专题01 二次根式中常见的化简问题15大题型专练（期末复习专项训练）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦二次根式化简全场景，以15类分层题型构建从概念识别到综合应用的逻辑体系，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|题型1-5（25题）|覆盖识别、有意义条件、整数值求解等基础考点|从定义出发，构建二次根式概念认知框架| |性质应用|题型6-12（35题）|结合数轴、字母范围、三角形三边关系等化简|以性质为核心，实现从单一到多情境的迁移应用| |综合拓展|题型13-15（15题）|包含综合化简、性质探究及规律问题|通过探究与推理，深化知识内在联系与创新应用|

专题01 二次根式中常见的化简问题 题型1 二次根式的识别 题型9 已知三角形的三边关系化简二次根式（重点） 题型2 求二次根式中整数值 题型10 化简代数式求二次根式的值 题型3 二次根式有意义的条件 题型11 最简二次根式的判定 题型4利用二次根式有意义求代数式的值 题型12 已知最简二次根式求参数 题型5 已知字母的值求二次根式的值（常考点） 题型13二次根式的综合化简 题型6 二次根式的化简与数轴综合 题型14 二次根式的性质综合探究问题 题型7 已知字母的取值范围化简二次根式（难点） 题型15 二次根式的性质综合找规律问题 题型8 二次根式中字母移动问题（难点） 题型一 二次根式的识别（共5小题） 1．（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的定义． 需依据“形如（），根指数为2且被开方数非负”的特征判断选项． 【详解】解：A选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式； B选项：的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式； C选项：中，当时，，式子无意义，不一定是二次根式； D选项：的根指数为3，是三次根式，不是二次根式； 故选：B． 3．（25-26八年级下·广西梧州·期中）下列各式中，一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式需满足的两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．被开方数，无意义，不是二次根式； B．根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式； C．根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； D．当时，无意义，不一定是二次根式． 4．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确． 5．（25-26八年级下·山东济宁·期中）下列各式中一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需满足两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A选项，被开方数，无意义，不是二次根式； B选项，根指数为3，是三次根式，不是二次根式； C选项，当时，无意义，不一定为二次根式； D选项，，，根指数为2，被开方数恒为正数，因此一定是二次根式． 题型二 求二次根式中整数值（共5小题） 1．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）若是一个整数，则正整数m的值可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先根据二次根式被开方数的非负性确定正整数m的范围，再代入验证得到满足条件的m的值． 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得， ∵是正整数， ∴的可能取值为和， 当时，，不是整数，不符合要求， 当时， ，是整数，符合要求． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解题思路为先分解质因数化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，即被开方数需为完全平方数，即可求出最小正整数n，用到二次根式的化简性质 【详解】解：先对进行变形化简： ∵ ∴ ∵ 是整数，是正整数 ∴ 必须是整数，即为完全平方数 ∴ 正整数的最小值为 3．（24-25八年级下·江西赣州·阶段检测）已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南新乡·月考）若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 5．（24-25八年级下·四川凉山·期中）如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 题型三 二次根式有意义的条件（共5小题） 1．（2026·安徽阜阳·三模）写出一个能使式子有意义的x的值：______． 【答案】5 【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解即可． 【详解】解：根据题意可知：且， 例如：5（答案不唯一，满足且即可）． 2．（24-25八年级下·四川遂宁·期中）函数中，自变量的取值范围是____． 【答案】且 【详解】解：根据题意，得且， 解得且． 3．（2026·安徽芜湖·二模）函数中自变量的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据函数、二次根式、分式有意义的条件列出不等式组求解即可． 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得，解得：． 4．（25-26八年级下·山东烟台·期中）使代数式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据这两种算式成立的条件列不等式组并解得一元一次不等式组的解集即可． 【详解】解：∵使代数式有意义， ∴可列不等式组：， ∴解得， ∴的取值范围是． 5．（24-25八年级下·山东聊城·期末）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数，因此， 解得：， 分式的分母不能为，因此， 解得：， 综上，自变量的取值范围是． 题型四 利用二次根式有意义求代数式的值（共5小题） 1．（25-26八年级下·四川南充·期中）若，则________． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·四川广元·期中）已知，则________． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件得出，解得，代入计算即可． 【详解】解：要使二次根式有意义，则， 解得， ∴． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 4．（25-26八年级下·山东泰安·期中）已知为等腰三角形的两条边长，且满足，则此三角形的周长为__． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义：被开方数为非负数可得x的值，进而求出y的值，然后根据三角形的三边关系进行检验，即可求解周长． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴， ∴， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4或4，4，2， ∵，， ∴等腰三角形的三边长分别为2，2，4不成立，三边长为4，4，2成立 ∴周长为． 5．（2025·贵州遵义·一模）使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式的性质，得出的值，再根据一元一次方程的定义，得出的值，最后代入方程，再解方程即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，要使等式成立，需满足且， 即且． 又 的取值范围是， ． 是关于的一元一次方程， ， 解得，， 将，代入方程得，， 解得，， 关于的一元一次方程的解为． 题型五 已知字母的值求二次根式的值（共5小题） 1．（25-26八年级上·上海·月考）当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）当时，二次根式的值为____________． 【答案】 【分析】把代入求解即可． 【详解】解：当时，． 3．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若二次根式有意义，则a的取值范围是________，当时，二次根式的值是________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的值，由被开方数为非负数可得，再解不等式可得a的范围，再把代入计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：； 当时，； 故答案为：， 4．（24-25八年级下·全国·课后作业）（1）当a为________时，＋1的值最小，为________； （2）当a为________时，的值最大，为________． 【答案】 1 2 【分析】本题主要考查二次根式的性质： （1）根据即可求出的值，以及所求式子的最小值； （2）根据即可求出的值，以及所求式子的最大值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴的最小值为1， 此时，解得． 所以，当时，的值最小，为1． 故答案为：；1； （2）∵， ∴， ∴的最大值为2． 此时，解得． 所以，当时，的值最大，为2． 故答案为：，2 5．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）已知，，且，则________ 【答案】3 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键，根据可得的值，再根据可确定的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型六 二次根式的化简与数轴综合（共5小题） 1．（25-26八年级下·四川绵阳·阶段检测）已知实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用数轴判断和的正负，再进行求解． 【详解】解：由图可知：， ∴， ． 2．（25-26八年级下·河北廊坊·期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴可得，再根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ 3．（25-26八年级下·浙江金华·期中）实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数轴可得，则，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 4．（25-26八年级下·河南安阳·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，，据此计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 5．（24-25八年级下·山东日照·阶段检测）已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 题型七 已知字母的取值范围化简二次根式（共5小题） 1．（25-26八年级下·河南许昌·期中）已知，则化简的结果是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据二次根式和绝对值的性质化简，然后去括号合并即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式对根号内的多项式变形，再根据二次根式的性质，结合的条件去掉绝对值符号，得到化简结果 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如果，，则的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件判断b的符号，再利用二次根式性质化简，去绝对值后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴原式 ． 4．（25-26八年级下·山东临沂·期中）若，则化简的结果是_______． 【答案】3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 5．（25-26八年级下·广东广州·期中）当，代数式的值是_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 题型八 二次根式中字母移动问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·安徽池州·期中）已知，则二次根式化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简，结合的条件去掉绝对值符号，即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足． ∵， ∴，因此可得， ． ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段检测）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）把化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式中被开方数非负， ∴ ， 解得， ∴． 题型九 已知三角形的三边关系化简二次根式（共5小题） 1．2、5、m是某三角形三边的长，则等于（　　） A． B． C．10 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，二次根式的性质与化简，直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，再利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：∵2、5、m是某三角形三边的长， ∴， 故， ∴原式． 故选：D． 2．（2025·湖南长沙·一模）3、6、是某三角形三边的长，则等于（       ） A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：∵3、6、是某三角形三边的长， ， 解得：， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 3．（24-25八年级下·湖北咸宁·月考）已知三角形三边为a，b，c，其中a，b两边满足，那么这个三角形的最大边c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，，再结合三角形的三边关系与最长边的含义可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵三角形的最大边为c， ∴， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，非负数的性质，三角形三边之间的关系，熟练的利用二次根式的性质进行化简是解本题的关键． 4．（2025·湖南娄底·模拟预测）2，3，是某三角形三边的长，则 等于（   ） A． B． C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简． 【详解】解：∵2，3，是三角形的三边， ， 解得：， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级下·山东德州·期中）已知4、5、是某三角形三边的长，则计算的正确结果是（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】先根据三角形三边关系求出的取值范围，再利用二次根式的性质化简，最后去绝对值计算得到结果． 【详解】解：∵4、5、是三角形的三边长， ∴，即， ∴， ∴． 题型十 化简代数式求二次根式的值（共5小题） 1．（25-26八年级下·甘肃定西·期中）已知，则_____． 【答案】/ 【分析】根据非负数的性质求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， 解得， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据平方的非负性与绝对值的非负性列出二元一次方程组，求出的值，再根据二次根式的性质得到结果． 【详解】解：∵， ， 得： ， ∴， ． 3．（25-26七年级下·北京·期中）若，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件，确定的取值，再将代入原等式求解的值 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数，得 解得， 将代入，得，即， 开平方得 4．（25-26九年级下·重庆·阶段检测）若x满足，则的值为________． 【答案】 【分析】将变形得到，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（24-25八年级上·上海金山·月考）如果 ，那么_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由已知方程 可得 ，根据算术平方根的非负性，有 ，再化简所求表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 故， ∵ ∴，， ∴， 故答案为：． 题型十一 最简二次根式的判定（共5小题） 1.（25-26八年级下·广东珠海·期中）下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 2．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）在下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】最简二次根式需同时满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴A不是最简二次根式； ∵的被开方数含分母，∴B不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴C是最简二次根式； ∵的被开方数含分母，∴D不是最简二次根式． 3．（25-26八年级下·广东惠州·期中）在二次根式、、、、中，最简二次根式有___________个． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式的概念，先将各二次根式化简，再判断符合条件的个数即可． 【详解】解：，故不是最简二次根式， 的被开方数不含分母，也不含能开得尽的因数，是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， ，故不是最简二次根式， 综上，最简二次根式只有个． 4．（25-26八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有____________个． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式是否符合条件即可． 【详解】①：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，为最简二次根式； ②，不是最简二次根式； ③，不是最简二次根式； ④，不是最简二次根式； ⑤：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因式，故为最简二次根式． 综上，最简二次根式有个． 5．在 ，，，，，中，最简二次根式的个数是_______． 【答案】 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐个判断． 【详解】解：，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， ，被开方数是整式，且不含能开得尽方的因式，是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式， =，不属于二次根式，因此不是最简二次根式， =，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， ，被开方数含有分母，不是最简二次根式， 综上，最简二次根式共有个． 题型十二 已知最简二次根式求参数（共5小题） 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数为________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了最简二次根式定义，二次根式性质，根据最简二次根式的定义，被开方数不能含有能开得尽方的因数或因式，即 不能是平方数或含有平方因子，尝试最小的正整数，从开始验证． 【详解】解：当时，，16是4的平方，因此不是最简二次根式； 当时，，23是质数，没有平方因子，因此是最简二次根式． 故最小的正整数为2． 故答案为：2． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段检测）已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 3．如果两个最简二次根式与的被开方数相同，那么_____________． 【答案】1 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，根据最简二次根式的被开方数相同列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：1． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根为． 故答案为： 5．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____． 【答案】 1 2 【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之即可． 【详解】解：∵和都是最简二次根式， ∴， 解得， 故答案为：1；2． 题型十三 二次根式的综合化简（共5小题） 1．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 2．（25-26八年级下·福建龙岩·期中）如图，在中，内角、、所对应的边分别为、、． (1)若，，，求的面积； (2)若，，（其中、都是正整数，且），求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理逆定理推出是直角三角形，且，即可得解； （2）先求出三边的平方，再结合勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，且，、为直角边， （2）证明：，，， ，，， ， 是直角三角形． 3．（2026·重庆·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据多项式的乘法，完全平方公式及分式的运算法则将原式化简，再将的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 4．（25-26八年级下·陕西西安·期中）已知等式成立，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·广东江门·期中）已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型十四 二次根式的性质综合探究问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·江西赣州·期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件解得： ∴， ∴原式 ． 【启发应用】 (1)按上面的解法，试化简：； 【类比迁移】 (2)实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)已知a，b，c为△ABC的三边长，化简： 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）先求解，再化简即可； （2）先判断，，再化简即可； （3）由三角形三边关系得，，，再化简即可. 【详解】（1）解：由二次根式有意义的条件得，即， 则， ∴原式. （2）解：由数轴知，且， 则，， ∴原式． （3）解：由三角形三边关系得，，， ∴原式 . 2．（25-26七年级下·河南焦作·期中）探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题： ①；；；；可得出对于非负有理数a，_________； ②；；；可得出对于负有理数a，_________； 综上：对于任意有理数a，________； (2)应用（1）中所得结论解决问题． 点M，N在数轴上的位置如图所示，点M表示的数为m，点N表示的数为n． ①化简； ②若N点表示的数为，在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．求的平方根． 【答案】(1)①a；②； (2)①；② 【分析】（1）根据①②的计算结果即可探究出的一般规律； （2）①由数轴可知，，，再根据的一般规律和绝对值的定义化简即可； ②根据题意利用相反数的定义分别求出的值，再代入计算求解即可． 【详解】（1）①a；②； （2）①由题可知：，，， ∴原式 ； ②由题意得：， ，，，， ∴ ， ∴的平方根为． 3．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________； (2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________； ②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4)的最小值为 【分析】（1）将变形为，再将代入求解即可； （2）令，原式变为，可化为，再根据完全平方公式求解即可； （3）①变形为，再根据材料2的方法求解即可； ②令，则，，原式变为再根据材料2的方法求解即可； （4）由，得到，再通过变形得到，根据材料2的方法求解即可； 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：令， ∴原式 ； （3）解：①， ∵， ∴， 由材料2可得， ， 当且仅当，即时，取得最小值2， ∴的最小值为； ②令，则，， ∴， ∴， 由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值， ∴的最小值为； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为． 4．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点．设，，． (1)请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示，则______； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则______； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为______， 并进一步可以得到与的大小关系为______． （温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） (2)若的面积为9，直接写出m的最大值． 【迁移应用】 (3)如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】(1)；；； (2)3 (3)小栅栏的总长度最少为24米 【分析】本题主要考查了勾股定理及由勾股定理得到的新知识的应用．由勾股定理延伸得到结论，对其进行应用是解决本题的关键． （1）利用勾股定理根据在直角三角形中，在直角三角形中分别得到和用a，b，m表示的式子，相加即可得到的值；继续整理变形即可得到m用a，b表示的式子；易得的斜边上的中线大于或与重合，可得与m的大小关系； （2）根据的面积为9，用直角三角形的斜边和斜边上的高表示出的面积，进而根据（1）中最后一问得到的结论，用含m的式子表示，即可得到m的最大值； （3）设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长．根据（1）中得到的结论：，那么，进而可得所有虚线的和为，根据，整理可得所有虚线和的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，． ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴． 设是的斜边上的中线，则， ∵． ∴． ∴， ∴， 故答案为：，，，， （2）解：∵的面积为9， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴m的最大值为． （3）解：设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． ∵面积为平方米， ∴． 由（1）得：， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为米． 5．（2026八年级下·广东江门·专题练习）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)当时，的最大值为，无最小值； (5) 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵10是“完美数” ∴； （2）解：，理由如下： ∵ 要使S为“完美数”， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）解：， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的最大值为，无最小值； （5）解：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，，， ，，， ，，， ，即的周长为． 题型十五 二次根式的性质综合找规律问题（共5小题） 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)29 (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， ．．．．．． (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：________； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式，并证明； (3)利用（2）中的规律计算：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）对二次根式进行通分、化简，最终开方得到整式或分式形式，并观察规律得出下一个等式的表达形式. （2）通过观察等式的分子、分母、结果的变化规律，用含的代数式表示第个等式，并进行分式的混合运算，化简得出结论． （3）利用前面的规律，将多个二次根式的乘积转化为分式的连乘，通过 “中间项全部抵消” 的连锁约分简化计算，得到答案． 【详解】（1）解：根号内的分子为：是连续奇数，第个为， 根号内的分母为：，第个为， 等式右边为：，第个为， ∴第个等式为：，即； （2）解：根号内的分子：是连续奇数， ∴第个为， 根号内的分母：， ∴第个为， 等式右边:， ∴第个为， ∴第个等式为：， 证明：左边， 为正整数， ， 原等式成立； （3）解：， ， 根据（2）中结论可得， 上式． 3．（25-26八年级下·山西大同·期中）观察下列等式： ， ， ， … (1)利用你发现的规律，化简_________； (2)根据以上等式猜想第个等式（为正整数），并写出来； (3)证明你猜想的第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题干作答即可； （2）根据已知等式找出规律即可； （3）计算等式左边，看看是否与右边相等即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， …… ； （3）证明： ， 可知猜想成立． 4．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）【观察规律】 观察下列式子：，， ， 【类比分析】 (1)按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 (2)用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) ， (2) （，为正整数），证明见解析 (3) 【分析】（1）按照给定格式，可得符合规律的两个式子； （2）先根据已知式子的特征总结出通用规律，再利用二次根式的化简性质证明规律； （3）由总结的规律可知，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：按照给定格式，可得符合规律的两个式子： ， ； （2）解：规律为：（，为正整数）， 证明： ∵左边，右边， ∴左边右边，等式成立； （3）解：由（2）可知，（，为正整数）， ∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， ． 5．（25-26八年级下·山东烟台·期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等． (1)【猜想】=______，并验证； (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确； (3)【创新应用】按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据题意及（2）中发现的规律得到，整理得到，分情况求出，的值，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， （n为大于等于2的整数）； （3）∵ ∴根据（2）规律可得： ∴ ∴ ∵a，b为正整数 ∴或或 ∴或或． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01二次根式中常见的化简问题 题型归纳内容导航 题型1二次根式的识别 题型9已知三角形的三边关系化简二次根式（重点） 题型2求二次根式中整数值 题型10化简代数式求二次根式的值 题型3二次根式有意义的条件 题型11最简二次根式的判定 题型4利用二次根式有意义求代数式的值 题型12已知最简二次根式求参数 题型5已知字母的值求二次根式的值（常考点） 题型13二次根式的综合化简 题型6二次根式的化简与数轴综合 题型14二次根式的性质综合探究问题 题型7已知字母的取值范围化简二次根式（难点）：题型15二次根式的性质综合找规律问题 题型8二次根式中字母移动问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型一二次根式的识别（共5小题） 1.(24-25八年级下.辽宁营口期末)下列式子中，是二次根式的有()】 ①V得，②N-2,③4+3，④27，⑤V(-吉)2，⑥3-2x(x>2),@Wk2-2x+3 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(25-26八年级上.重庆.期末)下列各式中，一定是二次根式的是() A.V-3 B.万 C.Va+3 D.5 3.（25-26八年级下广西梧州期中)下列各式中，一定属于二次根式的是() A.√-2025 B.V3 c.2 D.va 4.(25-26八年级下辽宁鞍山阶段检测)下列式子一定是二次根式的为() A.V-x-2 B.Vx C.x2-2 D.2 5.（25-26八年级下山东济宁.期中)下列各式中一定是二次根式的是() A.V-1 B.V-1 c.va D.Vx2+1 题型二求二次根式中整数值（共5小题） 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26八年级下.河北廊坊期中)若V5-2m是一个整数，则正整数m的值可以是() A.4 B.3 C.2 D.1 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期中)若V50n是整数，则正整数n的最小值是() A.2 B.3 C.4 D.5 3.(24-25八年级下江西赣州阶段检测)已知V2025-a是正整数，则整数a的最大值为() A.2025 B.2024 C.2 D.1 4.(24-25八年级下河南新乡，月考)若V厚×号×号×…×惑=11，则的值为(） A.40 B.50 C.60 D.70 5.(24-25八年级下.四川凉山期中)如果√17+4a是一个正整数，则整数a的最小值是() A.-4 B.-2 C.2 D.8 题型三二次根式有意义的条件（共5小题） 1.(2026安徽阜阳三模)写出一个能使式子焉有意义的x的值： 2.(24-25八年级下四川遂宁期中)函数公一中，自变量x的取值范围是 3.(2026安徽芜湖.二模)函数y=3中自变量x的取值范围是】 4.(25-26八年级下山东烟台期中)使代数式VK-3+V有意义，则x的取值范围是 5.(24-25八年级下山东聊城期末)函数y=Vx-2十是中，自变量x的取值范围是 题型四利用二次根式有意义求代数式的值（共5小题） 1.(25-26八年级下四川南充期中)若y=Vx-3+V3-x+1,则x-y= 2.(25-26八年级下.四川广元期中)已知y=2-V8-3+V3-x,则y= 3.(25-26八年级下江苏泰州期中)已知Va-19+2W19-a=b+6,则a-b的平方根是 4.(25-26八年级下山东泰安期中)己知x,y为等腰三角形的两条边长，且x,V满足 y=V2-x+V3x-6+4,则此三角形的周长为_： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(2025贵州遵义.一模)使等式√(x+1)(x-m)=V+1·V区-m成立的实数x的取值范围是 x≥2，则关于y的一元一次方程my2+1=n的解为 题型五已知字母的值求二次根式的值（共5小题） 1.(25-26八年级上.上海·月考)当x的值为 时，4一V2+9的值最大，这个最大值为 2.(24-25八年级下.浙江绍兴期中)当a=一2时，二次根式V2-a的值为 3.(24-25八年级下.浙江杭州月考)若二次根式√3a-6有意义，则α的取值范围是 ,当a=5时， 二次根式的值是 4.（24-25八年级下.全国.课后作业)(1)当a为时，√2a十1+1的值最小，为 (2)当a为 时，√4-(a+2)的值最大，为 5.(24-25八年级上河南洛阳期末)已知x2=1,=-2,且xy<0,则W-y= 题型六二次根式的化简与数轴综合（共5小题） 1.(25-26八年级下.四川绵阳阶段检测)已知实数a,b,c在数轴上对应点的位置如图所示，化简式子 (√-a)2+Vb+c)2的结果是<) a 0c A.-a-b-c B.a-b-c C.-a+b+c D.a+b+c 2.(25-26八年级下河北廊坊期中)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简√(a-1)2-V(b-1)2的 结果是() b01 A.-a+b-2 B.-a-b C.a-b D.a+b-2 3.(25-26八年级下.浙江金华.期中)实数a在数轴上的位置如图所示，化简：a-1-V(a-3)2=() 012 A.2a-4 B.2 C.-4 D.-1 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.（25-26八年级下.河南安阳期中)实数a,b在数轴上的位置如图所示，则 Vb-1)2-V(a-1)+(V6)2=() A.b-a B.-2a+b C.a D.2+a-b 5.（24-25八年级下山东日照阶段检测)已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简： Va2-a+bl+(c-a)2+b+cl=() b C A.-a B.-b C.b+c D.c-a 题型七已知字母的取值范围化简二次根式（共5小题） 1.(25-26八年级下河南许昌期中)已知2<a<8,则化简V(a-2)2-a-9引的结果是（) A.7 B.11-2a C.-11 D.2a-11 2.(24-25八年级下山东烟台期中)若a>1,化简√1-2a+a2的结果是（) A.a-1 B.-a-1 C.1-a D.a+1 3.(2026江苏南通模拟预测)如果a>0,号<0，则√(b-a-4)2-V(a-b+1)的值是() A.-3 B.3 C.2a+2b+3 D.-2a+2b-5 4.(25-26八年级下山东临沂期中)若6<m<9,则化简V(6-m)2+√(m-9)的结果是 5.(25-26八年级下广东广州期中)当1<a<2,代数式√(a-2)2+|1-a的值是 题型八二次根式中字母移动问题（共5小题） 1.(25-26八年级下湖北荆州期中)若把x√一是中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是() A.区 B.-x c.-区 D.--x 2.(25-26九年级下山东烟台期中)己知x<y,则化简二次根式√-xy的结果是() A.-x-xy B.-xVxy C.xV-xy D.xVxy 3.(25-26八年级下.安徽池州期中)己知a<0,则二次根式√a26化简后的结果为() 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.avb B.av-b C.-avb D.-av-b 4.(24-25八年级上陕西宝鸡阶段检测)化简二次根式aV一整的结果是() a2 A.V-a-2 B.-va-2 C.va-2 D.-Va-2 5.(25-26八年级下.全国课后作业)把my一m3化简得() A.m2-m B.m2m c.-mm D.-m2-m 题型九已知三角形的三边关系化简二次根式（共5小题） 1.2、5、m是某三角形三边的长，则m-3+V(m-7)2等于() A.2m-10B.10-2m C.10 D.4 2.(2025湖南长沙.一模)3、6、x是某三角形三边的长，则√x-2)2+(9-x)等于() A.2x-11B.11-2x C.7 D.-7 3.(24-25八年级下.湖北咸宁.月考)已知三角形三边为a,b,c,其中a,b两边满足 Va2-12a+36+Vb-8=0,那么这个三角形的最大边c的取值范围是() A.c>8 B.8≤c<14 C.6<c<8 D.2<c<14 4,(2025湖南娄底模拟预测)2,3，m是某三角形三边的长，则√(1-m)2+√(m-5)2等于（) A.2m-6 B.6-2m C.6 D.4 5.(25-26八年级下山东德州期中)己知4、5、m是某三角形三边的长，则计算 √(m-1)2-V(m-9)2的正确结果是() A.-8 B.8 C.2m-10 D.10-2m 题型十化简代数式求二次根式的值（共5小题） 1.(25-26八年级下甘肃定西期中)已知y=V4-x+V公-4+1，则层=一 2.(25-26八年级下.浙江宁波期中)若(3x+2y-19)2+12x+y-11=0,则Wx+y的值是 3.(25-26七年级下.北京期中)若√+b2+√一a=2,则b的值为 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26九年级下重庆阶段检测)若x满足V区+3=|2x-1,则(8x2-10x-5)3的值为 5.(24-25八年级上上海金山月考)如果 √r-m-m+π=0，那么√(3-m)2-Vm2= 题型土一最简二次根式的判定（共5小题） 1.(25-26八年级下广东珠海期中)下列二次根式中属于最简二次根式的是（) A.V2 B.V0.5 c.v D.8 2.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨.阶段检测)在下列式子中，属于最简二次根式的是() A.48 B.V厚 C.Va2+b2 D.厚 3.(25-26八年级下广东惠州期中)在二次根式5、V5、√20、V层、V0.4中，最简二次根式有 个 4.(25-26八年级下辽宁盘锦阶段检测)下列各式：①V5,②，③V5,④√0.5，⑤2+2中，最简 二次根式有 个 5.在Va2+b,45a,V28,,尽，V得中，最简二次根式的个数是 题型十二已知最简二次根式求参数（共5小题） 1.(24-25八年级下.全国.单元测试)若二次根式√7a+9是最简二次根式，则最小的正整数a为 2.(25-26八年级上湖南长沙.阶段检测)已知二次根式√23一a化成最简二次根式后与√2被开方数相同.若 a是正整数，则a的最小值为 3.如果两个最简二次根式√1+a与6a-4的被开方数相同，那么a= 4.(25-26八年级上江苏苏州月考)V27与最简二次根式马Vm+1是同类二次根式，则mn的平方根为 5.(24-25八年级下，广东惠州期中)若V2*-2和V33m-2+2都是最简二次根式，则m=,n= 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型土三二次根式的综合化简（共5小题） 1.已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c,化简VC2+4-4c-V?c2-4c+16 2.(25-26八年级下福建龙岩·期中)如图，在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对应的边分别为a、b、c B A (1)若a=5,b=13,c=12,求△ABC的面积： (2)若a=m-n,b=2Nmn,c=m+n(其中m、n都是正整数，且m>n),求证：△ABC是直角三 角形. 3.(2026重庆一模)先化简，再求值：(a-3)(a-1)-(a-2)2+等÷(a-1-品)，其中 a=(9)+（-3140 4.(25-26八年级下.陕西西安期中)已知等式ym-10+3y10-m=n-14成立，求Vm+n的值. 5.(25-26八年级下广东江门-期中)已知a,b为实数，且a,b满足Va-7+V7-a=b+1. (1)求a的值； (2)求a2-b2的平方根， 题型土四二次根式的性质综合探究问题（共5小题） 1.（25-26八年级下江西赣州期中)在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已 知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而 有的信息不太明显需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样 的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件. 【阅读理解】阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题， 化简：(-3x)2-1-x 解：隐含条件1一3x≥0解得：x≤青 1-x>0, 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 “原式=(1-3x)-(1-x) =1-3x-1+x =-2x 【启发应用】 (按上面的解法，试化简：Vx-3)严-（√2-x)3 【类比迁移】 (2)实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简V2+√(a-b)2-b-a: a 0方→ 3)已知a,b,c为△4BC的三边长，化简：V(a+b+c)2+V(a-b-c)+V(b-a-c)2 2.(25-26七年级下河南焦作期中)探究并解决问题。 (1)通过计算下列各式的值探究问题： 05=5:V02=0:V(得)2=号：V02=10:可得出对于非负有理数a,2= ②-5)=5：√（-号)2=：V-10=10:可得出对于负有理数a,V2= 综上：对于任意有理数a,√a2= (2)应用(1)中所得结论解决问题。 点M,N在数轴上的位置如图所示，点M表示的数为m,点N表示的数为n. 出1。的：方一 ①化简Va2+m--m+n2； ②若N点表示的数为y2,在数轴上还有C,D两点分别表示实数c和d,且2c+6与yd-4互为相反数.求 2c+3d+2n-2W2的平方根. 3.(25-26九年级下江苏盐城期中)知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、 推导新结论的重要思想工具.在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重 复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让 常规思路难以解决的问题找到简便方法 材料1：分解因式(x2+2x)(x2+2x+2)+1; 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解：将"x2+2x"看成一个整体，令x2+2x=y: 原式=yy+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)月 材料2：当a>0,b>0时，：a-2Vd+b=(a-2b+(⑤2=（点-V⑤2≥0， :a+b≥2yab.若ab为定值t,则a+b≥2WF,当且仅当a=b时，a+b有最小值2WF 如：若x>0,则x+是≥2Wx·京，·x+袁≥2，当且仅当x=是，即x=1时x+是取得最小值2. 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知a2+a=5,则代数式3a2+3a+1的值为 (2)因式分解：(x2+4x+3)(x2+4x+5)+1: 3)0若x>5,则x+的最小值为 x+2+9 ②若x≥0，+1的最小值为 (4)已知a>0,b>0,且a2b+5ab2=5a+b,求a+5b的最小值. 4.（25-26八年级下辽宁沈阳阶段检测)【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动， 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D.设AD=a,BD=b,CD=m, 图1 图2 (1)请完成下列填空。 小明说：可以用含a,b的代数式表示AC2+BC2,则AC2+BC2=(a+b)2, 小颖说：也可以用含a,b,m的代数式表示AC2+BC2,则AC2+BC2= 小芳说：由此可以用含a,b的代数式表示m,则m=一： 小亮说：可以用含a,b的代数式表示Rt△ABC的斜边上的中线的长为艺，则空与m的大小关系为 并进一步可以得到a十b与2√b的大小关系为 (温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半) (2)若Rt△ABC的面积为9，直接写出m的最大值. 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【迁移应用】 (3)如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积 为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6 个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 5.(2026八年级下广东江门专题练习)我们定义：一个整数能表示成a2+b2(a、b是整数)的形式，则 称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”.理由：因为5=22+12.所以5是“完美数”. 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成a2+b2(a、b是整数)的形式 (2)已知S=x2+9y2+4x-12y+k(x、y是整数，k是常数)，要使S为“完美数”，试求出符合条件的 一个k值，并说明理由， 【探究问题】 (3)已知a2+6ab+10b2+2b+1=0,求a-b的值： (4)已知实数x、y满足-x2+x+y-2=0,求5x-3y的最值. 【实际应用】 (5)已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b-2Wa-1-4Vb-2=3yc+3-c-8,求△ABC的 周长 题型士五二次根式的性质综合找规律问题（共5小题） 1.(25-26八年级下.安徽合肥期中)阅读下列解题过程： 第1个等式：V1×2×3×4+1=V(1×4)×(2×3)+1=V4×6+1=V25=5; 第2个等式：V2×3×4×5+1=V(2×5)×(3×4)+1=V10×12+1=V121=11: 第3个等式： V3×4×5×6+1=V(3×6)×(4×5)+1=V18×20+1=V361=19: … 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式y4×5×6×7+1= (2)利用上面的规律，则V2025×2026×2027×2028+1-20262= 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： (用含n的等式表示)，并证明， 2.(25-26八年级下.安徽合肥期中)观察下列等式： 第1个等式：V1-寻=， 第2个等式： 1-哥=， 第3个等式：、 -五=， (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式： (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并证明； (3)利用(2)中的规律计算： V(1-)×(1-哥)×(1-6)×…×(1-品). 3.(25-26八年级下山西大同期中)观察下列等式： +哥=， 1+票=， +系=， (利用你发现的规律，化简+是= (2)根据以上等式猜想第n个等式(n为正整数)，并写出来； (3)证明你猜想的第n个等式成立 4.(25-26八年级下.辽宁大连期中)【观察规律】 观察下列式子：V2=厚=呼=2眉，=厚==3， √4结=√雁=警=4凭， 【类比分析】 (1)按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 (2)用含n（n≥2，且n是正整数)的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 (3)按此规律， 若√a+要-aW (a,b为正整数)，求a十b的值. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5.(25-26八年级下山东烟台期中)【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它 的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.”小明在学习了二次根式后， 发现了一个有趣的数学现象：2写=2V脣，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以跑”到根号的外面， 我们不妨把这种现象称为穿墙.具有这现象的数还有许多，例如：=3√倡，V4号=4√等。 1)【猜想】V5亮：一，并验证： (2)【推理证明】分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正 确； 3)【创新应用】按此规律，若√a+号=aV停(a,b为正整数)，求a+b的值.