专题04 三角形与四边形（11大考点）（陕西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦三角形与四边形核心考点，整合陕西各地二模真题，通过文化情境（杆秤、正五边形）与实践应用（测量塔高、无人机测距）实现知识迁移，兼具基础巩固与综合能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约30题|相交线平行线、三角形性质、四边形判定|结合机械臂、平面镜反射等真实情境考查角度计算| |填空题|约15题|勾股定理、相似性质、正多边形计算|融入正六边形面积、菱形对称中心等几何直观问题| |作图题|15题|尺规作等边三角形、菱形等|强调作图原理与几何性质的关联，如作等腰直角三角形| |解答题|约20题|全等证明、相似应用、解直角三角形|以“挂甲柏测量”“长安花高度计算”等实践案例考查模型思想|

专题04 三角形与四边形 11大考点概览 考点01相交线、平行线与角度计算 考点02三角形基本性质与边角关系 考点03尺规作图 考点04全等三角形的判定与性质 考点05相似三角形的判定、性质与应用 考点06解直角三角形的应用 考点07勾股定理及逆定理 考点08四边形与平行四边形 考点09 矩形 考点10 菱形 考点11 正方形 相交线、平行线与角度计算 考点01 1．（2026·陕西安康·二模）如图，直线，交于点O，且于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·二模）如图，如果两条平行线a，b被直线l所截，且，那么（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，直线、相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，直线、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知；射线交于点，点在上，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西渭南·二模）杆秤是我国独立发明的传统衡器，也是人类历史上最为悠久的计量器具之一．如图是一根杆秤某一时刻的局部示意图，，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，，平分交于点E，若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西延安·二模）如图，，，点在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西榆林·二模）如图，，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·陕西西安·二模）如图，直线，点、分别是、上的点，射线，则图中与相等（不含）的角共有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 15．（2026·陕西咸阳·二模）如图，直线，点在直线上，射线交于点，则图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2026·陕西西安·二模）如图，，直线与相交于点，与相交于点，射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·陕西延安·二模）用6面完全相同的平面镜围成一个正六边形，如图，有一束光线从上的点处射出，到达上的点处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则的度数为_____． 三角形基本性质与边角关系 考点02 1．（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）小温将一直角三角板与一直尺按如图所示放置，其中，点在上，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，于点，是斜边的中线，若，，则的面积为（     ） A．10 B．16 C．18 D．20 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 7．（2026·陕西渭南·二模）如图，在等腰中，，平分交于点D，点E是的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 8．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·陕西渭南·二模）如图，在和中，，，点、分别为、的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（2026·陕西西安·二模）将两个边长相等的正五边形和正方形如图放置，则图中的度数等于______． 13．（2026·陕西商洛·二模）如图，正五边形中，过顶点作，垂足为，连接交于点，则的度数为______________． 14．（2026·陕西延安·二模）如图，点为等边的边的中点，连接，以为斜边向右侧作（直角顶点在右侧），若，则的长为_____． 15．（2026·陕西榆林·二模）如图，在梯形中，，连接，点M是边上一动点（不与端点重合），点E、F分别在边上，连接，若，则的值为___________． 尺规作图 考点03 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 3．（2026·陕西西安·二模）已知在中，，，利用无刻度直尺和圆规在内部寻找点P，使得，且满足（不写作法，保留作图痕迹）． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，射线平分．请用尺规作图法在射线上作一点P，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 5．（2026·陕西铜川·二模）如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知，请用尺规作图法求作一点P，使得点P到的距离相等，且（不写作法，保留作图痕迹） 7．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知．请用尺规作图法，在平面内求作一点，使得点到射线，的距离相等，且为直角三角形．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法） 8．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，点C为边上一点，用尺规在内部求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 9．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，已知，，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 11．（2026·陕西商洛·二模）如图，在等腰中，，，请用尺规作图法，在上找一点，在上找一点，使且（保留作图痕迹，不写作法） 12．（2026·陕西汉中·二模）如图，已知．请用尺规作图法，求作四边形，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 13．（2026·陕西西安·二模）如图，已知和上的点C，请利用尺规作图法作，使得点D在上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 14．（2026·陕西延安·二模）如图，点为的平分线上一点，请用尺规作图法在射线、上分别求作点、，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 15．（2026·陕西汉中·二模）如图，在四边形中，．请用尺规作图法在、边上分别确定点E、F，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 全等三角形的判定与性质 考点04 1．（2026·陕西铜川·二模）如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）和的位置如图所示，点在边上，，．求证：． 4．（2026·陕西汉中·二模）如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 5．（2026·陕西商洛·二模）如图，在四边形中，，分别延长，至点，，使，连接，分别交，于点，，．求证：． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，点为边上一点，且，过点作，，连接AD．求证：． 7．（2026·陕西延安·二模）如图，在梯形中，，，过点作于点，点在上，连接，，求证：． 8．（2026·陕西西安·二模）如图，在和中，延长交于F，，，．求证：． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，点为边上一点，为边延长线上一点，连接．若，，求证：． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，是某广场上的一根立柱，某数学小组想要测量从点A处斜拉到地面C处的一条装饰彩旗的长度（装饰彩旗处于拉直状态），设计了如下方案： ①在装饰彩旗上取一点D，测出的长及点D到的距离； ②上取点G，使得，在F处利用高为的测角仪测出的度数，此时与恰好互余，测出的长； 已知，，，图中所有的点在同一平面内，若，，求这条装饰彩旗的长度． 相似三角形的判定、性质与应用 考点05 1．（2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 2．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 3．（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 4．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，点是四边形内一点，连接、、，，，．若，则的长为_____； (2)如图2，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、、，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3，某开发商要在所建小区留出一块形如四边形的绿地，为了美观，计划沿对角线铺设一条鹅卵石小路（宽度忽略不计），已知铺设成本为150元/，现要估计铺设这条鹅卵石小路的预算，需要求出的长．已知，，，，， 求铺设这条鹅卵石小路所需的费用． 解直角三角形的应用 考点06 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2026·陕西商洛·二模）如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西铜川·二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 4．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 5．（2026·陕西西安·二模）八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 6．（2026·陕西榆林·二模）榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 7．（2026·陕西榆林·二模）【问题背景】西安奥体中心体育场宛如一朵硕大的“石榴花”（如图1），被命名为“长安花”，寓意“丝路启航，盛世之花”．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量“长安花”最高点到地面的高度． 【测量过程】如图2，甲同学在D处利用高度为的测角仪测得“长安花”最高点A的仰角．乙同学在G处放置一块平面镜（大小忽略不计），并从点G处沿方向移动至点F处，恰好在平面镜中看到“长安花”最高点A的像． 【测量数据】，，． 【参考数据】，，． 已知，，，点B、D、G、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出“长安花”最高点到地面的高度． 8．（2026·陕西西安·二模）跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） 9．（2026·陕西宝鸡·二模）宝鸡大剧院（如图）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点距地面的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处用测角仪测得点的仰角；随后，小组成员乙在与点距离米的处放置无人机，并操纵无人机竖直上升米到达点处（即米，米），在点处测得点的仰角．已知，，点、、在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点到地面的高度．（参考数据：，，，，，） 勾股定理及逆定理 考点07 1．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，是的中线，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，点D是的中点，交于点E，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2026·陕西商洛·二模）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 7．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正六边形中，过点E作交的延长线于点G．若，则的面积为_________． 8．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则______． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 四边形与平行四边形 考点08 1．（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点，延长到点，使，连接．若，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知平行四边形的面积为48，对称中心到两邻边的距离分别为2和4，则这个平行四边形的周长为________． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 矩形 考点09 1．（2026·陕西商洛·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点，于点．若，则矩形的面积为（    ） A．4 B．8 C． D． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形ABCD中，，CP平分，交AB于点P，连接DP，PD恰好平分，则AP的长为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，在矩形中，，点为边的中点，点在边上，，连接，点在上，，过点的直线将矩形的面积分为相等的两部分，直线分别交边、于点、，则的长为_____． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，点E、F在矩形内，连接，，求证：． 6．（2026·陕西汉中·二模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 菱形 考点10 1．（2026·陕西榆林·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，连接，若，则菱形的面积为_____． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，连接，，，点M、N分别是边、的中点，连接，点P在菱形的边上，且是以为斜边的直角三角形，则的长为______． 8．（2026·陕西汉中·二模）如图，在菱形中，点M、N分别在、边上，，连接、．若 ，则线段的长为___________． 9．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，，分别延长至点E、F，连接．请从①；②；③；④中选择两个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形． 你选择的条件是：_________、_________（填序号即可），选择条件后，请证明四边形是菱形． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，对角线、交于点，点在边的右侧，连接、，．，，求证：是菱形． 12．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，连接、，分别交对角线于点、，．求证：． 正方形 考点11 1．（2026·陕西西安·二模）正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，交对角线于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在正方形中，，点是对角线上一点，于点，于点，若，则的长为______． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接、，求证：． 9．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正方形内一点，点、分别在边、上，连接、、、，，，求证：． 10．（2026·陕西安康·二模）如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F．求证：． 11．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、上，连接、，且，求证：． 12．（2026·陕西商洛·二模）问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． 初步探究： (1)如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： (2)在旋转的过程中，线段与线段交于点． ①如图③，当点为的中点时，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为6，当点为线段的三等分点时，请直接写出，两点间的距离． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形与四边形 11大考点概览 考点01相交线、平行线与角度计算 考点02三角形基本性质与边角关系 考点03尺规作图 考点04全等三角形的判定与性质 考点05相似三角形的判定、性质与应用 考点06解直角三角形的应用 考点07勾股定理及逆定理 考点08四边形与平行四边形 考点09 矩形 考点10 菱形 考点11 正方形 相交线、平行线与角度计算 考点01 1．（2026·陕西安康·二模）如图，直线，交于点O，且于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（2026·陕西商洛·二模）如图，如果两条平行线a，b被直线l所截，且，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行内错角相等得到，再根据垂直的定义得到，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，直线、相交于点O，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，由代入得出x的值，然后求即可． 【详解】解：，， ， 设，则， ， ，解得，， ， ． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，，点D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，直线、交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线、交于点，， ∴． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知；射线交于点，点在上，交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和求出，然后利用平行线的性质即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．（2026·陕西渭南·二模）杆秤是我国独立发明的传统衡器，也是人类历史上最为悠久的计量器具之一．如图是一根杆秤某一时刻的局部示意图，，点在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行的传递性可知，则，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，，平分交于点E，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”求出，再根据角平分线定义可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 10．（2026·陕西延安·二模）如图，，，点在上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．（2026·陕西榆林·二模）如图，，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角求出，根据两直线平行，内错角相等，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 12．（2026·陕西渭南·二模）如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13．（2026·陕西商洛·二模）如图①是一个机械臂，可近似抽象出如图②所示的示意图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作的平行线， ，， ，， ， ． 14．（2026·陕西西安·二模）如图，直线，点、分别是、上的点，射线，则图中与相等（不含）的角共有（    ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先设与的交点为点，根据，通过两直线平行，同位角相等、内错角相等，可得，，再根据，通过两直线平行，同位角相等，得到，等量代换即可求出与相等（不含）的角的个数． 【详解】解：如图，设与的交点为点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴综上，与相等的角共有个． 15．（2026·陕西咸阳·二模）如图，直线，点在直线上，射线交于点，则图中与互补的角有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，两直线平行，同旁内角互补，对顶角相等，等量代换求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， 根据对顶角相等， 的对顶角与互补， 故共有3个． 16．（2026·陕西西安·二模）如图，，直线与相交于点，与相交于点，射线，垂足为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质得出，利用邻补角性质得出，再利用平角性质得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（2026·陕西延安·二模）用6面完全相同的平面镜围成一个正六边形，如图，有一束光线从上的点处射出，到达上的点处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则的度数为_____． 【答案】 /60度 【分析】先根据正多边形内角公式计算出，再利用平行线的性质计算出，进而可计算出． 【详解】解：在正六边形中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 三角形基本性质与边角关系 考点02 1．（2026·陕西安康·二模）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知，连接，点E在上，连接，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）小温将一直角三角板与一直尺按如图所示放置，其中，点在上，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，再根据三角形外角性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，在中，，于点，是斜边的中线，若，，则的面积为（     ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵，是斜边的中线， ∴， ∵于点D， ∴的面积． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，是等边的中线，于点．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解直角三角形，求出的长，进而求出的长，利用三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】解：∵是等边的中线，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积. 6．（2026·陕西西安·二模）如图，，分别是的高线、中线，若，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线平分三角形的面积，以及三角形面积公式的运用． 首先根据三角形中线的性质得到，根据三角形面积公式得到的长度． 【详解】解：∵，分别是的高线、中线， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故选：． 7．（2026·陕西渭南·二模）如图，在等腰中，，平分交于点D，点E是的中点，连接．若，则的长为（   ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得点是的中点，结合点是的中点，可判定是的中位线，从而得出，再结合即可求解． 【详解】解：，平分， 点是的中点． 点是的中点， 是的中位线． ． ， ． 8．（2026·陕西汉中·二模）如图，在中，点是斜边的中点，连接，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，计算即可； 【详解】解：在中，，点是斜边的中点， ， ， ， ， ． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 10．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在中，，为的中线，点E在上，连接，，则图中的等腰三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义，结合斜边上的中线等于斜边的一半，进行判断即可. 【详解】解：在中，，为的中线， ∴， ∴均为等腰三角形， 又∵， ∴也是等腰三角形， 故共有3个等腰三角形. 11．（2026·陕西渭南·二模）如图，在和中，，，点、分别为、的中点，连接，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据中位线定理可知，由等角对等边可知，再结合即可得解． 【详解】∵， ∴， ∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵， ∴． 12．（2026·陕西西安·二模）将两个边长相等的正五边形和正方形如图放置，则图中的度数等于______． 【答案】/81度 【分析】先根据正多边形的性质求出，，，再求出，然后根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵将两个边长相等的正五边形和正方形如图放置， ∴，，， ∴， ∴． 13．（2026·陕西商洛·二模）如图，正五边形中，过顶点作，垂足为，连接交于点，则的度数为______________． 【答案】/126度 【分析】首先根据正多边形的性质确定，，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质确定的值，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：多边形为正五边形， ，， ， ， ， ． 14．（2026·陕西延安·二模）如图，点为等边的边的中点，连接，以为斜边向右侧作（直角顶点在右侧），若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质求出，进而求出，解直角三角形即可求解． 【详解】解：点为等边的边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·陕西榆林·二模）如图，在梯形中，，连接，点M是边上一动点（不与端点重合），点E、F分别在边上，连接，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质，求出和的度数，进而得到和的度数，利用三角函数或等腰直角三角形斜边与直角边的关系，将和分别用和表示，最后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， 设与交于点，如图： ， ， 在中，， ，即， 在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， 是边上一点， ， ． 尺规作图 考点03 1．（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】先作的垂直平分线，与交于点D，再在上截取，连接，结合，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可判定是等边三角形，即为所求． 【详解】解：根据题意，作图如下： 则即为所求． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知菱形，请用尺规作图法在上方求作一点，连接、，使得是以为底边的等腰三角形，且边上的高等于菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，并在垂直平分线上截取的长即可. 【详解】解：如图，分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧在两侧各交于一点，过这两个交点作直线，该直线即为的垂直平分线，以该垂直平分线与的交点为圆心，的长为半径画弧，在上方交该垂直平分线于点,连接、，点即为所求． 3．（2026·陕西西安·二模）已知在中，，，利用无刻度直尺和圆规在内部寻找点P，使得，且满足（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】过点作，作的平分线，交于，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，可得点即为所求． 【详解】解：如图所示，过点作，作的平分线，交于，点即为所求． ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，射线平分．请用尺规作图法在射线上作一点P，连接，使得是等腰直角三角形，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线交射线于点P，则，易得，，则点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． ∵，射线平分， ∴， 由图可知， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且为斜边． 5．（2026·陕西铜川·二模）如图，已知．请用尺规作图法，求作一点，使得点到边，的距离相等，且的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析 【分析】先用尺规作图画出的平分线，再过点作的平分线的垂线，交点即为点． 【详解】解：如图，点即为所求． 由角平分线的性质可知，点到边，的距离相等， ∵垂线段最短， ∴的长度最短． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，已知，请用尺规作图法求作一点P，使得点P到的距离相等，且（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作的角平分线，与过点作的平行线的交点即为点，根据角平分线的性质定理可得点P到的距离相等． 【详解】解：如图，点即为所求． 7．（2026·陕西咸阳·二模）如图，已知．请用尺规作图法，在平面内求作一点，使得点到射线，的距离相等，且为直角三角形．（作出符合题意的一个点即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的角平分线与以为直径的圆的交点即为所求. 【详解】解：如图：作的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径画圆交的平分线于点，连接，为直角三角形，点即为所求. 8．（2026·陕西西安·二模）如图，已知，点C为边上一点，用尺规在内部求作一点P，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】根据“作垂直平分线”的尺规作图方法，作的垂直平分线，再以点O为圆心为半径作圆弧交于一点D，连接，则为等边三角形，则，再根据角平分线的尺规作图方法，作的角平分线，交于一点，即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 理由如下：如图， 由图可知，是的垂直平分线，，是的角平分线， 是的垂直平分线， ，即为等边三角形， ， 是的角平分线， ， 是的垂直平分线， ， 点P即为所求． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，在锐角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线，交于点，连接，则，故可得． 【详解】解：如图，点即为所作，使． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，已知，，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形外角的性质以及角平分线的尺规作图，解题的关键确定点在的角平分线上． 作的角平分线，交于点，由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求， 由题意可得，平分， ∴， 由三角形外角的性质可得． 11．（2026·陕西商洛·二模）如图，在等腰中，，，请用尺规作图法，在上找一点，在上找一点，使且（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作法一：作交于点，根据等边对等角和三角形外角的性质可知此时；然后以为圆心，为半径作弧交于点，连接，根据等边对等角推出，则，即可求解； 作法二：作的垂直平分线交于点，连接，根据垂直平分线的性质、等边对等角和三角形外角的性质可知此时；作的角平分线交于点，连接，结合和，可推出，则，即可求解． 【详解】解：（作法一）如答案图①，点，即为所求．           （作法二）如答案图②，点，即为所求． 12．（2026·陕西汉中·二模）如图，已知．请用尺规作图法，求作四边形，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作边的垂直平分线交边于点O，再在的延长线上作，连接，即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 13．（2026·陕西西安·二模）如图，已知和上的点C，请利用尺规作图法作，使得点D在上，且．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】利用尺规作图作出于点，以点为圆心，为半径作弧，再以点为圆心，为半径作弧，两弧的交点为点，连接和，则四边形即为所作． 【详解】解：如图所示： ． 14．（2026·陕西延安·二模）如图，点为的平分线上一点，请用尺规作图法在射线、上分别求作点、，连接，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线交于点B，交于点D，连接，即可． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点B，交于点D， 连接, 四边形即为菱形． 理由：设交于点O， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵点为的平分线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 15．（2026·陕西汉中·二模）如图，在四边形中，．请用尺规作图法在、边上分别确定点E、F，连接、，使得四边形是菱形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：如图，先连接，再作的垂直平分线，分别交、于点、，连接、，则四边形是菱形．（理由：先利用全等三角形的性质证出，则可得四边形是平行四边形，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形．） ． 全等三角形的判定与性质 考点04 1．（2026·陕西铜川·二模）如图，在四边形中，点在对角线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由可得，进而证明，因此． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2026·陕西咸阳·二模）如图，平分，且，点在边上，且，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据角平分线的性质得到，证明，从而得出结论． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）和的位置如图所示，点在边上，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用余角性质可证，进而证明即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·陕西汉中·二模）如图，在和中，点D在边上，，， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行线的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】证明：， ． ，， ， ． 5．（2026·陕西商洛·二模）如图，在四边形中，，分别延长，至点，，使，连接，分别交，于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先证明，，再利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵，点，分别在，的延长线上， ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，点为边上一点，且，过点作，，连接AD．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由得，结合已知可证，即可得． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 7．（2026·陕西延安·二模）如图，在梯形中，，，过点作于点，点在上，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】证明，，根据两平行线间的垂直线段相等得，可得，即得． 【详解】证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2026·陕西西安·二模）如图，在和中，延长交于F，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，点为边上一点，为边延长线上一点，连接．若，，求证：． 【答案】见详解 【分析】根据证明，得到对应边相等，根据对应边的和差关系得到． 【详解】证明：∵，，， ∴, ∴， ∴， 即． 10．（2026·陕西西安·二模）如图，是某广场上的一根立柱，某数学小组想要测量从点A处斜拉到地面C处的一条装饰彩旗的长度（装饰彩旗处于拉直状态），设计了如下方案： ①在装饰彩旗上取一点D，测出的长及点D到的距离； ②上取点G，使得，在F处利用高为的测角仪测出的度数，此时与恰好互余，测出的长； 已知，，，图中所有的点在同一平面内，若，，求这条装饰彩旗的长度． 【答案】 【分析】由条件可知，可推出，结合与恰好互余，可得出，从而证得，利用全等三角形的对应边相等的性质得出的长度，进而求解的长度． 【详解】解：由题可知， ∴； ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴彩旗长度． 相似三角形的判定、性质与应用 考点05 1．（2026·陕西汉中·二模）如图，在矩形中，延长至点，连接，与相交于点，则图中的相似三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵，， ∴； ∵是公共角，， ∴； ∴． 故有3对． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离    测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 【答案】千佛铁塔的高度为 【分析】延长交于点F，利用勾股定理求出，然后证明出四边形是矩形，得到，，，证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴千佛铁塔的高度为． 3．（2026·陕西榆林·二模）“挂甲柏”又称“将军树”，位于陕西省境内．志书记载，汉武帝刘彻北巡朔方还，挂甲于此树．某综合与实践小组在阳光明媚的一天开展测量挂甲柏高度的活动．如图，挂甲柏前方的地面上放有两个长方体木箱，其截面分别是矩形和矩形，在某一时刻，挂甲柏顶端A在阳光下的影子落在木箱的点M处，点M在边上，，同时，木箱上点H在阳光下的影子落在地面上的点P处，．已知，，，、、均与地面垂直，点B、D、、、在同一水平直线上，图中所有点在同一平面内．求挂甲柏的高度． 【答案】挂甲柏的高度为17m 【分析】先延长交于点，延长交于点，再根据矩形的性质和平行线的性质，得出，最后利用相似三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， 由题可得：，，四边形是矩形， 则，，，， ，， ， ， ，即， ， ， ∴挂甲柏的高度为17m． 4．（2026·陕西榆林·二模）【问题探究】 (1)如图1，点是四边形内一点，连接、、，，，．若，则的长为_____； (2)如图2，在四边形中，，点是四边形内一点，连接、、、，，，，，求的长； 【问题解决】 (3)如图3，某开发商要在所建小区留出一块形如四边形的绿地，为了美观，计划沿对角线铺设一条鹅卵石小路（宽度忽略不计），已知铺设成本为150元/，现要估计铺设这条鹅卵石小路的预算，需要求出的长．已知，，，，， 求铺设这条鹅卵石小路所需的费用． 【答案】(1)3 (2) (3)元 【分析】（1）通过，，即可证明，然后利用对应成比例求得答案； （2）先证明，，，得到，利用三角形内角和可得，过点作交的延长线于点，可证为等腰直角三角形，然后利用勾股定理可求得答案； （3）在左侧作，且，连接，先证明，得到，接着算得， 过点作交的延长线于点，则，那么，接着利用勾股定理求得，，过点作于点，则，可得与重合，最后利用，求得，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点，如图所示： ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：在左侧作，且，连接， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点，则， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴，即与重合， ∴， ∴， ∵铺设成本为150元/， ∴（元）， ∴铺设这条鹅卵石小路所需的费用为元． 解直角三角形的应用 考点06 1．（2026·陕西西安·二模）如图，在直角三角形中，，点D为的中点，连接，过点D作交于点E，若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，利用勾股定理求出的长，求出的余弦值，进而可求出的长． 【详解】解：∵在直角三角形中，，点D为的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·陕西商洛·二模）如图，在中，，是的中线，于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用直角三角形斜边中线的性质得出，利用勾股定理得出，利用的正弦函数得出，求出的长即可；解法二：同理求出，，利用等面积法得出，求出的长即可． 【详解】解：解法一：是的中线，， ， ，， ， ， ， ． 解法二：是的中线，， ， ， ， ∵， ，即， ． 3．（2026·陕西铜川·二模）为测量一座桥的拱顶距离水面的竖直高度，学习小组设计了一个方案：如图，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内，．测角仪，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为，在测角仪顶端处测得拱顶的仰角为．已知水平地面离水面的高度为，且，，，，求拱顶距离水面的竖直高度．（参考数据：，，） 【答案】拱顶距离水面的竖直高度约为 【分析】延长交于点，延长交于点，容易证明四边形和四边形都是矩形，则．，，．设，则，利用三角函数可得，，构造方程求出的值，进而求出的值． 【详解】解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵，，，，， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴．，，， 设，则， 由题意可知，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴． 答：拱顶距离水面的竖直高度约为． 4．（2026·陕西渭南·二模）韩城文星塔，又称文星阁，是一座六角楼阁式砖砌风水塔．某数学兴趣小组利用学过的数学知识测量文星塔的高度，如图，小组成员甲在处利用测角仪测得塔顶点的仰角，小组成员乙在处利用高为的测角仪（即）测得塔顶的仰角，已知，，，点、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内，求文星塔的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】延长交于点E，解直角三角形表示出，，然后根据列方程求解． 【详解】解：如图，延长交于点E ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 5．（2026·陕西西安·二模）八云塔，又称瑞光寺塔，为旧时周至县城的标志性建筑（如图）．某数学社团的成员利用所学知识在假期测量了八云塔的高度．如图，社团成员甲在地面上的点处用高度为米的测角仪（即米）测得八云塔顶端的仰角；社团成员乙在地面上的点处测得八云塔顶端的仰角，米．已知，，点、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你计算八云塔的高度．（结果保留根号） 【答案】八云塔的高度为米． 【分析】延长交于点，结合题意证明四边形为矩形，推出，，再根据，推出，，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意，， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴八云塔的高度为米． 6．（2026·陕西榆林·二模）榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 【答案】米 【分析】延长交于点，证明四边形是矩形，则米，，设树高米，则，，，在矩形中，，，三点共线，则​，即，即可得，根据俯角，​，得出​，解方程即可解答． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设树高米， ∵，则， ∴，， 在矩形中，，，三点共线， ∴​，即， 则， ∵俯角，​， ∴​， 则​，交叉相乘整理得：， 解得：． 即树的高度为米． 7．（2026·陕西榆林·二模）【问题背景】西安奥体中心体育场宛如一朵硕大的“石榴花”（如图1），被命名为“长安花”，寓意“丝路启航，盛世之花”．某数学兴趣小组的同学利用学过的数学知识在综合实践活动中测量“长安花”最高点到地面的高度． 【测量过程】如图2，甲同学在D处利用高度为的测角仪测得“长安花”最高点A的仰角．乙同学在G处放置一块平面镜（大小忽略不计），并从点G处沿方向移动至点F处，恰好在平面镜中看到“长安花”最高点A的像． 【测量数据】，，． 【参考数据】，，． 已知，，，点B、D、G、F在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上信息求出“长安花”最高点到地面的高度． 【答案】 【分析】过点C作于点H，则四边形是矩形，可得，设，则 ，解直角三角形可推出；根据题意可得，则，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点H，则四边形是矩形， ∴， 设，则 在中，， ∴， ∴； 由光的反射定律可知，， ∴， ∴， ∴， 解得（已检验，是原方程的解，且符合题意）， ∴， 答：“长安花”最高点到地面的高度约为． 8．（2026·陕西西安·二模）跳台滑雪要想取得好成绩，运动员必须在起跳阶段获得足够快的速度，因此大跳台需搭建到一定的高度．如图1所示的首钢滑雪大跳台，是冬奥历史上首个与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，也是世界首例永久性保留并投入使用的滑雪大跳台场馆．其跳台整体造型设计，融入了中国世界文化遗产——敦煌壁画中的“飞天”元素．图2是其示意图，为登台梯，为大跳台最高点，赛道由，，三段组成（其中平行于地面）．数学兴趣小组测得，，，，从处看的仰角为（即），请你根据兴趣小组获得的这些数据求出大跳台最高点离地面的高度（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，．） 【答案】大跳台最高点离地面的高度约为 【分析】连接，过点作于，过点作于，延长交于，则四边形是矩形，先求出，设，根据三角函数的定义，得出，，利用，即可得出关于的方程，解方程求出的值，进而可得答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，过点作于，延长交于， ∵平行于地面， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 设， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：大跳台最高点离地面的高度约为． 9．（2026·陕西宝鸡·二模）宝鸡大剧院（如图）作为宝鸡又一个核心地标式建筑，其设计融合了《诗经》“凤凰于飞”意象与宝鸡“闻鸡起舞、开放创新”精神．某科创小组的成员在假期利用自制无人机与测角仪测量了宝鸡大剧院某处点距地面的高度．如图，小组成员甲在地面上的点处用测角仪测得点的仰角；随后，小组成员乙在与点距离米的处放置无人机，并操纵无人机竖直上升米到达点处（即米，米），在点处测得点的仰角．已知，，点、、在一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助该科创小组计算宝鸡大剧院某处点到地面的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】米 【分析】延长交于点，设，由可得米，又由矩形的性质得米，米，即得到米，再由得，即得到，解方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 由题意可得，，， 设， 在中，， ∴ 米， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴米， ∴ ， 解得， ∴ 米， 答：点到地面的高度为米． 勾股定理及逆定理 考点07 1．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解，，再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在中，，点D、E分别是、的中点， ， ， ． 2．（2026·陕西西安·二模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点、、都在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的值即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理可得，， ∴． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点称为格点．线段的顶点、均在格点上，若点也在图中的格点上，且是以为腰的等腰三角形，则点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据勾股定理计算的长，分和两种情况，结合网格特点寻找满足条件的格点C的个数． 【详解】解：由图可知，网格小正方形边长为1， 根据勾股定理得：， 是以为腰的等腰三角形， 分两种情况讨论： 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点A左侧3格，上方1格处有一点， 则满足的格点C有1个； 若，在网格中，满足的格点C需满足为长为3、宽为1的矩形的对角线， 观察图形，点B右侧1格、上方3格处有一点，点B左侧1格、上方3格处有一点， 则满足的格点C有2个， 综上所述，满足条件的点C共有个． 4．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，是的中线，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是的中线得，在中利用勾股定理得，最后在中求的正切值即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，点D是的中点，交于点E，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由中点的定义可得，再利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵点D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即选项A符合题意． 6．（2026·陕西商洛·二模）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形，则地基的面积为________ ． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 【详解】解：正六边形的每个中心角为， 则正六边形分成6个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为， 如图，是其中一个正三角形，其中， 过点A作于点D，则， 由勾股定理得， ∴正六边形的面积为． 7．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正六边形中，过点E作交的延长线于点G．若，则的面积为_________． 【答案】 【分析】根据正六边形的性质求出内角的度数及边的长，利用邻补角的定义求出的度数，在中利用含度角的直角三角形性质和勾股定理求出和的长，最后利用三角形面积公式计算即可 【详解】解：六边形是正六边形，， ，， 点在的延长线上， ， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， ． 8．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，，点D是的中点，连接，于点E，，连接，则的周长为______． 【答案】/ 【分析】过点作于点，利用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理求出，，，进而求出，，再利用勾股定理求出，最后根据三角形周长公式求解，即可解题． 解题的关键在于灵活运用等腰三角形性质，直角三角形性质，以及勾股定理分析问题． 【详解】解：过点作于点 ，点D是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长为：． 9．（2026·陕西榆林·二模）如图，正八边形的边长为2，延长和交于点，则______． 【答案】1 【分析】根据正八边形求出每一个外角的度数，证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出，即可求出面积． 【详解】解：， 是等腰直角三角形， ， 正八边形的边长为2， ， 求出， ． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据勾股定理，求得三角形的各边长度，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】证明：和的顶点都在格点上， ， ， ， ， ． 四边形与平行四边形 考点08 1．（2026·陕西西安·二模）如图，为的对称中心，若的面积等于，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由为的对称中心，则点三点共线，三点共线，，，所以，从而即可求出的面积． 【详解】解：如图，连接，， ∵为的对称中心， ∴点三点共线，三点共线，，， ∴， ∴的面积为． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是边的中点，过点作的平行线交于点，延长到点，使，连接．若，则的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据三角形中位线定理得出 与 的数量及位置关系，结合已知条件证明四边形 是平行四边形，从而得到，最后利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】连接， ∵ ， ∴， ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴是中点， ∴ 是 的中位线 ， ∴，点 是 的中点 ， ∵， ∴ ， 又 ∵， ∴ 四边形 是平行四边形 ， ∴， 在 中，，点 是 的中点 ， ∴． 3．（2026·陕西咸阳·二模）已知平行四边形的面积为48，对称中心到两邻边的距离分别为2和4，则这个平行四边形的周长为________． 【答案】36 【分析】过作于，作于，根据平行四边形的性质可得出，，不妨设，，则有，，求出，，即可求解. 【详解】解：如图，过作于，作于， 根据题意，得四边形是平行四边形，为对称中心， 则，， ∴， ∵平行四边形的面积为48， ∴， 不妨设，， 则， ∴，， ∴， 这个平行四边形的周长为 ． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明及，即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：在中，， ， 是边的中点， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， ． 矩形 考点09 1．（2026·陕西商洛·二模）如图，在矩形中，，对角线和相交于点，于点．若，则矩形的面积为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质，和题目中线段的比例关系，可得出，再由勾股定理求出矩形的长和面积． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， ∵，设，则， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，在矩形ABCD中，，CP平分，交AB于点P，连接DP，PD恰好平分，则AP的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质和角平分线的定义找到，，得到，再根据勾股定理求出的长，就可以求出AP的长． 【详解】∵四边形为矩形，， ∴， ∵平分，平分 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的定义以及等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，综合掌握相关的知识点是解决问题的关键． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求得，得到，利用勾股定理求得，证明和是等边三角形，据此求解即可 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∵点F是的中点， ∴，， ∴，， 则， ∴是等边三角形， ∴． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，在矩形中，，点为边的中点，点在边上，，连接，点在上，，过点的直线将矩形的面积分为相等的两部分，直线分别交边、于点、，则的长为_____． 【答案】 1 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用相似三角形的性质求出点的坐标，根据矩形是中心对称图形可知直线经过矩形中心，求出直线的解析式，进而求出点的坐标及的长． 【详解】以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 四边形是矩形， ． 点为边的中点， ． 点在边上，， ． 过点作于点，过点作于点， ∴， ， ． ， ． ， ， ， ， ， ． 直线将矩形的面积分为相等的两部分， 直线经过矩形的对称中心， ． 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， ． 5．（2026·陕西榆林·二模）如图，点E、F在矩形内，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由四边形是矩形，得到，证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴． 6．（2026·陕西汉中·二模）如图，在四边形中，，于点E，于点F，，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】证明，得到，再根据，，得到，即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形． 菱形 考点10 1．（2026·陕西榆林·二模）我国古代数学家刘徽将勾股形分割成一个正方形和两对全等的三角形（如图①）．现对该图形改编如下：如图②，在中，，、分别平分，点D、E分别在、上，连接、，四边形是菱形，延长交于点F，若，则菱形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出，，证明，过点作，根据角平分线的性质定理得出，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵，即， ∴，即． 过点作， ∵平分，， ∴， ∴菱形的面积． 2．（2026·陕西渭南·二模）如图，菱形的对角线、相交于点，点、分别为、的中点，连接、、、，若四边形的周长为，，则菱形的边长为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形得到，再用勾股定理求出，从而求得，再用勾股定理求即可． 【详解】∵菱形的对角线、相交于点， ∴， 又∵点、分别为、的中点， ∴， 又∵即， ∴四边形是菱形， 又∵四边形的周长为，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 3．（2026·陕西咸阳·二模）如图，的对角线与交于点，点、分别在、上，且，连接、、、，若再添加一个条件，使得四边形为菱形，则可以添加的条件是_________．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当或或或时，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形； 当时，根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可得四边形为菱形． 4．（2026·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，点是它的对称中心，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可知菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，利用菱形的性质可得且，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，点是它的对称中心， ，， ，， 在中，． 5．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，是菱形的对角线，点、在上，点是的中点，连接、，．若，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形，相似三角形的知识，解题的关键是根据菱形的性质，得到，根据相似三角形的判定，可得，可以得到，求出，即可， 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，连接，若，则菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】连接交于点，根据勾股定理求出，进而可得，最后求出菱形面积. 【详解】解：连接交于点， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴. 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，连接，，，点M、N分别是边、的中点，连接，点P在菱形的边上，且是以为斜边的直角三角形，则的长为______． 【答案】3或 【分析】作，交于点，再根据菱形的性质得，然后说明是等边三角形，可得，进而求出答案；作，交于点，再说明是等边三角形，然后根据勾股定理求出，最后求出答案即可． 【详解】解：过点M作，交于点， ∵四边形是菱形，且， ∴． ∵点M，N是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 过点N作，交于点， ∴． ∵四边形是菱形，且， ∴， ∴是等边三角形． ∵点M是的中点， ∴． 在中，， 在中，． 所以的长为3或． 8．（2026·陕西汉中·二模）如图，在菱形中，点M、N分别在、边上，，连接、．若 ，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】连接，过点分别作于点于点，根据菱形的面积公式求出，根据和等底等高得，由已知，进而得，再根据面积公式得，由此可得，在Rt中，由勾股定理求出，进而可得，然后在Rt中，由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点分别作于点于点， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∵， ∴和等底等高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，． 9．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，得到，据此可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 10．（2026·陕西渭南·二模）如图，在四边形中，，，分别延长至点E、F，连接．请从①；②；③；④中选择两个合适的选项作为已知条件，使得四边形是菱形． 你选择的条件是：_________、_________（填序号即可），选择条件后，请证明四边形是菱形． 【答案】①、③（或①、④或②、③或②、④，答案不唯一） 【分析】先推导出四边形是平行四边形，再根据选择的条件，推导出，得到，则四边形是菱形，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 选①，②时，无法判定与全等，也无法证明四边形是菱形，不符合题意， 选①，③时， ∵ ，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，符合题意； 选①，④时， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，符合题意； 选②，③时， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，符合题意； 选②，④时， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，符合题意； 选③，④时，无法判定与全等，也无法证明四边形是菱形，不符合题意， 综上所述，①、③（或①、④或②、③或②、④，答案不唯一）． 11．（2026·陕西西安·二模）如图，在中，对角线、交于点，点在边的右侧，连接、，．，，求证：是菱形． 【答案】见解析 【分析】证明得出，进而根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ， ． 在和中，，，， ， ，即． 是菱形． 12．（2026·陕西榆林·二模）如图，在菱形中，点、分别在边、上，连接、，分别交对角线于点、，．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，再证明，即可得到． 【详解】证明：在菱形中，，，， ， ， ， ， ． 正方形 考点11 1．（2026·陕西西安·二模）正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 2．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形边长为3，点E是上一点，连接交于点F．若，则的长为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】过作于，由正方形的性质推出，，由， 求出，由，得， ，由， 得，进而得 ，由，即可求得的结果． 【详解】解：过作于， ∵四边形是边长为3的正方形， ∴，， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，   ∴， ∵ ， ∴． 3．（2026·陕西西安·二模）如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 4．（2026·陕西延安·二模）如图，正方形的顶点与正方形的边均在直线上，于点，若，则正方形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质得到，，推出，证明得到，即可求解． 【详解】解：正方形的顶点与正方形的边均在直线上， ，， ， ， 于点， ， 在和中， ， ， ， 正方形的周长为． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，正方形的边长为，为边的中点，连接，过点作，垂足为，为上一点，且，则的长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】先利用正方形的性质和证明，推出，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵为边的中点，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， 得（负值舍去）， ∴． 6．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形中，点是边的中点，连接，交对角线于点，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定，结合题意，得到，即，在中，由勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，，则， ， 点是边的中点， ， 则， ， 即， 在中，，则， ． 7．（2026·陕西宝鸡·二模）如图，在正方形中，，点是对角线上一点，于点，于点，若，则的长为______． 【答案】6 【分析】证明四边形为矩形，则对应边平行且相等，由且三角形为等腰直角三角形，可得，即，又知的长，即可求出． 【详解】解：且四边形为正方形， 可得， 四边形为矩形， ，即， 为对角线，且， ， 为等腰直角三角形， ，即， ，， ，即， 得，则． 8．（2026·陕西渭南·二模）如图，在正方形中，点是对角线延长线上一点，连接、，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，如图，根据正方形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得到结论． 【详解】证明：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∵点是对角线延长线上一点， ∴． 9．（2026·陕西咸阳·二模）如图，点为正方形内一点，点、分别在边、上，连接、、、，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质证明即可． 【详解】证明：四边形为正方形， ．     ， ， ， ， ， 在和中，， ， ． 10．（2026·陕西安康·二模）如图，在正方形中，P是对角线上的一点，点E在的延长线上，且，交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】先证明，得到，再由，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．（2026·陕西榆林·二模）如图，在正方形中，对角线、交于点，点、分别在、上，连接、，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据正方形的性质，利用证明，即可证得结论． 【详解】证明：四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ． 12．（2026·陕西商洛·二模）问题情境：如图①，将正方形纸片对折，使点与点重合，点与点重合，得到折痕，将正方形纸片沿剪开，得到矩形和矩形（与重合），取的中点，将矩形以点为旋转中心，逆时针旋转． 初步探究： (1)如图②，当点与点重合，点落在线段上时，判断四边形的形状，并说明理由； 拓展延伸： (2)在旋转的过程中，线段与线段交于点． ①如图③，当点为的中点时，连接，，判断与的数量关系，并说明理由； ②若正方形纸片的边长为6，当点为线段的三等分点时，请直接写出，两点间的距离． 【答案】(1)四边形为正方形，理由见解析 (2)①，理由见解析；②当点为线段的三等分点时，，两点间的距离为或 【分析】第（1）小问根据一组邻边相等的矩形是正方形即可得出； 第（2）小问第①题：通过条件先证，得到，因为O为，中点，所以，可得，可得，所以，由旋转性质可得，所以，通过证可得，综上可得． 第（2）小问第②题：根据，再分和探究即可． 【详解】（1）四边形为正方形，理由如下：        四边形和四边形为矩形，点与点重合， ，， 四边形为矩形，       点为和的中点，且， ， 四边形为正方形； （2）①，理由如下：       如答案图①，连接， 点为和的中点，且， ， ， ， ，       ， ， ， ， 即， ， 点为中点， ， 由旋转的性质得， ， ， ， ， ， ；         ②由①得，，，， ，，，分以下两种情况讨论： I．当时，如图②，连接交于点， 正方形纸片的边长为6，，， ，点为的中点，，，， 由勾股定理得，易得垂直平分，， ，， ，； Ⅱ．当时，如图③，连接交于点，同理可得，，，垂直平分，由勾股定理得， ， ，， ，． 综上所述，当点为线段的三等分点时，，两点间的距离为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $