8.6.3平面与平面垂直的判定与性质课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的判定及性质定理，涵盖二面角、定义、判定与性质，通过正方体、四棱锥等模型及例题，衔接线面垂直知识，构建空间几何学习支架。 其亮点是经典模型多角度探析结合高考真题，以严谨证明（如PA⊥底面证面面垂直）培养数学思维与空间观念，帮助学生提升推理能力，教师使用可系统覆盖知识点，提高教学效率。

8.6.3平面与平面垂直的判定 1.二面角及其平面角 (1)二面角：两个半平面及其棱所成角. a b l A B P Q 二面角a-l-b 二面角a-AB-b 二面角P-l-Q 二面角C-AB-D ①记法： ②范围：[ 0o, 180o ] ③求法：棱 l 上取一点O，在a 内作OA⊥l，在b 内作OB⊥l， 则∠AOB是二面角a-l-b 的平面角. 2.面面垂直的定义 (2)面面垂直的定义：若两个相交平面所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直. 记作: a⊥b (平面角是直角的二面角叫做直二面角) 画两个平面垂直, 一般应把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直. 注：(异面)直线a,b分别和一个二面角的两个面垂直，则直线a,b所成角与这个二面角的平面角相等或互补. 3.面面垂直的判定定理 (3)面面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线, 则这两个平面垂直. 符号： a b l 3.面面垂直的判定定理 [书158页例7]正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面 A1DB ⊥平面A1ACC1. 3.面面垂直的判定定理 [书158页例8]AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. [2021-全国乙卷]四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥平面ABCD， M为BC的中点，且PB⊥AM. (1)证明：平面PAM⊥平面PBD. (2)若PD=DC=1，求四棱锥P-ABCD的体积. 经典模型多角度探析 例2 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M. 证明：由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1. 又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM. 又CC1＝2，M为CC1的中点， 所以C1M＝CM＝1. 在Rt△B1C1M中，B1M＝， 同理BM＝， 又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M. 又A1B1∩B1M＝B1，A1B1，B1M⊂平面A1B1M， 所以BM⊥平面A1B1M， 因为BM⊂平面ABM， 所以平面ABM⊥平面A1B1M. 返回导航 8 跟踪训练2　(1)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，且E为BC的中点，点F为棱PC上一动点．求证：平面AEF⊥平面PAD. 证明：∵AB＝AD＝CB＝CD＝a， ∴△ABD与△BCD是等腰三角形． 如图，取BD的中点E，连接AE，CE，则AE⊥BD，BD⊥CE. ∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角． 在Rt△ABE中，AB＝a，BE＝， ∴AE＝a. 同理CE＝a. 在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a， ∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°， 即二面角A－BD－C的平面角为90°. ∴平面ABD⊥平面BCD. 返回导航 9 经典模型多角度探析 [例]已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形， (1)确定该四棱锥4个侧面的形状； (2)求二面角B-PC-D的大小。 (3)证明：平面PAC⊥平面PBD. (4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点. 求证：面PBC⊥面AEF. (5)若E为PB的中点，平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD. (6)若PA=AB=2，F为线段BC的上的动点，E为PB的中点， 异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度. (7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离. 经典模型多角度探析 [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形， (1)该四棱锥的4个侧面的形状是____________. (2)求二面角B-PC-D的大小是_________. (3)证明：平面PAC⊥平面PBD. 直角三角形 120° [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形， (4)E为PB的中点，F为线段BC的上的动点. 求证：面PBC⊥面AEF. 经典模型多角度探析 (5)若平面ADE交PC于点G，求证：EG//AD. [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形， (6)若PA=AB=2，异面直线PA和EF所成角为60°，求此时BF的长度. 经典模型多角度探析 [例]如图，已知PA⊥平面ABCD且PA=AB，底面ABCD为正方形， (7)设PA=AB=4，求点B到面PDC的距离. 经典模型多角度探析 8.6.3平面与平面垂直的 性质定理 4.面面垂直的性质定理 (4)面面垂直的性质定理： 两个平面垂直, 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. α β m l ①符号： 4.面面垂直的性质定理 [P160-例10]如图，已知PA⊥面ABC，面PAB⊥面PBC， 求证：BC⊥面PAB. E P A B C E 证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， 又∵面PAB⊥面PBC，面PAB∩面PBC=PB， AE⊂面PAB，∴AE⊥面PBC. ∵BC⊂面PBC，∴AE⊥BC. ∵PA⊥面ABC，BC⊂面ABC,∴PA⊥BC. 又∵PA∩AE=A，∴BC⊥面PAB. (大本87）例1 在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB. 证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D. ∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB， ∴AD⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB. 又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB. 返回导航 18 跟踪训练1　如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.G为AD边的中点．求证：BG⊥平面PAD. 证明：由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD， ∴PG⊥平面ABCD，由BG⊂平面ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°， ∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD. 又AD∩PG＝G，AD，PG⊂平面PAD，∴BG⊥平面PAD. 返回导航 19 4.面面垂直的性质定理 [练习1]三棱台ABC－DEF中，面BCFE⊥面ABC，∠ACB＝90°， BE＝EF＝FC＝1，BC＝2. 求证：BF⊥平面ACFD. 证明：∵∠ACB＝90°，AC⊥BC； 又∵面BCFE⊥面ABC，面BCFE∩面ABC＝BC，AC⊂平面ABC，∴AC⊥平面BCFE. ∵BF⊂面BCFE，∴AC ⊥BF. 三棱台中，延长AD，BE，CF相交于一点P， ∵EF∥BC，EF＝1，BC＝2，∴E, F分别是PB, PC的中点， ∴PB＝PC＝PC＝2， ∴△PBC为等边三角形，且F为CP的中点，∴BF ⊥CF. P ∵CF∩AC=C，CF, AC⊂平面ACFD，∴BF⊥平面ACFD. 4.面面垂直的性质定理 [练习2]三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC， 则△ABC是______三角形. O 证明：取AB的中点O，连接PO. ∵PA＝PB，∴PO⊥AB. ∵面PAB⊥面ABC，面PAB∩面ABC＝AB， ∴PO⊥面ABC. ∵OC⊂面ABC，∴PO⊥OC. ∵PO为公共边，PA＝PB＝PC， ∴Rt△POC≌Rt△POA≌Rt△POB(HL)， ∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心，且是AB的中点， ∴△ABC是直角三角形. 直角 4.面面垂直的性质定理 [P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (1)求证：AM⊥面PCD. 证明：等边△PAD中，∵M为PD的中点，∴AM⊥PD. 正方形ABCD中，CD⊥AD， 又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴CD⊥平面PAD. ∵AM⊂面PCD，∴CD⊥AM. ∵CD∩PD=D，CD, PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PAD. 4.面面垂直的性质定理 [P171-14]四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，面PAD⊥面ABCD，M为PD的中点. (2)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值. 证明：取AD,BC的中点E,F，连接PE,PF,EF. 则EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF ⊥BC； ∵PE∩EF=E，PE, EF⊂平面PEF，∴BC⊥平面PEF. ∵PF⊂面PEF，∴BC ⊥P F. 又∵EF ⊥BC， ∴∠PFE是面PBC与面ABCD所成二面角的平面角. 等边△PAD中，∵E为AD的中点，∴PE⊥AD. ∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD， ∴PE⊥面ABCD. ∵BC⊂面ABCD，∴PE⊥BC. $