专题03 勾股定理及其逆定理9高频考点69题（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学下学期

**基本信息** 专题聚焦勾股定理及其逆定理，涵盖8大核心考点，精选安徽多地期末真题，融合生活情境与数学建模，梯度覆盖基础计算至压轴应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30+题|勾股定理计算、逆定理判定、勾股数|结合电影《哪吒》飞行路径、渔民叉鱼折射等情境| |解答题|30+题|折叠问题、最短路径、实际应用、面积综合|圆柱侧面展开求最短距离、赵爽弦图面积证明等综合题，适配期末压轴要求|

专题03 勾股定理及其逆定理 高频考点概览 考点01勾股定理基础计算（选择/填空必考） 考点02勾股定理逆定理判定直角三角形（基础解答） 考点03勾股数（树）问题（重点） 考点04 网格中的勾股定理（高频中档） 考点05折叠问题中的勾股定理（中档解答/压轴） 考点06最短路径问题（压轴高频） 考点07勾股定理实际应用（解答必考） 考点08勾股定理与面积综合（中档） 考点01 勾股定理基础计算（选择/填空必考） 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在中，，，，则等于（    ） A．4 B．8 C． D． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则的面积为（      ） A．30 B．32.5 C．60 D．65 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（   ）． A．5 B．12 C．13 D．17 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为______． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，渔民看到虚像的视线，水面到鱼实际位置的距离，求鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是多少？ 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 10．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m，露在水面上的鱼线长．他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为．求转动前后的水平距离的长度． 考点02 勾股定理逆定理判定直角三角形（基础解答） 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 14．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在四边形中，，则四边形的面积为__________．    15．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上. 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 17．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 18．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 考点03 勾股数（树）问题（重点） 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．13，14，15 B．9，40，41 C．3，4， D．1，， 21．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各组是勾股数的是（　　） A． B． C．，，c＝ D． 22．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 24．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则__________． 25．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 27．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 考点04 网格中的勾股定理（高频中档） 28．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（      ）    A． B． C． D． 29．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．则边上的中线长为（    ） A． B． C．4 D．5 30．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______． 31．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．    32．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； (2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 33．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，以格点为顶点画，使三边长分别为 (2)如图2，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离． 34．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 35．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，四边形是网格内的格点四边形．    (1)求以、和为边长构成的三角形的面积； (2)连接，利用网格在上找一点M，使得与的面积相等． 36．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 考点05 折叠问题中的勾股定理（中档解答/压轴） 37．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 38．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长是（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 40．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，三角形纸片中，，、，是边上一点，将三角形纸片折叠，使点B与重合，折痕与分别相交于点E、F． （1）__________° （2）当是直角三角形时，的值为__________ 41．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 42．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 43．（25-26八年级·安徽宿州·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 44．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 考点06 最短路径问题（压轴高频） 45．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 47．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是_________． 48．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________． 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 50．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 51．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 52．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 考点07 勾股定理实际应用（解答必考） 53．（2024八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 54．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 55．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    56．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 57．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 58．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 60．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1，______）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是______． 考点08 勾股定理与面积综合（中档） 61．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，使点在同一条直线上，可以用“等面积法”来证明，利用此图的面积代数式证明勾股定理．    62．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图1，的三边分别为，以为一边作正方形，点在边上，将裁剪拼接至位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 63．（25-26八年级·安徽宿州·期末）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 64．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 66．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，利用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)请你利用图①的赵爽弦图，推导勾股定理； (2)如图②，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图③，在中，是边上的高，，设，求的长度． 67．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 68．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积 从而得数学等式：　 　；（用含字母a、b、c的式子表示） 化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2 【初步运用】 （1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　 　； 【迁移运用】 如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知． 69．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理及其逆定理 高频考点概览 考点01勾股定理基础计算（选择/填空必考） 考点02勾股定理逆定理判定直角三角形（基础解答） 考点03勾股数（树）问题（重点） 考点04 网格中的勾股定理（高频中档） 考点05折叠问题中的勾股定理（中档解答/压轴） 考点06最短路径问题（压轴高频） 考点07勾股定理实际应用（解答必考） 考点08勾股定理与面积综合（中档） 考点01 勾股定理基础计算（选择/填空必考） 1．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）在中，，，，则等于（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题的关键．先根据三角形内角和定理得出，得出，根据勾股定理得出，求出即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：，负值舍去， 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）如图，在四边形中，，相交于点O，且，若，，则的值为（   ） A．12 B．20 C．25 D．26 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由得到，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴ ， ∴的值为25． 故选：C． 3．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）在中，，则的面积为（      ） A．30 B．32.5 C．60 D．65 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】利用勾股定理求出另一条直角边，根据直角三角形面积的计算公式可得． 【详解】∵中，， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形面积的计算，直角三角形的面积等于两条直角边长积的一半． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形A的边长为（   ） A．3 B．2 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解题关键是掌握勾股定理． 直接利用勾股定理求解． 【详解】解：正方形A的边长为， 故选：B． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）电影《哪吒》中哪吒说“我命由我不由天！”他不屈不挠，勇敢抗争，逆天改命．在学习和生活中，我们都会遇到各种困难和挑战，我们要用行动去改变自己的“命运”，书写属于自己的精彩人生！哪吒脚踏风火轮在空中飞行，从地面起飞，先向正东飞行，再向正北飞行，最后直线返回起点．问哪吒最后返回时的直线距离是（   ）． A．5 B．12 C．13 D．17 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，以及方位角．哪吒飞行路线正好构成直角三角形，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：根据题意，这哪吒飞行路线可以构成一个直角三角形， 此时两直角边的长分别是和， ， 故哪吒最后返回时的直线距离是． 故选：C． 6．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，，为边上一点，且满足，若的面积为24，则的长为_______． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和一定等于斜边的平方． 先根据面积公式求，再利用勾股定理求出，据此求解． 【详解】∵，， ∴， ∴ 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）定义：如图，点M，N把线段分割成三条线段，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．若，则的长为______． 【答案】或5 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键． 分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， 点 、是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， 点、是线段的勾股分割点， ． 综上所述：的长为或5． 故答案为：或5． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图所示，有经验的渔民叉鱼时，需瞄准看到鱼的下方才能精准叉到鱼．这是因为，水中鱼的实际位置为点O，鱼反射的光从水中斜射向空气时会发生折射，人眼看到的虚像位置升高到点，即鱼看起来比实际的浅，这是光的折射现象．已知O，，B三点共线，，，渔民看到虚像的视线，水面到鱼实际位置的距离，求鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是多少？ 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 在中利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴ 答：鱼的虚像和实际鱼的位置O之间的距离是． 9．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）某单位大门装有红外线自动感应门，红外线感应器安装在门正上方A处（如图所示），感应器离地面的距离米，当身高为1.8米的人走到离门水平距离0.8米的地方时（即米），大门就会自动打开，求感应器的感应距离是多少？ 【答案】感应器的感应距离是1米 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是识别出直角三角形，结合题干已知条件利用勾股定理求得线段的长度即可． 【详解】解：由题知：，， 在中，， ∴， ∴感应器的感应距离是1米． 10．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）户外钓鱼是一项独特的休闲活动，如图，小明在钓鱼时鱼竿长13m，露在水面上的鱼线长．他想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为．求转动前后的水平距离的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．在中，利用勾股定理计算，在中，利用勾股定理求得，由此即可求得答案． 【详解】解：在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：转动前后的水平距离 的长度为． 考点02 勾股定理逆定理判定直角三角形（基础解答） 11．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C． D． 【答案】B 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而可以解答本题． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 12．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（    ）． A．，， B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，熟练掌握判定直角三角形的方法是解题的关键．利用勾股定理逆定理和三角形的内角和定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，∵， ∴为直角三角形， 选项A不符合题意； B中，∵， ∴设，，， ∵， ∴为直角三角形， 故选项B不符合题意； C中，∵，， ∴， ∴为直角三角形， 故选项C不符合题意； D中，∵， ∴设，则，， 故， 解得， ∴，，， ∴是锐角三角形， 故选项D符合题意． 故选：D． 13．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）在中，三边长分别为a，b，c，且，，则是：（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形进行判断即可． 【详解】解：∵，， 由得， 由得 ∴，即， ∴是直角三角形，又， ∴选项A符合题意， 故选：A． 14．（22-23八年级下·安徽·期末）如图，在四边形中，，则四边形的面积为__________．    【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理，证明直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接，   ，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 15．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，已知A，B，C是海上的三座小岛，岛B在岛A的北偏东方向上，距离为12海里，岛C在岛A的北偏东方向上，距离为13海里，岛B和岛C之间的距离为5海里，则岛B 在岛C的北偏西_______方向上. 【答案】/52度 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、根据平行线的性质求角的度数、与方向角有关的计算题 【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得． 先根据勾股定理的逆定理得，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可． 【详解】解：如图，过点C作 海里，海里，海里， ， ， ，， ， ， ∵， ， 岛在岛的北偏西方向上． 故答案为：． 16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）古希腊的几何学家海伦在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积S与之间的关系式是：①． 已知的三边的长分别为．请借助这个具体的三角形验证关系式①是正确的． 【答案】见解析． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、三角形面积、代数式求值等知识点，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是直角三角形成为解题的关键． 先运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，再运用三角形面积公式可得；然后把代入①求得，然后比较即可验证①的对错． 【详解】解：中，，即， 是直角三角形， ． 将代入关系式①，得 ． 故可以验证关系式①是正确的． 17．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、判断三边能否构成直角三角形 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且是直角； （2）解：的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 18．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，四边形中，，过点作于点，点恰好是的中点，连接，，，． (1)直接写出的长为______； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】（1）由由含30度的直角三角形的性质可求出答案； （2），连接，求出，，再证明，即可由求解． 【详解】（1）解： ， ， ，， ． （2）解：连接，如图， ，为的中点， ， ， ，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 19．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在中，分别为边上的点，连接，且满足垂直平分，垂足为F． (1)判断的形状？并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析； (2)的长为5． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质． （1）运用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，再证明，由此即可解答； （2）根据题意得到，，，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由：，，， ， 是直角三角形，且， 垂直平分， ，， 在和中， ， ， ， 是直角三角形； （2）解：由（1）知，，， ，，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 的长为5． 考点03 勾股数（树）问题（重点） 20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（    ） A．13，14，15 B．9，40，41 C．3，4， D．1，， 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，掌握勾股数的定义及勾股定理的逆定理是解题的关键．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证较小两数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故选项错误，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是整数，故选项正确，符合题意； C、不是整数，故选项不符合题意； D、1，，，不是整数，故选项不符合题意； 故选：B． 21．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）下列各组是勾股数的是（　　） A． B． C．，，c＝ D． 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴能构成勾股数，符合题意； B、∵不是整数， ∴不能构成勾股数，不符合题意； C、∵不是整数， ∴不能构成勾股数，不符合题意； D、∵， ∴不能构成勾股数，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股数，熟知“满足的三个正整数为勾股数”是解题的关键． 22．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（  ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，依次验证各选项即可得到答案． 【详解】选项A，，，，，选项A不是勾股数，故不符合题意； 选项B，，，，，选项B不是勾股数，故不符合题意； 选项C，不是正整数，不符合勾股数定义，选项C不是勾股数，故不符合题意； 选项D，，，，，选项D是勾股数，故符合题意． 23．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如表格中．则当时，的值为（   ） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．722 B．800 C．882 D．968 【答案】C 【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题 【分析】此题考查了勾股数，通过观察表格中a、b、c的规律，发现c = b + 2，且满足勾股定理．将代入方程求解b和c，再求和即可． 【详解】根据表格规律得，，且． 将代入得， 解得 ∴． 故选C． 24．（22-23八年级下·安徽六安·期末）若a，12，13是一组勾股数，则__________． 【答案】5 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意． ②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意； 故答案为5． 【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数． 25．（23-24八年级上·安徽宿州·期末）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2025 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，…… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故答案为：2025． 26．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）已知，，，且n为整数（），求证：a，b，c为勾股数． 【答案】见详解 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的定义，分别算出、、，再得到，即可求解；理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：n为整数（）， a，b，c为整数， ， ， ， ， ， a，b，c为勾股数． 27．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）观察下列等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． (1)请用含（为正整数，且）的等式表示上面的规律，并证明其正确性． (2)若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数（例如，3，4，5）．现有一个直角边为35的直角三角形，它的三边长能否为勾股数？若能，请利用（1）中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；证明见解析 (2)能；35，12，37 【知识点】运用完全平方公式进行运算、勾股树（数）问题 【分析】（1）根据题意可得出规律，运用完全平方公式证明即可； （2）由，根据上述规律得出，即可得出结论； 【详解】（1）解：由题中等式的规律可得， 证明：左边右边． （2）它的三边长能为勾股数．理由如下： ， 把代入，得， 即， 它的三边长能为勾股数，这组勾股数为35，12，37． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股数的定义，完全平方公式，数字类变化规律等知识点，能够根据题意得出是解题的关键． 考点04 网格中的勾股定理（高频中档） 28．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】线段在正方形网格的边上时，的长度可能是， 线段不在正方形网格的边上时，的长度可能是，，，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用． 29．（22-23八年级下·安徽安庆·期末）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的顶点处．则边上的中线长为（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】A 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】根据网格特点作出边上的中线，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，设的中点是D，连接， 由勾股定理可得， 即边上的中线长为， 故选：A 【点睛】此题考查了三角形中线、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 30．（2024八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为是网格上的格点三角形，则它的边上的高等于_______． 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】如图，过点B作BD⊥AC于D，先利用勾股定理求出，再利用三角形的面积计算公式即可求得边上的高． 【详解】解：如图，过点B作BD⊥AC于D， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 解得； 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出AC的长度． 31．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图所示，在边长为单位的网格中，是格点图形，求中边上的高．    【答案】中边上的高为 【知识点】勾股定理与网格问题、与三角形的高有关的计算问题、画三角形的高 【分析】如图所述，过点作的延长于点，过点作于点，可得的长，在中，可求出的长，根据，即三角形的等面积法即可求解． 【详解】解：如图所述，过点作的延长于点，过点作于点，    ∵是格点图形，每个小正方形的边长为单位， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴中边上的高为． 【点睛】本题主要考查格点三角形，勾股定理，等面积法求高等知识的综合，掌握以上知识是解题的关键． 32．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫做格点． (1)请你在图中以格点为顶点画一个，使其三边长分别为，，； (2)请你仅用无刻度直尺作出的中点（保留作图痕迹，标注中点字母）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）利用勾股定理数形结合的思想画出三角形即可； （2）取格点、，连接交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：如图，点M即为所求： 33．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点． (1)在图1中，以格点为顶点画，使三边长分别为 (2)如图2，各顶点均在格点上，求的面积和点到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)7， 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，二次根式的应用，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理和数形结合的思想画出三角形即可； （2）利用勾股定理求出，再利用面积法求解． 【详解】（1）解：，，， 则如图即为所求； （2）设点A到的距离为h， ， ， ， ． ∴点A到的距离为． 34．（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1． (1)画格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），使，，； (2)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用网格求三角形面积、勾股定理与无理数、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，无理数，解题的关键是： （1）根据各边长度结合勾股定理画出图形即可； （2）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）． 35．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，四边形是网格内的格点四边形．    (1)求以、和为边长构成的三角形的面积； (2)连接，利用网格在上找一点M，使得与的面积相等． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据勾股定理求出以、和的边长，利用勾股定理的逆定理判定其构成的三角形为直角三角形即可得出结论； （2）如取点连交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：∵每个小正方形的边长均为1个单位， ∴由勾股定理可知：， ∵， ∴． ∴以、和为边长构成的三角形为直角三角形， ∴以、和为边长构成的三角形的面积； （2）如取点连交于点，点即为所求． 理由：由已知与同底等高，故面积相等， 由图形可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴    【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，关键是熟练掌握图形的面积计算． 36．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【详解】（1）解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； （2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； （3）解：如图3，线段即为所求作． 考点05 折叠问题中的勾股定理（中档解答/压轴） 37．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使得点B恰好落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出，设，根据折叠前后对应边相等得出，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：，，， ， 设，则， 由折叠的性质可得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， 故选B． 38．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图所示，在中，，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长是（    ）    A．7 B．7.5 C．8 D． 【答案】A 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】先根据勾股定理求出的长，再根据图形翻折变换的性质得出，进而求出 的周长 【详解】∵在 中，，， ， ∴ ， ∵ 是翻折而成， ∴ ∴ ∴的周长 . 故答案为：7 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属干轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 39．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则______． 【答案】或或2或6 【知识点】勾股定理与折叠问题、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得， ，进而可求；当，在右侧时，，如图2， 则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当，在左侧，如图3，连接，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可得的值；当，在右侧，重合，如图4，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 40．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，三角形纸片中，，、，是边上一点，将三角形纸片折叠，使点B与重合，折痕与分别相交于点E、F． （1）__________° （2）当是直角三角形时，的值为__________ 【答案】 当或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）延长到点D，使，连接，推出是线段的垂直平分线，得到是等边三角形，即可求得； （2）根据折叠的性质设，在中利用勾股定理计算求得；然后讨论：①当时，则，得到关于x的方程，解方程求出满足条件的x的值；②当时，则，利用含30度角的直角三角形的性质列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）延长到点D，使，连接， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：； （2）∵三角形纸片折叠，使点B与点重合， ∴，，， 设，，则， 在中，，即， ∴， ①当时，则， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∵， ∴； ②当时，则， ∴，即，解得， 故答案为或． 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理． 41．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 42．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理，根据勾股定理可得的值，再根据翻折的性质，可得，设，，利用勾股定理列出方程求解x的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 由折叠的性质知，， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得． ∴的长为． 43．（25-26八年级·安徽宿州·期中）如图，小红用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小红折叠时，定点落在边上的点处（折痕为）． (1)求的长； (2)求的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和长方形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键． （1）先根据矩形的性质得到，，，再根据折叠的性质得，，则可利用勾股定理计算出； （2）计算出的长，设，则，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形   ， 折叠                                 由勾股定理，得： （2），， ， 设 则                              由勾股定理，得： 解得： 所以，的长为 44．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合． (1)求直线对应的函数表达式； (2)求的长； (3)P为直线上一点，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】一次函数与几何综合、勾股定理与折叠问题、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数表达式的求解，勾股定理的应用及三角形面积公式的运用． （1）利用待定系数法，将直线所过的两个点的坐标代入一次函数表达式，求解出函数表达式； （2）先根据勾股定理求出的长度，再利用折叠的性质得到相关线段的长度关系，通过设未知数，根据勾股定理列出方程求解的长； （3）设出点P的坐标，根据三角形面积公式列出方程，求解得到点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：， ∵直线交坐标轴于点，， ∴， 解得：， ∴直线对应的函数表达式为：． （2）解：由题意可知：，，， ∴， ∵将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合， ，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得， 即． （3）解：∵P在直线上， ∴设， ∵， ∴， 解得或， ①当时，， ②当时，， ∴或． 考点06 最短路径问题（压轴高频） 45．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，    根据题意，， ∴ 作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离， 则， 过点作，交的延长线于点E， 则四边形是矩形， 故， 故， 故， ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为． 故选：C 46．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm的点M处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm的点N处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm，长为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（    ） A．5cm B．4cm C． D．15cm 【答案】D 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理，理解几何体侧面展开图等，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．根据题意先画出几何体的侧面展开图，分两种情况，利用勾股定理即可求解，再进行比较． 【详解】解：①如图1，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ②如图2，为圆柱体侧面展开图， 过点作于点，作出点关于底面直径所在直线的对称点，连接， 根据题意可知：，， 在中，根据勾股定理得：， ， 小蜘蛛需要爬行的最短距离是的长为， 故选：D． 47．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在一个边长为的正方形纸片上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与平行，横截面是边长为的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是_________． 【答案】10 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故答案：． 48．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈红丝线，则这圈红丝线的周长最小为___________． 【答案】26 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为24dm，圆柱高为5dm， ∴AB=5dm，BC=BC′=12dm， ∴AC2=52+122=132， ∴AC=5． ∴这圈金属丝的周长最小为2AC=26（dm）． 故答案为：26． 【点睛】本题考查了勾股定理求最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”是解题的关键． 49．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）你听说过亡羊补牢的故事吧！为了防止羊的再次丢失，牧羊人要在如图所示的高、宽的长方形栅栏门的相对角的顶点钉一根加固木条，则这根木条的长至少为多少？ 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据勾股定理解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， 即这根木条的长至少． 50．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图1，圆形旋转楼梯是以单柱为中心螺旋上升的特色楼梯，因造型美观，空间利用率高，常用于室内外设计中． (1)如图2是抽象出来的一层圆形旋转楼梯的示意图，扶手可近似看作是圆柱侧面上的一条螺旋线，其中点为扶手的两端点．图3是该螺旋线所在圆柱面的侧面展开图，请在图3中画出该扶手在展开图中的示意图； (2)在（1）的条件下，抽象出来的这一层楼层高为，扶手所在圆柱的底面半径为，求这一层圆形旋转楼梯的扶手长度．（取3） 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意画出对应的展开示意图是解题的关键． （1）展开图所示的长方形的一条对角线（经过点A）即为该扶手在展开图中的位置，据此作图即可； （2）利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图3所示，线段即为所求； （2）解：如图3所示，根据题意可得， 在中，由勾股定理得， 答：这一层圆形旋转楼梯的扶手长度为． 51．（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值． (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握数形结合思想，正确构造直角三角形是解题的关键， （1）①根据勾股定理即可表示出的长；②过点作，过点作，连接，当三点共线时，的值最小，再利用勾股定理求出的最小值； （2）根据题意构造图形，过点作，过点作，连接，交于点，所以代数式的最小值为的长，由勾股定理求得的最小值； （3）由条件得，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移为，再根据两点间距离最短，可得的最小值． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴． ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴代数式的最小值为． （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 52．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝． (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是_____． (2)如图1，该金属丝长度最短需要______． (3)如图2，若将金属丝从点B绕四圈到达点A，则所需金属丝最短长度是多少？ (4)如图3，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、两点之间线段最短 【分析】本题考查了求最短路径(勾股定理的应用)以及两点之间线段最短，画出正确的侧面展开图是解题关键； （1）根据过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短，即可判断； （2）由展开图可知：，求出；即可求解； （3）若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍；据此即可求解； （4）将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，求出；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵过点A，C嵌有一圈长度最短的金属丝，两点之间线段最短， ∴将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是； （2）解：由展开图可知：， ∴； 该金属丝长度最短需要，即； （3）解：若将金属丝从点绕四圈到达点，则所需金属丝最短长度是以周长及高为直角三角形的斜边长的4倍； ∵， ∴所需金属丝最短长度是； （4）解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 则，， ∴， ∵底面周长为， ∴， ∴； ∵， ∴蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是； 考点07 勾股定理实际应用（解答必考） 53．（2024八年级下·安徽芜湖·期末）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离． 【答案】17米 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度． 【详解】解：由勾股定理得；， ∴（米）， ∵（米）， ∴在中，由勾股定理得， ∴此时小鸟到地面C点的距离17米． 答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键． 54．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）我国明朝数学家程大位的数学著作《直指算法统宗》中，有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺，（假设秋千的绳索拉的很直）如图，请你根据词意计算秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为14.5尺 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，作适当辅助线得到直角三角形是解题的关键；过点作于点．设秋千绳索的长度为尺，则可表示出，在中，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． 设秋千绳索的长度为尺． 由题可知，尺，（尺），尺， ∴尺． 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 55．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．    【答案】尺 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺， 根据勾股定理得， 解得： 答：折断处离地面的高度是尺． 56．（23-24八年级下·安徽六安·期末）小明和小红同时骑车从新华书店出发，小明家在新华书店北偏西方位上，小红家在新华书店南偏西方位上，小红骑车平均速度为，1.5小时后他们同时到达各自的家，已知小明家和小红家相距，根据题意，在下面图中画出示意图，并求小明骑车的平均速度． 【答案】小明骑车的平均速度为． 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查方位角，勾股定理的应用，正确画出图形，求得是解题的关键． 根据方位角正确画出图形，然后求得，即可由勾股定理求解． 【详解】解：如图所示： 由题意可知，，， ∴， ∵，， ∴， ∴小明的平均速度为， 答：小明骑车的平均速度为． 57．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）产业兴旺是乡村振兴的重要基础，产业发展是滋养农民美好生活的源头活水．如图，某乡村有一块三角形空地，计划将这块三角形空地分割成四边形和△，分别种植梨树和桃树两种不同的果树，经测量，，米，米，米，米，米，求四边形的面积． 【答案】平方米 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟记勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．证明是直角三角形，即可推出结果． 【详解】解：连接， 在中，由勾股定理得， （米）， 在中，由勾股定理得， ， 在中， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积（平方米）． 58．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且， (1)连接，求的长 (2)求这块菜地的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则由勾股定理的逆定理可得，根据四边形的面积的面积的面积列式求解即可． 【详解】（1）解：如图， ，，， ． （2）解：，，， ，， ， 是直角三角形，即， 四边形的面积的面积的面积 ， 答：这块菜地的面积为． 59．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）小望和小岳学习了“勾股定理”之后，为了得到风筝的垂直高度的长，他俩合作进行了如下操作： ①用皮尺测得的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线(线段)的长为25米； ③小望拉风筝的手到地面的距离(线段的长)为1.5米． (1)求风筝的垂直高度(线段的长)； (2)如果小望想使风筝沿下降12米到处，求他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为21.5米 (2)他应该往回收线8米 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． (1)利用勾股定理求出的长，即可解决问题； (2)根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：（米）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到， 由题意可知，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线8米． 60．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图（1），一根长为的木棒斜靠在竖直的墙上，为，如果木棒的顶端A沿墙下滑，底端B向外移动，下滑后的木棒记为，则x与y满足的等式，即y关于x的函数解析式为，如图（2），小明利用画图软件画出了该函数图象， （1）请写出图象上点P的坐标（1，______）． （2）根据图象，当的周长大于的周长时，x的取值范围是______． 【答案】 1 / 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）当时，，即可求解； （2）由的周长的周长，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为：1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长，而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 考点08 勾股定理与面积综合（中档） 61．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，使点在同一条直线上，可以用“等面积法”来证明，利用此图的面积代数式证明勾股定理．    【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、全等三角形的性质 【分析】根据题意可得是等腰直角三角形，根据梯形的面积：，，由此即可求解． 【详解】证明：∵两个全等的直角三角形如图摆放， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴梯形的面积：，， ∴，化简，得，证明了勾股定理． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，掌握全等三角形的性质，梯形面积的计算方法等知识的综合是解题的关键． 62．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图1，的三边分别为，以为一边作正方形，点在边上，将裁剪拼接至位置，如图2，请用图1、图2的面积不变证明勾股定理． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理的几何证明，先求出正方形的面积为，四边形的面积，根据正方形的面积与四边形的面积相等，得出，即可证明结论． 【详解】证明：连接， ， 正方形的面积为， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 四边形的面积， 正方形的面积与四边形的面积相等， ， ， ∴． 63．（25-26八年级·安徽宿州·期末）国际数学教育大会被誉为数学教育界的“奥林匹克”，于2021年首次在中国举办．其大会标识（如图1）的中心图案是赵爽弦图（如图2），它是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而创制的一幅图，其证明思路是用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法．图2是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形围成的一个大正方形，请用等面积法验证勾股定理： 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了勾股定理、以弦图为背景的计算题、等面积法等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先用两种方法表示出大正方形的面积，根据表示的面积相等证明即可． 【详解】解：∵外面大正方形的面积， 里面小正方形的面积4个直角三角形的面积， ∴， ∴． 64．（24-25八年级下·安徽淮南·阶段检测）如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它表明了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲．小明用四个全等的直角三角板围成图2，中间是个小正方形，外围是个大正方形．直角三角板的直角边长分别为a，b，斜边长为c． (1)用含有a，b的代数式表示小正方形的面积和大正方形的面积； (2)证明勾股定理． 【答案】(1)小正方形的面积是，大正方形的面积是； (2)见解析． 【知识点】勾股定理的证明方法、根据正方形的性质与判定求面积、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握正方形的性质是解决本题的关键． （1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）根据大正方形是由中间一个小正方形加四个直角三角形组合而成，由此面积证明即可． 【详解】（1）解：∵直角三角板的直角边长分别为a，b， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是， ∵直角三角板的斜边长为c， ∴大正方形的边长为c， ∴大正方形的面积是． （2）证明：在图2中，大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积为中间一个小正方形的面积加四个直角三角形的面积， 即， 整理得，， 即． 65．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的直角边长都为，较大的直角边长都为，斜边长都为），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条直角边长分别为，斜边长为，那么．    (1)请你利用图1验证勾股定理； (2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长的值； (3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在中，，，试求的面积． 【答案】(1)验证见解析 (2)， (3) 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，构造一元二次方程求解． （1）利用大正方形的面积的两种表达方式，列式计算即可求解； （2）由题意得，求得，，利用根与系数的关系构造一元二次方程，解方程即可求解； （3）作于点，在和中，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵大正方形的面积可以表示为，也可以表示为， ∴ ∴； （2）解：由题意得， ∴， ， ∴， ∴，是方程的两根， 解得， ∵， ∴，； （3）解：作于点， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即， 解得：． ∴ ． 66．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图①所示的赵爽弦图由四个全等的直角三角形拼成，利用它可以证明勾股定理．思路是大正方形的面积有两种求法，这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式的方法，我们称之为“双求法”．请你用“双求法”解决下面问题： (1)请你利用图①的赵爽弦图，推导勾股定理； (2)如图②，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图③，在中，是边上的高，，设，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、用勾股定理解三角形 【分析】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解，然后利用勾勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是，另一种为； ∴； （2）解：在中，， 由面积的两种算法可得：， 解得：； （3）解：在中，， 在中，， 所以 ， 解得， ∴． 67．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 68．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积 从而得数学等式：　 　；（用含字母a、b、c的式子表示） 化简证得勾股定理：a2＋b2＝c2 【初步运用】 （1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　 　； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　 　； 【迁移运用】 如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程． 知识补充：如图4，含60°的直角三角形，已知． 【答案】【探索新知】a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab；【初步运用】（1）5：9；（2）28；【迁移运用】a2＋b2-ab＝c2，理由见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积＋4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题； 【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． （2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积计算即可． 【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a＋b）2＝c2＋4×ab， ∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2， 故答案为：a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab； [初步运用]（1）由题意：b＝2a， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故故答案为5：9． （2）由题意得：空白部分的面积＝小正方形的面积-2个直角三角形的面积 ∴空白部分的面积为． 故答案为28． [迁移运用]结论：a2＋b2＋ab＝c2． 理由：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，过点G作GH⊥EM于H，过点E作EF⊥AB于F， 由题意：，， ∵大正三角形面积＝三个全等三角形面积＋小正三角形面积 ∴， ∴（a＋b）2＝3ab＋c2， ∴a2＋b2-ab＝c2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题的关键． 69．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图①，直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用图①可以拼出图②和图③． (1)“赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图②所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．根据图形，我们可以得到等式：___________，___________，___________． (2)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，已知， ①求出的值； ②求证：关于的方程必有两个不相等的实根； ③若第②问中的方程有一根是4，求出方程的另一个根． 【答案】(1)，， (2)①41；②见解析；③5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、以弦图为背景的计算题 【分析】本题勾股定理和求正方形的面积，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是： （1）根据大正方形的面积=4个直角三角形的面积+小正方形的面积求解即可； （2）①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y，则，，，根据完全平方公式并结合求解即可；②由①可求出，然后代入化简求出，有得出，即可得证；③把代入，结合，，可得出，化简得，解方程求出，，代入方程并解方程即可求解． 【详解】（1）解∶根据题意得：大正方形的面积为，小正方形的面积为，每一个三角形的面积为， ∴图2得到的等式为∶，即， 或，或， 故答案为∶ ，，； （2）解∶①设直角三角形的长直角边为x，短直角边为y， 则，，， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； ③把代入， 得， 又，， ∴， 化简得， 解得或（舍去）， ∴， ∴原方程为， 解得，， ∴方程的另一根为5. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $