专题06 平面内的两条直线11大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦平面内两直线位置关系与平行线性质判定，以11大题型系统覆盖概念辨析、性质应用及判定推理，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |位置关系与平行公理|15题|概念辨析、多结论判断|从两直线位置关系基础概念到平行公理应用，构建逻辑起点| |角的识别与平移|19题|角的类型判断、平移性质计算|衔接三线八角识别与平移性质，为平行线学习铺垫| |平行线性质与判定|64题|性质应用计算、判定推理证明|按“性质（同位角/内错角/同旁内角）→判定→综合探究”递进，形成完整知识链|

专题06 平面内的两条直线11大题型归类 考点01 平面内两直线的位置关系 考点02 平行公理的应用 考点03 同位角、内错角、同旁内角 考点04 平移的性质及应用 考点05 两直线平行同位角相等 考点06 两直线平行内错角相等 考点07 两直线平行同旁内角互补 考点08 平行线的性质探究及应用 考点09 同位角相等两直线平行 考点10 内错角相等两直线平行 考点11 同旁内角互补两直线平行 考点01 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 2．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 4．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 5．同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 6．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 7．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 考点02平行公理的应用 8．下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 11．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 13．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 14．下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 15．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 16．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 17．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 考点03同位角、内错角、同旁内角 18．若与是同位角，，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．不确定 19．如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 20．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 21．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 23．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 24．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 25．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 26．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 考点04平移的性质及应用 27．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 28．如图所示，将三角形沿方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 29．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 30．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 31．如图，在梯形中，，，将梯形沿方向平移得到梯形，与相交于点E．若，，，则阴影部分的面积为______． 32．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 33．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为__________． 34．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 35．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 考点05两直线平行同位角相等 36．如图，直线，被直线所截，若，，则（   ） A． B． C． D． 37．如图，已知直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则（   ） A． B． C． D． 38．下列结论错误的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 39．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 40．如图，在三角形中，，，，．将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接，，． 给出下列结论：①，；  ②；③四边形的面积是6；④． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 41．阅读下列推理过程，在括号中填写理由． 已知：如图，点分别在线段上，交于点，平分．求证：平分． 证明：平分（已知）， （___________） （已知）， （___________） （等量代换） （已知） （___________），（___________） （___________） ∴平分（角平分线定义） 42．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 43．如图，已知为直线上的一点，交于点，交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点不在线段上时，探究与的数量关系； (3)根据以上探究过程，求的度数． 44．已知：如图1，直线与直线、分别相交于点、，且，，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处（），一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中，____________，线段与直线的位置关系是____________； (2)操作·分析 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系·拓展 若将图1中的三角板绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，当、、三点共线时，直接写出与的关系． 考点06两直线平行内错角相等 45．如图是一辆自行车的结构示意图，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 46．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 48．已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 49．完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 50．如图，将一块直角三角板，沿着所在的直线l向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线． 51．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 52．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 考点07两直线平行同旁内角互补 53．如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 54．如下图，，，则（     ） A． B． C． D． 55．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 56．如图，下列说法正确的是（     ） A．与互补 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与相等 57．如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 58．如图，，折线在，之间，依次形成，则的度数为（    ） A． B． C． D． 59．如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 60．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，写出与的关系，并证明． 61．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 62．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 63．【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程； （2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______． 【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 考点08平行线的性质探究及应用 64．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 65．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 66．如图①，有一个长方形纸条，，．如图②，将长方形沿折叠，与交于点，如图③，将四边形沿向上折叠，与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 67．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 68．如图，直线，点Q、N分别为直线上一点，点P、M为直线上方的点，连接，已知．若，则______． 69．如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 70．光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为________． 71．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则的度数为_____． 72．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 73．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 74．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 75．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 76．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 77．重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 78．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 79．如图1，这是东阳最具代表性的地标建筑《走向世界》，象征东阳人团结、奋进、开拓的精神．为了亮化雕像，如图2，设置了四条长度相同的彩灯带，且于点，雕像交汇处夹角 ，又在处各安装一盏可旋转的探照灯来回旋转，射出的光线近似看成射线，分别从同时开始按顺时针方向旋转，光线的旋转速度为每秒，光线的旋转速度为每秒，且满足 ． (1)求的值． (2)求光线开始旋转几秒时，第一次与平行？ (3)两盏探照灯同时从起始位置开始旋转，在光线第一次和重合的过程中，当与平行时，求旋转的时间． 80．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 考点09同位角相等两直线平行 81．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 82．填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 83．如图，，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 84．如图，直线与，分别相交于点，．已知，直线与平行吗？为什么？ 85．如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 86．如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 考点10内错角相等两直线平行 87．下列图形中，由，不能得到的是（   ） A．② B．①② C．②③ D．①②③ 88．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 89．如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 90．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 考点11同旁内角互补两直线平行 91．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 92．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 93．完成下面的证明过程． 如图，于点，于点，．求证：． 证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）． ． ______（同旁内角互补，两直线平行）． （已知）， （________________）． （________________）． 94．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 95．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 96．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 97．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 98．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面内的两条直线11大题型归类 考点01 平面内两直线的位置关系 考点02 平行公理的应用 考点03 同位角、内错角、同旁内角 考点04 平移的性质及应用 考点05 两直线平行同位角相等 考点06 两直线平行内错角相等 考点07 两直线平行同旁内角互补 考点08 平行线的性质探究及应用 考点09 同位角相等两直线平行 考点10 内错角相等两直线平行 考点11 同旁内角互补两直线平行 考点01 平面内两直线的位置关系 1．在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系可能是（   ） A．垂直或平行 B．平行或相交 C．平行、垂直或相交 D．垂直或相交 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条不重合直线的位置关系，需明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，根据基础定义即可判断选项． 【详解】解：在同一平面内，两条不重合的直线，若没有交点则为平行，若有一个交点则为相交， 又由于垂直是相交的特殊情况，不能作为单独的位置关系分类， 则同一平面内两条不重合的直线的位置关系只有平行或相交． 2．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 3．如图，直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是（   ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】B 【详解】解：如图， 直线l与点A、B、C、D、E在同一平面内，若过A点的直线，则N点可能是． 4．下列语句正确的有（    ） ①同一平面内不重合的两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线和已知直线平行； ③过两条直线，外一点，画直线，使，且； ④若直线，，则； ⑤同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：同一平面内不重合的两条直线，位置关系只有相交和平行两种，故①正确； 若给出的点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，只有过直线外一点才有且只有一条直线和已知直线平行，故②错误； 当与不平行时，不存在过点且满足，的直线，故③错误； 平行具有传递性，若直线，，则，故④正确； 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，故⑤正确； 综上，正确的语句共个， 故选：B． 5．同一平面内两条直线的位置关系有（   ） A．相交、垂直 B．相交、平行 C．垂直、平行 D．相交、垂直、平行 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，掌握基础概念，明确垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系即可求解． 【详解】解：∵ 同一平面内，不重合的两条直线只有相交和平行两种位置关系，垂直是相交的特殊情况，不单独作为一类位置关系． ∴ 只有选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意． 6．下列说法中正确的有（   ）个 ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】逐个判断五个说法的正误，统计正确说法的个数，用到对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、垂线性质等初中几何知识点． 【详解】解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则其补角为，余角为， ∵， ∴一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“在同一平面内”，非平面内过一点有无数条直线与已知直线垂直，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 7．在同一平面内有2026条直线，如果，，，，…，依此类推，那么与的位置关系是________． 【答案】 【分析】根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：与后续直线的位置关系以4为周期循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，，，，……， ∴，，，，，，，，……， ∴可推导出一般性规律，与后续直线的位置关系以4为周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 考点02平行公理的应用 8．下列说法：①不相交的两条直线一定互相平行；②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行；③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④平行于同一直线的两直线平行；⑤已知三点，过每两点画直线，一定可以画3条直线．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】结合平行线的基本概念、平行公理和直线的性质，逐一判断每个说法的正误，统计正确说法个数即可得到答案． 【详解】①不相交的两条直线一定平行，缺少“同一平面内”的前提，∴①错误； ②过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行，只有点在已知直线外才成立，点在已知直线上时无法画出，∴②错误； ③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行，点在已知直线上时不存在符合要求的直线，∴③错误； ④平行于同一直线的两直线平行，∴④正确； ⑤已知三点过每两点画直线，若三点共线只能画出1条直线，∴⑤错误； 综上，正确的说法只有1个，故选A． 9．下列说法中，正确的有（   ） ①若与相交，与相交，则与相交； ②若，，则； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及推论逐一判断每个说法即可得到结果． 【详解】解：①若与相交，与相交，则与可能相交，也可能平行，也可能异面，故①错误； ②根据平行公理的推论，若，，则，故②正确； ③过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，故③错误； ④在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行、相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，故④错误； 综上，正确的说法只有个． 10．下面语句中，正确的是（   ） ①不相交的两条直线叫做平行线； ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种； ③如果线段和线段不相交，那么直线和直线平行； ④如果，，那么． A．②和④ B．①和② C．②和③ D．①和④ 【答案】A 【分析】根据平行线的定义，同一平面内直线的位置关系，逐一判断每个语句即可． 【详解】解：①平行线的定义为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”，原语句缺少“同一平面内”的前提条件，故①错误． ②在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种，故②正确． ③线段不相交不代表延伸后的直线一定不相交，无法推出直线和直线平行，故③错误． ④，，根据平行公理的推论可得，，故④正确． 综上，正确的是②和④． 11．下列说法中错误的个数是（   ） （1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行    （2）不相交的两条直线叫做平行线 （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种    （4）相等的角是对顶角 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线和对顶角的相关概念，需根据初中数学教材中的定义和公理进行判断，即可 【详解】（1）过一点有且只有一条直线与已知直线平行：该说法错误，因为只有当点不在已知直线上时成立，若点在已知直线上，则无法作出平行线； （2）不相交的两条直线叫做平行线：该说法错误，因为缺少“在同一平面内”的条件； （3）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交、平行两种：该说法正确； （4）相等的角是对顶角：该说法错误，因为相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角； 错误的有（1）、（2）、（4），共3个， 故选C 12．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中错误的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、相交线等知识点，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键． 利用平行线的性质和判定，逐个判断得结论． 【详解】解： ①中与相交，与相交，但与可能平行（如两条平行线均与第三条直线相交），故 ①错误，符合题意； ②中，，根据平行线的传递性，有，故②正确，不符合题意； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，这是平行公理，故 ③正确，不符合题意； ④在同一平面内，两条直线位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，故④错误，符合题意； ∴ 错误的有①和④，共个． 故选：B． 13．有下列说法：①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交；②若，，则；③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．其中真命题有（   ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，平行公理及其推论，根据相关知识点逐一判断每个说法即可． 【详解】解：① 若与相交，与相交，与可能平行（如两条平行线都与第三条直线相交），因此①是假命题． ② ，，根据平行公理的推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，，因此②是真命题． ③ 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行公理，因此③是真命题． ④ 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系只有平行和相交两种，垂直是相交的特殊情况，不属于独立的位置关系，因此④是假命题． 综上，真命题共有2个，故选B． 14．下列说法中正确的个数有（　　） （1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线 （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条 （3）如果，，则 （4）两条不平行的射线，在同一平面内一定相交． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的定义、平行公理及推论，逐项判断即可，熟记平行线的定义、平行公理及推论是解题的关键． 【详解】解：∵（1）在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，是平行的定义，故正确； （2）经过直线外一点，能够画出一条直线与已知直线平行，并且只能画出一条，是平行公理，故正确； （3）如果，，则，是平行公理推论，故正确； （4）两条不平行的射线，在同一平面内也不一定相交，例如“在同一平面内，点在点的正北方向，点向正西方向作射线，点向正南方向作射线”，两射线不平行也不相交，故原说法错误． ∴正确的是（1）（2）（3）共3个， 故选：C． 15．在同一平面内有2023条直线，，，，……，如果，，，……，那么直线与的位置关系是________． 【答案】 垂直 【分析】本题考查垂线、平行线的规律问题，解题的关键是找出规律．根据垂直的定义和平行线的性质可得依次是垂直，垂直，平行，平行，4个一循环，依此可得，的位置关系． 【详解】解：∵在同一平面内有2023条直线，若，，，…… ∴与 依次是垂直，垂直，平行，平行，…， ∵， ∴与的位置关系是垂直． 故答案为：垂直． 16．在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，一个艺术字体的字母“M”如下图所示． (1)请找出三组平行线段，并用字母表示出来． (2)EF与有何位置关系？与HR有何位置关系？为什么？ 【答案】(1)，，（答案不唯一） (2)，，见解析 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行，平行公理推论，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （1）根据平行线的定义即可得到结论； （2）根据平行于同一直线的两直线平行即可得到结论． 【详解】（1）解：，，．（答案不唯一） （2），．理由如下： ，， ． ，， ． 17．如图，在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基本作图方法，此图．是书写的字母“”． (1)请从正面，上面，右面三个不同方向上各找出一组平行线段，并用字母表示出来； (2)与有何位置关系？与有何位置关系？为什么？ (3)图中所在的直线与所在的直线有公共点吗？若没有公共点，能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 【答案】(1)正面（答案不唯一） 上面（答案不唯一） 右面（答案不唯一） (2)    ，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题主要考查同一平面内两直线平行．能从复杂的图形中找出同向线段，就要求同学们练就一双慧眼，这与平时的努力是密不可分的，熟练掌握平行线的定义是解题的关键． （）正面、、、是平行的，、平行，、平行；上面相互平行，平行；右侧平行，平行；据此分别找出一组平行线即可； （）与都与平行，所以平行；′与′平行，′与垂直，因为它们不在同一平面内，所以是异面垂直． （）根据平行线的定义作答即可． 【详解】（1）解：正面、、、是平行的，、平行； ∴正面：（答案不唯一）， 上面：上面相互平行，平行； ∴； 右侧：平行，平行 ∴； 故答案为：正面：；上面：；右侧：；（答案不唯一） （2）解：∵，，，， ∴，（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； （3）解：图中所在的直线与所在的直线没有公共点，不能说明这两条直线平行，比如直线与直线也具有类似位置关系，这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时，应注意叙述平行线的概念时应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线． 考点03同位角、内错角、同旁内角 18．若与是同位角，，则的度数是（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】D 【详解】解：本题未给出两条被截直线平行的条件， ∴无法确定的度数． 19．如图，下列结论错误的是（   ） A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 【详解】解：A.与是同位角，该结论正确，故选项不符合题意； B.与是内错角，该结论正确，故选项不符合题意； C.与不是同位角，该结论错误，故选项符合题意； D.与是同旁内角，该结论正确，故选项不符合题意. 20．下面四个图形中的和，不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的角叫做同位角． 【详解】解：根据同位角的定义可知，只有选项C中的与不是同位角． 21．滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 22．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架构成了多种位置关系的角，有下列四种叙述：①和是同位角；②和是内错角；③和是同旁内角；④和是同位角．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，结合图形中角的位置关系进行逐一判断即可 【详解】① 和 是由水平直线截两条斜线所得，均在截线上方且在被截直线右侧（或同侧），符合同位角定义，故①正确； ② 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得， 在截线右侧、被截线之间， 在截线左侧，不在被截线之间，不符合内错角定义，故②错误； ③ 和 是由左下至右上的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截线之间，符合同旁内角定义，故③正确； ④ 和 是由左上至右下的斜线截上下两条水平线所得，均在截线右侧且在被截直线上方，符合同位角定义，故④正确． 综上所述，正确的是①③④． 23．如图，直线、同时与第三条直线相交，其中与在与之间，且同时位于两侧，我们称与为一组内错角，图1中有两组内错角（另一对为与）．如图2，5条直线围成一个五角星图案，那么图2中共有（　　）组内错角． A．20 B．30 C．60 D．120 【答案】C 【分析】本题考查了求内错角，将图2分为10种情况求出一种情况的组数是解题的关键． 任意三条直线相交，可知共有六组内错角，求出5条直线任取三条的情况数，即可求出总的组数，根据内错角需三条直线才得以成立可知不存在重复情况，即可作答． 【详解】如图，任意三条直线相交， 根据内错角的定义可知与、与、与、与、与、与是内错角共六组； 设5条直线分别为a、b、c、d、e，任取三条， 则共有共10种情况， 则共有（组） ∵内错角需三条直线才得以成立， ∴不存在重复情况， 例如将移走，则均不存在，即已知与、与、与、与、与、与六组内错角不存在． 故选：C 24．如图，，第1次，作相交、，则产生了4对同位角，第2次，作相交、、，则又产生了12组同位角，第3次，作相交、、、，则又产生了24组同位角，推测第6次又产生了（   ）对同位角． A．60 B．84 C．112 D．144 【答案】B 【分析】本题主要考查了同位角的概念和规律题，可先通过分析前几次作直线后产生同位角的数量，找出其规律，再根据规律计算第6次产生同位角的数量，即可求解． 【详解】解： 设作第n次直线后产生的同位角对数为， 第1次，作​​相交​​，此时有2条被截直线 ，1条截线​​，产生了对同位角； 第2次，作​​相交​​，此时有3条被截直线​​，1条截线​​，产生了对同位角； 第3次，作​​相交，此时有4条被截直线，1条截线​​，产生了对同位角； 以此类推，可得到规律：作第n次直线后，有条被截直线，1条截线，产生的同位角对数； 当时，代入上述规律公式可得：（对） 故选项为：B． 25．如图，有下列说法：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角；⑤与是同旁内角．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【详解】解：①与是对顶角，故原说法正确； ②与是同旁内角，故原说法正确； ③与是邻补角，不是内错角，故原说法错误； ④与是同位角，故原说法正确； ⑤与不是同旁内角，故原说法错误． 故正确的是①②④． 26．如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 考点04平移的性质及应用 27．如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 28．如图所示，将三角形沿方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对各选项进行判断即可； 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴对应点连线平行且相等，即，，故A，B选项正确，不符合题意； ∴对应线段相等，即，故D选项正确，不符合题意； ∴对应角相等，即，而是的对应角， ∴不一定成立，故C选项不正确，符合题意． 29．如图，在中，，，，，将沿方向平移得到，且与相交于点，连接，则阴影部分的周长为________． 【答案】24 【分析】先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长． 【详解】解：沿方向平移得到， ，， ， 阴影部分的周长为： ． 30．如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到三角形的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据平移的性质、梯形的面积公式计算是解决问题的关键． 【详解】解：由平移的性质知，，， ， 由平移可知，， ． 31．如图，在梯形中，，，将梯形沿方向平移得到梯形，与相交于点E．若，，，则阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 32．把周长相等的正方形甲和长方形乙分别按如图方式放置在周长为52的大长方形内(有重叠）．阴影部分①和②的周长之和为40，则正方形甲的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，由已知可得中间重叠部分长方形的周长为，由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长，即可得甲、乙的周长和为，进而得到甲的周长为，即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：∵大长方形的周长为52，阴影部分①和②的周长之和为40， ∴中间重叠部分长方形的周长为， 由平移可知，甲、乙的周长和等于长方形的周长加上中间重叠部分长方形的周长， ∴甲、乙的周长和为， ∵甲和乙的周长相等， ∴甲的周长为， ∴正方形甲的边长为， 故答案为：． 33．如图，在三角形ABC中，，垂足为D，．将三角形ABC沿射线BC的方向向右平移后，得到三角形，连接．若，，则三角形的面积为__________． 【答案】7 【分析】此题主要考查了图形的平移及性质，三角形的面积，准确识图，理解图形的平移及性质，熟练掌握三角形的面积公式是解决问题的关键． 由平移的性质可知，，再根据，，可求出的长度，然后再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【详解】解：由平移的性质可知，． ，， ∴， ∴三角形的面积为． 故答案为：． 34．在正方形的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，三角形摆放的位置如图所示，现将三角形平移，使点对应点，点对应点，点对应点． (1)画出平移后的三角形； (2)直接写出三角形的面积________． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）点A的对应点为点D，先向左移2格，再向上移1格，同理可得点E，F，连接即可； （2）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如（1）图，． 35．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去两条小路的面积，然后再加上两条路的重叠部分，进行计算即可求解． 【详解】解：耕地的面积为：． 考点05两直线平行同位角相等 36．如图，直线，被直线所截，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】，， ．． 37．如图，已知直线，直角三角板的直角顶点C在直线b上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得等于与直线的夹角，进而利用直角的定义即可求解． 【详解】解：如图， 设与直线的夹角为， 直线，， ， ， ． 38．下列结论错误的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平面几何的基本概念和性质，逐一判断各选项结论的正误，即可得到答案． 【详解】解：∵ 对顶角的性质为对顶角相等， ∴ 选项A结论正确，不符合要求； ∵ 根据平行线的传递性，平行于同一直线的两条直线互相平行，当时，可得， ∴ 选项B结论正确，不符合要求； ∵ 只有两直线平行时，同位角才相等，未给出两直线平行的前提，同位角不一定相等，原结论不成立， ∴ 选项C结论错误，符合要求； ∵ 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴ 选项D结论正确，不符合要求． 39．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸展性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉，某同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，再利用角的和差可得答案. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 40．如图，在三角形中，，，，．将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形，连接，，． 给出下列结论：①，；  ②；③四边形的面积是6；④． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平移得到，，，，根据平行线的性质可得，根据三角形的面积判断③即可． 【详解】解：∵将三角形沿直线向右平移2个单位长度得到三角形， ∴，，，， ∴①正确； 线段平移个单位长度到得到，与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴②正确； ∵， ∴四边形的高等于的高， 设的高为， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴， ∴四边形是面积为：， ∴③正确； ∵，， ∴， ∴④正确， 综上所述，正确的结论共4个． 41．阅读下列推理过程，在括号中填写理由． 已知：如图，点分别在线段上，交于点，平分．求证：平分． 证明：平分（已知）， （___________） （已知）， （___________） （等量代换） （已知） （___________），（___________） （___________） ∴平分（角平分线定义） 【答案】见详解 【分析】先结合角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，，，再进行角的等量代换，即可作答． 【详解】解：平分（已知）， （角平分线的定义） （已知）， （两直线平行，内错角相等） （等量代换） （已知） （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等） （等量代换） ∴平分（角平分线定义） 42．已知：如图，，． (1)求证：； (2)若平分，平分，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，即可证得结论； （2）由平行线的性质，结合角平分线的定义，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 43．如图，已知为直线上的一点，交于点，交于点． (1)当点在线段上时，求证：； (2)当点不在线段上时，探究与的数量关系； (3)根据以上探究过程，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）根据平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （3）根据题意分三种情况讨论，分别利用平行线的性质结合（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图，当点D在延长线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图，当点D在延长线上时， 同理可得，； （3）解：当点在线段上时， ∵ ∴ ∵ ∴ 由（1）得， ∴； 当点D在延长线上时， ∵ ∴ ∵ ∴ 由（2）得， ∴； 当点D在延长线上时，同理可得． 44．已知：如图1，直线与直线、分别相交于点、，且，，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处（），一边在直线上，另一边在直线的下方． (1)观察·思考 直接写出图1中，____________，线段与直线的位置关系是____________； (2)操作·分析 将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分； (3)联系·拓展 若将图1中的三角板绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，当、、三点共线时，直接写出与的关系． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的性质可得，结合可得；由可判定； （2）由角平分线的定义可得，则，结合可得，平分； （3）分两类讨论，当点在线段上时，则，由三角形的内角和定理可得，因此；当点在线段外时，易得，，由三角形内角和定理可得，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）解：①当点在线段上时，如图， 根据题意，， ∵、、共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②当点在线段外时，如图， ∵， ∴， ∵、、共线， ∴， ∵， ∴； 综上所述，或． 考点06两直线平行内错角相等 45．如图是一辆自行车的结构示意图，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：， ． 46．如图1为我国高铁座位的实物图，图2是将其抽象得到的图形．已知，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ， ． 47．折射现象指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线．若，则的度数为______ ． 【答案】/28度 【分析】由平行线性质得出的度数，由对顶角相等，可得出的度数，数形结合表示出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， ． 48．已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，仿照题干的解法作答即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 49．完成下面的推理：如图，点分别是三角形的边，，上的点，，，求证：． 证明：， ______（_________）， ______（________）， ． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【分析】利用平行线的性质证明即可求证． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （两直线平行，同位角相等）， ， 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 50．如图，将一块直角三角板，沿着所在的直线l向右平移了一段距离，点与点对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)过点作直线的平行线； (2)过点作直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作直线即可； （2）作直线交延长线于点H即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 由平移的性质得，； （2）解：如图，直线即为所求； 由平移的性质得， ∴ ∴． 51．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，得到，进而推出，即可得证； （2）结合（1），利用平行线的性质解答即可； （3）根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，． 52．已知直线，直线分别交于点． 【问题提出】 (1)如图①，点在直线之间，连接，过点作．若，，，则直线的位置关系是______； 【问题迁移】 (2)如图②，，平分交于点，平分交于点，平分交于点，若，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图③，，平分交于点，平分交于点，点在直线上，平分交于点，探究和之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出，可得，可证明，从而可证明； （2）求出，由可得，由平分平分，求出，再根据三角形外角的性质可得结论； （3）分类讨论，过拐点作平行线：过R作，过Q作，然后设参，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （3）解：设， 过R作，过Q作， 则，， 第一种情况：如图，当点Q在线段上时， 则，， 则， ∴，， ∴， ∴， ∴； 第二种情况：如图，当点Q在点E上方时， 此时， 则， ∴， ∵， ∴； 第三种情况：如图，当点Q在点F下方时， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 考点07两直线平行同旁内角互补 53．如图，，直线分别与、交于点、．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 54．如下图，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求两直线平行，同旁内角互补求出的度数，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴． 55．如图，一束光线先后经平面镜，反射后，按原来的方向返回（即），根据光的反射可知，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平角的定义求出，再由平行线的性质可得，最后再由平角的定义计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 56．如图，下列说法正确的是（     ） A．与互补 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与相等 【答案】C 【分析】根据平行线的性质、内错角的定义、邻补角的定义和对顶角的定义进行分析即可． 【详解】解：A.因为与不一定平行，所以同旁内角与不一定互补，故该选项不符合题意； B. 与是邻补角，不是对顶角，故该选项不符合题意； C. 与是内错角，故该选项符合题意； D. 因为与不一定平行，所以内错角与不一定相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 57．如图，直线，，则下列正确个数为（   ） ①；②；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据平行线的性质进行判断即可． 【详解】解：如图， ∵ ∴，，故①、③、④正确； ∵， ∴ ∴，故②正确； 故正确的有四个． 58．如图，，折线在，之间，依次形成，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，依次求出，之间形成3个角，4个角，5个角，…，时的度数之和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，当，之间形成3个角时，如图所示， 过点作的平行线， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即． 同理可得，，，…， ∴． 当时，． 59．如图，平行线被直线所截，，则___________°，___________° 【答案】 130 50 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据两直线平行同旁内角互补可得，即可求解． 【详解】解：由对顶角相等可得，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：130，50 60．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合下图，探索这两个角之间的关系，并说明理由． (1)如图①，，，求证：； (2)如图②，，，写出与的关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据“两直线平行，内错角相等”证明； （2）利用平行线的性质得到、，进而得到与的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 证明：， ， ， ， ． 61．如图，将三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)图中与长度相等的线段有_________； (2)若，求的长； (3)若，求的度数． 【答案】(1)、 (2)5 (3) 【分析】（1）根据平移的性质，找到的对应边即可； （2）根据平移的性质结合线段的和差关系进行求解即可； （3）根据平移的性质，得到，，利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴； （2）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴， ∵， ∴， （3）解：∵三角形沿射线的方向平移2个单位长度到三角形， ∴，， ∴ 62．某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，P是、之间的一点，连接、，试说明：； 请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作． ∵， ∴（____________）， ∵， ∴（____________）， ∴______， ∵， ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______； (3)如图3，，点P在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；； (2)82 (3)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与“猪蹄模型”的应用，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质推导角之间的数量关系． （1）通过作平行线，利用平行线的性质填写推理依据，推导角的和差关系； （2）过点作平行线，结合平行线的同旁内角互补求角的度数； （3）过点作平行线，利用平行线的内错角相等推导角的差的关系． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴ （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴ ， ∵ ， ∴ （等量代换）． 故答案依次为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；；． （2）解：过点作（点在点的右侧），如图 ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 过点P作（点H在点P的右侧）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 63．【问题提出】如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么数量关系？ 【问题探究】已知的两边和的两边分别平行． （1）同学甲画出如图1所示的图形，，，通过测量，猜想，你知道其中的原因是什么吗？请写出证明过程； （2）同学乙在探究中发现存在的情况，在图2中画出一个以点O为顶点且满足条件的，直接写出此时和的数量关系为_______； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角______或______． 【结论应用】已知的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是_______． 【答案】问题探究：（1）见解析；（2）；（3）相等，互补；结论应用：平行或垂直 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 问题探究：（1）由两直线平行，内错角相等得出，，从而即可得证； （2）由两直线平行，内错角相等得出，由两直线平行，同旁内角互补得出，从而即可得出结果； （3）根据（1）（2）即可得出结论； 结论应用：分两种情况，结合角平分线的定义，逐项计算即可得出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图：即为所求， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）归纳结论：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补； 结论应用：如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 如图，当时，为的角平分线，为的角平分线， ， 令与相交于点，作平分，令交于点， ∵为的角平分线，为的角平分线，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的两边分别与的两边平行，则和的角平分线所在直线的位置关系是平行或垂直． 考点08平行线的性质探究及应用 64．一名学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后行驶的方向与原来的方向相反，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】C 【分析】本题考查平行线的实际应用，两次拐弯后行驶方向与原方向相反，说明最终路线与原路线平行且方向相反，结合角度关系分析即可得到答案． 【详解】解：∵两次拐弯后行驶方向与原来方向相反，∴最终行驶路线与原路线平行，且方向相反． 选项A，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向相同，不符合题意； 选项B，第一次向右拐，第二次向左拐，最终方向与原方向不平行，不符合题意； 选项C，第一次向左拐，第二次向左拐，总拐弯角度和为，最终方向与原方向相反，符合题意； 选项D，第一次向左拐，第二次向右拐，最终方向与原方向不相反，不符合题意． 故选C． 65．我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，．若，则的度数为（   ） A．15° B．65° C．70° D．115° 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，最后根据即可求解． 【详解】解：，都与地面平行， ， ， ， ， ， ， ，即， ． 66．如图①，有一个长方形纸条，，．如图②，将长方形沿折叠，与交于点，如图③，将四边形沿向上折叠，与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得折叠对应的角相等，再根据平行线的性质和角之间的数量关系，计算即可求解． 【详解】解：长方形沿折叠，四边形沿向上折叠， 图①中的和图②中的对应，即，图③中的， 在图①中，，， ，，即， 在图②中，， ， 在图③中，， ， ， ， 即． 67．①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则．以上结论正确的是_____． 【答案】②③ 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出． 【详解】解：①过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，故本小题错误； ②过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； ③过点E作直线， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故本小题正确； 综上，正确的答案为②③． 68．如图，直线，点Q、N分别为直线上一点，点P、M为直线上方的点，连接，已知．若，则______． 【答案】/度 【分析】设，求出，，根据三角形外角的性质即可求出答案． 【详解】解：如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴． 69．如图①是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，抽象成如图②所示的几何图形，已知，若，，则的度数为___________． 【答案】/140度 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质得，，进而即可求解． 【详解】解：如图，过点P作， ， ， ，， ，， ，， ． 70．光的逆向反射又称再归反射，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜．夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回，其原理如图所示，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由光的反射定律得，，由平角定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到 的度数． 【详解】解：如图，由光的反射定律得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 71．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的传递性与性质，分别求出与已知角相关的内错角和同旁内角，再通过角度差计算出所求角的度数，体现了平行线性质在折线型问题中的 “辅助线构造法”． 【详解】过点作， ， ， ， 又 ， ， ． 72．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是_______度． 【答案】 137 【分析】 根据题意得出 ，，利用平行线的性质分别求出 和 的度数，进而求和． 【详解】解：由题意可知， ，． ， ． ， ． ， ． . ， ． ． 73．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： (1)如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； (2)由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； (3)应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】(1)； (2)这两个角相等或互补 (3)，或， 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （3）解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 74．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：∵（已知）， ∴（________________________）， 又∵（已知）， ∴______（等量代换）， 又∵（已知）， ∴（__________________）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（________________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】根据平行线的性质及同角的补角相等补全证明过程即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴ （等量代换）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴（等量代换）， 又∵（平角的定义）， ∴（同角的补角相等）． 75．综合与实践 问题情境：在项目化学习活动中，七年级某班以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景，开展“提出问题—解决问题”的学习活动，请你参与活动，解决以下问题． 已知在直角三角尺ABC中，． 初步探究： (1)将两个直角三角尺按如图1所示的方式放置，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，，则 度； (2)如图2，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，若，求的度数． 深入探究： (3)如图3，直线，三角尺的顶点在直线上，顶点在直线上，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，即可获得答案； （2）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得，结合，，即可获得答案； （3）延长到点，根据“两直线平行，同位角相等”可得，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，延长到点， ∵， ∴， ∵， ∴． 76．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过M作，则，根据平行线的性质得出，，结合即可得证； （2）过M作，过N作，根据平行线的判定与性质得出，，，结合，得出，根据，，得出，即可求解； （3）设，，根据平行线的性质得出，，过M作，过N作，过G作，根据平行线的判定与性质得出，，，，，，，，，则，，解方程组即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）解：， 理由：如图，过M作，过N作 ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵线段平分．交直线于点，的平分线交于点， ∴，， 如图，过M作，过N作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 77．重庆两江灯光秀是传统文化与现代科技融合的一场视觉盛宴，若河两岸，桥垂直于河两岸，如图1，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，河岸上点，点．为了强化灯光效果，在桥头、安置了可旋转探照灯．已知灯从开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为，灯从射线开始顺时针旋转，速度为度/秒，旋转至后开始回转，回转的速度为度/秒，光线记为．两灯同时开始旋转，且满足． (1)________，________． (2)如图1，连接，将线段平移到线段（点的对应点为），点在轴上，且，求的坐标． (3)如图2，点是河道中一航标灯，点是线段延长线上一点，连接、．和的角平分线交于点，和的角平分线交于轴上点，，．在点处设置一个可旋转的探照灯，当桥头、灯开始旋转时，点处的探照灯从开始绕以度/秒顺时针旋转，光线记为，当到达时，所有运动均停止．时间为何值时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或秒 【分析】（1）利用非负数的性质解答即可； （2）根据 ，得出，进而得出 ，则或，进而求得或； （3）分别过点作，根据角平分线的定义以及平行线的性质，，则，设，进而根据得出，即①，，得出②，解方程组得出，得出，进而分三种情况讨论，根据平行线的性质列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：连接， ∵ ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， 解得 ， ∵， ∴或， ∵， ∴或； （3）解：如图，分别过点作 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 设 ∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，即① ∵平分 ∴，则 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴② 联立①②得 解得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 已知灯从开始顺时针旋转，速度为3度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为2度/秒，则，， 灯从射线开始顺时针旋转，速度为2度/秒，，旋转至后开始回转，回转的速度为3度/秒，则， 当时，如图 ∴当时，，解得：（舍去） 当时，，无解 当时，，解得：（舍去） ∴不存在的情形， 当时，如图，设交于点 当 ∴ ∴ 解得：（舍去） 当从返回时， 则 解得： 当时，如图，设直线，交于点，过点作 ∴， 当时， ∴ 解得：（舍去） 当时， 解得： 综上所述，时间或时，射线所在直线，射线所在直线，射线所在直线能围成直角三角形． 78．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移：（Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析；（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结（Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 79．如图1，这是东阳最具代表性的地标建筑《走向世界》，象征东阳人团结、奋进、开拓的精神．为了亮化雕像，如图2，设置了四条长度相同的彩灯带，且于点，雕像交汇处夹角 ，又在处各安装一盏可旋转的探照灯来回旋转，射出的光线近似看成射线，分别从同时开始按顺时针方向旋转，光线的旋转速度为每秒，光线的旋转速度为每秒，且满足 ． (1)求的值． (2)求光线开始旋转几秒时，第一次与平行？ (3)两盏探照灯同时从起始位置开始旋转，在光线第一次和重合的过程中，当与平行时，求旋转的时间． 【答案】(1)， (2)5秒 (3)旋转时间为15秒或60秒 【分析】（1）非负性求出的值即可； （2）作，根据平行线的性质，求出的度数，即可得出结果； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 由（1）知：， ∴； 故光线开始旋转5秒时，第一次与平行； （3）解：当光线第一次和重合时，所需时间为（秒）； ∴光线共旋转， 当与第一次平行时，如图：作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 当与第二次平行时，如图，作， 则，，， ∴， ∴， ∴； 此时回到原位置，如图： 综上：当与平行时，旋转时间为15秒或60秒． 80．在学习完《平行线的证明》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，杨老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关，如图，从点O照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与平行的方向射出．图中如果，，请求出和的度数； (2)一种路灯的示意图如图②所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，请直接写出与所成锐角的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）直接根据平行线的性质求解即可； （2）如图：过E点作，易得，则，进而得到，最后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴，， ∴， （2）解：由题意可得：，， 如图：过E点作， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即与所成锐角的度数． 考点09同位角相等两直线平行 81．如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 82．填空，完成下列证明过程，并在括号中注明理由． 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：∵平分，平分（已知）， ∴ ， （ ）． 又∵（已知）， ∴ ． 又∵（已知）， ∴ ， ∴（ ）． 【答案】；；角平分线的定义；；；；同位角相等，两直线平行． 【分析】根据平行线的判定定理及已知条件逐步推导论证即可． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 又（已知）， ． （已知）， ， （同位角相等，两直线平行）． 83．如图，，点E，F在直线上，点G在直线上，与交于点H，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质可得，继而可得，从而可得结论； （2）由结合已知可得；再由两直线平行，同旁内角互补可得，结合已知即可求得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴， 又， ∴， ∴． 84．如图，直线与，分别相交于点，．已知，直线与平行吗？为什么？ 【答案】直线与平行，理由见解析 【分析】根据平行线的判定方法，进行解答即可． 【详解】解：直线与平行． 理由：因为，， 所以， 所以． 85．如图，直线分别与直线、相交于点，平分，平分，，试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】先由角平分线定义及已知条件得到，再等量代换得到同位角相等即可说明． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ， ， ， ． 86．如图，直线分别交直线，于点G，H，且．点M，N，P，Q分别在射线上，连接并延长交于点K． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)如备用图，在（2）的条件下，连接，过点K作交于点S，交于点T，若，，，求的度数．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行即可证明； （2）作，利用平行线的性质结合对顶角相等即可求解； （3）作，，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）解：作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴； （3）解：作，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点10内错角相等两直线平行 87．下列图形中，由，不能得到的是（   ） A．② B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据平行线的判定方法，逐个判断即可． 【详解】解：①根据“三线八角模型” 既不是同位角也不是内错角，得不到； ②根据“三线八角模型”，是，两条直线被所截得到的内错角，得到，得不到； ③根据“三线八角模型” 既不是同位角也不是内错角，得不到； ④根据“三线八角模型”，是，两条直线被所截得到的内错角，得到； 故符合题意的为①②③，D选项符合． 88．如图，直线、交于点平分，且 (1)求的度数； (2)若平分，且，试说明的理由． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质以及角度的比例求解即可； （2）由角平分线的性质可得角度的关系，再根据内错角相等，即可证明平行． 【详解】（1）解：平分， ， ， ． ． ． （2）解：平分平分， ． ， ， ． ． ． 89．如图，，，分别是，的平分线，，试探究与的位置关系并说明理由．请完善下列解题过程． 解：与的位置关系是______， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴______，______（______）， ∵（已知）， ∴______， 又∵（已知）， ∴（______）， ∴______（______）． 【答案】；；；角平分线定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 【分析】根据角平分线定义，平行线的判定即可求解． 【详解】解：与的位置关系是， ∵，分别是，的平分线（已知）， ∴，（角平分线定义）， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴，（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；；角平分线定义；；等量代换；；内错角相等，两直线平行． 90．如图，已知，分别是射线，上的点．连接，平分，平分，． (1)试说明； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行，即可证明； （2）由（1）知，再求得，利用平角的性质列式计算求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， 解得， ∴． 考点11同旁内角互补两直线平行 91．如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意；   若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 92．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A、∵，符合内错角相等，两直线平行，∴，不符合题意． B、∵，不能判定，符合题意； C、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． D、∵，符合同旁内角互补，两直线平行，∴，不符合题意． 93．完成下面的证明过程． 如图，于点，于点，．求证：． 证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）． ． ______（同旁内角互补，两直线平行）． （已知）， （________________）． （________________）． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据垂直的定义得到，，得到，推出，,于是得到结论． 【详解】证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）． ． （同旁内角互补，两直线平行）． （已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 94．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 95．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 96．如图，点F在上，交于G，交于E，，，．完成下面的证明，括号内填根据． 证明：（已知）， ．（等式性质1）， 又（已知）， ________（__________________）， （______________）， （已知）， __________________（______________）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 【答案】证明过程见解析 【分析】根据平行线的判定与性质补全证明过程即可． 【详解】证明：（已知）． （等式性质1）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 97．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师让同学们准备一副三角板进行“玩转三角板”的探究活动．如图1，将两个三角板叠放在一起，使直角顶点A重合，其中，，，然后三角板不动，三角板绕点A旋转． 【操作探究】 (1)如图1，若，判断线段与的位置关系，并说明理由； (2)当三角板绕A转到图2的位置时，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)在三角板绕点A旋转的过程中，当为多少度时，？请直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的判定方法进行判断即可； （2）过点A作，根据平行线的性质得出则，，最后求出结果即可； （3）分两种情况：当在上方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当在上方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴； 当在下方时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 98．学习平行线判定后，我们以“过直线外一点作已知直线平行线”为主题开展探究． (1)方法一：用尺规作图的方法画平行线 ①甲同学画法：过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． ②乙同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：________． (2)方法二：用折纸的方法画平行线 ①如图1，甲在纸上画直线，在外取一点P．过点P折叠纸片，使点C对应点落在直线上（如图2），记折痕与交点为A，将纸片展开铺平；再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时就是的平行线．请写出过程予以证明； ②拓展延伸：乙同学在甲同学折纸基础上补充了条件：在折痕上任取一点M，连接、．若记为，为，为，请探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行 (2)①见解析；②或或．见解析 【分析】（1）①根据折叠的性质结合平行线的判定定理求解即可； ②先证得，，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可； （2）分三种情况讨论，过点作，根据平行线的性质，得到，，即可求解． 【详解】（1）解：①甲同学画法，依据是：同位角相等，两直线平行； ②乙同学画法，依据是：内错角相等，两直线平行； （2）①证明：由题意可知，点、、、共线， ， 由折叠的性质可知，， ，即， 同理可得，， ， ； ②解：当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ； 当点在线段上时，， 如图，过点作， ， ， ， ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $