   ） A．木质梯子 B．学校门口的伸缩门 C．矩形门框 D．正方形地砖 【答案】B 【详解】解：四边形的不稳定性是指四边形边长固定时形状容易改变，只有需要灵活改变形状的场景才会利用该性质． A选项木质梯子需要保持固定形状保障安全，利用的是结构稳定性，不符合要求； B选项学校门口的伸缩门需要改变形状实现伸缩开合，正是利用了四边形的不稳定性，符合要求； C选项矩形门框和D选项正方形地砖都需要保持固定形状，不符合要求． 4．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）如图，拉一拉，你发现了它们有什么变化吗？这说明了（   ） A．四边形不具有稳定性 B．三角形的稳定性 C．四边形可以变成三角形 D．四边形的对称性 【答案】A 【详解】解：由题意，说明了四边形不具有稳定性. 5．（25-26八年级下·上海·期中）伸缩晾衣架的设计原理主要利用了图形的哪种性质（   ） A．三角形的稳定性 B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】根据四边形的不稳定性，可得答案． 【详解】解：伸缩晾衣架的设计原理主要利用了四边形的不稳定性． 题型八 求平行线之间的距离（共5小题） 1．（2026八年级下·全国·专题练习）已知直线，，在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】分两种情况讨论直线c的位置，结合平行线间距离的定义计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 当直线c在直线a和直线b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 当a与c分别在b的两侧时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为； 综上，a与c之间的距离为或． 2．（25-26八年级上·江苏南通·期中）如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平行的性质，全等三角形的判定和性质．延长交于点，作于点，证明四边形是矩形，得到，再利用证明，得到，，据此求解即可． 【详解】解：延长交于点，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，过点A作，垂足为E，，则与之间的距离为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，解题的关键是由平行四边形的面积公式得到； 本题根据平行四边形的性质，可得，设与之间的距离为，可得：，然后代入即可求解； 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设与之间的距离为， ∵， ∴平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴与之间的距离为． 故选：A． 4．（25-26八年级下·山西大同·期中）如图，已知直线，，，则的高是______． 【答案】 【分析】利用平行线间的距离处处相等得到与中边上的高相等，利用面积求出即可． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ，即， ， ，则的高是． 5．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）如图，，为，平分线的交点，交于，且，则与之间的距离等于________． 【答案】 【分析】过点作，则就是与之间的距离，然后根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴就是与之间的距离． ∵为，平分线的交点，交于， ∴ ∴与之间的距离． 题型九 利用平行线间的距离应用（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，已知直线，和的顶点、在直线上，顶点、在直线上，则和的面积关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线间的距离处处相等，可知两个三角形的高相等，又因为它们有公共底边，根据三角形面积公式即可判断面积关系． 【详解】解：直线， 直线与直线之间的距离处处相等，设直线与直线之间的距离为， 的顶点在直线上，顶点在直线上， 的底边为，高为， ，， 的顶点在直线上，顶点在直线上， 的底边为，高为， ， ． 2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，已知直线，点在直线上，并且，为垂足，，是直线上任意两点，点在直线上．设的面积为，的面积为，的面积为，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两平行线间的距离相等和同底等高的两个三角形的面积相等即可解答． 【详解】解：∵直线， ∴，，的底边上的高相等， ∴，，这3个三角形同底，等高， ∴，，这些三角形的面积相等， 即． 3．（24-25八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别为，点P在四边形内部，且，则点P的坐标为______． 【答案】 【分析】过点作轴于点，交于点，过点作轴于点，根据点的坐标得出线段的长度，然后根据面积得出，求出相关三角形的面积，最后利用面积求出，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴于点， ∵， ∴轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴点P的坐标为． 4．（25-26八年级上·海南儋州·期末）如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为________，四边形 的面积为________． 【答案】 8 4 【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关键． 由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：；． 5．（25-26八年级上·北京·期中）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，平行线之间的距离处处相等，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作地面于点，过点作地面于点，可证，然后证明，得到，接着算得的长度，最后算得，即可得出答案． 【详解】解：过点作地面于点，过点作地面于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故此时小丽距离地面的高度是； 故答案为：． 题型十 证明四边形是平行四边形（共5小题） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，四边形中，，对角线与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若的周长为，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先由同时垂直于，推出与平行，再通过证明，得到，结合，从而证明四边形是平行四边形； （）先利用平行四边形对角线互相平分的性质，由得到；再结合周长为，得出；最后在中，通过勾股定理列方程求解，算出的长度为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中：， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵ 平行四边形对角线互相平分，， ， ∵的周长为，即， ∴，即， 又， ∴是直角三角形， ∴由勾股定理得：，即：， 展开化简：， 解得：． 2．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，对角线，与相交于点于点于点，且． (1)求证：①；②四边形是平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2) 【分析】（1）①利用垂直的定义推出，根据平行线性质推出，再结合全等三角形判定定理，即可证明； ②利用全等三角形性质推出，再结合平行四边形判定定理，即可证明四边形是平行四边形． （2）利用等腰三角形性质推出，结合平行四边形性质进而推出， 利用勾股定理求出，进而即可求出的长． 解题的关键在于熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，等腰三角形性质． 【详解】（1）证明：① 于点于点， ， ， ， ， ； ② ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解： ，， ， 四边形是平行四边形， ，， 同理可得， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，在中，点是边的中点，连接并延长，与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）此题根据平行四边形的性质得到，由此得到内错角相等：，再结合中点条件，可证, 由全等三角形的性质可得，又因为，再根据平行四边形的判定定理：可证是平行四边形． （2）此题根据角平分线的定义可知，又因为，所以，由等腰三角形的判定定理：是等腰三角形，所以，再根据平行四边形的性质：，进而计算出平行四边形的周长． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，即 ． 点E是的中点， ． 在和中 ， ． 又 四边形是平行四边形． （2）解：四边形和四边形都是平行四边形， ， 平分， ， ， ， ，， ，， ， 的周长为24． 4．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形中，是边上的一点，点，点分别在，延长线上，，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，，求证：． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行四边形的性质，可得，，可得，由等边对等角，结合已知可得，可得，即可证得结论； （2）由平行四边形的性质，结合已知可得，证明，可得，可得点为的中点，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴点为的中点， ∵， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，对角线相交于点O，若，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据题意，利用可证得，即可由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得结论； （2）根据平行四边形对角线相互平分和勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十一 判断能否构成平行四边形（共5小题） 1．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知四边形中，交于点O，下列条件不能推导出四边形是平行四边形的是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、∵，，即四边形两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，A不符合题意． B、当，时，四边形可以是等腰梯形，无法判定是平行四边形，B符合题意． C、∵四边形内角和为，，， ∴， ∴，同理可得， ∴四边形是平行四边形，C不符合题意． D、∵， ∴，， 又， ∴， ∴，即四边形对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，D不符合题意． 2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 3．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）在四边形中，对角线与相交于点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐一判断各选项，即可找出不能判定的选项． 【详解】解：对于A，，，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于B，，，由对角线互相平分的四边形是平行四边形， 可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于C，，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 可判定四边形是平行四边形，不符合题意； 对于D，当，时，四边形可能是等腰梯形， 无法判定它是平行四边形，符合题意． 4．（19-20八年级下·广东湛江·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； C、，可能是等腰梯形，不能判定四边形为平行四边形，符合题意； D、，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定四边形为平行四边形，不符合题意 5．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，四边形中，对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，无法判定这个四边形是平行四边形，符合题意； B、∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、，，对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意； D、∵， ∴，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定四边形为平行四边形，不符合题意． 6．（25-26八年级下·吉林长春·期中）已知四边形的对角线，相交于点，，若从下列选项中再添加一个条件，不能使得四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、∵，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意． 题型十二 添加一个条件使得成为平行四边形（共5小题） 1．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 2．（25-26八年级下·北京顺义·期中）如图，是对角线上的两点，请你加一个适当的条件：__________，使四边形是平行四边形．（只需填一个你认为正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】可添加，使得，得到，，可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证，同理，可添加，，，等，答案不唯一． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∵在和中， ∴， ∴，， ∴； ∴四边形是平行四边形； 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． 添加， ∵， ∴， 同理可证四边形是平行四边形． （答案不唯一）． 3．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 4．（24-25八年级下·山东临沂·阶段检测）如图，中，，分别是边，上的点，有下列条件：① ；②；③；④．若要添加其中一个条件，使四边形一定是平行四边形，则添加的条件可以是____． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定定理，由于四边形是平行四边形，得到，然后利用平行四边形的判定定理分别分析求解，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ① 时，四边形是平行四边形，故①正确； ②时，，则四边形是平行四边形，故②正确； ③时，， ， ， 四边形是平行四边形，故③正确； ④时，则四边形是平行四边形或等腰梯形，故④错误， 故答案为：①②③． 题型十三 求与已知三点组成的平行四边形点（共5小题） 1．（25-26八年级下·山东临沂·期中）平面直角坐标系中一个平行四边形的三个顶点的坐标分别，则第四个顶点的坐标可能是______． 【答案】 或或 【分析】本题分三种情况讨论，利用平行四边形的对边平行且相等，利用平移思想进行求解即可. 【详解】解：设已知三个顶点分别为，如图， 当以为平行四边形的一条边时，根据平行四边形的对边平行且相等， 可知，将点向左或向右移动3个单位长度，得到第四个点，分别为或； 当以为对角线时，则为平行四边形的一条边，将点先向左移动1个单位，再向下移动3个单位，得到点， 故点先向左移动1个单位，再向下移动1个单位，得到第四个点； 综上：第四个点的坐标可能为或或. 2．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别是，，，点是平面内一点，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标为________________． 【答案】或或 【分析】分三种情况，得出点的坐标，即可解决问题． 【详解】解：如图， 分三种情况： ①当，时，点的坐标为； ②当，时，点的坐标为； ③当，时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 3．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，，则平行四边形第四个顶点D的坐标______． 【答案】或或 【分析】根据平行四边形的性质，画出可能的三种情况，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是，，， 分别过三个顶点作对边平行线，交点即为点，如图， 当四边形是平行四边形时，即图中，此时中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， ∴点D的坐标为， 同理可得其他两个点D的坐标为，， 故答案为：或或． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点，使得以，，，四点组成的四边形为平行四边形，请写出点坐标______________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：以分别为对角线，利用平行四边形对角线互相平分的性质，由中点坐标公式列方程求解；以为对角线时；以为对角线时；以为对角线时． 【详解】解：设点的坐标为, ①若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， ②若四边形为平行四边形， 则对角线与互相平分， ， 解得， ， ③若四边形为平行四边形，则对角线与互相平分， ， 解得， ， 综上所述点坐标为或或． 故答案为：． 5．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知平面直角坐标系中、、，若以A、B、C、D点为顶点作平行四边形，则点D的坐标为______． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：设点D的坐标为，当、为平行四边形对角线或当、为对角线或、为对角线时，根据两条对角线的中点坐标相同，据此列方程求解即可． 【详解】解：设点D的坐标为， 当、为平行四边形对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 当、为对角线时， 的中点坐标为，的中点坐标为， ， 解得， 点坐标为； 题型十四 与中位线有关的求解问题（共5小题） 1．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在中，D，E分别是的中点，，，交的延长线于点，连接，则的长为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】求得，证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，D，E分别是的中点， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平行四边形中，，点E为上一点，连接，，点M，N分别是，的中点，连接，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关基础性质．根据平行四边形的性质可得，再根据三角形中位线的性质，求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴， ∵M，N分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，则的周长为（   ）． A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质和三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据平行四边形对角线互相平分，结合点是的中点可得是的中位线，利用三角形中位线的性质，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】在中，， ∵点是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵的周长为36， ∴， ∴的周长为：． 4．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是边上一点，连接，分别是 的中点，连接，，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质得，即得，再根据三角形中位线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵分别是 的中点， ∴． 5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，分别为，的中点，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形中位线定理和两直线平行的性质，可以证得是等腰直角三角形,即可求解的值． 【详解】解：设为的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以，，且，， 所以，， 所以， 所以． 题型十五 与中位线有关的证明（共5小题） 1．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，已知E为中边延长线上一点，且，连接，分别交，于点F，G，连接交于O，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，则，而，所以，即可根据“”证明； （2）由，，根据三角形的中位线定理得，且，所以． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）证明：的对角线与交于点， ， 由（1）， ∴， 是的中位线， ，且， ． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，D，E分别是和的中点，点F在的延长线上，且，连接，， (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关性质，得出四边形为平行四边形． （1）根据题意可得是的中位线，则，，由可得，从而得到四边形为平行四边形，即可求解； （2）先根据勾股定理求得，从而得到，根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据平行四边形的性质可得，，再求出四边形的周长即可． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵点F在的延长线上，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）解：在中，，，， ∴， ∴， 在中，，E是的中点， ∴， 在平行四边形中，，， 则四边形的周长为． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，，是上一点，且，连接，、分别为，的中点，连接，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线的性质可得，，结合可得，因此四边形是平行四边形； （2）设，则，由平行四边形的性质可得，结合可得，由直角三角形的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可． 【详解】（1）证明：∵、分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2）解：设，则， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，分别是的中点，延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是的中位线，得出，，由得，可证明四边形是平行四边形； （2）应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，求得长即可． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ． 又， ． 又， ∴四边形是平行四边形． （2）解：在中， 为的中点，， ． 又∵四边形是平行四边形， ． 5．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到，根据角的和差关系即可得出结果； （2）作于点，作于点，根据三线合一和斜边上的中线得到，证明，得到，，进而推出，，在上截取，根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴，即． 题型十六 平行四边形中动点问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图，在中，，，垂直平分于点．点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点到达终点时，、同时停止运动．设点运动的时间为秒． (1)的长为 　　 (2)用含的代数式表示线段的长，并写出t的取值范围 (3)当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． (4)当为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)8 (2)， (3)或 (4)或 【分析】（1）由垂直平分线的性质可求，由勾股定理可求解； （2）分两种情况讨论，列出代数式即可； （3）由平行四边形的性质可得，列出方程可求解； （4）分两种情况讨论，列出不等式组即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分于点E， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，点Q在线段上，此时， 当时，点Q在线段的延长线上，此时； （3）解：∵以点A、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴或， 解得：或； （4）解：当点Q在上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 当点Q在线段的延长线上时，当时，点P在上，，不能为钝角，不合题意； 当点Q在线段的延长线上，点P在上时，则，如图， ∴， ∴， 综上所述：或时为钝角三角形． 2．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动，连接并延长，交于点．设点的运动时间为． (1)求的长度（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，四边形是平行四边形； (3)当时，点是否在线段的垂直平分线上？请说明理由． 【答案】(1) (2)为 (3)点在线段的垂直平分线上．见解析 【分析】（1）根据平行四边形得，再根据“角边角”证明，可得 ，进而得出答案； （2）当时，四边形是平行四边形，可得，求出解即可； （3）作直线，垂足为，与交于，根据勾股定理求出，再根据，求出，可得，进而求出，当时，，然后根据可得点是的中点，则此题可解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ． ， ． ， ， ； （2）解：， 当时，四边形是平行四边形， 即，解得， 当为时，四边形是平行四边形； （3）解：结论：点在线段的垂直平分线上． 理由：如图，过点作直线，垂足为，与交于， 在中，， ， ． ， ， ， ， ， ． 当时，， ，即点是的中点， 点在线段的垂直平分线上． 3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点坐标得出，即可求出，根据点速度即可得答案； （2）点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别表示出和，利用平行四边形的性质列方程求出的值即可； （3）分、和三种情况，分别利用等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 4．（25-26八年级下·广东珠海·期中）如图，在平面直角坐标系中，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒） (1)求B、C两点的坐标； (2)当t为何值时，？并求出此时P、Q两点的坐标． 【答案】(1) (2)时，，此时；时，，此时， 【分析】（1）根据二次根式的性质得出的值进而得出答案； （2）由题意得：，根据可得四边形是等腰梯形或平行四边形，进而得到关于的方程，解方程即可得出答案； 【详解】（1）解：∵， ∴且， ∴， ∴， 又 ∵，， ∴， ； （2）解：由题意得：， ∵， 当时，四边形是平行四边形，此时， ∴， 解得：， ； 当时，四边形是等腰梯形，此时， ∴， 解得：， ． 5．（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，在中，，，其中是边上的高，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．同时点由点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点的直线，交于点，连接，设运动时间为． (1)线段__________，__________（用含的代数式表示）； (2)求的长； (3)当为何值时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形 【分析】（）根据点的运动速度和时间，直接表示出线段； （）先过点作于点，利用等腰三角形三线合一求出，再用勾股定理算出；接着通过三角形面积的两种不同表示方法求出高，最后在中用勾股定理求出的长度； （）先根据，得出当时以为顶点的四边形是平行四边形；再利用等腰三角形性质推出，结合得到，列方程求解，最后结合的范围，确定为符合条件的解． 【详解】（1）解：∵点由点出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴线段 ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ，，， ， 在中，， ， ， ， 在中，； （3）解：， 当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ，， ， ，解得或， ， ， 当时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形． 题型十七 平行四边形解答题综合（共5小题） 1．（25-26七年级下·陕西西安·期中）【问题背景】“一线三垂直”是“一线三等角”的特殊情形，即三个等角的度数为．当图形中有一组对应边相等时，必存在全等三角形． 【问题解决】 (1)如图1，在等腰直角中，，过点作于点，过点作于点，则线段，与之间的数量关系是___________． 【方法应用】 (2)如图2，直角中，，，过点作直线于点，，点是直线上一点，且，求的面积． 【拓展迁移】 (3)如图3，在中，，，，以为边向右侧作等腰直角，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）证明，即可得解； （2）作于点，证明，得出，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）分三种情况：为直角边，，作直角边，，为斜边，，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，作于点， ∵， ∴，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：①当为直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图，作高线，过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理（1）得：， ∴， ∴； 当为斜边，时，如图，作高线，过作于点，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，得， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的面积是或或． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：若一个三角形中有两个内角成倍数关系，则该三角形具有特殊性质．在三角形中，若一个内角的度数是另一个内角度数的2倍，我们称这样的三角形为2倍角三角形．小德同学通过作辅助线探究其相关性质，并进行如下证明． 在上取一点E，使，连接， ，，，， ，，， ，，即 请根据小德发现的规律，解决下列问题： (1)如图1，已知：在中，，，，，_____________ (2)如图2，已知：在中，，，E为的中点，若，求的长． (3)如图3，在平行四边形中，对角线、相交于点O，于点H，交于点P，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据题意得，，再由勾股定理求解即可； （2）根据题意得：，得出，，即可求解； （3）根据平行四边形得出，满足题中条件，确定，设，则，结合图形得出，，取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质得出，再由等角对等边得出即，确定，结合图形利用勾股定理及三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴根据题意得：，， ∴； （2）根据题意得：， ∴ ∵E为的中点， ∴， ∴； （3）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 取的中点E，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，已知直线，且和之间的距离为1，小李同学制作了一个直角三角形硬纸板，其中，，．小李利用这块三角板进行了如下的操作探究： ​ (1)如图1，若点C在直线上，且，求的度数； (2)若点在直线上，点在和之间，边、与直线分别交于点和点． ①如图，平分，平分，与交于点．在绕着点旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果不发生变化，请求出的度数；如果发生变化，请说明理由； ②如图，在绕着点旋转的过程中，设，，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)不变，；m的最大值是，最小值是 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等可得的度数； （2）①先根据三角形内角和可得，即，再根据平分，平分，可得 ，即有 ，可得结论； ②根据三角形的内角和以及平行线的性质得：，确认点C在边界上的两点时，代入，可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴ ∵， ∴； （2）解：①在绕着点A旋转的过程中，的度数不发生变化，且 理由：如图2，∵， ∴ ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ②∵， ∴ ∵， ， ∴ ∵ ∴ 即 如图3，点在直线上时， 如图4，∵，和之间的距离为1 ∴点C在直线上时， 综上所述，m的最大值是，最小值是． 4．（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图1，已知直线，直线a，b的距离为h，则三角形的面积为． (1)【问题探究】如图2，若点C平移到点D，则________； (2)【深化拓展】如图3，记、、、，根据图形特征，试证明：； (3)【灵活运用】如图4，在平行四边形中，点E是线段上的一点，与相交于点O，已知，且，则四边形的面积为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“等底等高”可得，从而，即可得出结果； （2）分别过点C、B作边的垂线，记高分别为、，根据三角形的面积可得出，从而得证结论； （3）连接，由得到，从而，进而得到，，由（1）可得，由（2）可得，因此，，进而，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴（同底等高）， ∴， ∴ （2）证明：如图3分别过点C、B作边的垂线，记高分别为、，    则， ∴， ∴． （3）解：连接，    ∵， ∴， ∴（两个三角形等高，面积之比等于底边之比）， ∵， ∴，， ∵平行四边形， ∴， ∴由（1）可知，， ∵由（2）可知，，即， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·重庆开州·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，若，，求四边形的面积； (2)如图2，若，点为边上一点，连接．点为上一点，连接交于点，连接，若点为边的中点，连接，且．求证：； (3)如图3，已知，，点P与点Q分别为线段与上的动点，满足，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于点，先求出的长，再求出的长即可； （2）延长，交于点，先得出，再证出，则，进而可得，然后求出，，据此即可得证； （3）过点作，且使得，连接，先证出，则，可得，进而可得当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，再求出的长，的值，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积为． （2）证明：如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵点为边的中点， ∴， 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作，且使得，连接， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，即的最小值为的长， 又∵，，，， ∴，， ∴在中，， ∴在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形． 1 / 87 学科网（北京）股份有限公司 $