西藏自治区林芝市第一中学2025-2026学年高二下学期第一学段考试数学试卷

**基本信息** 整合排列组合、概率统计、导数等核心模块，通过课程表排列、涂色方案、投篮规则等情境，考查数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高二下学期期中阶段性评价需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（课程表排列）、概率独立事件、导数切线|基础巩固，情境贴近生活| |多选题|3/18|组合计算、概率命题判断|能力辨析，考查概念准确性| |填空题|3/15|导数极值、二项式系数|聚焦关键能力，简洁考查| |解答题|5/77|分布列、频率分布直方图、导数切线方程、投篮概率|分层设计，从基础应用到综合探究，体现数学思维与表达|

2027届高二下学期第一学段考试 数学试卷（答案版） 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】因为，则，所以． 2.在的展开式中，的系数为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数，属于基础题． 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得的系数． 【解答】 解：的展开式中，通项公式为，令，求得，可得的系数为故选：． 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(    ) A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查分步乘法计数原理的运用，要优先处理特殊的元素，即有特殊要求或受到限制的元素． 分两步进行，先排体育课，再排其他三科，分别计算其情况数目，进而由分步乘法公式计算可得答案． 【解答】 解：根据题意，先排体育课，有种排法， 再排其他三科，有种排法； 则不同排法共有种； 故选C． 4.连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“第二次的点数小于”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则 A. B. 与相互独立 C. 与对立 D. 与互斥 【答案】B  【解析】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个样本点． 对于，事件为“第一次的点数是”，包含个样本点，则，A错误 对于，事件为“两次的点数之和为偶数”，包含个样本点，则， 事件，即，，，包含个样本点，则，则有，事件，相互独立，B正确 对于，事件，可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误对于，事件，可以同时发生，不互斥，D错误． 5.已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，属于基础题． 求出已知函数在点处的斜率，利用两条直线平行，斜率之间的关系，求出． 【解答】 解：由题意可得， 所求曲线在点处的切线的斜率为， 又切线与直线平行， ． 故选D． 6.已知一次考试共有名同学参加，考生成绩，据此估计，大约有人的分数所在的区间为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】，，，  又． 7.如图，要给、、、四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】按照的顺序，结合分步计数原理即可得到结果．首先对进行涂色，有种方法，然后对进行涂色，有种方法，然后对进行涂色，有种方法，然后对进行涂色，有种方法，由分步计数原理可得涂色方法种数为，故选A． 8.设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查分段函数，利用导数研究函数的单调性和极值，导数中的零点问题，属于拔高题． 先通过求导得出在上存在唯一个零点，然后再通过参数分离法得出，利用求导研究函数即可． 【解答】 解：由题意，显然， 当时，，即函数在上单调递增， 又，， 根据函数零点存在定理可知，函数在上存在唯一个零点． 又因为在上仅有一个零点， 所以函数在不存在零点． 即方程在上无解． 令，， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 故当时，取得极大值． 又，且时，． 故在上的值域为，则． 故选D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了导数的运算，属于基础题． 依次求出各选项的导数即可． 【解答】 解：．，故A正确； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，故D错误． 故选AC． 10.下列说法正确的是(    ) A. 有三张参观券，要在人中确定人去参观，不同方法的种数是 B. 将封信投入个信箱，不同的投法共有种 C. 从名男生和名女生中选人参加比赛，若人中必须既有男生又有女生，共有种选法 D. 把封不同的信投入个不同的信箱，每个信箱至少投封，不同的投法共有种 【答案】BCD  【解析】对于，参观券相同，只需从人中选出人，方法有种，故A错误 对于，将封信投入个信箱，每封信都有种选择，故不同的投法有种，故B正确 对于，从名男生和名女生中选人参加比赛，若人中必须既有男生又有女生，包含的类别有男女，男女，男女，共有种，故C正确 对于，先将封信分成组有种方法，再将分好的组全排列，对应个信箱，有种方法，则不同的投法共有种，故D正确． 11.下列命题中正确的是(    ) A. 已知随机变量XB(6,),则D(2X-1)=6 B. 已知随机变量N(,),若函数f(x)=P(x-1<< x+1)为偶函数,则=0 C. 数据1,3,4,5,7,8,10的第80百分位数是8 D. 样本甲中有m件样品,其方差为,样本乙中有n件样品,其方差为,则由甲乙组成的总体样本的方差为+ 【答案】ABC  【解析】【分析】 本题考查随机变量的概率分布，考查百分位数、方差的计算，属于基础题 . 根据二项分布、正态分布判断A，B，根据百分位数判断C，根据方差的计算公式判断D. 【解答】 解：A，因为随机变量X~B(6,)，则D(X)=，D(2X-1)=4D(X)=6，故A正确； B，因为函数f(x)=P(x-1<< x+1)为偶函数，所以对称轴为x=0，根据正态分布曲线的性质可知=0，故B正确； C，因为7×80%=5.6，所以数据1, 3, 4, 5, 7, 8, 10的第80百分位数是第6位数8，故C正确； D，因为甲乙组成的新样本的平均数可能发生改变，由分层抽样的方差公式可知， 新的方差与总体的平均数及甲乙的平均数也有关系， ​​​​​​​故+不一定正确，故D错误. 故选ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的极小值是          ． 【答案】  【解析】解：由题意可得， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故． 故答案为：． 13.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则          ． 【答案】  【解析】的展开式的通项为， 令，可得， 所以的展开式中的系数为， 同理可知的展开式中的系数为， 由题意可得，解得． 14.已知随机变量，如图所示，若，则          ． 【答案】  【解析】随机变量，， 由正态分布图象的对称性，可得曲线关于直线对称， ， ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某校高二年级某班的数学课外活动小组有名男生，名女生，从中选出人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， 请列出的分布列； 根据你所列的分布列求选出的人中至少有名男生的概率． 【答案】解：依题意得，随机变量服从超几何分布， 随机变量表示其中男生的人数，可能取的值为，，，，． ． ， ， 所以的分布列为： 由分布列可知至少选名男生， 即．  【解析】本小题考查离散型随机变量分布列，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 本题是一个超几何分步，用表示其中男生的人数，可能取的值为，，，，结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列． 选出的人中至少有名男生，表示男生有个人，或者男生有人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果． 16.本小题分 有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数． 全体排成一排，女生必须站在一起； 全体排成一排，男生互不相邻； 全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变． 【答案】解：捆绑法将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法，再将名女生进行全排列，也有种方法，故共有种排法． 插空法男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有种方法，故共有种排法． 定序法从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法，剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，故共有种排法      【解析】本题考查排列数的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题． 根据排列的定义结合捆绑法进行求解即可； 运用插空法，结合排列的定义进行求解即可； 运用定序法，结合排列的定义进行求解即可． 17.本小题分 已知函数，，的图象在处的切线方程为． 求，的值 直线是否与函数的图象相切若相切，求出切点的坐标若不相切，请说明理由． 【答案】解：． 的图象在处的切线方程为， ，即，解得， 又的图象过点， ，解得． 综上，，． 设直线与函数的图象相切于点 ， ，解得， 将代入， 得点的坐标是， 切线方程为， 化简得， 故直线与函数的图象相切，切点坐标是．   【解析】略 18.本小题分 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的袋食盐称出它们的质量单位：克作为样本数据，质量的分组区间为由此得到样本的频率分布直方图如图：   求 的值； 从该流水线上任取袋食盐，设 为质量超过的食盐数量，求随机变量 的分布列及数学期望； 在上述抽取的袋食盐中任取袋，设 为质量超过的食盐数量，求随机变量 的分布列． 【答案】解：由题意可得：  ， 解得  ． 根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过  的概率为  ． 从流水线上任取袋食盐互不影响，该问题可以看成次独立重复试验， 质量超过  的袋数的所有可能取值为，， ， 且 服从二项分布  ，  ．  ，  ，  ，  随机变量 的分布列为：  ． 质量超过  的食盐数量为  袋， 随机变量  的所有可能取值为  ，且  服从超几何分布．  ，  ，  ，  随机变量 的分布列为：   【解析】本题考查二项分布的均值以及利用超几何分布求分布列，属于基础题． 利用诸小矩形面积之和为可求 的值； 利用二项分布可求 的分布列及数学期望； 利用超几何分布可求 的分布列． 19.本小题分 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为． 求第次投篮的人是乙的概率 求第次投篮的人是甲的概率 已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则记前次即从第次到第次投篮中甲投篮的次数为，求． 【答案】 解：记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 则． 设，则， 所以， 即， 变形得 又，， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以第次投篮的人是甲的概率为． 记为第轮投篮中甲投篮次数， 则，，，，， 由题意知． 因为，，，，， 所以当时，， 故E．   【解析】略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下学期第一学段考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则等于（ ） A. B. C. D. 2.在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. D. 3.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4.连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“第二次的点数小于”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. 与相互独立 C. 与对立 D. 与互斥 5.已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6.已知一次考试共有名同学参加，考生成绩，据此估计，大约有人的分数所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7.如图，要给、、、四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ） A. B. C. D. 8.设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10.下列说法正确的是（ ） A. 有三张参观券，要在人中确定人去参观，不同方法的种数是 B. 将封信投入个信箱，不同的投法共有种 C. 从名男生和名女生中选人参加比赛，若人中必须既有男生又有女生，共有种选法 D. 把封不同的信投入个不同的信箱，每个信箱至少投封，不同的投法共有种 11.下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，若函数为偶函数，则 C. 数据，，，，，，的第百分位数是 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的极小值是   ． 13.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则   ． 14.已知随机变量，如图所示，若，则   ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某校高二年级某班的数学课外活动小组有名男生，名女生，从中选出人参加数学竞赛考试，用表示其中男生的人数， 请列出的分布列； 根据你所列的分布列求选出的人中至少有名男生的概率． 16.本小题分 有名男生与名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数． 全体排成一排，女生必须站在一起； 全体排成一排，男生互不相邻； 全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变． 17.本小题分 已知函数，，的图象在处的切线方 程为． 求，的值 直线是否与函数的图象相切若相切，求出切点的坐标若不相切，请说明理由． 18.本小题分 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的袋食盐称出它们的质量 单位：克作为样本数据，质量的分组区间为由此得到样本的频率分布直方图如图：   求的值； 从该流水线上任取袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； 在上述抽取的袋食盐中任取袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列． 19.本小题分 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为由抽签确定第次投篮的人选，第次投篮的人是甲、乙的概率各为． 求第次投篮的人是乙的概率 求第次投篮的人是甲的概率 已知：若随机变量服从两点分布，且，，，，，则记前次即从第次到第次投篮中甲投篮的次数为，求． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $