专题07 平面内的两条直线拐点模型与动态探究问题（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平行线拐点模型分类突破，以“作平行线”为核心方法，系统构建锯齿型、子弹模型、抬头模型及动态探究的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |锯齿型|12题（如第9题）|过拐点作平行线，拆分角转化为内错角/同旁内角|平行线性质→锯齿型角关系（∠A+∠C=∠E）→多拐点拓展| |子弹模型|16题（如22题）|构造平行线链，利用“角的和差”建立等式|基础子弹模型（∠A+∠E+∠C=360°）→角平分线综合应用| |抬头模型|9题（如33题）|反向作辅助线，推导角的差量关系|抬头模型（∠C-∠A=∠E）→与三角形外角性质结合| |动态探究|13题（如45题）|分类讨论点的位置，结合不变量分析|静态模型→点动/线动问题→动态中的角关系规律|

专题07 平面内的两条直线拐点模型与动态探究问题 考点01 平行线拐点之“锯齿型” 考点02 平行线拐点之“子弹模型” 考点03 平行线拐点之“抬头模型” 考点04 平行线之动态探究 考点01 平行线拐点之“锯齿型” 1．如图，直线，于点．若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，结合图形构造平行线的辅助线是解题的关键．过点作，根据平行线的性质得到，根据垂直的定义得到，得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：B． 2．如图，，点在上，，则下列结论正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）    A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】过点作，根据平行线的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：过点作，    ∵， ∴， ∴与不全等， 又∵点在上， ∴无法判断（1）是否正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故（2）正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故（3）正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴无法知道的度数， ∴无法判断（4）是否正确； 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，添加辅助线是解题的关键． 3．如图，，，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作，根据平行线的判定和性质可得，结合，两式相加即可求出． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出是解题的关键． 4．如图，ABDE， ∠A=30°，∠ACE=110°，则 ∠E 的度数为 (    ) A．30° B．150° C．100° D．120° 【答案】C 【分析】过C作CQAB，得出ABDECQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项． 【详解】解：过C作CQAB， ∵ABDE， ∴ABDECQ， ∵∠A=30°， ∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°， ∵∠ACE=110°， ∴∠ECQ=110°-30°=80°， ∴∠E=180°-80°=100°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，能正确作辅助线并灵活运用性质进行推理是解此题的关键． 5．如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（   ） A．70° B．65° C．35° D．50° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和∠1=30°，∠2=35°，可以得到∠BCE的度数，本题得以解决． 【详解】解：作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴CF∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1=∠BCF，∠FCE=∠2， ∵∠1=30°，∠2=35°， ∴∠BCF=30°，∠FCE=35°， ∴∠BCE=65°， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 6．如图，直线，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图,ABEF,∠D=90°,则,,的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C和点D作CGAB,DHAB,可得CGDHAB,根据ABEF,可得ABEFCGDH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论． 【详解】解：如图,过点C和点D作CGAB,DHAB, ∵CGAB,DHAB, ∴CGDHAB, ∵ABEF, ∴ABEFCGDH, ∵CGAB, ∴∠BCG=α, ∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α, ∵CGDH, ∴∠CDH=∠GCD=β-α, ∵HDEF, ∴∠HDE=γ, ∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°, ∴γ+β-α=90°, ∴β=α+90°-γ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质． 8．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF+∠CGF=90°，是解此题的关键． 9．已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（1）【问题情境】如图①，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可得的度数是__________； （2）【问题迁移】如图②，，点P在射线上运动，记，，当点P在B，D两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】在（2）的条件下，当点P在线段上时，如图③；当点P在的延长线上时，如图④．请直接写出与，之间的数量关系，无需证明． 【答案】（1）.；（2），理由见解析；（3）点P在线段OB上时，；点P在BD的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质进行计算，即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质得、，即可求解； （3）点P在线段OB上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解；点P在BD的延长线上时，过点P作，根据平行线的性质得、，通过即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ，， ， ，， ，， ， ， ． （2）如图，过点作， ，，， ， ，， ． （3）点P在线段上时，如图， 过点作， ，，， ， ，， ． 点P在的延长线上时，如图， 过点P作， ，， ， ，， ． 11．综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）本题考查平行线拐点模型（M模型），拐点模型的解题特点是：遇到拐点画平行线．作，然后根据平行线的性质即可求解． （2）①利用第一问的模型可求出，再利用角平分线性质即可求出．②利用模型继续求，…，观察可发现规律． （3）本题主要考查的拐点模型的生活应用，利用模型（1），按照平行线性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， ， ． （2）①由（1）的模型可得， ， 平分，平分， ，， ， 设，， ． ②由①得， ， 同理，， … ． （3）作和，使, 由第（1）问模型可知， ，， 【点睛】本题目主要考查平行线拐点模型-M模型，牢记遇到拐点作平行线，利用平行线的性质即可解出． 12．如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值： (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据，可得，即可求解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，由，求得，进而求解即可； （3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，从而可得，再结合题意可得，即可得出关于n的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作， ∵平分，平分， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ； （3）解：如图，设直线与交于点H，与交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，在内，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 考点02平行线拐点之“子弹模型” 13．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 14．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 15．如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、垂线的性质，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键． 过N点作，则，如图，由平行线的性质得，进而由平分和得，再由可变形推得． 【详解】解：过N点作，则，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 16．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 17．如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（   ） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】C 【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB， ∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD． ∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°， ∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°． 故选：C． 18．如图，直线，在中，，点落在直线上，与直线交于点，若，则的度数为（    ）. A．30° B．40° C．50° D．65° 【答案】B 【分析】由题意过点B作直线，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作直线， ∵直线m//n，， ∴， ∴∠2+∠3=180°， ∵∠2=130°， ∴∠3=50°， ∵∠B=90°， ∴∠4=90°-50°=40°， ∵， ∴∠1=∠4=40°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键． 19．如图，两直线、平行，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB    观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 20．如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案． 【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF， ∵AB∥EF， ∴AB∥CD∥MN∥EF， ∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=， ∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-， ∴=∠BCD+∠DCM=， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力． 21．如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（　　） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可． 【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β， ∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C=β-α． （2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β， ∴∠AE2C=α+β． （3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β， ∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C=α-β． （4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°， ∴∠AE4C=360°-α-β． （5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α． 综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论． 22．探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答； （2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答． 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 23．综合探究：已知，点、分别是、上两点，点在、之间，连接、．        （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，求的度数． 【答案】（1）90°；（2）120° 【分析】（1）过作，根据平行线的传递性、两直线平行内错角相等解题； （2）过作，过点作，根据两直线平行，内错角相等性质解得，再根据角平分线性质，求得，最后再用平行线定理解题，证明，进而计算的值即可． 【详解】解：（1）如图1，过作， ， ，   图1   （2）如图2，过作，过点作设 ，， ， ，， 平分，平分， ， ， 平分， ， ， ，， ，，   图2 【点睛】本题考查平行线的定理、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 24．综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已知两直线，，且，三角形是直角三角形，，，，操作发现： (1)如图，，求的度数； (2)如图，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，请说明理由． (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图中的图形继续变化得到图，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，见解析． 【分析】（1）先根据平角的性质求出的度数，再根平行线的性质求出的度数； （2）先过点作，推出，再根据，，得到，推出，结合直角三角尺的度数推出，最后代入即可求解； （3）先过点 作，根据平分结合直角三角尺的度数，推出，再根据，得出的度数，然后根据，推出，即可得到和的度数，最后根据，推出的度数，即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：理由如下： 过点作，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点 作，如图所示： ∵平分 ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 25．如图1，四边形为一张长方形纸片．    (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则__________°． (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则__________°． (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则___________°． (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． （1）过点过作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （2）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （3）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （4）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】（1）解：过作（如图②）． 原四边形是长方形， ， 又， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ， 又， ， 故答案为：；    （2）分别过、分别作、，如图③所示，     原四边形是长方形， ， 又， ． ，，， ， ，， ， 故答案为：； （3）分别过、、分别作、、，如图④所示，     原四边形是长方形， ， 又，，， ． ，，，， ， ，，， ， 故答案为：； （4）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度， 故答案为：． 26．一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型． 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题． 例：如图1，已知：，探究三者数量关系，并说明理由． 过点P做，利用两直线平行内错角相等将拆分成的两个角转换成，然后通过和差得到． 【初步感知】 (1)如图2，，则三者数量关系为______； 【学以致用】 (2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，请求出的度数； 【深入探究】 (3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边交于两点（N点在M点下方），其中直尺的边所在直线与直角边所在的直线交于P点，所在直线与直角边所在的直线交于Q点（不与点重合）．将直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中与的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3)；；； 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质得到和，从而解得答案； （2）过点作，利用平行线的性质和等量代换求解； （3）根据直尺绕着点M逆时针旋转确定点的大致位置，利用平行线的性质以及等量代换求解． 【详解】（1）解：过点作， ， ∵，， ∴， 即 ∵， ∴． （2）解：过点作， ， ∵， ∴， ∴， ，解得， 则． （3）解：如图1所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知， ∴，即； ， 如图2所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由题意知， ∵ ， ∴， ∴， 解得； 如图3所示： ， ∵四边形是矩形， ∴，， 由题意知， ∴，即； 如图4所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ， 由题意知， ， 即， ， 解得：； 综上所述：；；；． 27．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 28．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 考点03平行线拐点之“抬头模型” 29．如图，已知，，，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是掌握平行线的判定和性质，正确做出辅助线． 过点作，根据平行线的性质和角的和差，求解即可得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 30．如图，直线，，，则____度． 【答案】30 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，能够发现并证明此题中的结论：． 要求的度数，只需根据平行线的性质，求得其所在的三角形外角，根据三角形的外角的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：30． 31．如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________． 【答案】∠2+∠3﹣∠1=180° 【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD， ∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°， ∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°， ∵∠BOE+∠COF+∠1=180°， ∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1， ∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°， 即∠2+∠3﹣∠1=180°． 故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°． 【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 32．如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______ 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 33．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 34．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； （2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数． （3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数． 【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°． 【分析】（1）过E作EMAB，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可； （2）过E作EMAB，过F作FNAB，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可； （3）过P作PLAB，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可． 【详解】解：（1）过E作EMAB， ∵ABCD， ∴CDEMAB， ∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM， ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCE＝2∠DCF， ∵∠DCF＝30°， ∴∠DCE＝60°， ∴∠CEM＝60°， 又∵∠CEB＝20°， ∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°， ∴∠ABE＝40°； （2）过E作EMAB，过F作FNAB， ∵∠EBF＝2∠ABF， ∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x， ∵CF平分∠DCE， ∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y， ∵ABCD， ∴EMABCD， ∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x， ∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x， 同理∠CFB＝y﹣x， ∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°， ∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，   ∴x＝10°， ∴∠ABE＝3x＝30°； （3）过P作PLAB， ∵GM平分∠DGP， ∴设∠DGM＝∠PGM＝y，则∠DGP＝2y， ∵PQ平分∠BPG， ∴设∠BPQ＝∠GPQ＝x，则∠BPG＝2x， ∵PQGN， ∴∠PGN＝∠GPQ＝x， ∵ABCD， ∴PLABCD，   ∴∠GPL＝∠DGP＝2y， ∠BPL＝∠ABP＝30°， ∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG， ∴30°＝2y﹣2x， ∴y﹣x＝15°， ∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y﹣x， ∴∠MGN＝15°． 【点睛】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理． 35．已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 36．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 37．如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 38．已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上． （1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：　 ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：　 ；（不需要证明） （2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数； （3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数． 【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30° 【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解； （2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解； （3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=∠BME，进而可求解． 【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1， ∴∠BME＝∠MEH， ∵AB∥CD， ∴HE∥CD， ∴∠END＝∠HEN， ∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END， 即∠BME＝∠MEN﹣∠END． 如图2，过F作FH∥AB， ∴∠BMF＝∠MFK， ∵AB∥CD， ∴FH∥CD， ∴∠FND＝∠KFN， ∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND， 即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND． 故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． （2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND． ∵NE平分∠FND，MB平分∠FME， ∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END， ∵2∠MEN＋∠MFN＝180°， ∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°， ∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°， 解得∠BMF＝60°， ∴∠FME＝2∠BMF＝120°； （3）∠FEQ的大小没发生变化，∠FEQ＝30°． 由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END， ∵EF平分∠MEN，NP平分∠END， ∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END， ∵EQ∥NP， ∴∠NEQ＝∠ENP， ∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME， ∵∠BME＝60°， ∴∠FEQ＝×60°＝30°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键． 考点04平行线之动态探究 39．综合与探究 问题情境：在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线在生活中的应用． (1)初步探究：如图1是路灯维护工程车的工作示意图，其中为固定升降梯，为活动升降梯，伸缩可调整工作台高度，为液压连杆，工作台．当时，则的度数为___________． (2)深入探究：如图2是一种路灯的示意图，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求出与所成锐角的度数； (3)拓展延伸：在图2的基础上，只改变和的度数，观察度数的变化．探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)；理由见解析 【分析】（1）过点B作，根据平行线的性质求出，根据角度间的关系求出，根据平行线的性质求出结果即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求出，根据角度间的关系求出，根据平行线的性质求出； （3）根据解析（2）的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点B作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 过点E作，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 40．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，过直角三角尺的顶点作平分平分，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点在直线的上方时，试探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据对顶角相等得到，再由同旁内角互补证明直线平行； （2）由题意证明，再根据角平分线的定义得到，过点作，得到，即可得到答案； （3）分当点在直线上方时，当点在直线与直线之间时，当点在直线下方时，三种情况进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ； （2）解：， ， 即． ， ． 平分平分， ， ． 如图②，过点作． ． ． ，即． （3）解：设． ①当点在直线上方时，如图，过点作． ， ． ． ． ， ． ， 即与之间存在的数量关系为； ②当点在直线与直线之间时，由（2），得； ③当点在直线下方时，如图，过点作． ， ． ． ． ， ． ， 即与之间存在的数量关系为． 综上所述，与之间存在的数量关系为或或． 41．【操作探究】 （1）如图① ，四边形是长方形纸片，，点E，F分别在边，上，以为折痕折叠纸片，点A，B的对应点分别是点，，与相交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； （2）如图② ，在（1）中折叠的基础上，再将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别是点，，使得经过点E．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，若的度数比的度数大，则的度数为多少度 【答案】（1），理由见解析（2）理由见解析（3） 【分析】本题考查了平行线性质、折叠性质的综合应用，解题关键是利用这些性质找出角之间的等量关系来求解数量关系和位置关系． （1）利用长方形对边平行性质，得到 ，再结合折叠后对应角相等，即 ，通过等量代换得出结论 ． （2）先依据（1）的结论 ，再根据长方形对边平行推出 ，然后结合两次折叠中角的平分关系，得到 ，最后根据内错角相等判定关系． （3）设 ，根据已知条件表示出 ，利用（1）中角的关系及平行线同旁内角互补列出方程求解 ，再根据折叠性质求出 ，最后利用平行线性质得出答案 ． 【详解】（1）．理由： ∵四边形是长方形， ∴． ∴ ． ∵纸片以为折痕折叠， ∴ ． ∴ ， （2） ．理由： 由（1）已证得 ． ∵ ， ∴ ， ∵纸片以为折痕折叠，纸片沿折叠， ∴ ， ． ∴， ∴ （3）设， 的度数比的度数大， ∴． 由（1）可知 ∵． ∴ ． ∵． ∴ 即 解得，即． ∵纸片以为折痕折叠， ∴， ∵， ∴ ． 42．[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解 （2），理由见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）如图所示，过点作，可得，由平行线的性质得到，根据，即可求解； （2）设，则，根据平行线的性质，角的和差关系得到，由此即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 43．某数学兴趣小组利用含角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知，，． (1)【基础探究】如图①，已知，则的度数为 ； (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线向上移动，并改变的位置，请写出此时与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得，，且延长与相交于点．现将三角板绕点旋转，在旋转过程中，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数保持不变，为 【分析】（1）根据两直线平行同位角相等，以及平角为，利用角的和差关系得到的度数． （2）过点作，根据，得到，根据两直线平行内错角相等，同旁内角互补，以及，得到和的关系． （3）过点作，得到，根据两直线平行内错角相等，同位角相等，得到，由（2）可知，，继而得到，即，在三角板旋转的过程中保持不变． 【详解】（1）解：如图，标注， 直线， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， , ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， 由（2）知， ，， ， ， ，且在三角板旋转的过程中保持不变． 44．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 45．数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验．如图1，已知：直线，点M、N分别为上的点，点P为上一个动点， (1)初步探究：当点P在上方时，连接，她通过测量发现两个结论①；②；请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在与之间时，她通过测量发现①；②请你猜想、、之间的关系式为______． (3)思维拓展：当点P运动到下方时，的平分线与的平分线的反向延长线相交于点Q，请你猜想与的关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1），过点P作，则，由平行线的性质得到，据此根据角之间的关系可得答案； （2）根据，即可得到答案； （3）同理可得过点P作，则，可得，，则，再由角平分线的定义得到；由平角的定义得到，则． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； 同理可得 过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 46．在数学活动课上，老师提出如下问题，请你和同学们一起进行探究： 问题情境：如图1，已知，点E在，之间，连接，． (1)初步探究： 在图1中，试探究，，之间的数量关系，并说明理由． 小高同学添加了一条辅助线，过点E作，他的解题思路如下，请你补全解答过程： 解： 理由如下： 过点E作 ∵（已知）， ∴______（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（______）． ∵， ∴． (2)类比探究： 如图2，若，，的平分线相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用： 如图3，，若点E在直线下方，平分，平分，与相交于点F，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等 (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍成立，理由见解析 【分析】（1）根据平行公理与平行线的性质可得答案； （2）根据（1）的结论，结合角平分线证明即可； （3）过点E作，证明，可得，，再进一步证明即可. 【详解】（1）解： 理由如下： 过点E作 ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴，（两直线平行，内错角相等解）． ∵， ∴． （2）解：； 理由：由（1）得，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 即. （3）解：（2）中的结论仍成立； 理由：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵由三角形内角和可得：， ∴， ∴， ∴即. 47．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺中，，顶点在直线上． 【初步感知】 (1)如图①，直线交直角三角尺的边于点，若，，则直线与的位置关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，若，点B，D为直线和直线上任意一点，探究、与的数量关系．并说明理由． (3)如图③，利用（2）所得的结论，过直角三角尺的顶点作，平分平分，则= °； 【拓展延伸】 (4)如图④，将直角三角尺绕顶点转动，过点作，在转动过程中，当点F在直线CD的上方时，直接写出与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)45 (4) 【分析】（1）根据对顶角相等得到，再由同旁内角互补证明直线平行即可； （2）如图：过作，则，由平行线的性质可得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）利用（2）的结论可得，再根据角平分线的定义得到，再利用（2）的结论可得即可解答； （4）设．如图，过点F作．易得可得，再利用角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，证明如下： ， ， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：由（2）的结论可得：， ∵平分平分， ∴， ∴， 利用（2）的结论可得：． （4）解：设． 如图，过点F作． ∵， ∴． ． ． ， ． ， ∴与之间存在的数量关系． 48．综合与实践：如图，，点为平面内任意一点，连接，某数学兴趣小组对，，之间的数量关系进行了探究学习． 【探究一】当点在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：． 证明：过点作， ． ，， ， ． ． ． 【探究二】当点在如图2所示位置时，猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【探究三】当点在如图3所示位置时，请直接写出，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【探究四】若，请在图4中找到一个符合条件的点，并补全图形，不要求给出证明． 【思维拓展】当点在如图5所示位置时，请直接写出，，，之间的数量关系，不要求给出证明． 【答案】探究二：，见解析；探究三：；探究四：图形见解析；思维拓展： 【分析】本题考查平行线的判定与性质； 探究二：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究三：过点作，参考探究一的过程求解即可； 探究四：根据探究三的结果反方向画图即可； 探究三：过点、分别作作的平行线，根据探究的结果求解即可． 【详解】解：探究二：，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究三: ，证明如下： 过点作， ． ，， ， ． ． 探究四: 若，如图点符合条件， 思维拓展: ，证明如下： 过点作，点作，如图， ．， ∵， ， ． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 49．综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，，点，分别在，上，点为直线上方一点，连接，，探究，与之间的数量关系． 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作，发现，，由此即可求出，与之间的数量关系． 【解决问题】 （1）请你根据勤奋小组的思路，探究，与之间的数量关系． 【迁移探究】 （2）听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点在直线的下方，且在点的右侧时，（1）中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由． 【拓展探究】 （3）如图4，，点，分别在，上，点是直线，之间一点，，平分，平分，与交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）不成立，见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用平行线的性质即可解答； （2）作，利用平行线的性质即可解答； （3）过点作，利用平行线的性质和角平分线的计算即可解答． 【详解】（1），， ， ，， ； （2）不成立，理由如下： 如图，作， ，， ， ，， ，即； （3）如图，过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， 在四边形中，． 50．【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点． (1)若，则的度数为______； (2)如图②，请你探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，，把三角尺从图③的位置开始绕点顺时针旋转（），当直线与相交所成的锐角是时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解； （2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解； （3）①过点C作，则，有，求得，利用即可；②过点A作，与交于点，同理有，利用即可． 【详解】（1）解：如图1，过点C作， ， ， ， ，， ； （2）解：如图2，过点C作， ， ， ， ， ， ； （3）解：①如图3，过点C作， ， ， ， ，， ， 则； ②如图，过点A作，直线与交于点， ∵与交于， ∴， ， ， ， ， ， 故的度数为或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题07平面内的两条直线拐点模型与动态探究问题 考点归纳 考点01平行线拐点之“锯齿型” 考点02平行线拐点之“子弹模型” 考点03平行线拐点之“拾头模型” 考点04平行线之动态探究 考点专练 考点01平行线拐点之“锯齿型” 1.如图，直线AB∥CD,GE⊥EF于点E.若LBGE=58°，则∠EFD的度数是() A G B ◇E F D A.29° B.32° C.42 D.58° 2.如图，AB∥CD,点E在AC上，∠A=110°，LD=15°，则下列结论正确的个数是() (1)AE=EC;(2)∠AED=85°；(3)∠A=∠CED+∠D;(4)∠BED=45° A B E D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，a∥b,∠3=70°，∠1-∠2=10°，则∠1的度数是() 1 2 A.30° B.40° C.50° D.60° 4.如图，AB∥DE,∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为() 1/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.30° B.150° C.100° D.120° 5.如图，己知ABDE,∠1=30°，∠2=35°，则∠BCE的度数为() B C 2 A.70° B.65° C.35° D.50 6.如图，直线CE∥DF,∠CAB=125°，LABD=85°，则∠1+∠2=() C E A 125o 85 B D A.30° B,35 C.36° D.40° 7.如图，AB//EF,∠D=90°，则a,B,Y的大小关系是() A B D F A.B=a+y B.B=a+y-90° C.B=y+90°-a D.B=au+90°-y 8.如图，AB‖CD,点E,P在直线AB上(P在E的右侧)，点G在直线CD上，EF⊥FG,垂足为F,M 为线段EF上的一动点，连接GP,GM,∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q,且点Q在直线AB,CD之 间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF=90°；②∠AEF+2∠PQG=270°；③若∠MGF=2∠CGF,则3∠ AEF+∠MGC=270°；④若∠MGF=n∠CGR,则∠AEF+1,∠AMGC=90°.正确的个数是() n+1 2/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G D A.4 B.3 C.2 D.1 9.已知直线MB∥ND,A,C分别是MB,ND上的点，P是直线MB,ND之间的一点、连接AP,CP. M A M 图1 图2 图3 备用图 (1)已知点P在直线AC的右侧. ①如图1，∠BAP,∠APC与∠DCP之间的数量关系为 ②如图2，若AE平分∠BAP,CE平分∠DCP,判断∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP,CE平分∠DCP. ①如图3，若∠MAP=40°，∠NCP=80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与(1)②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直 接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系. 10.(1)【问题情境】如图①，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数.小明的思路是： 过点P作PE∥AB,通过平行线性质可得∠APC的度数是 (2)【问题迁移】如图②，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=a,LPCD=B,当点P在B, D两点之间运动时，∠APC与a,B之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】在(2)的条件下，当点P在线段OB上时，如图③：当点P在BD的延长线上时，如图 ④.请直接写出∠APC与α，B之间的数量关系，无需证明. 3/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B\P D\M 图① 图② C A dP B D M 图③ 图④ 11.综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行 研究。 如图1，直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HM, HN M 1 图1 图2 图3 图4 (1)【问题初探】若LHMB=60°，∠HND=50°，则∠MHN的度数为 (2)【问题拓展】①如图2，作MH1平分∠HMB,NH1平分∠HND,若设∠HMB=x°，∠HND=y°，求出 ∠H的度数（用含x,y的式子表示）. ②在①的条件下，如图3，若MH2平分∠HMB,NH2平分∠HWD,NH平分∠H2MB,NH3平分LH2WD, 可得∠H3依次平分下去，则∠H的度数是_ (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现∠HAC=38°，∠HBC=22°，试探 究∠AHB与∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由， 12.如图，AB∥CD,点E、F分别在直线AB、CD上，点O在直线AB、CD之间，LEOF=100°. 4 -B K M G -D C C D F 图1 图2 图3 4/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求∠BE0+∠DF0的值： (2)如图2，直线MN交∠BE0、∠CF0的角平分线分别于点M、N,求LEMN-LFNM的值： (3)如图3，EG在∠AE0内，LAEG=nLOEG,FK在∠DFO内，LDFK=nZOFK,直线MN交FK、 EG分别于点M、N,若∠FMN-∠ENM=50°，则n的值是_ 考点02平行线拐点之“子弹模型” 13.如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB与支撑平台CD平行.若∠1=30°，∠2=60°，则∠3 的度数为() 作篮 3 2> 支撑平台 C A.108° B.100° C.120 D.150 14.已知如图，AD∥CE,则∠A+∠B+∠C=() D E A.180° B.270° C.360° D.540 15.如图，直线AB∥CD,E,M分别为直线AB、CD上的点，N为两平行线间的点，连接NE、NM,过 点N作NG平分∠ENM交直线CD于点G,过点N作NF⊥NG,交直线CD于点F,若∠BEN=160°，则 ∠MNG+LNFG的度数为() A M GD A.110° B.115° C.120° D.1250 16.如图，已知AB/CD,则∠a,∠B,∠？之间的等量关系为() A B BE D 5/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.La+∠B-∠y=180 B.∠B+∠y-∠a=180° C.∠au+∠B+∠y=360° D.∠a+∠B+∠y=180° 17.如图所示，ABIICD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于() E D A.180° B.360° C.540° D.720° 18.如图，直线m∥n,在RIAABC中，∠B=90°，点A落在直线m上，BC与直线n交于点D,若 ∠2=130°，则∠1的度数为()· C D A A.30° B.40° C.50° D.65 19.如图，两直线AB、CD平行，则∠1+L2+L3+L4+∠5+L6=(). A B E 2 30 40G 6 H C D A.6309 B.720° C.800° D.900 20.如图所示，若AB|EF,用含a、B、Y的式子表示x,应为() A B xOC E F A.a+B+y B.B+y-a C.180°-a-y+B D.180°+a+B-7 21.如图，己知直线AB、CD被直线AC所截，ABIICD,E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、 6/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AC上)，设∠BAE=a,LDCE=B.下列各式：①a+B,②a-B,③B-a,④360°-a-B,∠AEC的度 数可能是() B C D A.②③ B.①④ C.①③④ D.①②③④ 22.探究题： A 图1 图2 (1)如图1，若AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？并证明 23.综合探究：已知AB/ICD,点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、 NG M M B N 图1 图2 (1)如图1，若GM⊥GN,求∠AMG+∠CNG的度数： (2)如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP,ND平分∠GNP,已知LBMG=40°，求 ∠MGN+∠MPN的度数. 24.综合与实践课上，同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图，已 知两直线a,b,且a∥b,三角形ABC是直角三角形，∠BCA=90°，∠BAC=30°，∠ABC=60°，操作发 现： A B 3 b M 图1 图2 图3 7/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，∠1=50°，求∠2的度数： (2)如图2，创新小组的同学把直线a向上平移，并把∠2的位置改变，发现∠2-∠1=120°，请说明理由。 (3)缜密小组在创新小组发现的结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，AC平分∠BAM,此时发 现∠1与∠2又存在新的数量关系，请写出∠1与∠2的数量关系并说明理由， 25.如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片. B B M D C C 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD),则LBAE+LAEC+LECD= (2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、LFCD),则 ∠BAE+LAEF+∠EFC+LFCD= 、。 (3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、LEFG、∠FGC、∠GCD),则 ∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD= (4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是 26.一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来构成了初中几何熟悉的拐点模型. 通用解法就是见拐点作平行线，利用和差拆分与等角转化来解决此类题， 例：如图1，己知：AM∥BN,探究LMAP,∠NBP,LAPB三者数量关系，并说明理由 过点P做PQ∥AM,利用两直线平行内错角相等将∠APB拆分成的两个角转换成∠MAP,∠NBP,然后通 过和差得到∠MAP+∠NBP=∠APB. 工作篮 M 支撑平台A D 图1 图2 图3 图4 【初步感知】 (1)如图2，AM∥BN,则∠MAP,∠NBP,∠APB三者数量关系为 【学以致用】 (2)如图3，路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，∠2=55°，请求出∠3的 度数； 【深入探究】 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图4，一足够长的直尺与三角板斜边AB交于M,N两点(N点在M点下方)，其中直尺的边DE所在直 线与直角边AC所在的直线交于P点，FG所在直线与直角边BC所在的直线交于Q点（不与点C,B重合）.将 直尺绕着点M逆时针旋转，试探究旋转过程中∠MPC与∠QC的数量关系，请直接写出答案， 27.己知，MG∥NH,A,D为MG,NH上的点，E是MG,NH之间的点 M G M G M G N D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，连AE,DE,探究LGAE,LAED,LEDH(均指小于平角的角)间的数量关系，并说明理由. (2)B,C为射线AG,DH上的点，分别过点B,C作DE,AE的平行线交于F点，分别作LGBF,LHCF的 角平分线，交点为P,如图2. ①若∠AED=120°，则求∠BPC的大小 ②将射线BG沿BF所在直线翻折交线段CP于Q点，如图3，若2∠CQB-∠BFC=135°，则判断BQ与NH的 位置关系，并说明理由， 28.如图，已知ABIICD A A B E02 2 D 图1 图2 A A B E02 E灯2 F34 、n C D C D 图3 图4 (1)如图1所示，∠1+∠2=— (2)如图2所示，∠1+∠2+∠3=；并写出求解过程， (3)如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4=_ (4)如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= 考点03平行线拐点之“抬头模型” 29.如图，已知AB∥DE,∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= 9/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B D E 30.如图，直线MA∥NB,∠A=70°，∠B=40°，则∠P=度. M B N 31.如图，如果ABIEF,EFCD,则∠1，∠2，∠3的关系式 C D B 3 E O F 32.如图，若AB/CD,则∠1+∠3-∠2的度数为 B 3 D 33.已知△ABC中，点D是AC延长线上的一点，过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC ,DG与BG交于点G. A G B B D E D E 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠ACB=90°，∠A=50°，直接求出∠G的度数； 10/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，若∠ACB≠90°，试判断∠G与∠A的数量关系，并证明你的结论： 3)如图3，若FE∥AD,求证：∠DFE=∠ABC+∠G 34.(1)如图，AB/CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数； D (2)如图，AB∥CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE 的度数。 D K (3)如图，P为(2)中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG,GNI/PO,GM平分∠DGP, 若∠B=30°，求∠MGN的度数. D 35.己知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P,Q分别在直线AB,CD上，连接PE,EQ B B D Q 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB,CD之间，试探究∠BPE,∠DQE,∠PEQ之间的数量关系，并说明理由. (2)如图2，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=100°时，求∠PFQ 的度数. (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点F, 当∠PEQ=50°时，求∠PFQ的度数. 36.已知直线AB∥CD,P为平面内一点，连接PA、PD. 11/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B D D 图1 图2 图3 (1)如图1，己知∠A=50°，∠D=150°，求∠APD的度数； (2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 B)如图3，在(2)的条件下，MP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠PAN+∠PAB=∠APD,求∠AND的度数. 37.如图，己知：点A、C、B不在同一条直线，AD∥BE D B 图① 图② 图③ (1)求证：∠B+∠C-∠A=180°： (2)如图②，AQ、BQ分别为LDAC、∠EBC的平分线所在直线，试探究∠C与∠AB的数量关系； (3)如图③，在(2)的前提下，且有AC∥QB,直线AQ、BC交于点P,OP⊥PB,直接写出 LDAC:LACB:LCBE=— 38.己知，ABlICD.点M在AB上，点N在CD上. (1)如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：一；（不需要证明） 如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：一；（不需要证明） (2)如图3中，NE平分∠FND,MB平分∠FME,且2∠E+∠F=180°，求∠FME的度数； (3)如图4中，∠BME=6O°，EF平分∠MEN,MP平分∠END,且EQNP,则∠FEQ的大小是否发生变 化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数. M D C D 图1 图2 图3 图4 考点04平行线之动态探究 39.综合与探究 12/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 问题情境：在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知 识在班级开展课题学习活动：探究平行线在生活中的应用， D E D B 地面 77T7TT7TT7T77T77 图1 图2 (1)初步探究：如图1是路灯维护工程车的工作示意图，其中AB为固定升降梯，BC为活动升降梯，伸缩 BC可调整工作台高度，OB为液压连杆，工作台CD川OE.当∠BOE=60°，∠OBC=105°时，则∠C的度 数为 (2)深入探究：如图2是一种路灯的示意图，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐 角∠u=18°，顶部支架EF与灯杆CD所成锐角∠B=42，求出EF与FG所成锐角∠EFG的度数； (3)拓展延伸：在图2的基础上，只改变∠α和∠B的度数，观察∠EFG度数的变化.探究∠，∠B,∠EFG 之间的数量关系，并说明理由. 40.在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺GEF中， ∠EFG=90°，∠FEG=∠EGF=45°，顶点G在直线AB上. C E D B G B 图① 图② 图③ 【初步感知】 (1)如图①，直线CD交直角三角尺GEF的边GE于点P,若∠I=27°，∠2=108°，则直线AB与CD的位置 关系是 【问题探究】 (2)如图②，过直角三角尺GEF的顶点E作CD∥AB,EH平分∠CEF,GH平分LAGF，,求LEHG的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，将直角三角尺GEF绕顶点G转动，过点E作CD∥AB,在转动过程中，当点E在直线AB的上 方时，试探究∠AGF与∠CEF之间存在的数量关系. 41.【操作探究】 13/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图①，四边形ABCD是长方形纸片，AD∥BC,点E,F分别在边BC,AD上，以EF为折痕折 叠纸片，点A,B的对应点分别是点，B,BE与AD相交于点G.探究∠B'EF和∠GFE的数量关系， 并说明理由； (2)如图②，在(1)中折叠的基础上，再将纸片沿GH折叠，点C,D的对应点分别是点C',D',使得 D'G经过点E.探究两次折痕EF和GH的位置关系，并说明理由； 【拓展提升】 (3)在(2)的条件下，若∠A'FG的度数比∠B'EF的度数大30°，则LCHC'的度数为多少度 B' B' G G D C E E D 图① 图② 42.[问题情境 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，己知直线 AB∥CD,点E、G分别为直线AB、CD上的点，点F是平面内任意一点，连接EF、GF. M B [探索发现] 图1 图2 (1)当∠F=60°时，求证：∠AEF+∠FGC=60°； [拓展探究] (2)如图2点P、Q分别是直线CD上的点，且∠PFQ=∠EFG=90°，直线MN∥FG,交FO于点K,“智 胜小组"探究∠FKN与∠PFE之间的数量关系.请写出它们的关系，并说明理由 43.某数学兴趣小组利用含30°角的直角三角板在两条平行线间的摆放开展数学活动，已知1∥m, ∠BAC=90°，∠B=30°. B 图① 图② 图③ 1419 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)【基础探究】如图①，已知∠1=52°，则∠2的度数为-： (2)【巩固提升】如图②，小组成员琳琳将直线1向上移动，并改变∠1的位置，请写出此时∠1与∠2的数量 关系，并说明理由； (3)【拓展探究】如图③，小组成员阳阳在琳琳操作后，又作了两个角的平分线，使得∠1=∠2，∠3=∠4， 且延长DP与AO相交于点O,现将三角板ABC绕点A旋转，在旋转过程中，∠AOD的度数是否发生变化？ 若变化，请说明理由；若不变，求出∠AOD的度数 44.综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动.如图1，将两个三角板叠放 在一起，使直角顶点A重合，其中∠BAC=∠DAE=90°，∠C=60°，∠D=45°，然后三角板ABC不动， 三角板ADE绕点A旋转. E、 图1 图2 备用图 【操作探究】 (1)如图1，若∠DAB=45°，判断线段DE与AC的位置关系，并说明理由； (2)当三角板ADE绕A转到图2的位置时，DE∥BC,求∠EAB的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板ADE绕点A旋转的过程中，当∠DAC为多少度时，DE∥AB?请直接写出∠DAC的度数. 45.数学活动课上，欣欣为了探究在平行线的条件下角之间的变化规律，进行了如下的探究实验.如图1， 已知：直线AB∥CD,点M、N分别为AB、CD上的点，点P为EF上一个动点， E A M B 图1 图2 图3 (1)初步探究：当点P在AB上方时，连接PM、PN,她通过测量发现两个结论①∠MPN=∠PMA-∠PNC; ②∠MPN=∠PND-∠PMB;请你证明①中的结论； (2)大胆尝试：当点P在AB与CD之间时，她通过测量发现①∠MPN=∠PND+∠PMB;②请你猜想∠MPN 15119 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、LPNC、∠PMA之间的关系式为 (3)思维拓展：当点P运动到CD下方时，∠PMA的平分线ML与LPNC的平分线NZ的反向延长线相交于点 Q,请你猜想∠MPN与∠MQN的关系，并证明你的结论. 46.在数学活动课上，老师提出如下问题，请你和同学们一起进行探究： 问题情境：如图1，已知AB∥CD,点E在AB,CD之间，连接BE,DE. A B 图1 (1)初步探究： 在图1中，试探究∠BED,∠ABE,∠CDE之间的数量关系，并说明理由， 小高同学添加了一条辅助线，过点E作EG∥AB,他的解题思路如下，请你补全解答过程： 解：∠ABE+LCDE=∠BED 理由如下： 过点E作EG∥AB :AB∥CD(己知)， EG∥ (平行于同一条直线的两条直线平行) ∠ABE=∠BEG,LCDE=∠DEG(). :∠BEG+∠DEG=∠BED, ∴∠ABE+LCDE=LBED. (2)类比探究： 如图2，若AB∥CD,∠ABE,∠CDE的平分线相交于点F,猜想∠BFD与∠BED之间的数量关系，并说 明理由， A 图2 3)拓展应用： 如图3，AB∥CD,若点E在直线CD下方，BF平分∠ABE,DF平分LCDE,BF与DF相交于点F,(2) 中的结论还成立吗？请说明理由， 16/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 y D 图3 47.在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：在直角三角尺GEF中， ∠EFG=90,∠FEG=∠EGF=45°，J顶点G在直线AB上. A B E L 图① 图② 图③ 图④ 【初步感知】 (1)如图①，直线CD交直角三角尺GEF的边GE于点P,若∠I=27°，∠2=108°，则直线AB与CD的位置 关系是 【问题探究】 (2)如图②，若AB∥CD,点B,D为直线AB和直线CD上任意一点，探究∠ABE、LCDE与∠BED的数量 关系.并说明理由， (3)如图③，利用(2)所得的结论，过直角三角尺GEF的顶点E作CD∥AB,EH平分∠CEF,GH平分 LAGF,则∠EHG=°； 【拓展延伸】 (4)如图④，将直角三角尺GEF绕顶点G转动，过点E作CD∥AB,在转动过程中，当点F在直线CD的上 方时，直接写出∠AGF与∠CEF之间存在的数量关系 48.综合与实践：如图，AB∥CD,点P为平面内任意一点，连接AP,CP,某数学兴趣小组对∠APC, ∠A,∠C之间的数量关系进行了探究学习. 【探究一】当点P在如图1所示位置时，通过测量，得到猜想结果：∠APC+∠A+∠C=360°. B E 图1 证明：过点P作PE∥AB, .∠APE+∠A=180°. :PE∥AB,AB∥CD, 17/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .PE∥CD, .∠CPE+∠C=180°. ∴.∠APE+∠A+∠CPE+∠C=180°+180°. .∠APC+∠A+∠C=360°. 【探究二】当点P在如图2所示位置时，猜想∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，并给出证明. 图2 【探究三】当点P在如图3所示位置时，请直接写出∠APC,∠A,∠C之间的数量关系，不要求给出证 明. 图3 【探究四】若∠APC=∠A-∠C，请在图4中找到一个符合条件的点P,并补全图形，不要求给出证明. B D 图4 【思维拓展】当点M,N在如图5所示位置时，请直接写出∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系，不要求给 出证明， D 图5 49.综合与探究 【问题情境】数学课上，李老师出示了这样一道题： 如图1，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P为直线AB上方一点，连接PE,PF,探究LDFP, ∠BEP与∠EPF之间的数量关系. 经过思考后，勤奋小组交流了自己的想法： 勤奋小组：如图2，通过作PQ∥AB,发现∠FPQ=∠DFP,∠EPQ=∠BEP,由此即可求出∠DFP, ∠BEP与∠EPF之间的数量关系. 【解决问题】 18/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)请你根据勤奋小组的思路，探究∠DFP,∠BEP与∠EPF之间的数量关系 【迁移探究】 (2)听完勤奋小组的想法，创新小组突发奇想：如图3，当点P在直线CD的下方，且在点F的右侧时，(1) 中的结论是否仍然成立？请帮助创新小组说明理由。 【拓展探究】 (3)如图4，AB∥CD,点E,F分别在AB,CD上，点P是直线AB,CD之间一点，∠EPF=80°， EG平分∠BEP,FH平分∠DFP,EG与FH交于点M,请直接写出∠EMF的度数. E H B D 图1 图3 图4 50.【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线MN,PQ和一块含45°角的直角三角尺ABC"为主题展 开数学活动 【探究发现】 如图①，小明把三角尺中45°角的顶点B放在PQ上，边AB,AC与MN分别交于点D,E. M D/ MD 。 B ① (1)若∠1=70°，则∠2的度数为 (2)如图②，请你探究∠α与∠B之间的数量关系，并说明理由； (3)【延伸拓展】如图③，AB⊥P9,把三角尺ABC从图③的位置开始绕点B顺时针旋转n°(0<n<180), 当直线AC与MN相交所成的锐角是63°时，请直接写出∠PBA的度数. 19/19