8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直的判定，核心内容包括二面角的概念、面面垂直的定义及判定定理。课堂导入从线线垂直、线面垂直的已有知识切入，通过“微思考”引导学生理解二面角平面角与顶点位置无关，逐步过渡到面面垂直定义，构建空间垂直关系转化的知识支架。 其亮点在于以“典例剖析+规律总结+学以致用”串联教学，注重直观想象与逻辑推理素养培养。如通过圆的直径模型求二面角，总结“一作、二证、三求”步骤，在四面体证明中展示线面垂直到面面垂直的转化。学生能掌握空间问题转化方法，教师可直接利用分层训练和微思考设计教学，提升课堂效率。

8.6.3　平面与平面垂直 第1课时　平面与平面垂直的判定定理 目 标 素 养 1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单空间图形中的二面角的大小,提升直观想象和数学运算素养. 2.了解面面垂直的定义,能通过直观感知、操作确认,归纳出平面与平面垂直的判定定理,能确认定理的条件与结论,提升直观想象和逻辑推理素养. 3.在具体问题中,能利用判定定理判定平面与平面的垂直,熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化,提升直观想象和逻辑推理素养. 知 识 概 览 课前·基础认知 1.二面角的概念 (1)定义:从一条直线出发的　两个半平面　所组成的图形.  (2)相关概念:①这条直线叫做二面角的　棱　,②两个半平面叫做 二面角的面 .  (3)画法: (4)记法:二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q. (5)二面角的平面角:若有①O∈l;②OA⊂α,OB⊂β;③OA⊥l, OB⊥l,则二面角α-l-β的平面角是　∠AOB　.    (6)平面角是直角的二面角叫做　直二面角　,二面角的平面角α的取值范围是　0°≤α≤180°　.  微思考1 二面角的平面角的大小,是否与角的顶点在棱上的位置有关? 提示：无关.如图,OA∥O'A',OB∥O'B',根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关. 2.平面与平面垂直 (1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角 是 直二面角 ,就说这两个平面互相垂直.  (2)画法: (3)记作:　α⊥β　.  (4)判定定理: 微思考2 应用平面与平面垂直的判定定理的关键是什么? 提示:应用此定理的关键是在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线. 课堂·重难突破 一 二面角的计算问题 典例剖析 1.如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于点A,B的一点,AB=2,PA=BC=1. (1)求证:BC⊥平面PAC; (2)求二面角P-BC-A的大小; (3)求二面角C-PA-B的大小. (1)证明：由题意可知,PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴PA⊥BC. ∵AB是圆O的直径,C是圆周上不同于点A,B的一点, ∴∠ACB=90°,即BC⊥AC.又AC∩PA=A, ∴BC⊥平面PAC. (2)解：由(1)知,BC⊥平面PAC,∴PC⊥BC, 又AC⊥BC, ∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角. ∵AB=2,BC=1,∴AC= . 在Rt△PAC中,∵PA=1,AC= ,∠PAC=90°, ∴tan∠PCA= ,∴∠PCA=30°, ∴二面角P-BC-A的大小为30°. (3)解：∵PA⊥平面ABC,∴AC⊥PA,AB⊥PA, ∴∠CAB为二面角C-PA-B的平面角. 在Rt△ABC中, ∵AB=2,BC=1,∠ACB=90°, ∴∠CAB=30°, ∴二面角C-PA-B的大小为30°. 规律总结 1.求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”. 2.确定二面角的平面角的方法 (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线. (2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角. 学以致用 1.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC= AD,求二面角A-BD-C的大小. 解:因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,所以BD⊥AC. 又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,所以BD⊥平面ACD. 因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD, 所以∠ADC即为二面角A-BD-C的平面角. 在Rt△ACD中,AC= AD, 所以∠ADC=30°,即二面角A-BD-C的大小为30°. 二 平面与平面垂直的判定 典例剖析 2.如图,在四面体A-BCS中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA =60°,又SA=SB=SC. 求证:平面ABC⊥平面SBC. 证法一:因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC, 所以△ASB和△ASC是等边三角形, 不妨设SA=SB=SC=AB=AC=a, 则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形. 如图所示,取BC的中点D, 连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC, 所以∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中,因为SB=SC=a, 在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2, 所以∠ADS=90°, 即二面角A-BC-S为直二面角, 故平面ABC⊥平面SBC. 证法二:因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°, 所以SA=AB=AC, 所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心. 因为△SBC为等腰直角三角形, 所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点, 所以AD⊥平面SBC. 又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC. 规律总结 证明面面垂直常用的方法 (1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角; (2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直; (3)性质法:两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于这个平面. 学以致用 2.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD. 证明:如图,连接AC,设AC∩BD=O,连接OE. 因为O为AC的中点,E为PA的中点, 所以EO∥PC. 因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD. 又因为EO⊂平面BDE, 所以平面BDE⊥平面ABCD. 随堂训练 1.下列说法正确的是(　　) A.若直线a∥平面α,直线b⊥a,b⊂平面β,则α⊥β B.若直线a⊥直线b,a⊥平面α,b⊥平面β,则α⊥β C.过平面外的一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直 D.过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面垂直 答案:B 2.(多选题)已知P为△ABC平面外一点,且PA⊥AB,PA⊥AC, AB⊥AC,则下列关系中正确的是(　　) A.平面PAB⊥平面ABC B.平面PAC⊥平面ABC C.平面PAB⊥平面PAC D.平面PBC⊥平面ABC 答案:ABC 解析:∵PA⊥AB,PA⊥AC,AB∩AC=A,AB,AC⊂平面ABC, ∴PA⊥平面ABC. 又PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAC,所以平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,故A,B正确; ∵AB⊥PA,AB⊥AC,PA∩AC=A, ∴AB⊥平面PAC, 又AB⊂平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAC,故C正确;D不正确. 故选ABC. 3.如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2 ,则二面角P-AB-C的大小为(　　) A.30° B.90° C.45° D.60° 答案:D 解析:如图,取AB的中点M,连接PM,CM,因为PA=PB=AC=BC,所以PM⊥AB,CM⊥AB,所以∠PMC为二面角P-AB-C的平面角. 因为PA=AC=2,AB=2 ,所以PM=CM=1,又PC=1,所以△PMC为正三角形,所以∠PMC=60°.故二面角P-AB-C的大小为60°. 4.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PC,AC的中点,BA=BC, PA⊥AC.求证:平面BDE⊥平面PAC. 证明:∵D,E分别为PC,AC的中点,∴DE∥PA. 又PA⊥AC,∴DE⊥AC. ∵BA=BC,E为AC的中点, ∴BE⊥AC. 又BE∩DE=E,∴AC⊥平面BDE. 又AC⊂平面PAC, ∴平面BDE⊥平面PAC. $