专题02 二次根式的运算常考题型17大题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“概念-运算-应用-拓展”为逻辑主线，通过17类分层题型系统覆盖二次根式运算全考点，融合基础巩固与培优突破，突出方法提炼与实际应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-9（43题）|混合运算规则、有理化因式判断、等式条件分析|从概念（同类根式）到运算（乘除/化简），夯实抽象能力与运算能力| |应用拓展|题型10-17（40题）|分母有理化规律、复合根式化简、平方法比较大小|从代数应用（参数求解）到几何实践（面积计算），培养模型意识与应用意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二次根式的运算常考题型 题型归纳内容导航 题型1根据二次根式的混合运算判断选项（常考） 题型10分母有理化中化简问题（培优）（压轴） 题型2利用二次根式的乘除估算（重点） 题型11复合二次根式的化简（培优）（压轴） 题型3二次根式乘法中用字母表示 题型12判断是否为同类二次根式 题型4已知字母的值求代数式的值（常考） 题型13利用同类二次根式求参数（常考) 题型5判断等式成立的条件 题型14二次根式的混合运算（计算)（必考） 题型6利用分母有理化比较大小（基础） 题型15二次根式的实际应用（常考） 题型7利用分母有理化求代数式的值 题型16二次根式比较大小（培优）（压轴) 题型8判断有理化因式 题型17二次根式混合运算（培优）（压轴） 题型9分母有理化解答题综合 题型通关·靶向提分 题型一根据二次根式的混合运算判断选项（共5小题） 1.(25-26八年级下·山东聊城期中)下列各式计算正确的是() A,V5+2=7 B.23-V3=2 c.3×3=6 D.V6÷2=3 2.(25-26八年级下·广东珠海期中)下列计算正确的是() A.V2+V5=V7 B.23-V3=V3 1 C.i×18=9 D.V8÷V2=V6 3.（25-26八年级下·云南昭通阶段检测)下列运算中，正确的是() A.V16=±4 B.-64=-4 c.V(-3)2=-3 D.V4+9=13 4,(2026河南周口.二模)下列运算正确的是() A.V9=3 B.3+3=9 C.9÷3=3 D.V(-3)2=-3 5,（25-26八年级下·四川广安期中)下列各式计算正确的是（) A.V18-V32=-V2 B.V(-2)2=-2 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.V20÷V5=4 D.V6×24=4W6 题型二利用二次根式的乘除估算（共5小题） 1.(24-25八年级下·重庆期中)估算V2(V5-22)的值在() A.-3和-2之间 B.-2和-1之间 C.-1和0之间 D.0和1之间 2,(25-26八年级下山西阳泉·阶段检测)定义：不大于数α的最大整数称为它的整数部分.设3-V3的整数 部分为a,小数部分为b,则(2a+V3)b的值为() A.1 B.2W3 C.6 D.33 3.(25-26八年级下.全国课后作业)V2V8+V2V5的结果在() A.6至7之间B.7至8之间 C.8至9之间 D.9至10之间 4.估计(48+8)×的值应在（） A.4和5之间B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间 5,(2026重庆秀山一模)若a,b是两个连续整数，且a<V2×V7<b,则a+b的值为 题型三二次根式乘法中用字母表示（共5小题） 1.若V5=a,V17=b,则V0.85的值用a,b可以表示为 2.(25-26九年级上河南南阳·期末)设V2=aW3=b,请用含有a、b的式子表示V6= 3.(24-25八年级下.青海海东·月考)若V2=a,V3=b,则V0.24用含a,b的式子表示为 4.（24-25八年级上全国期末)设V2=a,3=b,则V2×V0.03可以表示为 5.(25-26八年级下江西赣州期中)若V3=a,5=b,用含a,b的式子表示V60为 题型四已知字母的值求代数式的值（共5小题） 1.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知x=3-V2,y=V3+V2,则代数式x2+y的值等于 2.(25-26八年级下·全国课后作业)已知x=2-1,y=2+1,则的值为 3.(2425九年级上江苏南通自主招生)若正实数m满足m2-品=23，则m+员= m 4.若V3×V18=V3×a2=ab,则a-2b= 5.(24-25八年级下.重庆云阳.阶段检测)已知m=1+V2,n=1-2,则代数式Vm2+n2-3mn= 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型五判断等式成立的条件（共3小题） 1.(25-26九年级上河南南阳阶段检测)等式二=号成立的条件是 13-x V3-x 2.(25-26八年级上·上海阶段检测)等式， 2=二成立的条件是 3 Vx-3 3.(25-26八年级上·上海闵行·期中)如果 一a成立，那么的取值范围是： 3-a3-a 题型六利用分母有理化比较大小（共5小题） 3 1,(25-26八年级下.湖南湘西阶段检测)已知a=7+2,b=一2则α与b的关系为 2.(24-25八年级下江苏宿迁阶段检测)比较大小：2 2 3 （填“>”、“<”或“=” 3.(25-26八年级下：新疆哈密期中)已知a=3+2b=2-3,则a与b的关系是（) A.a=b B.ab=1 C.a=-b D.ab=-1 4.(25-26九年级下-江苏盐城期中)已知a=2+1b=2-1,则a和b的关系是() A.a=b B.a+b=0 C.ab=1 D.ab=-1 5.(25-26八年级上河北石家庄期末)已知a=5一3b=5+3,则a与b的关系是（） A.a+b=0 B.a=b C.a·b=1 D.a·b=-1 6.(24-25八年级下浙江杭州·月考)已知：a=V6-5,b=V7-6,c=22-V7,则a,b,c的大小关系 是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 题型七利用分母有理化求代数式的值（共5小题） 1.(25-26八年级下河北廊坊期中)设3的整数部分是a,小数部分是6，则a-。+的值为(） A1-号 8.2-号 C.3 D.2 2.（2526八年级上安微六安阶段检测)）当a=25时，代数式+的值是() a2+2a A.-2+V3 B.-2-V3 C.2+3 D.2-3 3.（2026四川成都二)当a=2时，代数式（二）+二的值是 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25八年级上河北石家庄·期中)已知a=13 2 求2 2女a2一2的直为 a2-a 5.(25-26九年级下天津期末)已知a=(份'+(-3)0，b=(2+3(2-3),则6十的值为 题型八判断有理化因式（共5小题） 1,(25-26八年级上·上海阶段检测)二次根式x+y的一个有理化因式是() A.Vx-y B.x+y C.Vx+y D.- 2.(25-26八年级上·上海·期中)下列二次根式中，与Va+b互为有理化因式的是() A.-a+b B.Va-b C.Va-b D.Va+b 3.(2025上海奉贤.二模)下列各式中，√a+Vb的有理化因式是(). A.\a+b B.Va-b C.a+b D.a-b 4.(25-26八年级上·上海阶段检测)x-y的一个有理化因式是() A.Vx+vy B.Vx-vy C.x+y D.Vx-y 5.(25-26八年级上·上海长宁阶段检测)下列各选项中，Va2-b2的有理化因式是() A.Va2+Vb2 B.Va2-Vb2 C.Va2+b2 D.Va2-b2 题型九分母有理化解答题综合（共5小题） 1.(25-26八年级下陕西榆林期中)已知a=23b=2+5 1 (1)求a2b-ab2的值； (2)求+的值. 8+防y=8+5 2.己知x=82 8号求+2的值. Vx+vy 3.（25-26八年级下.宁夏吴忠阶段检测)化简求值： ab,其中a=2-3,b=V2+3. 4,(25-26九年级下山东淄博期中已知x=2+3y=32 1 (1)求x+y的值； (2)求x2+y2与x2-y2的值. 2+gy=2t3 5.(25-26八年级下安徽阜阳阶段检测)已知x=8, 2得求下列各式的值： (1)xy+x+y: 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2或+ 题型十分母有理化中化简问题（培优）（共5小题） 1.（25-26八年级下·安微滁州期中)观察下列各式，再解答后面的问题. 2 22-1）=22-2: 第1个等式：2+1=2+1)62-) 2 2(3-V2) 第2个等式：3+2=3+23-②) =2V3-2W2; 2 2(2-3) 第3个等式：2+g=2+3)2-3) =4-2V3; (1)第4个等式是_· (2)第n(n是正整数)个等式是 22 2 2 (3)计算：2+1+5+2+2+5+…+2w26+120西 2.(25-26八年级下·广东珠海·期中)阅读下列材料： 1 2-1 1 3-2 1 ,4-3 2+1=0N2+1)62- =2-1:3十2=+2323-2：4+a-4+0 5=4-3; 请回答下列问题： 1 (1)计算：5+4=- 1 (2若n为正整数，请你猜想n+1+一-： (3)请化简： ++ 1 ×(W2026+1) 2+1 V2026+V2025/ 3.(25-26八年级下湖北恩施期中)问题：已知a=2+3求2a2-8a+1的值， 11x2-3)=2-3, 小明是这样解答的：a=2+3=2+32- ∴.a-2=-3, 2a2-8a+1=2(a-2)2-7=2×(-V3)2-7=-1. 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： 1 (1)请用以上方法化简：7+6=-： 1 1 1 1 1 (2)计算：2+1+3+2+4+5+.+2025+2024+V2026+202 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 (3)若a=45 求5a2-40a+54的值. 4.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起， 取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的对子”，如(2+3)(2-V3)=1,(5+V2)(W5-V2) =3,它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是， 二次根式除法可以这样解： @言=议票=号@兰谓=品调=7+43。像这样运过分子、分母同装以一个式子记分母中的 2-3(2-3)2+3) 根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化. 解决问题： ()将2分母有理化得】 2)已知x=3+2 wwyW ,则x+y=一； 1 1 1 1 1 (3)利用上面所提供的解法，请化简1+2+2+5+3+4…+98++99+10： 题型十一复合二次根式的化简（培优）（共5小题） 1.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨阶段检测)请阅读下列材料，并完成相应的任务. 材料二：已知x、y是两个正整数，且x>y记作 x+y=a,xy=b,则： 材料一：在进行二次根式的化简与运算 时，我们有时还会逼到如+的式子， Na±2yb=V(x+y)±2Vxy 其实我们还可以将其进一步化简： =(2+(2±2· 2(3-1) 2(V3-1) =V(c±)2 V3+1(3+1)(3-1) (3)2-12 =x±y(x>y) 2(V3-1) 2 我们就称a±26为”理想二次根式”，则上述过 =3-1 程就称之为化简“理想二次根式.” 我们就称这个过程为分母有理化. 例如： V5+2W6=V3+2+23×2 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =W3)2+(2)2+23×2 =(3+2)2 =3+2 任务： 1 (1)分母有理化：5一= (2)化简“理想二次根式”：V7+210= 2 (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知m=2十？n=2后 求m+n的值. 2.(25-26八年级下.宁夏吴忠期中).阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方，如： 5+26=(2+3)+22×3=(2)2+(3)2+2W2×V3=(2+V3)2 7+210=(2+5)+2W2×5=(2)2+(W5)2+2W2×V5=(W2+V5)2 【类比归纳】 (1)填空： ①4-23=(1+3)-21×3=12+()2-2×1×3=（-3)2； ②a+b±2ab=(W@2+(b)2±2ya×b=(±)2(a≥0，b≥0). (2)请你仿照小明的方法，将9+214化成一个式子的平方： 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面积分别为2Cm和 (7+210)cm2,求剩余部分的面积 H G M B 3.(25-26八年级下·重庆铜梁期中)阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式 及二次根式的性质化简，例如： 5-26=3+2-26-(3)2+(2)2-2×2×3=V(3-2)2=hW3-2=3-2: 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3+2W2=3+2×1×V2=V12+(2)2+2×1×2=(1+2)2=|1+V2=1+V2 解决下列问题： (1)化简：9-45； (2)化简并求出：52-143+7+43的值， (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为4W15平方米，形成新正 方形花圃ABCD,求出新正方形花圃ABCD的边长， 4.(25-26八年级下·吉林.期中)在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死 记硬背和题海战术的学习方式，己难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的 关键因素.小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： 3+22=2+2y2+1=(2)2+2W2×1+12=(2+1)2, 5+2W6=3+2W6+2=(3)2+23×2+(2)2=(3+V2)2 根据以上信息，解答下列问题， (1)填空：8+2W7=+1)2; (2)将7+2W10化成另一个式子的平方： (3)化简二次根式3-22，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将3-2V2转化为（α-b)2的形式，再根 据V(a-b)2=|a-b1进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出V3-22化简为一· 63.（25-26八年级下广东珠海期中)数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它 的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则” 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，a2±2ab+b2=(a士b)2,那么Va2±2ab+b2=|a±b1,如何 将双重二次根式5±26化简？我们可以把5±26转化为(3)2±26+(W2)2=(3±2)2完全平方的形 式，因此双重二次根式5±26=(3±2)2=3±V2=3±2得以化简. 材料一在直角坐标系0中，对于点Px)和Q(xy)给出如下定义若y={之%，则称点Q为点P 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的“横负纵变点”.例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点(-2,5)的“横负纵变点"为(-2，-5). 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点(2，-3)的“横负纵变点”为，点(-33，-2)的“横负纵变点”为 (2)化简：7+210： (3)已知a为常数(1≤a<2),点M(-2,m,且m=(a+2a-1+a-2a-,则m=一，若点M 是点M的“横负纵变点”，则点M的坐标是 5.(25-26八年级下，重庆期中)东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式 子的完全平方，如式子7+43=(2+V3)2,东东继续探究：设a+V3b=(m+3m)2(其中a,b,m,n均 为正整数，即布a+36=m2+3n2+23m,则可2，东东就找到了把a+56写成一个完 全平方式的方法，根据以上信息完成下列问题： (1)若a,b,x,y均为正整数，a+V5b=(x+V5y)2,请用含x,y的式子分别表示a,b; (2)若M=a+8W5=(x+V5y)2(其中a,x,y均为正整数)，求所有满足条件的数M; (3)化简：V7-210=一·（将结果直接填写在答题卡上） 题型十二判断是香为同类二次根式（共5小题） 1.（24-25八年级下安微合肥期中)下列各组二次根式中，是同类二次根式的是() A.V18与V3 B.V12与V2 c6与，目 D.40与5 2.（25-26九年级下山东烟台期中)下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是(). A8与-侵 B.-V0.1与40 c.V12b与V3a2b3 D.Vab与ya2b 3.(25-26八年级下广东广州期中)下列各组二次根式中，能进行合并的是(). A.V12与V6 B.3与9 c.V2与12 D.2与V18 4,(25-26八年级下山东威海·期中)下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是() A.V8与V3 B.V2与V12 c与v27 D.V7与V14 5.(25-26八年级下·河南安阳·阶段检测)下列各式不可以与V3合并的是() 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.V12 B.27 C.V24 题型十三利用同类二次根式求参数（共5小题） 1.(25-26八年级下.陕西安康.阶段检测)若最简二次根式m+n与最简二次根式3m+n可以合并，则m,n 的值分别为(). A.m=0,n=2 B.m=1,n=1 C.m=-1,n=3 D.m=2,n=0 2.(25-26八年级下，安徽阜阳·阶段检测)若最简二次根式V3a-4与V8可以合并，则α的值是() A.2 B.3 C.4 D.8 3,(25-26八年级下.安徽宣城期中)V12与最简二次根式53a+1是同类二次根式，则a= 4.（25-26七年级下，黑龙江大庆阶段检测)若最简二次根式V2m-9与Vm+5可以合并，则V3m+6的值是 5,(25-26九年级下.山东烟台期中)已知最简二次根式Vx+y+1与V6-x+2y是同类二次根式，最简二次 根式6x-y-7与x-3y+1是同类二次根式，则Vx的值为· 题型十四二次根式的混合运算（计算）（共5小题） 1.（25-26八年级下·天津期中)计算： (1)(V8+V18)+(3-2): (2(18-V24)÷V6. 2.（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测)计算： a48+3-居x30+24 (2(V6-2)(6+2)-(V3-V2)2. 3.(25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中)计算： 1 (1W48÷V3-2×12+24 (2)(3-2V5)(3+2V5)-(1+5)2 4,(25-26八年级下.山东临沂期中)计算： a亚-35+v27 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (21(3+5)(3-V5)+(3-1)2 5.(25-26八年级下河北邯郸期中)计算： (a12-6×言 2(+同)×6 (3)(5+3)(5-3)+(V3-1)2. 题型十五二次根式的实际应用（共5小题） 1.(25-26八年级下.陕西榆林.期中)如图，某公园有一块长方形空地ABCD,AB=y18m,BC=V48m,园 区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为V27,宽为 v⑧m.求种植草坪的面积，（结果化为最简二次根式） B 2.（25-26八年级下·湖北恩施期中)如图，李明家有一块长方形空地ABCD,长BC为72m,宽AB为V32m, 现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为(W10+1) m,宽为(10-1)m. D B (1)求长方形空地ABCD的周长.（结果化为最简二次根式》 (2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg,且每平方米产草莓15kg,若李明家将所种的草莓全部销售完，则 销售收入为多少元？ 3,(25-26八年级下·贵州黔南·期中)李老师家装修，矩形电视背景墙BC的长为V27m,宽AB为V8m,中间 要镶一个长为23m,宽为2m的矩形大理石图案（图中阴影部分）. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元/m2,大理石造价为150元/m2,李老师预 算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由 4,（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中)如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示 的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为12cm2和27cm2的正方形纸片A,B. B 图1 图2 (1)求原长方形纸片的周长. (2)写出图1中阴影部分图形（长方形）的长和宽，并求出它的面积. (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为25c的正方形纸片吗？请说 明理由， 5,(25-26八年级下.河南许昌·期中)有一块长方形木板ABCD,现将木板的长AD增加2W3cm(即DE=23 cm),宽AB增加7V3cm(即BG=73cm).得到一个面积为192cm2的正方形AGFE.求长方形木板ABCD的 面积. D A B 题型十六二次根式比较大小（培优）（共5小题） 1.（25-26八年级下·福建莆田期中)已知a>0,b>0 若a-b>0,则a>b;若a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b 若6>1，则a>b;若6=1，则a=b;若8<1，则a<b. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若>5则a<b;若是号则a=b;若<台则a>b (1)试比较：V15+V14与V14+V13大小关系 (2)试比较：V15-V14与V14-13大小关系 2.(25-26八年级下·安微合肥期中)阅读材料，解答问题： 材料1：由于(5+2)(5-2)=1，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两 个代数式互为有理化因式： 3-2 3一2=32=3-V2,这样进行二次根式计算时，利用有理化因式， 材料2：3+2=3+②3-万-32-223-2 可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化， 问题： (1)①W6的一个有理化因式是 ②-3-V7的一个有理化因式是； 1 1 1 (2)计算：3+5+5+7+7+3+…+2025+20云 (3)已知a=V2025-V2024,b=V2026-V2025,试比较a,b的大小，并说明理由. 3.(25-26八年级下北京期中)【阅读】我们将a+Vb与Na-Vb称为一对对偶式”，因为(a+Vb)(Na-Vb)= (V@)2-(Vb)2=a-b,所以构造对偶式”再将其相乘可以有效地将(Wa+Vb)和(a-b)中的根号”去掉，于是 二次根式的除法可以这样计算： 2-222+=3+22.像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有 2+2_(2+2) 理化， 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： 1 (1)分母有理化：7一2 _； 1 (2)比较大小：7一2 1 6-5 ,(用“>”"<”或“=”填空) 1 1 (3)已知x=65,y=6+5求xy+y2的值. 4.(25-26八年级下·安徽六安，期中)阅读材料，解答问题： 材料1：由于(5+2)(5-2)=1，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两 个代数式互为有理化因式： V3-√2 材料2：3+2=3+V23②=3)2-022 3=32=3-2,这样进行二次根式计算时，利用有理化因式， 3-2 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化. 问题： (16的一个有理化因式是一，-3-V7的一个有理化因式是一； (2)计算：3+5+5+7+7+3+…+2025+2027 (3)已知a=V2025-V2024,b=V2026-V2025,试比较a,b的大小，并说理 5,(25-26八年级下·广东珠海·期中)比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平 方法"来比较大小也会取得很好的效果.例如，比较a=2V3和b=3y2的大小，我们可以把a和b分别平方， a2=12,b2=18,则a2<b2,a<b. 阅读以上材料，解决下面问题： (1)己知c=5V6,d=4W7,则cd(填写“>"<"或“="). (2)比较m=3W2+√10，n=23+4的大小，并说明理由. (3州斯P=二Q=票(m>1,且n为正整数)的大小，并说明理由。 (n+1)-1 题型十七二次根式混合运算（培优）（共5小题） 1,(25-26八年级下·贵州遵义·期中)阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成 另一式子的平方，如： 5+26=(2+3)+2W2×3=(V2)2+(3)2+2×V2×V3=(2+V3)2; 7+210=(2+5)+2W2×5=(2)2+(⑤)2+2×2×5=(W2+V5)2 【类比归纳】 (1)①4-23=(1+3)-21×3=12+()2-2×1×3=(-V3)2, ②10+221=(+_)2； (2)若a+bW5=(m+W5)2,当a,b,m,n均为正整数时，用含m,n的式子分别表示a,b,得a=__,b= 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG,若两小正方形的面积分别为(8-215) cm2和(23+4W15)cm2,求正方形ABCD的面积. 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H F 公 B 2.(25-26八年级下·山东德州期中)在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：己知α= 2+g求2a2-8a+1的值.经过思考和探索，他的解答如下. 1 1 2-V3 a=2+5=2+3)2-3) =2-3, ∴.a-2=-V3, (a-2)2=3,即a2-4a+4=3, ∴.a2-4a=-1, 2a2-8a+1=2(a2-4a+1=2×(-1)+1=-1. 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： 1 (1)计算：2++3+2+2+5+…+2026+45 1 (2)若a=5一2求a4-4a3-3a+3的值， 3.(25-26八年级下.安徽合肥期中)阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方和等于第三边平方的2倍，则这个三角形叫做奇 异三角形. 理解： (1)根据奇异三角形的定义，判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？（填“是”或“不是”）. (2)若奇异三角形的其中两边长分别为1,7，则该三角形的第三条边长为 探究： (3)在Rt△ABC中，BC=a,AB=c,且a2=50,c2=100,则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理 由. 拓展： (4)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形，求a2:b2: c2. 4.(25-26八年级下，重庆，期中)利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角 形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积 公式： S=p(p-ap-b)(p-c)①（称为海伦公式），其中p=a+b+c 2 我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数 学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式S= 262-(色+)月]包（称为秦九韶公式. (1)若一个三角形的三边分别为3，V5,V6,请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形ABC中，BC=9,AC=7,AB=8,作LABC,∠ACB的角平分线交于点O,过点O作 OD⊥AB,求OD的长； B (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式① 专题02 二次根式的运算常考题型 题型1 根据二次根式的混合运算判断选项（常考） 题型10 分母有理化中化简问题（培优）（压轴） 题型2 利用二次根式的乘除估算（重点） 题型11 复合二次根式的化简（培优）（压轴） 题型3 二次根式乘法中用字母表示 题型12 判断是否为同类二次根式 题型4已知字母的值求代数式的值（常考） 题型13 利用同类二次根式求参数（常考） 题型5 判断等式成立的条件 题型14 二次根式的混合运算（计算）（必考） 题型6 利用分母有理化比较大小（基础） 题型15 二次根式的实际应用（常考） 题型7 利用分母有理化求代数式的值 题型16 二次根式比较大小（培优）（压轴） 题型8 判断有理化因式 题型17 二次根式混合运算（培优）（压轴） 题型9 分母有理化解答题综合 题型一 根据二次根式的混合运算判断选项（共5小题） 1．（25-26八年级下·山东聊城·期中）下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减乘除的计算规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A. 不是同类二次根式，不能求和运算，该选项错误； B. ，该选项错误； C. ，该选项错误； D. ，该选项正确． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并，故A错误； 选项B：，计算正确，故B正确； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D错误． 3．（25-26八年级下·云南昭通·阶段检测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：，B正确； 对选项C：，C错误； 对选项D：，D错误． 4．（2026·河南周口·二模）下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A. ，选项正确，符合题意；     B. ，选项错误，不符合题意； C. ，选项错误，不符合题意；     D. ，选项错误，不符合题意． 5．（25-26八年级下·四川广安·期中）下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，计算正确； B、，计算错误； C、，计算错误； D、，计算错误． 题型二 利用二次根式的乘除估算（共5小题） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法法则化简原式，再估算的取值范围，即可得到原式的范围． 【详解】解：∵， 又∵，，且， ∴ ， ∴ ， 即原式的值在和之间． 故选：C． 2．（25-26八年级下·山西阳泉·阶段检测）定义：不大于数a的最大整数称为它的整数部分．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（   ） A．1 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】先根据无理数的估算得出，再根据定义得出，，最后再代入利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）的结果在（   ） A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间 【答案】B 【分析】根据二次根式的相关运算法则求出对应式子的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在7至8之间． 4．估计的值应在（   ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式的乘法运算法则化简原式，再通过估算无理数的大小得到原式的范围． 【详解】解： ， ∵ ， ∴ ， ， ． 5．（2026·重庆秀山·一模）若，是两个连续整数，且，则的值为_______． 【答案】7 【分析】先计算化简得到的结果，再估算无理数的大小，确定，的值，再代入计算即可． 【详解】解： 又且 ，且，是两个连续整数， 题型三 二次根式乘法中用字母表示（共5小题） 1．若，，则的值用，可以表示为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算，化简二次根式，，而，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·河南南阳·期末）设，请用含有的式子表示___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法． 直接根据作答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·青海海东·月考）若，，则用含a，b的式子表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·全国·期末）设，，则可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘法运算，根据二次根式的性质化简计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·江西赣州·期中）若，用含的式子表示为___________． 【答案】 【详解】解：． 题型四 已知字母的值求代数式的值（共5小题） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，，则代数式的值等于______． 【答案】10 【分析】先求出和，然后再通过完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，则的值为__________． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的减法，正确计算是解题的关键． 先计算与的差以及与的积，再根据分式的减法法则将原式转化为分式形式求解即可． 【详解】解：由已知， ， ， 则 ， ． ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）若正实数满足，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的运算，灵活应用完全平方公式是解题的关键．结合已知利用完全平方公式进行变形求得，进而得到的值，然后再次利用完全平方公式进行变形，求得，即可得解． 【详解】解：，， ， ， 为正实数， ， ． 故答案为：． 4．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 通过简化根式乘法运算，比较等式两边系数和根号内值，求出和的值，再代入计算表达式． 【详解】解：， 又 ， ， 解得：， 又 ， ， 解得：， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·重庆云阳·阶段检测）已知，，则代数式______． 【答案】 3 【分析】此题考查完全平方公式的变形计算，二次根式的乘法及加法计算法则，先计算 和 的值，再利用完全平方公式将 转化为 ，代入计算后求算术平方根． 【详解】由已知，，， 则 ， ， 所以 ， 因此， 故答案为：3． 题型五 判断等式成立的条件（共3小题） 1．（25-26九年级上·河南南阳·阶段检测）等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法法则、二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，理解二次根式有意义的条件是关键．根据二次根式的除法法则成立的条件：且，即可确定． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·上海·阶段检测）等式成立的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如果成立，那么的取值范围是：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型六 利用分母有理化比较大小（共5小题） 1．（25-26八年级下·湖南湘西·阶段检测）已知，，则与的关系为________． 【答案】 【分析】将进行化简得，可判断． 【详解】解：， 又， ∴． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段检测）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 3．（25-26八年级下·新疆哈密·期中）已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 4．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）已知，，则和的关系是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对进行分母有理化化简，再将化简结果与比较，即可得到和的关系． 【详解】解： ， 又∵， ∴． 5．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）已知，，则a与b的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，先对a进行分母有理化化简，再结合b的表达式分析a与b的数量关系，进而选择正确选项即可． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，即． 故选：A． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 题型七 利用分母有理化求代数式的值（共5小题） 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）设的整数部分是a，小数部分是b，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可知，，继而得出本题答案． 【详解】解：∵， 又∵的整数部分是a，小数部分是b， ∴，， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽六安·阶段检测）当时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对进行分母有理化，确定的具体值与正负性．然后对代数式中的二次根式里的多项式和分母的多项式分别进行因式分解，再根据的正负性去掉二次根式的符号，再对化简后的代数式进行约分，最后代入的值计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 3．（2026·四川成都·二模）当时，代数式的值是______． 【答案】 【详解】解： 当时，原式 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知，求的值为 ____． 【答案】 【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，， ∴ ． 5．（25-26九年级下·天津·期末）已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据已知条件计算出a、b的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 题型八 判断有理化因式（共5小题） 1．（25-26八年级上·上海·阶段检测）二次根式的一个有理化因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式的概念． 根据有理化因式的定义，将原式与选项式子相乘，若结果为有理式，则该选项为有理化因式，据此验证各选项即可． 【详解】解：有理化因式的定义是：两个含有根式的代数式相乘，若积不含根式，则这两个代数式互为有理化因式． A、，仍含根式，此选项不符合题意； B、，积仍含根式，此选项不符合题意； C、，积为有理式，此选项符合题意； D、，积仍含根式，此选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·上海·期中）下列二次根式中，与 互为有理化因式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理化因式，根据有理化因式需满足相乘后结果为有理式，对于，其有理化因式应为本身或相反数，因平方后可得有理式或，即可得出结果． 【详解】解：∵，结果为有理式， ∴ 与 互为有理化因式； 故选A． 3．（2025·上海奉贤·二模）下列各式中，的有理化因式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式．单项二次根式的有理化因式是它的同类二次根式；其他代数式的有理化因式可用平方差公式来进行分步确定． 对于形如的表达式，其有理化因式通常为，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，，为有理数， ∴的有理化因式是， 故选：D． 4．（25-26八年级上·上海·阶段检测）的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查有理化因式，有理化因式是指与给定表达式相乘后结果为有理式的表达式．对于单个平方根表达式 ，其自身即为有理化因式，因为相乘后可得有理式 ． 【详解】∵ （有理式）， ∴ 是自身的一个有理化因式． 故选：D． 5．（25-26八年级上·上海长宁·阶段检测）下列各选项中，的有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理化因式，根据进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则的有理化因式是， 故选：D 题型九 分母有理化解答题综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对，分母有理化，然后得到，，对所求代数式提公因式因式分解，再代入，的值求解即可； （2）先通分，再利用完全平方公式进行变形，然后代入，的值求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ； （2）解： ． 2．已知，，求的值． 【答案】 【分析】化简x、y的值，代入化简后的代数式即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴ ． 3．（25-26八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）化简求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 4．（25-26九年级下·山东淄博·期中）已知，． (1)求的值； (2)求与的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用平方差公式将与化简，再求和即可； （2）先计算出和的值，再利用完全平方公式和平方差公式计算与的值． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：， ， ， ． 5．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再整体代入计算结果； （）首先需对和进行分母有理化，求出与的值，再运用完全平方公式，将化为，再代入数值计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴． 题型十 分母有理化中化简问题（培优）（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽滁州·期中）观察下列各式，再解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第4个等式是 ． (2)第（是正整数）个等式是 ． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干中3个等式的规律求解即可； （2）根据题干中3个等式的规律求解即可； （3）利用（2）中的等式规律求解． 【详解】（1）解：根据题意得，第4个等式是； （2）解：根据题意得，第（是正整数）个等式是； （3）解： ． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 3．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）问题：已知，求的值． 小明是这样解答的：∵， ∴， ∴． 请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简： ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）将每个式子的分母有理化后，根据规律进行运算即可； （3）先进行分母有理化，再仿照题干的解法进行计算． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的值为49． 4．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得______； (2)已知，则______； (3)利用上面所提供的解法，请化简； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题干①作答即可； （2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ∴； （3）解： ． 题型十一 复合二次根式的化简（培优）（共5小题） 1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二：已知、是两个正整数，且记作，，则： 我们就称为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式．” 例如： 任务： (1)分母有理化：________； (2)化简“理想二次根式”：________． (3)根据材料中的方法进行化简与计算：已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化即可； （2）仿照题干，利用完全平方公式进行化简； （3）分别化简与，求和即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， ， ∴． 2．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)①；；②；； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 3．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）阅读与思考：数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ； ． 解决下列问题： (1)化简：； (2)化简并求出：的值． (3)如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃，求出新正方形花圃的边长． 【答案】(1) (2)9 (3)米 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， 米． 4．（25-26八年级下·吉林·期中）在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小知在家学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， 根据以上信息，解答下列问题． (1)填空：(______)； (2)将化成另一个式子的平方； (3)化简二次根式，聪明的小知同学思考后说：我的解决思路是将转化为的形式，再根据进行化简，请你根据小知的做题思路直接写出化简为_____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （2）仿照小知的方法将化为完全平方公式，即可求解； （3）仿照小知的方法将化为，即可化简； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 63．（25-26八年级下·广东珠海·期中）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数，点，且，则______，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)； (2) (3)， 【分析】本题考查了新定义问题，完全平方公式，二次根式的性质，解题的关键是理解“横负纵变点”的概念． （1）根据“横负纵变点”的概念，求解即可； （2）将转化为完全平方式的形式，再根据二次根式的性质求解即可； （3）根据完全平方公式以及二次根式的性质求得，再根据“横负纵变点”的概念，求解即可． 【详解】（1）解：由于，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； 由，根据“横负纵变点”的概念可得，点的“横负纵变点”为； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴点M的“横负纵变点”为． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）东东在学习完二次根式后，发现一些含二次根式的式子可以写成另一个式子的完全平方，如式子，东东继续探究：设（其中，，，均为正整数），即有，则可得，东东就找到了把写成一个完全平方式的方法．根据以上信息完成下列问题： (1)若，，，均为正整数，，请用含，的式子分别表示，； (2)若（其中，，均为正整数），求所有满足条件的数； (3)化简：________．（将结果直接填写在答题卡上） 【答案】(1)， (2)所有满足条件的有,,； (3) 【分析】（1）依照例题求解即可； （2）由（1）的结论知，求得，根据，均为正整数，分情况讨论即可求解； （3）利用完全平方公式求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； （2）解：∵， 由（1）的结论知， ∴， ∵，均为正整数， ∴的正整数解有，，或，或，； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 当，时，，此时； 综上，所有满足条件的有,,； （3）解：， ∵， ∴． 题型十二 判断是否为同类二次根式（共5小题） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）下列各组二次根式中，不是同类二次根式的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】先将各二次根式化简为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数相同的即为同类二次根式． 【详解】解：A选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故A不符合题意； B选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故B不符合题意； C选项，，，化简后被开方数都是， ∴是同类二次根式，故C不符合题意； D选项，是最简二次根式，被开方数为，，被开方数为，， ∴不是同类二次根式，故D符合题意． 3．（25-26八年级下·广东广州·期中）下列各组二次根式中，能进行合并的是（   ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】能合并的二次根式的判定标准是，化为最简二次根式后，被开方数相同，因此本题先将各选项中的非最简二次根式化简，再对比被开方数即可得到结果． 【详解】解：A选项：，与的被开方数不同，不能合并； B选项：，与的被开方数不同，不能合并； C选项：，与的被开方数不同，不能合并； D选项：，与的被开方数相同，能合并． 4．（25-26八年级下·山东威海·期中）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简后被开方数相同的二次根式． 【详解】解：选项A：，与化简后被开方数不同，A不符合要求； 选项B：，与化简后被开方数不同，B不符合要求； 选项C：，，化简后被开方数都是3，C符合要求； 选项D：与都是最简二次根式，被开方数不同，D不符合要求． 5．（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）下列各式不可以与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】只有化简后被开方数相同的同类二次根式可以合并，将各选项二次根式化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可得到结果． 【详解】解：A．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． B．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． C．，化简后被开方数为，与不是同类二次根式，不可以与合并． D．，化简后被开方数为，与是同类二次根式，可以与合并． 题型十三 利用同类二次根式求参数（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）若最简二次根式与最简二次根式可以合并，则m，n的值分别为（   ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】因为给定的根式是二次根式，所以它们的根指数必须为2；又因为它们是可以合并的最简二次根式，所以它们的被开方数相等，据此列方程组求解即可． 【详解】解：∵两个根式均为最简二次根式，且可以合并， ∴根指数都为2，且被开方数相等， ∴ 解第二个方程，移项合并同类项，得， 即， 把代入， 得． 2．（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则a的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的性质，可合并的二次根式为同类二次根式，先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵ ，是最简二次根式且二者可以合并， ∴ 二者是同类二次根式，最简形式下被开方数相等， ∴ ，解得， 因此选A． 3．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，根据同类二次根式的概念得到关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， ， 移项得， 系数化为得． 4．（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 5．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】由题意列出方程组，整理得，解得，然后代入即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，最简二次根式与是同类二次根式， ∴，整理得：， 解得：， ∴， ∴的值为． 题型十四 二次根式的混合运算（计算）（共5小题） 1．（25-26八年级下·天津·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26八年级下·河南信阳·阶段检测）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级下·河北邯郸·期中）计算： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）用分配律把与括号里面的各项分别相乘，根据二次根式的性质进行计算； （3）利用平方差公式和完全平方公式把算式展开，再根据运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型十五 二次根式的实际应用（共5小题） 1．（25-26八年级下·陕西榆林·期中）如图，某公园有一块长方形空地，，，园区管理员计划在中间小长方形部分（阴影）种植花卉，其余部分种植草坪，且小长方形的长为，宽为．求种植草坪的面积．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】求出长方形空地和花卉的面积，进而可知种植草坪的面积． 【详解】解：∵长方形空地的面积为：， 种植花卉的面积为：， ∴种植草坪的面积为：． 故种植草坪的面积为． 2．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为，现要在空地中挖一个长方形的水池（即图中阴影部分），其余部分种植草莓，其中长方形水池的长为，宽为． (1)求长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)已知李明家种植的草莓售价为，且每平方米产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据长方形周长计算公式求解即可； （2）先求出种植草莓的面积，再根据草莓的售价和产量进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长为，宽为， ∴周长为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 答：销售收入为元． 3．（25-26八年级下·贵州黔南·期中）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 【答案】(1) (2)李老师的预算够，理由见解析 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）， ， 李老师的预算够． 4．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 5．（25-26八年级下·河南许昌·期中）有一块长方形木板，现将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形．求长方形木板的面积． 【答案】 【分析】关键是利用正方形面积求出边长，再根据边长与原长方形长、宽的关系列方程求解． 【详解】解： 正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 又 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 长方形的面积为． 题型十六 二次根式比较大小（培优）（共5小题） 1．（25-26八年级下·福建莆田·期中）已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫作分母有理化． 问题： (1)①的一个有理化因式是_____； ②的一个有理化因式是______； (2)计算：； (3)已知，，试比较a，b的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；②（答案不唯一） (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：， ∴①的一个有理化因式是； ②的一个有理化因式是（答案不唯一）； （2）解：原式 ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 4．（25-26八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，解答问题： 材料1：由于，这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式； 材料2：，这样进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，我们把这样的运算叫做分母有理化． 问题： (1)的一个有理化因式是_____，的一个有理化因式是_____； (2)计算：； (3)已知，，试比较，的大小，并说理． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可得出结果； （2）先对每一项进行分母有理化，然后通过化简计算即可得出结果； （3）先求出、的值，再比较它们的大小即可． 【详解】（1）解：的一个有理化因式是，的一个有理化因式是； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ， ∴． 5．（25-26八年级下·广东珠海·期中）比较两个数的大小，我们常采用作差或作商的方法，其实有时候用“平方法”来比较大小也会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把和分别平方．，，则，． 阅读以上材料，解决下面问题： (1)已知，，则_______（填写“”“”或“”）． (2)比较，的大小，并说明理由． (3)判断，（，且为正整数）的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先求出，再结合即可得； （2）先求出，再得出，结合即可得； （3）先求出，再计算可得，结合即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ， 又∵，，且， ∴， ∴，即， 又∵， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ ， ∴， 又∵， ∴． 题型十七 二次根式混合运算（培优）（共5小题） 1．（25-26八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料：在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： ； 【类比归纳】 (1)①； ②； (2)若，当均为正整数时，用含的式子分别表示a，b，得_____，_____； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求正方形的面积． 【答案】(1)①，1；②， (2)， (3) 【分析】（1）①②结合题目给的例子，结合完全平方公式解答即可； （2）将已知的等式右边展开，即可得到答案； （3）仿照例题的方法求出两个小正方形的边长，进而得到大正方形的边长，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴当均为正整数时，，； （3）解：∵两小正方形的面积分别为和， 且， ， ∴两个小正方形的边长分别为，， ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积为． 2．（25-26八年级下·山东德州·期中）在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： (1)计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可推出（n为正整数），据此把所求式子中的每一项裂项，然后计算求解即可； （2）分母有理化得到，则可推出，即，把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：设n为正整数， 则 ， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下面的材料，然后解答问题： 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方和等于第三边平方的2倍，则这个三角形叫做奇异三角形． 理解： (1)根据奇异三角形的定义，判断：等边三角形一定是奇异三角形吗?_______（填“是”或“不是”）． (2)若奇异三角形的其中两边长分别为1，，则该三角形的第三条边长为________． 探究： (3)在中，，，且，，则这个三角形是否是奇异三角形?请说明理由． 拓展： (4)在中，，，，，且，若是奇异三角形，求． 【答案】(1)是 (2)2或 (3)当时，直角三角形是奇异三角形；当时，不是奇异三角形； (4) 【分析】（1）设等边三角形的边长为m，根据题意，得三角形的三边长都是m，计算，再根据定义判断求解即可． （2）设第三边长为x，根据定义，得分类求解，求解即可． （3）设，根据勾股定理，定义分类求解即可； （4）根据题意，；由是奇异三角形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设等边三角形的边长为m，根据题意，得三角形的三边长都是m， 由，符合定义， 故等边三角形是奇异三角形； （2）解：设三角形的第三边长为x， 当， ， 解得，三角形的边长不能为负数，故舍去， 且，满足两边之和大于第三边，三角形存在， 故第三边长为2． 当， 无意义，三角形不存在； 当， 解得，三角形的边长不能为负数，故舍去， 且，因为，所以，， ，故， 故，满足两边之和大于第三边，三角形存在， 故第三边长为， 综上，第三边长为2或． （3）解：设，在中，，，且，， 当时，根据题意，得， 故， 由， 得，此时直角三角形是奇异三角形； 当时，根据题意，得， 故， 故， 由， 得， 同理可得，， 故直角三角形不是奇异三角形． （4）解：，，，，且， ， ； 若， ， ， ， ， ，矛盾； 因为是奇异三角形， ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三边数字特点选择简便的公式计算； （2）将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可． （3）利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明． 【详解】（1）解：三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 设 ∴ ∴ = （2）在三角形中，，，， 半周长， 根据海伦公式：的面积， ∵O是，的角平分线交点，且， ∴点O到的距离相等， 设，则O到的距离都是h， ∵， ∴ 即， 解得， 答：的长为； （3）证明： ∵， ∴，，，， 代入上式得： ． 学科网（北京）股份有限公司 $