天津市崇化中学2025-2026学年高一年级下学期5月期中考试数学试卷

2025—2026学年第二学期高一年级数学学科期中试卷 一、单选题（每小题5分，共45分） 1．已知复数．若在复平面内，复数表示的点在第四象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则向量与夹角为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆锥的母线长为，侧面展开所成扇形的圆心角为，则此圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 4．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知、是两个平面，，是两条直线，则下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．在，若，则此三角形一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 8．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9．如图，以边长为2的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是（ ） A． B．7 C． D．6 二、填空题（每小题5分，共30分） 10．已知复数满足（为虚数单位），则________． 11．如图，按斜二测画法所得水平放置的平面四边形的直观图为梯形其中．，，，则原四边形的面积为____________． 12．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称：如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为________； 13．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，则角____________；若，则面积的取值范围为____________． 14．如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为____________． 15．中，，，，，则________（用，表示）若，，则________． 三、解答题（共75分．写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本题14分）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求实数的值； （2）当时，复数是关于的方程的一个根，求的值； （3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 17．（本题15分）已知向量，，且有． （1）求的坐标，和在方向上的投影向量； （2）求与垂直的单位向量的坐标； （3）若，当时，求的最小值． 18．（本题15分）在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 19．（本题15分）如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）若为中点，求证：平面； （2）若，求证； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 20．（本题16分）在中，内角，，所对的边分别为，，，，，且． （1）求角； （2）若，是钝角三角形． （ⅰ）求的范围； （ⅱ）若点在上，且为的角平分线，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $