专题02 整式的乘法7大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦整式乘法7大核心题型，以题载法构建从基础运算到图形应用、参数求解及规律探究的递进式训练体系，强化运算能力与几何直观的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-02|19题|单项式/多项式乘法基础计算|从定义应用到法则迁移，夯实运算基础| |考点03|11题|（x+p）（x+q）特殊形式|提炼公式特征，培养符号意识与推理能力| |考点04|13题|与图形面积结合|通过几何直观深化代数运算的实际意义| |考点05|5题|混合运算及新定义|综合运用法则，提升运算的灵活性与严谨性| |考点06|12题|不含某项求参数|通过系数分析，强化推理意识与方程思想| |考点07|11题|规律性问题|结合杨辉三角等模型，发展创新意识与模型观念|

专题02 整式的乘法7大题型归类 考点01 计算单项式乘多项式及求值 考点02 计算多项式乘多项式 考点03 （x+p）（x+q）型多项式乘法 考点04 多项式乘多项式与图形面积 考点05 整式乘法混合运算 考点06 已知多项式乘积不含某项求字母的值 考点07 多项式乘法中的规律性问题 考点01 计算单项式乘多项式及求值 1．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用单项式分别乘多项式的每一项，化简后得到结果． 【详解】 ． 2．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将单项式分别乘以多项式的每一项，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： 3．已知代数式，则（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】先化简代数式，然后作差代入计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 4．计算的依据是（   ） A．乘法分配律 B．加法结合律 C．乘法交换律 D．加法交换律 【答案】A 【分析】 变形得到，是将分别与括号内的和相乘，再将乘积相加，该过程符合乘法分配律的形式． 【详解】解：计算的依据是乘法分配律． 5．已知，则的值为_________． 【答案】2010 【分析】根据得出，对所求式的高次项降次，代入所求多项式整理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ． 6．计算：______． 【答案】 【详解】解： ． 7．调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目．如图所示，请你帮他推测出被除式为________． 【答案】 【详解】解：根据被除式=除式×商可得： 被除式 ． 8．已知，求的值________． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 9．已知，，．若的值与x的取值无关，则a的值为__________． 【答案】－3 【分析】本题考查了整式的乘法与代数式化简，掌握若代数式的值与某个字母无关，则该字母对应项的系数为0是解题的关键． 计算，化简后得到关于的多项式，根据值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，从而求解． 【详解】解： 由于的值与的取值无关， 因此项的系数， 解得： 故答案为：． 考点02计算多项式乘多项式 10．若多项式可以分解为与的乘积，则的值为____． 【答案】1 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 11．已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 12．计算的结果为__________ 【答案】 【详解】解：． 13．已知多项式与的乘积中不含项和常数项，则___________． 【答案】 【分析】先计算出两个多项式的乘积，由题意可知项的系数和常数项都是，从而得到和的值，最后计算出即可． 【详解】解：， ∵乘积中不含项和常数项， ∴，， ∴，， ∴． 14．已知的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据不含的一次项，即的一次项的系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ， 又 的展开式中不含的一次项， ， 解得，． 15．若，则______________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 16．已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足_____． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 17．某校若干名同学在课外活动时间举行了“石头、剪子、布”猜拳游戏，游戏规则是每名同学都与其他同学比赛一盘，计分方法：胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分．赛后统计：共有奇数个同学参加游戏活动，其中有两名同学共得20分，其他人的平均得分为正整数，则本次游戏共进行了______盘比赛． 【答案】55 【分析】首先设参加人数为，为正整数，可得总盘数为：，总分为：，除两名同学外平均分为：为正整数，即可得能被整除，则可得能被整除，且为奇数，继而求得答案． 【详解】 解：设参加人数为 ，为正整数， 总盘数为：， 总分为：， 除两名同学外平均分为：为正整数， 能被整除， 能被整除，且为奇数， ，，， ，，， 可验证，不符合题意， ， 总盘数为：． 故答案为：55． 【点睛】本题属于应用类问题．此题难度较大，根据题意得到能被整除，继而求得的值是解此题的关键． 18．已知两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式．此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为，记作第二次求和操作；将第二次求和操作的结果加上的结果记为，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果加上的结果记为，记作第四次求和操作，…，以此类推．根据以上材料，回答下列问题： （1）计算： __________（用含x，y的代数式表示）； （2）当n为大于3的正整数时，是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），则的值为__________． 【答案】 【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可； （2）根据题意，求出和的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵两个整式，，将整式M与整式N求和后得到整式，此操作记作第一次求和操作；将第一次求和操作的结果加上的结果记为， ∴； （2）解：由题意知，， ， ， ， ， （2）由题意知，原多项式 ， ∵n为大于3的正整数，该多项式是关于x，y的五次三项式（其中m和k均为整数且），原式展开后有5个潜在项， ∴要使其成为三项式，需有两个项的系数为0，故只有当或时，才能保证有两个项的系数恒为0， ∴或， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当，即时，要使原多项式为五次三项式， ∴得或， 或，得或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上，． 19．定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式，若，则称B是A的“极好多项式”．若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握相应的运算法则是关键． 根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】解： ． 是A的“极好多项式”， ， 即只有两项， ． 故答案为：． 考点03（x+p）（x+q）型多项式乘法 20．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开左边式子，利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解： ∵ ∴，． 将，代入得：． 21．已知关于的等式恒成立，则__________． 【答案】7 【分析】首先，将多项式展开，然后，根据题意得到关于的方程组，最后，解方程组即可． 【详解】解：∵，关于的等式恒成立， ∴， 解得， ∴． 22．化简：__________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解： ． 23．已知．那么的值是_______． 【答案】 【分析】先计算，再进一步求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴. 24．若，则的值为_____． 【答案】－6 【详解】解：， ， ∴， ∴． 25．关于x的多项式展开后，如果常数项为8，则m的值为________． 【答案】 【分析】根据多项式乘以多项式展开，根据常数项为8即可求解． 【详解】解：∵关于x的多项式展开后，如果常数项为8， 即， ∴， 解得. 26．对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 27．黑板上写有共2020个数字．每次操作，先从黑板上的数选取2个数a，b，然后删去a，b，并写上数，则最终黑板上剩下的数是____． 【答案】2020 【分析】本题考查了数字类规律探索，按题意列出等式是解题关键．由，得到后来的数加1是被擦去的2个数加1的乘积．设最终黑板上剩下的数为x，得，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴后来的数加1是被擦去的2个数加1的乘积， 设最终黑板上剩下的数为x， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2020． 28．定义：把多项式化简后的项数记为，例如多项式，则．一个多项式乘以多项式，化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则_______． 【答案】(1)B是A的“好多项式” (2)2 (3) 【分析】先计算出两个多项式乘积化简后的结果，再根据定义判断或建立方程求解未知数即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 可得 ， ， 满足 ， 符合“好多项式”的定义，因此是的“好多项式”； （2）解：由题意得 ， ， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”， ， 因此需要， 解得； （3）解：由题意得 ，， 计算乘积得 ， 是的“极好多项式”，则 ， ①当时，则，，此时，故不符合题意； ②当时，则 ， ∴，解得； 因此的值为． 29．阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式，，，（，，，是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，，，，因为 所以，多项式，，，是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小萃发现多项式，，，是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)若多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1) (2)或或． 【分析】（1）根据平衡多项式定义，把两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的求差计算即可求出平衡因子； （2）根据定义先计算多项式的乘法运算，再分类讨论的值即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）解：∵①，， ②，， ③，， ∵多项式，，，（是常数）是一组平衡多项式， 当是一组平衡多项式时， ∴，解得：， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得， 当是一组平衡多项式时 ， ∴，解得：， 综上：或或． 30．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 考点04多项式乘多项式与图形面积 31．某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的、、三种板材装饰一面长，宽的长方形墙壁．为完成这个装饰任务，需要、、板材共___________块． 【答案】 【分析】分别计算出A、B、C板材的面积，再计算出长方形墙壁的面积，根据多项式的乘积判断需要的板材数量，求和即可． 【详解】解：由图可知，A板材的面积为，B板材的面积为，C板材的面积为， ∵， ∴需要块A板材，块B板材， 块C板材，一共块． 32．一个正方形的林地，若将一边增加5米，其邻边增加3米变成一个长方形林地，若设原正方形林地的边长为米，则扩建后的长方形林地面积比原正方形林地面积增加了__________平方米．（用含的代数式表示并化为最简） 【答案】/ 【详解】解：由题意可得，原正方形林地的面积为平方米， 扩建后长方形林地的长为米，宽为米， 则扩建后长方形林地的面积为平方米， ∴增加的面积为平方米． 33．下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与长方形面积计算，解题的关键是利用“阴影面积=大长方形面积-小长方形面积”的关系，结合多项式乘法法则化简． 先分别计算大、小长方形的面积，再用大长方形面积减去小长方形面积，最后通过多项式乘法和合并同类项化简结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 34．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 35．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明：如图，将图中周长为的长方形裁成长方形A（边长为和x）和长方形B，并拼成图．由面积相等得：，所以，当时，长方形面积取得最大值为．据此可得，代数式的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式化为，根据题中图形面积的求法画出相应的图形，求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：依题意有， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，如图，阴影部分是边长为的正方形， ∴， 当时，该长方形为边长是7的正方形， 边长是和的长方形的最大面积是49， 的最大值为． 36．图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，得出，，再得到，即可求解． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵始终为， ∵， ∴． 37．如图所示，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在边、上，点L、N分别在边、上，点H、K在边上，点J在边上，记如图三个阴影部分面积分别为，，，已知所表示的阴影部分为正方形，若，则长方形的面积为________． 【答案】143 【分析】设的边长为，则，，，，，，可得，，，代入即可求解． 【详解】解：设的边长为， ∵正方形的边长为8，正方形和边长为6，四边形是长方形， ∴，， 则，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 38．如图，点F在内，，于点E，于点D，且，，四边形的面积分别为3，9，6，则的面积为________． 【答案】6 【分析】由题意可得的面积，的面积，四边形的面积，设，，则，，，求出的面积为，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：的面积，的面积，四边形的面积， 设，，则，，， ∴，， ∴， ∴的面积为． 39．如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用． 【答案】(1) (2)修建文化广场所需要的费用为11600元． 【分析】 （1）用大长方形的面积减去两个空白图形的面积即可； （2）将，代入（1）中的代数式，再×200即可． 【详解】（1） 解： ． （2） 解：当，时， （平方米）， 则所需费用为：（元）， 答：修建文化广场所需要的费用为11600元． 40．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 41．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 42．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵ ∴． ∴． (1)比较大小：______． (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作与的差，再根据差的正负性即可判断； （2）分别用表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据材料得，， ∴； （2）解：由图知：， ， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴． 43．我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 考点05整式乘法混合运算 44．如图，大正方形的边长为，小正方形边长为，如果，那么阴影部分的面积是______．    【答案】17 【分析】根据三角形的面积公式求出阴影部分的面积，再利用整体思想，代入求值即可． 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积为， ∵，， ∴； 45．若规定符号的意义是：，当时，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据规定符号的意义可得，然后先去括号，再合并同类项，最后整体代入即可解答． 【详解】解：根据题意，可得 ， ， ． 46．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 47．阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率．学完全平方公式时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧，他做了以下探究： 对的结果进行变形，可得： 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果． 例如： …… (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：________； (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：的速算方法．小军的思考过程如下： 用“”替换上面算式中的“”，将其一般化表述为：，于是， 请利用上述思考方式探究并计算：________，________； (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为”的乘法速算规律．请仿照第（2）题的变形方式，用一个含，，的等式，把这个规律表示出来（已知）． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）按照题干的规律进行计算即可； （2）按照题干的规律进行探究并计算即可； （3）先表示出两个两位数，和，相乘后利用多项式的乘法法则进行展开，再合并同类项，结合进行化简，最后变形成题干的形式即可． 【详解】（1）解：根据题意，； （2）解：根据题意，探究： ， 用“”替代“”，得， ， ∴； 探究： ， 用“”替代“”，得， ， ； （3）解：根据题意，两个两位数为和， ， ∵， ∴． 48．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的“对消值”，如与互为对消多项式，它们的对消值为5． (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是 （填序号）； ①与；②与；③与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为对消多项式，求它们的对消值． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）根据定义，计算判断即可； （2）根据题意可得的结果是常数，据此求出、，再求出对消值即可． 【详解】（1）解：①，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； ②，是常数，所以多项式互为“对消多项式”； ③，结果不是常数，所以不互为“对消多项式”； （2）解： 因为多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”， ∴，， ∴，， ∴对消值为． 考点06已知多项式乘积不含某项求字母的值 49．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 50．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则化简，令项系数为0即可计算的值． 【详解】解： 不含项， ， ， 故选：D ． 51．已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 52．把代数式展开，若整理后不含的一次项，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， 由题意，， 解得. 53．若的展开式中不含的一次项，则_____． 【答案】 【详解】解：， ∵的展开式中不含的一次项， ∴， ∴． 54．若关于x的多项式的结果中不含项，则m的值为_____． 【答案】 【分析】先计算，再根据“结果中不含项”列方程求解即可． 【详解】解： ， ∵结果中不含项， ∴， 解得：． 55．若关于的多项式化简后的结果不含项，则_________． 【答案】9 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果不含x项得到，再进行变形即可． 【详解】解： ∵结果不含x项， ∴， ∴． 56．解决下列问题： (1)已知，求的值： (2)已知的计算结果中不含x的三次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，进而根据，即可求解． （2）先计算单项式与多项式的乘法，再根据计算结果中不含x的三次项得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ （2）解：． 计算结果不含x的三次项， ， 解得． 57．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 58．若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 59．对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式，代数式，改变x的值，代数式A，B有不同的取值，如下表： x 0 1 2 3 4 0 3 8 15 24 35 0 3 8 15 24 观察表格发现：当时，，当时，，我们把这种现象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1． (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D； (2)若代数式参照代数式A的取值延后，求相应的延后值； (3)若代数式参照代数式取值延后，求的值． 【答案】(1)； (2)3； (3)． 【分析】（1）根据题意，延后值为2，即将改为，化简即可； （2）设延后值为k，将延后的代数式等于，使得各项系数相等，解方程即可； （3）设延后值为m，使得各项系数相等，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：设相应的延后值为k，得： ， 化简得：， ，解得， 当时，成立， ∴相应的延后值是3． （3）解：设相应的延后值为m，得：， 化简得：， ， 将代入，可得 ∴． 【点睛】本题考查了代数式求值，多项式的系数中字母求值，理解题意，清楚的列出代数式，并进行求解是解题的关键． 60．若的积中不含有与项． (1)直接写出的值，即___________， ___________； (2)求代数式的值． 【答案】(1)1， (2) 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算，然后根据积中不含有与项可以求解的值． （2）将的值代入代数式求值即可． 【详解】（1）解： = =， ∵积中不含有与项， ∴，， 解得，． 故答案为：1，． （2）解：当，时， ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式以及代数式求值，解题关键是熟知多项式乘多项式的计算法则． 考点07多项式乘法中的规律性问题 61．已知一组代数式： ， ， … （为正整数，，，…为整数，且 … ） 规定：将中时的值记为．例如： ，则 ； ，则 ． ①当时，若中项的系数比项的系数小1，且项的系数与项的系数相等，则所有符合条件的值的和为17； ②若规定的最大值为20，则的最小值为4； ③当时，若 ，则满足条件的正整数序列共有4组． 以上说法正确的个数是（     ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】分别判断①②③三个说法是否正确，根据题意列出条件，结合枚举法验证，统计正确说法的个数得到答案． 【详解】由题意得 ， ，且满足 ，为整数； 判断①：当时，条件为，，结合，代入得 ，得或，对应两组： ， ； ， ；所有 的和为，①正确； 判断②：将中时的值记为，即 ， 当时，最大由得； 当时，最大 ； 最小值为4，②正确； 判断③：当， ，得 ，满足 ，枚举所有符合条件的序列为： ， ， ， ，共4组，③正确； 综上，三个说法均正确，正确个数为3． 62．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 当代数式的值为1时，则的值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】AB 【分析】观察题中的图表，表示出，根据已知代数式的值为1，确定出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ∴或， 解得：或4． 63．“杨辉三角”给出了展开式的系数规律（其中为正整数，展开式的项按的数降幂排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．例如：展开式的项的系数，，与“杨辉三角”第三排对应；展开式的项的系数，，，与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…下列说法正确的有____________（填序号） ①“杨辉三角”第一排是，第六排数字依次是：，，，，，1； ②当，时，代数式的值为； ③展开式中所有系数之和为； ④当代数式的值为时，． 【答案】①③ 【分析】根据杨辉三角的构造规则推导第六排数字；计算代数式的值；利用赋值法求展开式系数之和；利用完全平方式解方程判断的值． 【详解】解：如图，    依此规律可得“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1，故说法①正确； 当时，，故②说法错误； 令，，则，故说法③正确； 当代数式的值为1时， 即， ∴， ∴或（不合题意，舍去）， ∴， 解得或，故说法④错误， 综上可得，说法正确的有①③． 64．已知： （1）； （2）； （3）；猜想规律如下： （其中为正整数，且）． 利用上面猜想的结论计算：_____________． 【答案】 【分析】将所求式子变形为，根据题目材料设，，，得到，再代入变形式子计算即可． 【详解】解： ∵，设，，， ∴ ， ， ∴， ∴． 65．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为______、______； (2)展开式共有______项，第100项的系数为______； (3)根据上面的规律，写出的展开式______； (4)利用上面的规律计算：； (5)假如今天是星期六，那么再过是星期几？（直接写出结果） 【答案】(1)6，10 (2)102，5050 (3) (4) (5)星期日 【分析】（1）观察杨辉三角的规律，杨辉三角中，每行数字左右对称，且每个数等于它上方两数之和即可求解； （2）对于（为非负整数）的展开式，其项数为项，进行求解，再进行展开求解即可； （3）根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次找出，求解即可； （4）观察算式，它与二项式的展开式结构完全一致，其中，，因此原式可化简为，计算即可； （5）将转化为与有关的形式进行求解即可． 【详解】（1）解：根据规律可得，； 故图中括号内的数依次为6、10； （2）解：展开式的项数为项， 在杨辉三角中，第行第个数（从开始计数）就是展开式中第项的系数， 那么展开式第项，即第个系数（从开始计数）， 根据杨辉三角的对称性，它与第个系数相同， 通过杨辉三角的规律可知，展开式第个系数为， 所以第项的系数为． （3）解：根据杨辉三角的规律，的展开式各项系数依次为；；；；；；， 所以． （4）解：观察原式， 发现它与的展开式形式相似， 令，，则原式可转化为． （5）解：因为， 所以：． 则， 前面所有项都有因数 7，所以这些项都是7 的倍数，除以 7 余数都是 0； 只有最后一项：，不是 7 的倍数． 所以，除以 7 的余数，就等于最后一项的余数：1， 余数是 1，说明再过825天，相当于在星期六的基础上往后数 1 天， 那么再过是星期日． 66．《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了（n为正整数）展开式的项数及各项系数的规律．请利用杨辉三角解决以下问题： (1)依次类推，写出______； (2)的展开式中一共有______项，各项系数之和为______； (3)的展开式中从左往右数第四项为______，x的三次项系数为______； (4)当代数式的值为1时，则的值为______． 【答案】(1) (2)2027， (3)；0 (4)0或 【分析】（1）根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1，即可解答； （2）观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为，令，，得到，即可解答； （3）根据杨辉三角第7行的系数分别为1，6，15，20，15，6，1，得到 ，据此解答即可； （4）先对代数式变形为，令，则，分类讨论：①当时，②当时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：根据杨辉三角的规律，的展开式系数对应杨辉三角第行的数字， 则当时，对应杨辉三角第6行数字1，5，10，10，5，1， ∴； （2）解：观察杨辉三角可知，的展开式项数为，所以的展开式项数为； 令，，则 此值就是展开式各项系数之和， ∴各项系数之和为． （3）解：∵杨辉三角第7行的系数分别为：1，6，15，20，15，6，1， ∴ ， ， 从左往右数第四项为， 化简各项后，x的指数依次为：，没有指数为3的项，因此的三次项的系数为0． （4）解：先对代数式变形： 令，则 ： ①当时，， 解得， 则 ②当时，， 解得， 则 ∴的值为或． 67．观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：____． (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． (3)直接写出下列式子的结果． ______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了数字变化规律，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． （1）观察一系列等式，归纳总结得到第6个等式即可； （2）观察一系列等式，归纳总结得到第个等式，用字母表示出所得的规律即可； （3）将每个括号内式子通分，利用规律改写每个分子后，约分即可． 【详解】（1）解：通过观察前面式子可得： ． （2）解：猜想第个等式为： ． 证明： ． （3）解： ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02整式的乘法7大题型归类 考点归纳 考点01计算单项式乘多项式及求值 考点02计算多项式乘多项式 考点03(x+p)(x+q)型多项式乘法 考点04多项式乘多项式与图形面积 考点05整式乘法混合运算 考点06已知多项式乘积不含某项求字母的值 考点07多项式乘法中的规律性问题 考点专练 考点01计算单项式乘多项式及求值 1.计算-mm(-m2+m)的结果正确的是（) A.m'n+mn2 B.-mn+mn2 C.m'n-mn2 D.-m'n-mn2 2.计算4a(-a+a)的结果为() A.4a3-4a2 B.-4a3+4a2 C.-4a4-4a2 D.4a3-4a 3.已知代数式M=a-3a,N=a(a-3)+l,则() A.M>N B.M<N C M=N D.无法判断 4.计算3ab-3a(b+a)=3ab-(3ab+3a2)的依据是() A.乘法分配律 B.加法结合律 C.乘法交换律 D.加法交换律 5.已知x2-x=4,则x-5x2+2026的值为. 6.计算： 7.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目.如图所示，请你帮他推测出被除 式为 ÷x=x2+3x-6 8.已知a2+a-1=0,求㎡3+2a2+2025的值 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.已知M=x2-ax,N=-x,P=x+3x2+5.若M·N+P的值与x的取值无关，则a的值为. 考点02计算多项式乘多项式 10.若多项式x2+-6可以分解为(x-2)与(x+3)的乘积，则k的值为一 11.己知(c+2m(r+3n)=x2+5x+a(a是常数)，则2m.8”的值为一 12.计算(-x+2)(2x2-3)的结果为 13.已知多项式x2+mx+2与x2-3x+n的乘积中不含x项和常数项，则m+n= 14.已知(-1x+k)的展开式中不含x的一次项，则k=一 15.若(c-2x+m)=x2+x+n,则m+n= 16.已知？…，x016均为正数，且满足M=(:+为3+…+x01s)(x2+为+…+x016), N=(:+x++x016)(:++…+xm5),则M,N的大小关系满足 17.某校若干名同学在课外活动时间举行了“石头、剪子、布”猜拳游戏，游戏规则是每名同学都与其他 同学比赛一盘，计分方法：胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分.赛后统计：共有奇数个同学 参加游戏活动，其中有两名同学共得20分，其他人的平均得分为正整数，则本次游戏共进行了盘比 赛 18.已知两个整式M=x+y,N=x-y,将整式M与整式N求和后得到整式A=2x,此操作记作第一次 求和操作；将第一次求和操作的结果A加上M+2N的结果记为A,记作第二次求和操作；将第二次求和 操作的结果加上2M+3W的结果记为A,记作第三次求和操作；将第三次操作的结果A加上3M+4W 的结果记为A，,记作第四次求和操作，…，以此类推.根据以上材料，回答下列问题： (1)计算：A= (用含x,y的代数式表示)： (2)当n为大于3的正整数时，(4，-4[(m-2)-(m-)y]+xy是关于x,y的五次三项式（其 中和k均为整数且m+k>3),则m+k的值为 19.定义：L(4)是多项式A化简后的项数.例如多项式A=x+2x-3,则L(4)=3.一个多项式A乘多 项式B化简得到多项式C(C=A:B),若L(4)=L(C),则称B是A的“极好多项式”.若A=x-3, B=x2-ax+9均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a= 考点03(x+p)(x+q)型多项式乘法 20.若(x-2)x+5)=r+mx+n,则n-m的值为 2/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.己知关于x的等式x+p)(x+13)=x+2mr+13恒成立，则m= 22.化简：(x-2)(x+3)= 23.已知(c-5)(x+2)=x2+bx-10.那么b的值是 24.若（x-2)(x+4)=x+mx+n,则m+n的值为一· 25.关于x的多项式(x-2)(x+m)展开后，如果常数项为8，则m的值为 26.对于一个两位数ab,记f(ab)=ab+a+b,称f(ab)为两位数ab的“生成数”.如 f(12)=l×2+1+2=5,即5为两位数12的“生成数”.若两位数ab和cd(bd≠0)满足ab+cd=50(如 11+39=50),则f(ab)+f(d)的最小值为. 1111 27.黑板上写有l234…2020共2020个数字.每次操作，先从黑板上的数选取2个数4，b,然后删去 a,b,并写上数a+b+ab,则最终黑板上剩下的数是一 28.定义：把多项式A化简后的项数记为(4)，例如多项式A=x2+2x-3,则L(4)=3.一个多项式A 乘以多项式B,化简得到多项式C(即C=AxB),如果L(C)=L(4)+1,则称B是A的“好多项式”， 如果L(4)=L(C),则称B是A的“极好多项式”· (1)若A=x-2,B=x+3均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？请判断并说明理由： (2)若A=x-2,B=x2+ax+4均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则a= (3)若A=x+3m,B=x2+x均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则m= 29.阅读下列材料，完成相应的任务。 平衡多项式 定义：对于一组多项式x+a,x+b,x+c,x+d(a,b,c,d是常数)，当其中两 个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数P时，称这样的四个多项式是一 组平衡多项式，P的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子. 例如：对于多项式x+1,x+2,x+5,x+6,因为(x+(x+6)-(x+2)(x+5) =(x2+7x+6）-(x2+7x+10)=-4 所以，多项式x+1,x+2,x+5,x+6是一组平衡多项式，其平衡因子为4=4。 任务： (1)小萃发现多项式x+3,x+4,x+6,x+7是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下： 3/14 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (x+3)(x+7)-(x+4)(x+6),根据她的思路求该组平衡多项式的平衡因子： (2)若多项式x+2,x-4,x+1,x+m(m是常数)是一组平衡多项式，求m的值. 30.探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①(x+2)(x+3)= ②(x+2)x-3)= ③(x-3x-1)= (2)若(x+ax+b)=x2+px+9,则p= (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①(x+5)x+7)= ②(t+2)t-1)= 考点04多项式乘多项式与图形面积 31.某家居装饰店接到了一位客户的订单，要求用店内如图所示的A、B、C三种板材装饰一面长+3b 宽2a+b的长方形墙壁.为完成这个装饰任务，需要A、B、C板材共」 块」 a a B 32.一个正方形的林地，若将一边增加5米，其邻边增加3米变成一个长方形林地，若设原正方形林地的 边长为x米，则扩建后的长方形林地面积比原正方形林地面积增加了 平方米.（用含x的代数 式表示并化为最简) 33.下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为 3a+2b a+2b a+b 2a+b 34.现有边长分别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张.如图 所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若要拼一个长为 3a+5b、宽为2a+3b的长方形，则需要C类纸片的张数为 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b C B a A C B 6 35.对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，小明通过右侧的图形割补用特例进行了说明： 如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形A(边长为2和x)和长方形B,并拼成图2.由面积相等得： 4-对)=2--，所以，当x-2时，长方形面积取得最大值为，据此可得，代数武6+5- 的最大值为 A B 图1 图2 36.图1是把两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边 长为b的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆 盖的部分.设图1阴影部分面积为S,图2阴影部分面积为S2.若AB=m,当边长a与b在大小允许的情 况下发生变化，S2-S始终为2m,则a与b的关系是 一（用含a,b的代数式表示）. 图1 图2 37.如图所示，在长方形ABCD(AB<AD)中放入一个边长为8的大正方形BEFG和两个边长为6的小正方 形CNML和HWK,其中点E、G分别在边BC、AB上，点L、N分别在边DC、BC上，点H、K在边AD 上，点J在边EF上，记如图三个阴影部分面积分别为S,S2,S,己知S所表示的阴影部分为正方形， 若S,-S=4S,则长方形ABCD的面积为 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H K D S2 S3 L B NE C 38.如图，点F在△ABC内，∠C=90°，FE⊥AC于点E,FD⊥BC于点D,且△AEF,△BDF,四边 形CDFE的面积分别为3,9,6，则△ABF的面积为 A 3 6 9 B 39.如图，某中学校园内有一块长方形地块，学校计划在中间留下一个“T型的图形（阴影部分）修建一 个文化广场. (1)用含x,y的式子表示“T型图形的面积并化简： (2)若x=2,y=5,预计修建文化广场每平方米的费用为200元，求修建文化广场所需要的费用. 40.“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现.例如图1，可得等式 (a+b)=a2+2ab+b2a2+2ab+b2=(a+b) a b a b H G a b b F a Bb M 图1 图2 图3 (1)如图2，请写出你发现的恒等式： 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2利用(1)中的发现计算：若x2+4y2+9z2=4,2y+6z+3zx=6,求x+2y+3z的值： (3)利用6个相同的宽为a,长为b的小长方形，拼成如图3所示的大长方形AMGN,记长方形ABCD面积 与长方形EFGH的面积差为S,求S(用含a的代数式表示). 41.小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世 界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图 中阴影)更大展开了讨论. ①小厉认为图1中回字形福建士楼的占地面积（记为S)更大： ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为S2)更大. 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示 3a+2b a+2b 图1回字形福建土楼 a+b 2a+b8 图2山西大院 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积： (2)若0<a<b,则一（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由. 42.【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化， 其中“作差法”就是常用的方法之一.其依据是不等式（或等式）的性质：若x一y>0,则x>y:若 x-y=0,则x=y;若x-y<0,则x<y 例：己知m=a2+ab,n=3ab-b,其中a≠b.求证：m>n.证明： m-n=a2+ab-3ab+b2=a2-2ab+b2=(a-b) .a≠b .(a-b)>0」 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..m>n (1)比较大小：x-12+x」 (2)甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（为正整数），其面积分别为S、S2.试比较S、S2的大小关 系 m+7 m+4 m+1 甲 m+2 乙 43. 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式r+y-3x+5的值与x的取值无关，求a的值. 通常的解题思路是把x看作字母，a看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以含x 的项的系数为0 具体解题过程：原式=(a-3)x+y+5 因为代数式的值与x的取值无关. 所以a-3=0,解得a=3 【理解应用】 B S S, D 图1 图2 (1)若关于x的代数式mx-2x-1的值与x的取值无关，则m的值为， (2)已知A=(r+l)(x-2),B=x(m-),且A+3B的值与x的取值无关，求n+3m的值. 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未 被覆盖的两个部分都是长方形.设右上角的面积为S,左下角的面积为S2,当AB的长度变化时，S-S2 的值始终保持不变，求a与b的等量关系 考点05整式乘法混合运算 44.如图，大正方形的边长为a,小正方形边长为b,如果Q2+b=56,b=22，,那么阴影部分的面积是 8/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 d 6 a b m2 m-3 45.若规定符号d的意义是：cd 8-c,当-7m-6=0时求-2m-2的 46.计算： ()3(a2-a+1）-2(a2+2a-2）: 2)(a+1)(a-3)+a(2-a)」 47.阅读下列材料，解答问题 运算能力是数学的核心能力，能既快速又准确的进行计算，有助于提高我们的数学学习和思考的效率.学 完全平方公式(a+b)}=a+2ab+b2时，同学小军巧妙运用代数知识衔接数字运算，主动探索速算技巧， 他做了以下探究： 对(10x+5)=100x2+100x+25的结果进行变形，可得： (10x+5)2=100x2+100x+25=100x(x+1)+25 利用上述结论，小军对个位数是5的数的平方能很快得出结果. 例如：252=100×2×(2+1)+25=600+25=625 352=100×3×(3+1)+25=1200+25=1225 452=100×4×(4+1)+25=2000+25=2025. (1)请利用小军的结论直接写出计算结果：652= (2)继续研究，小军发现仿照上述变形方法可以得到算式：29×21的速算方法.小军的思考过程如下： 29×21=(10×2+9)(10×2+1) 用“x”替换上面算式中的“2”，将其一般化表述为： (10x+9)(10x+1)=100x2+100x+9=100x(x+1)+9,于是，29×21=100×2×(2+)+9=600+9=609 请利用上述思考方式探究并计算：37×33=， 56×54= (3)通过上面的例子，我们发现了这类“十位相同、个位和为10”的乘法速算规律.请仿照第(2)题的变 形方式，用一个含x,m,n的等式，把这个规律表示出来（已知m+n=l0), 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48.我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为对消多项式，这个常数称为它们的 “对消值”，如M=2x2-x+6与N=-2x2+x-1互为对消多项式，它们的对消值为5. (1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）： ①3x2+2x与3x2+2;②-5xr2y+2y与5x2y3-2y-1;③2x(x-1)+x与2x2-x+2. (2)多项式A=(x-a)与多项式B=-bx2-2x+b(a,b为常数)互为对消多项式，求它们的对消值. 考点06已知多项式乘积不含某项求字母的值 49.若(x-1(x2+ax+2)的展开式中不含x项，则a的值是( A.-2 B.-1 C.0 D.2 50.若关于x的多项式x2+ax+2与2x-4的乘积中不含x项，则a的值为() A.0 B.-4 c.3 D.2 51.已知关于x的两个多项式A=(x-a°=bx+cr2+dk+l,B=e2+2x-f.下列说法： ①a+b+c+d=6: ②若M=AB不含x项，则f=3E+6 ③若B=N(x-1),其中N为整式，则f-e=2. 其中正确的个数是() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 52.把代数式(x+k)(2x-5)展开，若整理后不含x的一次项，则k的值为 53.若(2x+m)(x-25)的展开式中不含x的一次项，则m= 54.若关于x的多项式(x-mr+3列x-x(4m2+3x+5)的结果中不含x2项，则m的值为 55.若关于x的多项式(c+9)(r-ar+b)(a≠0)化简后的结果不含x项，则。 56.解决下列问题： (1)已知2x+3y-4=0,求9·27'的值： (2)已知-2x(3xr-ax-6)3x+r的计算结果中不含x的三次项，求a的值. 1 57.己知(c+2m)-x+2”的乘积中不含项和x2项. (1)求m、n的值. 10114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求代数式m2026n207的值. 58.若关于x的多项式2x+a与x2-bx-2的乘积展开式中不含x2项，且常数项为8， (1)求a与b的值： (2)化简(a+b(a-ab+b),并求值. 59.对于代数式，不同的表达形式能表现出它不同的性质，若代数式A=x+4x+3,代数式 B=(x-1)2+4(x-)+3,改变x的值，代数式A,B有不同的取值，如下表： -1 3 A=x2+4x+3 0 3 8 15 24 35 B=(x-1)2+4(x-1)+3 -1 0 3 8 15 24 观察表格发现：当x=m时，A=x2+4x+3=n,当x=m+1时，B=(x-)2+4(x-)+3=n,我们把这种现 象称为代数式B参照代数式A取值延后，相应的延后值为1. (1)若代数式D参照代数式A取值延后，相应的延后值为2，求代数式D: (2)若代数式x2-2x参照代数式A的取值延后，求相应的延后值： (3)若代数式4x2-3x+b参照代数式ax2-6x+c取值延后，求b-c的值. 60,若+3m司-3x+的积中不含有，与项 (1)直接写出mn的值，即m= n= (2)求代数式(-m2n+(9mn)}'+(3m)mn206的值. 考点07多项式乘法中的规律性问题 61.已知一组代数式：A(x)=ax+1, A2(x)=a2x2+ax+2. A,(x)=a,x"+ax++ax+n (n为正整数，4，a,…a.为整数，且l≤4≤a≤.≤an≤n) 规定：将A,()中x=1时的值记为B(n).例如：A(x)=ax+1,则B()=a+1;4,(x)=a,x2+ax+2， 则B(2)=a+a+2 ①当n=3时，若4(x)中x2项的系数比x项的系数小1，且x2项的系数与x项的系数相等，则所有符合条 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 件的B(3)值的和为17： ②若规定B(n)的最大值为20，则n的最小值为4： ③当n=4时，若B(4)=12,则满足条件的正整数序列(4,4，4,4)共有4组. 以上说法正确的个数是() A.3 B.2 C.1 D.0 62.我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了(a+b)”展开式 的系数规律。 ·(a+b)0=1 11 …(a+b)=a+b 12 1 …（a+b)2=a2+2ab+b2 133 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 当代数式x4-12x+54x2-108x+81的值为1时，则x的值为() A.2 B.4 C.-2 D.-4 63.“杨辉三角”给出了(a+b)°展开式的系数规律（其中n为正整数，展开式的项按a的数降幂排列）， 它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.例如： (a+b)=a2+2ab+b展开式的项的系数1,2,1与“杨辉三角”第三排对应； (a+b)°=a3+3ab+3ab2+b展开式的项的系数1,3,3,1与“杨辉三角”第四排对应；依此类推…下列 说法正确的有」 (填序号) ①“杨辉三角”第一排是1，第六排数字依次是：1,5,10,10,5,1： ②当a=2,b=-1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值为-1： ③(a+b)展开式中所有系数之和为2026； ④当代数式a4-8a3+24a2-32a+16的值为1时，a=3. …(a+b)} …(a+b)2 1…(a+b)3 1…(a+b)4 64.已知： (1)(a-b)(a+b)=a2-b2. 12114 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b: (3)(a-b)(a+a2b+ab2+b)=a-b:猜想规律如下： (a-b)(a+a-b++ab-2+b-)=a”-b(其中n为正整数，且m2). 利用上面猜想的结论计算：-21+20-2°+28-27+-23+22-2= 65.我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角” -------(a+b)=a+b ---(a+b)2=a2+2ab+b2 --(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b --(a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b1 --(a+b)5=a+5adb+10a3b2+10a2b3+5ab+b 此图揭示了(a+b)”(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)图中括号内的数依次为一、 (2(a+b)展开式共有一项，第100项的系数为—： (3)根据上面的规律，写出(a+b)°的展开式一一： (4)利用上面的规律计算：4-5×44+10×43-10×42+5×4-1； (5)假如今天是星期六，那么再过8是星期几？（直接写出结果） 66.《详解九章算法》一书中给出的杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，此图揭示了(a+b)”(n为 正整数)展开式的项数及各项系数的规律.请利用杨辉三角解决以下问题： (a+b)'-a+b n=2 (a+by-a+2ab+b2 n=3 ①③③① (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b n-4①④⑥④①(atb)A-+4ab6a+4ab+b (1)依次类推，写出(a+b)°=一一： 2(a+b) 的展开式中一共有项，各项系数之和为一一一 间一白限开式中吸在往有数四限为一三次限系数方 (4)当代数式81x-216x+216x2-96x+16的值为1时，则(x-°的值为 67.观察以下等式： 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1个等式：2×4+1=3 第2个等式：3×5+1=42 第3个等式：4×6+1=52 第4个等式：5×7+1=62 … 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第6个等式：_一 (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明. (3)直接写出下列式子的结果， 〔+24+5+2m26 14/14