专题01 幂的运算6大题型归类（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版七年级下册

**基本信息** 聚焦幂的运算6大核心考点，构建"正向运算-逆向转化-实际应用"三阶训练体系，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同底数幂相乘|8题（含新定义、规律探究）|定义直接应用、新定义转化|从基本运算到概念迁移| |同底数幂乘法逆用|6题（含代数式表示）|指数拆分与合并|法则逆向思维训练| |幂的乘方及逆用|15题（含大小比较、方程求解）|幂的乘方公式双向应用|运算规律推导与应用| |积的乘方运算|12题（含性质辨析、化简计算）|因式分步乘方|积的运算性质直接应用| |积的乘方逆用|11题（含技巧计算、拓展探究）|积的乘方公式逆向转化|运算技巧与问题简化| |科学记数法乘法|10题（含实际情境应用）|指数运算与科学记数法结合|数学语言表达现实问题|

专题01 幂的运算6大题型归类 考点01 同底数幂相乘 考点02 同底数幂乘法的逆用 考点03 幂的乘方运算及逆运用 考点04 积的乘方运算 考点05 积的乘方的逆用 考点06 用科学记数法表示数的乘法 考点01 同底数幂相乘 1．_______． 【答案】 【详解】解：． 2．已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系是___． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．计算________． 【答案】 【详解】解：． 4．新定义：如果，则规定，例如：，所以．填空______；若，，，则x，y，z的关系式为______． 【答案】 4 【分析】第一空根据新定义计算得到结果，第二空先根据新定义写出对应幂的等式，再利用同底数幂的乘法法则推导，，的数量关系即可． 【详解】解：， ； ，，， ∴根据新定义可得，，， ∴， ∴， ． 5．若，则“？”所代表的数是______． 【答案】3 【分析】将化成，再根据同底数幂相乘即可． 【详解】解：． 6．表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组（相邻两项相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数）、表示由它生成的第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为，第1个数组的三个数之积为，第n个数组的三个数之积为（n为正整数）． 对于任意的正整数m，n，下列说法： ①若，则k可以是奇数，也可以是偶数； ②； ③的最小值是36； ④若，，则符合条件的最小的n值为11． 其中正确的有_______． 【答案】③④ 【分析】先根据前几个变化规律得到，再逐一分析各说法即可求解． 【详解】解：由题意，第一个数组为， 第二个数组为， 则第三个数组为， 第四个数组为，……， ∴， ， ， ， ， ……， 依次类推，发现，为正整数， ∵， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴为偶数，故①不符合题意； ∵ ∴，， ∴，故②不符合题意； ∵，为正整数，表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组， ∴当，，，时最小， ∴的最小值是；故③符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴n值最小为11，故④符合题意； 故正确的有③④． 7．运用同底数幂的乘法可以得到（若与算同一个算式），按照要求，只运用同底数幂的乘法计算，运算结果可以得到的不同算式共有____个． 【答案】10 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则．根据同底数幂的乘法法则，写出所有只运用同底数幂的乘法计算，运算结果是的不同算式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 运算结果可以得到的不同算式共有10个， 故答案为：10. 8．已知一列数：，，，，，，，将这列数按如图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，在第二个拐弯处，在第三个拐弯处，在第四个拐弯处，……，则第一百个拐弯处的数是_____． 【答案】 【分析】本题考查数字的规律探索以及同底数幂的乘法法则，能够由已知数据得到通项公式是解题关键． 由已知数据推导通项公式，代入计算即可． 【详解】解：设第个拐弯处的数为， 由题意知：，，，， 观察可得，，，，， ∴当且为奇数时，，当为偶数时，， ∴ 故答案为：． 考点02同底数幂乘法的逆用 9．若，则___． 【答案】36 【详解】解：∵， ∴. 10．若，则等于 _____ 【答案】6 【详解】解：∵， ∴． 11．已知，，则的值为_________． 【答案】8 【详解】解： 把，代入得：． 12．已知，，则的值是___________． 【答案】 【详解】解：，， ． 13．我们知道，同底数幂的乘法法则为：（其中，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，比如：如果，那么，请根据这种新运算填空：若，则_______（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】 【分析】根据新的运算定义，将原式化成n个的积乘以2026个的积，再代入值进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴ ． 14．观察下列等式：；；；；…．已知按一定规律排列的一组数：，，，，，，，，若，则______（结果用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】先观察等式规律，得出从到的和为，再将原式变形，最后代入即可． 【详解】解：， ． 考点03幂的乘方运算及逆运用 15．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 16．已知 ，，，则，，之间的数量关系是___________ ． 【答案】 【分析】利用幂的运算法则将用和表示，根据底数相同的幂值相等时指数相等，即可得到a，b，c的数量关系． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， 可得． 17．已知，求的值是__________． 【答案】 【分析】根据得到，根据幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 18．计算：______________． 【答案】 【详解】解：原式 19．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得：，可得，进一步可得答案； （2）由条件可得：，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．设a是方程的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： ； ； ； ； …… (1)根据以上规律填空：________，________； (2)小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若，则请你判断这个猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)这个猜想是正确的，见解析 【分析】本题主要考查了整式运算的应用，规律探索，多项式乘法，解题的关键是熟练掌握相关的运算法则． （1）根据题干的信息，得出答案即可； （2）根据，则，求出，即可证明结论正确． 【详解】（1）解：，； 故答案为：， （2）解：这个猜想是正确的． 理由如下：． 这个猜想是正确的． 21．回答下列问题 (1)已知，，求： ①的值； ②的值． (2)已知，求m的值． 【答案】(1)①17；②72 (2) 【分析】（1）①逆用幂的乘方计算即可； ②先逆用同底数幂的乘法得到，再逆用幂的乘方计算即可； （2）根据幂的乘方及同底数幂的乘法得到，根据幂的乘方得到，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：， ∵ ∴， 解得． 22．逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 23．已知，，求下列各式的值． (1)__________，__________； (2)． 【答案】(1)45，25 (2) 【分析】（1）利用同底数幂相乘的逆运算和幂的乘方的逆运算求解； （2）利用同底数幂的乘法以及逆运算法则和幂的乘方的逆运算法则求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 24．求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)27 (2)8 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以 ； 25．新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 26．（1）若，，用含的代数式表示． （2）若，用含的代数式表示． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了幂的乘法和幂的乘方，掌握运算法则是解决问题的关键． （1），，利用运算法则计算即可． （2）观察题目中数据可知，构造即可求出结果． 【详解】解：（1），， ． （2）， ， ， ， ． 27．规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 28．逆向运用幂的运算法则可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)的结果是____________； (2)若，求的值； (3)比较大小：已知，，，求，，的大小关系．（提示：若，为正整数，则） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据积的乘方的逆运算法则，同底数幂的乘法的逆运算法则，即可解答； （2）根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的运算法则，进行计算即可； （3）先将，，转化为同指数幂，再比较底数的大小，即可解答． 【详解】（1）解：． （2）解：，且， ， ， ． （3）解：，，，且， ， 即． 29．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 考点04积的乘方运算 30．下面运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别利用同底数幂乘法、合并同类项、单项式乘法、积的乘方法则计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意． 31．计算的结果为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的运算，先根据积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为． 32．已知，，则 ______． 【答案】 【分析】根据积的乘方运算法则：，将已知条件代入直接计算求解． 【详解】解：根据积的乘方运算法则： ， ， 代入得：． 33．若，则_____________． 【答案】15 【详解】解：． 34．已知，，则的值为______． 【答案】15 【详解】解：． 35．阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 即：． 材料二：等式成立 试求：（1）__________． （2）___________． 【答案】 220 333300 【分析】（1）根据将变形为，再利用进行计算即可得到答案； （2）先利用将变形为，再利用进行计算即可得到答案． 【详解】解：（1）， ， 原式 ， 故答案为：220； （2）， ， 原式 ， 故答案为：333300． 【点睛】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握的积的乘方的运算法则，能准确利用题中所给的公式是解题的关键． 36．已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 37．计算：． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式乘以单项式运算法则，合并同类项法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 38．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 39．若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，则，进而可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 40．计算： (1)简便计算：； (2)已知，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了积的乘方，幂的乘方的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质； （1）把式子变形成进而可求解； （2）根据，再由，进而可解答； 【详解】（1）解： （2）解：， ， 41．找规律：观察算式 13＝1 13+23＝9 13+23+33＝36 13+23+33+43＝100 … （1）按规律填空） 13+23+33+43+…+103＝　 ； 13+23+33+43+…+n3＝　 ． （2）由上面的规律计算：113+123+133+143+…+503（要求：写出计算过程） （3）思维拓展：计算：23+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 【答案】（1）；；（2）1622600；（3） 【分析】（1）观察等式右边都是平方数，且底数正好是等式左边各底数的和，依此规律类推可分别解决以上两个问题； （2）由于上面的等式都是从底数是1开始的，所以可以把该式子前面的部分从1开始补上，再把补上的部分减掉即可； （3）该式中的底数并不是题干中所给出的从1开始的连续整数，因此不能直接用上述规律解题，但该式中的底数却都是从1开始的连续整数的2倍，因此提出2后，各项都含有，逆用乘法分配律即可解决问题． 【详解】解：（1）13+23+33+43+…+103＝（1+2+3+4+…+10）2＝； 13+23+33+43+…+n3＝（1+2+3+4+…+n）2＝； （2）113+123+133+143+…+503＝（13+23+33+43+…+503）-（13+23+33+43+…+103） ＝ ＝1622600； （3）23+43+63+…+983+1003＝（2×1）3+（2×2）3+（2×3）2+（2×4）3+…+（2×50）3＝23×（13+23+33+43+…+503） ＝23×＝． 【点睛】本题属于数式规律题，考查了学生对数的观察和分析的能力，首先学生应对平方数有一定的认识和感知力，这样才能迈出解决问题的第一步，其次学生要学会对不同的数进行关联，通过它们的和差积商中的一种或多种组合找到它们的联系，才能得出这道题的规律，建议在学习过程中多积累相关经验，发散思维，提高解决该类问题的效率． 考点05积的乘方的逆用 42．计算：_____． 【答案】 【分析】先利用同底数幂的乘法逆运算将原式变形为，再由积的乘方逆运算求解即可． 【详解】解： ． 43．已知，，n为正整数，则________． 【答案】25 【分析】根据幂的乘方、积的乘方逆运用将所求代数式化为，再代入求值即可； 【详解】解：∵，，是偶数， ∴ ． 44．如果，那么我们规定．例如：因为，所以．若，，则____． 【答案】/ 【分析】根据新定义得到 ， ，利用幂的运算法则推出，再代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 45．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】； (2)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 解得． 46．数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限．老师带领同学们一起探索“数学之美”，他们发现： ；． 总结规律，解答下列问题． （1）_______． （2）_______． 【答案】 1 【分析】（1）直接利用从题干示例中总结出的规律计算即可， （2）将原式拆分变形，再运用规律计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 47．已知正整数满足，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 48．若，，用含的代数式表示为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 49．材料阅读题． 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算： 解： ． (1)【计算】 ①； ②； (2)【拓展】若，求n的值． 【答案】(1)①1，② (2)3 【分析】（1）①利用积的乘方法则的逆运算解答即可；②将指数化为相同的形式，再利用积的乘方法则的逆运算解答即可； （2）利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，将等式左边化为以2为底的幂的形式，然后根据同底数幂相等的性质列出关于n的方程求解即可． 【详解】（1）解：① ② （2）解：∵ ∴， ∴， 解得． 50．【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题． 计算：． 解：原式， ， ， ． 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题． (1)计算： ①； ②； (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①将拆为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算；②将化为，逆用积的乘方公式，把指数相同的与结合计算； （2）先逆用积的乘方公式将左边化为，再根据同底数幂相等则指数相等列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 51．【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若且，m，n都是正整数． ①当时，； 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大． ②当时，； 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大． ③当时，， 【应用知识】 (1)①化简计算 ②若，求x的值． 【拓展探究】 (2)①比较与的大小． ②比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2)①；② 【分析】（1）①把原式变形为，进一步变形为，据此求解即可；②根据得到，进一步得到，则，解方程即可得到答案； （2）①根据题意可得，，据此可得答案；②根据题意可得，则可证明，据此可得答案． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，， ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 52．技巧计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算， （1）根据有理数运算法则计算即可，计算小括号时，利用加法的交换律和结合律凑整可以简便运算， （2）根据分母的特征，先将选择适当的两个分数进行相加，可以简化计算， （3）先对每一项约分。可以得到形式，再裂项相消即可计算； （4）逆用乘法的分配律，分子提出公因数，分母提出公因数后即可约分，由此即可得出计算结果. 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 考点06用科学记数法表示数的乘法 53．2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT（昵称“万星瞳”）在例行巡天观测中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变．已知最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳的光度约为，则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法表示）约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵该源区最亮时达到的光度约是太阳光度的倍，太阳光度为， ∴该源区最亮时的光度 ． 54．随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生．多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”AI在某功能测试中，每秒可处理数据条，若持续运行秒，则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“总数据条数每秒处理数据条数运行时间”列式，计算后整理为标准科学记数法形式即可． 【详解】解：． 55．根据字节跳动AI算力集群公开测算数据，抖音及旗下AI业务总计约使用万张主流加速芯片．若按单芯片每秒可完成次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法和同底数幂的乘法运算，解题思路为将芯片总数转化为科学记数法，再计算总运算次数，化简得到标准科学记数法形式即可． 【详解】解：∵万，单芯片每秒运算次数为次， ∴ 总运算次数为：． 56．2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任务．已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为，则火卫一与火星的最近距离约为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倍数关系列出算式，将结果整理为标准科学记数法即可得到答案． 【详解】解：∵ 火卫一与火星的最近距离为地球同步卫星轨道高度的倍，地球同步卫星轨道高度为 ∴所求距离为：． 57．2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为米，则该小行星与地球的最近距离约为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查科学记数法的乘法运算，根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，已知月球远地点距离为米，计算乘积后将结果整理为正确的科学记数法形式即可． 【详解】解：． 58．某种计算机每秒可进行次运算，它工作分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将工作时间的单位由分钟换算为秒，再计算总运算次数，最后转化为科学记数法即可． 【详解】解：∵ 分钟秒， ∴ 工作分钟的总时间为秒， 则计算总运算次数． 59．据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团的中心，该星系团距离地球约亿光年，质量约为太阳的万亿倍．已知太阳的质量约为，则用科学记数法表示该星系团的质量，约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将倍数“1000万亿”转化为科学记数形式，再结合太阳质量计算星系团质量即可． 【详解】解：∵万亿，太阳质量约为， ∴该星系团质量为． 60．U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，已知，则图中的U盘容量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用同底数幂乘法求解即可． 【详解】解：根据题意，得． 61．用科学记数法表示：_________． 【答案】 【分析】先计算系数乘积，再计算同底数幂的乘积，最后整理得到符合要求的科学记数法形式即可． 【详解】解： ． 62．计算：（用科学记数法表示结果） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了科学记数法的运算，解题的关键是掌握科学记数法的乘法法则和幂的运算性质； （1）先将系数相乘，再将同底数幂相乘即可； （2）先将系数相乘，再将同底数幂相乘，再将其化为科学记数法形式； （3）先计算积的乘方，再利用同底数幂的乘法运算，系数相乘，再将其化为科学记数法形式． 【详解】（1）解：； （2）解：． （3）解：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01幂的运算6大题型归类 考点归纳 考点01同底数幂相乘 考点02同底数幂乘法的逆用 考点03幂的乘方运算及逆运用 考点04积的乘方运算 考点05积的乘方的逆用 考点06用科学记数法表示数的乘法 考点专练 考点01同底数幂相乘 1.aa2.a3= 2.己知m,n是正整数，且满足3m3m3m=3”,则m与n的关系是· 3.计算a2.(-a3= 4,新定义：如果a”=b,则规定(a,b)=n,例如：3=9，所以(3,9)=2.填空-3,81=；若 (4,12)=x,（4,5=y,(4,60)=2,则x,少，z的关系式为 5.若32+32+32=3，则“？”所代表的数是· 6.(a,b,c)表示由三个互不相等的正整数组成的一个数组，(ab,bc,ca)表示由它生成的第一个数组（相邻两项 相乘作为左边的数，最后一个与第一个相乘作为最后一个数)、(abc,bc2a,cab)表示由它生成的第二个数组， 按此方式可以生成很多数组，记开始三个数之积为T,=abc,第1个数组的三个数之积为T=abbcca=a2b2c2, 第n个数组的三个数之积为T,(n为正整数). 对于任意的正整数m,n,下列说法： ①若Tn=(abc),则k可以是奇数，也可以是偶数： ②T。·Tm=T+m; ③工的最小值是36： ④若n=,k>2024,则符合条件的最小的n值为11. 其中正确的有 7.运用同底数幂的乘法可以得到aaaa2=a5（若aaa3与aaa算同一个算式)，按照要求，只运用同底 数幂的乘法计算，运算结果可以得到a的不同算式共有个 8.己知一列数：-2,4，-8,16，-32,64，-128，…将这列数按如图所示的规律排成一个数阵，其 1/9 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 中，4在第一个拐弯处，-8在第二个拐弯处，-32在第三个拐弯处，-128在第四个拐弯处，，则第一百 个拐弯处的数是· -128←-64←--32 256-2 16 个 -5124→-8 1024-2048… 考点02同底数幂乘法的逆用 9.若a=9,a"=4,则am"= 10.若a=3,a'=2,则a+y等于 11.已知3"=4,3”=2，则3m+"的值为 12.己知4m=2,4”=3,则43m+2m的值是 13.我们知道，同底数幂的乘法法则为：a"a”=am+”(其中a≠0，m,n为正整数)，类似地我们规定关于 任意正整数m:n的一种新运第：m+川小=侧-h,比如：如果0)=子，那么 h2)=A1+)=M)-h0=名，请表据这种新运算填空：若0=k20,剥A0-M2020=（用合 n和k的代数式表示，其中n为正整数). 14.观察下列等式：2+22=23-2；2+22+23=24-2；2+22+2+24=25-2；2+22+23+2+2=26-2；… 己知按一定规律排列的一组数：220,221,222,22,224…，238,29,20，若220=m,则 220+221+222+223+224+…+238+29+20=(结果用含m的代数式表示). 考点O3幂的乘方运算及逆运用 15.若正整数m,n满足3土3”+…+3=×3”×3，则下面关系正确的是（) 9个3"相知 9个3”相乘 A.m+2=9n B.2m=9n C.m+2=n D.2m=9+n 16.己知5“=2,5=6,5=48，则a,b,C之间的数量关系是 17.已知2x+4y-3=0,求4×16的值是 18.计算：(5ab)'= 19.若a"=a”(a>0且a≠1，m,n是正有理数)，则m=n.利用该结论解决下面的问题： (1)如果4"=24，求x的值； (2)如果3+1+3+2=108，求x的值 20.设a是方程x2-3x-1=0的一个根，学习小组的成员发现如下一系列等式： 2/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a2=3a+1; a3=10a+3; a4=33a+10; a3=109a+33; (1)根据以上规律填空：a=」 ,a= (2)小华同学通过观察比较两个相邻的等式，提出了一个猜想：设n是正整数，若a+=sa+t,则 a+2=(3s+ta+s请你判断这个猜想是否正确，并说明理由， 21.回答下列问题 (1)已知10°=3,10°=2，求： ①1020+1030的值： ②1020+3动的值. (2)己知8m+1.2m-1=4”,求m的值 22.逆向运用幂的运算法则可以得到a+=a”a”,a-"=a”÷a”,am"=(a"”,a”.b”=(ab),根据算式的结构 特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解 2022 山计第2 的结果是 ； (2)若3m×9"×27m=32,求m的值； (3)已知a=255,b=34,c=53,比较a,b,c的大小. 23.已知x"=5,x”=9,求下列各式的值 (1)Xm+n= ’x2m= ； (2)x3m-2n.x2m+4n 24.求值： (1)己知a2=3,求a6的值： (2)已知2x+y-3=0,求4.2的值. 25.新定义：如果a”=b,则规定(a,b=n,例如：32=9，所以(3,9)=2. (1)填空：（2,4)=-（-3,81=- (2)若(4,12)=x,(4,5)=y,(4,60)=z,试说明x+y=2: (3)若(m,5=(m,125=k(k为奇数)，求m与n满足的数量关系. 26.(1)若10"=a,10”=b,用含a,b的代数式表示10m*2m. (2)若x=7,y=8,用含x,y的代数式表示566. 3/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 27.规定新运算：f(m)f(n)=f(m+n)(其中m,n为正整数).例如：若f(3)=2,则 f(6)=f3+3)=f(3)f3)=2×2=4. (1)若f(2)=5, ①求f(4)的值； ②当f(2n)=125,求n的值. (2)若f(a)=3,求f(a)f(2a)f(3a)…f(10a)的值. 28.逆向运用幂的运算法则可以得到am*m=am·a”,am-"=a"÷a”,amm=(am)”,a”·b”=(ab)”,在解题过 程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解 2026 225×2 的结果是 (2)若3m×9"×27m=32，求m的值； (3)比较大小：已知a=34,b=63,c=82,求a,b,C的大小关系.（提示：若a>b>0,n为正整数， 则a”>b”) 29.比较下列各题中幂的大小： (1)比较34,53,622这3个数的大小关系： (2)已知a=811,b=2741,c=91,比较a、b、c的大小关系. 考点04积的乘方运算 30.下面运算中正确的是() A.m2.m3=m6 B.m2+m2=2m C.（-2x2）-5x）=10x D.（-3a2b=6a4b2 31.计算2x2-(2x)2的结果为 32.己知a”=4,b"=10,则(ab)”= 33.若x=3,y”=5,则(xy)”= 34.已知am=3,bm=5,则(ab)"的值为 35.阅读材料，回答下列问题： 材料一：积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 即：（ab)"=a"b". 材料二：等式1+22+32+…+m2=mn+(2n+ ,n(n+1=n2+n成立 6 试求：（1)22+42+62+…+102= (2)1×2+2×3+3×4+.+99×100= 4/9 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 36.已知5=160,32=160，则(-2022)-1-11= 37.计算：(-2m2n)+(-m)°(-2n）. 38.计算：3x3+(2x2)2x-2x3x2. 39.若a”=a(a>0且a≠1，m,n是正整数)，则m=n,请你利用上面的结论解决下面的2个问题. (1)如果3×9=321，求x的值； (2)如果22-×3-1=123-9，求x的值. 40.计算： a简促计第："x(含×(： (2)已知91-32"=72，求n的值. 41.找规律：观察算式 13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 (1)按规律填空) 13+22+33+43++103=一： 13+23+33+43++n3= (2)由上面的规律计算：113+123+133+143++503（要求：写出计算过程) (3)思维拓展：计算：2+43+63+…+983+1003（要求：写出计算过程） 考点05积的乘方的逆用 42.计第：44) 1)2025 43.已知x=-5,=亏n为正整数，则r0y= 44.如果x”=y,那么我们规定x,=n,例如：因为32=9，所以(3,9]=2.若(3,21=a,(1,21=b, 则+b 4ab 45.材料阅读题. 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 5/9 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 计算：(-4)7×0.257 解：(-4)7×0.25=（-4×0.25)7 =(-107 =-1. 2026 (1)【计算】 ×22026; (2)【拓展】若24”16”=29，求的值。 46.数学是一门纯粹的学科，它的魅力在于它所呈现的和谐、规律和无限.老师带领同学们一起探索“数学 之美”，他们发现： (-3)2×42=[(-3)×4]×[(-3)×4]=[(-3)×4]=(-12)2=144: -4x4x-4=r=1 总结规律，解答下列问题。 a( 2 .已正发数满〔号得-8，则 48. 若x=2m-1,y=1+4m1,用含x的代数式表示y为 49.材料阅读题. 【问题背景】如图是小明完成的一道作业题，请你参考小明的方法解答下面的问题： 小明的作业 计算：（-4×0.257 解：（-4)×0.257=(-4×0.25) =(-1) =-1. (1)【计算】 2， @: 6/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)【拓展】若2.4”16”=29，求n的值 50.【教材研究】下面方框内是2024苏科版教材内的一道例题 计算：4°×(-25)°。 解：原式=4×43×(-25)3， =4×[4×(-25)]8, =4×(-100)8, =4×1016. 【我的感悟】请参考方框内的解法解答下列问题. (1)计算： ①82026×(-0.125)2025； (2)如果30+3.7*3=212a-5,求a的值 51.【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现： 若a>0且a≠1，b>0,m,n都是正整数。 ①当m>n时，a">a"(a>l: 这说明当底数是相同的正数时，指数越大，幂越大. ②当a>b时，am>b"; 这说明当指数是相同的正整数时，底数越大，幂越大. ③当a"=a”时，m=n,am.b"=(ab) 【应用知识】 ②若2·8"=2"，求x的值. 【拓展探究】 (2)①比较20与320的大小. ②比较806与244的大小. 52.技巧计算： 号[含a56-05+0194 7/9 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3)、3+3 3 3 3×26×3'9×4 294×99297×100 (4) 5x22+52×4++5°×2 5×32+52×62+…+5”×2m-×3 考点06用科学记数法表示数的乘法 53.2025年7月2日，搭载于“天关”卫星上的宽视场X射线望远镜WXT(昵称“万星瞳")在例行巡天观测 中，发现一例突然出现，存在剧烈光变的暂现源，该源区发生一系列X射线闪耀变.已知最亮时达到的光 度约是太阳光度的8×105倍，太阳的光度约为3.8×10eg/s,则该源区最亮时达到的光度（用科学记数法 表示)约为() A.3.04×1048erg/s B.30.4×1048erg/s C.3.04×1049erg/s D.0.304×1050rg/s 54.随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生.多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件， 计划举办手抄报展览，据统计，“豆包”A1在某功能测试中，每秒可处理数据2.5×10条，若持续运行4×10秒， 则这段时间内共处理的数据条数用科学记数法表示为() A.1×109 B.1×100 C.10×10 D.10×100 55.根据字节跳动A1算力集群公开测算数据，抖音及旗下Al业务总计约使用1400万张主流加速芯片.若按 单芯片每秒可完成1×10？次运算，整个集群每秒可完成的总运算次数用科学记数法表示为() A.1.4×108 B.1.4×109 C.14x108 D.1.4×1020 56.2026年3月10日，某新型火星探测器在酒泉卫星发射中心成功发射，开启对火星卫星火卫一的探测任 务.已知火卫一与火星的最近距离约为地球同步卫星轨道高度的35倍，地球同步卫星轨道高度约为 3.6×10km,则火卫一与火星的最近距离约为() A.5.36×10°kmB.1.26×10km C.5.36×10km D.1.26×103km 57.2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星 2016H03的探测与采样返回之旅，已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地 点距离约为4×10米，则该小行星与地球的最近距离约为()米 A.1.8×1010 B.1.8×10 C.1.8×108 D.1.8×10 58.某种计算机每秒可进行4×10次运算，它工作5分钟可以完成的运算次数用科学记数法表示为() A.12×102B.12×1020 C.1.2×10 D.1.2×104 59.据报道，研究人员发现迄今最远的超陡频谱射电晕，位于星系团SPT-CLJ2337-5942的中心，该星系 团距离地球约70亿光年，质量约为太阳的1000万亿倍.己知太阳的质量约为2×103kg,则用科学记数法表 示该星系团的质量，约为() A.2×1033kgB.2×103kg C.2×1045kg D.2×1046kg 8/9 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 60.U盘由朗科公司1999年发明，取代软盘，成为便携式移动存储的划时代产品，己知1GB=2MB,则 图中20GB的U盘容量是() A.5x1020MB B.5×212MB C.220MB D.2×102MB 61.用科学记数法表示：(2×10)×-3×10)=· 62.计算：（用科学记数法表示结果） (1)(2×10）×3×10）: (2-3.5×103）×-4×107）: 32x103)2×(3x10）. 9/9