专题03 一元二次方程定义与解常考题型10大题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程定义与解的10类常考题型，以“基础辨识-参数求解-综合应用-创新拓展”为逻辑主线，提炼直接/整体/降次带入等核心方法，培养抽象能力与推理意识，实现从概念理解到解题能力的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础辨识|题型1-2（10小题）|定义辨析法|从一元二次方程定义出发，强化“未知数个数、最高次数、整式”三要素的抽象理解| |参数求解|题型3-6（20小题）|直接/整体/降次带入法|基于方程解的定义，通过不同带入策略培养灵活运算能力与推理意识| |解的应用|题型7-9（15小题）|估算/一般式转化/分式综合法|结合函数思想与代数变形，构建解与代数式的模型关系| |创新拓展|题型10（5小题）|新定义迁移法|通过“倒方程”“换根法”等创新题型，发展数学眼光与应用意识|

专题03 一元二次方程定义与解常考题型 题型1 判断是否为一元二次方程（基础） 题型6 由一元二次方程的解求参数-降次带入法 题型2 由一元二次方程的定义求参数（基础） 题型7 一元二次方程解得估算（重点） 题型3 判断是否为一元二次方程的解 题型8 一元二次方程的一般式 题型4由一元二次方程的解求参数-直接带入法 题型9 一元二次方程的解与分式化简综合（重点） 题型5 由一元二次方程的解求参数-整体带入法 题型10 一元二次方程解中新定义类（创新） 题型一 判断是否为一元二次方程（共5小题） 1．（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 2．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）下列方程属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程是“只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程”这一定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2． ∵选项A中方程含有，不是整式方程，∴A不符合要求． ∵选项B中方程未说明，当时未知数最高次数不是2，∴B不符合要求． ∵选项C中方程满足一元二次方程需同时满足的三个条件，∴C符合要求． ∵选项D中方程含有分式，不是整式方程，∴D不符合要求． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）下列方程中，一元二次方程的个数有（   ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断每个方程是否符合要求，统计符合定义的方程个数即可，一元二次方程需满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：（1）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （2）对于， ∵含有x和y两个未知数， ∴不是一元二次方程； （3）对于， ∵只含有1个未知数x，未知数最高次数为2，且是整式方程， ∴是一元二次方程； （4）对， ∵分母含有未知数x，不是整式方程， ∴不是一元二次方程． 综上，一元二次方程共有2个． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； B. 含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； C. 整理后，消去得，不是一元二次方程，不合题意； D. 整理得，只含一个未知数的整式方程，且未知数最高次数为2，符合一元二次方程的定义，符合题意． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 题型二 由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 1．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 3．（25-26八年级下·重庆·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 4．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·广东湛江·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m应满足的条件是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程要求二次项系数不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， 故选：C． 题型三 判断是否为一元二次方程的解（共5小题） 1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 3．（25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 4．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 题型四 由一元二次方程的解求参数-直接带入法（共4小题） 1．（25-26八年级下·浙江·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 2．（2026·湖南长沙·二模）若是关于x的一元二次方程的一个解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题可先将方程的解代入一元二次方程，求出含、的代数式的值，再通过整体代入法求出目标代数式的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程（）的一个解， ∴， ∴， ∴． 3．（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理得， 解得． 4．（2026·湖南湘潭·一模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则_____________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程即可求解参数． 【详解】解∶将代入原方程得∶， 解得 ． 题型五 由一元二次方程的解求参数-整体带入法（共6小题） 1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若a是方程的根，则的值为（   ） A．2024 B．2026 C．2028 D．2030 【答案】A 【分析】根据根的定义得到的值，利用整体代入思想求解即可． 【详解】解： 是方程的根， ， ， ． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）若是方程的一个根，则的值______． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即 ∴ 3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是方程的根，则代数式的值为_____________． 【答案】 2026 【分析】根据一元二次方程解的定义得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：是方程的根， ， ． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 【答案】2028 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 5．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】2026 【分析】根据一元二次方程根的定义得到的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个根， 将代入方程得， 整理得， ． 6．（25-26八年级下·浙江·期中）已知关于x的方程的一个根是，则___． 【答案】4052 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 ，将所求代数式变形后整体代入计算，即可求解． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ， 整理得 ， ． 题型六 由一元二次方程的解求参数-降次带入法（共5小题） 1．（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 2．（25-26八年级下·福建泉州·期中）若a是方程的根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得，变形可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的根， ， 当时，不成立， ， ，即， ∴． 3．（25-26九年级下·黑龙江绥化·期中）若一元二次方程的两根为m，n，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义，掌握方程的根满足原方程是解题的关键，先利用根的定义对所求代数式中的部分式子进行变形，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴由方程根的定义可得， ，即 ， 同理可得，， 将代入方程左边，得 ，因此， 将两边同时除以，得 ，整理得 ， 因此 ， 故答案为． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 题型七 一元二次方程解得估算（共5小题） 1．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 3．（25-26九年级上·山东青岛·期末）根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了估计一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解定义． 方程的解是使的值为的值，需从表格中找到在两侧的相邻的取值范围． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 4．（25-26九年级上·河南·期末）根据下表： x … 4 5 6 13 5 … 5 13 确定方程的解的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了利用表格数据判断方程解的区间，解题的关键是观察表格中的函数值符号变化，确定方程的解所在的区间． 直接读取表格中对应的函数值；根据函数值由正变负或由负变正的相邻区间，确定方程解的范围；结合选项得出正确答案． 【详解】解：由表格可知当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由正变负，存在一个解． 当时，； 当时，； ∴ 在区间内，函数值由负变正，存在一个解． 因此方程的解的取值范围是或． 故选：D． 5．（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程的一个近似解是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0.84 2.29 3.76 5.25 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格确定相邻两个未知数的值使的值为一正一负，即可确定的解的取值范围． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， 则当时，存在一个x的值，使， 故关于x的方程的一个解x的范围是， 故选：． 题型八 一元二次方程的一般式（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为5和． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程化成一般形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的一般形式（，，，为常数），先展开多项式乘法，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 整理得， 移项合并同类项得． 3．（25-26八年级下·山东泰安·期中）将一元二次方程化为一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将原方程依次进行去括号、移项、合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式，即可得到结果． 【详解】解：∵原方程为 ， 先去括号，可得 ， 将所有项移到等号左侧，移项变号得 ， 合并同类项得 ． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．2，，9 B．2，0， C．2，， D．2，1， 【答案】C 【分析】先将方程整理为一般形式，再根据一元二次方程的定义确定对应系数即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项， ∵原方程为 ， 移项整理得 ， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．6，5， B．6，4， C．6，，4 D．6，，5 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为（），其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，将原方程整理为一般形式即可确定对应系数． 【详解】解：∵原方程为 移项整理得一般形式： ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 题型九 一元二次方程的解与分式化简综合（共5小题） 1．（2026·重庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中m是方程的根． 【答案】； 【分析】先分别化简原式中的整式部分和分式部分，再合并得到最简结果，利用方程根的定义得到与的关系，代入最简式计算即可得到最终结果． 【详解】解： ； 是方程的根， ， ， 将代入得，原式． 2．（2026·重庆·模拟预测）先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】 【分析】首先进行分式的混合运算，经过通分，因式分解，约分，再通分等一系列计算得出化简后的分式，根据为一元二次方程的解，代入得到，转化为，代入化简后的分式进行计算得到原式的值为，最后计算一元二次方程的解，检验分式的分母是否有意义即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ； ∵为方程的解， ∴， ∴， ∴将代入上式得：， 经检验，解方程，得：，， ，，，分式均有意义， ∴原式的值为． 3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段检测）先化简，再求值：，其中a是关于x的方程的根． 【答案】， 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据一元二次方程的解的定义得出，整体代入即可求解． 【详解】解： ∵a是关于x的方程的根， ∴ ∴ ∴原式 4．（25-26九年级上·北京大兴·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题考查了分式的除法，一元二次方程的解． 先化简代数式，再利用方程条件求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵m是方程的根， ∴， 即， ∴原式的值为5． 5．（25-26九年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中m为方程的解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程的解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．根据分式的加减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后根据m为方程的解，可以求得，然后代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 为的解 ， ∴， 原式． 题型十 一元二次方程解中新定义类（共5小题） 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期末）定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a，b，c为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的“倒方程”是 ； (2)若是一元二次方程的“倒方程”的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的“倒方程”的一个实数根，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念．理解新定义，一元二次方程根的概念以及根与系数关系，是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到c的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根的定义得到，得到，然后整体代入求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程的倒方程是：； （2）解： 由题知，方程的倒方程为， 将代入此方程得，， 解得； （3）解：由题知，一元二次方程的倒方程是， ∵是此方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·全国·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 3．（25-26九年级上·福建厦门·期中）材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（a，b为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数． 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中a，b，c，d为实数，且，）有如下运算法则： ； ； ． (1)化简直接填空：① ，② ； (2)关于x的一元二次方程有一个根是，其中m，n是实数，求的值． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，平方差公式，完全平方公式，将方程的解代入原方程，求出，的值是解题的关键． （1）根据运算法则，即可求出化简及； （2）将代入原方程，可得出，进而可得出，，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：； ， 故答案为：5，； （2）解：将代入原方程得：， 整理得：， ，， ，， ． 4．（25-26九年级上·广东广州·期中）定义：如果关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为 （填序号）． (2)已知关于x的一元二次方程）是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)①③ (2)4 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由一元二次方程的解求参数，的最值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据黄金方程的意义，对3个方程逐一验证即可； （2）先根据黄金方程的意义，得出，代入后，配方求出最小值． 【详解】（1）解：， 移项，得， ，，， 所以， 所以是黄金方程； ，可化为， ，，， 所以， 所以不是黄金方程； ， ，，， 所以， 所以是黄金方程， 综上所述，①③是黄金方程， 故答案为：①③； （2）解：∵关于x的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”， ∴由黄金方程的定义 ， 可知， x = − 1 是黄金方程的一个根， ∵关于x的一元二次方程是“黄金方程”， ∴是方程的根， ∴， ∴， ∴ 当时，有最小值4． 此时 ，符合题意． 5．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）请阅读下面材料：对于一个一元二次方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．具体解题过程如下：设所求方程的根为，则，有，把代入已知方程，有即，整理得．这种方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且二次项系数是正整数） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍．则所求方程为________； (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．则所求方程为________； (3)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“换根法”是解题的关键． （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； （）仿照阅读材料方法解答即可； 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （2）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得，即， 整理得，， 故答案为：； （3）解：设所求方程的根为，则， ∴， 把代入已知方程，得， 整理得，， ∴所求方程为． 6．（25-26九年级上·山东聊城·期中）定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． (1)一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】(1)是，不是 (2)或 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． （2）解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03一元二次方程定义与解常考题型 题型归纳·内容导航 题型1判断是香为一元二次方程（基础） 题型6由一元二次方程的解求参数-降次带入法 题型2由一元二次方程的定义求参数（基础） 题型7一元二次方程解得估算（重点) 题型3判断是否为一元二次方程的解 题型8一元二次方程的一般式 题型4由一元二次方程的解求参数-直接带入法 题型9一元二次方程的解与分式化简综合（重点） 题型5由一元二次方程的解求参数整体带入法 题型10一元二次方程解中新定义类（创新） 题型通关·靶向提分 题型一判断是香为一元二次方程（共5小题） 1.（25-26八年级下山东东营期中)下列方程中，一元二次方程共有()个. ①x2-2x-1=0;②ax2+br+c=0,③2+3x-5=0;④-x2=0;⑤(x-1)2+y2=2;⑥(x-1)x-3) =x2. A.2 B.3 C.4 D.5 2.(25-26八年级下·安徽滁州期中)下列方程属于一元二次方程的是() A,x2+-2=0 B.ax2+bx+c=0 C.x2-x-1=0 0.x=2 3.(25-26八年级下江苏南通·期中)下列方程中，一元二次方程的个数有() (1)2x2-3=0;(2)x2+y2=5;(3)x2-5x=0;(4)x2+2=2 A.1个 B.2个 C,3个 D.4个 4.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中)下列方程是一元二次方程的是() A.x21=5 B.x-3y=-2 C.x2+3x-2=5x+x2+8 D.x2-5x+6=1 5.（25-26八年级下·浙江金华期中)下列方程属于一元二次方程的是（) A.x2+y-2=0 B.x+4=5 c.x+2=5 D.x2+2x=3 1/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二由一元二次方程的定义求参数（共5小题） 1.(2026江苏淮安.一模)若方程(m-1)x2+x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是() A.m≠1 B.m≥1 C.m≤1 D,m为任意实数 2.(25-26八年级下.山东烟台期中)已知(a-2)xa2-2-x+3=0是关于x的一元二次方程，则a的值为) A.2 B.-2 C.±2 D.±2 3.（25-26八年级下.重庆期中)若方程(m+3)xm-1+2x-3=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 (). A.3 B.2 C.-3 D.±3 4.(25-26九年级上·广东中山·期中)若关于x的方程(m+1)x2+2mx-3=0是关于x的一元二次方程， 则m的取值是() A,任意实数 B.1或-1 C.1 D.-1 5.(25-26九年级上广东湛江，期末)若方程(m-2)x2+3x-6=0是关于x的一元二次方程，则m应满足的 条件是() A.m≠0 B.m≠-2 C.m≠2 D.m=2 题型三判断是香为一元二次方程的解（共5小题） 1.（25-26八年级下山东泰安·期中)己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，若 9a+3b+c=0,则它的一个根是() A.X=3 B.x=月 C.x=-3 D.x=3 2.(25-26八年级下.安徽合肥期中)已知x=2是方程mx2+nx=1(m≠0)的一个实数根，则方程y2+y=m 一定有一个实数根是() A.y=-2 By=月 C.y=1 D,y=2 3.(25-26八年级下.安徽准南阶段检测)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，系数a,b,c 满足9a+3b+c=0,9a-3b+c=0,则一元二次方程ax2+bx+c=0的根为() A.X1=1,X2=3 B.x1=-1,X2=-3 C.x1=1,x2=-1 D.X1=3,x2=-3 4,(25-26九年级上·江西南昌·期中)若一元二次方程ax2+bx+c=0中的a,b,c满足4a-2b+c=0,则方程 必有根() 2/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.x=0 B.x=2 C.x=-2 D.x=±2 5.(25-26九年级上海南·期中)下列方程中，两根分别是-2和3的方程是() A.x2-x-6=0 B.x2-6x+5=0 C.x2+x-6=0 D.x2-6x-1=0 题型四由一元二次方程的解求参数-直接带入法（共4小题） 1.（25-26八年级下.浙江期中)若x=1是关于x的一元二次方程ax2-bx-1=0的一个根，则2026+2a-2b 的值为() A.2024 B.2025 C.2027 D.2028 2,(2026湖南长沙.二模)若x=2是关于x的一元二次方程ax2+bx-2026=0(a≠0)的一个解，则1-2a-b 的值为 3.（2026广东深圳二模)若关于x的一元二次方程x2+mx-10=0的一个根为2，则m的值为. 4.（2026湖南湘潭.一模)己知x=2是关于x的一元二次方程x2-mx-2=0的一个根，则m= 题型五由一元二次方程的解求参数一整体带入法（共6小题） 1.(25-26八年级下.浙江金华.期中)若a是方程x2+x-6=0的根，则3a2+3a+2006的值为（) A.2024 B.2026 C.2028 D.2030 2.(2026广东深圳模拟预测)若m是方程x2-x-1=0的一个根，则m2-m+2026的值 3.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)若B是方程x2-3x=2的根，则代数式B2-3B+2024的值为 4.（25-26八年级下.浙江温州期中)已知a是一元二次方程x2+3x-1=0的一个实数根，求2a2+6a+2026 的值为 5.(25-26八年级下·江苏苏州，期中)已知m是一元二次方程2x2-x-3=0的一个根，则2m2-m+2023的 值为· 6,(25-26八年级下.浙江·期中)己知关于x的方程x2-2x-2026=0的一个根是x=m,则2m2-4m= 题型六由一元二次方程的解求参数-降次带入法（共5小题） 1.(2026甘肃白银.二模)如果m是方程x2-2x-6=0的一个根，那么代数式m4-4m3+4m2的值为 3/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下福建泉州期中)若a是方程x2+x-1=0的根，则代数式2027+a-的值是 3.(25-26九年级下黑龙江绥化：期中)若一元二次方程x2-2x-1=0的两根为m,m,则m-是+n2-2m的值 为 4,(2026八年级下全国专题练习)己知a是一元二次方程x2-3x+1=0的-个根，则3a3-8a2+a+2+1 3 题型七一元二次方程解得估算（共5小题） 1,(2026山东聊城模拟预测)根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3(a≠0)的一个解的范围是 () 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+ -0.59 0.84 2.29 3.76 A.-0.59<x<0.84 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3D.1.3<x<1.4 2.(25-26八年级下山东青岛期中)根据下列表格x与ax2+bx+c的对应值，对一元二次方程ax2 +bx+c=0的根，下列说法错误的是() -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Ny 1.2 ax2+bx 0.43 0.09 -0.2 -0.33 -0.43 -0.44 -0.37 -0.23 0 0.31 A.方程有一根为1 B,方程有一根的取值范围是-0.4<x<-0.2 C.方程有一根为-0.33 D,方程有两个不相等的实数根 3.(25-26九年级上山东青岛期末)根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c=0.2(a、b、c为 常数，a≠0)的一个解x的范围为() 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ax2+bx -0.44 -0.25 -0.04 0.19 0.44 A.0.4<x<0.5B.0.5<x<0.6 C.0.6<x<0.7 D.0.7<x<0.8 4/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级上河南期末)根据下表： 3 -2 一1 5 6 x2-3x-5 3 -1 一1 13 确定方程x2-3x-5=0的解的取值范围是() A.-3<x<-2或4<x<5 B.-2<x<-1或5<x<6 C.-3<x<-2或5<x<6 D.-2<x<-1或4<x<5 5.（25-26九年级上广东佛山期末)观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解是 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 x2+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 5.25 A,1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.1.4<x<1.5 题型八一元二次方程的一般式（共5小题） 1.(25-26八年级下.安徽滁州期中)一元二次方程5x2-4x-1=0的二次项系数和一次项系数分别为() A.5,-1 B.5,4 C.5,-4 D.5x2,-4x 2.(25-26八年级下·安徽阜阳·期中)把一元二次方程(x+1)(x-2)=3x化成一般形式，正确的是() A.x2-4x-2=0 B.x2-4x+2=0 C.x2+4x-2=0 D.x2+4x+2=0 3.（25-26八年级下山东泰安期中)将一元二次方程x2-3(x+5)=2(3x-2)化为一般形式是() A.x2-3x+5=6x-4 B.x2-9x-11=0 C.x2-9x+11=0 D.x2-9x+9=0 4,(25-26八年级下·安徽合肥期中)一元二次方程2x2=x+9的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 () A.2,-1,9B.2,0,-9 C.2,-1,-9 D.2,1,-9 5.(25-26八年级下·浙江金华.期中)一元二次方程6x2=5-4x化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、 常数项分别是() A.6,5,-4B.6,4,-5 C.6,-5,4 D.6,-4,5 5/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型九一元二次方程的解与分式化简综合（共5小题） 1.（(2026垂庆模教预测>先化简，再求信2m+1Dm-1）-2m(m-1)++(m+1-+）共 中m是方程x2-7x-7=0的根. 2.(2026重庆模拟预测>先化简，再求值：（仁-）++十2+分其中m为x2-4x-4=0方程 m2-m 的解。 3.（2425八年级上江苏苏州阶段检测)先化简，再求值2-(a+2-。》其中a是关于x的方程 +3x-1=0的根. 4.〈2526九年级上北京大兴期末)已知m是方程2-X-5=0的一个限，求代数式++的值. m 5.(2526九年级上重庆期末)先化简，再求值：（色，-m+3)+兰+23，其中m为方 m-1 m-1 程x2-2x-4=0的解. 题型十一元二次方程解中新定义类（共5小题） 1.(24-25九年级上·辽宁丹东·期末)定义：方程cx2+bx+a=0是一元二次方程ax2+bx+c=0的倒方程， 其中a,b,c为常数（且a,c≠0）.根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x2+3x+1=0的“倒方程”是_： (2)若x=-1是一元二次方程x2-2x+c=0的“倒方程”的解，求出c的值； (3)若m是一元二次方程-6x2+x+1=0的“倒方程"的一个实数根，则m3+m2-6m+2025的值为_. 2.(25-26九年级上·全国期末)请阅读下列材料： 问题：已知方程x2+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y, 则y=2x,所以x=艺 把x=代入已知方程，得(32+分1=0， 化简，得y2+2y-4=0, 故所求方程为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程2x2-x-5=0,求一个关于y的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所 6/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求方程； (2)已知方程ax2+bx-3=0的两个根分别是1和-3，尝试求出另一个方程a(2x+3)2+2bx=3(1-b)的两个 根. 3,(25-26九年级上·福建厦门期中)材料阅读： 材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程x2=-1在实数范围内无解的问题，引进虚数单位i,规定2 =-1.当b≠0时，形如a+bi（a,b为实数)的数统称为虚数.比如5i,3+2i,1-V2i.当b=0时， a+bi=a+0·i=a为实数， 材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数a+bi,c+di(其中a,b,c,d为实数，且b≠0， d丰0)有如下运算法则： (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (a+bi)(c+di)ac adi+bci+bdi2=(ac-bd)(ad bc)i. (1)化简直接填空：①(2+)(2-)=-，②(1+3)2=- (2)关于x的一元二次方程x2+mx+n=0有一个根是2-i,其中m,n是实数，求m-n的值. 4.(25-26九年级上广东广州期中)定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足 a-b+c=0,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)下列方程中：①x2=1;②(x-1)(x+2)=0:③x2-2x-3=0,是黄金方程的为_（填序号）. (2)已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c=0(c≠0)是“黄金方程”，求代数式b2-2c+1的最小值 5.（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中)请阅读下面材料：对于一个一元二次方程x2+x-1=0,求一个 元二次方程，使它的根分别是己知方程根的2倍，具体解题过程如下：设所求方程的根为y,则y=2x,有x= 分把x=代入已知方程，有（)+1=0即学+1=0，整理得y2+2y-4=0.这种方程的代换求新方 程的方法，我们称为“换根法”.请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式且 二次项系数是正整数) (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍，则所求方程为 (2)已知方程2x2-7x+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程为 (3)已知方程3x2-2x+1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1. 6,(25-26九年级上山东聊城期中)定义若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0, 7/8 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则称这样的方程为“归零方程” (1)一元二次方程x2+3x-4=0 (填是”或不是”)“归零方程”；一元二次方程3x2-7x+3=0 (填“是”或“不是”)“归零方程”； (2)已知关于x的一元二次方程2x2-mx+n=0是“归零方程”，且m是这个“归零方程"的一个根，求m的 值. 8/8