专题09 旋转中解答题压轴6题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦旋转综合压轴题，按线段关系、最值等六类题型系统分类，通过探究性问题链深化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段关系问题|5题|含观察猜想、旋转证明、拓展延伸|以旋转性质为核心，结合全等三角形推导线段数量与位置关系| |最值问题|5题|涉及动态旋转、路径最值|通过旋转变换转化线段，利用两点之间线段最短等原理求最值| |实际应用综合|5题|联系景观设计、步道规划等场景|将旋转模型应用于实际问题，体现数学应用意识| |面积问题|6题|结合图形旋转分析面积关系|运用旋转全等性质，推导图形面积和差及最值| |角度问题|5题|含旋转角计算、角平分线综合|通过旋转角与已知角关系，培养几何直观与推理能力| |实践探究类|5题|包含操作猜想、迁移证明|以问题串形式引导探究，发展创新意识与数学表达能力|

专题09 旋转中解答题压轴 题型1 旋转综合之线段关系问题（压轴） 题型4 旋转综合之面积问题（压轴） 题型2 旋转综合之最值问题（压轴） 题型5旋转综合之与角度问题（压轴） 题型3 旋转综合之与实际应用综合（压轴） 题型6 旋转综合之与实践探究类（压轴） 题型一 旋转综合之线段关系问题（共5小题） 1．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图1，在中，，,点D，E分别在边，，连接，，点F是线段中点,连接交于点H． (1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是 ______，位置关系是_____； (2)探究证明：把处点C逆时针旋转α．如图2，请问（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由 (3)拓展延伸∶把绕点C旋转，当点D旋转到直线上时，连接，试探究与、之间有怎样的数量关系？ 【答案】(1)， (2)，仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质图形旋转变化的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的判定与性质构造全等三角形是解题的关键，也是解决此类问题常添加的辅助线． (1)证明，，，则可得出结论； (2) 延长至点G，使，连接，如图，证明，得出，，证明得到，，则可得出结论； (3)分两种情况，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出结论． 【详解】（1）解：在和中， ， ． ． ∵点F是线段中点，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， 故答案为：，； （2），仍然成立． 理由：延长至点G，使，连接，如图， ∴F是的中点， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ∵将图1中的绕点C逆时针旋转， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 仍然成立． ，， ， ， ． （3）如图，当点E在的延长线上时，延长，使，连接， 由可知，，, ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； 当点E在线段上时，延长，使,连接， 同理可得出四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； 综上所述，与、之间的数量关系是或． 2．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）数学活动课上，老师出示了两个大小不一样的等腰直角三角形，并摆在一起，即和，其中直角顶点A重合，，，． 【用数学的眼光观察】 (1)如图1，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； 【数学的思维思考】 (2)如图2，连接，，若F是的中点，判断与的数量关系，并说明理由； 【用数学的语言表达】 (3)如图3，延长至点F，使得，然后连接，，若，，当绕点A旋转且D，E，F三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)．理由见解析 (2)．理由见解析 (3)线段的长为或 【分析】（1）用证明，即可求解； （2），理由：过点作交的延长线于点，证明、，即可求解； （3）①如图所示，过点作于，求出，，得到，即可求解；②如图所示，过点作于，同理可解． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ， ，， ， 则； （2）解：，理由： 过点作交的延长线于点， ，， 是中点，则， ， ，， ， ， ， ， ， ， 则； （3）解：旋转得到，，三点共线， ①如图所示，过点作于， 是等腰三角形，，， ，， 在中，， ， ； 即旋转得到，，三点共线时，； ②如图所示，过点作于， 同理，，即旋转得到，，三点共线时，， 综上所述，线段的长为或． 3．（2026年北京市西城区九年级中考二模数学试题）在中，，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． (1)如图1，当点在上时，求证：点是的中点； (2)如图2，当点在下方时，点在上，若，用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，根据旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，进而得到，可知，即可证明点是的中点； （2）延长至G，使得，连接，，证明，得到，进而求出，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，可知，即，可知，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是的中点； （2）解：，证明如下： 如图，延长至G，使得，连接，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题探究】如图1，在中，，将线段绕点A逆时针旋转一定角度得到线段，过点E作交延长线于点F，连接，点B、F、E在同一条直线上．求证：； (2)【扩展应用】如图2，设计师为某景区设计景观台支架，支架主体为等腰，其中，底座为水平支撑梁，（为设计的底角参数），为了增强支架的稳定性，需要在梁上选取一点D，将连接顶点A与D的斜撑绕点A逆时针旋转得到新的斜撑，同时，安装垂直于梁的防护栏，分别交的延长线于点F，交梁于点G，请探究线段和之间的数量关系，并说明理由．（图中所有点都在同一平面内） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定，证明对应边相等； （2）先通过“”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线垂线的条件，用“”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【详解】（1）证明：， ， 在△和△中， ， △△， ； （2）解：，证明如下： 如图，连接， 由题意知，，， 在△中，，， ， ， ，即， 在△和△中， ， △△， ，， ， ， （问题探究中已证） , , 在△和△中， ， △△， ， ， ． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）在中，，，点N为直线上的一点． (1)点M为延长线上的一点，连接，为的角平分线． ①如图1，若，求证：是等腰三角形； ②如图2，F为中点，连接，，连接，，若，，求的长； (2)如图3，将绕点C逆时针旋转后，顶点A旋转到上的点D，顶点B旋转到点Q，连接，将沿翻折，点A的对应点为，连接过CD中点O，过点C作，垂足为H，交于点P，连接，请补全图形，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)①见解析；②5 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】（1）①根据角平分线的定义以及平行线的性质证明即可； ②过点作于点H，先根据角平分线的性质定理得到，然后证明，然后由线段的垂直平分线的性质得到，即可证明，最后根据全等三角形的性质以及线段和差求解； （2）先依据题意补全图形，过点作交的延长线于点，由旋转可得，，由对称可得，，点在延长线上，得到，先证明，则，再证明，最后根据线段和差证明即可． 【详解】（1）证明：①∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②过点作于点H， ∵为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解： 补全图形如图： ， 过点作交的延长线于点， 由旋转可得，， 由对称可得，，点在延长线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型二 旋转综合之最值问题（共5小题） 1．如图，在中，，，D为线段上一点，连接，将射线绕点D顺时针旋转交直线于点E，连接． (1)如图1，若，，求线段的长． (2)如图2，若，过点B作，交射线于点F，用等式表示线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，若，，过点A作的垂线，垂足为点M，当取得最小值时，直线上方有一点Q，使得，当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点D作于点F，过点D作于点G，证明四边形是矩形，先由，，，求得，从而得到，最后在中，由求得； （2）过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H，先证，再证，从而得到； （3）先由瓜豆原理得到点M的轨迹为线段，当垂直于该线段时，取得最小值，此时点M为线段的中点，点D为线段的中点，再根据定角定弦，得到点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上，当C，O，Q三点共线且点Q在C，O之间时，取得最小值，连接，过点M作于点R，通过，求得的长度，再根据，求得的长度，最后根据三角形面积公式求出． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点F，过点D作于点G， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，过点A作交延长线于点G，连接，过点G作交于点H， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，过点A作的垂线，垂足为点M， ∴，， 如图3，取的中点，连接，当点D与重合时，设此时的对应点为 连接，由瓜豆原理，点M的运动轨迹即为直线的一部分． ∵在中，，， ∴， 即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 当时，取得最小值， 此时点M与点重合，点D与点重合，即点M为线段的中点，点D为线段的中点． 如图4，当点M为线段的中点，点D为线段的中点时， ∵， ∴点Q在以线段的中点O为圆心，为半径的圆上， 连接，交于点Q，且点Q位于点C与点O之间，此时取得最小值， 连接，过点M作于点R， ∵，O为线段的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∵M为线段的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， 设，则， ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·山东东营·期中）如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． (1)如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； (3)若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】(1)依然成立，理由见解析 (2) (3)8 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； （3）解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期中）已知，为等腰直角三角形，，，点在直线上， (1)如图，点为斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转到，连接、、，与的关系为____________； (2)点为直线上一点，若，，求的长； (3)在（1）的条件下，若，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)且； (2)或； (3)． 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题．确定点的运动路径是解题的关键． （1）根据旋转的性质得到，，由为等腰直角三角形得，，得到，证得，进而可得到答案； （2）分两种情况：当点为线段上一点时，和当点为的延长线上时，求得，由勾股定理可求解； （3）作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小，利用勾股定理求得，最后得到答案． 【详解】（1）与的关系为：且，证明如下： 将绕点顺时针方向旋转到， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ∵，， ， ， ， ． 故答案为：且； （2）当点为线段上一点时， ，， ， ， ， ， 在中，； 当点为的延长线上时， ，， ，， ， 在中，； 综上，的长为或； （3）∵，即所在的直线固定，即点E在射线上运动， 作点关于的对称点，连接，交所在的直线于，此时最小， 且有，， 作于点G，则， ∴四边形是正方形， ∴ ∵，，， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题发现： 如图1，等边内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，这样就可以将三条线段转化到一个三角形中，从而求出的度数．请按此方法求的度数，写出求解过程； （2）拓展研究： 请利用第（1）题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，中，,，点E，F为边上的点，且，判断之间的数量关系并证明； ②如图3，在中，，，，在内部有一点P，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1），见解析；（2）①，见解析；② 【分析】（1）连接，根据题意得到，，，进而得到'为等边三角形，，根据勾股定理逆定理证明是直角三角形， 且，即可求出； （2）①证明，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接，得到，，，，进而得到，根据勾股定理得到 ，证明，得到，即可得到； ②将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，，即可得到，，，，从而得到为等边三角形，， 根据两点之间线段最短得到 ，即可得到当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长，根据勾股定理求出，即可得到的最小值为 【详解】解： （1）连接， ∵将绕顶点 A 逆时针旋转60°到， ∴，， ∴'为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 且， ∴， ∴； （2）①． 证明： ∵,， ∴， 如图，将绕点A逆时针旋转， 得到， 连接， 则：，，，， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； ②的最小值为 如图，将绕点B逆时针旋转，得到， 连接，， 则：，，，， ∴为等边三角形，， ∴ ∴ ， ∴当且仅当，，P，C四点共线时， 的值最小为 的长， ∵， ∴， ∴的最小值为 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键． 5．（2026·四川成都·模拟预测）如图1，与均为等边三角形，将绕点逆时针旋转，旋转角为（其中），连接，，是的中点，． (1)求证：； (2)如图2，连接，当的延长线经过点时，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，连接，若，在绕点旋转的过程中，求的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)菱形，见解析 (3) 【分析】本题考查几何变换综合题、等边三角形性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． （1）根据等边三角形性质和旋转性质可得，，证明和全等，即可得证； （2）过点作，利用直角三角形求出的长，由勾股定理可求，可得，再利用同旁内角互补证明，即可得证； （3）取中点，连接，利用三角形三边关系即可求解． 【详解】（1）解： 与为等边三角形， ， 绕点逆时针旋转， ， 在和中 ， ； （2）四边形为菱形，理由如下： 过点作，垂足为， 为等边三角形， ，， ， ， 的延长线经过点，， 由勾股定理得，， ， ， 由（1）得，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形； （3）取中点，连接， 为等边三角形，为中点， ， ， ， 为中点，为中点， 为的中位线， ， 在中， 最大为． 题型三 旋转综合之与实际应用综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图1，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接，连接并延长交于点，求的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点的对应点位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点，交于点，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点为旋转中心，将原广场等腰绕点逆时针旋转一个锐角得到，点的对应点在的外部，点的对应点为点，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 【答案】(1) (2) (3)400米 【分析】（1）由旋转的性质得出，，证出，，则可得出答案； （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； （3）过点E作交延长线于点G，证明，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：，， ，     由旋转的性质得，， ，，     ， ． （2）解：由旋转的性质知，， ∴，即，     ，     ，， ． （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由旋转的性质得，，，     ， ， ，     ， ，     又， ， ， ，     米，     （米）， 即无障碍健身步道的长为400米． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）【特例感知】 在中，，， (1)如图1，若，将绕点逆时针旋转得到，连接，则________； (2)如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时点，，恰好共线，连接，求的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园．岛屿中心有一座瞭望塔（视为点），用于监控全园生态及安保．计划在海岸线处设立主入口，在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站和．经测量，休息驿站到休息驿站和入口的距离相等（），且．测得瞭望塔到驿站的距离为米，到驿站的距离为米．为了提升游客体验，需要修建一条连接入口与瞭望塔的全景栈道．为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长．在此条件下，求四边形区域的占地面积． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）证明为等边三角形，得到，点B，C，E共线，再由即可求解； （2）设与相交于点F，由旋转得，，，则，，利用勾股定理求出，，求出，然后利用三角形面积公式求解； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F，得到当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图，由旋转得到，然后求出，进一步利用勾股定理求出，最后利用求解即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴点B，C，E共线， ∴； （2）解：设与相交于点F， 由旋转得，，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的面积； （3）解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，设与相交于点F， ∴， ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值，过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 由旋转得，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． ∴当最大时，四边形的面积为． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【答案】(1) (2)的值最小为 (3)道路的长为 【分析】（1）先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，可得，即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，连接，则是等边三角形，再进一步求解即可． （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图， 连接，则是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴点A，C在线段的垂直平分线上，点B，N在线段的垂直平分线上，即与互相垂直平分． 设与的交点为F，则为直角三角形，，， ∴， ∴， 即的值最小为． （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接，过点A作，垂足为H，则． ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． ∴ ． 根据旋转的性质可知，，，， ∵， ∴，即点G在的延长线上， 在中，， ∴， 由勾股定理，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 即道路的长为． 4．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图，和均为等边三角形，连接、． ①若，则的度数为_____； ②若点、、在同一条直线上，，，求的长； 【问题解决】 (2)如图2，某校计划在校园内搭建一个形如等边的创意景观花圃，在等边花圃内部设置休息平台点，、是两条石板小路，，在等边花圃右侧设置阅读拐角，使得，、为两条石子小路，在上布置景观灯带，根据设计要求，米，米，米，求景观灯带的长．（休息平台、阅读拐角的大小，石板小路、石子小路、景观灯带的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①；② (2)米 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得出，，，根据角的和差关系得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案； ②根据等边三角形点性质结合外角性质得出，，，利用“三线合一”的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而可求出的长； （2）把绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，米，可得是等边三角形，米，，根据，得出点、、在同一条直线上，米，根据，得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． ②如图，设与交于点， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵点、、在同一条直线上，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：如图，把绕点顺时针旋转，得到，连接， ∵，， ∴， ∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴，，，米， ∴是等边三角形，米，， ∴，， ∴点、、在同一条直线上，米， ∴在中，米． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【特例感知】如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，则 ； (2)【类比迁移】如图2，将绕点A逆时针旋转得到，且满足点B，C，E三点共线．若，请猜想之间具有怎样的数量关系？并说明理由． (3)【问题解决】如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B，C的距离相等，且满足，点D为公园中的观景点，若米，米，计划修建一条观赏栈道，要使得栈道尽可能长，求四边形的面积． 【答案】(1)6 (2)，见解析 (3)四边形的面积为 【分析】（1）先说明是等边三角形，可得，再根据得出答案； （2）设与相交于点F，由旋转的性质得，再说明是等腰直角三角形，可得，然后根据得出答案； （3）将绕点A逆时针旋转，得到，连接，由三角形的三边关系可知当三点共线时，取得最大值，即的最大值，再根据等腰三角形的性质求出（米），即可得米，接下来设与相交于点F，作于点G，可得，然后说明是等腰直角三角形，即可求出米，再求出和，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：．理由如下： 如图1，设与相交于点F． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图2，将绕点A逆时针旋转，得到，连接． ∵， ∴当C，D，E三点共线时，取得最大值，即的最大值． 此时，∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． 设与相交于点F，作于点G． ∵ ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴米， ∴， ． ∴． 因此，当最大时，四边形的面积为． 题型四 旋转综合之面积问题（共6小题） 1．（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题． 如图1，在中，，，，分别为，的中点，将以点为旋转中心，顺时针方向旋转后得到（点，的对应点分别为点，），连接，． 【初步感知】 （1）如图2，当，，三点恰好在同一条直线上，且点在线段上时，的度数为__________．（用含的式子表示） （2）如图3，在旋转过程中，试判断线段和之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【延伸探究】 （3）如图4，当满足时，连接，，若设与的面积之和为，则是否存在最大值？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），，理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、旋转的性质、三角形内角和定理以及最值问题的求解． （1）根据线段中点的定义可得，再由旋转的性质可得，，，，由等边对等角可得，证明，则由三角形外角和定理可得； （2）延长交于点，交于点，由（1）知，则，，则可推导，由此得到线段和之间的数量关系和位置关系； （3）连接，，二者交于点，由（1）得，，证明，则，推导， ，当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值，当、、三点共线时，有最大值，由与的面积之和的最大值为即可解答． 【详解】（1）解：，，，分别为，的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，，，， ， ， ， 又， ， ； （2）解：，，理由如下， 如图，延长交于点，交于点， 由（1）知， ，， 又， ， ， 综上所述，，； （3）解：如图，连接，，二者交于点， 由（1）知，， ， ， ， 又，， ， ，， 设，则，， ， ， ， 即， ， ， 当有最大值，有最大值，与的面积之和有最大值， ， 当、、三点共线时，有最大值，最大值为， 的最大值为， 与的面积之和有最大值，此时． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）（1）类比探究 将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，记旋转角为，连接，，两直线交于点P． ①如图1，当时，交于H，则线段与线段的数量关系为_____，线段与线段的数量关系为_____； ②如图2，当时，则①中线段与线段的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由． （2）学以致用 如图3，在中，，，，将绕点B按顺时针方向旋转得到，记旋转角为，连接，，两直线交于点P，取中点M，中点N，连接，，在旋转过程中，当四边形的面积最大时，直接写出的值． 【答案】（1）①；；②依然成立，证明见解答； （2）或． 【分析】（1）①根据题意判定和为等腰直角三角形，然后通过证明即可得出结论； ②通过辅助线推出，然后根据证明结论； （2）根据（1）的结论得出点P为的中点，然后判定为菱形，当其为正方形时面积最大，然后判定当旋转角或时均符合题意，然后构造即可求解． 【详解】解：（1）①根据旋转的性质可知： ， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 故答案为：；； ②如图，过点F作交于点Q， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理①可证：（）， ∴， 故依然成立； （2）根据（1）可知，点P为中点， ， ∴、为的中位线， ， ∵， ∴四边形是边长为的菱形， 设四边形底边上的高为h． 由于，故当时，四边形面积取最大值， 此时，四边形为正方形，分为旋转角或两种情况，如图： ①当时，作，H为垂足， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ②当时，四边形为正方形，作，为垂足， 同理可得四边形为矩形， ∴，， ∴ ∴， 故的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图1，在中，，，，，且，将绕一点按逆时针方向旋转到的位置，点，，的对应点分别为，，，其中，，在同一直线上，连接． (1)求的度数； (2)用不同的方法计算梯形的面积，并以此说明，，之间的数量关系； (3)如图2，取的中点，将梯形分别沿直线、翻折，点、同时落在上的点处，若，则是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析，（） (3)是定值， 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，折叠的性质等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据旋转的性质得出，，根据直角三角形中，两锐角互余得出，推得，即可求解； （2）根据旋转的性质得出，，根据两种四边形的面积计算方法，列出等式，即可求解； （3）根据折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积，即可得出的面积，根据题意得出，结合（2）的结论得出的面积，即可求解． 【详解】（1）解：由旋转可知：，， 在中，， ∴， 即， ∵， ∴． （2）解：由旋转可知：，，， ∵梯形的面积， 梯形的面积的面积的面积的面积， 故， 整理得或． （3）解：由折叠的性质可知：，的面积的面积，的面积的面积， 又∵的面积的面积的面积， ∴的面积梯形的面积， ∵， ∴， 整理得； 又∵的面积，由（2）可得 即的面积， ∴， 将代入，得． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期中）已知：如图1，四边形中，，，． (1)如图2，连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，则的形状是_______． (2)若，，在（1）的基础上，求四边形的面积． (3)如图3，四边形中，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】(1)等边三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，则，，即可判断的形状； （2）由（1）知等边三角形的边长为，过点作于点，结合等腰三角形三线合一性质及勾股定理求出，再求出即可； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，，再求出和的面积和即可． 【详解】（1）解：∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， 即的形状是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，过点作于点， ∵，，， ∴，，， ∵四边形中，，， ∴， ∴， ∴点、、共线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）连接，由于，所以可将绕点顺时针方向旋转，得到，连接，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，腰直角三角形的判定和性质，等积代换思想，类比思想等知识点，构造直角三角形，求出三角形的高是解题的关键． 5．（24-25九年级上·广东清远·期末）在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，固定矩形，将矩形绕的中点O逆时针旋转 . (1)初步发现：在旋转过程中，对角线与边、分别交于点S、T，如图2，则线段与始终存在着怎样的数量关系?请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图2. ①求证：四边形为菱形； ②随着矩形纸片的旋转，四边形的面积会发生变化，若，，请求出四边形的最大面积与最小面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；②四边形的最大面积为20，最小面积为16 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，矩形的性质，菱形的判定，勾股定理． （1）由矩形的性质可得，，从而通过“”证明，即可得到； （2）①过点Q作于点K，作于点L．由矩形和矩形得到，，因此四边形是平行四边形．通过“”证明，得到，从而得证是菱形； ②由菱形的面积公式可得，而在中，，因此当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值．而随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大．当点F与点C重合时或点E与点B重合时， 有最大值；当点N与点K重合时，，为最小值．分别求解即可解答． 【详解】（1），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴ （2）①过点Q作于点K，作于点L． ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形，四边形是矩形， ∴，， ∴四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∵矩形和的宽相等，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∴是菱形； ②∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∵在中，， ∴当为最大值时，有最大值，当为最小值时，有最小值． ∵随着矩形纸片的旋转，逐渐减小，当时为最小值，然后逐渐增大． 如图①，当点F与点C重合时，有最大值，此时点A与点Q，点D与点K重合， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴ ∴， ∴ ， 或如图②，当点E与点B重合时，有最大值，此时点D与点G，点N重合 同理设，， 在中，，即， 解得， ∴， ∴ ∴ ， 即菱形面积的最大值为20； 如图③，当点N与点K重合时，，为最小值，此时， ∴ 即菱形面积的最小值为16； 综上所述，四边形的最大面积为20，最小面积为16． 6．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． (1)如图1，点D在的边上，连接，将绕点D逆时针旋转到，连接，延长，相交于点F，若，求（用含α的代数式表示）； (2)如图2，点D在的内部，连接，将绕点D顺时针旋转到，连接，，与相交于点P，若，求证：； (3)如图3，点D在的外部，连接，且，点E，点F，点G分别是，，上一点且，已知等边的高为，当最小时，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】（1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，由旋转可知：，，则，，推出，证明，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ∵将绕点D逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， 为的外角， ； （2）证明：如图，在上截取，使得，连接， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， 由旋转可知：，， ，， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，连接，过点A作且使得，连接，， 为等腰直角三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ∴最小时最小， 当时，最小，此时为等边的高， ． 题型五 旋转综合之与角度问题（共5小题） 1．（25-26七年级下·重庆·期中）在中，和的平分线交于点，过点作分别交、于点、， (1)如图1，若，，求； (2)如图2，延长至点，延长至点，同一平面内有一点位于下方，连接、，满足， ，平分交于点，平分交于点，过点作于点，若，求的度数； (3)如图3，在（1）问的条件下，将绕点以每秒的速度顺时针旋转得，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转得，为的角平分线，设运动时间为秒，在运动过程中，当直线与中任意一边平行时，请直接写出符合条件的时间的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质计算即可得出结果； （2）先求出，从而可得，再求出，结合，计算得出，最后再由角平分线的定义以及三角形外角的定义及性质计算即可得出结果； （3）分五种情况：当时，延长交的延长线于点，则；当时，延长交于点，则；当时，延长交于点，交于点，则；当时，延长交于点，则；当时，延长交于点，则；分别结合平行线的性质，列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴； （3）解：如图，当时，延长交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵将绕点以每秒的速度顺时针旋转得，同时绕点以每秒的速度逆时针旋转得，设运动时间为秒， ∴，， 由（1）可得：，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，当时，延长交于点，交于点，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 如图，当时，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，符合条件的时间的值为或或或或． 【点睛】两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；旋转的性质：旋转前后对应角相等；采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题．如图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A，B两点，两脚脚跟位置分别记为C，D两点，若A，B，C，D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A，B，C，D绕点O转动，其中O为该平面内的一个定点． (1)在腿部运动的过程中，A，O，B三点始终共线．如图2，当A，B不在水平方向上时，若，，求的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A，O，B三点共线，且，，平分，且．绕点O顺时针旋转，若的旋转速度为，的旋转速度为，当运动到位置时，运动停止．运动停止时，直接写出______；（用小于平角的度数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）不妨设，故，因为，求解即可； （2）此时转动的时间为：，因为的旋转速度为， 故转过的角度为：，此时． 【详解】（1）解：因为， 不妨设， 故， 因为， 所以， 解得， ； （2）解：根据题意，，得， 因为，平分， 所以， 所以， 当运动到位置时，运动停止， 的旋转速度为，此时转动的时间为：， 因为的旋转速度为， 故转过的角度为：， 此时． 3．（25-26七年级上·湖北荆门·期末）一个问题解决经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面就一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 （1）如图①，已知，，为的角平分线，则的度数为______； 【探索归纳】 （2）如图①，，，为的角平分线．猜想的度数（用含、的代数式表示），并说明理由； 【问题解决】 （3）如图②，若，，．若射线绕点以每秒逆时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，射线绕点以每秒顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？请直接写出结果． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）或或 【分析】本题主要考查了角的和差计算，角平分线的定义以及角的动态旋转问题． （1）先根据角的和差关系得到，再由角平分线的定义得到，最后再运用角的和差关系得到的度数； （2）先根据角的和差关系得到，再由角平分线的定义得到，最后再运用角的和差关系即可表示出的度数； （3）设经过的时间为秒，延长到，由题意知，旋转了，旋转了，旋转了，从而得到移动后，，，，结合图形分类讨论：①当是，夹角的角平分线，即平分；②当是，夹角的角平分线，即平分；③当是，夹角的角平分线，即平分；④当是，夹角的角平分线，即平分；最后运用角的和差关系即可得出结论． 【详解】解：（1），， ， 为的角平分线， ， ； （2），理由如下： ，， ， 为的角平分线， ， ； （3）设经过的时间为秒，延长到， 由题意知，旋转了，旋转了，旋转了， 移动前，，， 移动后，，，， 经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合，经过秒射线与直线重合， 总运动时间为秒， ①当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，，解得， ， ， 解得（舍去）； ②当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，解得， ， ， 解得； ③当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，解得， ， ， 解得； ④当是，夹角的角平分线，即平分时， 此时，，，，解得， ， ， 解得， 综上所述，运动时间为或或秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线， 故答案为：或或． 4．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）如图，分别为和的角平分线． (1)若，则____________°，___________°，___________°； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，先绕点逆时针以每秒的速度旋转，当与重合时，立即反向绕点顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为旋转后的对应射线记为的角平分线记为．设运动时间为秒． ①当时，求出对应的的值； ②在整个运动过程中，的角平分线记为（如图3）．是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)①或或或；②， 或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算等知识，理解题意，通过题目中的信息找到等量关系，并利用分情况讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小即可； （2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t； ②分类讨论：当与重合；当射线返回时与重合时；当射线与共线时；根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围． 【详解】（1）解： 为的角平分线， ， ， ， 为的角平分线， ，， ， ； 故答案为：；；； （2）解：①， ， （i）当逆时针旋转至如图时， 由（1）知， ， ，解得； （ii）当逆时针旋转至如图时， ， ，解得； （iii）， 逆时针旋转到用时， 再顺时针旋转至如图位置， ， 顺时针旋转用时， 共用时； （iv）再顺时针旋转如图位置， ， 顺时针旋转用时， 共用时， 综上，的值为或或或； ②当与重合之前， 如下图所示， ，，， ， 当运动秒时，，， 平分， ， ，， ，； 当与重合时，， 解得：， 时，的值不变，是； 当射线返回时与重合时， 则有，, ， ，， ， 当运动到射线与共线时，， 解得：， 时，， 平分， ， ，， ，， ； 综上所述，存在且定值为，满足条件的的取值范围为或． 5．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）若射线在内部（不与，重合），射线把分成和，为了方便表示这两个角的比值，规定，（本题中所有角均大于且小于）． (1)如图，射线在内部，若，则_____． (2)如图，，，分别从同时出发，绕点顺时针方向旋转，绕点逆时针方向旋转，当到达时两者都停止运动，设旋转时间为秒（）． ①若旋转速度均为每秒，______； ______；（用含的代数式表示） _____． ②若射线的旋转速度为每秒，射线的旋转速度为每秒，且到达后立即以相同的速度绕点顺时针方向旋转，当为何值时，？ (3)如图，若，，初始时与重合，从图中的位置绕点顺时针旋转，即（且），在旋转过程中，分别作射线和，使，写出所有使成立的的值． 【答案】(1) (2)①，，1；②或 (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了角的和差关系、新定义运算及分类讨论思想，通过建立方程求解角度，考查了几何与代数结合的综合应用能力． （）已知，先利用角的和差关系得出，再根据题目定义的比值公式代入角度关系计算得到比值为； （）①已知旋转速度均为每秒，旋转时间为秒，先得出，再根据，利用比值公式分别计算，；最后验证两者之和为；②分两种情况讨论：当时，未到达，直接代入角度关系列方程解得；当时，已过，重新表示角度后代入角度关系列方程解得； （）①当时，先根据得到，再结合已知角度和的定义，通过角的和差关系计算出，从而解得；②当时，先根据得到，再结合已知角度和的定义，通过角的和差关系计算出，从而解得． 【详解】（1）解：∵射线在内部，， ∴， 故答案为：， （2）解：①∵旋转速度均为每秒， ∴ ∴； ；（用含的代数式表示）， ， 故答案为：，，； ②当时， ，解得， 当时， ， 解得， 当或时，； （3）解：的值为或． ①当时，如图 ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为或． 题型六 旋转综合之与实践探究类（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）【问题提出】 (1)如图，在等腰中，，，将等腰绕点A逆时针旋转一定角度得到，点B的对应点D恰好落在上，连接，则的度数为__________； (2)【类比探究】 如图，在等腰中，，，将等腰绕点A逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点B的对应点D位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点F，交于点O，求证：； (3)【拓展应用】 如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点A为旋转中心，将原广场等腰绕点A逆时针旋转一个锐角得到，点B的对应点D在的外部，点C的对应点为点E，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点F，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)400米 【分析】（1）利用旋转的性质与等腰三角形的性质求解即可； （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； （3）过点E作交延长线于点G，证明，得出，从而可得结论． 【详解】（1）解：，， ，     由旋转的性质得，， ． （2）解：由旋转的性质知，， ∴，，，即，     ，     ，， ． （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由旋转的性质得，，，     ， ， ，     ， ，     又， ， ， ，     米，     （米）， 即无障碍健身步道的长为400米． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）按要求解答下列问题： (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．则线段与线段的数量关系是：______． ①如图2，小振同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M． ②如图3，小鸣同学要证，从而给出如下解题思路：在BC上截取，连接．根据两位同学不同角度的探究，你能直接写出线段与线段之间的数量关系吗？（直接填入上面横线上）． (2)【类比分析】 如图4，小峰同学针对两位同学的方法作进一步探究：在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，此时线段与的数量关系是______，请帮助小峰写出结论并证明． (3)【学以致用】 如图5，在（2）的条件和结论下，若，，连接，请用含a的式子直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）①选择小振同学的解题思路，证明，再证出为等腰直角三角形，最后根据勾股定理可得，即可得出结论；②选择小鸣同学的解题思路，证明，再根据勾股定理可得，即可得出结论； （2）在边上截取，连接，过作于，可得，证明，根据含角直角三角形的性质得到的长． （3）仿照（2）的方法解题即可. 【详解】（1）证明：①如图，过作交的延长线于， ， ， ，， ． 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， ，，， ， ，． ， ， ， ， ， ， ． ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ． ②如图，在上截取，连接． ， ， ． ， ，即． ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ． ， ， ； （2）解：如图，在边上截取，连接，过作于，连接， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ， ． （3）解：如图，在边上截取，连接，过作于， 由题意得，，． ， ． ，， ∴， ， 在和中， ，，， ， ． ，， ， ， ， ． 又， ，， ． ，， ，， 根据勾股定理得，， ． 3．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）在中，于点． 特例研究： (1)如图，若线段沿着翻折，正好落在上，作，，，则________； 操作发现： 如图2，点分别在线段，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，点，都在射线上； (2)若，试猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)将绕点逆时针旋转，旋转角记为．记旋转中的为，在旋转过程中，点的对应点分别为，直线与直线交于点，与直线交于点．若，，请直接写出旋转角的度数_____． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)或． 【分析】（1）根据折叠求出，再根据内角和为结合题干，求出，最后根据即可求解； （2）先根据的内角和为结合求出，再根据折叠得出，最后根据是的外角，是的外角，运用外角的性质即可求解与之间的数量关系； （3）先根据折叠和旋转，推出，再根据题干推出四点共线，结合，推出，最后进行分类讨论：①当，②，均根据平行的性质即可求解出旋转角的度数． 【详解】（1）解：∵线段沿着翻折，正好落在上， ∴， ∵， ∴， ∵内角和为，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵的内角和为，， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴ ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∵， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵折叠， ∴， ∵绕点逆时针旋转得， ∴， ∵直线与直线交于点，与直线交于点， ∴点、点在直线上， ∴四点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， 分类讨论： ①如图，当， ∵， ∴， ∴； ②如图，当， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上，旋转角的度数为或． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）解答下列问题： (1)【静图识形】如图1，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，连接，过点作交直线于点．求证： ． (2)【数形转化】如图2，将图1以为原点建立平面直角坐标系，若边所在直线为，分别与轴、轴交于点、点． ①求边所在直线的函数表达式； ②点是直线上一动点，当的面积为时，请求出所有符合条件的点的坐标． (3)【动点推广】在（2）问的条件下，若点在边上，且，过点作，交于点，交直线于点，在轴负半轴上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)①，②或 (3)存在， 【分析】（1）证明即可证明； （2）先求出A、B、C、D的坐标，①利用待定系数法即可求解；②过点作交于点，不妨设点P的坐标为，那么点坐标为，，通过，即可求得答案； （3）过点作交于点，先通过求得，设，再通过求得点，先证明，得到，结合三角形内角和证明，又结合三角形内角和证明，进而证明，根据解析式设直线的解析式，代入M的坐标，再求出直线的解析式，问题得解． 【详解】（1）证明：根据旋转有：，，， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ； （2）解：令，解得：， 令，解得：， ∴，， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，， ①设边所在直线的函数表达式为：， 即有：，解得：， ∴边所在直线的函数表达式为：； ②如图，过点作交于点， 不妨设点P的坐标为，那么点纵坐标为， ∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 解得，或者， 当时，， 当时，， ∴点P的坐标为：或； （3）解：存在，．理由如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵点在边上，边所在直线的函数表达式为：， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， 又， ∴，即， ∴， ∵边所在直线为， ∴设边所在直线为， 将代入，得：， 解得：， ∴边所在直线为， 令时，， ∴． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）阅读材料，并解决问题： (1)【思维指引】如图1，等边三角形内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为5，12，13，求的度数． 解决此题，我们可以将绕顶点A逆时针旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是________三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段，，转化到一个三角形中，从而求出________； (2)【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，，，E，F为边上两点，且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论； (3)【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，，，请你求出的最小值． 【答案】(1)等边； (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意易得，，，根据旋转的性质可知，然后可得，进而问题可求解； （2）把绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，，然后可得，则有，进而根据勾股定理可得证； （3）将绕点C逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质，得，，，，由题意易得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长．过点A作的垂线，交延长线于点H．然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：如图，将绕顶点A逆时针旋转到处，连接， ， ，，， 依题意得旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； （2）解：．证明如下： 如图，把绕点A逆时针旋转得到，连接． 由旋转的性质，得，，，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理，得， 即； （3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接． 由旋转的性质，得，，，， ∴， ， ， ∴当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为的长． 过点A作的垂线，交延长线于点H． ， ， ， ， ∴， ． 1 / 89 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09旋转中解答题压轴 题型归纳·内容导航 题型1旋转综合之线段关系问题（压轴） 题型4旋转综合之面积问题（压轴） 题型2旋转综合之最值问题（压轴） 题型5旋转综合之与角度问题（压轴） 题型3旋转综合之与实际应用综合（压轴） 题型6旋转综合之与实践探究类（压轴） 题型通关·靶向提分 题型一旋转综合之线段关系问题（共5小题） 1,(24-25八年级下.四川成都期中)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB,点D,E分别在边CA, CD=CE,连接DF,AE,点F是线段BD中点，连接CF交AF于点H, 图1 图2 备用图 (1)观察猜想：图1中，线段AE与CF的数量关系是 位置关系是」 (2)探究证明：把△CDE处点C逆时针旋转a(0°<<90).如图2，请问(1)中的结论是否仍然成立？请 说明理由 (3)拓展延伸：把ACDE绕点C旋转，当点D旋转到直线AE上时，连接BE,试探究BE与CD、CF之间有怎样的 数量关系？ 2,（25-26八年级下辽宁辽阳·期中)数学活动课上，老师出示了两个大小不一样的等腰直角三角形，并摆 在一起，即△ABC和△ADE,其中直角顶点A重合，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， 图1 图2 图3 【用数学的眼光观察】 (1)如图1，连接BD,CE,判断BD与CE的数量关系，并说明理由； 1/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【数学的思维思考】 (2)如图2，连接BE,CD,若F是BE的中点，判断AF与CD的数量关系，并说明理由； 【用数学的语言表达】 (3)如图3，延长CA至点F,使得AF=AC,然后连接DF,BE,若AB=V2,AD=1,当△ADE绕点A旋转 且D,E,F三点共线时，直接写出线段DF的长， 3,(2026年北京市西城区九年级中考二模数学试题)在△ABC中，AB=AC,∠B=(0°<a<45),D为 BA延长线上一点，连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转2α得到线段CE. D A D A E B 图1 图2 (1)如图1，当点E在AB上时，求证：点A是BD的中点； (2)如图2，当点E在BD下方时，点F在AB上，若LBFE=2a,用等式表示AC,BD与EF之间的数量关系，并 证明. 4.(25-26八年级下·陕西咸阳期中)探究不同情境，回答下面问题： 图1 图2 (1)【问题探究】如图1，在ABC中，AB=AC,将线段AC绕点A逆时针旋转一定角度得到线段AE,过点E 作EF⊥AC交CA延长线于点F,连接BF,点B、F、E在同一条直线上，求证：EF=BF; (2)【扩展应用】如图2，设计师为某景区设计景观台支架，支架主体为等腰△ABC,其中AB=AC,底座BC 为水平支撑梁，∠ABC=a(α为设计的底角参数)，为了增强支架的稳定性，需要在BC梁上选取一点D,将 连接顶点A与D的斜撑AD绕点A逆时针旋转180°-2a得到新的斜撑AE,同时，安装垂直于AC梁的防护栏 EG,EG分别交CA的延长线于点F,交梁BC于点G,请探究线段BG和CD之间的数量关系，并说明理由，（图 中所有点都在同一平面内) 2/17 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，BC>AC,点N为直线AB上的一点. 0 D >B 图1 图2 图3 (1)点M为CA延长线上的一点，连接MN,AE为Rt△ABC的角平分线. ①如图1，若MNI‖AE,求证：△AMN是等腰三角形； ②如图2，F为MN中点，连接EF,EF⊥MN,连接EM,EN,若AM=1,AN=9,求CM的长； (2)如图3，将Rt△ABC绕点C逆时针旋转后，顶点A旋转到CB上的点D,顶点B旋转到点Q,连接AD, 将△ACD沿CD翻折，点A的对应点为A',连接A'N过CD中点O,过点C作CP⊥A'N,垂足为H,CP交A'D 于点P,连接OP,请补全图形，猜想线段A'O,CP,PO之间的数量关系，并证明你的猜想， 题型二旋转综合之最值问题（共5小题） 1,如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为线段BC上一点，连接AD,将射线DA绕点D顺时针旋 转a交直线AC于点E,连接DE, 图1 图2 图3 (1)如图1，若AD=DE,AE=2V2,求线段BD的长. (2)如图2，若a=45°，过点B作BFI‖AE,交射线ED于点F,用等式表示线段DF、DE、DA之间的数量关系， 并证明. (3)如图3，若a=45°，AB=4,过点A作DE的垂线AM,垂足为点M,当CM取得最小值时，直线BC上方有 一点Q,使得∠BQD=∠MCD,当CQ取得最小值时，直接写出S△cQM的值. 2.(25-26九年级上山东东营·期中)如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， ∠BAC=∠DAE=90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD=CE,不需证明. 3/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B A D D B C D 图① 图② 图③ (1)如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转a(0<a<90°)，连接BD和CE,此时BD=CE是否依然成立？若成 立，写出证明过程；若不成立，说明理由； (2)如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连接CE.若AB=AC=2,CD= V2,求线段DE的长； (3)若P为DE中点，连接BP,AB=AC=2V2,AD=AE=4W2,当△ADE绕点A逆时针旋转时，BP最大值为 m,最小值为n,则mn的值为 3,(25-26八年级上·江苏南京·期中)己知，△ABC为等腰直角三角形，AB=BC,∠ABC=90°，点D在直线 AC上， E 图1 图2 (1)如图1，点D为斜边AC上一动点（点D不与AC线段两端点重合)，将BD绕点B顺时针方向旋转90°到BE,连 接AE、EC、ED,AD与CE的关系为 ； (2)点D为直线AC上一点，若AD=2,CD=6,求AE的长； (3)在(1)的条件下，若AC=52,请直接写出AE+BE的最小值为一· 4,(24-25八年级下辽宁丹东·期中)(1)问题发现： 如图1，等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5，求LAPB的度数，为了解 决本题，我们可以将△ABP绕J顶点A逆时针旋转60到△ACP'处，这样就可以将三条线段PA,PB,PC转化到 一个三角形中，从而求出∠APB的度数，请按此方法求LAPB的度数，写出求解过程； (2)拓展研究： 4/17 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 请利用第(1)题解答的思想方法，解答下面的问题： ①如图2，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点E,F为BC边上的点，且LEAF=45°，判断BE,EF,CF之间 的数量关系并证明； ②如图3，在△ABC中，∠ABC=30°，AB=4,BC=6,在△ABC内部有一点P,连接PA,PB,PC,直接写 出PA+PB+PC的最小值. B E 图1 图2 图3 5,(2026四川成都模拟预测)如图1，△ABC与△EBD均为等边三角形，将△EBD绕点B逆时针旋转，旋 转角为a(其中0°<a<180),连接AE,CD,M是AE的中点，BC=V7BD M M D D D 图1 图2 图3 (1)求证：AE=CD; (2)如图2，连接DM,当ED的延长线经过点C时，请判断四边形MEBD的形状，并说明理由； (3)如图3，连接CM,若BD=2,在△EBD绕点B旋转的过程中，求CM的最大值. 题型三旋转综合之与实际应用综合（共5小题） 1.（25-26八年级下·陕西渭南·期中)【问题提出】 图1 图2 图3 (1)如图1，在等腰Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到 5/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ADE,点B的对应点D恰好落在AC上，连接CE,连接BD并延长交CE于点F,求LEDF的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度（旋转 角为锐角)得到△ADE,点B的对应点D位于等腰Rt△ABC的外部，连接CE,连接BD并延长交CE于点F, 交AC于点O,求LCFB的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰Rt△ABC,其中BA=BC,∠ABC=90°，现施工团队以广场的顶点A为 旋转中心，将原广场等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△ADE,点B的对应点D在△ABC的外部， 点C的对应点为点E,将CE设置为无障碍健身步道，连接BD并延长交步道CE于点F,经测量，CF=200米， 求无障碍健身步道CE的长， 2.(25-26八年级下.陕西西安，期中)【特例感知】 在△ABC中，AC=4,BC=V2, 图1 图2 图3 (1)如图1，若LACB=120°，将△ABC绕点A逆时针旋转60得到△ADE,连接CE,则BE= (2)如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转90得到△ADE,连接CE,此时点B,C,E恰好共线，连接BD,求 △BDE的面积； 【问题解决】 (3)如图3，某旅游开发公司计划在某荒岛周边修建观光公园.岛屿中心有一座瞭望塔（视为点D),用于监 控全园生态及安保.计划在海岸线处设立主入口B,在岛屿内部规划两个配套的生态休息驿站A和C,经测 量，休息驿站A到休息驿站C和入口B的距离相等(AB=AC),且∠BAC=120°.测得瞭望塔D到驿站A的距 离为AD=150W3米，到驿站C的距离为CD=200米，为了提升游客体验，需要修建一条连接入口B与瞭望塔 D的全景栈道BD,为保证视野，要求此栈道长度尽可能最长.在此条件下，求四边形区域ABCD的占地面 积. 3,(25-26八年级下·陕西咸阳·期中)【问题提出】如图，在等边△ABC中，E是边BC上一动点（不与端点重 合)，连接AE, 6/17 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 E 图① 图② 图③ (1)如图①，若D是边AC上的点，且CD=BE,连接BD交AE于点F,则LAFD的度数为_； (2)如图②，若AB=6,Q是线段AE上的一个动点，连接QA,QB,QC,求QA+QB+QC的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形ABCD,已知AB=AD=600m,∠B=60°， ∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC,CD上分别有景点E,F,满足AE⊥AD,DF=(300W3-300)m, 为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E,F之间修一条笔直的道路，求道路EF的长， 4,(25-26八年级下陕西渭南·期中)【问题提出】 图1 图2 (1)如图，△ABC和△DCE均为等边三角形，连接AD、BE. ①若∠CAD=25°，则LCBE的度数为： ②若点A、D、E在同一条直线上，AE=12,DE=6,求AB的长； 【问题解决】 (2)如图2，某校计划在校园内搭建一个形如等边△ABC的创意景观花圃，在等边△ABC花圃内部设置休息 平台点P,BP、CP是两条石板小路，∠BPC=150°，在等边△ABC花圃右侧设置阅读拐角D,使得 ∠BPD=30°，BD、CD为两条石子小路，在AD上布置景观灯带，根据设计要求，PC=50米，PB=60米， PD=70米，求景观灯带AD的长.（休息平台、阅读拐角的大小，石板小路、石子小路、景观灯带的宽度均 忽略不计) 5,(25-26八年级下广东深圳期中)探究不同情境，回答下面问题： 7/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)【特例感知】如图1，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=2,AC=4,将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到 △ADE,连接BE,则BE=-; (2)【类比迁移】如图2，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,且满足点B,C,E三点共线.若 ∠BED=90°，请猜想BE,DE,AE之间具有怎样的数量关系？并说明理由 (3)【问题解决】如图3，某市政府为了提升城市的生态环境质量，促进城市与自然的和谐共生，决定在一块 空地上规划公园，其中点A为公园入口，点B、点C是公园出口，入口A与出口B,C的距离相等，且满 足∠BAC=90°，点D为公园中的观景点，若AD=200W2米，CD=200米，计划修建一条观赏栈道BD,要 使得栈道尽可能长，求四边形ABCD的面积， 题型四旋转综合之面积问题（共6小题） 1,(25-26九年级上·湖北襄阳·期末)综合与实践 在综合与实践课上，老师让同学们讨论有关三角形的旋转问题， 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,D,E分别为AC,BC的中点，将△CDE以点C为旋转 中心，顺时针方向旋转a(0<a<360)后得到△CMN(点D,E的对应点分别为点M,N),连接AM, BN. 【初步感知】 (1)如图2，当B,N,M三点恰好在同一条直线上，且点N在线段BM上时，∠CAM的度数为 (用含a的式子表示) (2)如图3，在旋转过程中，试判断线段AM和BN之间的数量关系和位置关系，并说明理由. 【延伸探究】 (3)如图4，当a满足135<a<225时，连接AN,BM,若设△ACN与△BCM的面积之和为S,则S是否存 在最大值？若存在，请求出S的最大值；若不存在，请说明理由. 8/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M D B B B 图1 图2 图3 图4 2,(24-25八年级下山东济南·期末)（1)类比探究 将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF,记旋转角为C,连接CE,DF,两直线交于点P. ①如图1，当a=90时，CE交FG于H,则线段EF与线段FH的数量关系为，线段DP与线段FP的数量 关系为 ； ②如图2，当90°<a<180时，则①中线段DP与线段FP的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明， 若不成立，请说明理由 (2)学以致用 如图3，在Rt△BCD中，∠BCD=90°，BC=2,CD=1,将△BCD绕点B按顺时针方向旋转得到△BEF, 记旋转角为Q(0°<a<360),连接CE,DF,两直线交于点P,取BD中点M,BF中点N,连接PM,PN, 在旋转过程中，当四边形BNPM的面积最大时，直接写出CF的值. D D 图1 图2 图3 3.(24-25七年级下江苏泰州期末)如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=a,AC=b,AB=c,且b>a, 将△ABC绕一点按逆时针方向旋转到△BDE的位置，点A,B,C的对应点分别为B,D,E,其中B,C,E 在同一直线上，连接AD. P B 图1 图2 (1)求LABD的度数： 9/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)用不同的方法计算梯形ACED的面积，并以此说明a,b,c之间的数量关系； (3)如图2，取AD的中点P,将梯形ACED分别沿直线PC、PE翻折，点A、D同时落在CE上的点F处，若 EF·BE=Br2,则AGPE的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 △ABD的面积 4,(24-25八年级下·江苏南京·期中)已知：如图1，四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=120°， ∠ADC=60° D 图1 图2 图3 (1)如图2，连接BD,由于AD=CD,所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB,则△BDB 的形状是 (2)若AB=3,BC=1,在(1)的基础上，求四边形ABCD的面积， (3)如图3，四边形ABCD中，AD=CD,∠ABC=75°，∠ADC=60°，AB=1,BC=3V2,则四边形ABCD的 面积为 5,(24-25九年级上广东清远期末)在数学综合实践课上，仿照北师大版九年级上册第8页，老师让同学 们以“矩形的旋转”为主题开展探究活动.如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起， 固定矩形ABCD,将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针旋转a°(0<<180) BF) A(E B C(G D(H 图1 图2 备用图 (1)初步发现：在旋转过程中，对角线EG与边AB、CD分别交于点S、T,如图2，则线段OS与OT始终存在着 怎样的数量关系？请说明理由； (2)继续探究：旋转过程中，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图2. ①求证：四边形QMRN为菱形； ②随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRW的面积会发生变化，若AD=4,CD=8,请求出四边形QMRN 的最大面积与最小面积. 10/17 而学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.（25-26八年级下·辽宁锦州期中)己知△ABC是等边三角形，点D,E均为平面内的点. B 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在△ABC的AC边上，连接BD,将BD绕点D逆时针旋转90到ED,连接BE,延长AC,BE 相交于点F,若LDBC=a,求LF(用含a的代数式表示)； (2)如图2，点D在△ABC的内部，连接BD,将BD绕点D顺时针旋转120°到DE,连接BE,AD,BE与AD相 交于点P,若LDCB=∠ABE,求证：AP=DP; (3)如图3，点D在△ABC的外部，连接AD,AD=AC且∠CAD=30°，点E,点F,点G分别是BC,BA,AD 上一点且AF=AG,己知等边△ABC的高为2V3,当EF+EG最小时，求四边形AFEG的面积. 题型五旋转综合之与角度问题（共5小题） 1.(25-26七年级下.重庆，期中)在△ABC中，∠ABC和LACB的平分线交于点I,过点I作MNI‖BC分别交AB、 BC于点M、N, M 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠A=60°，∠ACB=80°，求∠BIM; (2)如图2，延长IB至点F,延长1C至点G,同一平面内有一点0位于BC下方，连接0B、OC,满足∠0BC=4 LFBC,LOCB=LBCG,IE平分LBIN交BC于点E,CD平分LBCI交BI于点D,过点E作EH⊥IC于点H,若 2∠0-IEH=195°，求∠CDI的度数； (3)如图3，在(1)问的条件下，将△BMI绕点B以每秒6的速度顺时针旋转得△BM',同时△CNI绕点I 以每秒8的速度逆时针旋转得△CN'I,IK为LN'IN的角平分线，设运动时间为t秒(0<t<25),在运动过程 11/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 中，当直线IK与△BM'中任意一边平行时，请直接写出符合条件的时间t的值. 2.(25-26七年级下·江苏苏州期中)数学在我们生活中无处不在，一节广播操的运动过程就有数学问题.如 图1为一节广播操动作的示意图，为了研究方便，两手手心位置分别记为A,B两点，两脚脚跟位置分别记 为C,D两点，若A,B,C,D在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作A,B,C,D绕点O转 动，其中O为该平面内的一个定点， B B 第二节 第四节 扩胸运动 体侧运动 COD C E D 图1 图2 图3 (1)在腿部运动的过程中，A,O,B三点始终共线，如图2，当A,B不在水平方向上时，若∠C0D=37°，∠AOD :∠B0C=4:3,求∠AOD的度数； (2)图3为体侧运动，在运动前，A,O,B三点共线，且AB II CD,∠COD=30°，OE平分∠COD,且 0E⊥AB,0A、0B绕点O顺时针旋转，若0A的旋转速度为67.5°/s,0B的旋转速度为37.5°/s,当0B运动到 OD位置时，运动停止.运动停止时，直接写出LAOD= ；(用小于平角的度数表示) 3.(25-26七年级上·湖北荆门·期末)一个问题解决经历发现猜想一一探索归纳一一问题解决的过程，下面就 一道几何题来体验一下. 【发现猜想】 B 0 图① 图② (1)如图①，已知LA0B=60°，∠A0D=100°，OC为∠B0D的角平分线，则∠A0C的度数为 【探索归纳】 (2)如图①，∠AOB=m,∠AOD=n,OC为LBOD的角平分线.猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表 示)，并说明理由； 【问题解决】 (3)如图②，若LA0B=20°，∠A0C=90°，∠A0D=130°.若射线0B绕点0以每秒15逆时针旋转，射线0C 绕点0以每秒10顺时针旋转，射线0D绕点0以每秒25°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线 12/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 O4重合时，三条射线同时停止运动，运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？请直接 写出结果. 4,(25-26七年级上·湖北宜昌·期末)如图，∠A0B=30°，∠C0D=40°，0M、0N分别为∠A0B和∠B0D的 角平分线. D D D B B M M A 图1 图2 图3 (1)若∠M0N=50°，则∠B0M= °，∠BOD= °，∠B0C= (2)如图2，∠C0D从第(1)问中的位置出发，先绕点0逆时针以每秒4的速度旋转，当0C与0A重合时，∠C0D 立即反向绕点O顺时针以每秒5的速度旋转，直到OD与0A互为反向延长线时停止运动，整个运动过程中， LCOD的大小不变，OC旋转后的对应射线记为OC',OD旋转后的对应射线记为OD',∠BOD'的角平分线记为 ON',设运动时间为t秒 ①当LB0C'=LA0B时，求出对应的的值； ②在整个运动过程中，∠AOD的角平分线记为OP(如图3).是否存在某个时间段使得|∠B0P-∠M0N"I的 值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说 明理由. 5,(25-26七年级上江苏泰州期末)若射线0P在LAOB内部（不与OA,OB重合），射线0P把LAOB分成LA0P 和∠BOP,为了方便表示这两个角的比值，规定T(LAOP,∠AOB)= ∠AOP <A0B' T(∠BOP,∠A0B)=BO (本题中所 ∠AOB 有角均大于0°且小于180). (C)B A D 图1 图2 图3 (1)如图1，射线OP在∠AOB内部，若LA0P=3LPOB,则T(LAOP,LAOB)=一· (2)如图2，∠A0B=80°，OP,0Q分别从0A,0B同时出发，OP绕点0顺时针方向旋转，OQ绕点0逆时针方 向旋转，当0P到达0B时两者都停止运动，设旋转时间为x秒(x>0). 13/17 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若0P,0Q旋转速度均为每秒5°，T(LAOP,LA0B)=一： T(LAOQ,LAOB)=;（用含x的代数式表示) T(ZAOP,LAOB)+T(AOQ,4AOB)=_ ②若射线0P的旋转速度为每秒3°，射线0Q的旋转速度为每秒5°，且0Q到达0A后立即以相同的速度绕点0 顺时针方向旋转，当x为何值时，T2A0P∠A0B周)+T(2A0Q,∠A0)= (3)如图3，若∠A0B=120°，∠C0D=60°，初始时0B与0C重合，∠C0D从图3中的位置绕点0顺时针旋转n°， 即∠B0C=n°(0<n<120且n≠60)，在旋转过程中，分别作射线0M和0N,使 T(LA0M,LA0C)=T(LBON,LB0D)=3写出所有使LM0N=2LBOC成立的n的值. 题型六旋转综合之与实践探究类（共5小题） 1.(25-26八年级下.陕西汉中.期中)【问题提出】 (1)如图，在等腰Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度得到 △ADE,点B的对应点D恰好落在AC上，连接BD,则LADB的度数为 E B (2)【类比探究】 如图，在等腰Rt△ABC中，BA=BC,∠ABC=90°，将等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度（旋转角 为锐角)得到△ADE,点B的对应点D位于等腰Rt△ABC的外部，连接CE,连接BD并延长交CE于点F, 交AC于点O,求证：∠CFB=∠BAC; (3)【拓展应用】 如图3，某校的露天广场形如等腰Rt△ABC,其中BA=BC,∠ABC=90°，现施工团队以广场的顶点A为 旋转中心，将原广场等腰Rt△ABC绕点A逆时针旋转一个锐角得到△ADE,点B的对应点D在△ABC的 14/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 外部，点C的对应点为点E,将CE设置为无障碍健身步道，连接BD并延长交步道CE于点F,经测量，CF=200 米，求无障碍健身步道CE的长. A 2,(25-26八年级下河南郑州期中)按要求解答下列问题： AD D D B C B C 图1 图2 图3 F A D D B 图4 图5 (1)【问题初探】 在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AC边上， 连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE,连接EA并延长交BC的延长线于点F.则线段AF与 线段AC的数量关系是： ①如图2，小振同学要证明LCAF=45°，从而给出如下解题思路：过点E作EM1CA交CA的延长线于点 M. ②如图3，小鸣同学要证∠CAE=135°，从而给出如下解题思路在BC上截取CN=CD,连接DN,根据两 位同学不同角度的探究，你能直接写出线段AF与线段AC之间的数量关系吗？（直接填入上面横线上）. (2)【类比分析】 如图4，小峰同学针对两位同学的方法作进一步探究在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，点D在AC边 上，连接BD,将线段BD绕点D逆时针旋转120得到线段DE,连接EC并延长交BA的延长线于点F,此时线 段AF与AC的数量关系是_一，请帮助小峰写出结论并证明， (3)【学以致用】 15/17 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图5，在(2)的条件和结论下，若AB=AC=12,AD=a,连接DF,请用含a的式子直接写出△CDF的 面积. 3,(25-26七年级下江苏无锡·期中)在△ABC中，AD LBC于点D. G G DE D D 图1 图2 备用图 特例研究： (1)如图1，若线段AB沿着AE翻折，正好落在AC上，作AD⊥BC,∠B=40°，∠EAD=10°，则∠EAC= 0; 操作发现： 如图2，点M,N分别在线段AB,AC,将△ABC折叠，点B落在点F处，点C落在点G处，折痕分别为DM和DN, 点G,F都在射线DA上； (2)若LB+∠C=80°，试猜想LAMF与LANG之间的数量关系，并说明理由； (3)将△DFM绕点D逆时针旋转，旋转角记为@(0°<a<360),记旋转中的△DMF为△DM1F1,在旋转过 程中，点M,F的对应点分别为M1,F1,直线M1F1与直线BC交于点Q,与直线AB交于点P.若LB=40°， ∠PQB=90°，请直接写出旋转角α的度数 4.(25-26八年级下.四川成都期中)解答下列问题： B 图1 图2 (1)【静图识形】如图1，在△AOB中，∠A0B=90°，将△A0B绕点O逆时针旋转90°得到△C0D,DC延长 线交AB于点E,连接OE,过点O作OF⊥OE交直线CD于点F,求证：∠FE0=45° (2)【数形转化】如图2，将图1以0为原点建立平面直角坐标系，若AB边所在直线为y=+8,分别与x 轴、y轴交于点A、点B. ①求CD边所在直线的函数表达式： ②点P是直线DC上一动点，当△PAB的面积为30时，请求出所有符合条件的点P的坐标. 16/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)【动点推广】在(2)问的条件下，若点M在边CD上，且DM=2.5,过点O作ON⊥OM,交AB于点N,交 直线CD于点G,在y轴负半轴上是否存在一点Q,使得LQMO=∠OGM,若存在，直接写出点Q的坐标，若不 存在，说明理由 5,(25-26八年级下·广东深圳期中)阅读材料，并解决问题： 图1 图2 图3 (1)【思维指引】如图1，等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为5,12,13， 求LAPB的度数， 解决此题，我们可以将△ABP绕顶点A逆时针旋转60到△ACP处，此时△ACP'≌△ABP,连接PP,借助 旋转的性质可以推导出△PAP是 三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段PA,PB,PC转化 到一个三角形中，从而求出LAPB=一： (2)【知识迁移】如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=AC,E,F为边BC上两点，且 ∠EAF=45°，请判断EF2,BE2,FC2的数量关系，并证明你的结论； (3)【方法推广】如图3，在△ABC中，LACB=60°，AC=2V3,BC=7,点P为△ABC内一点，连接PA, PB,PC,请你求出PA+PB+2PC的最小值， 17/17