精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2026届高三考前适应性考试数学试题

奋斗中学2026届高三适应性训练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 3. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数的图象,只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 7. 设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ） A. （38－3 m3 B. 16 m3 C. 4 m3 D. 14 m3 8. 已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，，，，的上四分位数是 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 内切圆半径的最大值为 C. 椭圆C内接矩形面积的最大值为 D. 若，则的最小值是1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数所对应的点坐标为_____. 13. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 14. 写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）化简的解析式，并求的单调递增区间； （2）设数列满足，求数列的前项和. 16. 某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 （1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 17. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，． （1）证明：； （2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数，都有，则称函数为“广义奇函数”. （1）若，证明：函数为“广义奇函数”； （2）若是“广义奇函数”，求实数的值； （3）若，证明：函数在定义域内有且仅有两个零点. 19. 动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2026届高三适应性训练数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以，所以. 2. 在中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边，然后整理化简即可得答案. 【详解】因为 所以， 整理得， 即的形状是等腰三角形. 故选：A. 3. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，问题转化不等式非负的问题，分，两种情况讨论即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以恒成立， 当时，不等式为，故符合题意； 当时，要使恒成立，则需满足， 解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：C 4. 在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过中位线得到异面直线与所成角的平面角，根据题意结合余弦定理即可求解；或者将三棱锥扩充为正方体，得到异面直线与所成角的平面角，根据正方体的性质即可求解. 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 5. 某家庭有3个孩子，已知其中一个孩子是男孩，则恰有1个孩子是女孩的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据样本空间法，结合古典概型概率公式求解. 【详解】3个孩子，其中一个是男孩包含的基本事件有（男男男），（男女男），（女男男）， （男男女），（男女女），（女男女），（女女男），共包含7个基本事件 其中恰有1个女孩包含（男女男），（女男男），（男男女），共3个基本事件， 所以恰有1个孩子是女孩的概率. 6. 函数在一个周期内的图像如图所示,为了得到函数的图象,只要把函数的图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】由函数的图象的最大值求出,由周期求出,由五点作图法求出,从而可得的解析式.再结合函数的图象平移变换规律即可得出结论. 【详解】由函数的部分图像可得 再根据五点法作图可得 故把的图象向右平移个单位长度,可得的图象. 故选：. 7. 设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（ ） A. （38－3 m3 B. 16 m3 C. 4 m3 D. 14 m3 【答案】B 【解析】 【详解】设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即， ∴， 即， 解得， ∴． ∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立． ∴车厢容积的最大值为．选B． 8. 已知函数在处取得极小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导得，利用二次函数的图象及极小值点的定义即可求解. 【详解】因为，所以. 令，得或. 由函数在处取得极小值可知，解得. 经验证此时满足题意. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. ，，，，，的上四分位数是 B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数越接近于1 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数小于中位数 【答案】AC 【解析】 【分析】直接计算第75百分位数即可判断A；根据相关系数的绝对值越接近于1，线性相关性越强判断B；根据二项分布的期望公式与线性期望公式判断C；根据频率分布直方图的性质判断D. 【详解】对于A，数据共6个，，故第5个数据即为上四分位数，故正确； 对于B，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故错误； 对于C，随机变量服从二项分布，则，，故正确； 对于D，数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其中位数小于平均数，故错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由对数函数的定义域求得函数定义域，由复合函数对称性得到对称轴，复合函数的单调性求得单调区间，由单调区间求得最大值. 【详解】，∴定义域为，A选项正确； ，令， 则，因为二次函数的图象的对称轴为直线， 又因为的定义域为，所以的图象关于直线对称，D选项正确； 且在上单调递增，在上单调递减，B选项错误； 当时，有最大值，所以，C选项错误； 故选：AD. 11. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的离心率为 B. 内切圆半径的最大值为 C. 椭圆C内接矩形面积的最大值为 D. 若，则的最小值是1 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的共轭复数所对应的点坐标为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法求得，从而得共轭复数，然后由复数的几何意义得点坐标． 【详解】，所以，对应点的坐标为， 故答案为：． 13. 某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径1的半球.已知该胶囊的体积为，则它的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可． 【详解】设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得， 所以胶囊的表面积为. 14. 写出一个同时满足下列条件①②③的函数的解析式：_____________．（答案不唯一） ①；②恰有两个不同的零点；③． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】由，积分得（为常数）， 由恰有两个零点，得，即， 由，得，即， 取，得满足条件的一个函数解析式：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数. （1）化简的解析式，并求的单调递增区间； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角差的余弦公式以及正弦函数的单调性求解即可. （2）根据三角函数的诱导公式进行分类讨论即可. 【小问1详解】 . ，， 解得，. 所以的单调递增区间为：. 【小问2详解】 由题意. 当为奇数时：， . 当为偶数时：， . 前项中：奇数项、偶数项各项. 16. 某工厂生产一种仪器，已知该仪器出厂前的检测流程为：若第一次检测合格，则该件仪器合格；若第一次检测不合格，则对该件仪器进行调校后再进行第二次检测．如果第二次检测合格，则该件仪器合格；否则为不合格．已知该仪器第一次检测的合格率为0.8，第二次检测的合格率为0.5 （1）从未经过检测的仪器中随机抽取3件，按上述流程进行检测，记合格的件数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）在统计学中，对于离散型随机变量，当且时，可以认为近似服从正态分布，其中和分别为在二项分布中的期望和标准差，现从未经过检测的仪器中随机抽取100件，按上述流程进行检测，试估计合格的件数的概率． 附：若，则，，． 【答案】（1）分布列见解析，2.7 （2）0.976． 【解析】 【分析】（1）由条件求该仪器的合格率，根据二项分布的定义判断随机变量，结合二项分布概率公式求分布列，再由二项分布期望公式求期望； （2）结合题干信息判断随机变量Y近似服从正态分布，求，再根据正态分布性质并结合参考数据求结论. 【小问1详解】 由题，该仪器的合格率， 所以随机变量，故其分布列为， 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 数学期望． 【小问2详解】 由（1）知，随机变量， 此时，， 所以可以认为随机变量Y近似服从正态分布， 其中，， 所以， 所以 ． 所以合格的件数的概率约为0.976． 17. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，． （1）证明：； （2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取中点，连接． 由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高． 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 18. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数，都有，则称函数为“广义奇函数”. （1）若，证明：函数为“广义奇函数”； （2）若是“广义奇函数”，求实数的值； （3）若，证明：函数在定义域内有且仅有两个零点. 【答案】（1） ，则，， 故函数为“广义奇函数”. （2）或 （3） 先考虑函数的单调性： 解法1：函数，，任取，，且. 因为，则，，，, 则，，即，故. 所以函数在上单调递增,同理，函数在上也单调递增 解法2：易知函数在上单调递增， 函数在和上分别单调递增. 所以函数在和上分别单调递增. 下面利用零点存在定理说明函数零点个数. ，， 由零点存在性定理知，，， 则函数在上有且只有一个零点. 又, 所以函数是“广义奇函数”, 则，即，也是函数的零点, 所以函数在和各有一个零点， 即函数在定义域内有且只有两个零点. 【解析】 【分析】（1）根据“广义奇函数”的定义可证为“广义奇函数”； （2）根据“广义奇函数”的性质可求参数的值； （3）证明函数的单调性后结合零点存在性定理可证明函数有两个零点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是“广义奇函数”，则 整理得恒成立 解得或 【小问3详解】 略 19. 动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； （3）已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】（1） （2）或 （3）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）设，然后根据列等式，最后整理即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可得到当时，面积最大，然后利用等腰三角形的性质列方程，解方程即可； （3）根据圆的性质得到为以为直径的圆与圆的相交线，然后根据圆的方程得到的方程，最后求定点即可. 【小问1详解】 由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $