专题03 乘法公式6大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦乘法公式6大题型，从公式运算到几何应用再到变形求值，逻辑递进，覆盖中考高频考点，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01|11题|平方差公式运算|直接应用公式进行计算、判断及综合应用| |考点02|14题|平方差公式几何应用|通过图形面积验证公式，解决面积差问题| |考点03|16题|完全平方公式运算|公式直接运算、代数式求值及规律探究| |考点04|23题|完全平方公式几何应用|结合图形面积推导公式，解决阴影面积问题| |考点05|11题|完全平方公式变形求值|利用公式变形求代数式值，解决综合问题| |考点06|10题|求完全平方式字母系数|根据完全平方式特征确定字母系数|

专题03 乘法公式6大题型归类 考点01 运用平方差公式进行运算 考点02 平方差公式与几何图形 考点03 运用完全平方公式进行运算 考点04 完全平方公式在几何图形中的应用 考点05 通过对完全平方公式变形求值 考点06 求完全平方式中的字母系数 考点01 运用平方差公式进行运算 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平方差公式，能用平方差公式计算的条件是：两个二项式相乘，存在相同项和互为相反数的项，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、中两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、中，存在相同项，互为相反数的项和，符合平方差公式的形式，能用平方差公式计算，符合题意； C、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意； D、，两项均为相同项，没有相反项，不能用平方差公式计算，不符合题意． 2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：. 3．若，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴. 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不正确； B．，故不正确； C．，故不正确； D．，正确； 5．计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式求解，通过给原式补乘值为1的，不改变原式结果，再重复运用平方差公式计算得到最终结果． 【详解】解：∵，乘1不改变原式的值， ∴原式， ， ， ， ， ． 6．设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法法则、平方差公式，先根据多项式乘法法则得到，，再逐个判断四个结论的对错，结合整数的性质统计正确结论的个数即可． 【详解】解：，一次项系数为， ， ，一次项系数为， ， 均为整数， ① 当时， ， ， 故①正确； ② ，， 为整数， 是整数， 能被整除， 故②正确； ③， ，即 ， ， 当时取等号，符合是整数的条件， 的最大值为， 故③正确； ④ 代入，， 得： 整理得：， 当，时， 满足所有条件， 此时， 故④错误； 综上，正确的结论有个． 7．若 ，则 __________ 【答案】 【分析】设，则，方法，利用平方差公式展开并整体代入计算即可． 【详解】解：设， ∵ ∴， ∴ ． 8．对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______． 【答案】 【分析】根据新定义以及平方差公式进行计算即可． 【详解】解：． 9．已知，则______． 【答案】1 【分析】先由积的乘方逆运算将原式变形为，再结合平方差公式求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ． 10．代数式的末尾数字是________． 【答案】0 【分析】先应用平方差公式，将算式化简，再找指数与末尾数字之间的规律，最后应用规律求出结果即可． 【详解】解： ， 的末尾数字是3， 的末尾数字是9， 的末尾数字是 7， 的末尾数字是 1， 的末尾数字是 3， …， ∴每4个数一循环， ∵， ∴的末尾数字与的末尾数字相同，即的末尾数字为1， ∴的末尾数字是0． 11．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：，，若，则______，______． 【答案】 6 【分析】根据式子 利用平方差公式展开求和，对比等式两边同类项系数，即可求出n、m的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴等式左边应有个项，因此求和项数为项： ∴． ∴常数项合并，． 考点02平方差公式与几何图形 12．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积相等，列出关系式即可． 【详解】解：由题意这两个图形的面积相等， ∴． 13．如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据题意，，再表示出阴影部分的面积即可求解． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 根据题意，， 阴影部分的面积为． 故选：A． 14．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是通过等面积法寻找到等量关系． 原来阴影部分面积为边长为的大正方形减去边长为的小正方形的面积，拼成后的阴影面积是底为，高为的平行四边形的面积，根据两图形阴影面积相等即可得解． 【详解】解：∵边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形， ∴原来阴影部分的面积为：， ∵拼成后的图形是平行四边形，且平行四边形的底为，高为， ∴平行四边形的面积为， ∵阴影部分面积相等， ∴． 15．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴； ∴； 16．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的图形推导，根据两个图形中阴影部分的面积相等列式即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， ， 故选：A． 17．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 18．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 19．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 20．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 【答案】①②③ 【分析】通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积， 可得：（，可以验证平方差公式． 21．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】（1）用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． （2）由题意得，根据阴影面积为：代入计算即可 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故答案为：． （2）由题意得， 阴影面积为： 22．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平方差公式，解答关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b 则阴影面积的底为 ，高为， ∴阴影面积为， ∵大正方形的面积为，小正方形的面积为， ∴阴影面积为 故答案为：． 23．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 17 【分析】设正方形边长为，正方形边长为，根据面积差得出，观察图形可知阴影部分面积等于与面积之和，利用三角形面积公式及平方差公式求解. 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，即； ∵四边形和均为正方形， ∴，，，， ∴点在同一直线上，且； ∵点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为， ∴点在边上，， ∴中边上的高等于的长，即为. ∴ ； ∵， ∴. 24．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1)B (2)① 3；② (3)20 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ， ， ； ② ； （3）解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 25．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 【答案】（1），，；（2）①8，② 【分析】本题主要考查了列代数式，平方差公式的几何背景及应用，熟练掌握平方差公式的推导过程和构造使用条件是解题的关键． （1）图①阴影部分的面积用大正方形面积减去小正方形面积表示；图②阴影部分的面积用长方形面积公式表示；根据面积相等推导出平方差公式； （2）①直接代入（1）中得到的平方差公式计算；②先在算式前乘以构造平方差公式的使用条件，再连续应用平方差公式逐步化简计算． 【详解】解：（1）由题意得，图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为， 根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式． 故答案为：，，． （2）①因为，，且， 所以，即． ② ． 考点03运用完全平方公式进行运算 26．若无论取何值时，关于的方程总成立，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先展开方程左边，对比同类项系数得到、的关系式，再利用完全平方公式变形计算所求代数式的值． 【详解】解：， ， 无论取何值时，关于的方程总成立， ，， ，， ， 故选：B． 27．已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 【答案】B 【分析】先将所求代数式展开，再利用完全平方公式整理为已知等式的平方和形式，代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 28．已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 【答案】D 【分析】将两个已知完全平方式展开，相加后消去交叉项，即可求出的值． 【详解】解：①，② 将得： 化简得 29．如果，则a和b的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．不能确定 【答案】C 【分析】运用完全平方公式展开化简等式，得到a与b的乘积，再根据倒数的定义判断两者关系即可； 【详解】解：∵， ∴ 左边 ， ∵ 原等式为 ∴， ∴ ∴a和b的关系是互为倒数． 30．已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据条件列举所有可能的情况，结合不等式和二次多项式的非负性判断，逐一验证每个说法即可． 【详解】解：①当，时，， 根据题意得，为正整数，且，即， 故可取4，5，6，7，8，9，10，共7个满足条件的，故①正确． ②当，时，， 根据题意，且，即， 列举所有符合条件的组合为：，共7组； 系数和为7，系数和为，系数和为，常数项和为， 故所有整式的和为，与②说法不符，故②错误． ③二次三项式即，， 要使对任意都非负，需满足， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，且， 故仅符合条件，共1个满足条件的，故③错误． 综上，正确的说法共1个． 31．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先根据“和谐数”的定义推导得出任意正的“和谐数”都是的正整数倍，再分别对三个结论逐一化简验证即可． 【详解】解：根据“和谐数”的定义，设任意一个“和谐数”为，其中为正整数， 化简：， 任意“和谐数”都是的正整数倍， 验证结论：， 是正整数， 是的倍数，故正确； 验证结论： ， ， ，是的倍数， 是“和谐数”，故错误； 验证结论：设，是正整数， 是“和谐数”， ，得， “和谐数”是的倍数， 是的倍数，， 是的倍数， 是奇数，即是奇数， 是“和谐数”， 是的倍数，得是奇数； 是奇数，是奇数， ，一个是奇数一个是偶数，乘积是偶数，即（为正整数）， ，即是的正整数倍，故是“和谐数”，故正确； 综上，正确的结论有，共个． 32．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 33．已知，求的值为_______． 【答案】27 【分析】利用完全平方公式变形，将所求代数式转化为含已知代数式的形式，再代入计算求值． 【详解】解： ． 34．计算： _________． 【答案】 【分析】观察式子结构，可先对前三项利用完全平方公式化简，再进行计算． 【详解】解：． 35．规定，例如：．已知：，则_________． 【答案】10 【分析】根据题意列出方程，再根据完全平方公式化简，得出的值，即可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 36．已知，，则_________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式展开，根据展开式的结构特征相加或者相减即可求出及的值，再进一步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 37．已知，则的值是____________． 【答案】 6 【分析】观察原式中三个一次项常数的关系，可利用换元法将原方程转化，整理后即可得到所求代数式的值. 【详解】解：设 ，则 ，， 将其代入原方程得： 由完全平方公式展开得： 合并同类项得： 整理得 ，即 . 38．已知两组数的个数均为30，第1组：；第2组：．这两组数只能从，0，1中取值，且．设第1组、第2组数中的个数分别为，0的个数分别为，1的个数分别为，已知． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 【答案】 2 62 【分析】（1）根据第1组数据和为可得，根据第2组数据和为可得，作差即可得出的值； （2）将题干中等式利用完全平方公式展开，得出，化简得，与（1）中得出的联立，解二元一次方程，结合求出，进而即可求解． 【详解】解:（1）由题意得，，即①， ，即②． ，得． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴＝13． 由（1）可知， ∴， ∴． 39．为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束后统计发现，A路线车辆共空余14个座位，B路线车辆共空余16个座位，C路线车辆共空余18个座位．则______． 【答案】192 【分析】本题考查了完全平方公式的应用， 用每辆车可坐人数乘10辆，减去空余座位数，分别表示出；计算、、的值；利用公式 代入计算． 【详解】解：因为每种车型租10辆，A路线每辆坐人，空余14个座位， 所以； B路线每辆坐人，空余16个座位， 所以； C路线每辆坐人，空余18个座位， 所以， ∴； ； ； 所以 ． 40．已知整式，，为任意有理数． (1)试说明的值为非负数； (2)当为整数时，试说明的值一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）将、代入化简，再结合偶次方的非负性即可解答； （2）将、代入化简，即可判断其为偶数； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的值为非负数． （2）解：∵，， ∴， ∵m是整数 ， ∴是整数， ∴是2的倍数，即一定为偶数 ， ∴当为整数时，的值一定是偶数． 41．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ； ， ， 解得， ∴原式． 42．若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方可进行求解； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴． 43．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 44．【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 【答案】（）；（）；（）或；． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）因为，显然，所以，即，然后两边平方即可求解； （）设每个圆圈上的三个数字之和为，则得，因为为整数，且，解得，然后通过为的倍数即可求解； 因为，所以，即，然后分（）当，（）当两种情况求解即可． 【详解】解：（）由完全平方公式：， 因此， 因为，， 所以， 故答案为：； （）因为，显然， 所以， 即， 所以； （）设每个圆圈上的三个数字之和为， ∴， ， ， 因为为整数，且， 解得， 又因为为的倍数， 所以或； 因为， 所以， 即， （）若，则， 所以（不合题意，舍去）； （）若，则， 所以． 所以的值为． 45．数学学习： 【阅读与思考】请阅读以下个位数字是5的正整数的平方的算式 …… 【感知与模仿】 （1）请仿照上面的算式直接写出结果： ①__________； ②__________． 【推理与证明】 （2）如果将形如15，25，105，125，……的数用表示． ①请你用含的式子表示“个位数字是5的正整数的平方”的结果； ②请你用所学知识证明你的结论． 【答案】(1) ① 5625 ② 13225 (2) ① ② 见解析 【分析】本题考查了规律型——数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． （1）仿照[阅读与思考]的方式计算即可； （2）①左边平方数的个位数字是5，右边是去掉个位5后的数×（去掉个位5后的数+1），利用此规律解答即可； ②分别计算等式的左边和右边，判断左边=右边即可． 【详解】解：（1）①， 故答案为：5625； ②， 故答案为：13225； （2）①∵ …… ∴ ②解：∵左边，右边， ∴左边=右边， ∴． 考点04完全平方公式在几何图形中的应用 46．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】B 【分析】由图可得阴影部分面积为，列式根据完全平方公式变形再计算即可． 【详解】解：根据题意可知， 代入，，得：． 47．有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【分析】设正方形，的边长分别为a，b，则可得，，利用完全平方公式的变形运用即可求解． 【详解】解：设正方形，的边长分别为a，b， ∵图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12， ∴，， 即， ∴， 则图②所示的大正方形的面积为． 48．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 【答案】D 【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可判断③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案． 【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意； ②可看作边长为的正方形的面积，如图所示： 图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，②不符合题意； ③图1的面积可表示为，图2的面积可表示为， 图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，③符合题意； ④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意， 故选：D． 49．如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 【答案】B 【分析】先根据图形表示出，然后再利用完全平方公式进行化简代入求值即可． 【详解】解：，， ∴， 将，代入上式得， 原式． 50．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 【答案】B 【分析】根据题意图形的特点可知阴影部分为正方形，并表示出正方形的边长，再根据阴影部分的面积为36，且，找到边长的关系即可求解． 【详解】解：设，则 ∵， ∴， 由图可得，，即阴影部分为正方形， ∴ ∵阴影部分的面积为36， ∴， ∴ ∴，即的长为． 51．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 【详解】解：设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和①的面积差为， ∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意． 52．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式与几何图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，，求得，再根据，，利用完全平方公式求出的值，最后整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得，， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：A． 53．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 【答案】 【分析】设的边长为，的边长为，根据题意可得，，可得，用，表示图阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：设的边长为，的边长为， ∵纸板与的面积之和为， ∴， ∵图阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图阴影部分的面积为． 54．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 【答案】 【分析】根据题意得：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：根据题意得：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴，这个过程可以直观验证的公式是． 55．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 【答案】10 【分析】由图2阴影面积列出方程化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ∴，即． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． ∴未裁剪前大正方形红布的边长为． 56．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得， ，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 57．在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 【答案】 【详解】解：根据图形可得：大正方形的面积为，也可以表示为， ∴． 58．小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】60 【分析】根据四边形的面积为15，可推出，阴影部分的面积等于三个边长为的正方形的面积之和减去空白部分的面积，据此用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解：∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∴； ∴ ． 59．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算、用完全平方公式变形求值，解决本题的关键是根据阴影的面积列代数式． (1)根据阴影与正方形的位置关系可得：，把代入代数式求值即可； (2)根据阴影与正方形的位置关系可得：，利用完全平方公式变形可以求出，把式子的值代入代数式计算求值． 【详解】解： ， 当时， ； ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故答案为：，． 60．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为________．         【答案】10 【分析】设长方形中，，，根据题意可知，，，可知，进而可得，由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：设长方形中，，， ∵四边形，四边形和均为正方形， ∴，则， ∵长方形面积为4，，，， ∴，，则， ∴，    连接，则阴影部分的面积 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查完全平方的几何背景，观察图形，求出，及的值是求解本题的关键． 61．用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1：______________； 代数式2：______________； (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________； (3)利用（2）中得出的结论解决下面的问题： ①若，，则的值为___________； ②如图2，点是线段上的一点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形，若，两正方形的面积和．求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图形可得出结论； （2）由面积相等可得出结论； （3）①由（2）所得，可得，代入数值即可求得结果； ②设，，得，，则，进一步计算即可得结论． 【详解】（1）解：由题意可得，图1中两个阴影图形面积的和为 代数式1：； 代数式2：； （2）解：从（1）中结论可得． （3）解：①∵，，， ∴， ∴； ②设，，得，， ∴， ∴， ∴． 62．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题． 12.已知，，求的值． 13.已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ， ． ． ， ． ， ． ，， ． 【方法运用】 (1)请类比第12题的解题思路，解答教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】 (2)若，则　　　　　　． 【实际应用】 (3)如图，有一块四边形空地，于点，，．计划在和区域内种花，在和区域内种草．已知米，种花区域的面积和为10平方米，则种草区域的面积和为 平方米． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了根据完全平方公式求代数式的值等知识． （1）根据，得到，即可得到，从而得出，进而可得； （2）根据，得到，进而得到，由此即可求解； （3）根据和的面积和为，得到，根据已知，得出，即可得到，从而求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． （2） ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵于，，， ∴种花面积等于， 种草面积等于， 由题意可得和的面积和为， ∴，即 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴种草区域的面积和为． 63．将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)已知，，则______； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一条直线上，连接，．若，，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值； 【答案】(1) (2)17 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）设，，则可得，，经过变形可得，故可得结论； （3）设，，可求出，，根据可得，从而可求出的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：根据题意得：，， 设，， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即一块三角板的面积为17； （3）解：设，，则， ， ， ， ， ，即． 64．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：．图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形．然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是____________． (2)若，求的值． (3)已知，求值． 【类比迁移】 (4)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)22 【分析】（1）用两种方法表示图4中阴影部分的面积即可解答； （2）将代入（1）的结论求解即可； （3）设，则，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）如图：延长、交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，由推导出，再根据求得其表达式即可解答． 【详解】（1）解：如图4：第一种表示阴影部分的面积：； 第二种表示阴影部分的面积：； 所以． （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴． （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴． （4）解：如图：延长、交于点H， 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 由得： ， ， ， ， ， ， ． 答：图中阴影部分的面积是22． 65．过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积公式即可求解； （2）利用（1）中得到的等式进行计算即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，由题意得，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：大正方形的面积可以表示为：， 还可以表示为两个小正方形的面积加上两个小长方形的面积：， 所以，，之间的等量关系是； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意得，，， 所以， 所以， 因为， 所以． 66．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 67．已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（1）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 68．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 【答案】(1) (2)①62；②5 (3)16 (4)40 【分析】本题考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）根据图形得到阴影部分的边长为，大正方形的边长为，利用阴影部分的面积等于大正方形面积减去四个小长方形的面积进行求解即可； （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为，根据题意易得到、，利用完全平方公式变形求出正方形的边长即可； （4）设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为，则、，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：阴影部分的边长为，大正方形的边长为， 则阴影部分的面积为：； （2）解：①； ②； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则正方形的边长为， 四边形是正方形， ， ， ， ， 长方形面积为60， ， ， ， ， ， 正方形的边长为16； （4）解：设正方形的边长为、正方形的边长为、正方形的边长为， 、， 长方形面积为， ， ， ， ， 阴影部分面积为． 考点05通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则（   ） A．1 B．4 C．16 D．8 【答案】D 【分析】将已知两个等式利用完全平方公式展开后，相加消去含的项，即可求出的值． 【详解】解：①，②， 将得：， ． 70．若，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将两个已知等式按完全平方公式展开，两式相减消去无关项，即可计算出的值． 【详解】解：∵，， ∴①，②， ①②得：， ∴， ∴． 71．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件变形得到对应式子的值，然后根据多项式乘多项式的运算法则展开所求代数式，最后利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 即的值为． 72．幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据题意列出等式，化简得到，再利用完全平方公式可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， ∴， ∴． 73．如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 【答案】D 【分析】根据题意知，阴影部分的面积等于两个正方形的面积减去两个三角形的面积，由给出的条件即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：∵，， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∵点是的中点，    ∴， ∴， ， ∴ ． 74．设，，．若，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据完全平方公式得出，根据进行计算即可． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ． 75．若，，则______． 【答案】3 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 解得． 76．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 【答案】8 【分析】设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，由题意可得，再由图1得，进而得出，接下来解一元二次方程求出b，然后讨论可得答案． 【详解】解：设甲，乙两个正方形的边长分别为a，b，且，则， 由图1，得， ∴， ∴（不符合题意舍去）， 即， ∴， 解得， 当时，； 当时，，不合题意舍去． 综上所述，阴影部分面积是8． 77．已知，则____________． 【答案】21 【分析】本题利用换元法简化式子，结合完全平方公式进行整体求值，先求出换元后两个变量的和，再通过完全平方公式变形计算所求乘积． 【详解】解：设，由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 78．已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 79．已知，，满足，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式对原式进行变形，得到，根据完全平方式的非负性即可确定的取值范围，即可得解． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，即， ， 当时，，则有，， ，， 由于、、都是实数，则等号可取到， 的最小值为． 80．已知非零实数满足，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是找到相应的公式进行转换．由已知条件和，得出，用立方和公式进行转换，再从中找到相应规律求出的值即可得出答案． 【详解】解：∵由， ∴， ∴， ∵， ∵， 代入得， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ， 当时 ∴ 故答案为： 考点06求完全平方式中的字母系数 81．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的定义得到，进而可知，求解即可． 【详解】解：∵，且是完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴． 82．若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先解关于的一元二次方程得到的值，再根据完全平方式的定义得到的所有可能取值，最后计算即可得到结果. 【详解】解：∵ ， ∴ 配方得，解得， ∵ 是完全平方式， ∴ ，解得或， 当时，， 当时，， ∴ 为或， 故选：C. 83．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 84．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的形式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵多项式是完全平方式，完全平方公式为 ∴对应公式可得，，，中间项满足 整理得 分两种情况计算： 当时，，解得 当时，，解得 ∴的值为或． 85．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 【答案】D 【分析】根据已知条件中的定义，列出算式进行化简，再根据完全平方式的结构特征，列出关于的方程，解方程即可． 【详解】解： 是一个完全平方式， ，或者， 解得或． 86．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，根据完全平方式首末项确定中间项的系数，列方程计算得到的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 原式 ∴中间项系数满足， 分两种情况计算：当时， 解得：； 当时， 解得：； ∴的值为或． 87．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 【答案】A 【分析】根据完全平方公式的结构得到中间项系数的关系，列方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵完全平方公式为，多项式是完全平方的展开式， ∴，即， 当时，解得， 当时，解得， ∴的值是或． 88．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 89．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法以及完全平方式的应用，熟练掌握完全平方式的结构特点是解题的关键． 将多项式分组相乘，转化为关于的二次三项式，再根据完全平方式的特点求出． 【详解】解： ， ∵多项式为完全平方式， ∴， 解得． 故选：D． 90．已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 乘法公式6大题型归类 考点01 运用平方差公式进行运算 考点02 平方差公式与几何图形 考点03 运用完全平方公式进行运算 考点04 完全平方公式在几何图形中的应用 考点05 通过对完全平方公式变形求值 考点06 求完全平方式中的字母系数 考点01 运用平方差公式进行运算 1．下列各式中，能用平方差公式计算的是（  ） A． B． C． D． 2．计算的结果为（　　） A． B． C． D． 3．若，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．计算 的结果为（     ） A． B． C． D． 6．设、、、均为整数，关于的多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为．下列结论： ①当时，则；②的值能被8整除； ③若，则的最大值为1；④若，．则． 其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若 ，则 __________ 8．对于任意实数，定义一种新运算“”，规定，若为实数，则的化简结果为______． 9．已知，则______． 10．代数式的末尾数字是________． 11．为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：，，若，则______，______． 考点02平方差公式与几何图形 12．如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（    ） A． B． C． D． 13．如图，把两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 14．如图，边长为的正方形中间挖去一个边长为的正方形后，把剩余的阴影部分拼成一个平行四边形，根据阴影部分面积相等，我们可以验证公式（   ） A． B． C． D． 15．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则（    ） A．2 B．7 C．4 D．5 16．如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（   ） A． B． C． D． 17．有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 18．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 19．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 20．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是________．（请填上正确的序号，可多选） 21．（1）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．上述操作能验证的等式是__________， （2）如图3，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为__________． 22．如图，四边形是长方形，四边形是面积为17的正方形，点，分别在，上，且四边形是正方形，连接，．若正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为____________． 23．如图，正方形和正方形的面积之差为34，M，N分别是边上的点，则图中阴影部分的面积是_____． 24．【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 (2)运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 (3)如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 25．推理能力如图①所示，在边长为的正方形中作一个边长为的正方形，则余下的阴影部分面积等于一个以为长、为宽的长方形面积，如图②所示． 【探究】 （1）请列式表示：图①中阴影部分的面积为___________，图②中阴影部分的面积为___________；根据两图中阴影部分的面积相等，可以得到乘法公式___________． 【应用】 （2）根据（1）中的公式解决如下问题： ①若，，求的值． ②计算：． 考点03运用完全平方公式进行运算 26．若无论取何值时，关于的方程总成立，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．已知，则代数式的值是（    ） A．23 B．34 C．45 D．75 28．已知，，则（    ） A．1 B．4 C．16 D．8 29．如果，则a和b的关系是（    ） A．互为相反数 B．相等 C．互为倒数 D．不能确定 30．已知整式：，其中，，…，，为正整数，满足，且．下列说法： ①当，时，满足条件的整式有7个； ②若，，则满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意数时，其值一定为非负数的整式共有2个； 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 31．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”． 如果将它们按照从小到大的顺序依次排列，就会形成一组“和谐数列”：，，，则一定是的倍数； 若，则不是“和谐数”； ，为正整数，且，若和都是“和谐数”，则也是“和谐数”． 则上述结论正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 32．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 33．已知，求的值为_______． 34．计算： _________． 35．规定，例如：．已知：，则_________． 36．已知，，则_________． 37．已知，则的值是____________． 38．已知两组数的个数均为30，第1组：；第2组：．这两组数只能从，0，1中取值，且．设第1组、第2组数中的个数分别为，0的个数分别为，1的个数分别为，已知． （1）的值为______； （2）若，则的值为______． 39．为落实“双减”政策，我校八年级开展“无书面作业周”研学实践活动，本次活动共开设三条研学路线，参与三条路线的学生人数分别为；这三条路线分别租用三种不同型号的大巴车，每种车型各租10辆，已知路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人，路线车辆每辆可乘坐人．活动结束后统计发现，A路线车辆共空余14个座位，B路线车辆共空余16个座位，C路线车辆共空余18个座位．则______． 40．已知整式，，为任意有理数． (1)试说明的值为非负数； (2)当为整数时，试说明的值一定是偶数． 41．先化简，再求值：，其中，． 42．若（且，、是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)若，求的值． (2)若，，用含的代数式表示． 43．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 44．【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）填空：若，，则_____； 【类比应用】 （2）若关于的方程满足，求的值； 【思维拓展】 （3）“幻方”是中国古代数学的智慧结晶，最早记载于春秋《大戴礼记》．现将数字填入如图所示的三个两两相交的圆圈中，三个交点处（即两个圆圈的重叠部分）填入的数字分别记为，，． 若每个圆圈上的三个数字之和都相等，求的值； 在的条件下，若每个圆圈上的三个数字的平方和分别记为，，，且，求的值． 45．数学学习： 【阅读与思考】请阅读以下个位数字是5的正整数的平方的算式 …… 【感知与模仿】 （1）请仿照上面的算式直接写出结果： ①__________； ②__________． 【推理与证明】 （2）如果将形如15，25，105，125，……的数用表示． ①请你用含的式子表示“个位数字是5的正整数的平方”的结果； ②请你用所学知识证明你的结论． 考点04完全平方公式在几何图形中的应用 46．如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果，那么阴影部分的面积是（　  ） A．10 B．20 C．30 D．40 47．有两个正方形，，现将放在的内部得图①，将，并列放置后构造新的正方形得图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和12，则图②所示的大正方形的面积为（    ） A．16 B．20 C．25 D．26 48．如图，小佳同学用四个边长为a的正方形、两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（   ） ①；②； ③；④ A．①② B．②④ C．①③ D．③④ 49．如图，两个边长分别为a和b的正方形按图1放置，其阴影部分面积为；若在大正方形的左下角和右下角各摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形重叠部分（阴影）面积为．若，，则的值为（    ） A．72 B．45 C．36 D．30 50．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载、如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两个正方形按图2的方式放入最大的正方形内，若图2中阴影部分的面积为36，且，则的长为（    ） A．13 B．17 C．19 D．21 51．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（    ） A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 52．如图1为我校七年级两个班的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分、分别表示两个班级的基地面积．若，，则（   ） A．16 B．15 C．14 D．12 53．诚诚在课外实践活动中，利用大小不等的两个正方形纸板，进行探究，纸板与的面积之和为．将纸板按图所示的方式放在纸板的内部，阴影部分的面积为．若将纸板，按图所示的方式并列放置后，构造新的正方形，则阴影部分的面积为__________． 54．我国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时，常用“出入相补”原理（即割补法）来证明几何图形的面积关系．如图，将图1大正方形中的阴影部分拼成图2的正方形，这个过程可以直观验证的公式是________． 55．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 56．如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 57．在学习完全平方公式之后，老师布置了这样一道数学作业：计算．小星利用多项式的乘法法则进行计算：小帆利用完全平方公式进行计算：小淳画出如图所示的正方形，利用数形结合的方法进行计算：…请问这道数学作业的计算结果是_____________． 58．小方将12张宽为、长为（其中）的长方形纸片，先按照如图所示的方式拼成三个相邻的、边长均为的正方形．随后，连接五条线段，并绘制了部分阴影区域．若四边形的面积为15，则图中阴影部分的面积是___________． 59．如图，边长分别为、（）的两个正方形紧贴摆放．设阴影面积为．如图1，若，则的值是______；如图2，若，，则的值是______． 60．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为________．         61．用1张边长为的正方形纸片，1张边长为的正方形纸片，2张长和宽分别为，的长方形纸片拼成如图1所示的大正方形． (1)观察图1，试用两种不同的方法表示图1中两个阴影图形面积的和（用含，的代数式表示）． 代数式1：______________； 代数式2：______________； (2)从（1）中你能发现什么结论？请用等式表示出来：___________； (3)利用（2）中得出的结论解决下面的问题： ①若，，则的值为___________； ②如图2，点是线段上的一点，分别以，为边在的两侧作正方形和正方形，若，两正方形的面积和．求图中阴影部分的面积． 62．【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材第57页B组的第12题和第13题． 12.已知，，求的值． 13.已知，，求的值． 【例题讲解】老师讲解了第12题的两种方法： 方法一 方法二 ， ． ． ， ． ， ． ，， ． 【方法运用】 (1)请类比第12题的解题思路，解答教材第57页B组的第13题． 【类比迁移】 (2)若，则　　　　　　． 【实际应用】 (3)如图，有一块四边形空地，于点，，．计划在和区域内种花，在和区域内种草．已知米，种花区域的面积和为10平方米，则种草区域的面积和为 平方米． 63．将两数和（差）的完全平方公式，通过适当的变形，可以解决很多数学问题． (1)已知，，则______； (2)两块完全相同的直角三角板（）如图所示放置，其中，，在一条直线上，连接，．若，，求一块三角板的面积； (3)若满足，求的值； 64．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：．图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形．然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是____________． (2)若，求的值． (3)已知，求值． 【类比迁移】 (4)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，直接写出图中阴影部分的面积． 65．过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．    (1)观察图①，请写出，，之间的等量关系是________； (2)若，，求的值； (3)如图②，点为线段上的一点，分别以，为边在异侧作正方形和正方形，连接．若正方形和正方形的面积之和为21，的面积为7，求的长度． 66．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 67．已知长方形，，，将图1沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图2中的“回字形”正方形． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)拓展应用：如图3，点M，Q分别是，的中点，点E在上，，以为边作正方形，点G在上，交于点N，长方形的面积为，若，求的值． 68．在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合．某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式：． (1)现有四个长与宽分别为、的相同的小长方形拼成图2的图形，根据图中条件，然后通过计算图2中阴影部分的面积，可以验证关于、的关系式：___________（用含、的代数式表示出来）； (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，，则的值为________； ②若满足，求的值为________． (3)如图3，长方形面积为60，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长； (4)如图4，四边形是正方形，，分别是、上的点，且，，分别以、为边长作正方形和正方形．若长方形的面积为21，则阴影部分的面积为________． 考点05通过对完全平方公式变形求值 69．已知，则（   ） A．1 B．4 C．16 D．8 70．若，则（   ） A． B．2 C． D． 71．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 72．幻方是古老的数字问题，在我国古代的《大戴礼记》《洛书》等书籍中均有所记载，在如图所示特殊的“十字幻方”中，横纵两个大长方形内五个数字之和都等于20，则的值为（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 73．如图，是的中点，是上一点，分别以、为边，作正方形和正方形，连接和．设，，且，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．64 B．82 C．59 D．57 74．设，，．若，则的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 75．若，，则______． 76．甲乙两个正方形的面积和为10，按图1放置，阴影部分面积为8，则按图2放置，阴影部分面积为____． 77．已知，则____________． 78．已知，，则的值为______． 79．已知，，满足，则的最小值为________． 80．已知非零实数满足，，则________． 考点06求完全平方式中的字母系数 81．已知是完全平方式，则k的值为（    ） A．9 B． C．18 D． 82．若，且是完全平方式，则为（     ） A． B．或 C．或 D． 83．如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 84．已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 85．对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．若是一个完全平方式，则常数的值是（   ） A．11 B． C． D．11或 86．若是完全平方式，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 87．若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则a的值是（　　） A．或7 B．7 C．9或 D． 88．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 89．要使多项式为一个完全平方式，则等于（   ） A．12 B．24 C．98 D．196 90．已知是一个完全平方式，那么k的值为____________． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为__________． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $