精品解析：西藏自治区林芝市第一中学2025-2026学年高二下学期第一学段考试数学试卷

2027届高二下学期第一学段考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数的导函数，将1代入即可得结果. 【详解】因为，则，所以， 故选：D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为：， 令可得：，则的系数为：. 故选：C. 【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． 3. 某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：间接法．4节课的全排列＝4×3×2×1＝24 减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6 所以 24－6＝18 ，故选C． 考点：简单的排列问题，主要考查排列的定义、排列数公式的应用． 点评：解答这类题目，一般有两种思路，即“直接法”与“间接法”． 4. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. A与C相互独立 C. A与C对立 D. B与C互斥 【答案】B 【解析】 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算、、，结合独立事件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，， ，， ，，共36个不同结果， 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件AC，即包含3个结果，则， 则有，事件A、C相互独立，B正确. 对于C，事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B 5. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而求出，利用切线与直线平行即可求出. 【详解】由题意可得， ∴所求曲线在点处的切线的斜率为，又切线与直线平行， ∴. 故选：D. 6. 已知一次考试共有名同学参加，考生成绩 ，据此估计，大约有人的分数所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 ，  又 ． 7. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果. 【详解】首先对①进行涂色，有5种方法， 然后对②进行涂色，有4种方法， 然后对③进行涂色，有3种方法， 然后对④进行涂色，有3种方法， 由乘法计数原理可得涂色方法种数为 种 故选:A 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则且不恒为零， 所以，函数在上单调递增，所以，， 又因为，所以，函数在上只有一个零点； 因为函数只有一个零点，则函数在上无零点， 则当时，，则， 由可得，由可得. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，只需，解得. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的运算法则对选项逐一判断即可． 【详解】A选项，，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项正确； D选项，，故D选项错误； 故选：AC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，从5个中选3个即可；对于B，每封信都有3种可能；对于C，有3种分类：1男3女，2男2女，3男1女；对于D，先分组再分配即可. 【详解】对于A，参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有种，故A错误； 对于B，将5封信投入3个邮筒，每封信都有3种选择，故不同的投法有种，故B正确； 对于C，从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生， 包含的类别有，1男3女，2男2女，3男1女，即种，故C正确； 对于D，现将5封信分成4组有种，再将分好的4组全排列，对应4个信箱，有种， 则不同的投发共有种，故D正确. 故选：BCD. 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，若函数为偶函数，则 C. 数据第80百分位数是8 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项分布的方差公式及方差性质可判断A，利用正态曲线的对称性可判断B，根据百分位数的求法可判断C，利用两组数据方差的特征可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，，A正确； 对于B，因为函数为偶函数，所以， ，所以区间和区间是关于的对称区间，所以，B正确； 对于C，因为，所以数据第80百分位数是8，C正确； 对于D，记样本甲，乙的平均数分别为，由甲乙组成的总体样本的平均数为， 由甲乙组成的总体样本的方差为，D不正确. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】， ， 令，则， 解得：， 随着的变化，和变化情况如下表： 0 0 极大值 极小值 由表可知，函数的极小值是． 13. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求出的展开式中的系数与的展开式中的系数，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】的展开式通项为， 令，可得，所以，的展开式中的系数为， 同理可知的展开式中的系数为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 14. 已知随机变量，若，则的值为______． 【答案】0.36 【解析】 【分析】利用正态曲线的对称性求解. 【详解】解：因为随机变量， 所以正态曲线关于直线对称， 所以， 所以． 故答案为：0.36 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数． (1)请列出X的分布列； (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 【答案】（1） X 0 1 2 3 4 P （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）本题是一个超几何分步，用X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4．结合变量对应的事件和超几何分布的概率公式，写出变量的分布列和数学期望． （2）选出的4人中至少有3名男生，表示男生有3个人，或者男生有4人，根据第一问做出的概率值，根据互斥事件的概率公式得到结果． 解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布， 随机变量X表示其中男生的人数，X可能取的值为0，1，2，3，4． ． ∴所以X的分布列为： （2）由分布列可知至少选3名男生， 即P（X≥3）=P（X=3）+P（X=4）=+=． 点评：本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望，考查超几何分步，考查互斥事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力． 16. 有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 【答案】（1）576 （2）1440 （3）840 【解析】 【分析】（1）将女生看成一个整体，按照捆绑法求解； （2）先排女生，然后按照插空法求解； （3）按照定序法求解即可； 【小问1详解】 将女生看成一个整体，与名男生在一起进行全排列，有种方法， 再将名女生进行全排列，也有种方法， 故共有种排法. 【小问2详解】 男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有种方法， 再在女生之间及首尾空出的个空位中任选个空位排男生，有 种方法， 故共有种排法. 【小问3详解】 从个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的个人，有种方法， 剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排， 故共有种排法 17. 已知函数，，的图象在处的切线方程为． （1）求，的值； （2）直线是否与函数的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由． 【答案】（1）， （2）相切，切点坐标是 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求出值，再利用切点既在曲线上，又在切线上进行求解； （2）先设出切点的坐标，利用导数的几何意义进行求解． 【小问1详解】 ． ∵的图象在处的切线方程为， ∴，即， 解得，又的图象过点， ∴，解得． 综上，，． 【小问2详解】 设直线与函数的图象相切于点． ∵， ∴，解得， 将代入， 得点的坐标是， ∴切线方程为， 化简得， 故直线与函数的图象相切，切点坐标是． 18. 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： （1）求的值； （2）从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； （3）在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 【答案】（1） （2）分布列见解析，0.6 （3）分布列见解析 【解析】 【分析】（1）利用诸小矩形面积之和为1可求的值； （2）利用二项分布可求的分布列及数学期望； （3）利用超几何分布可求的分布列； 【小问1详解】 由题意可得：， 解得. 【小问2详解】 根据样本估计总体的思想，取一袋食盐， 该食盐的质量超过的概率为. 从流水线上任取2袋食盐互不影响，该问题可以看成2次独立重复试验， 质量超过的袋数X的所有可能取值为， 且服从二项分布， . ， ， ， 随机变量的分布列为： 0 1 2 0.49 0.42 0.09 . 【小问3详解】 质量超过的食盐数量为袋， 随机变量的所有可能取值为，且服从超几何分布. ，， ， 随机变量的分布列为: 0 1 2 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【小问1详解】 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . 【小问2详解】 设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． 【小问3详解】 因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二下学期第一学段考试 数学试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则等于（ ） A. 0 B. C. 3 D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ）． A. B. 5 C. D. 10 3. 某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 18种 D. 24种 4. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. B. A与C相互独立 C. A与C对立 D. B与C互斥 5. 已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 已知一次考试共有名同学参加，考生成绩 ，据此估计，大约有人的分数所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同的涂色方案种数为（ ）． A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 8. 设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 已知随机变量，若函数为偶函数，则 C. 数据第80百分位数是8 D. 样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的极小值是______． 13. 已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则______． 14. 已知随机变量，若，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数． (1)请列出X的分布列； (2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率． 16. 有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数. （1）全体排成一排，女生必须站在一起； （2）全体排成一排，男生互不相邻； （3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变 17. 已知函数，，的图象在处的切线方程为． （1）求，的值； （2）直线是否与函数的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由． 18. 某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为.由此得到样本的频率分布直方图如图： （1）求的值； （2）从该流水线上任取2袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望； （3）在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列. 19. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第次投篮的人是甲的概率； （3）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $