2025-2026学年下学期高二数学期末模拟试题（数列～成对数据分析）

**基本信息** 以新能源汽车消费调查、研发资金分析等现实情境为载体，融入杨辉三角文化传承，通过牛顿法创新题型考查随机变量、导数、线性回归等核心知识，体现数学眼光观察、思维推理与语言表达的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|随机变量期望、等差数列公共项、导数运算|基础概念辨析，如第1题随机变量方差计算| |多选|3/18|正态分布应用、杨辉三角性质、函数单调性|多维度能力考查，如第9题结合方差选择出行方式| |填空|3/15|定积分、等比数列求和、概率递推|简洁综合，如第14题质点跳动概率递推| |解答|5/77|概率分布列、数列求和、线性回归、牛顿法|现实建模与创新探究，如第18题研发资金与销售额回归分析、第19题牛顿法求近似解|

2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知随机变量X满足，则的值是（   ） A． B．9 C． D．3 【答案】B 【分析】根据方差的性质求解. 【详解】. 2．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【答案】A 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5， 所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 3．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 4．的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式的通项公式即可得到答案. 【详解】， 的展开式的通项为， 则，， 所以的展开式中项的系数为， 故选：A. 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24 B．32 C．52 D．60 【答案】C 【分析】结合题意，分这个三位数的末尾数字为0和不为0两种情况讨论求解即可. 【详解】当这个三位数的末尾数字为0时，只需从1，2，3，4，5，这5个数字选两个数字排到百位与十位上，有个没有重复的三位数； 当这个三位数的末尾数字不为0时，先从2，4，这两个数字中选一个排在个位，有种情况； 再排百位，由于百位不能为0且不能与个位数字重复，有种情况； 最后排十位，从剩下的4个数字中任选一个，有种情况； 所以，根据分步乘法计数原理，共有个没有重复的三位数， 综上，满足题意的偶数有52个. 6．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】C 【分析】借助分层随机抽样定义计算可得A；分别计算出购买燃油车的人数与购买新能源车的人数可得B；利用独立性检验定义可得C、D. 【详解】对A：，故新能源车主有人，故A错误； 对B：购买燃油车的人数为， 购买新能源车的人数为， 则购买燃油车的人数比新能源车的多人，故B错误； 对C、D：依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联， 由，故此推断犯错误的概率不大于，故C正确、D错误. 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 【答案】D 【分析】质点回到原点可知质点向左移动3次，向右移动3次，质点位于4的位置可知质点向左移动1次，向右移动5次，结合独立试验概率计算公式即可求解． 【详解】设质点向右移动的次数为，又质点每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位， 共移动6次，且每次移动是相互独立，则． （1）质点回到原点，则， ， 所以质点回到原点的概率是； （2）当质点位于4的位置时，则， ， 所以质点位于4的位置的概率是． 故选：D 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 【答案】BD 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性和事件的原则，逐项判断即可. 【详解】由题意：，. 对A：因为，，所以，故A错误； 对B：因为，，所以，故B正确； 对C：因为，，所以，所以只有34分钟可用，小明应选择坐公交，故C错误； 对D：因为，，所以，所以只有38分钟可用，小明应选择骑自行车，故D正确. 故选：BD 10．已知函数，则（    ） A． B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，函数有最大值 D．当函数在区间上单调递减时， 【答案】AB 【分析】根据函数的求导法则求导，可判断A；利用导数求得曲线在点处的切线斜率，从而求出其切线方程，判断B；当时，分析函数的单调性，可知其最值情况，判断C；由函数在区间上单调递减，知在区间上恒成立，由此求得的取值范围，判断D. 【详解】函数，定义域为. 对于A，，所以A正确； 对于B，当时，函数，则，所以. 又，所以曲线在点处的切线方程为，即，所以B正确； 对于C，. 当时，令，则，即. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以无最大值，所以C错误； 对于D，若函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，即，即在区间上恒成立. 令，则在区间上单调递增，所以，所以. 所以，所以D错误. 故选：AB. 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是15 B．第2026行的第1014个数最大 C． D．记第行的第个数为，则 【答案】BCD 【分析】利用二项式定理，结合组合数运算性质逐一判断即可 【详解】对A：第6行从左到右的第4个数为，故A错误； 对B：第2026行一共有2027个数，即， 由二项式系数的性质可知：中间的第个数最大，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为， 所以，故D正确． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算__________. 【答案】 【分析】根据排列数、组合数求解即可. 【详解】因为，，所以. 13．已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，则______. 【答案】1或16 【分析】利用等比数列的性质可求，又，可得，即可求出、，再求出公比，即可求出. 【详解】各项均为正数的等比数列中，公比， 由，所以，又， 所以，解得或； 若时，可得，则， 若时，可得，则. 故答案为：或 14．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第次向左跳动的概率为，则__；__． 【答案】 【分析】由题意得，，，根据待定系数法可得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的通项公式可求得.根据等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，，，， ， 设，则，解得，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以. 所以. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意利用独立事件的乘法公式列方程，即可求得答案； （2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】（1）记乙、丙各自发现故障为事件，，由于事件相互独立， 则有，，解得，， 所以乙、丙两人各自发现故障的概率分别为，． （2）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3 ， ， ， X的分布列为 X 0 1 2 3 P ． 16．已知数列的前项积为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求得；当时，由且， 两式相除，求得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到，结合裂项法求和，求得，令，结合，即可得到答案. 【详解】（1）解：由数列的前项积为，且， 当时，，解得； 当时，且， 两式相除，可得，则， 当时，满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）解：由（1）知：，可得， 所以， 令，可得，解得， 因为，故满足条件的的最小值为. 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论求解导函数为正为负的不等式解集即得. （2）由（1）中信息，求出函数的最小值，再构造函数，结合不等式性质推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，由，得，函数在上单调递减， 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 令函数，求导得，当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，则， 于是，有，当时，则， 因此， 所以. 18．某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了①，②两个模型，其中均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令，经计算得到如下数据：           22 66 5885 52276 460 5           31250 364540 3.08 1334 (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)由（1）的结论，求拟合程度更好的线性回归方程； (3)若该公司计划年销售额突破10亿元，根据以上所求的线性回归方程，预测该公司年研发资金投入量至少为多少亿元． 附：相关系数． 线性回归方程中，，． 取． 【答案】(1)模型②的拟合程度更好 (2) (3)7.15亿元 【分析】（1）算出两种情况下的相关系数，然后比较大小即可； （2）根据公式求回归方程； （3）将数据代入回归方程估计即可. 【详解】（1）设模型①和②的相关系数分别为，． 因为 ， ， 所以 ， ， 所以，由相关系数的相关性质可得，模型②的拟合程度更好． （2）因为，所以，即． 因为，， 所以关于的线性回归方程为，即关于的线性回归方程为． （3）令，即，解得， 所以预测该公司年研发资金投入量至少为7.15亿元 19．牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列：，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解． (1)设，当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解（保留两位小数）； (2)设的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，求数列通项公式； (3)设，若，函数的最小值为，证明：． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据牛顿法，利用导数依次求出即可得解； （2）先利用导数求出与之间的关系，从而可得的表达式，然后根据韦达定理以及对数的运算性质，化简可得，最后利用等比数列的通项公式即可求解； （3）求出函数和，利用导数求解函数的最小值，结合求出与的关系；根据结论，构造函数，利用导数求解函数在上的单调性即可推理得证. 【详解】（1）因为函数， 所以， 所以函数在处切线的斜率为， 因为，即切点为， 所以函数在处的切线方程为，即， 由得，且， 函数在处切线的斜率为， 因为，即切点为 所以函数在处的切线方程为，即， 由得，且， 故用牛顿法求方程满足精度的近似解为； （2）因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点， 所以，且 所以， 所以 ， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （3）因为函数， 且 所以函数在上单调递增， 由 得， 所以①，且②， 设， 所以函数在处切线为， 当时，， 所以， 所以， 求导得， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 由①②代入得， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数最小值为， 令， 求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 所以当时，恒成立，即函数在上单调递减， 而，因此， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值解题.第三问解题关键是利用导数求解函数的最小值，结合并求出与的关系；根据结论，构造函数，利用导数求解函数在上的单调性即可得证. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二数学期末模拟试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人： 审题人： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知随机变量X满足，则的值是（   ） A． B．9 C． D．3 2．已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 3．下列求导运算正确的是（   ） A．(a为常数) B． C． D． 4．的展开式中项的系数为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（   ） A．24 B．32 C．52 D．60 6．近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌汽车商随机调查了甲､乙两地各200名消费者，并用等高堆积条形图直观地展示调查结果如下图所示，经计算得到. 车型与地区 下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 下列说法正确的是（    ） A．在所调查的甲地购车者中，若按比例分层随机抽样抽取20人，则新能源车主有8人 B．在所调查的乙地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 C．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 D．依据的独立性检验，即消费者的购车类型与地域无关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 7．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，则下列正确的是（    ） A．质点回到原点的概率为； B．质点回到原点的概率为 C．质点位于4的位置的概率为 D．质点位于4的位置的概率是 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；骑自行车平均用时34分钟，样本方差为4，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，则（   ） A． B． C．若某天只有34分钟可用，小明应选择骑自行车 D．若某天只有38分钟可用，小明应选择骑自行车 10．已知函数，则（    ） A． B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，函数有最大值 D．当函数在区间上单调递减时， 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．在“杨辉三角”中，除每行（不含第0行）两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．例如：第4行的6为第3行中两个3的和．则下列说法正确的是（   ） A．第6行从左到右第4个数是15 B．第2026行的第1014个数最大 C． D．记第行的第个数为，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算__________. 13．已知数列是各项均为正数的等比数列，为其前项和，，，则______. 14．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为．记第次向左跳动的概率为，则__；__． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在重庆轨道交通故障排查演练中，三名工程师分别检查三个不同的系统，假设甲发现故障的概率为，乙、丙两人同时发现故障的概率是，甲、丙两人均未发现故障的概率是，且三人各自能否发现故障相互独立． (1)求乙、丙两人各自发现故障的概率； (2)用X表示三人中发现故障的人数，求X的分布列和期望． 16．已知数列的前项积为，其中． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 18．某公司为了解年研发资金投入量（单位：亿元）对年销售额（单位：亿元）的影响，对公司近12年的年研发资金投入量和年销售额的数据，进行了对比分析，建立了①，②两个模型，其中均为常数，为自然对数的底数，并得到一些统计量的值．令，经计算得到如下数据：           22 66 5885 52276 460 5           31250 364540 3.08 1334 (1)请从相关系数的角度，分析哪一个模型的拟合程度更好； (2)由（1）的结论，求拟合程度更好的线性回归方程； (3)若该公司计划年销售额突破10亿元，根据以上所求的线性回归方程，预测该公司年研发资金投入量至少为多少亿元． 附：相关系数． 线性回归方程中，，． 取． 19．牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是函数的零点，即．选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为，若，则直线与轴的交点的横坐标记为，再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点的横坐标记为，重复以上过程，得的近似值序列：，也称为牛顿数列，根据已有精确度，当时，则为近似解． (1)设，当时，试用牛顿法求方程满足精确度的近似解（保留两位小数）； (2)设的两个零点分别为，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，求数列通项公式； (3)设，若，函数的最小值为，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $