专题04 一元二次方程的解法常考题型19大题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以19类题型系统覆盖一元二次方程解法，构建“基础解法-综合应用-创新拓展”三阶逻辑链，通过典型例题培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |因式分解法|3类（基础/三角形应用/新定义）|结合几何与创新情境，强调降次转化|从基本分解到实际应用，体现数与形结合| |直接开方法|2类（解方程/求参数）|聚焦平方形式方程求解，突出参数讨论|方程结构特征与参数取值的逻辑关联| |配方法|5类（基础配方/求参数/最值/新定义/综合）|覆盖配方步骤、参数计算及压轴应用|从代数变形到函数最值，构建知识递进| |公式法|2类（还原方程/综合计算）|强调求根公式逆向应用与步骤规范|公式推导与方程构造的逻辑统一| |根的判别式|4类（判断根/求参数/综合/新定义）|重点考查判别式与参数、几何的综合|代数判别与几何存在性的逻辑联结| |换元法|2类（解方程/综合应用）|通过整体代换实现降次，培养转化思想|复杂方程向基本形式的转化逻辑|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04一元二次方程的解法常考题型 题型归纳内容导航 题型1因式分解在三角形中应用 题型11配方法综合应用（压轴） 题型2因式分解解一元二次方程（基础） 题型12利用公式法还原一元二次方程（基础） 题型3因式分解中新定义类 题型13一元二次方程的综合计算（必考） 题型4直接开方法解一元二次方程（基础） 题型14根据根的判别式判断根的情况（重点） 题型15利用根的判别式求参数取值范围（重 题型5由直接开方法求参数（常考点） 点) 题型6利用配方法求(x+p)(xtg)形式（常考） 题型16根的判别式解答题综合（重点） 题型7正确的使用配方法（常考） 题型17根的判别式中新定义类（难点) 题型18换元法解一元二次方程（重点）（难 题型8利用配方法求参数（重点） 点) 题型9配方法中新定义类问题（重点） 题型19换元法综合应用（重点）（难点） 题型10配方法求最值（难点） 题型通关·靶向提分 题型一因式分解在三角形中应用（共5小题） 1.(2026河南.一模)已知三角形两边长分别为4和8，第三边长是方程x2-10x+24=0的解，则这个三 角形的周长是() A.12 B.16 c.16或18 D.18 2.(24-25八年级下.广西梧州期中)已知△ABC的两边长分别是2和3，第三边的长是方程 X2-7X+10=0的一个根，则△ABC的周长是() A.5 B.7 C.10 D.12 3.(25-26八年级下.安徽准北阶段检测)已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程 X2-6x+8=0的根，则该三角形的周长为() A.12或10 B.12 C.8或10 D.10 1/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25九年级下.甘肃武威开学考试)一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程 X2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长是(） A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不正确 5.(24-25八年级下江苏盐城阶段检测)三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程 X2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为() A.10 B.11 c.10或12 D.12 题型二因式分解解一元二次方程（共5小题） 1.(25-26九年级上河南驻马店期末)用因式分解法解方程x2-5x=0,正确的是() A.xx-5=0'x1=0'X2=5 B.(x-5P=0'x1=X2=5 C.x(x+5)=0'x1=0'X3=-5 D.(x+52=0'x1=x2=-5 2.(25-26九年级上河南开封期末)方程xx-2=x-2的解为() A.X=1 B.x1=0,X2=1 C.X1=0,X2=2 D.X1=1,X2=2 3.(25-26九年级上四川绵阳期末)一元二次方程x2-2x-3=0的解为() A.X=-1或x=3 B.x=-3或x=1 c.x=-1或x=-3 D.X=1或x=3 4.(25-26九年级上江苏无锡期末)方程x=3x的根是（) A.X1=X2=3 B.X1=0,X2=3 C.X1=3,X2=-3 D.X1=X2=0 5.(25-26九年级上.湖南岳阳·期末)一元二次方程x2+5x=0的根是（) A.X1=X2=5 B.X1=X2=-5 C.x1=-5,X2=0 D.X1=5,X2=0 题型三因式分解中新定义类（共5小题） 1.(25-26八年级下.安徽合肥期中)定义符号max{a,b}的含义为：当a≥b时，max{a,b}=a;当a<b 2/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 时·maxa,b}=b如：max42=4max-25=5则方程naxx,-X刘=2-12的解是 2.(25-26八年级下.山东青岛期中)定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这 两个方程为“牵手方程”，例如方程x2=4和x2-2X=0有且仅有一个相同的实数根x=2,所以这两个方程为 “牵手方程”.若方程X+2X-3=0利x-3x+m=0为“牵手方程”，则m的值为 3.(25-26八年级下山东青岛期中)在实数范围内定义一种新的运算“⊕”，其规则为：a⊕b=a-ab, 则方程2x-1田x+2=0的解为 4.（25-26八年级下.浙江期中)对于实数a,b,c,我们用符号mida,b,c表示a,b,c三数的中位数， 如mid0,3,-1=0若midX,4,x+2=6X2+2x则x的值是一， 5.(25-26八年级下浙江杭州期中)如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0有两个实数根，且其中一 个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有 ·(填序号) ①方程x2-4x+3=0是三倍根方程： ②若x-3)(mx+n)=0是三倍根方程：则9m2+10mn+n2=0: ③若p,q满足pq=3,则关于x的方程px2+4x+q=0是三倍根方程. 题型四直接开方法解一元二次方程（共5小题） 1.（25-26八年级下.浙江温州期中)一元二次方程x2-4=0的根是（) A.X1=2,X2=0 B.X1=-2,X2=4 C.X1=0,X2=4 D.X1=2,X2=-2 2.(2026九年级吉林.专题练习)方程4x-1=0的根为() A.X1=-2,X2=2 D.x1=-V2,x2=V2 3.(25-26九年级上安徽阜阳：期末)方程(x-1Y=g的解是（） A.X1=4,X2=2 B.X1=-4,X2=2 C.X1=4,x2=-2 D.X1=-4,X2=-2 3/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26八年级下·全国，课后作业)一元二次方程x+2}=4的解是（） A.X=0 B.X=-2 C.X=-4 D.X1=0,X2=-4 5。（25-26九年级上-陕西渭南：期中)方程x+1?=16的根是（） A.X1=-5,X2=3 B.X1=-3,X2=5 C.X1=-1,X2=5 D.X=-3 题型五由直接开方法求参数（共5小题） 1.(25-26九年级上.安徽宿州期中)若一元二次方程x=m的两个实数根分别是2a-6和3a-4,则m的 值是() A.5 B.4 C.3 D.2 2.(25-26九年级上·福建福州期中)关于x的一元二次方程配方为X-m=m若3±只V是该方程的两个 根，则n的值是() A.3 B.-3 C.2 D.-2 3.(25-26九年级上河南许昌·阶段检测)若关于的一元二次方程。 x2+3x+a2-1=0的常数项是 3 9 0,则a的值为() A.0 3 4.（25-26九年级上四川宜宾阶段检测)已知关于x的一元二次方程a-1X+x+a=1的常数项是0， 则a的值为() A.1 B.-1 c.1或-1 D.0 5.若关于x的一元二次方程(x-a}=1的两个根均为正整数，则。的值可能为(） A.-1 B.0 c.1 D.2 题型六利用配方法求(xp)(x+)形式（共5小题） 4/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(2526八年级下-安做落州期中)用配方法解方程3-6X+2=0将方程变为(x-mP=n 的形式， 则m,n的值分别为() A.9,3 B.9,- 1 3 c.-1,3 D.1,3 2.(25-26八年级下浙江金华期中)用配方法解一元二次方程2X-16X+18=0' 得x+m=n则 m+n的值是() A.11 B.3 C.-11 D.-3 3.(25-26八年级下·安徽池州：期中)用配方法将方程X-6x+2=0化成x-a=b的形式，则。-b的值 是() A.-4 B.-1 C.4 D.1 4.(25-26八年级下-浙江杭州，期中)将一元二次方程X-4X-2024=0转化为x+a2=b的形式，则 a+b的值为() A.2025 B.2026 C.2027 D.2028 5.(25-26八年级下-江苏苏州：期中)用配方法将方程X-4x-2022=0转化为x+mP=n的形式，则 m-n的值为() A.2027 B.-2026 C.2026 D.-2028 题型七正确的使用配方法（共5小题） 1.（25-26八年级下，浙江嘉兴期中)用配方法解一元二次方程x+6x+3=0,下列配方正确的是() A.x+3=6 B.x-32=3 C.{x+3}=3 D.x-3}=6 2.(25-26八年级下山东青岛期中)用配方法解一元二次方程x2-4x+1=0,则方程可变形为 A.x-2P=5 B.x-22=1 C.x+22=3 D.x-22=3 5/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26八年级下浙江温州期中)一元二次方程x2-4x-1=0,经过配方可变形为() A.x-22=2 B.x-22=5 c.(x-22=1 0.x-12=5 4.(25-26八年级下浙江丽水期中)用配方法解x2-6x+1=0,配方后得到的方程为（) A.x-32=8 B.x+3}=8 C.x+3}=1 D.(x-3}=-1 5.(25-26八年级下浙江杭州期中)用配方法解方程x2-X-3=0时，经过配方后正确的是(). A(x-12=48x2 2 c.x 题型八利用配方法求参数（共5小题） 1.(2026河南周口·模拟预测)设方程x+2x-6=0的正根介于整数m与m+1之间，则m=一。 2.（25-26九年级下.宁夏银川期中)设方程x2-2x-5=0的正根介于整数n与n+1之间，则n= 3。(25-26九年级上：全国周测)用配方法解一元二次方程aX+bx-C=0a≠0，c>0)得到 (×-c}=4c2,从而解得方程的一个根为1，则。-3b= 4.(24-25九年级上山东德州，期末)将一个关于x的一元二次方程配方为x+m?=p若2±3是该方程 的两个根，则p的值是 5.(24-25九年级江苏南京·自主招生)已知m>n>0, 2+1+3=0,则=一 m n n-m m 题型九配方法中新定义类问题（共6小题） 1.（24-25九年级上贵州遵义阶段检测)对于两个不相等的实数a,b.我们规定符号{a,b表示a,b中的 较大值，如：max3,5=5,max-3,-5=-3按照这个规定，若maxx,-X=X-3X-5则x的值 是 6/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(24-25九年级上江苏南京期中)对于两个不相等的实数a,b,规定maxa,b表示a,b中较大的数， ax1,2=2则方程max2x,x+2=X-4的解为 例如 3.(24-25九年级上四川成都期中)新定义：关于×的一元二次方程a(X-cP+k=0与a,x-c}+k=0 称为“同族二次方程”，例如：5x-6}+7=0与6(X-6}+7=0是“同族二次方程”.现有关于x的一 元二次方程(m+2)X2+(n-4)x+8=0与2(x-1+1=0是“同族二次方程”，则代数式 mx+x+2030的最小值是 4.(2425八年级下安徽合肥月考)新定义：若关于x的一元二次方程：mx-a2+b=0与 nx-a2+b=0'称为“同类方程”. 如2x-1?+3=0与6x-1+3=0是“同类方程”： (1)若2X-4x+b=0与aX-1+3=0是“同类方程”，则b= (2)现有关于x的一元二次方程：2X-1+1=0与a+6X-b+8x+6=0是“同类方程”，那么代数 式ax2+bx+2025能取的最大值是 5.(2025八年级下广东江门竞赛)新定义，若关于x的一元二次方程：a,(x-mP+n=0与 a,(x-m尸+n=0称为“同族二次方程”·如2(x-3}+4=0与3x-3}+4=0是“同族二次方程”. 现有关于x的一元二次方程：2x-1+1=0与(a+2)X+b-4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代 数式ax2+bx+2018能取的最小值是 6.(2025黑龙江哈尔滨二模)若定义：a*b=a2+ab+b,则代数式x*1的最小值为一· 题型土配方法求最值（共5小题） 1.(25-26九年级上江苏镇江期末)若x-y+4=0,则Xy的最小值为 7/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下.黑龙江绥化阶段检测)当x=时，二次三项式-2x+4x-5有最大值，最大 值为一· 3.(2026江苏连云港.一模)设m,n为实数，且W=2m+2mn+n2-m-2n+2有最小值，则W的最小 值为 4.(25-26九年级上江苏宿迁阶段检测)若W=2x2-4xy+3y-2y+4x+6(x、y为实数)，则W的 最小值为 题型十一配方法综合应用（压轴）（共5小题） 1.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)阅读下列材料： 材料一“a≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1 :(x+22≥0'.(x+22+1≥1.x2+4x+5≥1 解决下列问题： (1)填空：X-6x+10=(x2+ (2)已知x2-2xy+2y+2y+1=0,求x+y的值. (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小，并说明理由 2.(25-26八年级下·安徽合肥期中)阅读材料. 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题.例如：X+2x+3=x2+2x+1+2 =(x+1)2+2 .(x+12≥0 .（x+12+2≥2 :.代数式X2+2X+3有最小值，最小值是2. 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式x-4x+5的最小值： 8/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若代数式2x2+kx+7的最小值为2，求k的值： 3.(25-26八年级下山东泰安期中)配方法是数学中重要的一种思想方法.常被用到代数式的变形中， 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值.最小值等，例如：求代数式2x-4x+5的最小值， 解法如下： 解：2X-4x+5=2x2-2x+5=2x2-2x+1-1+5 =2x-12-2+5=2x-12+3 2x-1P≥02x-1+3≥32X2-4x+5的最小值是3. 根据材料中的方法，解答下列问题： (若a2-6a+9+b+1=0求。的值. (2)求代数式x2-6x+12的最小值， (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式3x2+6x+10的值总是正数 4.(24-25八年级下山东济南·期中)把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的 非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法.配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都 有着广泛的应用. 例如：①用配方法分解因式：a+6a+8. 原式=a2+6a+9-1=a+32-1=a+3+1a+3-1=a+4a+2 ②利用配方法求最小值：求a+6a+8最小值. 解：02+6a+8=a2+2a-3+32-32+8=(a+3}P-1'a+3P.因为不论。取何值，a+3P总是非负数， 即1a+3≥0所以1a+32-1≥-1所以当x=-3时，d+6a+8有最小值，最小值是-1 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：xX-8x+=x-_ ②将x-10x+4变形为x+mP+n的形式，并求出X-10x+4的最小值： (3)若M=7a2+17a+10,N=5a+25a,其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由. 5.(25-26九年级上四川成都期末)阅读下面材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其中一部分） 9/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。？士2ab+b'=a士bP, 利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题. 例如：当X取何值时，代数式x2-2x+3有最小（或最大）值？ x2-2x+3=x2-2x+1+2 =x-12+2 x-1≥0，x-12+2≥2 当x=1时，代数式X-2x+3有最小值2. 【直接应用】(1)请仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式x+4x-5有最小（或最大）值？ 【类比应用】(2)已知P=-m2+m,Q=2-m(m为任意实数)，判断P与Q的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】(3)如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成. 20米 llliueeiiu ①请直接写出y与X的函数关系式及自变量x的取值范围； ②当X为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 题型土二利用公式法还原一元二次方程（共5小题） 1.（25-26八年级下·安徽准南阶段检测)下列一元二次方程的根可以根据x=-3士3-4×2X1计算得 2×2 出的是() A.2x+3X+1=0 B.2x+3X-1=0 C.3x2+x-2=0 D.-2x-X+3=0 2.(25-26九年级上，贵州黔南期末)某一元二次方程的根用求根公式表示为 10/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 X=-←2±-2P-4x3x-1, 则该一元二次方程为() 2×3 A.-2x2+3X-1=0 B.3x2-2x-1=0 C.2x-3x+1=0 D.3x2-2x+1=0 3.(25-26九年级上河北唐山-期末)用公式法解关于x的一元二次方程，得X=-6±6-4×4×1，则 2×4 该一元二次方程是() A.2x-6x+4=0 B.4x2-6x+4=0 C.4x2+6x+1=0 D.2x2+6x+1=0 4。(2526九年级上新疆，期末)若一个一元二次方程的根为x=--9±9-4×6×2，则该一元 2×6 二次方程为() A.-9x2+6x+2=0 B.-6x2+9x+4=0C.6x2-9x+2=0D. 6x2-9x-2=0 5.（25-26九年级上-河北唐山期中)在用求根公式X=-b±b-4ac求一元二次方程的根时，佳琪正 2a 确地代入了a,b,c得到，--3±32-4×2×-1，则她求解的一元二次方程是() X三 2×2 A.2x2-3X-1=0 B.2x+3X-1=0 C.2x+3x+1=0 D.2x2-3x+1=0 题型土三一元二次方程的综合计算（共5小题） 1.(25-26八年级下浙江绍兴期中)解方程： ax-52=9 2x2-4x-1=0 11/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)X2-2x+1=25 42x2-4X-1=01 2.（25-26八年级下江苏苏州期中)解方程： (3x-12-27=0 (2x-6x-4=0 3.(25-26八年级下·浙江金华，期中)解方程： (12X-4x+1=01 2x-2x-3=12 4.(25-26八年级下·江苏苏州期中)解下列方程： ()(x-12-16=0 23(x-12=2(x-1)月 3x-3x-5=0. 5.(25-26八年级下.安徽合肥期中)解方程： (四X2+2x-4=0 2)x+1x+3=15 题型土四根据根的判别式判断根的情况（共5小题） 1.(2026福建南平.二模)己知关于x的一元二次方程ax+6x+3=0,其中a在数轴上的对应点如图所 示，则该方程的根的情况是() 0 1 a 3→ A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 12/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026河南漯河模拟预测)已知关于x的方程x-2川x+1=m,则下列说法正确的是() A.当m<0时，方程没有实数根 B.当m=O时，方程有两个相等的实数根 C.当m>0时，方程有两个不相等的实数根 D.方程根的情况与的值无关 3.(25-26八年级下浙江宁波期中)已知关于x的方程kX2+3-k)x-3=0 下列说法正确的是() A.k=-3时，方程有两个相等的实数解B.k=3时，方程有一个实数解 C.k=0时，方程无实数解 D.k≠0时，方程总有两个不相等的实数解 4.(25-26八年级下.浙江杭州期中)已知关于x的一元二次方程x+mx+n=0,则下列判断中不正确的 是() A.若方程有一根为1，则m=-n B.若m=0,n<0,则方程两根互为相反数 C.若n<0,则方程必有解 D.若n=0,则方程有一根为0 5.(2026:湖南长沙，模拟预测）关于x的一元二次方程X+k-1X+k-3=0根的情况，下列说法正确的 是() A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.无法确定 D.有两个不相等的实数根 6.（2026四川德阳·模拟预测)如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点， 第二行有2个点…，第n行有n个点…，则三角形点阵中前n行的点数和可能是() ● ●● ●● ●●● ●●●●● ●●●●●● 。0.0 A.53 B.54 C.55 D.56 题型土五利用根的判别式求参数取值范围（共5小题） 1.(2026辽宁朝阳.二模）关于x的方程a-1X+3x-2=0有实数根，则。的取值范围是（） 1 1 A.a>- 8 B.a≥- 8 13/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.a>- 且a≠1 D.a≥- 且at1 P 2.(25-26八年级下.安徽毫州期中)若一元二次方程x2-5X+a=0无实数根，则一次函数 y=a-5x+a的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(25-26八年级下安微合肥，期中)已知关于x的方程k+2X-4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是() A.k<2 B.k>2 C.k<2且k≠-2 D.k<6且k≠-2 4.(25-26八年级下·浙江台州期中)关于x的一元二次方程ax2-2aX+b+3=0(a≠0)有两个相等的 实数根X,=X,=k:则下列成立的是(） A.若0<a<3,则ka<kb2 B.若ka>kb2,则0<a<3 C.若-3<a<0,则ka2<kb2 D.若ka2>kb2,则-3<a<0 5.（25-26八年级下-浙江宁被：期中)若关于x的方程k+1X+3X+1=0有实数根，则实数k的取值范围 是() A.k<5 4 B.k<5且k≠-1 4 Ck经ak- 0k经 题型土六根的判别式解答题综合（共5小题） 1.(25-26八年级下辽宁盘锦期中)己知关于×的一元二次方程X-m+3x+3m=0: (1)求证：此方程一定有两个实数根： (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为1，当△ABC是等腰三角 形时，求m的值. 2.（25-26八年级下.山东烟台期中)已知△ABC的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次 14/20 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方程x-2k+1x+4k-号=0的两个实数根. 2 (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根： (2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长， 3.(25-26八年级下浙江杭州期中)已知关于x的一元二次方程X-2x-mm+2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根. (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求m的值. 4.(25-26八年级下浙江丽水期中)己知：关于x的方程kKX-4k-3x+3k-3=0 (1)若k=1,求该方程的解. (2)若x=-1是该方程的一个根，求k的值. (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解.请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由. 5.(25-26八年级下-浙江杭州，期中)己知关于x的一元二次方程k+1X2+k+3x+2=0 (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为-2，求k的值及方程的另一个根： (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值. 题型土七根的判别式中新定义类（共5小题） 1.(25-26八年级下·浙江绍兴期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足 b=a+C,那么我们称这个方程为“有爱方程”. (1)判断一元二次方程3x2+4x+1=0是否为“有爱方程”，并说明理由： (2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“有爱方程”，证明：x=-1为“有爱方程”的根： (3)已知3x2-ax+b=0是关于X的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值. 2.(25-26九年级上广东茂名：期中)新定义：对于关于x的一元二次方程aX2+bx+c=01a≠0若根的 判别式b2-4ac是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”. (1)判断下列方程一定是“美好方程”是；（直接填序号) ①x-6x+9=0:②x2+5x-4=0:③x2+2V3x+3=0: 15/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2若关于4的一元=次方程一2m-3X+m-3m=0设方程的个实孩银分别为x6〈x为 ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若x1<1,X2>2,求m的取值范围： ③是否存在实数太使得PX1,X,始终在函数y=kx-k+4的图象上？若存在，求出的值：若不存在， 请说明理由， 3.(25-26九年级上·湖南郴州阶段检测)阅读材料：对于关于x的代数式ax+bx+c,若存在实数， 使得当x=m时，代数式的值也等于，则称m为这个代数式的“不动值”，例如：对于关于x的代数式x, 当x=0时，代数式的值等于0：当x=1时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式x的“不动 值”. (1)关于x的代数式x-2的“不动值”是_ (2)判断关于x的代数式2x-x+1是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说 明理由 (倒若关于x的代数式。X-3a2-8a-1x+2a2-13a+151a≠0只有一个“不动值”，求a的值. 4.(24-25九年级上北京期末)考虑“对钩函数”y=x+kk>0,记它的图像为T.已知A1,2在T上. 条直线叫做T的切线（或者说直线与T相切），如果联立l与T的表达式所得的关于x是一元二次方程， 且有两个相同的解，此时直线与T有唯一的公共点，叫做切点. (1)求T的表达式. (2)用代数方法（而不是看图或求导)证明：当x之1时，y随着x增大而增大. 3)设Q为1,1，过Q点有T的几条切线？找出它（们）. 4如果点Pa,b满足0<a<b<a+1.证明：过P点有两条直线与T相切. a (5)附加题T是否是轴对称图形？如果是的话，写出其全部对称轴，并证明T关于其中一条对称轴对称.否 则，证明T不是轴对称图形. 5.(25-26九年级上河南鹤壁期末)若x=k,代数式ax2+bx+c的值也为k,则称k是这个代数式的x 优值”.例如，当X=0时，代数式又-x的值为0：当x=2时，代数式x-X的值为2，所以0和2都是 X2-x的x优值”. 16/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)判断代数式x2-3x+2是否存在x优值”，并说明理由： (2)若代数式x2-t+t存在两个优值”且差为3，求t的值. 题型十八换元法解一元二次方程（共5小题） 1.(25-26八年级下.安徽阜阳阶段检测)已知方程ax+bx+c=0的解是X1=-2,X2=3,现给出另一个 方程aX+2x+bx2+2x+c=0则它的实数解是（） A.X1=-3,X2=1 B.X1=-1,X2=3 C.X1=-2,X2=3 D.X1=-3,X2=2 2.（2026:江苏南通模拟预测)已知、b满足a2-ba2-b2+4+4=0:则代数式。-b2的值为（） A.-2 B.4 C.-2或4 D.2 3.(2026八年级下全国.专题练习)当m2+n2m2+72-2+1=0时，m2+n2的值为（） A.-1 B.1 C.1或-1 D.0 4.(25-26八年级上，山西朔州期未)已知(x-2024}+x-20262=34则(x-2025的值是(） A.4 B.8 C.12 D.16 5.(2025湖北随州，一模)关于x的方程nmX+hP+k=0的解是x,=-3°为，=2mHk均为常数， m≠02，则方程mX+h-32+k=0的解是（) A.X1=0,X2=5 B.X1=-6,X2=-1 C.x1=-3,X2=5 D.X1=-6,x2=2 6.(25-26九年级上江苏镇江阶段检测)已知关于X的方程ax2+bx-c=0的解为X1=2,X2=-3,则方 程alx+1P+blx+1=c的解为() A.X1=-2,X2=3 B.X1=2,X2=-3 C.x1=1,X2=-4 D.X1=-3,X2=4 题型土九，换元法综合应用（共5小题） 17/20 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级下·浙江绍兴期中)换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们 通常把未知数或变量称为元.所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代 替它，从而使得复杂问题简单化.换元的实质是转化，关键是构造元和设元. 2x+3y+2x-3y=7 例如：解方程组 4 3 2x+3y+2x-3y=8 令m=2x+3yn=2x-3y m+n=7 原方程组化为43 解得m=60 m+n=8 n=-24 2 m=60 把 2x+3y=60 X=9 n=-24 代入m=2x+3y,n=2x-3y,得2x-3y=-24,解得 y=14/ :原方程组的解为y=14 x=9 (1)解方程组： (2)解方程组乙. 2.(25-26八年级下.山东烟台：期中)为解方程x2-1P-5X-1+4=0我们可以将×2-1看作一个整 体，然后设x2-1=y,那么原方程可化为y2-5y+4=0①解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,∴.x2=2,∴.x=±V2: 当y=4时，x2-1=4,.x2=5,∴.x=±V5 故原方程的解为x,V2,X2=-2,x3=5,x4=-5 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法. 根据以上阅读理解，解答下列问题： (A利用换元法解方程：X-x?-4x2-x-12=0 2若实数。b满足RWa+6a+6-2=3:求/a+V6的值. 3.（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测)请阅读下列材料： 解方程x2-1}-5x2-1+4=0 18/20 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解法如下： 将x-1视为一个整体，然后设X-1=y则X-1=y2 原方程可化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4. (1)当y=1时，x2-1=1,解得x=±V2: (2)当y=4时，x2-1=4,解得x=±V5. 综合(1)(2)，可得原方程的解为x,=V2,X,=-只2，X,=5,x4=-5 请你参考明明同学的思路，解方程x-14-5x-12-6=0 4.(25-26八年级下.安徽合肥阶段检测)【材料阅读】 已知实数m,n满足m2+n2+1m2+n2-1=8'试求m2+n2的值. 解：设y=m+n2, 则原方程可化为y+1)(y-1)=8,即y2=9,解得y=±3. .m2+n2≥0， ∴.m2+n=3. 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成 一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： a四已知2+y+1X+y2+3=15求x+y2的值. (2)解方程：x4-x2-2=0. (3)解方程：X-2x-5x2+10x-6=01 5.(2026八年级下浙江绍兴.专题练习)【阅读材料】 解方程：x4-5x+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,则x4=y2,于是原方程可转化为y2-5y+4=0,解得y1=1,y2=4.当y=1时，x2=1,所以 x=±1；当y=4时，x=4,所以x=±2 所以原方程有四个根：X1=1,X2=-1,X3=2,x4=-2 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想， 19/20 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题】 (在解方程X+×2-4X+X-12=0时，若设y=X2+X则原方程可转化为 2)若m2+72-32m2+2n2-4=8则m2+n2= 12 (3)参照上面解题的思想方法解方程： -5X+6=0 X-2 x-2 20/20 专题04 一元二次方程的解法常考题型 题型1 因式分解在三角形中应用 题型11 配方法综合应用（压轴） 题型2 因式分解解一元二次方程（基础） 题型12 利用公式法还原一元二次方程（基础） 题型3 因式分解中新定义类 题型13 一元二次方程的综合计算（必考） 题型4直接开方法解一元二次方程（基础） 题型14 根据根的判别式判断根的情况（重点） 题型5 由直接开方法求参数（常考点） 题型15 利用根的判别式求参数取值范围（重点） 题型6 利用配方法求（x+p）（x+q）形式（常考） 题型16 根的判别式解答题综合（重点） 题型7 正确的使用配方法（常考） 题型17 根的判别式中新定义类（难点） 题型8 利用配方法求参数（重点） 题型18 换元法解一元二次方程（重点）（难点） 题型9 配方法中新定义类问题（重点） 题型19 换元法综合应用（重点）（难点） 题型10 配方法求最值（难点） 题型一 因式分解在三角形中应用（共5小题） 1．（2026·河南·一模）已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 2．（24-25八年级下·广西梧州·期中）已知的两边长分别是2和3，第三边的长是方程的一个根，则的周长是（    ） A．5 B．7 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的根，最后计算周长得到正确选项． 【详解】解：对方程因式分解得 ， ， 当第三边长为时不满足三角形两边之和大于第三边，故舍去， 第三边长只能为， 的周长为． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．12或10 B．12 C．8或10 D．10 【答案】D 【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当腰长为2，底边长为4时，，不符合三角形三边关系定理， 当腰长为4，底边长为2时，，符合三角形三边关系定理， ∴该等腰三角形的周长为． 4．（24-25九年级下·甘肃武威·开学考试）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（    ） A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】先通过因式分解法解一元二次方程得到第三边的可能值，再利用三角形三边关系排除不符合的解，最后计算周长得到结果． 【详解】解：， ， 解得：或， 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 当时，，不满足三边关系，舍去； 当时，满足三边关系，可以构成三角形； ∴三角形周长为． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·阶段检测）三角形的两边长分别为3和5，第三边的长是方程的一个根，则这个三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先通过因式分解法求出方程的两个根，再依据“三角形任意两边之和大于第三边”的规则，筛选出能与已知两边构成三角形的第三边长度，最后计算三角形的周长． 【详解】解：方程，因式分解可得：， ∴或， 解得，． 当第三边的长为2时，，此情况无法构成三角形，舍去； 当第三边的长为4时，，，，均满足三角形三边关系，此情况可以构成三角形． 此时三角形的周长为． 题型二 因式分解解一元二次方程（共5小题） 1．（25-26九年级上·河南驻马店·期末）用因式分解法解方程，正确的是（   ） A．，， B．， C．，， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法．根据因式分解法求解方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：，， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河南开封·期末）方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，掌握一元二次方程的解法是解题的关键．可通过因式分解法解方程，注意不能直接约去含未知数的因式，避免漏根． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）一元二次方程的解为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故选：A． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期末）方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 5．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）一元二次方程的根是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程． 用因式分解法解方程即可． 【详解】解∵， ∴， ∴ 或 ， ∴，． 故选：C． 题型三 因式分解中新定义类（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）定义符号的含义为：当时，；当时，，如：，，则方程的解是______． 【答案】或 【分析】根据的定义，分和两种情况分类讨论，分别列一元二次方程求解，舍去不符合取值范围的解即可． 【详解】解：当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 当，即时，根据定义可得， 则方程为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去； 故方程的解是或． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们就称这两个方程为“牵手方程”,例如方程和有且仅有一个相同的实数根,所以这两个方程为“牵手方程”．若方程和为“牵手方程”,则m的值为__________． 【答案】3或 【分析】先求出一元二次方程的解，，根据方程和为“牵手方程”,分情况求解即可． 【详解】解：， ， 解得：，， 当相同的根是时， 代入方程可得， 解得：； 此时方程为，可得：，，符合题意； 当相同的根是时， 代入方程得， 解得：， 此时方程为，可得：，，符合题意； ∴m的值是3或． 3．（25-26八年级下·山东青岛·期中）在实数范围内定义一种新的运算“”,其规则为：,则方程的解为__________． 【答案】， 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， 可化为， ， 整理得， 可得 或 ， 解得， ． 4．（25-26八年级下·浙江·期中）对于实数，，，我们用符号表示，，三数的中位数，如．若，则的值是_____． 【答案】或 【分析】根据题意可分为：当是这三个数的中位数时，当是这三个数的中位数时，当4是这三个数的中位数时，然后分类进行求解即可． 【详解】解：由题意可分为： 当是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验此时都不符合题意； 当是这三个数的中位数时，则有，解得：， 当时，此时这三个数为，符合题意；当时，此时这三个数为，符合题意； 当4是这三个数的中位数时，则有，解得：，分别代入检验发现都不符合题意； 综上所述：x的值为或． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的3倍，则称这样的方程为“三倍根方程”，以下关于三倍根方程的说法，正确的有________．（填序号） ①方程是三倍根方程； ②若是三倍根方程：则； ③若p，q满足，则关于x的方程是三倍根方程． 【答案】①②③ 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“三倍根方程”； ②根据“三倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当p，q满足，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为“三倍根方程”． 【详解】解：①， 将方程左边因式分解得，， 解得，， ， 方程是三倍根方程， 说法①正确； ②， ， 是三倍根方程, 情况1，，即，， 情况2，，即，， 综合两种情况可得，，即， 说法②正确； ③， ， ，， ， ， 方程是三倍根方程, 说法③正确； 故答案为：①②③ ． 题型四 直接开方法解一元二次方程（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 2．（2026九年级·吉林·专题练习）方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 【详解】解： ，． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，利用平方根的定义将原方程转化为两个一元一次方程，进而求解． 【详解】 由平方根的意义，得 所以 ， 故选：C 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元二次方程的解法，解题关键是直接开方会得到正负两个值，然后分别求解即可．通过直接开平方的方法求解方程，得到两个根． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 当时，， ∴方程的根为， 故选：A． 题型五 由直接开方法求参数（共5小题） 1．（25-26九年级上·安徽宿州·期中）若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26九年级上·福建福州·期中）关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（） A．0 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，根据方程的常数项为0列出方程求解，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【详解】解：∵的常数项为0， ∴，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键． 根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可． 【详解】解：原方程变形为， 由题意，， 解得：， 故选：B． 5．若关于的一元二次方程的两个根均为正整数，则的值可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出的取值范围． 先解一元二次方程，然后根据两个根均为正整数列不等式组求解即可． 【详解】解：， ， ，， 关于的一元二次方程的两个根均为正整数， ， 解得， ∴，且a为正整数 观察四个选项，可以为， 故选：D． 题型六 利用配方法求（x+p）（x+q）形式（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期中）用配方法将方程化成的形式，则的值是（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】把常数项移到方程右边，得到，等式两边加上一次项系数一半的平方，得到，从而确定和的值，所以再代入计算的值． 【详解】移项，得 ， 配方，得 ， 整理，得 ， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【详解】解： ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用配方法将方程转化为的形式，则的值为（   ） A．2027 B． C．2026 D． 【答案】D 【分析】先将原方程配方得到的形式，对比得到和的值，再计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， ∴ 整理得 ， ∵ 方程转化为的形式， ∴ ，， ∴ ． 题型七 正确的使用配方法（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）用配方法解一元二次方程,则方程可变形为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将常数项移到等号右侧，然后等式两边同加上一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式，即可得到结果． 【详解】解：移项，得， 两边同时加上4，得， ． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程，经过配方可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先移项将常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：， 移项得， 两边同时加上一次项系数一半的平方，得 ， 整理得． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）用配方法解，配方后得到的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题思路为先移项，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方式即可得到结果． 【详解】解：∵ ∴ 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 整理得 因此配方后得到的方程为， 故选：A． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）用配方法解方程时，经过配方后正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ， 移项，得 ， 给方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ，得， 整理左侧为完全平方式，得． 题型八 利用配方法求参数（共5小题） 1．（2026·河南周口·模拟预测）设方程的正根介于整数与之间，则____． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 2．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）设方程的正根介于整数与之间，则________． 【答案】3 【分析】利用配方法解出的根后，利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则． 3．（25-26九年级上·全国·周测）用配方法解一元二次方程，得到，从而解得方程的一个根为1，则____________． 【答案】3 【详解】由，得，即．∵方程的一个根为1，且，，∴原方程为．整理，得 ， ． 4．（24-25九年级上·山东德州·期末）将一个关于x的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则p的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法是解题的关键． 运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：将一个关于x的一元二次方程配方为， ∴， ∴， 故答案为：3． 5．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，分式的化简求值．由条件得出，，再将方程去分母合并整理得，然后两边同时除以得，再利用配方法求得方程的解，注意舍去不合题意的解． 【详解】解：∵，∴，， ∵， ∴，即， ∴， 两边同时除以得，即， 配方得，即， 解得或， ∴或（舍去）， 故答案为：． 题型九 配方法中新定义类问题（共6小题） 1．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段检测）对于两个不相等的实数．我们规定符号表示中的较大值，如：．按照这个规定，若，则的值是_________． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，实数的运算，实数大小比较，分两种情况：当时，即时；当时，即时；然后根据定义的新运算列出方程，解方程即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当时，即时， ， ， 整理得：， ， 或， ，舍去； 当时，即时， ， ， 整理得：， ， ， ， ， 或， ，舍去，； 综上所述：或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期中）对于两个不相等的实数，，规定表示，中较大的数，例如．则方程的解为__________________． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法，并学会分类讨论思想是解题的关键． 直接分类讨论得出的取值范围，进而解一元二次方程得出答案． 【详解】解：当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 当时， 即当时， 则， 整理，得：， 即：， 解得：，（不合题意，故舍去）； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是________． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ， 解得：， ， ， 代数式的最小值是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽合肥·月考）新定义：若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”． 如与是“同类方程”． （1）若与是“同类方程”，则_____________． （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是_____________． 【答案】 2026 【分析】此题主要考查了完全平方公式的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为：； （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． ∴当时，取得最大值为2026． 故答案为：2026． 5．（2025八年级下·广东江门·竞赛）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）若定义：，则代数式的最小值为______． 【答案】/0.75 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，配方法的应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据新定义、完全平方公式将原式变形为，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 题型十 配方法求最值（共5小题） 1.（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 2．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 3．（2026·江苏连云港·一模）设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段检测）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 题型十一 配方法综合应用（压轴）（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）阅读下列材料： 材料一 “”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如： ，， 解决下列问题： (1)填空： ． (2)已知，求的值． (3)比较代数式与的大小，并说明理由 【答案】(1)；1 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1），再根据完全平方公式进行配方； （2）将原式变形为，再由非负性求解； （3）利用作差法结合配方法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ∵ ∴， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： ∵ ∴， ∴ ∴． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料． 把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如： ． ， ， 代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)若代数式的最小值为2，求的值； 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据配方法得到，即可得到答案； （2）根据配方法得到 ，即可得到，求出答案即可． 【详解】（1）解： ， 代数式的最小值为1； （2）解： 代数式的最小值为． 由题可知： 解得． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 【答案】(1) (2)最小值为3 (3)见解析 【分析】（1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可； （2）将原式配方成，即可求解最小值； （3）将原式配方成，即可求解． 【详解】（1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式 （3）根据，进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；； （2）解：， ， ， 故最小值为； （3）解： ，， ， ， ， ， ． 5．（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 题型十二 利用公式法还原一元二次方程（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 2．（25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北唐山·期末）用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 4．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 5．（25-26九年级上·河北唐山·期中）在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程． 【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到， ∴，，， ∴ 原方程为 ． 故选：B 题型十三 一元二次方程的综合计算（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 2．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得． 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方程运用配方法解答即可； （2）方程整理后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解： ， ， ， ， 解得：，． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) ，. (2) ，. (3) ，. 【分析】（1）方程为平方等于常数的形式，可使用直接开平方法求解． （2）移项后可提取公因式，使用因式分解法求解，注意不能直接约去含未知数的公因式，避免漏根． （3）先将方程整理为整系数一元二次方程，再用公式法求解即可． 【详解】（1）解：原方程， 移项得， 开方得， 即或， 解得，． （2）原方程， 移项得， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． （3）原方程， 方程两边同乘得， 这里，，， 计算得， 代入求根公式， 得， 即，． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：或. 题型十四 根据根的判别式判断根的情况（共5小题） 1．（2026·福建南平·二模）已知关于x的一元二次方程，其中a在数轴上的对应点如图所示，则该方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由数轴得，， ∵一元二次方程为， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 2．（2026·河南漯河·模拟预测）已知关于x的方程，则下列说法正确的是（     ） A．当时，方程没有实数根 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个不相等的实数根 D．方程根的情况与m的值无关 【答案】C 【分析】先化简原方程，再根据判别式判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵原方程可化为， ∴，方程根的情况与m的值有关，故D选项错误； 当时，即时，方程没有实数根，故A选项错误； 当时，即时，方程有两个相等的实数根，故B选项错误； 当时，即时，方程有两个不相等的实数根， ∴当时，方程有两个不相等的实数根，故C选项正确． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程，则下列判断中不正确的是（    ） A．若方程有一根为1，则 B．若，，则方程两根互为相反数 C．若，则方程必有解 D．若，则方程有一根为0 【答案】A 【详解】解：A选项：∵方程有一根为， ∴， ∴，故A不正确，符合题意； B选项：若，，方程化为， ∴，方程两根为和，两根互为相反数，故B正确，不符合题意； C选项：若，根的判别式， ∵，， ∴，方程必有两个不相等的实数根，即方程必有解，故C正确，不符合题意； D选项：若，方程化为，解得或， ∴方程必有一根为，故D正确，不符合题意． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）关于x的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（   ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．无法确定 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得 ，， ∵ 又∵ 无论取何值，都有 ∴ ∴ 方程有两个不相等的实数根． 6．（2026·四川德阳·模拟预测）如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第行有个点…，则三角形点阵中前行的点数和可能是（  ） A．53 B．54 C．55 D．56 【答案】C 【详解】解：三角形点阵中前行的点数和为， 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是53； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是54； 当， 整理得：， ， ∴ 解得：，（舍去）， ∴前行的点数和可能是55； 当， 整理得：， ， 但不是完全平方数，所以此方程无正整数解， ∴前行的点数和不可能是56． 题型十五 利用根的判别式求参数取值范围（共5小题） 1．（2026·辽宁朝阳·二模）关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】需分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，结合方程有实数根的条件求解，再合并结果得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，即时， ∵原方程化为，是一元一次方程，有实数根， ∴符合题意； ②当，即时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，， 解得：，且； 综上，的取值范围是． 2．（25-26八年级下·安徽亳州·期中）若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，再根据一次函数的性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程无实数根， ∴， 即， 解得， 对于一次函数， ∵， ∴，且， 根据一次函数性质，当一次项系数大于，常数项大于时，图象经过第一、二、三象限， ∴该一次函数的图象不经过第四象限． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，且根的判别式，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴的取值范围是且． 4．（25-26八年级下·浙江台州·期中）关于x的一元二次方程（）有两个相等的实数根，则下列成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先根据根的判别式推出，则，进而可得原方程为，解得，求出，再根据的符号与的符号关系进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴原方程为， 解得， ∴， 若，则，即，则， 若，则，即，则，故A错误，不符合题意； 若，则，即，则，故C正确，符合题意； 若，则，即，故B、D错误，不符合题意. 5．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，题目未说明方程为一元二次方程，方程可能是一元一次方程，也可能是一元二次方程，结合方程解的性质和一元二次方程根的判别式求解，再合并结果即可得到k的取值范围． 【详解】解：当 ，即 时，原方程为 ，解得 ，方程有实数根，符合要求； 当，即 时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式 ，代入 ，， 得： ， 解得 ，即此时 的范围是 且 ． 综上可知，的取值范围是 ． 题型十六 根的判别式解答题综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程一定有两个实数根； (2)若的两边，的长是这个方程的两个实数根，第三边的长为1，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据根的判别式证明即可； （2）根据因式分解法解方程，结合三角形的三边关系解题即可． 【详解】（1）证明：∵ ， 此方程一定有两个实数根； （2）解：， ， 或， ，； 当时，， 此时三角形三边为3，3，1，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，，此时三角形三边为1，1，3，不满足三角形三边关系，舍去； 当时，即，此情况不成立， 综上，的值为3． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 4．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）已知：关于x的方程． (1)若，求该方程的解． (2)若是该方程的一个根，求k的值． (3)小慧同学提出：无论k取何值，这个方程都有实数解．请判断小慧同学的观点是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)小慧同学的观点正确，理由见详解 【分析】（1）把代入方程，然后根据因式分解法求解方程即可； （2）把代入方程得，然后求解即可； （3）根据题意可分为当和两种情况进行分类求解． 【详解】（1）解：把代入方程得：， 或， 解得：，； （2）解：把代入方程得， 化简得：， 解得：； （3）解：由题意可分为：当时，则方程变为，此时方程有解； 当时， ∵， ∴， ∴方程恒有实数解； 综上所述：无论k取何值，这个方程都有实数解； 即小慧同学的观点正确． 5．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)判断该一元二次方程根的情况； (2)若方程有一个根为，求k的值及方程的另一个根； (3)若方程的一个根是另一个根的2倍，求k的值． 【答案】(1)当时，原方程有两个相等的实数根；当且时，原方程有两个不相等的实数根 (2)，方程的另一个根为 (3)或 【分析】（1）根据一元二次方程的定义可得的取值范围，再计算可判断方程根的情况； （2）把代入原方程求解k，再解一元二次方程可得答案； （3）先解含参数的一元二次方程，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 而 ， ∴当时，原方程有两个相等的实数根，当且时，原方程有两个不相等的实数根． （2）解：∵方程有一个根为， ∴， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个根为． （3）解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∵方程的一个根是另一个根的2倍， ∴当时，解得：，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：或． 题型十七 根的判别式中新定义类（共5小题） 1．（25-26八年级下·浙江绍兴·期中）定义：如果关于的一元二次方程（）满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程（）为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)方程是有爱方程，理由见解析； (2)见解析； (3)，． 【分析】（）通过“有爱方程”定义即可求解； （）由“有爱方程”定义可得，则原方程为，然后解方程即可； （）由是关于的“有爱方程”，则，又是该“有爱方程”的一个根，所以，从而得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， 方程是“有爱方程”； （2）证明：方程是“有爱方程”， ， 原方程为， ， ， ， 是原方程的解； （3）解：是关于的“有爱方程”， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， 由得， 把代入得， 化简得， 解得，． 2．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”． (1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号） ①；②；③； (2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（） ①证明：此方程一定是“美好方程”； ②若，，求m的取值范围； ③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①③ (2)①见解析；②；③存在， 【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断； （2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明； ②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解； ③代入点到，即可求出k的值． 【详解】（1）解：①对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； ②对于， ，，， ∴， ∵41不是整数的平方， ∴不是“美好方程”； ③对于， ，，， ∴， ∴是“美好方程”； 综上，一定是“美好方程”是①③； （2）①证明： ，，， ∴， ∴此方程一定是“美好方程”； ②解：由①得，， ∴此方程的解为， ∵， ∴，， ∵，， ∴， 解得； ③解：由②得，，， ∴， 代入点到，得， 整理得：， ∵不恒为0， ∴， 解得， 综上，存在实数，． 3．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）阅读材料：对于关于x的代数式，若存在实数m，使得当时，代数式的值也等于m，则称m为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于x的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1为这个代数式的“不动值”． (1)关于x的代数式的“不动值”是 ． (2)判断关于x的代数式是否有“不动值”，若有，请求出代数式的“不动值”；若没有，则说明理由． (3)若关于x的代数式只有一个“不动值”，求a的值． 【答案】(1)和2 (2)关于x的代数式没有“不动值”，见解析 (3) 【分析】（1）根据定义求出方程的实数根即可得到答案； （2）利用判别式判断方程是否有实数根即可得到结论； （3）根据题意可得关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于x的代数式的“不动值”是和2； （2）解：该代数式没有“不动值”，理由如下， 当时，则． ∵， ∴原方程无实数根， ∴该代数式没有“不动值”； （3）解：∵代数式只有一个“不动值”， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 4．（24-25九年级上·北京·期末）考虑“对钩函数”，记它的图像为．已知在上．一条直线叫做的切线（或者说直线与相切），如果联立与的表达式所得的关于是一元二次方程，且有两个相同的解，此时直线与有唯一的公共点，叫做切点． (1)求的表达式． (2)用代数方法（而不是看图或求导）证明：当时，随着增大而增大． (3)设为，过点有的几条切线？找出它（们）． (4)如果点满足．证明：过点有两条直线与相切． (5)附加题是否是轴对称图形？如果是的话，写出其全部对称轴，并证明关于其中一条对称轴对称．否则，证明不是轴对称图形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)过点有1条切线，切线方程为 (4)见解析 (5)不是轴对称图形，证明见解析 【分析】（1）利用点在函数图象上代入求值； （2）设，令，，证明即可； （3）设过的切线方程为，通过联立方程并利用判别式为0，求得的值，得到切线； （4）设过的切线方程为，通过联立方程并利用关于x的一元二次方程判别式为0得到关于切点个数的条件，再利用关于的一元二次方程判别式大于0的结论，得到关于切线个数的结论； （5）设上一点的坐标为，容易得到是中心对称图形，对称中心为原点，设对称轴直线上一点，求得过的两条切线与的切点连线的中点坐标，判断中心不在对称轴上即可． 【详解】（1）解：∵点在“对钩函数”的图象上， 代入得，解得， ∴的表达式为． （2）证明：设，令，， 则 ． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴当时，随着增大而增大． （3）解：设过的切线方程为， 联立，得， 整理为关于的方程：)． ∵直线与相切， ∴该方程有唯一解， 即判别式， 解得或． 当时，方程变为，无解，舍去； 当时，方程为，解得，代入得， ∴切点为，切线方程为，故过点有1条切线． （4）证明：设过的切线方程为， 联立，得， 整理为关于的方程：． ∵直线与相切， ∴判别式． 关于的方程：的判别式． ∵， ∴， ∴， ∴， 故关于的方程有两个不同的实数解，即过点有两条直线与相切； （5）证明：设上一点的坐标为，则它关于原点对称的点的坐标也在上， ∴是中心对称图形，对称中心为原点． 假设是轴对称图形，则对称轴必过原点， 设对称轴直线为，直线上一点， 设过的切线方程为，切点分别为，它们应该关于对称轴对称， 联立，得， 整理为关于的方程：， ∴，， ∴， ∴， 则切点连线中点坐标为， ∵， ∴对称轴直线不存在， 即不是轴对称图形． 【点睛】本题综合考查函数性质的研究与应用，包括待定系数法求解析式、利用不等式的性质比较大小、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系等知识，涉及代数证明、方程联立与判别式分析，关键是利用函数性质与代数运算结合，解决函数图象的相关问题． 5．（25-26九年级上·河南鹤壁·期末）若，代数式的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． (1)判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； (2)若代数式存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【答案】(1)代数式存在“优值”，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，准确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意，得到，整理得，根据一元二次方程根的判别式判断该方程有解，即代数式存在“优值”； （2）当时，整理得，运用公式法求出方程的两个根，结合它们的差为3，求出t值． 【详解】（1）解：代数式存在“优值”，理由如下：    当时，     ∵     ∴代数式存在“优值”； （2）解：当时， ． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴或． 题型十八 换元法解一元二次方程（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：令则新方程可化为， 原方程的解为，， ∴的解是或， 即或， 当时，整理得， 此方程无实数解； 当时，整理得， 因式分解得， 解得，， 因此新方程的实数解为，． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知a、b满足，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．或4 D．2 【答案】A 【分析】设，将等式变形为，解方程即可． 【详解】设， 由，得， 化简得， 解得， 即． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）当时，的值为（　　） A． B．1 C．1或 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，设，原式化成关于的一元二次方程，解方程即可求解， 解题关键是能准确的找出可用替换的代数式，再用字母代替解方程． 【详解】解：设，则原方程可化为：， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 5．（2025·湖北随州·一模）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 6．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）已知关于的方程的解为，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，掌握换元法解一元二次方程是解题的关键；把变形为，设，则原方程可转化为，与关于的方程的解相同，据此可求出，即可得解． 【详解】解：方程变形为， 设，则原方程可转化为， 关于的方程的解为， 或， 或， ， 故选：． 题型十九 换元法综合应用（共5小题） 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如：解方程组，令，． 原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得． 原方程组的解为． (1)解方程组； (2)解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解方程组，掌握换元法的处理过程是解题的关键． （1）找出共有的式子看成整体，这里有和． （2）找出共有的式子看成整体，这里有和，也可以看成和． 【详解】（1）解：， 移项整理得，，（将移到等式左边为，再变成负号凑成共有的式子形式） 令，， 则原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解：， 方法一：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； 方法二：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得，（这里：） 原方程组的解为． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为①解得． 当时，，，； 当时，，，． 故原方程的解为． 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学方法． 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：； (2)若实数、满足，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设，将原方程转化为，然后利用因式分解法求出或，然后分别判断求解即可； （2）设，将转化为，然后求解判断即可． 【详解】（1）解： 设 ∴原方程可化为 或 解得或 当时， ∴ ∴ ∴方程无实数根； 当时， ∴ ∴ ∴或 解得，； （2）解：设 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 解得（舍去）或 ∴． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 5．（2026八年级下·浙江绍兴·专题练习）【阅读材料】 解方程：，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则，于是原方程可转化为，解得．当时，，所以；当时，，所以． 所以原方程有四个根：． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为___________ (2)若，则___________ (3)参照上面解题的思想方法解方程：． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）直接代入得关于y的方程，即可得到结果； （2）设，则原方程可转化为，x的方程得出，即可求解； （3）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于x的方程，然后解关于x的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 设，则原方程可转化为； （2）解：， 设，则原方程可转化为， 即， ∵， ∴， 即； （3）解：， 设，则原方程可转化为， 解得：， 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 当时，， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的解； 综上所述，原方程的解是，． 1 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $