专题05 根与系数的关系常考题型11大题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以根与系数的关系为核心，通过11类题型构建从基础应用到综合拓展的递进训练体系，突出逻辑推理与模型构建。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|3类（题型1-3）|直接求解、象限判断、分式求值|从韦达定理直接应用到符号性质分析，培养抽象能力| |方法技巧|3类（题型4-6）|降次、构造方程（系数相同/倒序）|通过代数变形实现未知向已知转化，发展推理意识| |综合拓展|5类（题型7-11）|参数求解、新定义（选填/解答）、三角形综合|结合函数、几何、新定义考查模型观念，对接中考压轴题|

专题05 根与系数的关系常考题型 题型1 根与系数的关系之“直接求解” 题型7 根与系数的关系求参数（重点） 题型2 根与系数的关系判断点所在象限（重点） 题型8 根与系数的关系中新定义类（选填） 题型3 根与系数的关系求分式的值（重点） 题型9 根与系数的关系解答题综合（重点） 题型4根与系数的关系之“降次求解”（重点） 题型10 根与系数的关系与三角形综合（重点） 题型5 构造方程求解之系数相同（重点） 题型11 根与系数的关系新定义解答题（压轴） 题型6 构造方程求解之系数倒序（重点） 题型一 根与系数的关系之“直接求解”（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 2．（2026·四川南充·一模）设方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C．10 D．12 【答案】C 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得到，再将展开得到，再代入求值即可． 【详解】解：由的两根为，得，， ∴． 3．（2026·天津和平·二模）若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知实数，满足，，那么以，为根的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数），由根与系数的关系求出b、c的值即可得到答案． 【详解】解：设以，为根的一元二次方程是（其中b、c是常数）， 由根与系数的关系可得，， ∴， ∴以，为根的一元二次方程是． 5．（2026·安徽合肥·一模）关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 题型二 根与系数的关系判断点所在象限（共5小题） 1．（2026·湖北随州·一模）一元二次方程的两根之和为p，两根之积为q，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和p和两根之积q，再根据点的横纵坐标的正负判断点所在象限． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵点的横坐标、纵坐标都为正， ∴点位于第一象限． 2．（25-26九年级上·天津红桥·期末）若关于的一元二次方程的两个实数根都是正数，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的两个正根推导出，，即可确定点所在的象限． 【详解】解：设一元二次方程的两个正实数根为，，且，， 可得， ∵，， ∴，， ∴，，即， ∵点的横坐标为正，纵坐标为负， ∴点位于第四象限． 3．（2026·河北廊坊·一模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由一元二次方程根与系数的关系可得a、b的值，再根据a、b的符号可得答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根之和与两根之积分别为a，b， ∴， ∴点，即点在平面直角坐标系中位于第一象限． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据根与系数的关系解题即可． 【详解】解：， ， ∴，， ∴点为，在第四象限． 5．（2026·广东东莞·二模）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：对一元二次方程， ， 解得方程两根为：，， ∵两根之和， 两根之积， ∴点即为， ∵点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴该点位于第三象限． 题型三 根与系数的关系求分式的值（共3小题） 1．（25-26八年级下·安徽·期中）已知实数、分别满足，，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．6或2 【答案】C 【分析】分两种情况：当时，实数、是方程的两个解，由一元二次方程根与系数的关系可得，；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：当时， ∵实数、分别满足，， ∴实数、是方程的两个解， ∴，， ∴ ； 当时，； 综上所述，的值为或2． 2．（2026·山西阳泉·二模）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，两根满足， 在方程中，，， ∴， 又 代入， 得 3．（25-26八年级下·山东淄博·期中）已知，且，，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】由题意可得、是一元二次方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可得，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，且，， ∴、是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴． 题型四 根与系数的关系之“降次求解”（共6小题） 1．（2026·山东泰安·二模）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 2．（2026·江西上饶·模拟预测）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形，熟练掌握一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的变形是解题的关键． 【详解】解： ，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， 把代入方程得， ． 3．（25-26九年级下·山东淄博·期中）设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 4．（2026·江苏泰州·一模）设关于x的方程的两根分别是、，则代数式的值为______． 【答案】2027 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得，进而可得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，再将原式变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 5．（2026·江苏宿迁·二模）设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 6．（2026·山东临沂·一模）已知方程的两根为，，求的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系得到，对所求式子变形化简即可得到结果． 【详解】解：方程的两根分别为， ，， ， ． 题型五 构造方程求解之系数相同（共6小题） 1．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 2．（2026·江苏南京·二模）已知实数、满足，（），则的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得,可看作方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求式子通分后整体代入计算即可求解． 【详解】解：实数，满足，， ，可看作方程的两个实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得，，， ． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有一个根为2，则k的值为______． （2）若方程有两个实数根．k为符合条件的最大整数，实数m，n满足，，且，则的值为______． 【答案】 1 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，即可求解的值； （2）先根据一元二次方程根的判别式确定的最大整数值，再对已知等式变形，得到和是同一一元二次方程的两个不相等实数根，利用根与系数的关系即可求解的值. 【详解】解：（1）将代入，得， ， 解得； （2）∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 整理得 解得， 因此符合条件的最大整数， 将代入已知条件，得 ，整理得 ，整理得 因为，所以和是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴ 即，解得. 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）如果、是两个不相等的实数，且满足，，则__________． 【答案】 【分析】结合题意得、是方程的两不等实数根，由根与系数的关系得，，再根据即可得解． 【详解】解：，，且、是两个不相等的实数， 、是方程的两不等实数根， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程的解、根与系数的关系、已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合根与系数的关系得出、的值． 5．（23-24九年级下·江苏南通·自主招生）已知，，，则________． 【答案】 【分析】把、看作一元二次方程的两个根，然后根据根与系数的关系求出、的值，再把所求算式整理后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：将，变形为， ， ∴、可以看作是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 6．（2026九年级下·江苏·专题练习）若，则的值是___________． 【答案】 【分析】构造一元二次方程，根据求解． 【详解】解：∵，，且， ∴，可看作一元二次方程的两个不相等实数根， 根据根与系数的关系可得： ，， ． 题型六 构造方程求解之系数倒序（共3小题） 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________ 【答案】 【分析】根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值． 【详解】解：∵， ∴， 方程两边除以得到：， 即， ∴s与是方程的两个根， ∴，， ∴， 故的值为． 2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·福建泉州·阶段检测）已知实数，满足，，且，求的值________ 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，将第二个方程 变形，得到满足的方程 ，与第一个方程形式相同，且，因此 和 是方程的两个不相等的根，利用根与系数的关系求出 和的值，代入所求表达式化简即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，变形得， 又，且， 所以和是方程 的两个根， 由根与系数的关系，得， 所求表达式， 代入已知值，分子，分母， 所以， 故答案为：． 题型七 根与系数的关系求参数（共5小题） 1．（2026·江苏南京·一模）设，是关于的方程的两个根，且，则__________． 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知，先求出方程两个根的值，再计算得到的值． 【详解】解：，是方程的两个根， ∴，， 又， ， 解得， 则， ． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知是一元二次方程的两个根，且，则a等于______． 【答案】 【分析】先求出， ，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴，，即， ∵， ∴， ． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和的表达式，结合已知条件构造关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 4．（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于的方程． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 又是方程的根， ， 将代入已知条件中， 得，即， 将代入上式，得， 整理得， 因为， 所以， 解得． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 题型八 根与系数的关系中新定义类（选填）（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）解方程求出方程的两个解，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （2）根据“差根方程”的定义和勾股定理求出的长，设出满足题意的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得或， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴， 解得； （2）不妨设， ∵的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根， ∴， ∴，即， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设符合题意的方程为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴符合题意的方程为（答案不唯一）． 2．（25-26八年级下·安徽·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则的值为_____； （2）若方程是倍根方程，且，则方程的两根分别为_____． 【答案】 或 和 【分析】（1）先解方程得出，，再结合“倍根方程”的定义计算即可得出结果； （2）设方程的两根分别为，，由一元二次方程根与系数的关系可得，再结合，计算即可得出结果． 【详解】解：（1）∵， ∴或， ∴，， ∵是倍根方程， ∴或， ∴或； （2）设方程的两根分别为，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴方程的两根分别为和． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）定义：我们把关于的一元二次方程与称作一对“友好方程”．如的“友好方程”是．那么一元二次方程的“友好方程”的两根之和为__________． 【答案】 【分析】根据友好方程的定义得到目标一元二次方程，再利用根与系数的关系计算两根之和即可． 【详解】解：根据“友好方程”的定义，可得的“友好方程”为， 设该方程的两个根为，， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，，分别以为横坐标、为纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的根序点． （1）直接写出方程的根序点的坐标为_____； （2）若关于的一元二次方程有根序点，且该根序点在直线上，则的值为_____． 【答案】 1或 【分析】（1）解方程得，根据根序点定义得到点的坐标为； （2）先确定方程有两个不相等的实数根，，由根序点在直线上，满足直线方程：，整理得：，再根据根与系数的关系列方程求解检验即可． 【详解】解：（1）解方程得， ∴根据根序点定义：，横坐标：，纵坐标：， ∴根序点的坐标为； （2）方程有根序点， 该方程有两个不相等的实数根， ， 根序点在直线上， 满足直线方程：，整理得：， 对于方程，由根与系数的关系得：， ， 整理得：， 解得：， 当时，，符合要求； 当时，，符合要求， 的值为1或． 5．（2026·安徽宿州·二模）已知关于的一元二次方程的两根为，定义该方程两根的关联值． （）若，则关联值为______． （）已知关于的方程（为整数，），若该方程关联值满足．则符合条件的整数的和为______． 【答案】 【分析】（）利用根和系数的关系得，，再代入计算即可求解； （）利用根和系数的关系得 ，，即得，进而可得，得到取，再相加即可求解． 【详解】解：（）由一元二次方程根和系数的关系得，，， ∴ ， 故答案为：； （）由一元二次方程根和系数的关系得， ，， ∴， ， ∴ ， 解得， 为整数，且， 取， ∴符合条件的整数的和为， 故答案为：． 题型九 根与系数的关系解答题综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·广西贺州·期中）已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据根的判别式进行证明即可； （2）根据韦达定理求出，再由进行计算即可． 【详解】（1）证明：， ， 方程总有两个实数根； （2）解：由题意可得：， ， ， 解得或． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 由（1）可得， ∴． 3．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程判别式与根的个数的关系，列出不等式，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，，代入可得关于的一元二次方程，求解并结合，舍去不符合条件的根即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得； （2）解：， 根据根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或， 由（1）可知，， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)的取值范围是； (2)． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴即， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为，求的值和它的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的另一个根为；当时，方程的另一个根为 【分析】（1）根据证明即可． （2）利用一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵一元二次方程，且 ∴ ， 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设是方程的两个根， 则，， 不妨设， ∴把代入方程得：， 故， 整理，得， 或， 当时，， 解得，此时方程的另一个根为； 当时， 解得， 此时方程的另一个根为． 题型十 根与系数的关系与三角形综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． (1)求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为16或14 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 【详解】（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点睛】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 2．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等实数根， (2)若的一条边的长为，另两边，的长是一元二次方程的两个实数根．当为何值时，是以为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，需计算判别式，通过配方判断恒大于0即可； （2）先利用一元二次方程的根与系数关系得到方程两根的和与积，再结合勾股定理将边长关系转化为关于的方程，求解后需验证两根为正数，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：对于一元二次方程， ， 无论为何值，， ， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：设，的长分别为，，则，是方程的两个实数根， 根据根与系数关系得：， 是以为斜边的直角三角形，， ， 又，， ， 解得或， ，是三角形的边长， ，， ，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意， 即当时，是以为斜边的直角三角形． 3．（2022·内蒙古呼和浩特·一模）已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 4．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明： ， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 5．（25-26九年级上·四川乐山·期末）关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若的两条直角边、的长恰好是此方程的两个实数根，斜边，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，可得出，解之即可得出结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据根与系数的关系可得出，结合勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，由方程的两根均为正值可确定m的值，再根据三角形的周长公式即可求出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴． 解得：． （2）解：∵， ∴的最小整数值为2．   把代入方程，得 ，    ． （3）解：设，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴，， ∵， ∴ ， 根据勾股定理得， ∴， 解得或， ∵， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．（25-26九年级上·贵州黔西南·期末）已知关于x的一元二次方程：． (1)设，是方程的两个根，求（用含m的式子表示）； (2)当时，此方程的两个根分别是菱形两条对角线长，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)菱形的面积是3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求菱形的面积，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及求菱形的面积的方法是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系， 可得，，再将变形为，即可求解； （2）当时，，即可代入菱形面积公式求解． 【详解】（1）解：对于关于x的一元二次方程， ，，， ，， ； （2）解：当时，， 此时菱形的面积为． 题型十一 根与系数的关系新定义解答题（共6小题） 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）定义：若关于x的一元二次方程 的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）定义：如果一个数的平方等于，记为，那么这个数叫做虚数单位．我们把形如（，为实数）的数叫做复数，叫做这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似．例如：， 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：_______，_______． (2)已知，写出一个以，的值为解的一元二次方程． (3)在复数范围内解方程：． 【答案】(1)1；0 (2)（答案不唯一） (3)， 【分析】（1）利用新定义和乘方的意义计算； （2）先整理得到，所以，，然后利用根与系数的关系写出一个满足条件的一元二次方程即可； （3）利用配方法解方程． 【详解】（1）解：，； ∵；；⋯， ∴ ； （2）解： ， ， ， ，， ， 以，的值为解的一元二次方程可以是； （3）解：， ， ， ， ， 解得，． 3．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)不是“邻根方程” (2)或； (3)的最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）定义：若关于的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得， ，是“和积方程”． (1)方程______（填是或不是）“和积方程”； (2)关于的方程是“和积方程”，则______； (3)若关于的一元二次方程是“和积方程”，求的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)或或 【分析】（1）求出方程两根，计算与，根据“和积方程”定义判断； （2）先因式分解求出方程两根，再根据列等式求解； （3）先用根的判别式确定取值范围，再由韦达定理表示、，根据求解． 【详解】（1）解：，因式分解得， 解得，， ，，， 方程不是“和积方程”． （2）解：对于方程，其判别式恒成立， 故方程总有两个实数根， ，因式分解得， 解得，， 由“和积方程”定义得：， 或， 解得或． （3）解：方程有两个实数根， ， 展开得，即， 解得， 由韦达定理得：，， 又方程是“和积方程”， 则， 即 ， ， 分两种情况： ， 化简得 ，解得或， ，舍去，符合； ， 整理得 ， 由求根公式得 ， ，均符合条件， 综上，的值为或或． 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题05根与系数的关系常考题型 题型归纳·内容导航 题型1根与系数的关系之“直接求解” 题型7根与系数的关系求参数（重点） 题型2根与系数的关系判断点所在象限（重点） 题型8根与系数的关系中新定义类（选填） 题型3根与系数的关系求分式的值（重点） 题型9根与系数的关系解答题综合（重点） 题型4根与系数的关系之“降次求解”（重点） 题型10根与系数的关系与三角形综合（重点) 题型5构造方程求解之系数相同（重点) 题型11根与系数的关系新定义解答题（压轴） 题型6构造方程求解之系数倒序（重点） 题型通关·靶向提分 题型一根与系数的关系之“直接求解”（共5小题） 1.(25-26八年级下.安徽蚌埠.期中)若m,n是方程x2一x一3=0的两个实数根，则mn+2m+2n的值 为() A.-5 B.-1 C.1 D.5 2.(2026四川南充.一模)设方程2x2+7x-2=0的两根为x1,x2,则(x1一2)(x2-2)的值为() A.-4 B.-2 C.10 D.12 3.(2026天津和平.二模)若x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个根，则() A.X1+X2=20B.X1+X2=10 C.x1X2=- D.X1X2=25 4.（25-26八年级下浙江杭州期中)已知实数x1,X2满足x1十X2=7,X1·X2=12,那么以x1,X2为根 的一元二次方程是() A.x2-7x+12=0 B.x2+7x-12=0 C.x2+7x+12=0 D.x2-7x-12=0 5,（2026安微合肥.一模)关于x的一元二次方程x2一2x一3=0的两个根是x1,x2,则x1十X2一X182的值 为() A.5 B.-5 C.2 D.-2 题型二根与系数的关系判断点所在象限（共5小题） 1.(2026湖北随州一模)一元二次方程x2一4x十2=0的两根之和为p,两根之积为9，则点(P,9)在平 1/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 面直角坐标系中位于() A,第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(25-26九年级上·天津红桥期末)若关于x的一元二次方程x2一mx一n=0的两个实数根都是正数，则 点(m,n)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2026河北廊坊·一模)若一元二次方程2x2一3x+1=0的两根之和与两根之积分别为α，b,则点 (a,b)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(25-26八年级下.辽宁盘锦期中)若一元二次方程x(2x一3)-4=0的两根之和与两根之积分别为m, n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(2026广东东莞.二模)若一元二次方程x2+2x一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点 (mn)在平面直角坐标系中位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型三根与系数的关系求分式的值（共3小题） 1.(25-26八年级下安微：期中)已知实数m、n分别满足m2-2m一1=0，n2-2n-1=0,则品+罗的 值为() A.-6 B.2 C.-6或2 D.6或2 2,(2026山西阳泉.二模)若一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根分别为x1,x2,则京+忘的值为 () A. B.专 c. D.2 3.(25-26八年级下山东淄博期中)己知a≠b,且a2-5a-1=0,b2-5b-1=0,则嘉+元的值 为 题型四根与系数的关系之“隆次求解”（共6小题） 1.(2026山东泰安.二模)若x1,x2是关于x的一元二次方程x2+18x一1=0的两个实数根，则代数式 x+20X1+2x2的值为 2.(2026江西上饶模拟预测)己知a,b是一元二次方程2x2+6x一1=0的两个实数根，则 2/7 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2a2+ab-6b的值为 3.(25-26九年级下山东淄博.期中)设a,b为一元二次方程x2-x-2025=0的两个实数根，则 a3-a2+a+2026b的值为. 4.(2026江苏泰州一模)设关于x的方程x2-2026x-1=0的两根分别是x1、x2,则代数式 812-2025x1+82的值为 5.(2026江苏宿迁.二模)设x1x2是方程x2+x一3=0的两个根，则代数式x-4x子+15的值等于（) A.-4 B.4 C.-12 D.12 6.（2026山东临沂，一模)已知方程x2-2025x+1=0的两根为x1,x2,求x好-22的值为 题型五构造方程求解之系数相同（共6小题） 1.(2026-山东德州一模)两个非零实数m,n满足m2+V3m=1,n2+V3n=1,且m<n,则畀-贵的 值为· 2.(2026江苏南京.二模)己知实数m、n满足m2-5m=1,n2-5n=1(m≠n),则壳+的值为 3.（25-26八年级下.浙江杭州阶段检测)已知关于x的一元二次方程x2一3x+2k=0 (1)若方程有一个根为2，则k的值为： (2)若方程有两个实数根.k为符合条件的最大整数，实数m,n满足m2=3m-2k,9n2=9n-2k, 且m≠3n,则mn的值为. 4.(25-26八年级下.浙江金华.阶段检测)如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2-2m=1, n2-2n=1,则2m2+4n2-4n+2026= 5,(23-24九年级下江苏南通自主招生)已知a=3,b=3,a≠b,则a3+b3= 6.(2026九年级下江苏.专题练习)若x2-4x+3=0,y2-4y+3=0,X≠y,则x+y-2xy的值是 题型六构造方程求解之系数倒序（共3小题） 1.(25-26八年级下.浙江杭州期中)思维拓展：已知实数s,t分别满足19s2+995十1=0， t2+99t+19=0,(st≠0)则+4+1= 2.(25-26九年级上福建泉州期中)己知实数m,n满足：2m2-7m+1=0,n2-7n十2=0，且 3/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 mn≠1，则条的值为 3.(25-26九年级上福建泉州阶段检测)已知实数m,n满足3m2-7m-2=0,2n2+7n-3=0,且 mn≠1，求品的值 题型士根与系数的关系求参数（共5小题） 1.(2026江苏南京.一模)设x1,x2是关于x的方程x2-5x+k=0的两个根，且x1=4x2,则k= 2.(25-26八年级下山东烟台·期中)己知x12是一元二次方程x2+4x-3=0的两个根，且 2x1(X+5x2-3)-a=4,则a等于. 3.(2026湖南长沙.模拟预测)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0有两个实数根 X1,X2,且x1十X2=9,则m= 4.(2026四川成都.二模)已知m,n是一元二次方程x2-6x+5=0的两个实数根，且 m2-km+nm+n=6,则k的值为 5,(25-26八年级下浙江杭州期中)己知关于x的一元二次方程x2+2(k一1)x+k2=0的两个不相等的 实数根x1,X2,且京十京=4，则k的值为 题型八根与系数的关系中新定义类（选填）（共5小题） 1.(25-26八年级下·安徽六安·期中)若x1,x2是一元二次方程ax2+bx十c=0的两个实数根，若满足 x1一X2=1,我们称此类方程为“差根方程” (1)己知关于x的方程x2+bx=0是“差根方程”，则b= (2)已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AB=5,若△ABC的两边AC、BC的长是一个“差根方 程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”： 2.(25-26八年级下，安徽期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根 为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程” (1)若(x-2)(x+m)=0是倍根方程，则m的值为； (2)若方程ax2+bx+c=0是倍根方程，且5a十b=0,则方程的两根分别为： 3.(2026黑龙江哈尔滨.二模)定义：我们把关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0与 cx2+bx十a=0(ac≠0，a≠c)称作一对“友好方程”.如2x2-7x+3=0的"友好方程"是 3x2-7x+2=0.那么一元二次方程一10x2+3x+1=0的“友好方程"的两根之和为 4/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下.安徽安庆期中)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数 根x1,2(1<2),分别以x1十1为横坐标、x2-1为纵坐标得到点N(x1+1,X2-1),则称点N为该 一元二次方程的根序点 (1)直接写出方程x2-2x-8=0的根序点P的坐标为 (2)若关于x的一元二次方程壶x2+2x-3=0(m≠0)有根序点，且该根序点在直线y=x+2上，则 m的值为 5.(2026安徽宿州·二模)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1x2,定义该方 程两根的关联值M=X1十X2十X1X2: (1)若x2-5x+6=0,则关联值M为 (2)已知关于x的方程x2-(n+2)x+2n=0（n为整数，n≥1)，若该方程关联值M满足 1<M≤2026.则符合条件的整数n的和为 题型九根与系数的关系解答题综合（共5小题） 1.（25-26八年级下广西贺州期中)已知关于x的一元二次方程x2-(k+3x+3k=0 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根为x1,X2,且x+X号=10，求k的值， 2.(25-26八年级下·黑龙江大庆期中)已知关于x的一元二次方程x2-4x-2m+5=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围： (2)若x1,X2是该方程的两个根，且满足8182十X1+X2=m2+6,求m的值. 3.(25-26九年级上湖南衡阳·期中)已知关于x的方程x2+2kx+k2-2k+1=0有两个实数根x1x2. (1)求实数k的取值范围， (2)若(2x1+1)(2x2+1)=21,试求k的值. 4.(25-26八年级下.安徽合肥.期中)己知关于x的一元二次方程x2+(2m+3x+m2=0有两个实数根， (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1x2,且x+=9,求m的值. 5.（25-26八年级下.安徽合肥期中)已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)己知方程的一个根为方，求m的值和它的另一个根 5/7 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型士根与系数的关系与三角形综合（共5小题） 1.(25-26八年级下·安徽六安期中)己知关于x的方程x2-(2k+1)x+k2+k=0 (1)求证：无论k取何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若等腰△ABC的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长 2.(25-26九年级下广东广州开学考试)已知关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+2m-1=0. (1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等实数根 (2)若△ABC的一条边AC的长为V35,另两边AB,CB的长是一元二次方程的两个实数根.当m为何值时， △ABC是以AC为斜边的直角三角形？ 3.（2022内蒙古呼和浩特.一模)已知x1,x2是一元二次方程x2-2(m+1)X+m2+5=0的两实根， (1)如果(X1-1)(X2-1)=28,求m的值： (2)如果等腰△ABC一边长为7，另两边为X1,X2,求△ABC的周长. 4.(24-25八年级下·浙江杭州·期中)己知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的 一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根 (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根： (2)当k为何值时，△ABC为直角三角形，并求出△ABC的周长。 5.（25-26九年级上四川乐山期末)关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个实数根. (1)求m的取值范围； (2)若m取最小整数，求此时方程的两个根； (3)若Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长恰好是此方程的两个实数根，斜边AB=6,求Rt△ABC的周 长。 6.(25-26九年级上贵州黔西南期末)已知关于x的一元二次方程：x2+(m-2)x-2m=0. (1)设x1,X2是方程的两个根，求x12十X22(用含m的式子表示)： (2)当m=一3时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积. 题型十一根与系数的关系新定义解答题（共6小题） 1.(25-26八年级下江苏苏州期中)定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根均 为整数，则称该方程为“快乐方程.对于”快乐方程，定义其快乐数“为P(a,b,c)=芒 现探究以下问题： (1)“快乐方程”x2一2x一3=0的"快乐数”为 6/7 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且1<m<6)是“快乐方 程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”". (3)对于"快乐方程”x2+bx+c=0(b、c为整数)，若其“快乐数"F(1,b,c)=一n(n为正整数)，且方 程的两根x1,x2满足|X1一X2≤4，求该方程的“快乐数”所有可能的值. 2.(25-26八年级下·浙江金华期中)定义：如果一个数的平方等于一1，记为2=-1，那么这个数叫做 虚数单位.我们把形如a十bi(a,b为实数)的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚 部，它的加法、减法、乘法运算与整式类似.例如：3=i×2=-i,1+i+5+i=6+2i 读完这段文字，请你解答以下问题： (1)填空：4=一，2+3+4+…十1001= (2)已知(a+i)(b+i)=1-3i,写出一个以a,b的值为解的一元二次方程. (3)在复数范围内解方程：x2一4x十8=0. 3.(25-26八年级下.安徽六安期中)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根， 且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程x2+x=0的两个根 是X1=0,X2=一1，则方程x2+x=0是“邻根方程”。 (1)判断方程x2+4x-5=0是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于x的方程x2-(m-1)x-m=0（m是常数)是"邻根方程”，求m的值； (3)若关于x的方程ax2+bx十1=0(a,b是常数，且a>0)是“邻根方程”，试求出代数式12a-b2的最 大值， 4.（25-26九年级下山东烟台期中)定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根x1x2,且满足 X1十X2=x1:X2,则称此类方程为“和积方程”. 例如：x2-x+号=0，即(x-3)(x-号)=0，解得x1=3,x2=是， :3+引=3×引，x2-x+号=0是“和积方程” (1)方程x2-5x+6=0(填是或不是)“和积方程”： (2)关于x的方程x2-(n+3)x+3n=0是“和积方程”，则n= (3)若关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+2m=0是"和积方程”，求m的值. 7/7