精品解析：天津市第四十三中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中考试数学试题

天津市第四十三中学2025-2026学年高一下期中阶段测验 数学学科 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的虚部是 【答案】B 【解析】 【分析】结合复数运算法则化简复数可以判断A；结合复数模的定义可以判断B，C；结合虚部定义可以判断D. 【详解】分子分母同乘分母的共轭复数可得： . 选项A： ，错误； 选项B：复数模长，正确； 选项C：，错误； 选项D：的虚部是，不是，错误. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 三棱锥是四面体 B. 三棱台是五面体 C. 正方体是四棱柱 D. 四棱柱是长方体 【答案】D 【解析】 【分析】利用棱柱、棱锥、棱台的定义，判断选项即可. 【详解】解：根据棱柱、棱锥、棱台的定义，选项A、B、C正确； 对选项D：只有底面是矩形的直四棱柱才是长方体，所以四棱柱是长方体不正确； 故选：D. 3. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设球的半径为，则圆柱、圆锥的半径为，高为， 所以圆锥的体积， 圆柱的体积， 球的体积， 因此圆柱、圆锥、球的体积的比为. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直、平行列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】由于， 所以，解得， 所以， 所以. 故选：C 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】根据线、面位置关系结合线、面平行的判定定理分析判断. 【详解】对于①：因为面面平行的判定定理要求相交，若没有，则可能相交，故①错误； 对于②：因为线面平行的判定定理要求，若没有，则可能，故②错误； 对于③：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故③错误； 对于④：根据线、面位置关系可知：//，或异面，故④错误； 故选：A. 6. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【详解】中，，则， 又，则， 由，可得，代入， 则有，则，则， 又，则的形状是等边三角形. 7. 用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据原图和直观图面积关系，求得题目所求直观图的面积. 【详解】设原图的面积为，直观图的面积为，则. 正方形的面积为，所以其直观图的面积为. 故选：A 【点睛】本小题主要考查斜二测画法有关的面积计算，属于基础题. 8. 如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可 【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中， 因为，而，所以在中，，故， 故选：C． 9. 在中，分别是角的对边，,则角为 A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理，可得，即可求解的大小，得到答案． 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 又由，且，所以或，故选D． 【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟练利用正弦定理，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥轴截面等边三角形的边长为，则底面圆的直径为，底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高， 圆锥侧面积， 内切球的球心在圆锥的高上，且球与轴截面的三边都相切，所以球的半径就是这个等边三角形的内切圆半径， 对于边长为的等边三角形，其内切圆半径为高的，即 ，即圆锥内切球的半径为， 所以圆锥内切球的表面积， 因此. 11. 在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立平面直角坐标系，根据条件求出，写出的表达式， 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， 由已知可得，； 设，则， 由可得 解得，所以； ， 由得，解得，此时. 设,则， ， 所以 当时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算及应用，平面向量问题优先考虑坐标运算，最值问题应先构建目标式，结合目标式的特点进行求解，侧重考查数学运算的核心素养. 12. 设t∈R，已知平面向量满足：，且，向量，若存在两个不同的实数，使得，则实数t（ ） A. 有最大值为2，最小值为 B. 无最大值，最小值为 C. 有最大值为2，无最小值 D. 无最大值，最小值为0 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式得出，从而将方程化为，利用二次函数零点的分布求出的范围，即可得出答案. 【详解】设向量的夹角为 ， ， 存在两个不同的实数，使得 即存在两个不同的实数，使得 即在内有两个不同的零点 ，解得 则实数的最小值为，无最大值 故选：B 【点睛】本题主要考查了数量积公式的应用，利用二次函数零点分布求参数范围，属于中档题. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 一元二次方程x2-2x+m=0的一个虚根为，则另一个虚根为___________，实数___________. 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】由方程根的意义，用替换方程x2-2x+m=0中的x，经计算得m，再还原解一元二次方程得解. 【详解】因是一元二次方程x2-2x+m=0的一个根， 所以； m=5时，方程为x2-2x+5＝0，(x-1)2=-4，(x-1)2=(2i)2，， 即或，所以方程的另一虚根为. 故答案为：；5 14. 设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的加法以及共线向量基本定理，求解即可. 【详解】由题意可得. ∵，，三点共线 ∴， ∴ ∴解得 故答案为： 【点睛】本题考查向量的加法以及共线向量基本定理.属于较易题. 15. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 【答案】 【解析】 【分析】 利用弧长公式，即可求得圆锥的母线，利用圆锥表面积公式即可求得结果. 【详解】因为底面圆周长，也即扇形的弧长为， 设圆锥母线长为，则可得，解得. 故可得圆锥的侧面积. 则表面积为 故答案为：. 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，以及圆锥侧面积的求解，属综合基础题. 16. 已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由直二面角得到、，根据勾股定理得到，，求出，求出，求出，设点到平面的距离为，由计算出则. 【详解】直二面角，棱为， 因为，，，， 所以，，，，， ，， ，， ， ， 所以， 因为， ，所以平面， 即是三棱锥的高，且， ，故， 在Rt中，， ， 设点到平面的距离为， ，则，解得 ， 即. 17. 如图中，已知点在边上，，，，，则的长为____ 【答案】 【解析】 【分析】通过诱导公式易知，利用余弦定理计算即得结论． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查求三角形中某条线段的长度，利用三角函数的诱导公式、余弦定理是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 18. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为______，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 由题意可知正四棱锥内有内切球，利用分割法及等体积法可求出球的半径，即可求解. 【详解】每个侧面三角形的面积均为，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的表面积为； 球的体积要达到最大，则需要球与四棱锥五个面都相切， 正四棱锥的高为， 设球的半径为， 所以四棱锥的体积， 故， . 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：在四棱锥中的内切球，利用分割法，可分割为以球心为顶点的三棱锥与四棱锥，棱锥的高都为球半径，根据等体积法即可求出球的半径. 三、解答题：本题共4小题，共41分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知，，．求： （1）与的夹角． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把展开，代入已知数据，结合数量积的公式求出夹角的余弦公式，即可得夹角； （2）由，利用向量数量积计算. 【小问1详解】 ，，， ，即， ． 又的取值范围为， ． 【小问2详解】 可得． 20. 在中，内角、、的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 【答案】（1）； （2）（ⅰ）；（ii）． 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得角的大小. （2）（ⅰ）已知两边和夹角，用余弦定理求得边； （ⅱ）由两角差的正弦公式求得的值. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得 ，， ， （2）（ⅰ）因为，， 由余弦定理得， （ⅱ）由，因为为锐角，所以 ，， 【点睛】本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，还考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及两角差的正弦公式. 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）. 【解析】 【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果； （II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果； （III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果. 【详解】（I）证明：连接，易知，， 又由，故， 又因为平面，平面， 所以平面. （II）证明：取棱的中点，连接， 依题意，得， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又平面，故， 又已知，， 所以平面. （III）解：连接， 由（II）中平面， 可知为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，且为的中点， 所以，又， 在中，， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力. 22. 在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且，求边； (3)若，求周长的最大值. 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】 【详解】试题分析:(1)由正弦定理化简题中给出的等式,再根据余弦定理可求出角;(2)由正弦定理和三角形的面积公司可求出,再用余弦定理求出b边;(3)由余弦定理和基本不等式放缩即可求得三角形周长的最大值. 试题解析: (1)中，因为，所以， 所以， 所以 所以， 所以. (2)由正弦定理得：， 又，得，所以，所以 又由余弦定理： 所以 (3)由余弦定理： 所以，当且仅当时等号成立. 故，即周长最大值为. 点睛:本题考查正余弦定理解决三角形问题以及基本不等式的应用. 在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十三中学2025-2026学年高一下期中阶段测验 数学学科 一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，其中为虚数单位，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的虚部是 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 三棱锥是四面体 B. 三棱台是五面体 C. 正方体是四棱柱 D. 四棱柱是长方体 3. 若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ） A. B. C. D. 4. 设，向量且，则（ ） A. B. C. D. 10 5. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①；②； ③；④． 其中正确命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6. 在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 用斜二测画法画边长为2的正方形的直观图时，以射线，分别为轴、轴的正半轴建立直角坐标系，在相应的斜角坐标系中得到直观图，则该直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，分别是角的对边，,则角为 A. B. C. D. 或 10. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，设圆锥的侧面积为，圆锥的内切球的表面积为，则（ ） A. B. C. D. 11. 在等腰梯形中，，，，，点F是线段AB上的一点，为直线BC上的动点，若，，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 12. 设t∈R，已知平面向量满足：，且，向量，若存在两个不同的实数，使得，则实数t（ ） A. 有最大值为2，最小值为 B. 无最大值，最小值为 C. 有最大值为2，无最小值 D. 无最大值，最小值为0 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 13. 一元二次方程x2-2x+m=0的一个虚根为，则另一个虚根为___________，实数___________. 14. 设，是两个不共线的向量，若，，，且，，三点共线，则_______. 15. 已知某圆锥体的底面半径，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥体的表面积是___ 16. 已知直二面角，点，，为垂足，点，，为垂足，若，，则到平面的距离等于_____． 17. 如图中，已知点在边上，，，，，则的长为____ 18. 粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而成.因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同，某地流行的“五角粽子”，其形状可以看成所有棱长均为的正四棱锥，则这个粽子的表面积为______，现在需要在粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这个蛋黄的体积最大时，其半径与正四棱锥的高的比值为______. 三、解答题：本题共4小题，共41分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知，，．求： （1）与的夹角． （2）． 20. 在中，内角、、的对边分别为，，，． （1）求角的大小； （2）若，．求： （ⅰ）边长； （ⅱ）的值． 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，， （Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面； （Ⅱ）求证：平面； （Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值. 22. 在中，角所对的边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且，求边； (3)若，求周长的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $