第六章 计数原理 期末冲刺（基础卷）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦计数原理核心考点，以排列组合应用、二项式定理为模块，系统提炼分步分类、捆绑插空、分组分配等方法，通过典型例题构建“概念-方法-应用”逻辑链条，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |排列组合应用|第2、3、5、6、7、8、11题|分步分类计数原理、捆绑法、插空法、分组分配法|从简单选取到复杂排列，构建“元素-位置-限制条件”解题模型| |二项式定理|第1、4、9、12、14、19题|通项公式、二项式系数性质、赋值法|从展开式结构到系数计算，强化“通项-方程-求解”思维路径| |综合应用|第13、16、18题|捆绑法与分组结合|融合排列组合与实际情境，培养模型观念与应用意识|

河北省宁晋县第二中学 多元绽放 人人出彩 组编： 审核： 使用日期： 第六章 计数原理（基础卷）冲刺期末 2025-2026学年数学人教A版选择性必修第三册 一、单选题 1．的展开式中常数项为（） A．112 B．56 C．28 D．16 2．某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6节课的课表，要求数学课排在上午但不能是第一节，体育课排在下午，则不同的排法种数有（） A．720 B．288 C．144 D．48 3．从5名老师和10名学生中各选1人组成一个小组，则不同的选法共有（）． A．15种 B．50种 C．105种 D．210种 4．在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则展开式的项数是（） A．7 B．8 C．9 D．10 5．班会课上搞活动，个同学被平均分成了组，现从中选位同学，要求这人由其中组的人与其他两组的各人组成，那么不同的选取方案有（） A．种 B．种 C．种 D．种 6．《熊出没》里的森林小镇要办“环保小卫士”活动，光头强要将6名森林小伙伴分成三组，分别去树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域帮忙，每个区域安排一组，且每组最多3名小伙伴，则不同的分组安排方法种数为（） A．900 B．600 C．450 D．150 7．五一假期期间，一家6人（5大人和1小孩）在某风景名胜区拍照留念.要求站成前后两排，每排各三人；每列站在后排的人比站在前排的人高.已知6人的身高各不相同，任何一名大人都比一名小孩高，则不同的排法共有（） A．72种 B．90种 C．108种 D．180种 8．用1，2，2，3，3，3这六个数字可组成（）个不同的三位数 A．19 B．15 C．27 D．18 二、多选题 9．关于的展开式，下列判断正确的是（） A．展开式共有项 B．展开式的各二项式系数的和为64 C．展开式中含项的系数为12 D．展开式中各项系数的和为1 10．下列关于从个不同元素中取个元素的排列数和组合数关系式正确的有（） A． B． C． D． 11．2名男生，3名女生，这5个人站成一排，下列选项正确的是（） A．男、女各站在一起，共有24种排法 B．男生不能排在一起，共有54种排法 C．男生必须排在一起，共有48种排法 D．男生互不相邻，且女生也互不相邻，共有12种排法 三、填空题 12．在的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为____________． 13．现有甲、乙等6人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 14．的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为______. 四、解答题 15．计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 16．甲、乙、丙、丁四位医生报名参加，，，四个社区医院的义诊活动，每个人都要报名且只能去一个社区医院. (1)共有多少种不同的报名方法？ (2)若甲、乙报同一个社区医院，丙不报社区医院，共有多少种不同的报名方法？ 17．已知展开式的二项式系数和为64. (1)若，求的值； (2)证明：为正整数. 18．某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 19．在的二项展开式中． (1)若展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，求值； (2)若，求展开式通项和展开式中含项的系数； (3)若展开式中含有常数项，求最小的正整数的值． 1．A 【分析】由二项展开式的通项公式即可得到常数项. 【详解】由题意知，通项公式为， 所以常数项为. 故选：A. 2．C 【分析】先排数学课，再排体育课，最后排剩下的4门课，结合分步计数原理计算即可求解. 【详解】数学课排在上午（不是第一节）有3种排法， 体育课排在下午有2种排法， 剩下的4门课全排列，有种排法， 所以不同的排法共有种. 故选：C 3．B 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据分步乘法计数原理知，不同的选法共有种． 故选：B 4．A 【分析】先由二项式系数最大项求出，再由二项式展开式的性质即得. 【详解】在二项式的展开式中，当为偶数时，中间一项的二项式系数最大； 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大. 因为在的二项展开式中，只有第四项的二项式系数最大， 所以为偶数，且中间项为第项，即，解得. 因二项式展开式的项数为，则展开式的项数是项. 故选：A. 5．D 【分析】由题意，先从这组中指定组，从这组抽取人，然后从剩余的组中指定组，每组抽人，结合分步乘法计数原理可得答案. 【详解】由题意可知，个同学被平均分成了组，每组人， 由题意，先从这组中指定组，从这组抽取人，然后从剩余的组中指定组，每组抽人， 由分步乘法计数原理可知，不同的选取方案种数为. 故选：D. 6．C 【分析】利用分组分配法可求解. 【详解】将6名森林小伙伴平均分成三个组有种不同的分法， 再将三个组的森林小伙伴分到树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域有种不同的分法； 将6名森林小伙伴不平均分成三个组有种不同的分法， 再将三个组的森林小伙伴分到树洞回收站、草地清洁区、小溪护水点这3个区域有种不同的分法； 综上所述：不同的分组安排方法种数为. 故选：C. 7．B 【分析】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，再结合分步乘法计数原理求结论. 【详解】此问题可等价于将人分为三组，每组两人，安排到三个不同的列上，每组中身高较高者在后，身高较矮者在前，第一步：为第一列挑选两人，有种方法； 第二步：为第二列挑选两人，有种方法； 第三步：剩下两人到第三列，有种方法， 根据分步乘法计数原理，总排法为种， 故选：B 8．A 【详解】三个数字全不同：只能选1、2、3各1个，全排列得个； 三个数字全相同：只有3能凑出三个相同，仅333这个； 恰好两个数字相同：相同数字为2：不同数字可选1或3，共2种选择， 选位置放不同数字共种，得个； 相同数字为3：不同数字可选1或2，同理个，共个. 将所有情况相加：，因此可组成19个不同的三位数. 9．ABD 【分析】根据二项式展开式的性质判断A，二项式系数和为判断B，写出展开式的通项，即可判断C，令可得展开式中各项系数和，即可判断D. 【详解】对于A，二项式展开式共有项，故A正确； 对于B，展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 对于C，二项式展开式的通项为（且）， 则展开式中含项的系数为，故C错误； 对于D，令可得展开式的各项系数的和为，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【分析】由排列数和组合数的计算公式对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由组合数的性质，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由，则，故D正确. 故选：ABD. 11．ACD 【分析】据每个选项的不同排列要求，对应确定采用捆绑法、插空法等适配的排列计算模型。之后逐个计算各情况的排法数，将计算结果与选项给出的数值对比，得出正确答案. 【详解】在A选项中，利用捆绑法：把男生捆绑为1个整体，女生捆绑为1个整体， 则总排法 = ，A正确， 在B选项中，男生不相邻，用插空法： 先排3名女生，再把男生插到女生的空隙中： 则总排法 = ，B错误， 在C选项中，仅要求男生相邻，用捆绑法： 把2名男生捆绑为1个整体，和3名女生共4个元素全排列， 再算男生内部排列：则总排法 = ，C正确， 在D选项中，2男3女要满足男女都不相邻， 仅能排列为女-男-女-男-女结构， 则总排法 = ，D正确. 12． 【分析】由题可得的二项展开式共有7项，通项为：，则该项系数为有理数时，为偶数，即可得答案. 【详解】的二项展开式共有7项，通项为：， 其中，要使项系数为有理数，则为偶数，即时， 项系数为有理数，则相应概率为：. 故答案为：. 13．150 【分析】将甲乙捆绑在一起，与剩下的4个人一起分组，再分两种情况讨论即可. 【详解】将甲乙捆绑在一起，与剩下的4个人一起分组. 分成1，1，3型的方案有：； 分成1，2，2型的方案有：， 总的方案有种. 故答案为：150. 14． 【分析】由二项式系数性质得值，然后由二项展开式通项公式确定常数项． 【详解】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 15．(1)480 (2)16 (3)或 【分析】（1）利用排列数公式求解； （2）利用排列数公式求解； （3）利用组合数公式求解. 【详解】（1）； （2）； （3）因为，由可得或， 解得或. 16．(1)256 (2)48 【分析】（1）根据分步乘法计数原理直接计算可得结果； （2）将甲、乙看作一个整体，再结合丙的特殊要求进行分步乘法计算即可. 【详解】（1）由题意知，甲可报名参加，，，四个社区医院任意一个，共有4种选择，同理乙、丙、丁同样有4种选择， 共有报名方法为. （2）将甲、乙看作一个整体，共有4种报名方法，丙不报社区医院，即有3种报名方法，丁有4种报名方法， 则共有报名方法种. 17．(1)64 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设条件求得，再赋值，计算即得； （2）利用二项式化简计算即可证得结论. 【详解】（1）因展开式的二项式系数和为，解得，， 在中，取，得； （2） 为整数. 18．(1)2880 (2)384 【详解】（1）先把4位学生看作1个元素，再与4位学生的爸爸进行排列，排法种数为， 4个学生之间再进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为． （2）先把每对父子看作1个元素进行排列，排法种数为， 再把每对父子进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为． 19．(1) (2)通项为，含项的系数为 (3)最小正整数 【分析】（1）根据求解即可. （2）利用二项展开式的通项计算可得结果； （3）由通项得出含有常数项时，再结合其范围可得当时，取最小值5. 【详解】（1）因为展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以, 所以 （2）当时，展开式的通项为 令，解得 所以展开式中含项的系数为 （3）展开式的通项， 由于展开式含有常数项，可得 即，又 即当时，取最小值5，此时展开式含有常数项， 因此最小的正整数的值为5. 勤学善思 荣校报国，第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $