专题03 函数及其应用（10大考点）（陕西专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 专题03函数及其应用汇编陕西各地2026年二模试题，覆盖10大考点，以科技、文化、生活情境为载体，突出函数图像性质与实际应用的结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|一次函数图像平移、反比例函数k几何意义、二次函数性质|结合新能源汽车充电桩、智能洗车优惠方案等情境，基础题注重概念辨析| |解答题|约20题|一次函数实际应用（如草莓销售）、二次函数综合（如车棚抛物线模型）|综合题融合几何图形（矩形、抛物线）与函数方程，贴合中考对应用能力的考查趋势|

专题03 函数及其应用 10大考点概览 考点01一次函数的图像、性质与解析式 考点02一次函数图像的平移、对称 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的图像、性质与解析式 考点05反比例函数中 k 的几何意义 考点06反比例函数的实际应用 考点07二次函数的图像、性质与解析式 考点08二次函数的实际应用 考点09函数与方程、不等式、几何综合 考点10一次函数与反比例函数交点问题 一次函数的图像、性质与解析式 考点01 1．（2026·陕西榆林·二模）已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一次函数与x轴交点的横坐标，根据交点位置得到横坐标的范围，推导得到k的取值范围，再匹配符合条件的选项即可． 【详解】解：∵ 一次函数与x轴交点的纵坐标为， ∴令，代入得， ∵， 解得， ∵ 交点在x轴负半轴上， ∴ ，即， ∴ ， 选项中只有A选项的满足， 故选：A． 2．（2026·陕西铜川·二模）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出a、b的值，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解： ∵和关于原点对称， ∴ ，， 即点为． 设过原点的直线的表达式为， 将代入，得 ， 解得． ∴所求直线的函数表达式为． 3．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据一次函数的增减性判断的符号，再结合一次函数与轴的交点位置，判断函数图象经过的象限，从而得到答案． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，且时，，即随的增大而增大， ∴， 又∵一次函数中，常数项，说明函数图象与轴交于负半轴， ∴该一次函数的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据两直线交点坐标同时满足两个直线的解析式，先将交点横坐标代入已知解析式求出m，再代入第二条直线解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵点是直线与直线的交点， ∴点在直线上， 将代入，得， ∴交点坐标为， 又∵点在直线上， 将代入，得， 解得． 5．（2026·陕西西安·二模）若，则一次函数（a为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，，进而利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限． ∴选项D符合题意． 一次函数图像的平移、对称 考点02 1．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，已知直线（b为常数）经过点A，则b的值为（   ） A． B．2 C．6 D． 【答案】B 【分析】先利用原点对称点的坐标特征求出点A的坐标，再将点A坐标代入直线解析式，解方程即可得到b的值． 【详解】解：∵点A与关于原点对称， ∴点A的坐标为 ∵直线经过点A， ∴将代入，得 解得． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数平移的性质可确定的值，再代入已知点求出常数项，进而得到一次函数的解析式，再把代入求出的值即可求解． 【详解】解：∵一次函数由一次函数平移得到， ∴， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 3．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征，先求出已知直线与坐标轴的交点，再得到对应对称点坐标，代入求出的值，即可计算出的结果. 【详解】解： 对于直线， 令得，得交点； 令得，得交点， ，关于轴对称的点分别为，， 直线经过上述两个对称点， ∴将代入得， 将和代入得： ，解得， . 4．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，将直线向上平移个单位长度后恰好经过线段的中点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】首先确定线段的中点的坐标，设平移后直线的表达式为，然后将代入求解即可． 【详解】解：，， 线段的中点的坐标为， 由题意，可设平移后直线的表达式为， 将代入中， 可得，解得． 5．（2026·陕西西安·二模）将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 【答案】C 【分析】利用一次函数平移“左加右减自变量”的规律可得平移后的关系式为，再根据对应常数项相等得出答案． 【详解】解：设的解析式为． ∵向左平移2个单位长度，则平移后直线的关系式为，即． ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 6．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先根据关于原点对称的点的坐标特征求出点、点的坐标，再根据一次函数平移规律得到平移后的函数解析式，最后代入坐标解方程组即可得到和的值． 【详解】解：∵ 点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标互为相反数， ∴，即 ， 一次函数向下平移个单位，根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为， ∵平移后图象过、两点，将两点坐标代入得 ， 解得：， 将代入，得， 解得， ∴ ． 7．（2026·陕西西安·二模）将直线l：通过下列操作后，不能经过点的是（） A．将直线l关于y轴对称 B．将直线l沿x轴向左平移 C．将直线l沿x轴向右平移 D．将直线l沿y轴向下平移 【答案】C 【分析】求出各操作后直线的解析式，代入点验证即可，用到一次函数平移规律“左加右减，上加下减”和关于y轴对称的变换规则，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．将直线关于轴对称，得新解析式： ，代入，得，直线经过点，不符合要求． B．将直线沿轴向左平移个单位，得新解析式： ，代入，得 ， 当，即时，直线经过点，不符合要求． C．将直线沿轴向右平移k个单位，得： ，代入，得 ， 当时，即，不符合题意，直线不经过点，符合要求． D．将直线沿轴向下平移k个单位，得： ，代入，得 ， 当时，即， 直线经过点，不符合要求． 8．（2026·陕西榆林·二模）在平面直角坐标系中，直线经过点，点与点关于原点对称，将直线向上平移个单位经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用点在直线上求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到点坐标，最后根据直线平移规律得到平移后解析式，代入点坐标即可求出的值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴把代入，得， 即点坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数， ∴点坐标为， ∵将直线向上平移个单位，平移后直线解析式为， 又∵平移后直线经过点， ∴把代入，得， 解得． 一次函数的实际应用 考点03 1．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 (1)根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 【答案】(1)见解析，一次； (2)； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象，再结合图象即可得解； （2）利用待定系数法求函数解析式并验证即可得解； （3）将代入（2）中解析式即可求解． 【详解】（1）解：描点、连线如图所示： ； 由图象可知，该函数可能是二次函数关系； （2）设与之间的函数关系式为， 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数关系式为； （3）令，则． ∴当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 2．（2026·陕西渭南·二模）中国书法是独具民族特色的传统艺术，中国绘画更是起源最早的传统艺术形式之一，二者合称为书画．为弘扬中华优秀传统文化，某校拟购买书法工具套盒和绘画工具套盒共80套，已知书法工具套盒的售价为70元套，绘画工具套盒的售价为60元套．若该校购买的书法工具套盒为套，购买这80套工具套盒所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若学校本次购买这80套工具套盒的总费用为5300元，则可购买多少套书法工具套盒？ 【答案】(1) (2)可购买50套书法工具套盒 【分析】（1）利用购买的书法工具套盒的总费用与购买的绘画工具套盒的总费用等于这80套工具套盒所需的总费用列出解析式即可； （2）令得到关于x的一元一次方程，再求解即可． 【详解】（1）根据题意可得，， 与之间的函数关系式为； （2）令，得， 解得， 可购买50套书法工具套盒． 3．（2026·陕西商洛·二模）为落实“阳光体育活动”要求，增强学生体质，某校倡导学生每天坚持课外体育锻炼，小祺积极参加体育锻炼，选择骑脚踏车和快走两种运动方式．已知骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，某天，小祺骑脚踏车和快走的锻炼时间共1小时．设小祺快走的时间为分钟，这1小时运动总共消耗的热量为千焦． (1)求与之间的函数关系式； (2)若这1小时小祺通过这两种运动共消耗1550千焦热量，则小祺快走和骑脚踏车各用了多长时间？ 【答案】(1) (2)小祺快走用了50分钟，骑脚踏车用了10分钟 【分析】（1）根据题意写出关系式即可； （2）将代入（1）中所得的关系式，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，小祺快走的时间为分钟，骑脚踏车的时间为分钟， ∴； （2）解：将代入，得， ， 解得， （分钟） 答：小祺快走用了50分钟，骑脚踏车用了10分钟． 4．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 【答案】(1) (2)两个机器人还应继续向前走． 【分析】（1）设函数解析式为：，根据待定系数法，即可； （2）由表格可得，走了的距离为，要使它们的距离再增加，得到两个机器人的距离，求出总的时间，用总时间减去，即可． 【详解】（1）解：设两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式为： 把，；，代入， ∴， 解得：， ∴函数表达式为：． （2）解：由表格可得，当时，两个机器人的距离为：，要使它们的距离再增加， ∴两个机器人的距离为：； ∴当时，， 解得：， ∴还应继续向前走：． 答：两个机器人还应继续向前走． 5．（2026·陕西汉中·二模）近日，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，全面部署推进学生身心健康工作．某校认真落实“健康第一”的指导思想，切实提高本校学生体质健康水平．学校计划购买足球和排球共300个，经调查：足球100元/个，排球80元/个，设该校此次购买足球x个，购买这批足球和排球的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该校此次购买这批足球和排球共花费28000元，则该校购买足球多少个？ 【答案】(1) (2)200个 【分析】（1）根据“足球100元/个，排球80元/个”列出关系式即可； （2）将代入求解． 【详解】（1）解：根据题意知，该校此次购买排球个， 则． 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， 解得， ∴若该校此次购买这批足球和排球共花费28000元，则该校购买足球200个． 6．（2026·陕西咸阳·二模）船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 【答案】(1) (2)当船上重物为时，该船的吃水深度是 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，由图象可把点代入进行求解即可； （2）把代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 把代入，得： ，解得， 与之间的函数关系式为． （2）解：当时，， ∴当船上重物为时，该船的吃水深度是． 7．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 【答案】(1) (2)2400立方米 【分析】（1）根据收费标准可直接进行求解； （2）根据题意可知在第二阶梯，然后代入（1）中函数解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y关于x的函数表达式； （2）解：由题意得：当时，由第一阶梯的收费标准可得：（元）， （元）， ∵， ∴此费用在第二阶梯， ∴， 解得：； 答：该户用了2400立方米的燃气． 8．（2026·陕西商洛·二模）珍珠养殖产业中，调控育珠蚌养殖密度是提升珍珠品质与经济效益的关键举措，养殖密度的变化会直接影响超大型珍珠的产出占比．研究表明，超大型珍珠的比例是育珠蚌养殖密度（只/）的一次函数．当育珠蚌养殖密度为0.5只/时，超大型珍珠的比例为；当育珠蚌养殖密度为2只/时，超大型珍珠的比例为． (1)求与之间的函数表达式； (2)若育珠蚌养殖密度为1.25只，求超大型珍珠的比例是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y是x的一次函数，设出解析式，代入已知的两组对应值求解系数，结合实际意义确定自变量取值范围； （2）将给定的x代入解析式计算y即可得到结果． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 由题意得，当时，；当时，； 将两组值代入函数表达式得， 解得， ∵是养殖密度， ∴， ∵， ∴， ∴， 因此与之间的函数表达式为； （2）解：将代入得， 答：超大型珍珠的比例是． 9．（2026·陕西宝鸡·二模）年月日，坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、协同能力强等优势．某模型专卖店计划购进两种坦克模型共个进行销售，已知坦克模型的进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型 坦克模型 设购入坦克模型的数量为个，购入坦克模型的总费用为元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)若该模型专卖店购入坦克模型的数量不少于个，求购入坦克模型的总费用至少为多少元？ 【答案】(1) （且为整数） (2)元 【分析】（）根据题意列出函数关系式即可； （）求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴与之间的函数关系式为 （且为整数）； （2）解：∵专卖店购入坦克模型的数量不少于个， ∴， ∵ 中，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，的值最小，， 答：购入坦克模型的总费用至少为元． 10．（2026·陕西汉中·二模）蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2)当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）把代入（1）中解析式，即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为， 将，代入，得∶ ， 解得， ∴蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式为． （2）解：当时，， 解得． ∴当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 11．（2026·陕西宝鸡·二模）4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某工厂为减少废弃物和环境有害物的排放，计划购进甲、乙两种型号的污水处理设备共20台，这两种型号污水处理设备的价格如表所示： 型号 甲 乙 单价（万元/台） 设该工厂购进甲型号污水处理设备台，购进这台污水处理设备的总费用为万元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该工厂购进甲型号污水处理设备的数量不大于乙型号污水处理设备数量的倍，求购买这台污水处理设备至少需要多少万元？ 【答案】(1)（为的整数） (2)购买这台污水处理设备至少需要万元 【分析】（1）设该工厂购进甲型号污水处理设备台，根据台污水处理设备的总费用为，列出函数关系，即可； （2）根据题意列出不等式，求得，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， 与之间的函数关系式为（为的整数） （2）由题意可得， 解得 ∵中，， 的值随值的增大而减小， 当时，取得最小值，， 购买这台污水处理设备至少需要万元 12．（2026·陕西西安·二模）李泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，李泽妈妈将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异），在村口路边定点售卖．妈妈统计了一周的销售量，李泽发现每天的销售量y（盆）与售价x（单位：元/盆）之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价x（元/盆） 18 16 14 每天销售量y（盆） 54 90 126 (1)请根据表格中数据，求出y与x之间的函数关系式； (2)如果每盆草莓的成本为9元（人工不计），请判断售价分别定为15元/盆和14元/盆时，哪个的销售利润更高？ 【答案】(1) (2)当定价为15元/盆时，销售利润更高 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出和时的函数值，再求出对应的利润，比较即可． 【详解】（1）解：令，将点代入得： 解得：， 所以：． （2）当时，， 利润为： ． 当时，， 利润为：． ∵， ∴当定价为15元/盆时，销售利润更高． 13．（2026·陕西榆林·二模）某中药材种植基地研究甲、乙两种药材的生长速度，将甲、乙两种药材幼苗同时移栽到试验田，研究员发现移栽后这两种药材均为匀速生长，并绘制出甲、乙两种药材的高度（），（）与移栽后的时间x（天）（）之间的函数关系图（如图所示）． (1)求（）与x（天）之间的函数关系式； (2)已知，当甲、乙两种药材的高度相同时，求此时移栽后的时间． 【答案】(1) (2)25天 【分析】（1）设，再由待定系数法求解即可； （2）根据，得到方程求解即可． 【详解】（1）解：设 则代入和得， 解得 ∴； （2）解：由题意得，当时，则， 解得， 答：甲、乙两种药材的高度相同时，此时移栽后的时间为25天． 14．（2026·陕西榆林·二模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 【答案】(1) (2)70000元 【分析】（1）设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元，根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台列出关系式即可； （2）先根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，得出，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元， 根据题意，得 ， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意可得， 解得， 在中，， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元）， 购买这两种充电桩所需的最少费用为70000元． 15．（2026·陕西铜川·二模）随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026－2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳共根，已知A型跳绳的单价为元，B型跳绳的单价为元．若该场馆计划采购根A型跳绳，采购费用为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若A型跳绳的采购数量不多于根，求采购费用最少是多少元． 【答案】(1) (2)采购费用最少是元 【分析】（1）根据题意，求出与之间的函数表达式即可； （2）根据一次函数的增减性，结合的取值范围，确定的最小值． 【详解】（1）解：根据题意可得，该场馆计划采购根型跳绳， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值． 答：采购费用最少是元． 16．（2026·陕西西安·二模）随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案： 方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用； 方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折． 若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案） (1)分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式； (2)若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由． 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)方案二更划算，理由见解析 【分析】（1）方案一：先算出折扣后单次费用，再根据总费用单次费用洗车次数，列出函数关系式，方案二：先算出折扣后单次费用，再根据总费用年卡费单次费用洗车次数，列出函数关系式即可； （2）令代入方案一方案二的解析式求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：方案一： 折扣后单次费用为元，因此（为正整数）． 方案二：折扣后单次费用为（元）， 因此（为正整数）． （2）解：将代入，可得，解得， 即选择方案一，元可洗车次． 将代入，可得，解得， 即选择方案二，元可洗车次． 在总费用均为552元的前提下，方案二可洗车次数更多，因此选择方案二更划算． 17．（2026·陕西咸阳·二模）务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘千克草莓所需的总费用为元，图中的折线表示（元）与（千克）之间的函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 【答案】(1)函数关系式为； (2)他这天在该草莓园采摘了6千克草莓． 【详解】（1）解：当时， 设函数关系式为， 代入点， 得，解得， ∴函数关系式为； 当时，设函数关系式为， 代入点，， 得，解得， ∴函数关系式为； 综上，函数关系式为； （2）解：∵当时，， ∴适用第二段关系式， 代入， 解得， ∴他这天在该草莓园采摘了6千克草莓． 18．（2026·陕西延安·二模）面对近年来复杂多变的国际环境，珍爱和平、守护和平是我国人民的共同心声．为此，某校举行了《和平一世界发展的最优解》演讲比赛，准备购买一批标有“和平”字样的文化衫，文化衫的标价是80元/件，商家给出的优惠方案是：如果一次性购买不超过10件，需按标价付款；如果一次性购买超过10件，那么每增加1件购买的所有文化衫每件的价格均降低1元，但规定单价不得低于50元/件．设该校购买文化衫件，每件文化衫的价格为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求该校本次购买文化衫的总费用． 【答案】(1)； (2)元． 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键在于根据题目中的数量关系，正确列出单价与购买数量的函数关系式，并利用该关系式计算总费用． （1）根据“购买超过10件时，每多1件单价降1元”的优惠规则，结合“单价不低于50元”的限制条件，列出与的函数关系式； （2）将代入第（1）问求出的函数关系式，先计算出单价，再根据“总费用=单价×数量”求解． 【详解】（1）解：已知文化衫标价为80元/件，当购买数量时，每增加1件，单价降低1元; 则超过10件的数量为件，因此单价降低元; 可得单价：， 化简得：， 题目中给出的购买数量范围为， 因此，与的函数关系式为：； （2）当时，代入函数关系式求单价：元/件； 总费用 = 单价 × 数量，即：总费用元． 答：该校本次购买文化衫的总费用为1400元． 19．（2026·陕西榆林·二模）落实“五育并举”，培养时代新人——以劳强技，育践于行．某校开展育苗种植活动，用装有恒温系统的大棚育苗，播种施肥后打开恒温系统调节到合适的温度以提高发芽率．大棚内的温度与播种后的时间（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当大棚内的温度为时，求播种后的时间． 【答案】(1) (2)当大棚内的温度为时，播种后的时间为7.5分钟 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，代入求解即可． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把点代入，得 ，解得， 所在直线的函数表达式为； （2）解：当时，，解得， ∴当大棚内的温度为时，播种后的时间为7.5分钟． 20．（2026·陕西西安·二模）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，儿童体重在范围内时，每次正常服用量是儿童体重的一次函数．已知体重的儿童，每次正常服用量为；体重的儿童每次正常服用量为．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该药品的一种包装规格为/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 【答案】(1) (2)体重在范围的儿童生病时可以一次服下一袋药 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法计算即可得出结果； （2）求出当和当时，的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 由题意可得：， 解得：， 即y与x之间的函数关系式是； （2）解：当时，，得， 当时，，得， 故， ∵， ∴体重在范围的儿童生病时可以一次服下一袋药． 21．（2026·陕西西安·二模）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为． (1)写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式； (2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据从地面向上以内，每升高，气温降低，列出一次函数表达式； （2）根据飞机外气温为，飞机距离地面的高度为，求出的值，即可得到一次函数的表达式，求出当时的值为，因为在距离地面以上高空，气温几乎不变，可知在距离地面的高空，飞机外的气温是． 【详解】（1）解：每升高，气温降低， ； （2）解：飞机外气温为，飞机距离地面的高度为， ， 解得：， ， 当时， 可得：， 在距离地面以上高空，气温几乎不变， 在距离地面的高空，飞机外的气温是． 22．（2026·陕西西安·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用待定系数法解答，求出下降期间y与x之间的函数关系式，分别求出时，上升期间与下降期间x对应的值，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系为， 由题意，得， 解得， ∴该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间y与x之间的函数关系式为． （2）解：设该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系为． 由题意，得解得 所以该品牌烤箱的烤箱内温度匀速下降期间y与x之间的函数关系式为． 当时， 令，则． 解得． 当时， 令，则． 解得． ∵， ∴该模式下烤制的食物能健康食用． 反比例函数的图像、性质与解析式 考点04 1．（2026·陕西西安·二模）若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵反比例函数和的图象分别经过点和， ∴，，即， ∴ 解得， ∴. 2．（2026·陕西铜川·二模）已知反比例函数（为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的系数，再根据判断两点，所在象限，比较与的大小． 【详解】解：将点代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， ∵， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴． 3．（2026·陕西渭南·二模）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第二、四象限，且点、均在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是：______．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】先根据反比例函数图象所在象限判断其增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得出纵坐标的大小关系． 【详解】解：因为反比例函数（为常数，）的图象在第二、四象限， 所以，且在每一象限内，随的增大而增大. 又因为 点，均在该反比例函数的图象上，且 ，即，两点都在第二象限， 所以． 4．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 【答案】 0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式，分别得到与、与的关系，整理即可求出的值． 【详解】解：将代入得：，即 ， 将代入得：，即 ， 因此可得 ，整理得 ，即 ． 5．（2026·陕西西安·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小，若点，和点在该反比例函数图像上，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】先根据反比例函数的增减性判断，图像在一、三象限，得出，，即可比较与的大小． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小， ∴，图像在一、三象限， ∵，和点， ∴，， ∴． 6．（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 7．（2026·陕西宝鸡·二模）已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点、的坐标代入反比例函数解析式，得到、与的关系，结合已知，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 化简得， 把代入得， 解得， 把代入得． 8．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据反比例函数上点的性质，推出，再根据，求出的取值范围，即可求解． 【详解】∵点、在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴，即， ∴可以是．（答案不唯一，填小于的实数均正确） 反比例函数中 k 的几何意义 考点05 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点，点在轴正半轴上，连接．若点是的中点，的面积为8，则的值为________． 【答案】8 【分析】先求得，再由反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴，点是的中点， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴， ∵反比例函数图象经过第三象限， ∴． 2．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接轴，点、在轴上，且，连接、，则的面积为_____． 【答案】6 【分析】连接，易证四边形是平行四边形，则的面积等于，设，由轴，可得，求出，得到，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵轴，点、在轴上， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴的面积等于， 设， ∵轴， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积等于． 3．（2026·陕西汉中·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数为常数，且的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为___________． 【答案】 【分析】连接，可知的面积为，根据“三角形高相等，面积比等于底的比”求出的面积为，根据k的几何意义求出，根据反比例函数经过第二象限可知． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为9， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 即， ∴， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 【答案】 【分析】过点作轴于，得，设，利用含角的直角三角形的性质可得，，证，利用相似三角形的性质可得，进而求得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：过点作轴于，如图： ∵矩形的面积为24， ∴， ， ，， ， 设， 则，， 与x轴负半轴的夹角为， ， ， ，即：， 解得：， ， 由图得：， 故答案为：． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________． 【答案】 【分析】过分别作轴，轴，先证，再利用面积比等于相似比的平方，得到的面积，结合反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：过分别作轴，轴， 在菱形中，为中心，，， ，， 又轴，轴， ， 即， ， ， 又点在， ，， 设经过两点的反比例函数解析式为， ， 即反比例函数解析式是． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 【答案】 【分析】设点D的坐标为，可得点A的坐标为，根据点在反比例函数的图象上得到，再根据点在反比例函数的图象上即可求解． 【详解】解：设点D的坐标为，则， ∴， ∴， ∵轴， ∴点A的坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，轴于点，点是的中点，点在轴上，连接，若四边形的面积为3，则的值为_____． 【答案】－6 【分析】先根据点是的中点，点在轴上，轴，得出，，， 再根据可得四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质得出，进而可求出，即，进一步得出，最后根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：如图： ∵点是的中点，点在轴上， ∴轴，， 又∵轴， ∴，， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵点在反比例函数（为常数，且，）的图象上， ∴． 反比例函数的实际应用 考点06 1．（2026·陕西汉中·二模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的实际应用，灵活运用“工作总量工作效率工作时间”是解题的关键。根据已知条件先求出蓄水池的固定容积（工作总量），再结合“进水速度容积进水时间”，进而得出与之间的函数关系式． 【详解】解：蓄水池的体积， ， 故答案为：． 2．（2026·陕西咸阳·二模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，则当体积时，气体的密度为_________． 【答案】1 【详解】解：设密度与体积之间满足反比例函数关系式为，由图象可把点代入得：， ∴反比例函数关系式为， 当，则有． 3．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 【答案】40 【分析】设反比例函数解析式为，结合图象上的点求出，即可求解． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将点代入解析式得：， 解得：， 反比例函数解析式为， 当时，则，解得：， 即若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是米/天． 4．（2026·陕西商洛·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 【答案】100 【分析】设反比例函数解析式为，将图象上已知点代入求出的值，确定函数解析式，再将代入计算即可求解 【详解】解：设与的函数解析式为 由图象可知，函数图象经过点 将代入，得 解得 函数解析式为 当时， 解得 检验，是原方程的解且符合题意 二次函数的图像、性质与解析式 考点07 1．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】A、 B两点的纵坐标相等，因此两点关于二次函数的对称轴对称，先求出二次函数的对称轴，再利用对称轴等于两点横坐标的中点，计算得到m的值． 【详解】解：由题意得，二次函数的对称轴为直线 ， ∵二次函数的图象上有两点，， ∴点A和点B关于对称轴对称， ∴， ∴． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 3．（2026·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对二次函数配方得到对称轴与顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再比较两个点到对称轴的距离，结合开口向上的二次函数性质比较函数值大小． 【详解】解： ， ∴ 二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时，随的增大而减小， ∵ ， 即对称轴左侧随的增大而减小， ∴ 抛物线开口向上，， ∴ 二次函数的最小值为 ，任意非顶点的点满足 ； 点到对称轴的距离， 点到对称轴的距离， ∵ ， ∴ ，，且 ， ∴ ，即 ． 4．（2026·陕西榆林·二模）已知抛物线（a为常数，）经过三点，当时，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求抛物线的对称轴和开口方向，再分析抛物线与x轴的两个交点的位置，根据开口向下抛物线的函数性质，判断和的符号． 【详解】解：∵抛物线为，且， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 将代入解析式得， 由抛物线对称性可知，时，， ∵，开口向下时顶点为最高点， ∴顶点纵坐标， 令抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为， ∵抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别位于和之间，即， 开口向下时，仅当时，区间外， ∵， ∴，可得，， ∴，． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，抛物线（、、为常数，且）与轴交于点、，对称轴为直线，则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，由图可知，开口向上，即，对称轴在轴右侧，根据对称轴，即，所以，故选项A正确，不符合题意； 选项B，抛物线与轴交于点、，对称轴为直线，即，可得，故选项B正确，不符合题意； 选项C，如图可知，抛物线与轴交于两点，可得，即，故选项C正确，不符合题意； 选项D，当时，，又由图可知当时，，即， 故选项D不正确，符合题意． 6．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（为常数，且）的部分与的对应值如下表： … 1 … … 7 0 … 则下列关于二次函数的说法不正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 【答案】C 【分析】利用待定系数法求出二次函数解析式，再化为顶点式，然后根据二次函数的性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为，将表格中和代入解析式得 ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴ 函数图象开口向上，选项A正确； 函数图象的对称轴为直线，选项B正确； ∵函数开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，因此选项C错误； 当时，，因此选项D正确． 7．（2026·陕西渭南·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先对二次函数整理得到对称轴，根据a的正负判断当时，函数图象的增减性，确定最大值位置，列方程求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 二次函数对称轴为直线， 分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，在上随增大而增大，最大值在处取得， 将代入函数得：， 解得； 当时，抛物线开口向下，在上随增大而减小，最大值在处取得. 将 代入函数得：， 化简得，等式不成立，此情况无解． 综上，． 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线对称轴的两种计算方法列式子求出的值，进而根据抛物线图象的性质分析的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴交于点，， 抛物线对称轴为：直线， 解得：， 抛物线表达式为：， ， 抛物线开口向下， ，， 当时，取最大值，， 当时，取最小值，， ． 9．（2026·陕西汉中·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】利用表格中的已知点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将代入，得， 将，分别代入，得 解得：， 二次函数解析式为． ， 函数图象开口向下，A错误． 图象的对称轴为直线，B错误． 令，得 解得或， 函数图象与轴的一个交点为，C正确． ，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，D错误． 10．（2026·陕西汉中·二模）二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … 则下列关于该二次函数的描述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，据此可得答案． 【详解】解：将点代入中得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的值随值的增大而减小， 令， 解得：或， ∴当时，或， ∴四个选项中，只有D选项中的结论错误，符合题意． 11．（2026·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“反点”定义，反点满足，代入二次函数得到关于的一元二次方程，由“唯一反点”可知方程有唯一解，利用一元二次方程根的判别式等于求解即可． 【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即，且“反点”在二次函数图象上， ∴将代入，得:， 整理得， ∵该二次函数有唯一的“反点”， ∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式， ∵， ∴令， 解得． 12．（2026·陕西西安·二模）已知，抛物线（m为常数），下列判断正确的是（   ） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点、点在该函数图象上，则 【答案】D 【分析】先将抛物线配方整理，再根据二次函数的开口方向，交点坐标的求法，二次函数的对称性逐一判断各选项． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项错误． ∵当时，， ∴抛物线与轴交点在轴正半轴，B选项错误． ∵判别式， ∴抛物线与轴没有交点，C选项错误． ∵抛物线对称轴为直线，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∴两点到对称轴距离相等，对应的函数值相等，即，D选项正确． 13．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向，求出时对应的x值，根据开口向下抛物线的性质，在上的最小值在端点处取得，分情况计算并验证得到m的值． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线， 令，得，解得， ∵开口向下的抛物线在上的最小值一定在端点处取得，且函数y有最小值0，所以分两种情况讨论： ①最小值在左端点处取得： ∴若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，当时，，最小值小于0，不符合，舍去； ②最小值在右端点处取得： 若，解得，此时，符合要求； 若，解得，此时，处，最小值小于0，不符合，舍去； 综上，m的值为0或1． 14．（2026·陕西西安·二模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出抛物线的对称轴为，由，得到抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再推导出，点到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，得到点A离对称轴更近，点B离对称轴更远，故，当时，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∴，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴， ∴点A离对称轴更近，点B离对称轴更远，故， ∵抛物线的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴当时，；当时，， ∴当时，， 综上所述，． 15．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为．（当点，位于对称轴异侧时，在抛物线上点，之间的部分关于对称轴对称的部分上的对应点均满足） 16．（2026·陕西西安·二模）抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（   ） A．3 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据原抛物线与x轴的交点坐标可用含s的式子表示出b、c，进而可求出原抛物线的顶点的坐标，根据平移方式可得平移后的抛物线的解析式和顶点坐标，根据平移后的抛物线的图象开口向下可推出平移后的抛物线的顶点在直线上，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线的图象经过，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴， 在中，当时， ， ∴抛物线的顶点坐标为； 将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后的抛物线解析式为，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴． 17．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 18．（2026·陕西西安·二模）已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】A 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图像与性质，根据抛物线的对称轴为直线，求出的值，即可得到抛物线的解析式，根据平移该抛物线的顶点始终在直线上，设平移后抛物线的顶点坐标为，把抛物线的解析式转化为顶点坐标式，，根据抛物线与轴交点的横坐标为，可得抛物线与轴交点的纵坐标为，根据二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 平移该抛物线的顶点始终在直线上， 设平移后抛物线的顶点坐标为， 平移后抛物线的解析式为， 当时， 可得：， 整理得：， ， 有最大值， 即当时，取最大值，最大值为． 故选：A． 二次函数的实际应用 考点8 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称， 轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 【答案】(1)， (2) 米 【分析】（1）根据题意得：，然后代入解析式即可确定抛物线的函数表达式为．再由轴对称的性质即可求解； （2）根据题意得出点D、F的横坐标分别为，然后代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 把点代入，得， ∴抛物线的函数表达式为．     ∵抛物线与关于轴对称， ∴抛物线的函数表达式为．     ∴点的坐标为． （2）∵点与点关于轴对称，米，， ∴点D、F的横坐标分别为， 当时，，     （米）． 2．（2026·陕西安康·二模）如图，这是露天电动车车棚顶棚的消防设计图，棚顶是抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，墙面所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，点为所在抛物线的顶点，点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．干粉喷射点D距离地面时，灭火器对地面的保护半径为．灭火器对空间的保护截面可看作顶点为D的抛物线与x轴形成的封闭区域，安装点C可以在所在抛物线上滑动，且从点D喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (1)求所在抛物线的函数表达式． (2)若粉喷射点D距地面的高度恰好为，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． 【答案】(1) (2)灭火器喷射时不能覆盖着火点． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先确定点C坐标，求出干粉形成的抛物线表达式为，把点代入表达式，求出函数值与比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， 又抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：已知，点D离地面的高度为，则点C的纵坐标为 3.41， ∴， ∴ ∴或， ∵点C在顶点左侧， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为， 设此时从点D喷出的干粉形成的抛物线解析式为， 又对地面的保护半径为． ∴抛物线与轴交于点，， 把代入解析式，得， 解得， ∴所有干粉喷射抛物线解析式为， 当干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，此时D的坐标为， 则喷射抛物线解析式为， 当时，， ∴点在干粉抛物线上方，因此灭火器喷射时不能覆盖着火点． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）某航站楼正门的截面示意图是如图所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形．两抛物线交于点，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知米，将轴左、右两侧的抛物线分别记为、（与关于轴对称），抛物线的最高点到水平地面的距离为米，到轴的距离为米，两条抛物线的对称轴均与轴垂直． (1)分别求抛物线和抛物线的函数表达式； (2)为了方便旅客，该航站楼负责人计划分别在抛物线和抛物线上的点、处安装喇叭（大小忽略不计，且点、关于轴对称），以便提示重要信息，已知、之间的距离为米，求点到地面的距离． 【答案】(1)抛物线的解析式为，抛物线的函数表达式为 (2)米 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据轴对称的性质即可求出抛物线的解析式； （）把代入到抛物线的解析式求出的值即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， 设抛物线的解析式为 ，把代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵抛物线、关于轴对称， ∴抛物线、的形状和开口方向相同，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点、关于轴对称，、之间的距离为米， ∴点的横坐标为， 把代入 ，得， 答：点到地面的距离为米． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图1是卫星接收器，其纵截面可以看作如图2所示的抛物线．已知该卫星接收器的口径cm，点与点关于抛物线的对称轴对称，纵截面所在抛物线的最大深度为10cm．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线上的点（在对称轴右侧）是该卫星接收器内某一支架与抛物线的接触点，且点到轴的距离为cm，求点的坐标． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式，将代入其中，求解出，即可得到抛物线的函数表达式； （2）由题意可得点的纵坐标为，代入抛物线的函数表达式中，求解出点的横坐标，需要注意点在对称轴右侧． 【详解】（1）解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（或）． （2）由题意可得点的纵坐标为， ∴， 解得，． ∴点在对称轴右侧， ∴点的坐标为． 5．（2026·陕西西安·二模）如图是家里常用的炒菜锅，其主视图可抽象为图中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形．锅口和锅盖贴合面的直径 ，锅深 ，锅盖的高度，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点在轴上． (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为的圆盘，圆盘的边缘两点在炒菜锅所在的抛物线上（点关于轴对称， ），求点到锅盖的竖直高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（）设锅盖所在抛物线的表达式为，再利用待定系数法解答即可求解； （）设锅所在抛物线的表达式为 ，利用待定系数法求出锅所在抛物线的表达式，再把 分别代入两个抛物线的表达式中求出的值，最后相减即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线的表达式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题知，锅盖所在抛物线的顶点为，， 设锅盖所在抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴锅盖所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题知，锅所在抛物线的顶点为， 设锅所在抛物线的表达式为 ， 把代入，得 ， 解得， ∴锅所在抛物线表达式为， 将 代入，得， 将代入，得， ∵， ∴点到锅盖的竖直高度为． 6．（2026·陕西西安·二模）儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 【答案】(1) (2)的长为 【分析】（1）依题意，点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的函数表达式为，待定系数法求解析式，即可 （2）根据平移可得抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：抛物线的顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数表达式为． （2）解：发射口在点正上方处，且抛物线与抛物线的形状相同， 抛物线可以看作由抛物线沿轴向上平移得到， 抛物线的函数表达式为， 令，则， 解得，（不符合题意，舍去）， 的长为． 7．（2026·陕西榆林·二模）《西安市居民住宅区消防安全规定》于2026年4月1日起正式施行．为此，某消防站进行实战演练．演练过程中启动消防车联动无人机高层灭火救援系统．无人机升空，当消防水枪的出水口在点A处时，如图，喷出的水流可看作抛物线L的一部分，点A到地面的距离米，水流最终落在大楼外墙上的点B处．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流（抛物线L）到y轴的水平距离为6米时，水流达到最大高度22米． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)当无人机从点A沿y轴下降到点C时，水流的落点恰好在地面上的点D处，水流的形状不改变（即抛物线的形状不变），米，，求大楼外墙与无人机之间的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点，设抛物线顶点式为 ，将代入求解即可． （2）由题意，根据抛物线形状不变，对称轴仍为，求出新抛物线的表达式，令，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为 ，且过点， 设抛物线顶点式为 ， 将代入得： ， 解得：， 则抛物线表达式为：． （2）解：由题意得： ，即， ∵抛物线形状不变，无人机从点A沿y轴下降到点C， ∴二次项系数不变，对称轴仍为， 设新抛物线的表达式为 ， 将代入得： ， 解得：， 即， ∵点在轴上， 令，则， 解得：（舍去，距离为正）， ∴米． 8．（2026·陕西铜川·二模）城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； (2)若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 【答案】(1) (2)喷水口移动的距离为 【分析】（1）使用待定系数法求函数表达式即可； （2）先利用表达式求出点的坐标，设喷水口移动的距离为．写出平移后的表达式，再将点的坐标代入，求出的值． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴点的坐标为， 设喷水口移动的距离为， ∴喷水口移动后，喷出的抛物线形状水流的函数表达式为， 将代入，得， ， 解得，（舍去）． 答：喷水口移动的距离为． 9．（2026·陕西榆林·二模）校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，则设抛物线的函数表达式为，代入点O坐标即可解答； （2）根据题意可知点的坐标为，代入（1）中所求抛物线的函数表达式，即可得此时抛物线到的距离，进而求得答案． 【详解】（1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为（或）． （2）解：， 点的坐标为． 当时，， 答：点到抛物线的竖直距离为． 10．（2026·陕西渭南·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，活力启航小组在某次玩游戏时做了如下探究： 背景调查 沙包游戏是中国一项传统的民间儿童集体游戏，被认为是中国最早手球类运动的形式之一． 数据收集 活力启航小组的同学们玩沙包游戏时，发现某次扔出的沙包到地面的高度（）与到出发点的水平距离（）之间的几组对应值如下表所示： （） 0 2 4 6 8 10 （） 2 3 2 数据分析 小组成员在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点并进行连线，如图．    建立模型： (1)若与符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据（1）中的判断结果，求与之间的函数关系式； (3)应用模型：若某一时刻沙包到地面的高度为，求此时沙包到出发点的水平距离． 【答案】(1)二次 (2) (3) 【分析】（1）根据点的对称性判定即可； （2）利用待定系数法，设成顶点式求解即可； （3）令，得，求解即可； 【详解】（1）解：根据点的对称性，判断该函数可能是二次函数； （2）解：根据表中数据可知，二次函数图象的顶点坐标为． 设与之间的函数关系式为． 将代入，得， 解得， 与之间的函数关系式为．（或）； （3）解：令，得， 解得（不合题意，舍去），， 此时沙包到出发点的水平距离为． 11．（2026·陕西榆林·二模）背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画． 素材一：王芳先画出菱形，对角线交于点O，且，． 素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为的E、F、P（E、F、P分别在的延长线上）三点绘制抛物线L，且为抛物线L的对称轴，再以为对称轴在下方作抛物线与L对称，抛物线交的延长线于点Q． 素材三：以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作的垂线，分别交抛物线L、于点M、，过点C作的垂线，分别交抛物线L、于点N、，计划沿、书写两列艺术字（宽度忽略不计），并予以装饰美化． (1)求图中抛物线L、的函数表达式； (2)求书写的这两列艺术字的总高度． 【答案】(1)抛物线L的函数表达式为；抛物线的函数表达式为； (2) 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分求出A、C、D的坐标，进而得到点E和点P的坐标，利用待定系数法求出抛物线L的函数表达式，进而可求出抛物线的函数表达式； （2）根据（1）所求求出这四个点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在菱形，对角线交于点O，且，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设抛物线L的函数表达式为，则，解得， ∴抛物线L的函数表达式为； 设点是抛物线上的一点，则点是抛物线L上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，，则， 当时，，则； 在中，当时，，则， 当时，，则， ∴， ∴． 答：书写的这两列艺术字的总高度为． 12．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 【答案】(1) (2)供暖设备所占的面积为 【分析】（1）由题意得点，点，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出，点P的纵坐标为1.1，点M的横坐标为，然后把和分别代入解析式求出，，得出，．然后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为． ∴点， ∵大棚的跨径， ∴点． 设蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为． 将代入，得， 解得． ∴蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点E到保温墙的距离为，， ∴，点P的纵坐标为1.1． ∵， ∴点M的横坐标为， 当时，； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）． ，． ∴供暖设备所占的面积为． 13．（2026·陕西榆林·二模）如图、一座观景架的顶棚是抛物线型，是廊架顶棚的支撑柱，顶棚与地面交于点以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，米，米，图中抛物线的函数表达式为 (1)请分别求出、的值； (2)为烘托节日气氛，现要从抛物线上的点D处竖直向地面C处拉彩灯．从抛物线上的点F处竖直向地面处拉彩旗，米，米，请问彩灯比彩旗长多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． （1）将点、代入抛物线解析式，利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据点、横坐标求出对应的纵坐标即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， 点的坐标为，点的坐标为， 将点、代入中得 ， 解得， 该抛物线的函数解析式为. （2）解：∵，，故， 当时，，即米， 当时，，即米， （米） 答：彩灯比彩旗长米． 14．（2026·陕西咸阳·二模）如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 【分析】（1）根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，再把代入即可求解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则点，，可得，，再根据，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， ∵与关于轴对称， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，则点，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴此时点的坐标为． 15．（2026·陕西汉中·二模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是G、E、F、H，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点分别在上，点分别在上，点到的距离均为12米．已知所在拋物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）由题意知的顶点坐标为，设桥洞所在抛物线的函数表达式为，将代入求解即可； （2）先求出的坐标，即可求解，而由对称性可知，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知的顶点坐标为， 设桥洞所在抛物线的函数表达式为， 将代入中，得，     解得， ∴桥洞所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ，     当时，， ，     ， 由对称性可知，， 故， ∴这两条标语的总长为米． 16．（2026·陕西榆林·二模）为探究仓库储存货物的情况，管理小组展开了调研，以下是调研报告的部分记录： 调研主题 仓库储存货物的情况 模型抽象 两个仓库横截面示意图如图所示，每个棚顶可视为抛物线的一部分，墙面、、高度相同，且均与地面垂直，垂足分别是点、、．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．抛物线与抛物线关于轴对称． 放置条件 在仓库中沿轴摆放四处正方体储物箱（即图中小正方形），储物箱侧面到最近的墙面的距离均为，每一处的储物箱上均按如图所示方式叠放相同的若干储物箱．叠放后的每一处储物箱都可看作一个长方体，小正方形的竖直边均垂直于地面． 数据采集 抛物线的最高点到地面的距离为，，，储物箱的棱长为（即图中所有小正方形的边长均为）． (1)求抛物线的表达式； (2)在仓库中，这四处一共最多可放置多少个正方体储物箱？ 【答案】(1) (2)这四处一共最多可放置16个正方体储物箱 【分析】（1）由题可得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，然后求出点的坐标为，再代入求解即可； （2）当时，，而，则一处储物箱最多叠放4个，再由抛物线的对称性即可求解． 【详解】（1）解：由题可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， ， ， 点的坐标为， 把点代入抛物线的表达式得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， ， ∴一处储物箱最多叠放4个， 由抛物线的对称性可知，一个仓库沿轴最多可摆放8个正方体储物箱， ∵抛物线与抛物线关于轴对称， ∴在仓库中，这四处一共最多可放置16个正方体储物箱． 17．（2026·陕西西安·二模）冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 【答案】(1)7.6米 (2) 【分析】（1）根据段的抛物线最低点到y轴的距离为．设抛物线的解析式为．把，代入，解方程组即可得抛物线的解析式，根据中心对称得段的抛物线的顶点坐标为，即得段的抛物线的函数解析； （2）根据小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求出小华在斜坡上的落点高度为，代入段的抛物线的函数解析式，解方程即得答案． 【详解】（1）解：∵运动员从跳台区的末端C点水平飞出， ∴C坐标为． ∵， ∴B坐标为． ∵段的抛物线最低点到y轴的距离为． ∴设抛物线的解析式为． 依题意，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． ∵段的抛物线与段的抛物线关于点成中心对称， ∴段的抛物线的顶点坐标， ∴段的抛物线的函数解析式：． ∴飞行过程中最大高度为7.6米． （2）∵小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为， ∴小华在斜坡上的落点高度为， 令解得，（舍去）． 答：落点到的水平距离是． 18．（2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 【答案】(1) (2)这辆货车能安全通过 【分析】（1）根据题意可得点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出函数值为6时x的值，再比较较小的x的值加上4与的大小即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 将代入，得，解得 抛物线的表达式为； （2）解：中，当时，， 解得或， ∵， ∴这辆货车能安全通过． 19．（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 【答案】(1) (2)此次击球有失误，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为：， 由题意得：点的坐标为， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为：； （2）此次击球有失误． 理由：当时，， 解得：，（不合题意，舍去）， 过点作于点， 则四边形为矩形， ∴， ∴，， ∵的坡比为， ∴， ∴， ∵， ∴此次击球有失误． 函数与方程、不等式、几何综合 考点09 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两函数图象的交点写成不等式解集的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， 由函数图象可知，当时，函数的图象在直线的下方， 所以关于x的不等式的解集是． 2．（2026·陕西西安·二模）下列关于直线（为常数）与直线的交点情况，判断正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点，且交点在第一象限 C．有一个交点，且交点在第二象限 D．有一个交点，且交点不在第四象限 【答案】D 【分析】先根据一次函数比例系数不相等，可知两直线一定相交，再联立方程求出交点坐标，结合各象限点的坐标特征排除错误选项，即可得到答案． 【详解】解：直线中，直线中，， 两直线一定相交，有且只有一个交点， 故A选项错误； 解方程组， 可得：， 整理得：， 解得： 将代入， 可得：， 交点坐标为， 当时，交点坐标为，在第二象限， 当时，交点坐标为，在第一象限， 交点可能在第二象限，也可能在第一象限， 故B选项和C选项错误； 若交点在第四象限，需满足横坐标为正，纵坐标为负， 即， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组无解， 交点不可能在第四象限， 故选项正确． 3．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先确定，，，根据，求解即可． 【详解】解：直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点， 当时，，当时，， 故 ； 根据题意，得， 解得， 故． 当时，， 解得， 故， ， ． 4．（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． (1)求，的值； (2)若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)符合条件的点坐标为或 【分析】（1）将点代入求解即可； （2）先求解抛物线的函数表达式，再分类当为边时，与当为对角线时这两种情况，作图求解坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ，解得， 即； （2）解：存在，        由（1）得抛物线， 抛物线与抛物线关于轴对称， 抛物线与抛物线上对应点的横坐标相反，纵坐标相等， ， 抛物线的函数表达式为， 令，解得，， 点在点左侧， ，， 当时，，          以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ①当为边时，有，且， ， 如答案图①，当点在抛物线上时， ， 解得，（舍去）， ，且， 点符合题意；        如答案图②，当点在抛物线上时， 同理， 解得，（舍）， ，且， 点符合题意；        ②当为对角线时，令的中点为， ，，， ， 令， 则，得，，得， 则， 将代入中，得， 将代入中，得， 点不符合题意． 综上所述，符合条件的点坐标为或 5．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点、， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：存在点Q，使得与的面积相等， ， 顶点， 当时，，则， 设直线的解析式为， 过点，， ，解得， 直线的解析式为， 当时，，则， ， 与的面积相等， ， 如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F， 设，则， ， ， ，即， 或， 解得或2或或， ， 舍去， 当时，； 当时，； 当时，； 或或． 【点睛】注意用“铅垂法”求三角形的面积，Q、F两点之间的数值距离是两点纵坐标差的绝对值． 一次函数与反比例函数交点问题 考点10 1．（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性，可知两交点、关于原点对称，即，结合反比例函数性质得将坐标关系代入式子化简计算． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ∴两交点关于原点对称，即． 又∵点A、B在反比例函数的图象上， ∴． ∴ ． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得点、关于原点中心对称，求出，即的横坐标为，代入反比例函数解析式即可解答． 【详解】解：反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B， ∴点、关于原点中心对称， 即， ∵轴于点C，轴于点D， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵点在第二象限， ∴的横坐标为． 将代入反比例函数，得， 因此点的坐标为． 3．（2026·陕西商洛·二模）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，直线与一次函数的图象的交点纵坐标为，与反比例函数的图象的交点纵坐标为，若，则，，的大小关系为_____________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的性质，由，则点在第二象限，又因为一次函数图象过，故有，，然后根据性质求解即可． 【详解】， 点在第二象限， 一次函数图象过定点， ，， ， ，， ，，的大小关系为． 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数及其应用 10大考点概览 考点01一次函数的图像、性质与解析式 考点02一次函数图像的平移、对称 考点03一次函数的实际应用 考点04反比例函数的图像、性质与解析式 考点05反比例函数中 k 的几何意义 考点06反比例函数的实际应用 考点07二次函数的图像、性质与解析式 考点08二次函数的实际应用 考点09函数与方程、不等式、几何综合 考点10一次函数与反比例函数交点问题 一次函数的图像、性质与解析式 考点01 1．（2026·陕西榆林·二模）已知一次函数（k为常数）的图象与x轴的交点在x轴负半轴上，则k的值可能是（    ） A．2 B． C． D． 2．（2026·陕西铜川·二模）一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则过原点和点的直线所对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点在一次函数（k为常数，且）的图象上，若，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2026·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，直线与直线（为常数）交于点，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 5．（2026·陕西西安·二模）若，则一次函数（a为常数）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 一次函数图像的平移、对称 考点02 1．（2026·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，点A与点关于原点对称，已知直线（b为常数）经过点A，则b的值为（   ） A． B．2 C．6 D． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，直线（、为常数，且）与直线关于轴对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，已知点，，将直线向上平移个单位长度后恰好经过线段的中点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·陕西西安·二模）将直线向左平移2个单位长度得到直线：，则直线的解析式是（   ） A． B． C． D．以上解析式都不对 6．（2026·陕西榆林·二模）将一次函数（k、b为常数，）的图象向下平移2个单位后，其图象经过点和点，且点A与点B关于原点对称，则k、b的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．（2026·陕西西安·二模）将直线l：通过下列操作后，不能经过点的是（） A．将直线l关于y轴对称 B．将直线l沿x轴向左平移 C．将直线l沿x轴向右平移 D．将直线l沿y轴向下平移 8．（2026·陕西榆林·二模）在平面直角坐标系中，直线经过点，点与点关于原点对称，将直线向上平移个单位经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 一次函数的实际应用 考点03 1．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 (1)根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据以上判断，求与之间的函数关系式； (3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 2．（2026·陕西渭南·二模）中国书法是独具民族特色的传统艺术，中国绘画更是起源最早的传统艺术形式之一，二者合称为书画．为弘扬中华优秀传统文化，某校拟购买书法工具套盒和绘画工具套盒共80套，已知书法工具套盒的售价为70元套，绘画工具套盒的售价为60元套．若该校购买的书法工具套盒为套，购买这80套工具套盒所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若学校本次购买这80套工具套盒的总费用为5300元，则可购买多少套书法工具套盒？ 3．（2026·陕西商洛·二模）为落实“阳光体育活动”要求，增强学生体质，某校倡导学生每天坚持课外体育锻炼，小祺积极参加体育锻炼，选择骑脚踏车和快走两种运动方式．已知骑脚踏车每分钟消耗热量20千焦，快走每分钟消耗热量27千焦，某天，小祺骑脚踏车和快走的锻炼时间共1小时．设小祺快走的时间为分钟，这1小时运动总共消耗的热量为千焦． (1)求与之间的函数关系式； (2)若这1小时小祺通过这两种运动共消耗1550千焦热量，则小祺快走和骑脚踏车各用了多长时间？ 4．（2026·陕西咸阳·二模）某实验小组进行微型机器人行走性能测试实验，将甲、乙两个机器人分别放在点和点，然后让它们同时出发，沿方向匀速行走，通过分析发现，甲、乙两个机器人的距离与它们行走的时间之间满足一次函数关系，如下是实验小组记录的与的部分数据： 行走的时间 … 甲、乙两个机器人的距离 … (1)求两个机器人的距离与它们行走的时间之间的函数表达式； (2)已知两个机器人已行走，要使它们的距离再增加，则两个机器人还应继续向前走多久？ 5．（2026·陕西汉中·二模）近日，教育部召开深入落实“健康第一”工作部署会，全面部署推进学生身心健康工作．某校认真落实“健康第一”的指导思想，切实提高本校学生体质健康水平．学校计划购买足球和排球共300个，经调查：足球100元/个，排球80元/个，设该校此次购买足球x个，购买这批足球和排球的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该校此次购买这批足球和排球共花费28000元，则该校购买足球多少个？ 6．（2026·陕西咸阳·二模）船舶工业正在经历一场前所未有的“新能源化”和“智能化”革命，而中国在这个赛道上正扮演着领跑者的角色．某艘船空载（未装载重物）时吃水深度（船舶在水中浸入水下的最深长度）为，船的吃水深度随着船上重物的均匀增加而均匀增大．船的吃水深度与船上重物（）之间的函数关系如图所示． (1)求与之间的函数关系式； (2)当船上重物为时，该船的吃水深度是多少？ 7．（2026·陕西安康·二模）西安市对城市居民冬季独立采暖（壁挂炉或自采暖）阶梯收费标准如下表（以户为单位）． 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 （含2000）的部分 2.14元/ 第二阶梯 （含3000）的部分 2.57元/ 第三阶梯 以上的部分 3.21元/ 根据表中所给的数据解答以下问题： (1)设某户这个冬季用气量为（），缴纳燃气费用y元，求y关于x的函数表达式． (2)已知某户这个冬季缴纳燃气费用5308元，求该户用了多少立方米的燃气． 8．（2026·陕西商洛·二模）珍珠养殖产业中，调控育珠蚌养殖密度是提升珍珠品质与经济效益的关键举措，养殖密度的变化会直接影响超大型珍珠的产出占比．研究表明，超大型珍珠的比例是育珠蚌养殖密度（只/）的一次函数．当育珠蚌养殖密度为0.5只/时，超大型珍珠的比例为；当育珠蚌养殖密度为2只/时，超大型珍珠的比例为． (1)求与之间的函数表达式； (2)若育珠蚌养殖密度为1.25只，求超大型珍珠的比例是多少？ 9．（2026·陕西宝鸡·二模）年月日，坦克最新训练画面罕见公开，其作为陆军新一代装甲装备，具有智能化程度高、协同能力强等优势．某模型专卖店计划购进两种坦克模型共个进行销售，已知坦克模型的进价如下表： 类型 进价（元/个） 坦克模型 坦克模型 设购入坦克模型的数量为个，购入坦克模型的总费用为元．请根据上述信息，解答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)若该模型专卖店购入坦克模型的数量不少于个，求购入坦克模型的总费用至少为多少元？ 10．（2026·陕西汉中·二模）蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气．因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低，当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量密闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量y（单位：）与蜡烛的燃烧时间t（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，y与t之间的函数表达式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 11．（2026·陕西宝鸡·二模）4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某工厂为减少废弃物和环境有害物的排放，计划购进甲、乙两种型号的污水处理设备共20台，这两种型号污水处理设备的价格如表所示： 型号 甲 乙 单价（万元/台） 设该工厂购进甲型号污水处理设备台，购进这台污水处理设备的总费用为万元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该工厂购进甲型号污水处理设备的数量不大于乙型号污水处理设备数量的倍，求购买这台污水处理设备至少需要多少万元？ 12．（2026·陕西西安·二模）李泽家是陕西关中地区某村的草莓种植大户，每到草莓成熟季节，李泽妈妈将采摘好的草莓按标准重量分装成果盆（每盆草莓重量相同，忽略差异），在村口路边定点售卖．妈妈统计了一周的销售量，李泽发现每天的销售量y（盆）与售价x（单位：元/盆）之间存在一次函数关系，且部分数据如下： 售价x（元/盆） 18 16 14 每天销售量y（盆） 54 90 126 (1)请根据表格中数据，求出y与x之间的函数关系式； (2)如果每盆草莓的成本为9元（人工不计），请判断售价分别定为15元/盆和14元/盆时，哪个的销售利润更高？ 13．（2026·陕西榆林·二模）某中药材种植基地研究甲、乙两种药材的生长速度，将甲、乙两种药材幼苗同时移栽到试验田，研究员发现移栽后这两种药材均为匀速生长，并绘制出甲、乙两种药材的高度（），（）与移栽后的时间x（天）（）之间的函数关系图（如图所示）． (1)求（）与x（天）之间的函数关系式； (2)已知，当甲、乙两种药材的高度相同时，求此时移栽后的时间． 14．（2026·陕西榆林·二模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 15．（2026·陕西铜川·二模）随着《青少年科学健身普及和运动干预三年行动计划（2026－2028年）》的推进，青少年的健身意识逐步增强．某运动场馆要采购A，B两种型号的计数跳绳共根，已知A型跳绳的单价为元，B型跳绳的单价为元．若该场馆计划采购根A型跳绳，采购费用为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)若A型跳绳的采购数量不多于根，求采购费用最少是多少元． 16．（2026·陕西西安·二模）随着洗车服务需求的不断增长，智能洗车行业迎来了更加广阔的发展空间．已知某智能洗车店的洗车费用为30元/次，为回馈客户，该智能洗车店推出以下两种优惠方案： 方案一：按次收费，每次洗车打八折，没有额外费用； 方案二：办理年卡，年卡收费120元，每次洗车打六折． 若张叔叔一年洗车的次数为x（x为正整数）次，所需总费用为y元．（只选其中一种方案） (1)分别求出张叔叔选择两种优惠方案所需的总费用y与洗车次数x之间的函数关系式； (2)若张叔叔计划一年的洗车总费用为552元，请你分析他选择哪种方案更划算，并说明理由． 17．（2026·陕西咸阳·二模）务农重本，国之大纲．广袤的乡村大地生机勃勃，中国式现代化的美好未来令人憧憬，大棚草莓迎来丰产季．某草莓园推出采摘草莓优惠活动，已知游客当天在该草莓园采摘千克草莓所需的总费用为元，图中的折线表示（元）与（千克）之间的函数关系． (1)求与之间的函数关系式； (2)若一游客当天在该草莓园采摘草莓所需总费用为150元，请问他这天在该草莓园采摘了多少千克草莓？ 18．（2026·陕西延安·二模）面对近年来复杂多变的国际环境，珍爱和平、守护和平是我国人民的共同心声．为此，某校举行了《和平一世界发展的最优解》演讲比赛，准备购买一批标有“和平”字样的文化衫，文化衫的标价是80元/件，商家给出的优惠方案是：如果一次性购买不超过10件，需按标价付款；如果一次性购买超过10件，那么每增加1件购买的所有文化衫每件的价格均降低1元，但规定单价不得低于50元/件．设该校购买文化衫件，每件文化衫的价格为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)当时，求该校本次购买文化衫的总费用． 19．（2026·陕西榆林·二模）落实“五育并举”，培养时代新人——以劳强技，育践于行．某校开展育苗种植活动，用装有恒温系统的大棚育苗，播种施肥后打开恒温系统调节到合适的温度以提高发芽率．大棚内的温度与播种后的时间（分钟）之间的函数图象如图所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当大棚内的温度为时，求播种后的时间． 20．（2026·陕西西安·二模）儿童用药的剂量常常按他们的体重来计算．某种药品，儿童体重在范围内时，每次正常服用量是儿童体重的一次函数．已知体重的儿童，每次正常服用量为；体重的儿童每次正常服用量为．现实中，该药品每次实际服用量可以比每次正常服用略高一些，但不能超过正常服用量的1.2倍，否则会对儿童的身体造成较大损害． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该药品的一种包装规格为/袋，求体重在什么范围的儿童生病时可以一次服下一袋药？ 21．（2026·陕西西安·二模）根据记录，从地面向上以内，每升高，气温降低；又知在距离地面以上高空，气温几乎不变．若地面气温为，设距地面的高度为处的气温为． (1)写出距地面的高度在以内的与之间的函数表达式； (2)上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为，飞机距离地面的高度为；小敏想，假如此刻飞机在距离地面的高空，请你求出飞机外的气温是多少度？ 22．（2026·陕西西安·二模）某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，在此模式下烤箱内温度匀速升至时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度．该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度与加热时间之间的函数图象如图所示． (1)求该品牌烤箱的烤箱内温度匀速上升期间与之间的函数表达式． (2)若食物在及以上的温度中烤制6分钟以上才可健康食用，请通过计算说明该模式下烤制的食物能否健康食用． 反比例函数的图像、性质与解析式 考点04 1．（2026·陕西西安·二模）若反比例函数和的图象分别经过点和，则______． 2．（2026·陕西铜川·二模）已知反比例函数（为常数）的图象过点．若点，是这个反比例函数图象上的两点，且，则，的大小关系是_____．（填“”，“”或“”） 3．（2026·陕西渭南·二模）已知反比例函数（为常数，且）的图象在第二、四象限，且点、均在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是：______．（填“＞”“＜”或“＝”） 4．（2026·陕西榆林·二模）已知点和点都是反比例函数（k为常数，且）的图象上的点，则的值为______． 5．（2026·陕西西安·二模）已知反比例函数（k为常数，且）的图像在各象限内，随的增大而减小，若点，和点在该反比例函数图像上，则______．（填“”“”或“”） 6．（2026·陕西宝鸡·二模）若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 7．（2026·陕西宝鸡·二模）已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______． 8．（2026·陕西西安·二模）在平面直角坐标系中，已知点、在同一个反比例函数的图象上，若，则可以是________．（写出一个符合题意的数即可） 反比例函数中 k 的几何意义 考点05 1．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数为常数，的图象上，过点作轴于点，点在轴正半轴上，连接．若点是的中点，的面积为8，则的值为________． 2．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在反比例函数、的图象上，连接轴，点、在轴上，且，连接、，则的面积为_____． 3．（2026·陕西汉中·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，为坐标原点，顶点在反比例函数为常数，且的图象上，边交轴于点，且，若的面积为9，则的值为___________． 4．（2026·陕西西安·二模）如图，矩形中，，矩形的面积为24，与轴负半轴的夹角为，双曲线（）经过点，则的值为______． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，平面直角坐标系的原点O是菱形的中心，经过B、D两点的反比例函数解析式．若，，则经过两点的反比例函数解析式是_________． 6．（2026·陕西西安·二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，与反比例函数的图象交于点．若，则的值为______． 7．（2026·陕西榆林·二模）如图，点在反比例函数（为常数，且，）的图象上，轴于点，点是的中点，点在轴上，连接，若四边形的面积为3，则的值为_____． 反比例函数的实际应用 考点06 1．（2026·陕西汉中·二模）某蓄水池进水管的进水速度为，7h可将蓄水池灌满．设进水速度为Q（），进水时间为，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·二模）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积之间满足反比例函数关系，其图象如图所示，则当体积时，气体的密度为_________． 3．（2026·陕西榆林·二模）为建设美丽乡村，某村现要铺设一条村路，村民完成铺设所需时间（天）与平均每天的工作量（米/天）成反比例关系，函数图象如图所示．若村民计划用15天完成铺设，则平均每天的工作量是______米/天． 4．（2026·陕西商洛·二模）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数，其函数图象如图所示，若要使频率为（即达到标准音高），则张力为_____． 二次函数的图像、性质与解析式 考点07 1．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（a、b为常数，），若其图象上有两点，，则m的值为（   ） A． B． C．3 D． 2．（2026·陕西宝鸡·二模）对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西榆林·二模）已知抛物线（a为常数，）经过三点，当时，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，抛物线（、、为常数，且）与轴交于点、，对称轴为直线，则下列结论中错误的是（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·陕西榆林·二模）已知二次函数（为常数，且）的部分与的对应值如下表： … 1 … … 7 0 … 则下列关于二次函数的说法不正确的是（    ） A．函数图象的开口向上 B．函数图象的对称轴为直线 C．当时，的值随值的增大而减小 D．当时， 7．（2026·陕西渭南·二模）已知二次函数（为常数，且），当时，的最大值为24，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 8．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线与轴交于点，，在的抛物线上有一点，其纵坐标为．若，则的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 9．（2026·陕西汉中·二模）已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表： x … 0 1 … y … 8 9 5 0 … 下列说法正确的是（    ） A．函数图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．函数图象与x轴的一个交点坐标是 D．当时，y随x的增大而减小 10．（2026·陕西汉中·二模）二次函数为常数，且中的与的部分对应值如表： … 0 1 2 3 4 … … 1 0 … 则下列关于该二次函数的描述错误的是（    ） A．图象开口向上 B．图象的对称轴为直线 C．当时，随的增大而减小 D．当时， 11．（2026·陕西榆林·二模）定义：若某函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，则称该函数为“自反”函数，该点为“反点”．已知二次函数（为常数，）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”，则的值为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西西安·二模）已知，抛物线（m为常数），下列判断正确的是（   ） A．该抛物线的开口方向向下 B．该抛物线与y轴交点可能在y轴负半轴上 C．该抛物线与x轴一定有交点 D．点、点在该函数图象上，则 13．（2026·陕西咸阳·二模）已知抛物线，当时，函数有最小值，则的值为（   ） A．0或1 B．0或 C．1或 D．0或2 14．（2026·陕西西安·二模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 15．（2026·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，点，是抛物线上的两点，且，若在点，之间（含点，）的抛物线上存在两点，（点，不重合），使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·陕西西安·二模）抛物线的图象经过，，若将抛物线的图象沿轴向下平移个单位后，与直线只有一个交点，则的值为（   ） A．3 B．13 C． D． 17．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西西安·二模）已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 二次函数的实际应用 考点8 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，某度假村观景台窗户的外轮廓是由线段、抛物线和抛物线围成的封闭图形．抛物线、的顶点分别为、，抛物线、交于点，以过、的直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，为坐标原点．抛物线与关于轴对称， 轴，与轴之间的距离为米，米，抛物线的函数表达式为（为常数）． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)窗户上有两条竖直的支撑骨架和（宽度不计），点、在上，点、分别在抛物线、上，，，点与点关于轴对称，米，分别求与的长． 2．（2026·陕西安康·二模）如图，这是露天电动车车棚顶棚的消防设计图，棚顶是抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，墙面所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知，点为所在抛物线的顶点，点C是棚顶上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．干粉喷射点D距离地面时，灭火器对地面的保护半径为．灭火器对空间的保护截面可看作顶点为D的抛物线与x轴形成的封闭区域，安装点C可以在所在抛物线上滑动，且从点D喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (1)求所在抛物线的函数表达式． (2)若粉喷射点D距地面的高度恰好为，灭火器喷射时能不能覆盖着火点？请说明理由． 3．（2026·陕西宝鸡·二模）某航站楼正门的截面示意图是如图所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形．两抛物线交于点，以所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系如图所示，已知米，将轴左、右两侧的抛物线分别记为、（与关于轴对称），抛物线的最高点到水平地面的距离为米，到轴的距离为米，两条抛物线的对称轴均与轴垂直． (1)分别求抛物线和抛物线的函数表达式； (2)为了方便旅客，该航站楼负责人计划分别在抛物线和抛物线上的点、处安装喇叭（大小忽略不计，且点、关于轴对称），以便提示重要信息，已知、之间的距离为米，求点到地面的距离． 4．（2026·陕西宝鸡·二模）如图1是卫星接收器，其纵截面可以看作如图2所示的抛物线．已知该卫星接收器的口径cm，点与点关于抛物线的对称轴对称，纵截面所在抛物线的最大深度为10cm．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若抛物线上的点（在对称轴右侧）是该卫星接收器内某一支架与抛物线的接触点，且点到轴的距离为cm，求点的坐标． 5．（2026·陕西西安·二模）如图是家里常用的炒菜锅，其主视图可抽象为图中的几何图形，已知其中经过锅心和盖心的纵截面是两段抛物线组合而成的封闭图形．锅口和锅盖贴合面的直径 ，锅深 ，锅盖的高度，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点在轴上． (1)求锅盖所在抛物线的函数表达式； (2)若在锅里平放一个直径为的圆盘，圆盘的边缘两点在炒菜锅所在的抛物线上（点关于轴对称， ），求点到锅盖的竖直高度． 6．（2026·陕西西安·二模）儿童软弹玩具枪是相对安全的弹射类玩具，能够锻炼身体协调性、培养专注力与耐心．当儿童软弹玩具枪发射口距水平地面的高度为时，发射软弹后软弹最终落在距发射口水平距离的水平地面上的点处，软弹（大小忽略不计）的飞行路线可近似看作抛物线，发射口可随玩具枪竖直上下移动，发射口即为软弹飞行路线的最高点（抛物线的顶点为点）．过点作水平地面的垂线与地面交于点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的函数表达式； (2)发射口在点正上方处，发射软弹后软弹的飞行路线可近似看作抛物线，抛物线与抛物线的形状相同，软弹最终落在地面上的点处，求的长． 7．（2026·陕西榆林·二模）《西安市居民住宅区消防安全规定》于2026年4月1日起正式施行．为此，某消防站进行实战演练．演练过程中启动消防车联动无人机高层灭火救援系统．无人机升空，当消防水枪的出水口在点A处时，如图，喷出的水流可看作抛物线L的一部分，点A到地面的距离米，水流最终落在大楼外墙上的点B处．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流（抛物线L）到y轴的水平距离为6米时，水流达到最大高度22米． (1)求抛物线L的函数表达式； (2)当无人机从点A沿y轴下降到点C时，水流的落点恰好在地面上的点D处，水流的形状不改变（即抛物线的形状不变），米，，求大楼外墙与无人机之间的水平距离． 8．（2026·陕西铜川·二模）城市高层建筑火灾一直是消防救援中难度极高的场景，面对复杂的建筑结构和多变的火情，消防员需要精准把控水枪射流的力度与角度，才能在安全距离内高效扑灭不同高度的火源．已知某次消防实战演练中，消防水枪喷出的水流呈抛物线形状．如图，点是消防水枪喷水口，喷出的水流与点的水平距离为时达到最高点，最大高度为，水流落在高楼外墙上的点处，高楼外墙与点的水平距离为．以为原点，水平地面所在直线为轴，过点且垂直于水平地面的直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求点处喷出的抛物线形状水流的函数表达式； (2)若消防员将水枪喷水口从点处向右移动至点处，但不改变消防水枪喷水角度与水压（即水流的抛物线形状与大小不变），此时水流未达到最高点但恰好到达点处．求喷水口移动的距离． 9．（2026·陕西榆林·二模）校门设计能够全面、深刻地展示学校的思想，精神状态、特色、文化品位等．如图是某数学兴趣小组设计的一款抛物线形状的校门正面示意图，该校门由抛物线和左右对称的矩形门房、及中间的电动推拉门（完全拉开时，为图中阴影部分，即矩形）构成，点与点都在抛物线上，且两点关于抛物线的对称轴对称．已知，抛物线的最高点到地面的距离为．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，点在轴上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知电动推拉门的高度为（即），求点到抛物线的竖直距离． 10．（2026·陕西渭南·二模）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，活力启航小组在某次玩游戏时做了如下探究： 背景调查 沙包游戏是中国一项传统的民间儿童集体游戏，被认为是中国最早手球类运动的形式之一． 数据收集 活力启航小组的同学们玩沙包游戏时，发现某次扔出的沙包到地面的高度（）与到出发点的水平距离（）之间的几组对应值如下表所示： （） 0 2 4 6 8 10 （） 2 3 2 数据分析 小组成员在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点并进行连线，如图．    建立模型： (1)若与符合初中学习过的某种函数关系，则可能是______函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） (2)根据（1）中的判断结果，求与之间的函数关系式； (3)应用模型：若某一时刻沙包到地面的高度为，求此时沙包到出发点的水平距离． 11．（2026·陕西榆林·二模）背景：某校八年级在美术课上，围绕“社会公益”主题，进行了招贴画设计．如图为王芳同学设计的招贴画． 素材一：王芳先画出菱形，对角线交于点O，且，． 素材二：考虑到实际需要，招贴画边缘与菱形的四边要留出一定距离．将以上和以下部分均设计为抛物线形状，先过距离A、C、D三点分别为的E、F、P（E、F、P分别在的延长线上）三点绘制抛物线L，且为抛物线L的对称轴，再以为对称轴在下方作抛物线与L对称，抛物线交的延长线于点Q． 素材三：以所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．过点A作的垂线，分别交抛物线L、于点M、，过点C作的垂线，分别交抛物线L、于点N、，计划沿、书写两列艺术字（宽度忽略不计），并予以装饰美化． (1)求图中抛物线L、的函数表达式； (2)求书写的这两列艺术字的总高度． 12．（2026·陕西汉中·二模）蔬菜大棚是一种具有保温性能的框架结构，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某劳动基地的蔬菜大棚的横截面可近似看作抛物线，为垂直于地面的保温墙，大棚的跨径，顶端C到保温墙的距离为，到地面的距离为．以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求蔬菜大棚的横截面所在抛物线的函数表达式； (2)现要在大棚上点E处焊接内部加固钢材，且，并在加固钢材右侧安装矩形供暖设备和，其中点M，P在大棚上，，．当点E到保温墙的距离为时，求供暖设备横截面的面积． 13．（2026·陕西榆林·二模）如图、一座观景架的顶棚是抛物线型，是廊架顶棚的支撑柱，顶棚与地面交于点以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，米，米，图中抛物线的函数表达式为 (1)请分别求出、的值； (2)为烘托节日气氛，现要从抛物线上的点D处竖直向地面C处拉彩灯．从抛物线上的点F处竖直向地面处拉彩旗，米，米，请问彩灯比彩旗长多少米？ 14．（2026·陕西咸阳·二模）如图，某市在公园设计了一块花卉展览区域，该花卉区域由抛物线与抛物线围成，为隔离带，与所围区域为花卉区，在与所围区域内修建一个矩形，作为赏花打卡点，用于游客赏花，摄影等，其他区域为草坪，点，在上（点在点左侧），点，在抛物线上，以点为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中米，抛物线的最高点到的距离为12米，与关于轴对称． (1)求抛物线的表达式； (2)若修建矩形时，要求，请问是否存在这样的矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2026·陕西汉中·二模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞以及桥面均呈抛物线型，如图所示，桥洞和与湖面的交点分别是G、E、F、H，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．已知桥洞的跨度米，桥洞关于轴对称，桥洞的最高点在上，且的长为40米，桥洞最高点到湖面的距离为5米． (1)求桥洞所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条警示标语、，、均与轴平行，点分别在上，点分别在上，点到的距离均为12米．已知所在拋物线的函数表达式为，求这两条标语的总长． 16．（2026·陕西榆林·二模）为探究仓库储存货物的情况，管理小组展开了调研，以下是调研报告的部分记录： 调研主题 仓库储存货物的情况 模型抽象 两个仓库横截面示意图如图所示，每个棚顶可视为抛物线的一部分，墙面、、高度相同，且均与地面垂直，垂足分别是点、、．以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．抛物线与抛物线关于轴对称． 放置条件 在仓库中沿轴摆放四处正方体储物箱（即图中小正方形），储物箱侧面到最近的墙面的距离均为，每一处的储物箱上均按如图所示方式叠放相同的若干储物箱．叠放后的每一处储物箱都可看作一个长方体，小正方形的竖直边均垂直于地面． 数据采集 抛物线的最高点到地面的距离为，，，储物箱的棱长为（即图中所有小正方形的边长均为）． (1)求抛物线的表达式； (2)在仓库中，这四处一共最多可放置多少个正方体储物箱？ 17．（2026·陕西西安·二模）冰雪运动已经逐渐走向大众，某滑雪场的跳台滑雪深受大家喜欢．图1为滑雪大跳台的简化模型：段为抛物线型的滑道．滑雪爱好者小华某一次从台端B点出发，在滑道上获得高速度，从跳台区的末端C点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，段的抛物线与段的抛物线恰好关于点C成中心对称．我们以为y轴，水平面为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系，已知，，跳台高是，长度，高度，段的抛物线最低点到y轴的距离为． (1)求小华在空中飞行的最大高度为多少米？ (2)为了安全着想，利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若小华落在斜坡上的落点与飞行过程中最高点的高度差为，求落点到的水平距离？ 18．（2026·陕西西安·二模）如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，其中矩形的长，宽．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点到墙面的水平距离为时，到地面的距离为．为了安全起见，隧道正中间有宽为的隔离带． (1)求抛物线的函数表达式； (2)一辆货运汽车载一个长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ 19．（2026·陕西西安·二模）如图是一个游乐场中击球游戏模拟图，平台与地面平行，其中于点，，，是一个斜坡，坡比为．现以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系．若击球手在处将球击出，球在空中的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，当与点的水平距离为时，球运动到最高点，且距地面． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若球落在的延长线上，则称此次击球失误．请通过计算，判断此次击球是否失误． 函数与方程、不等式、几何综合 考点09 1．（2026·陕西咸阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b为常数，且）与正比例函数的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·二模）下列关于直线（为常数）与直线的交点情况，判断正确的是（   ） A．没有交点 B．有一个交点，且交点在第一象限 C．有一个交点，且交点在第二象限 D．有一个交点，且交点不在第四象限 3．（2026·陕西延安·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的交点在轴上．直线与轴交于点，直线与轴交于点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2026·陕西商洛·二模）已知抛物线与轴交于，两点． (1)求，的值； (2)若抛物线与抛物线关于轴对称，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，则在抛物线或上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接． (1)求该抛物线的解析式； (2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与反比例函数交点问题 考点10 1．（2026·陕西汉中·二模）若一个正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则的值为________． 2．（2026·陕西榆林·二模）如图，反比例函数与正比例函数（m为常数，）的图象交于点A、点B，轴于点C，轴于点D，若，则点A的坐标为___________． 3．（2026·陕西商洛·二模）已知一次函数与反比例函数的图象相交于点，直线与一次函数的图象的交点纵坐标为，与反比例函数的图象的交点纵坐标为，若，则，，的大小关系为_____________．（用“”连接） 2/23 1/23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $