精品解析：西藏自治区西藏昌都市第一高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中测试数学试题

昌都一高2027届高二下期5月半期测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. 21 C. D. 31 4. 已知的展开式中含项的系数为12，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ） A. 9种 B. 36种 C. 38种 D. 45种 6. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( ) A. 0.63 B. 0.24 C. 0.87 D. 0.21 7. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ） A. B. C. D. 8. 某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（ ） A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为0 C. 系数最大的项为第4项和第5项 D. 存在常数项 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 13. 已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 14. 已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 16. 袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止． （1）求取球次数的分布列； （2）求取球次数的期望和方差． 17. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 18. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 19. 已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直. （1）求a，b的值； （2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌都一高2027届高二下期5月半期测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以当时， ，且 ，因此 ， 当时， ，且 ，因此， 当时， ，且 ，因此 ， 当时， ，所以 ， 故 . 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算化简，再由复数除法求出，根据虚部的概念求解. 【详解】由题，复数，所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3. 已知单位向量，的夹角为，则（ ） A. B. 21 C. D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】结合单位向量和数量积的定义即可求解. 【详解】由题可知． 故选：A. 4. 已知的展开式中含项的系数为12，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，令x的幂指数等于2求得r的值，即可根据项的系数列出方程求解a. 【详解】的展开式通项为， 令，解得，故展开式中含项的系数为，解得. 故选：B 【点睛】本题考查二项式系数，属于基础题. 5. 在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考三所高校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（ ） A. 9种 B. 36种 C. 38种 D. 45种 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列、组合数即可求解． 【详解】由题意，恰有两人报考同一高校的方法共有种. 故选：B. 6. 已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是90%，乙厂产品的合格率是80%，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是( ) A. 0.63 B. 0.24 C. 0.87 D. 0.21 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可． 【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝0.7，P(B)＝0.3， 从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C， 从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D， 则由题可知P(C)＝0.9，P(D)＝0.8， 由题可知A、B、C、D互相独立， 故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为： P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝0.7×0.9＋0.3×0.8＝0.87． 故选：C． 7. 将三颗骰子各掷一次，记事件“三个点数互不相同”，事件“至少出现一个点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出、同时发生的概率以及发生的概率，再由条件概率公式计算可得． 【详解】依题意可得， ， 所以. 故选：C 8. 某中学《同唱华夏情，共圆中国梦》文艺演出于2019年11月20日在学校演艺大厅开幕，开幕式文艺表演共由6个节目组成，若考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目《文明之光》必须排在前三位，且节目《一带一路》《命运与共》必须排在一起，则开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有（ ） A. 120种 B. 156种 C. 188种 D. 240种 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论节目《文明之光》排在第一位，排在第二位或第三位两种情况，结合题中条件，即可得出结果. 【详解】若节目《文明之光》排在第一位，由题意可得：共有种编排方案； 若节目《文明之光》排在第二位或第三位，则有种编排方案. 故开幕式文艺表演演出顺序的编排方案共有. 故选A 【点睛】本题主要考查排列组合的应用，根据特殊问题优先考虑的原则，以及排列组合的概念，即可求解，属于常考题型. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 在的展开式中，下列说法正确的有（ ） A. 所有项的二项式系数和为128 B. 所有项的系数和为0 C. 系数最大的项为第4项和第5项 D. 存在常数项 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二项式定理以及展开式的通项，赋值法对应各个选项逐个判断即可． 【详解】解：选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确； 选项B：令，则，所以所有项的系数的和为0，故B正确； 选项C：二项式的展开式的通项为， 第四项为，第五项为， 显然第五项的系数最大，故C错误； 选项D：令，解得，故不存在常数项，故D错误； 故选：AB． 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则即可. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 令，则，又，， 则，故D正确. 故选：BD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是 B. 已知随机变量，若，则 C. 已知，则 D. 从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由排列知识以及古典概型概率计算公式即可判断；对于B，根据二项分布的期望、方差公式即可列方程判断；对于C，直接根据排列、组合数的定义即可判断；对于D， 【详解】对于A：两位男生和两位女生随机排成一列共有(种)排法； 两位女生不相邻的排法有(种)，故两位女生不相邻的概率是，故A正确； 对于B：据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故B错误； 对于C：由，得，解得，故C正确； 对于D：设随机变量表示取得次品的个数，则服从超几何分布，所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是________； 【答案】480 【解析】 【分析】先排特殊，再排一般. 【详解】先排这名歌手有种方法，余下5名歌手全排列为中方法. 所以不同排法的种数为种. 故答案为：480 13. 已知函数的图象所对应的曲线在点处的切线方程为，则值为________． 【答案】 【解析】 【详解】， ， ， 由，可知，所以， 而 ，因此. 14. 已知数列的前项和公式为，则的通项公式为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据数列前项和与通项的关系，分，，即可求出通项公式. 【详解】当时，； 当时，. 又也满足，所以. 故答案为:. 【点睛】本题考查数列的前项和与通项的关系，属于基础题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知的周长为，且. （1）求边的长； （2）若的面积为，求角的度数. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解； （2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解． 【小问1详解】 解：由正弦定理知， ， ， 的周长为， ， ． 【小问2详解】 解：的面积， ， 由（1）知，，， 由余弦定理知， ， ． 16. 袋子中装有大小形状完全相同的5个小球，其中红球3个白球2个，现每次从中不放回的取出一球，直到取到白球停止． （1）求取球次数的分布列； （2）求取球次数的期望和方差． 【答案】（1）见解析（2）， 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率求出离散型随机变量的分布列、期望和方差. 【详解】解：（1）由题设知，， 则的分布列为 1 2 3 4 （2）则取球次数的期望 ， 的方差. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题. 17. 已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值． 【解析】 【分析】（1）求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，令，再列表分析函数的单调性，进而得到单调区间和极值情况． 【小问1详解】 易知，则，又， 则在处的切线方程为； 【小问2详解】 的定义域为，令得，， 当变化时，的变化情况如下表： 0 ↘ 极小 ↗ 所以的递增区间为；递减区间为；极小值为，无极大值． 18. 已知双曲线的离心率为，且过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过双曲线右焦点的直线与双曲线相交于两点，若线段的长为8，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）运用双曲线的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得，，进而得到双曲线的方程； （2）直线的方程为，代入双曲线方程，设、，运用韦达定理和弦长公式即可求解. 【小问1详解】 依题意可得，解得，，， 双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 右焦点为, 当直线无斜率时，此时，代入双曲线方程可得，满足, 当直线有斜率，此时设直线的方程为， 由，可得， 设、，， 由根与系数的关系可得：，， ，解得，故， 故直线的方程为， 综上可得或. 19. 已知1是函数（a，b，）的极值点，在处的切线与直线垂直. （1）求a，b的值； （2）若函数在上有最大值2，在上有最小值也有最大值，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据极值点和切线的斜率列方程来求得. （2）利用导数求得的单调区间，根据的最大值求得，根据在上有最小值也有最大值求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意，在处的切线的斜率为， ，，， 所以，，经检验符合题意； 【小问2详解】 由（1）得，， ，，的变化情况如下表所示 x 1 2 0 0 递增 递减 递增 所以在上单调递增，在上单调递减，上单调递增， 所以，所以， 所以，又在上有最大值和最小值， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $