专题02一元二次方程及其应用5高频考点62题（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程核心考点，精选安徽各地期末真题，梯度覆盖概念辨析、解法应用、根的判别式、韦达定理及实际应用题，突出计算能力与建模思想。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/填空|约40题|核心概念（方程定义、根的意义）、解法（配方法、公式法）、根的判别式|基础题占比60%，如判断一元二次方程、求参数值，适配期末基础巩固| |解答题|约20题|韦达定理应用、实际问题（增长率、利润、几何面积）|压轴题结合制造业、销售等真实情境，如“泥塑作坊利润计算”“机械加工油耗问题”，体现数学建模与应用意识|

专题02一元二次方程及其应用 高频考点概览 考点01核心概念（基础小题） 考点02一元二次方程解法（核心计算） 考点03根的判别式 考点04 根与系数关系（韦达定理） 考点05一元二次方程应用（压轴必考） 考点01 核心概念（基础小题） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若是方程的解，则代数式的值为______． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知m是方程的根，则的值为______． 考点02 一元二次方程解法（核心计算） 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末），是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 14．（22-23八年级下·安徽·期末）将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 19．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）我们规定：对于实数，满足，若，则的值为________． 20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 21．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 22．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 23． （24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程： 24．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程：． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程： (1) (2) 26．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）解方程：． 27．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）计算与解方程： 29．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 考点03 根的判别式 30．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 31．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 33．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 36．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第_______象限． 37．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是________． 38．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 39．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 40．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 41．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 43．（24-25八年级下·安徽六安·期末）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 考点04 根与系数关系（韦达定理） 44．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 47．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知、是方程的两根，则的值为_________． 49．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 50．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为______． 51．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 53．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 54．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 55．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 考点05 一元二次方程应用（压轴必考） 56．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 57．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 58．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 59．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 60．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 61．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 62．（22-23八年级下·安徽·期末）用黑、白两种颜色的小正方形拼成如图所示的图案．    (1)图4中有黑色正方形_______个，图n中有黑色正方形________个； (2)是否存在图n，使得白色正方形比黑色正方形多2023个，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一元二次方程及其应用 高频考点概览 考点01核心概念（基础小题） 考点02一元二次方程解法（核心计算） 考点03根的判别式 考点04 根与系数关系（韦达定理） 考点05一元二次方程应用（压轴必考） 考点01 核心概念（基础小题） 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A．，未知数最高次数为3，不符合“二次”条件，不是一元二次方程，不合题意； B．，展开得，是整式方程，仅含未知数且最高次数为2，是一元二次方程，符合题意； C．，含两个未知数和，不符合“一元”条件，不是一元二次方程，不合题意； D．，分母含未知数，属于分式方程，非整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选B． 2．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及求代数式的值，准确计算是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：∵2是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）把一元二次方程化成一般式，则，，的值分别是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，将方程整理成一元二次方程的一般形式，即可确定、、的值，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，，， 故选：B． 4．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键． 将代入一元二次方程得到关于k的一元一次方程求解即可． 【分析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 得，解得：． 故选：B． 5．（23-24八年级下·安徽安庆·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确； B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确； C、是一元三次方程，故C不正确； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 6．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A． B．2 C． D．6 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，将代入，即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴ 解得：， 故选：A． 7．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．理解一元二次方程的定义，需要抓住两个条件：①二次项系数不为0；②未知数的最高次数为2； 结合一元二次方程的定义，可以得到关于的方程和不等式，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 解得． 故选：A． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若是方程的解，则代数式的值为______． 【答案】2027 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和代数式求值，解本题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程解的定义． 根据a是方程的解，得出，再根据求解即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知m是方程的根，则的值为______． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，求解代数式的值，由条件可得，，再代入代数式逐步计算即可. 【详解】解：∵m是方程式的根， ∴， ∴，． ． 故答案为：． 考点02 一元二次方程解法（核心计算） 12．（24-25八年级下·安徽池州·期末）用配方法解方程，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，确定正确选项即可． 【详解】解： 移项：将常数项移到方程右边 配方：取一次项系数4的一半（即2），平方得4，两边同时加上4： 化简：左边写成完全平方形式，右边合并常数项：， 故选：B． 13．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期末），是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 【答案】A 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、无理数的大小估算 【分析】此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 【详解】解：、是一元二次方程的两个解，且， ， ，， 故选：A 14．（22-23八年级下·安徽·期末）将一元二次方程配方后得到的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】所给方程的二次项系数就是1，将常数项移到等号右边，再给等号两边同时加上一次项系数一半的平方，结合完全平方公式即可解答． 【详解】解：移项得： 配方得： 由完全平方公式得： 即： 故选：A． 【点睛】此题主要考查用配方法解一元二次方程的知识，关键是掌握配方法的步骤． 15．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，将方程整理为后，通过因式分解法求解，即可作答． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选：C． 16．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为的形式，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法在变形后的方程等式两边同时加上1即可确定、的值．配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方的和． 【详解】解： ， ， 即， ，， ． 故选：D． 17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）的三边长都是方程的解，则的周长是（   ） A．4 B．5 C．3或5或6 D．3或4或5或6 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】此题考查了解一元二次方程，三角形三边关系， 首先解方程得到根为1和2，确定三角形的边长可能为1或2．然后根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证所有可能的组合，排除不符合条件的组合，最后计算符合条件的周长． 【详解】 ， 解得，． ∴三角形的边长可能为1或2． ∴当边长为1，1，1时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为2，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，2，2时，，符合题意， ∴周长为； 当边长为1，1，2时，此时，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； 综上所述，的周长是3或5或6． 故选：C． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）延时课上，4个同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（    ） A．小张 B．小王 C．小李 D．小赵 【答案】D 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程的配方法，掌握配方的步骤：“第一步∶ ，第二步：，第三步：， 第四步：；”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，； 小赵负责的步骤错误； 故选：D． 19．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）我们规定：对于实数，满足，若，则的值为________． 【答案】或 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了实数的新定义，因式分解法进行解一元二次方程，先理解新定义，再得出，整理得，即可作答． 【详解】解：依题意，， 即， 整理得， ∴， 解得， 故答案为：或． 20．（24-25八年级下·安徽六安·期末）对实数定义一种新运算“”：，若，则实数x的值为_________． 【答案】或或 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键． 分两种情况：当时，当时，根据新定义列方程，求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时， ， 即， 解得：，， 当时， ， 即， 解得：（舍去），， 综上，实数x的值为或0或1． 故答案为：或0或1． 21．（24-25八年级下·安徽六安·期末）解方程： 【答案】，． 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． 22．（22-23八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解法求出的值即可． 【详解】解： ， ， 或， ，． 23．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程： 【答案】， 【详解】， ， ， ， ， ， ． 24．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解： ， ， ∴， 即，． 25．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2) ， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）将方程利用公式法直接求解即可得到答案； （2）将方程移项后因式分解直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：， 整理为， 则， 则， 即：或， 解得 ，． 26．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期末）解方程：． 【答案】 【详解】解：方程左边分解因式得， 即或， 解得． 27．（23-24八年级下·安徽六安·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 28．（23-24八年级下·安徽池州·期末）计算与解方程： 【答案】， 【详解】 ，． 29．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值， 我们可以通过以下方法求代数式的最小值． 解：∵， ∵， ∴当时，有最小值． 请根据上述方法，解答下列问题： (1)若，则 ； (2)求代数式的最值； (3)若代数式的最大值为8，求k的值． 【答案】(1)2，1 (2)最小值为，无最大值 (3) 【知识点】配方法的应用、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查配方法，解一元二次方程等． （1）根据题意配方即可得到本题答案； （2）先提出2，再配方即可求最值； （3）将代数式提出后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：2，1 （2）解：∵， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值； （3）解：∵， 即：， ∵， ∴，即代数式有最大值， ∵代数式的最大值为8， ∴当时，即，解得：． 考点03 根的判别式 30．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据方程的根的判别式，计算判断解答即可． 本题考查了根的判别式应用，熟练掌握判别式是解题的关键． 【详解】解：A. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     B. ，此时， 有两个相等的实数根，不符合题意；     C. ，此时， 有两个不相等的实数根，不符合题意；     D. ，此时， 无实数根，符合题意；     故选：D． 31．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列一元二次方程中没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算每个方程的判别式，若为负数，则方程没有实数根． 【详解】解：A：∵，，， ∴， ∴方程没有实数根． B：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． C：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． D：∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A 32．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）若方程没有实数根，则m的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断． 【详解】解：对于方程，其判别式为． 若方程无实数根，则需满足，即， 解得． 故选：D． 33．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：由方程得：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：Ｃ． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 35．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”，如：一元二次方程的两根为，，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于x的一元二次方程，有以下两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有3个整数p满足要求，对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①正确，②错误 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得，或，，分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②；理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得，， ∴， ∵，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，或，， ∵该方程是“友好方程”， ∴该方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 当，时， ∵， ∴， 解得， ∵有且仅有个整数满足要求， ∴此时的值不存在； 当，时，， 解得， 又∵， ∴此时满足要求的整数的值只有，两个，故②错误； 综上，结论①正确，②错误， 故选：D． 36．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若一元二次方程没有实数根，则直线不经过第_______象限． 【答案】一 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一次函数的图象与性质，首先根据一元二次方程没有实数根，可得：，又因为，所以直线与轴的交点在轴的负半轴，所以直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 【详解】解：一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 一次函数中，随的增大而减小， 又， 直线与轴的交点在轴的负半轴， 直线经过第二、三、四象限， 直线不经过第一象限． 故答案为：一． 37．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）关于x的一元二次方程方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的二次项系数不为0，方程有实数根，得到判别式大于等于0，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：且； 故答案为：且． 38．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 39．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴． 40．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）已知关于的一元二次方程：有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若方程的一个根是1，求另一个根及的值． 【答案】(1)且 (2)另一个根是， 【知识点】一元二次方程的定义、因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义得到，再由方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出的范围，即可得出答案； （2）代入到，求出的值，再利用因式分解法解一元二次方程即可得出另一个根． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的取值范围为且； （2）解：代入到，得， 解得， ∴方程为， ∴， 解得：，， ∴另一个根是， ∴综上所述，另一个根是，． 41．（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 42．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)的值为，方程的另一个根是 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的解，将代入原方程求出的值是解题的关键． （1）将方程变形为一般式，再根据根的判别式，即可证出结论； （2）将代入原方程求出的值，将其代入原方程解方程即可得出方程的另一个根，此题得解． 【详解】（1）证明：原方程可变形为， ， ∵ ∴ 方程总有两个不等的实数根； （2）解：方程的一个根是， ，解得：， 原方程为：， 解得：，． 即的值为，方程的另一个根是． 43．（24-25八年级下·安徽六安·期末）阅读材料：我们把叫做一元二次方程根的判别式，用表示．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．例如：方程，的值是一个完全平方数，但是该方程的根不都为整数；方程的两根都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是_______； ②若该全整根方程的“关爱码”是，则的值为________； (2)若关于的全整根方程是（均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握新定义和解一元二次方程是关键． （1）①根据新定义进行解答即可；（2）根据新定义和因式分解法解一元二次方程进行解答即可； （2）由新定义得到，由即可得到答案． 【详解】（1）①当时，， ∴ ∴或， 解得 ∴是“全整根方程”， ∵ 即当时，该全整根方程的“关爱码”是； ②∵该全整根方程的“关爱码”是， ∴，， 解得， 当时，， 当时，， 故答案为：或 （2）由题意可得， ∴ ∵均为正整数， ∴， ∴， 解得 考点04 根与系数关系（韦达定理） 44．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）若方程的两根为，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查二次方程根与系数的关系及代数式求值．首先根据一元二次方程根与系数的关系可得：, ，根据多项式乘以多项式的法则计算可得：，然后现整体代入求值即可． 【详解】解：方程 的两根为 和 ， , ， ， ． 故选：B． 45．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若，是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2024 B．2025 C． D．2026 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到的表达式，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵ 是方程的根， ∴ ，即， 代入所求式： ， 由根与系数的关系，方程两根之和为， ∴ ． 故选：B． 46．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若实数满足，且，则的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】由题意，实数、满足方程且，即、是该方程的两个不同根．利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再利用完全平方公式的变形解答即可． 【详解】解：∵实数满足， ∴实数可以看作是方程的实数根， ∴，， ∴， ∴或． 故选C． 47．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可. 【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：， ∴另一个根为：； 故选 C． 48．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知、是方程的两根，则的值为_________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系，掌握这两个知识点是关键；由一元二次方程根的意义，得，即；由一元二次方程根与系数的关系，得，最后整体代入即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，即；； ∴ ． 49．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数，则a的值为__________． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式等知识点，灵活运用一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根与系数的关系得到：，解得或，然后再运用根的判别式验证即可． 【详解】解：设方程的两根为， ∵关于x的一元二次方程的两个实数根互为倒数， ∴，解得：或， 当时，原方程变形为，该方程无实数根； 当时，原方程变形为，，故该方程有两个不等实数根，符合题意． 故答案为：． 50．（22-23八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键是根据已知条件对足进行变形．根据根与系数的关系得到，，由，得到，从而得到，解得或，然后判断方程的根的情况即可． 【详解】解：，是关于的方程的两个实数根， ，， ， ， ， ， 解得：或， 当时方程为，则， 当时方程为，则， ， 故答案为：． 51．（22-23八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知关于一元二次方程，有下列说法： ①若则； ②若方程两根为1和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有实根； ④若，则方程有两个不相等的实数根． 其中正确的是______．（填写序号） 【答案】①②③④ 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与判别式的关系，判断①③④；根与系数的关系判断②． 【详解】解：①若，则一元二次方程有一个根为， ∴；故①正确； ②若方程两根为1和2，则：，即：， ∴；故②正确； ③若方程有两个不相等的实根，则：， ∴， ∴方程必有实根；故③正确； ④，则：， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根．故④正确； 故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 52．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 53．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）一元二次方程两根分别为，且（） (1)若此方程一个根为1，则______； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证： 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）将，代入方程，作差，进行因式分解得到，继而得到，然后用m表示n，再根据已知条件即可求证． 【详解】（1）解：将代入方程，则， ； （2）解：，， ，， 解得：，； （3）证明：当，，且， ①， ②， 得：， 即， 因， ， ， 由题知：， 即， 故 54．（24-25八年级下·安徽池州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求a的取值范围； (2)若，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若是方程的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等的实数根，可知方程的判别式大于0，据此列不等式即可求解； （2）根据根与系数的关系得出，，再利用，得到，然后解关于a的方程，最后利用a的取值范围确定a的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， ∴； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 55．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断方程是不是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程(m是常数)是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)方程是“倍根方程” (2)代数式的值为或 (3)m的值为13或 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、代数式求值、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系成为解题的关键． （1）利用因式分解法解方程得到、，然后根据“倍根方程”的定义进行判断； （2）利用因式分解法解方程得到、，再根据新定义解得或；然后把或分别代入所求的代数式中求值即可； （3）设方程的根的两根分别为、，根据根与系数的关系得，，，然后求出，再计算对应的m的值即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 所以， ∵， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， 或， 解得，， ∵是“倍根方程”， ∴或， 或， 当时，； 当时，． 综上所述，代数式的值为或． （3）解：根据题意，设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得，， 解得，或，， 所以的值为或． 考点05 一元二次方程应用（压轴必考） 56．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 57．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）阅读材料，解决问题 材料1：新时代的中国伴随着人工智能、新能源、新材料等不断革新，制造业发展也迎来了大变革，新桥产业园某工厂借助智能化，对某型号零件进行一体化加工，生产效率提升显著，该零件3月份生产100个，5月份生产169个． 材料2：该厂生产的零件成本为40元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为50元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨1元，则销售量将减少10个． 【解决问题】 (1)求该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率； (2)若该厂既想使月销售利润达到12000元，又想尽快减少库存，以便产品迭代，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）基本关系：初量（1+增长率）2=末量，据此列出方程，求解即可； （2）基本关系：总利润=每个的销售利润×月销售量，该零件的实际售价应定为元，用含的代数式表示月销售量，再利用月销售利润达到12000元建立方程求解． 【详解】（1）设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为，根据题意，得 ， 解得：，（舍去） 答：设该厂3月份到5月份生产数量的平均增长率为 （2）设该零件的实际售价应定为元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵想尽快减少库存，则售价应该更低， ∴该零件的实际售价应定为元， 答：该零件的实际售价应定为元． 58．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）根据以下素材，探索并完成任务 素材1 泥塑艺术是我国一种传统而常见的民间艺术，某泥塑作坊制作泥塑进行销售，4月份制作泥塑500件，同年6月份制作泥即720件． 素材2 泥塑的制作成本为20元/件，销售一段时间后发现，当泥售价为40元/件时，月销售量为450件，若在此基础上每件售价每上涨1元，则月销售量将减少15件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊4月份到6月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到9360元，而且尽可能让顾客得到实惠，则每件泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务1：4月份到6月份的月平均增长率为；任务2：该泥塑的售价应定为44元/件 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务1：设4月份到6月份的月平均增长率为，由题意得列出一元二次方程，据此即可求解； 任务2：设该泥塑的售价应定为元/件，根据题意列出一元二次方程，据此即可求解． 【详解】解：任务1：设4月份到6月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，(舍)， 答：4月份到6月份的月平均增长率为； 任务2：设该泥塑的售价应定为元/件， 由题意得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为44元/件． 59．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）现有一些矩形硬纸板，每一块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计） (1)每个矩形硬纸板的四个角分别去掉2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形后，可以折叠成一个有盖的长方体盒子（如图），已知该长方体盒子的底面积是，求出该盒子的高； (2)工厂将这些硬纸板全部做成有盖盒子出售．已知每块矩形纸板的成本为12元，若有盖盒子的售价为24元/个，则每天可售出18个．在销售过程中发现，有盖盒子价格每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利208元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】(1)该长方体盒子的高为 (2)每个有盖盒子应降价4元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，正确读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）设该长方体盒子的高为，根据长方体盒子的底面积是，结合图形得：，求解即可； （2）设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设该长方体盒子的高为， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该长方体盒子的高为； （2）解：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子售价为元， 由题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：每个有盖盒子应降价4元． 60．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 【答案】(1)28 (2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为. （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴. 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克． 61．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售个，7月份销售个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200个/月，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400个．若增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条生产线 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线．， 解得，（舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4条生产线． 62．（22-23八年级下·安徽·期末）用黑、白两种颜色的小正方形拼成如图所示的图案．    (1)图4中有黑色正方形_______个，图n中有黑色正方形________个； (2)是否存在图n，使得白色正方形比黑色正方形多2023个，若存在，求n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)17， (2)存在，23 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】（1）根据图形算出前几个图形中含有黑色正方形的个数，找到规律可求解； （2）由（1）的规律求出第n个图形中黑色和白色正方形的个数，然后根据白色正方形比黑色正方形多2023个，列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：图1中有黑色正方形个； 图2中有黑色正方形个； 图3中有黑色正方形个； 图4中有黑色正方形个； …… 图n中有黑色正方形个； 故答案为：17； （2）解：存在， 根据题意得：图1中有白色正方形个； 图2中有白色正方形个； 图3中有白色正方形个； …… 图n中有白色正方形个； ∴由题得： 解得：或（舍去）， 即存在图，使得白色正方形比黑色正方形多2023个． 【点睛】本题考查了图形的变化类及一元二次方程的应用，找到变化规律是解题的关键. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 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