2025-2026学年青岛版数学八年级下册第二次月考质量监测试题 【测试范围：八年级下册第8章-第12章】

**基本信息** 青岛版八年级下册第8-12章月考卷，聚焦几何图形与函数综合，通过志愿服务标志、利润计算等真实情境，考查空间观念、运算能力与模型意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|中心对称图形、菱形性质、一次函数图像|以志愿服务标志考中心对称，体现情境时代性| |填空题|6/18|矩形旋转、函数与方程、动点最值|矩形旋转问题考查空间观念，梯度适中| |解答题|8/72|二次根式化简、旋转构造全等、利润与行程应用|20题利润问题培养模型意识，24题旋转探究提升推理能力|

八年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：八年级下册第8章-第12章】（青岛版2024） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解： ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．是中心对称图形，故此选项符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； ．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 2. 如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2．5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，且为的中点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， 3.下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A. 被方数含有能开的尽方的数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 被方数是小数，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C. 被方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. 是最简二次根式，故该选项符合题意； 4. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【详解】∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数中y随着x的增大而减小， ∴， ∴， ∵，， ∴该图像不经过的象限是第一象限， 5.如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是； 6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得 不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 【答案】B 【详解】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5）， 则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2， 7. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距A地18千米的B地，他们离开A地的距离S（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据题目和图象所提供的信息，下列说法正确的是（　　） A．乙比甲先到达B地 B．乙在行驶过程中没有追上甲 C．乙比甲早出发半小时 D．甲的行驶速度比乙的行驶速度快 【答案】：A． 解：A、由于S＝18时，t甲＝2.5，t乙＝2，所以乙比甲先到达B地，故本选项说法正确； B、由于甲与乙所表示的S与t之间的函数关系的图象由交点，且交点的横坐标小于2，所以乙在行驶过程中追上了甲，故本选项说法错误； C、由于S＝0时，t甲＝0，t乙＝0.5，所以甲同学比乙同学先出发半小时，故本选项说法错误； D、根据速度＝路程÷时间，可知甲的行驶速度为18÷2.5＝7.2千米/时，乙的行驶速度为18÷1.5＝12千米/时，所以甲的行驶速度比乙的行驶速度慢，故本选项说法错误； 8．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． ∴∠APF＝30°， ∴在直角△APF中，AFAP，PFAP． ∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4）2+（）2＝25+12． 则△ABC的面积是•AB2•（25+12）． 9．下列选项中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论一致，故本选项符合题意； B、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项不符合题意； C、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知 ，两结论不一致，故本选项不符合题意； D、由一次函数的图像可知，，，故；由正比例函数的图像可知，两结论不一致，故本选项不符合题意． 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 【答案】C 【详解】∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣， ∴点A2的坐标是（3，﹣）， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=， ∴点A3的坐标是（5，）， ∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称， ∴点A4与点A3关于点B3成中心对称， ∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣， ∴点A4的坐标是（7，﹣），…， ∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…， ∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1， ∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣， ∴顶点A2n+1的纵坐标是， ∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）． 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 【答案】4 【详解】解：在矩形中，， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴． 12.如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， 由旋转可知：，，， ∵的中点恰好与点重合， ∴， ∵矩形中，，， ∴．， ∴， 13.如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 【答案】 【详解】∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 故答案为：． 14．将正比例函数向下平移m个单位后正好经过点，则m的值是______． 【答案】2 【详解】 解：设正比例函数的图象向下平移后的解析式为（k≠0）， ∵图象经过点（-2，-3）， ∴-3=×（-2）-m， 解得m=2， 15．如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴时，取得最小值，此时取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴长度的最小值是． 16．如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 【答案】①③④ 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴，， ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点逆时针旋转，得， ∴，， ∴△BDE是等边三角形，故③正确； ∵在中，， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴△ADE的周长，故④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．化简下列各式． （1） （2）． 【答案】（1）； （2） 【详解】（1） （2） 18．已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【小问1详解】 证明：连接、，如图所示： ， ，即． 在和中， ， ， 【小问2详解】 ，， ， 四边形是平行四边形． 19．如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 【答案】 【详解】解：四边形为正方形， ，， ∵将按顺时针方向旋转得到． ，，， 点在的延长线上， ， ， 在和中， ， ， ． 20．某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润多少元？ 【答案】（1）20件；（2）购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元 【详解】解：（1）设购进甲种服装件，根据题意，得 解这个不等式，得 所以购进甲种服装最少为20件； （2）设获得的利润为元，则 ∵-10＜0， ∴随的增大而减小， ∵x≥20， ∴当时，最大，最大值为（元） 所以购进甲种服装20件时，获得的利润最大，最大利润为3800元． 21．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）乙是下午___________点出发的．乙骑摩托车的速度是___________千米/时． （2）分别写出甲、乙所行驶的路程、与该日下午时间t之间的关系式． （3）乙在什么时间追上甲． 【答案】（1）2；50;（2），； （3）乙在下午2：30时追上甲． 【详解】 解：（1）由图可知，乙是下午2点出发，下午3点到达B地， 则乙的速度为：千米/小时． 故答案为：2；50； （2）设直线PQ的解析式为：，且经过，（2,20）， ∴解得， ∴直线PQ的解析式为：， 设直线QR的解析式为，且经过（2,20），， ∴解得：， ∴直线QR的解析式为， 故甲所行驶的路程与该日下午时间t之间的关系式为： 设直线MN的解析式为，且经过，， ∴解得， ∴直线MN的解析式为． （3）解得， 故乙在下午2：30时追上甲． 22．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组 的解是　 　； （2）a＝　 　； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】（1）； （2）－1； （3）4 【详解】（1）把x＝1代入y＝x+1，得出y＝2， 函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P（1，2）， 即x＝1，y＝2同时满足两个一次函数的解析式． 所以关于x，y的方程组 的解是 ． 故答案为； （2）把P（1，2）代入y＝ax+3， 得2＝a+3，解得a＝﹣1． 故答案为﹣1； （3）∵函数y＝x+1与x轴的交点为（﹣1，0）， y＝﹣x+3与x轴的交点为（3，0）， ∴这两个交点之间的距离为3﹣（﹣1）＝4， ∵P（1，2）， ∴函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积为：×4×2＝4． 23．在△ABC中，． (1)，，． ①如图1，若点P是△ABC内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是△ABC外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是△ABC内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1)① ②7 (2) 【详解】（1）解：①在△ABC中，， ∴△ABC是等边三角形． 将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转的性质得． ∵， ∴是直角三角形，， ∴； ②如图，以为一边向上作等边，作交的延长线于点F， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，作交的延长线于点H， ∵，且， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 根据两点之间线段最短可知，当点E，F，P，C共线时，的值最小，最小值为的长． 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， 根据勾股定理，得． 的最小值是． 24．解答下列各题． (1)特例探究： 如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2) 一般探究： 如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3) 实际应用： 如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． 【答案】(1) (2) (3)18 【详解】（1）解： 如图①：延长到点使，连接， 在正方形中，，， 在和中， ， ，， ， 在和中 ， ， ． （2）解：如图，延长至，使，连接． ，， ． 又，， ． ，． ． 又， ． ． 又，， ≌． ， ∴． （3）解：如图，延长，截取，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ，， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级下学期第二次月考质量监测试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 【测试范围：八年级下册第8章-第12章】（青岛版2024） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1.志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，菱形周长为20，对角线相交于点，是的中点，则的长是（ ）． A. 2．5 B. 3 C. 4 D. 5 3.下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4. 一次函数（k，b为常数）的图像经过点P（－2，－1）且y随着x的增大而减小，则该图像不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.如图，在钝角中，，将其绕点逆时针方向旋转得到，连接．当时，旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得 不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　） A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2 7. 甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到距A地18千米的B地，他们离开A地的距离S（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系图象如图所示，根据题目和图象所提供的信息，下列说法正确的是（　　） A．乙比甲先到达B地 B．乙在行驶过程中没有追上甲 C．乙比甲早出发半小时 D．甲的行驶速度比乙的行驶速度快 8．如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（　　） A． B． C． D． 9．下列选项中，表示一次函数与正比例函数（m，n为常数，且）图像的是（ ） A. B. C. D. 10. 在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（ ） A. （4n﹣1，） B. （2n﹣1，） C. （4n+1，） D. （2n+1，） 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．如图在矩形对角线，相交于点O，若，，则的长为_____． 12.如图，将矩形绕点旋转至矩形的位置，此时的中点恰好与点重合．若，则的长为 ． 13.如图所示，在平面直角坐标系中，直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ． 14．将正比例函数向下平移m个单位后正好经过点，则m的值是______． 15．如图， 在直角三角形中，，，，点是边上一点(不与点，重合)， 作于点，于点， 若点是的中点， 则长度的最小值是 ． 16．如图，在等边△ABC中，是上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得，连接，若，，则下列说法：①；②；③△BDE是等边三角形；④△ADE的周长是9，其中正确的有_____________（只填序号） 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．化简下列各式． （1） （2）． 18．已知如图，相交于点，点在上，， （1）求证：； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 19．如图，点E与F分别在正方形的边与上，，以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到．已知，，求的长． 20．某服装店购进甲、乙两种服装，两种服装的进价、售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 35 70 售价（元/件） 65 110 该店决定用不多于6300元购进这两种服装共100件． （1）求购进甲种服装最少多少件？ （2）该店购进甲种服装多少件时，全部销售后能获得最大利润，最大利润多少元？ 21．如图所示，A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题： （1）乙是下午___________点出发的．乙骑摩托车的速度是___________千米/时． （2）分别写出甲、乙所行驶的路程、与该日下午时间t之间的关系式． （3）乙在什么时间追上甲． 22．如图，已知函数y＝x+1和y＝ax+3的图象交于点P，点P的横坐标为1， （1）关于x，y的方程组 的解是　 　； （2）a＝　 　； （3）求出函数y＝x+1和y＝ax+3的图象与x轴围成的几何图形的面积． 23．在△ABC中，． (1)，，． ①如图1，若点P是△ABC内一点，且，求的度数； ②如图2，若点P是△ABC外一点，且，求的长； (2)如图3，，点P是△ABC内一点，，，当的值最小时，直接写出的最小值． 24．解答下列各题． (1)特例探究： 如图，正方形中，、分别为、上两点，，探究、、之间的数量关系．小明是这么思考的：延长，截取连接，易证，从而得到，再由证明，从而得出结论： ________________________； (2) 一般探究： 如图，四边形中，，与互补，、分别是、上两点，且满足，探究、、之间的数量关系； (3) 实际应用： 如图，四边形中，，，，直接写出四边形的面积为________． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $