专题04 实数11大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 以11大题型系统整合实数核心考点，通过性质探究、估算技巧等方法提炼，构建从概念到综合应用的递进逻辑，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平方根/算术平方根|选择/填空/解答|定义辨析、非负性应用|从概念辨析到性质应用，构建数的开方逻辑链| |无理数及估算|选择/解答|反证法证明无理数、平方差公式估算|结合数轴与表格数据，强化数感与几何直观| |实数运算与新定义|解答题|混合运算规则、新运算迁移|从基础运算到创新应用，提升推理意识与应用能力|

专题04 实数11大题型归类 考点01 求一个数的平方根 考点02 求一个数的算术平方根 考点03 利用算术平方根的非负性解题 考点04 无理数 考点05 无理数的大小估算 考点06 已知一个数的平方根求这个数 考点07 利用平方根解方程 考点08 立方根的概念及应用 考点09 实数与数轴 考点10 实数的混合运算 考点11 新定义下的实数运算 考点01 求一个数的平方根 1．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 2．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 3．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 4．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．4的平方根是____． 7．16的平方根是________． 8．4的平方根是________；的算术平方根是________． 9．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 考点02求一个数的算术平方根 10．下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 11．根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 13．14的算术平方根是______． 14．已知是9的算术平方根，则的值为____． 15．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 16．若，，则___________． 17．某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 18．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 19．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 考点03利用算术平方根的非负性解题 20．若，则的值为（   ） A．－1 B．1 C．0 D．22025 21．已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 22．若实数x，y满足，则____． 23．已知实数，满足 ，则 __________． 24．若m、n满足，则的值是______． 25．若实数，同时满足，，则的值是___________． 26．若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 27．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 考点04无理数 28．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 29．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 30．已知a是无理数，b也是无理数，有以下3个结论：①a的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 31．已知边长为b的正方形面积为18，则下列关于b的说法中，正确的是（   ） ①b是无理数；②18的平方根是b；③b满足不等式组；④下图中的点B表示的数为． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 32．下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 33．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是_____． 34．如图是一个正方体展开图，若正方体相对两面的代数式的值相等； (1)求、、的值； (2)判断：是________．（填有理数或无理数） 35．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 考点05无理数的大小估算 36．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 37．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 38．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 39．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 40．计算：______． 41．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 42．小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 考点06已知一个数的平方根求这个数 43．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 44．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 45．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 46．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 47．一个正数的平方根是与，则这个正数是多少？ 48．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 49．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 50．已知和是某正数的两个不同的平方根，的算术平方根是4，求的平方根． 51．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 52．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 考点07利用平方根解方程 53．已知整式，其中为正整数，，，…，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 54．解方程： (1)； (2)． 55．求下式中的的值：． 56．求该式子中x的值． 57．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 考点08立方根的概念及应用 58．9的平方根是________，的立方根是________． 59.观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 60．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 61．若与互为相反数，则的值为______． 62．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 63．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 64．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． 65．解方程 (1) (2) 66．已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 考点09实数与数轴 67．如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 68．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 69．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 70．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 71．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 72．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 73．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 74．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 75．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 考点10实数的混合运算 76．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 77．若是实数，且，，那么的值是____． 78．计算：． 79．计算：． 80．计算∶ (1) (2)． 81．计算： (1)计算：； (2)求x的值：． 82．计算：． 83．计算： 考点11新定义下的实数运算 84．对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 85．规定一种新运算：对于任意有理数，，定义 ． (1)计算：_________， _________． 判断：__________（填 “”或“”或“”） (2)对于任意有理数，，， 成立吗？请说明理由． (3)已知，且，都是正整数，求所有可能的，的值． 86．有理数和无理数统称为实数，我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”． (1)若为“美丽实数对”，则a，b应满足的等量关系为________； (2)若点是“美丽实数对”，求k的值； (3)若点是“美丽实数对”，求的值． 87．当m，n都是实数，且满足时，称数对为巧妙数对． (1)若数对是巧妙数对，求m的值． (2)已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解组成的数对是巧妙数对． 88．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 89．我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 90．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 实数11大题型归类 考点01 求一个数的平方根 考点02 求一个数的算术平方根 考点03 利用算术平方根的非负性解题 考点04 无理数 考点05 无理数的大小估算 考点06 已知一个数的平方根求这个数 考点07 利用平方根解方程 考点08 立方根的概念及应用 考点09 实数与数轴 考点10 实数的混合运算 考点11 新定义下的实数运算 考点01 求一个数的平方根 1．下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．一定没有平方根 C．非负数的平方根是非负数 D．因为负数没有平方根，所以平方根不可能为负 【答案】A 【分析】本题考查平方根的定义与性质，根据平方根的概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：先明确平方根的基本性质：正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． ∵ 对选项A：，且， ∴ 的平方根是，A正确． ∵ 对选项B：当时，，0有平方根为0， ∴ B错误． ∵ 对选项C：正数的平方根一正一负，例如的平方根包含，是负数， ∴ C错误． ∵ 对选项D：正数的平方根有一个负数，例如的平方根是负数， ∴ D错误． 综上，正确答案为A． 2．已知，则的平方根是（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】A 【分析】先根据非负数的性质求出，，再代入求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∵25的平方根为， ∴的平方根是，故A正确． 3．如果四个有理数之和的平方是，其中三个数是，则第四个数是（    ） A．11 B．7 C．11或7 D．或 【答案】C 【分析】通过设未知数，利用平方根的定义分情况列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设第四个数为， ∵ 四个有理数之和的平方是， ∴ 四个有理数之和为或， ① 当四个数之和为时，，解得； ② 当四个数之和为时，，解得； ∴ 第四个数是11或7． 4．若，，则等于（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的运算以及代数式求值，熟练掌握幂的运算法则和开方运算求未知数的值是解题的关键．先分别求解和的值，再将其代入代数式计算． 【详解】解：∵，， ∴或． ∵，， ∴． 当，时， ， 当，时， ， 故选：． 6．4的平方根是____． 【答案】 【详解】解： 因为， 所以的平方根是． 7．16的平方根是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴的平方根是. 8．4的平方根是________；的算术平方根是________． 【答案】 2 【详解】解：计算的平方根，得； 先化简，得，再计算的算术平方根，得． 9．一个正数的平方根分别是和，则的值是________． 【答案】49 【分析】本题考查了平方根的性质，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据正数的两个平方根互为相反数，列出方程求出的值，再代入求． 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴ ， 整理得：， 解得：， 当 时， ，， ∴ ， 故答案为：． 考点02求一个数的算术平方根 10．下列各式中，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，A错误． 选项B，，B错误． 选项C，表示的算术平方根，结果为非负数，，C错误． 选项D，，，D正确． 11．根据表中的信息判断，下列结论中，错误的个数是（    ） x 15 15.1 15.2 15.3 225 228.01 231.04 234.09 x 15.4 15.5 15.6 15.7 237.16 240.25 243.36 246.49 ①；②235的算术平方根比15.3小；③；④根据表中数据的变化趋势，可以推断出比增大3.25． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的计算与表格数据的分析，掌握算术平方根的定义及平方差公式的应用是解题的关键 依次对四个结论进行判断，结合表格中与的对应关系，利用算术平方根的定义、平方数大小比较及平方差公式推导，统计错误结论的个数，从而确定答案． 【详解】解：① ∵表格中当时，，∴ 正确； ②∵，∴，故错误； ③∵，∴，故错误； ④，故错误； 综上所述，错误结论有②、③、④，共3个． 故选：C． 13．14的算术平方根是______． 【答案】 【详解】解：14的算术平方根是． 14．已知是9的算术平方根，则的值为____． 【答案】 3 【详解】解：∵ 9的算术平方根为3， ∴ 由题意得， 解得． 15．如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 16．若，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 17．某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 18．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间t s和下落高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从20m的高空落到地面的时间； (2)小明说物体从80m的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，他的说法正确吗？请说明理由 (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：J）＝10×物体质量（kg）×高度（m）．一个质量为的鸡蛋经过落到地面，这个鸡蛋在下落过程中产生的能量有多大？你能得到什么启示？（注：伤害无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)2s (2)正确，理由见解析 (3)90J，启示：严禁高空抛物． 【分析】(1) 本题考查算术平方根的实际应用，直接将代入公式计算即可． (2) 通过计算时的下落时间，与(1)中结果比较即可判断． (3) 先由求出下落高度，再代入能量公式计算． 【详解】（1）解：当时， ， 物体从20m高空落到地面的时间为s． （2）解：小明的说法正确， 理由：当时， ， ， 从80m高空落到地面的时间是(1)中所求时间的2倍． （3）解：当时，， ， ， 能量， 这个鸡蛋在下落过程中产生的能量为， ， 足以伤害无防护人体， 启示：严禁高空抛物． 19．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“优美数组”．例如：这三个数，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数是“优美数组”． (1)这三个数是“优美数组”吗？请说明理由； (2)若三个数是“优美数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值； (3)若三个数是“优美数组”，将所有满足条件的的取值按从大到小的顺序排列，第1个取值记为，第2个取值记为，以此类推．求的第个取值的表达式（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是“优美数组”，理由见解析 (2) (3)，为正整数 【分析】（1）根据“优美数组”的定义进行求解判断即可； （2）分，两种情况分别求出m的值，再根据“优美数组”的定义进行判断即可． （3）令（为正整数，且），为整数，设，则（为偶数），令（t为正整数），则，此时也为整数，故，再枚举，找出规律即可． 【详解】（1）解：，，这三个数是“优美数组”，理由如下： ∵，，，且4，6，12都是整数， ∴，，这三个数是“优美数组”； （2）解：∵其中有两个数乘积的算术平方根为12， ∴这两个数的乘积为144， 当时，则， ∵， ∴，此时符合题意； 当时，则不符合题意； 综上所述，； （3）解：∵三个数是“优美数组”， ∴是负整数，且， ∵是整数， ∴只需是整数即可， 令（为正整数，且） 则， ∵为整数，设，则（为偶数）， 令（t为正整数），则， 此时也为整数， ∴（排除，此时；排出，此时）， ∴时，； 时，； 时，； 以此类推，，为正整数． 考点03利用算术平方根的非负性解题 20．若，则的值为（   ） A．－1 B．1 C．0 D．22025 【答案】D 【分析】算术平方根和绝对值都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数的值都为0，据此求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴，， 即，， 解得，， 将，代入， 得：． 21．已知a，b，c都是实数，且满足，则的值是（    ）． A．4 B．0 C．6 D．-6 【答案】A 【分析】本题利用非负数的性质求解，初中阶段常见的非负数有平方、绝对值、算术平方根，若几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，据此分别求出，，的值，再计算它们的和即可． 【详解】 ， ， ，且， 每个非负数都为0，可得： ，解得， ，解得， ，解得， ． 22．若实数x，y满足，则____． 【答案】 【分析】根据非负数的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23．已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 24．若m、n满足，则的值是______． 【答案】4 【分析】根据平方数与算术平方根的非负性求出、的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，且， 又， ∴， 解得：， ∴． 25．若实数，同时满足，，则的值是___________． 【答案】 【分析】先求出，从而可得，再结合得出或，由①②可得，解得，此时，由①③可得，此方程组无解；从而即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 由①②可得，解得，此时， 由①③可得，此方程组无解； 综上所述，的值是． 26．若x、y、z、m满足： ，则的值为______． 【答案】11 【分析】根据，得到，进而得到，列方程组，计算得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ①②得， 由③得，代入得 ， ∴， 将代入②，得， 整理得， 将④代入⑤得， 解得， ∴ 27．若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 考点04无理数 28．已知是无理数，也是无理数，有以下个结论：①的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义和运算法则判断即可． 【详解】解： 若a是无理数，假设是有理数，则也为有理数，与是无理数矛盾，的相反数一定是无理数，故①正确； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ②错误； 举反例：取，，二者均为无理数，，是有理数，故 ③错误； 综上，正确的结论只有个． 29．下列实数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称”，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 30．已知a是无理数，b也是无理数，有以下3个结论：①a的相反数一定是无理数；②一定是无理数；③一定是无理数．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义逐一判断三个结论的正误，统计正确结论个数即可得到答案． 【详解】解：判断结论① ∵无理数是无限不循环小数，仅改变符号后仍然是无限不循环小数 ∴a为无理数时，a的相反数一定是无理数，故①正确． 判断结论② 令，，和均为无理数，而，是有理数，故②错误． 判断结论③ 令，，和均为无理数，而，是有理数，故③错误． 综上，只有1个正确结论． 31．已知边长为b的正方形面积为18，则下列关于b的说法中，正确的是（   ） ①b是无理数；②18的平方根是b；③b满足不等式组；④下图中的点B表示的数为． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意求出，然后再逐项进行判断即可． 【详解】解：∵边长为b的正方形面积为18， ∴， ∴，负值舍去， ∵是无理数， ∴b是无理数，故①正确； ∵的平方根是，， ∴18的平方根不是b，故②错误； ∵， ∴， ∴b满足不等式组，故③正确； 根据题意可得：点B表示的数为：， ∵， ∴点B表示的数为，故④正确； 综上，正确的有①③④． 32．下列数，，，0.021021021…中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判断选项．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开不尽方的数；以及像0.101001000100001…等有这样规律的数． 【详解】解：是分数，属于有理数，故不符合题意； 是无理数，符合题意， 是分数，属于有理数，故不符合题意； 0.021021021…是无限循环小数，属于有理数，故不符合题意； 综上所述，无理数有，共  个． 33．有人在数轴上按照如图所示的方法“画出”了 按照这个方法继续画下去，画出的第2026个无理数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了无理数，由于有理数仅出现在被开方数为完全平方数的项，通过计算前2025个数中有理数的个数为45个，可得第2026个无理数对应的被开方数． 【详解】解：， 当（为正整数）时，为有理数， ，，，， 第个无理数是，第个无理数是． 故答案为：． 34．如图是一个正方体展开图，若正方体相对两面的代数式的值相等； (1)求、、的值； (2)判断：是________．（填有理数或无理数） 【答案】(1) (2)无理数 【分析】（1）根据正方体相对两面的代数式的值相等可列出方程组，然后求解即可解答． （2）根据（1）的结果，代入并化简，然后判断即可． 【详解】（1）解：∵正方体相对两面的代数式的值相等， ∴，解得：． （2）解：将代入可得： 是无理数． 35．小红：如图是课本第71页的部分内容，你理解这部分内容吗？能用类比的方法说明是无理数吗？ 小明：好的． 求证：是无理数． 证明是无理数我们可以用反证法证明是无理数： 假设不是无理数，那么是有理数．有理数都可以写成分数形式（m，n是整数，），所以可以写成（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），即． 根据平方根的意义，，即，． 由于上式左边是偶数，所以右边也是偶数，从而可知m是偶数． 设（p是正整数）， 把代入，得，即． 因此n也是偶数． 于是，m，n都是2的倍数，这与m，n没有大于1的公约数相矛盾． 因此假设不成立，不是有理数，它是无理数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用反证法说明是无理数，假设不是无理数，那么是有理数，设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数），证明m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾，故不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1），即可得证． 【详解】证明：假设不是无理数，那么是有理数． 设（m，n是正整数，且没有大于1的公约数）， 根据平方根的意义：，即． ∴． 由上式右边是3的倍数， ∴是3的倍数，分解质因数时必有质因数3， ∴m一定有质因数3（或m是3的倍数）． 设（p为正整数）， ∴． ∴． ∴． ∴是3的倍数． ∴n是3的倍数． 这样m，n都是3的倍数，与m，n没有大于1的公约数矛盾． ∴不可能写成的形式（m，n是正整数，且最大公约数是1）． ∴是无理数． 考点05无理数的大小估算 36．估计的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴． 37．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，利用被开方数越大，对应的算术平方根越大的性质，先确定的取值范围，再推导的取值范围． 【详解】解：， ， 即， 不等式三边同时减1得. ， 即． 38．观察下面表格，结论不正确的是（     ） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】C 【详解】解：A、 由表格可得，2.1的平方为4.41，结论正确； B 、由表格得， ∵， ∴，结论正确； C 、∵， ∴的平方根是，原结论错误； D、 观察表格可知，当时，随着x增大，的值也增大，结论正确． 39．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 40．计算：______． 【答案】/ 【分析】先判断绝对值内的正负性，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据正数的绝对值等于它本身，可得． 41．【阅读理解】 同学们，我们来学习用平方差公式：近似计算算术平方根的方法． 例如求的近似值． 因为，所以． 则有以下两种估算方式： 方式一： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 方式二： 因为， 所以， 即， 得， 故 ． 【比较分析】 (1)你认为用哪一种方式得出的的近似值精确度更高，请说明理由． 【迁移应用】 (2)请选择其中一种方式估算的近似值（结果保留2位小数）． 【答案】(1) 方式一得出的近似值精确度更高 (2) 选择方式一：，选择方式二： 【分析】（1）比较与6、7的距离，再判断估算方法的误差大小，由此即可求解； （2）先确定的取值范围，再根据材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴更接近6， ∴在方式一中用6代替所产生的误差更小， ∴方式一得出的近似值精确度更高； （2）解：∵， ∴， 方式一：∵， ∴，即， ∴； 方式二：∵， ∴，即， ∴； ∴选择方式一：，选择方式二：． 42．小李同学探索的近似值的过程步骤如下： 步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即①②， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即③，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积④．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵，∴④． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． (1)请仔细阅读以上探究过程，根据上下文和图示，在横线处按序号①、②、③、④、⑤依次填写对应内容．（注：两处序号④填写内容相同．） ①______；②______；③______；④______；⑤______． (2)结合上述具体实例，已知非负整数a，b，m，若，且，求的近似值．（用含有a，b的式子表示） 【答案】(1)11，12，11，； (2) 【分析】（1）根据题目提供的示例解答即可； （2）设，两边平方得，，依照示例得，可得结论． 【详解】（1）解：步骤（1）：∵面积为137的正方形的边长是，估计在两个正整数之间，即， ∴可将表示为整数部分加上小数部分的形式，即，其中， 步骤（2）：画出示意图，如图所示． 可得图中正方形的面积．（要求：用含x的二次三项式表示） 又∵， ∴． 步骤（3）：当时，可忽略不计的值，得⑤，得到， 步骤（4）：∴． （2）解：∵，且， ∴设， 两边平方得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点06已知一个数的平方根求这个数 43．一个数的两个平方根分别是与，则这个数是（   ） A． B．25 C．5 D． 【答案】B 【分析】本题利用平方根的性质解题，一个正数的两个平方根互为相反数，据此先求出的值，再计算得到原数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数 ∴ 整理得 解得 将代入其中一个平方根，得 ∵ ∴这个数是． 44．一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数的值是___________． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出方程，求出的值，再计算得到正数的值. 【详解】解：正数的两个平方根分别是和， ， 整理得：， 解得：， ， ． 45．已知一个正数的两个平方根分别是和，则a的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题根据正数平方根的性质解题，正数的两个平方根互为相反数，据此列出方程求出的值，再计算的算术平方根即可得到结果． 【详解】解：正数的两个平方根互为相反数 整理得 解得 的算术平方根为． 46．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是_____． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根之和为，可得，解得的值，进而求得这个正数的平方根，从而求得这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得， ， 即这个正数是． 47．一个正数的平方根是与，则这个正数是多少？ 【答案】这个正数是． 【分析】利用正数的两个平方根互为相反数的性质，先列出方程求出的值，再根据平方根的定义计算得到正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， 将代入得，， ∴， ∴这个正数是． 48．已知正数的两个不同的平方根分别是和． (1)求的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)的值为 (2)的算术平方根为 【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，可得：，解方程即可求出的值； （2）根据的值求出的一个平方根的值，即可求出的值，把和的值代入求值，再求出它的算术平方根即可． 【详解】（1）解：正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 的值为； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 的算术平方根为． 49．已知 的算术平方根是3， 的平方根是 ， 是的整数部分，求 的平方根． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出a的值，再根据平方根的定义求出b的值，估算出的取值范围求出c的值，进而求出 的值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】解：∵ 的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵ 的平方根是， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴的整数部分为3，即， ∴， ∴ 的平方根为． 50．已知和是某正数的两个不同的平方根，的算术平方根是4，求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意得：，， ，， ， 则的平方根是． 51．王老师给同学们布置了这样一道练习题：一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数． 小达的解法如下：依题意可知，，解得，则，这个正数为4．小达的解法正确吗？请说明理由． 【答案】小达的解法不正确．理由见解析 【分析】是两数中的一个，应该分两种情况分别计算． 【详解】解：小达的解法不正确．理由如下： 依题意可知，为，两数中的一个． 当时， 解得，则，这个正数为； 当时， 解得，则，这个正数为． 综上所述，这个正数为或． 【点睛】本题考查了算术平方根，平方根，算术平方根是平方根中的正数，但是不确定哪个是正数，需要分类讨论，解题的关键是分类讨论． 52．已知：和是的两个不同的平方根，是的整数部分． (1)求，，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）一个正数的两个不同的平方根的和为0，可求出的值，把的值代入或，得到的一个平方根，可求出的值；由即，得到，求出的值； （2）将（1）中的值代入，求其平方根即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ， ； ，即 的整数部分是3， ， 解得 故答案为：，， （2）把代入， 3的平方根是， 故答案为：． 【点睛】本题考查平方根的概念和平方根的性质，解题关键是一个正数的两个不同的平方根的和为0；一个数算术平方根的整数部分的确定方法：找到与被开方数最接近的两个平方数，较小的这个平方数的算术平方根即是它的整数部分；易错点是一个正数的算术平方根只有一个，它的平方根有两个，且一正一负． 考点07利用平方根解方程 53．已知整式，其中为正整数，，，…，均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且．下列说法： ①当时，满足条件的整式共有4种； ②当时，满足条件的所有整式中，能被5整除的有5个； ③若方程有解，则所有满足条件的整式共有14个． 其中正确的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】对说法①，代表各项次数和为，满足条件的整式包括仅含一次项的单项式和含一次项与常数项的多项式，共种；对说法②，当时，将代入整式得，需其为的倍数：分和两类求解方程，得到对应种符合条件的整式；对说法③，按、分类统计方程有解的整式：时所有一次整式方程必有解，共个；当时，其中含二次单项式，含常数项的二次整式的对应方程，其中有解的有个，总计10个． 【详解】解：∵均为绝对值小于2的整数，规定中各项次数和为，且． ∴可取，0或1， 对于①，已知，是一次整式： 当是单项式时，仅含一次项，整式为，，共2种； 当是多项式时，含一次项和常数项，整式为，，，，共4种； 因此满足条件的整式共种，故说法①错误． 对于②，当时，，则， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， 当能被5整除时： 当时，， 要为5的倍数，只有， 对应整式为，共1种； 当时，， 要为5的倍数，只有， 对应整式为，共1种； 因此满足条件的整式共个，故说法②错误． 对于③，当时，整式有6种：，，， 对应的方程均有解，共6个； 当时，则，， ∴， ∴符合条件的所有整式为：，，，，共6个； 其中使方程有解的整式为，，，共4个； 总共有个，故说法③错误． 综上，三个说法均错误，正确个数为0． 54．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 开平方得：， 即，； （2）解：， 方程两边同除以2得：， 开平方得：， 解得：，． 55．求下式中的的值：． 【答案】或 【分析】利用平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴或. 56．求该式子中x的值． 【答案】或 【分析】根据平方根的定义，得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； 【详解】解：， ， 或， ∴或． 57．在手工课上，小丽拿着面积为的正方形卡纸进行裁剪做手工．根据要求解答下列问题： (1)正方形卡纸的边长是_____； (2)现在手工老师要求同学们裁出一块面积为的长方形纸片，且长与宽的比为．小丽正在发愁，小丽的同桌见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！”你同意小丽同桌的说法吗？请说明理由． 【答案】(1)20 (2)不同意；见解析 【分析】（1）设正方形的边长为，根据题意，得，求x的算术平方根即可； （2）设长方形的长为，宽为，根据题意，得，解答即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，根据题意，得， 解得，，边长不能为负，不符合要求，舍去， 故正方形的边长为； （2）解：设长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解得，，舍去， 故长方形的长为，宽为， 因为， 所以， 所以， 长方形的长大于正方形的边长， 故一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片的说法是错误的， 故不同意小丽同桌的说法． 考点08立方根的概念及应用 58．9的平方根是________，的立方根是________． 【答案】 / 【详解】解：， 的平方根是； ， 的立方根是． 59.观察下列各式：，，，，按照此规律，第8个等式是_____． 【答案】 【分析】观察已知等式中各部分的数字特征，归纳出一般性规律，即可得到第8个等式． 【详解】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ， 第个等式：， ∴第8个等式为：． 60．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 61．若与互为相反数，则的值为______． 【答案】15 【分析】本题考查立方根的性质，根据立方根的性质，若两个立方根互为相反数，则被开方数互为相反数，由此建立方程，再通过代数变形求值． 【详解】解：因为与互为相反数， 所以 两边立方得， 整理得， 即， 所以 故答案为：15． 62．已知的平方根是，的算术平方根是7，求的立方根． 【答案】4 【分析】根据平方根与算术平方根的定义，分别求得的值，进而求得的值，再求立方根，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ， 的立方根为4． 63．已知的立方根是2，的算术平方根是4，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】根据立方根的定义得到，即可求出a的值，根据算术平方根的定义得到，即可求出b的值，根据即可求出c的值，从而可求，进而求出它的平方根． 【详解】解：∵的立方根是2， ， ． ∵的算术平方根是4， ， ， ． ，即． 又c是的整数部分， ． ， 的平方根为． 64．已知的平方根是，的立方根是，是的算术平方根． (1)填空：______，______，______； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，，即得，再根据算术平方根的定义即可求出的值； （）根据（）求出的值，再根据平方根的定义即可求解； 本题考查了算术平方根，平方根和立方根，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的算术平方根， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 65．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用立方根解方程即可； （2）利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：原方程为 移项得 开立方得 方程的解为 ； （2）原方程为 方程两边同除以2得 开平方得 或 分别求解得 或 ∴方程的解为 ． 66．已知的平方根是，的立方根是．求的算术平方根． 【答案】 5 【分析】根据平方根的定义得到，根据立方根的定义得到，求出，的值，即可得出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的立方根是， ∴，即，解得． ∴． ∵25的算术平方根为5， ∴的算术平方根为5． 考点09实数与数轴 67．如图，在数轴上对应的点可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴实数在数轴上的对应点可能是点． 68．有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴的关系，有理数的定义，平方根，立方根，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵实数和数轴上的点一一对应， ∴①说法正确； ②不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但是无理数， ∴②说法错误； ③∵负数有一个负的立方根， ∴③说法错误； ④∵17的平方根是， ∴是17的一个平方根， ∴④说法正确． 综上，正确的说法共有2个． 69．若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 70．如图，若数轴上的点，分别与实数，对应，用圆规在数轴上画点，则与点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数与数轴上的点一一对应，先求出，再根据半径相等得到，即可求出与点对应的实数． 【详解】解：数轴上的点，分别与实数，对应， ， ， 与点对应的实数是：， 故选：． 71．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 72．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 73．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 74．如图1，教材有这样一个探究，把两个边长为的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，根据这个研究方法回答下列问题： (1)所得到的大正方形面积为______，它的边长就是原边长为小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为______； (2)由此我们得到一种在数轴上找到无理数的方法：如图，以单位长度为边长画一个正方形，以数字1所在的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与数轴交于、两点，那么点表示的数为_______； (3)请你参照上面的方法：把图中的长方形进行剪裁，并拼成一个大正方形．在图3中画出裁剪线，并在图的正方形网格中画出拼成的大正方形，该正方形的面积是______，则长为宽为的长方形的对角线长为________．（注：小正方形边长都为，拼接不重叠也无空隙） (4)参照图的画法，在（）的基础上，画出数轴上表示数以及的点、．（图中保留必要的作图痕迹）． 【答案】(1)； (2) (3)； (4)图形见解析 【分析】本题考查实数的知识，解题的关键是理解题意，模仿题目中给出的解题方法进行求解． （1）根据题意，得到大正方形的面积，求出边长，即可得到小正方形的对角线； （2）由（1）可得边长为的正方形的对角线为，再根据数轴，即可得到点表示的数； （3）根据长方形的面积得正方形的面积，即可得到正方形的边长，再画出图象即可； （4）从原点开始画一个长是，高是的长方形，对角线长即是，再用圆规以这个长度画弧，交数轴于点，再把这个长方形向左平移个单位，用同样的方法得到点． 【详解】（1）解：由图可得，大正方形的面积为， ∴边长为： ∴小正方形对角线为：． （2）解：由题意可得，小正方形的边长为， ∴对角线为， ∴点表示的数为：． （3）解：如图所示： ∵长方形的面积为 ∴拼成的正方形的面积也为； ∴正方形的边长为： ∴长为宽为的长方形的对角线长为． （4）解：如图，即为所求． 75．对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，． (1)计算：________；________； (2)若，写出所有满足题意的的整数值________； (3)如图所示，数轴上表示1和的对应点分别为、，点是的中点，为原点，设点表示的数为，试求的值． (4)①请你计算； ②请你观察①，思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)2；6 (2)1或2或3 (3)的值为 (4)①；② 【分析】（1）先估算和的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）①同（1）逐项化简，然后求解即可； ②由①归纳规律，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且为整数， ∴或或． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点是的中点， ∴点C表示的数为， ∴ ， ∵， ∴， ∴，即的值为． （4）解：① ； ②由①得， ， ， ； ∵，， ∴ ． 考点10实数的混合运算 76．对于实数定义新运算：，其中为常数，已知，，则______． 【答案】5 【分析】本题考查新定义运算以及二元一次方程组的求解，解题的关键在于根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入新运算中计算的值． 【详解】已知，且，，将其分别代入新运算中可得： ，即， 移项可得， 移项可得，两边同时除以，得到， 联立方程组，①+②得，解得． 将代入②得，解得， 将 ， 代入 中，可得 ， 再将 ， 代入上式可得：， 去括号得，实数运算得． 77．若是实数，且，，那么的值是____． 【答案】 【分析】本题主要考查代数式代入消元法、配方法的代数变形技巧、非负数的性质(若干非负数的和为0则各非负数均为)，同时综合考查了含二次根式的实数运算，是代数变形与非负数性质结合的典型题型．由条件 和，将代入第二式得．考虑关于的二次部分，其判别式为，故，且等号成立时．由此确定和的值，进而计算． 【详解】解：∵ 代入，得， 即， ∵， ∴， ∵是实数， ∴，， ∴，， ∵两个非负数之和为，则两者必同时为， ∴且， 解得， ∴代入，得， ∴， 故答案为：． 78．计算：． 【答案】3 【详解】解： 79．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 80．计算∶ (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 81．计算： (1)计算：； (2)求x的值：． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简各项再计算合并即可得到结果； （2）先化简整理方程，将方程变形为完全平方式等于常数的形式，再开方即可求出的值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解： ∴ 移项得 两边同时除以得 开平方得 或 解得 或 ． 82．计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根、立方根的定义先化简，再进行乘法运算，最后进行减法运算即可． 【详解】原式 ． 83．计算： 【答案】 【分析】被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成是将平方得到的，因此可以用待定系数法化简． 【详解】解：设， 两边平方得：， ∴， ②×③×④得; , ∵均为非负数， ∴， ∴， ⑤÷②得，， 同理有， 所求的显然满足①， 所以，原式= 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简方法，由复合二次根式的被开方数复杂，可以通过设未知数，利用平方法解题． 考点11新定义下的实数运算 84．对，定义一种新运算“”，规定：（其中，均为非零常数），若，． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1)的值为，的值为； (2)的值为． 【分析】（）根据题意联立二元一次方程组，解出，的值即可； （）把代入运算中得，再根据新运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得：， ∴的值为，的值为； （2）解：由（）得， ∴， ∴， ∴的值为． 85．规定一种新运算：对于任意有理数，，定义 ． (1)计算：_________， _________． 判断：__________（填 “”或“”或“”） (2)对于任意有理数，，， 成立吗？请说明理由． (3)已知，且，都是正整数，求所有可能的，的值． 【答案】(1)11；11； (2)不成立，理由见解析 (3)， 【分析】（1）根据新定义列式运算即可； （2）根据新定义分别计算和 ，即可说明； （3）根据新定义得到 ，结合，都是正整数，即可解答． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ； （2）解：不成立，理由如下： 左边， 右边， ， 左边右边， 不成立； （3）解：， ，即， 又，都是正整数， ， ，即，． 86．有理数和无理数统称为实数，我们规定：若实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”． (1)若为“美丽实数对”，则a，b应满足的等量关系为________； (2)若点是“美丽实数对”，求k的值； (3)若点是“美丽实数对”，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)4 【分析】（1）根据定义直接列得等式即可； （2）根据定义列得，即可求出k的值； （3）根据定义列得，根据完全平方公式计算即可 【详解】（1）解：∵实数a与b的平方差等于80，则称为“美丽实数对”，为“美丽实数对”， ∴； （2）∵点是“美丽实数对”， ∴， 解得； （3）∵点是“美丽实数对”， ∴， ∴ ∴ ∴ 87．当m，n都是实数，且满足时，称数对为巧妙数对． (1)若数对是巧妙数对，求m的值． (2)已知关于x，y的方程组，当a为何值时，以方程组的解组成的数对是巧妙数对． 【答案】(1) (2)当时，以方程组的解组成的数对是巧妙数对 【分析】（1）根据新定义得到方程，即可求解； （2）先解二元一次方程组得到数对为，再根据新定义建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得． （2）解：解方程组，得， ∴数对为， 根据题意，得， 解得， ∴当时，以方程组的解组成的数对是巧妙数对． 88．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫作虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实部，b叫作这个复数的虚部．复数的运算与整式的运算类似． 例如，计算：； ． 根据以上信息，解决下列问题． (1)填空：______，______ (2)计算：． (3)计算： 【答案】(1)1；i (2) (3) 【分析】（1）把化为，把化为，根据新定义计算即可； （2）根据复数的运算法则进行计算即可； （3）根据题干和（1）的结果，得出的结果以i，，，1循环，据此求解即可． 【详解】（1）解；； ； （2）解：原式； （3）解：∵，，，，，…， ∴的结果以i，，，1循环， ∵，， ∴原式． 89．我们规定，若实数，满足，则称与是关于的完美数． (1)若与是关于的完美数，则的值为_____； (2)若与是关于的完美数，求的值； (3)若有理数，满足，判断与是否是关于的完美数． 【答案】(1)； (2)； (3)与是关于的完美数． 【分析】（）根据“关于的完美数”列出方程，然后解方程即可； （）根据新定义可知，然后解方程即可； （）由，求得，，进而设与是关于的完美数，然后列方程求解即可得． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据新定义可知，， 解得； （3）解：与是关于的完美数，理由： 由，得， 因为，是有理数， 所以，， 解得，， 所以，， 设与是关于的完美数，则， 解得， ∴与是关于的完美数． 90．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为______；的“青一区间”为______； (2)实数，，满足关系式：，，求的“青一区间”． (3)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据“青一区间”定义，通过平方数判断被开方数的范围即可； （2）先解出，的值，计算，再用平方数判断的区间，进而求出的“青一区间”； （3）通过两次区间条件列出的范围，取交集确定的值，再代入计算． 【详解】（1）解：， 的“青一区间”为， ， 的“青一区间”为， 的“青一区间”为． （2）解：， ，即， ， ， ， ， 的“青一区间”为． （3）解：的“青一区间”为， ，即， 的“青一区间”为， ，即， 为正整数，是无理数， ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $