第八章 立体几何中的压轴小题训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何中的压轴小题 目录 题型1：球与截面面积问题 2 题型2：体积、面积、周长、距离的定值问题 10 题型3：体积、面积、周长、距离的最值与范围问题 23 题型4：线段之和的最值问题 32 题型5：空间角问题 42 题型6：立体几何中的交线问题 53 题型1：球与截面面积问题 【例1.1.】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、球的截面的性质及计算 【分析】先根据条件可证明，，，故三棱锥放入正方体中，正方体的外接球即是三棱锥的外接球，从而即可求出球的半径，过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，求得截面圆半径即可． 【详解】设在底面上的射影为，如图，      因为，由全等得为的中心， 由题可知，，由，解得 在正中，可得. 从而直角三角形中解得. 同理，又是边长为的正三角形， 所以，则，同理，， 因此正三棱锥可看作正方体的一角， 正方体的外接球与三棱锥的外接球相同，正方体对角线的中点为球心. 记外接球半径为，则， 过点的平面截球所得截面面积的最小时，截面与垂直，此时截面圆半径满足， 由得，所以，所以截面面积的最小值为. 故答案为： 【例1.2.】 在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】取的中点，得到为外接球的球心，且，设，求得三棱锥的体积为，得到取得最大值，在中，利用余弦定理，求得的值，结合球的截面圆的性质，得到截面圆的半径为，结合圆的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因为，所以，即为外接球的球心， 可得球的半径为， 又因为，所以， 因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面 设，则，所以， 所以三棱锥的体积为： ， 当时，取得最大值， 因为， 在中，由余弦定理得， 根据球的性质得，当垂直于截面时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径为， 则， 所以截面圆的面积的最小值为. 【例1.3.】 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________ 【答案】 【难度】0.4 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】先判断当平面平面时，三棱锥的体积最大，求得，再找出四棱锥外接球的球心，由勾股定理求得半径，进而得到表面积；当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小即得答案. 【详解】第一空：设点到平面的距离为， 在中，取的中点，连接交于点，连接， 因为为等边三角形，为的中点，则， 由题意可知，、分别为、的中点，则，则，， 翻折后，则有，所以二面角的平面角为， 过点在平面内作或其延长线上， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，则， 又因为，，、平面， 所以平面， 所以，且，则， 当为直角时，取最大值， 因为为的中点，为定值， 故当为直角时，取最大值， 此时，平面平面， 故是边长为的等边三角形， 因为，则， 因为为的中点，为的中点，则且， 同理可得，则为四边形的外心， 设等边的外心为点，过点作平面， 因为平面，则， 过点作平面的垂线交于点，则为四棱锥的外接球球心， 连接，则为球的一条半径， 因为平面平面，平面平面，， 平面，则平面，因为平面，则， 又因为平面，则，故四边形为矩形， 且，则， 因为，则，则， 所以， 所以球的表面积为； 第二空： 因为等边的外心为点，，则，，又，， 则， 当过点的截面与垂直时，截面圆的半径取最小值， 且， 因此，过的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是. 故答案为：；. 【例1.4.】 四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.35 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】先确定四棱锥外接球的半径，再分析外接球被平面所截的截面圆半径的取值范围，进而得到截面面积的范围. 【详解】由题意可知， 在中，， 故， 在中，， 故， 因此都在以为直径的球面上， 四棱锥的外接球直径就是，得外接球半径，球心为中点， 又因为，，故是等边三角形，为中点， 由等边三角形三线合一的性质，球心到直线的距离为定值， 对于任意过直线的平面，球心到平面的距离满足：， 所以对应平面，存在且不与其他顶点重合，保留， 若，则球心在平面内，由共线得也在平面内， 此时与重合，不构成四棱锥，故， 由球的截面性质，截面圆半径满足：， 代入的范围得：，故截面面积. 【例1.5.】 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题、根据体积计算几何体的量 【分析】分析翻折后的几何关系，确定外接球的球心和半径，结合截面性质和等体积法求解球心到截面的距离，进而计算截面面积. 【详解】如图所示，    设正方形对角线、交于原点，原正方形边长为， 因此对角线长，可得：. 翻折后，，的垂直关系不变， 因此二面角的平面角为，结合， 可得为等边三角形，. 由于翻折后四个顶点到的距离均为，因此就是三棱锥外接球的球心，外接球半径，. 结合图形和球的截面性质可得：（为截面圆半径，为球心到截面的距离）， 由：由平面，， 因此平面平面，交线为，是直角三角形（），. 因为是边长为2的等边三角形，到的距离为， 所以到平面的高为，则， 又在中，，，等腰三角形的高为， 所以， 由， 代入得：， 所以， 因此截面面积为：. 【例1.6.】 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.15 【知识点】球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】作出辅助线，设该球半径为，利用勾股定理求出，求出，从而确定球心到过点的截面圆的距离，故截面圆半径，得到截面面积的取值范围. 【详解】作平面，则是等边的中心，设是正三棱锥外接球的球心， 点在上，连接，连接并延长交于点， 则.设该球半径为，则. 由，可得， 故. 在中，，解得. 因为点为的中点，所以， 在中，，所以， 设球心到过点的截面圆的距离为，可知， 截面圆半径， 所以截面圆的面积的取值范围为. 故选：B. 题型2：体积、面积、周长、距离的定值问题 【例2.1.】 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、判断正方体的截面形状 【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可. 【详解】如图所示， 连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 同理连接，，，易知平面与对角线垂直， 又平面与对角线垂直，所以平面平面； 又平面平面，平面平面 从而可得，同理可得，又，所以， 同理可得，， 将截面各边展开如图： 由平行关系知，的周长等于为定值； 由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为， 设，则，则的面积， 从而可知是关于的二次函数，不为定值. 【例2.2.】 在正三棱柱中，，P，Q分别为棱，上的动点，则（    ） A．的周长为定值 B．三棱锥B-APQ的体积为定值 C．若，则 D．若平面，则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】对于A，设，计算即可判断；对于B，由即可判断；对于C，取的中点，连接，过作交于点，连接，证明平面，即可判断；对于D，由线面平行的性质定理得，进而即可判断. 【详解】对于A：由点为上的动点，设， 所以，， 所以不为定值，故A错误； 对于B：， 因为平面，所以点到平面的距离为， 所以，故B正确； 对于C：取的中点，连接，过作交于点，连接， 设，所以，因为，所以， 所以，所以， 又，所以， 在正三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为，所以平面， 又平面，所以， 又，平面， 所以平面，因为平面，所以，故C正确； 对于D：连接交于点，连接，由平面， 且平面平面，平面， 所以，又为中点， 所以为中点，即，故D正确. 故选：BCD. 【例2.3.】 （多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据体积桥可确定A正确；作出异面直线所成角，结合余弦定理可求得B正确；将与沿直线展开到同一平面内，根据可求得C错误；过作出平面的平行平面截正方体所得的截面，根据线面垂直关系可确定点轨迹即为正六边形，知D正确. 【详解】对于A，连接， 四边形为正方形，， 平面，平面，， 平面，，平面， 点到平面的距离， 又， ，即三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，延长至点，使得，连接， ，，又， 四边形为平行四边形，， 异面直线与所成角即为（或其补角）， ，，， ， 直线与直线所成角的余弦值为，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如下图所示， （当且仅当为线段与交点时取等号），； ，，； ，为等边三角形，， ， ， 的最小值为，C错误； 对于D，，，，平面， 平面，又平面，； 同理可证得：， ，平面，平面； 取中点，连接， ，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， ，平面，平面平面， 作出平面截正方体所得的截面，其中分别为的中点，则截面平面； 平面，平面， 则当平面时，， 点的轨迹即为正六边形，点的轨迹长度为，D正确. 【例2.4.】 （多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 【答案】AC 【难度】0.37 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题、锥体体积的有关计算、证明线面平行、面面平行证明线面平行 【分析】根据题意，得到点在线段上，证得平面平面，可判定A正确；由，结合锥体的体积公式，可判定B错误；由点的轨迹为线段，可判定C正确；当时，得到为线段的中点，求得，将等边和矩形展开在一个平面上，结合余弦定理，求得的最小值，可判定D错误. 【详解】由其中，且， 可得三点共线，即在线段上， 对于A，连接， 在正方体，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，所以A正确； 对于B，因为在线段上，且平面， 所以，所以B错误； 对于C，因为在线段上，即点的轨迹为线段， 在直角中，可得，所以C正确； 对于D，当时，可得为线段的中点， 此时，， 所以， 又因为在线段上，将等边和矩形展开在一个平面上， 如图所示，设点展开后为点，连接， 在中，可得， 由余弦定理得， 因为，可得，即取最小值为，所以D错误. 【例2.5.】 （多选）在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 【答案】ABD 【难度】0.15 【知识点】余弦定理解三角形、正棱锥及其有关计算、球的截面的性质及计算、求线面角 【分析】设正四面体的面面角为，根据其性质可知，对于，设，则可表示出，进而可表示出，则可判断；对于，根据线面角的定义可求出线面角，以及可用线段表示出，可以看出其只与点到面和平面的距离有关，则可判断；对于，由选项可求出的，根据正四面体的性质可知异面直线的距离是最短的，继而可判断；对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段，根据外接球的半径可以求出横截面积. 【详解】设正四面体的面面角为，根据其性质可知， 对于，做分别垂直平面和平面，设， 作分别垂直，因为， 则可表示出， 进而可表示出， 则，故正确； 对于，根据线面角的定义可求出线面角， 则，所以正负由点位置确定，与点位置无关，故正确； 对于，由选项可求出的， 当最大时即取最小时，由正四面体的性质可知异面直线的距离最小， 最小值为，所以，故错误； 对于，正四面体的外接球球心，过点截球的截面面积最小的条件是截面与线段垂直， 由正四面体的性质可知其外接球的半径为，是正四面体高，则垂直平面， 由正四面体性质可知其高为，且点是的重心，则有 则球心到平面距离为，又因，则， 由余弦定理得： ， 则， 故截面的半径的平方为，截面面积，故正确. 故选： 【例2.6.】 （多选）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱、、相交于点、、，则（    ） A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形 C．当时，截球所得截面的周长为 D．，使得四边形为等腰梯形 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】由线面平行求线段长度、多面体与球体内切外接问题、球的截面的性质及计算 【分析】利用面面平行的性质推导出四边形为平行四边形，可判断D选项；计算出，可判断A选项；证明出，可判断B选项；计算出球心到平面的距离，计算出截面圆的半径，结合圆的周长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，平面平面， ，同理可得，所以，，同理， 所以，四边形为平行四边形，则，， 因为，则，同理， 所以，，因此，四边形的周长为定值，A对； 对于B选项，取线段的中点，连接、， 因为，为的中点，所以，，同理， 因为，所以，平面，平面，， 当时，则， 因为，，，， 所以，四边形为正方形，B对； 对于C选项，将正四面体补成正方体， 则正方体的棱长为， 该正方体的体对角线为， 所以，线段的中点为正四面体的外接球球心，则球的半径为， 因为且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为，平面，平面，平面， 因为，则，因为平面，平面，平面， 因为，所以，平面平面， 设平面分别交棱、、、于点、、、，连接、、、， 因为平面平面，平面平面，平面平面，， 同理，因为，，同理， 所以四边形为平行四边形， ，，则，则，， 因为点到平面的距离为， 易知平面与平面之间的距离为， 所以，球心到平面的距离为， 所以，球被平面所截的圆的半径为， 因此，当时，截球所得截面的周长为，C对； 对于D选项，由A选项可知，四边形必为平行四边形，D错. 故选：ABC. 题型3：体积、面积、周长、距离的最值与范围问题 【例3.1.】 在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、棱锥表面积的有关计算 【分析】先算固定面面积，再通过二面角表示可变面面积，利用二次函数求其最值，相加可得表面积的最大值. 【详解】 已知，即、均为边长为的等边三角形， 根据等边三角形面积公式（为边长）：， 因此，两个固定面的面积和为：； 取的中点，连接、， 由等边三角形“三线合一”的性质：，（三线合一）， 因此是二面角的平面角，记（）， 在中，，， 由勾股定理： 连接，在中，由余弦定理可得 在中，已知，，， 再由，得 ， 因此： 化简得： 由对称性可知，因此两个可变面的面积和为： 令，由得， 则需最大化二次函数： 该二次函数的二次项系数，开口向下，对称轴为： 对称轴 ，代入得 的最大值： 因此，可变面面积和的最大值为： 三棱锥表面积 ，代入最大值得： 三棱锥表面积的最大值为. 故答案为：. 【例3.2.】 如图，为圆锥的底面圆的直径，，，为的中点，点是圆上的动点（点、在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】三角形面积公式及其应用、锥体体积的有关计算、求点面距离 【详解】在中，，，. 所以，且. 所以. 因为. 所以当即时，的面积最大. 此时. 所以，所以. 所以. 又，所以. 所以. 又. 设点到平面距离为， 则. 【例3.3.】 （多选）如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（    ） A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为 B．三棱锥体积为定值 C．周长的最小值为 D．棱AB上总存在点E，使得直线平面 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行 【分析】选项A. 因为D是棱中点，求出，则，利用棱锥的体积公式求解；选项B. 由得到到平面的距离等于到平面的距离，取的中点，求出是到平面的距离，由是正三角形求出的长度，求出,则，利用棱锥的体积公式求解；选项C. 借助侧面展开图求出，在正三棱柱中的长度，从而得到周长的最小值；选项D. 在上取一点，使得，则四边形是平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. 【详解】选项A. 因为D是棱中点，，所以， 是正三角形，， ， 三棱锥的体积为，故选项A正确； 选项B. ，到平面的距离等于到平面的距离， 取的中点，连接，是正三角形，， 又平面，平面，， ，平面，是到平面的距离， 是正三角形，，， , ， 故三棱锥体积为定值，故选项B正确； 选项C. 侧面展开图为： 由侧面展开图可得， 在正三棱柱中, 则的周长为， 故周长的最小值为，故选项C错误； 选项D. 在上取一点，使得，则， 当时，四边形是平行四边形， 故，平面，平面，则平面， 故选项D正确. 【例3.4.】 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算、求二次函数的值域或最值 【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得周长的取值范围． 【详解】过点在平面内作，垂足为，如下图    易知，， 由勾股定理可得，则由题可得， 设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为， 因为平面，当平面，取最大值，即，所以， 所以平面截得球的截面面积最小值为． 由题可知，点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面射影为， 如图：    则，， 由勾股定理可得，令，则，其中， 所以， 所以， 因此，所以周长的取值范围为． 故答案为：； 【例3.5.】 在中，，，点为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当折起后三棱锥的体积最大时，求________，此时二面角的正切值为________. 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、锥体体积的有关计算、求二面角 【分析】设，利用表示三棱锥的体积，借助三角函数的值域求体积的最大值及对应的，根据线面垂直，结合二面角的定义可得为二面角的平面角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】如图： 因为为直角三角形，且，，所以. 设（），过作，交直线于点，则. 在中，由正弦定理，. 所以. 当平面平面时，三棱锥的高最大，为. 所以 设，因为，所以，则. 所以. 因为在上单调递增，所以. 所以（当时取等号）. 此时取得最大值，为. 此时，如下图： 因为为中点，因为，所以与重合，所以平面. 取中点，连接,， 因为，所以， 由于平面，平面,故, 平面，所以平面， 平面，故， 所以为二面角的平面角. 在直角中，，， 所以. 故答案为：； 【例3.6.】 已知三棱锥中，两两垂直，.若此三棱锥的体积为定值，当点到平面距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点面距离、求线面角、三元基本（均值）不等式 【分析】设，，点到平面距离为，进而结合和等体积法得，再根据基本不等式求解可得当且仅当时等号成立，再根据计算即可得答案. 【详解】解：设，， 因为，两两垂直，即，平面， 所以平面， 所以，三棱锥的体积为，是定值， 所以， 所以，， 所以，中边上的高为， 所以，的面积为 设点到平面距离为， 所以，， 所以，， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，，当且仅当，即时等号成立， 设直线与平面所成角为，则 . 故答案为： 题型4：线段之和的最值问题 【例4.1.】 在直三棱柱中，，点是直线上一动点，则的最小值是_________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】棱柱及其有关计算、棱柱的展开图及最短距离问题、余弦定理解三角形 【分析】连接，沿将展开与在同一个平面内，在上取一点与构成三角形，由三角形两边之和大于第三边，可知的最小值是的连线，再利用余弦定理可得解. 【详解】连接，沿将展开与在同一个平面内，在上取一点与构成三角形， 由三角形两边之和大于第三边，可知的最小值是的连线， 因为直三棱柱中， ，，， 所以矩形是边长为的正方形，则， 又在矩形中，，则， 又，所以，则， 在中，利用余弦定理可得： 故答案为： 【例4.2.】 在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】连接，，将平面和平面展开到同一平面，进而可求解. 【详解】 如图1，连接，， 将平面和平面展开到同一平面， 如图2，连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 所以.重合时，取等号. 则的最小值是. 【例4.3.】 在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 【答案】/ 【难度】0.38 【知识点】求异面直线的距离 【分析】根据“胡不归”模型的概念，将转化为点到面的距离，进而判断最小值时的情况，再根据两角和的正弦公式，即可求出结果. 【详解】当D不在直线AC上时，过点作于H，连接AH，在正三棱柱中， 平面ABC，则，所以平面，， 所以，，所以当取最小值时，D在AC上， 如图所示，将在平面中绕点向下旋转得直线，作， 则，则的最小值等价于的最小值， 过作于，可知， 可知，，所以，，， 则， ，即，解得， 所以，所以的最小值为. 【例4.4.】 已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】首先利用球面上点的特点转化，作交于，通过作二面角的平面角，将转化为，在平面展开图中，通过化曲为直，继续转化，根据梯形的中位线公式求出的值即可得解. 【详解】 如图1，易知为正方体的中心，球的半径，. 所以. 连接交于，可知是二面角的平面角. 在中，. 对于上一点，当时，取得最小值， 此时，作交于，连接， 可知也是二面角的平面角， 在中，，所以. 如图2，将平面沿直线翻折，使之与平面重合. 作于，交于点， 则有，当且仅当与重合时等号成立. 作交延长线于，则为等腰直角三角形， ，所以， 所以. 故答案为： 【例4.5.】 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，点为正方形的中心，若点为直线上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】立体几何中的轨迹问题、求线面角、余弦定理解三角形 【分析】利用条件先确定点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（在平面内），通过将平面翻折到平面，与的对应点为与.由几何性质可知，而的最小值即可由余弦定理和二倍角公式计算得到. 【详解】如图，在正方体中，平面，直线与平面所成的角为（是在底面的射影）， 在中，，则 ，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（在平面内）． 将平面沿着翻折至平面，使其与平面共面，翻折后与的对应点为与.如图所示） 由几何性质可知（当且仅当在与的交点时取等号）． 在中，， 则， 由余弦定理， ， 所以的最小值为． 【例4.6.】 （多选）已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，且，则的最小值为 B．若，且，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.3 【知识点】棱锥的展开图、面面平行证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、， 因为为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段， 延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点，则点为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以 ， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 题型5：空间角问题 【例5.1.】 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【难度】0.42 【知识点】求线面角 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 【例5.2.】 已知三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，平面，，，则二面角的正切值最小为________． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】基本不等式求积的最大值、多面体与球体内切外接问题、求二面角 【分析】设三棱锥的外接球的半径为，，，根据条件，将三棱锥放置到长方体中，从而可得，过作交于，根据条件可得到为二面角的平面角，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】设三棱锥的外接球的半径为，，， 因为平面，，且，将三棱锥放置到如图所示的长方体中， 由长方体的性质知， 又，得到，所以， 过作交于，连接， 因为平面，平面，所以， 又，，，平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 又由，得，当且仅当时，等号成立， 所以， 则，即二面角的正切值最小为， 故答案为：. 【例5.3.】 （多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ） A．直线平面 B．三棱锥体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求线面角、证明线面垂直、求异面直线所成的角、锥体体积的有关计算 【分析】线面垂直的判定；线面平行的时候，顶点在线上，底面在平面内的时候，体积不变，因为高没变；计算异面直线的夹角的取值范围；线面夹角可以通过线的平面法方向的夹角来确定. 【详解】如下图所示，对于A： 因为 底面，底面，故，又因为 ，，故平面，又因为平面，故， 同理可得，而，故平面 ，故A正确； 对于B： 因为 而平面 ，平面，所以三棱锥体积为定值，故B正确； 对于C： 因为 ，所以异面直线AP与 所成的角，就是AP与所成的角，它的取值范围是 ，故C错误； 对于D： 延长 交于，过作，所以 就是异面直线和的夹角.因为直线平面，所以直线 与平面所成角与互为余角，当P点到达 (或) 的时候，由于 ()，异面直线与所成角为 ()，此时，它们的角最大，余弦值最小，故直线与直线所成角的余弦值的最小值为 ，即直线与平面所成角的正弦值的最小值为，故D正确. 故选：ABD 【例5.4.】 如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面平面： ②与的夹角为定值： ③三棱锥体积最大值为： ④点的轨迹的长度为. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、证明面面垂直 【分析】对于①由题设结合线面垂直的判定证面，再由面面垂直的判定即可判断正误；②设的中点为，易得，所以或其补角即为与的夹角. 利用余弦定理即可求得；③根据①②的分析，当面时，三棱锥体积最大，易求其最大值；④设的中点为，易得点的轨迹是以为圆心为半径的上半圆，所以点的轨迹长度为 【详解】对于①：由题意知，为等边三角形，点是边的中点 ，，平面， 平面，又平面， 所以平面平面，故①正确； 对于②：设的中点为，易得 所以或其补角即为与的夹角. 在中， 由余弦定理可得， 所以，所以与的夹角为 .故②正确； 对于③：由上分析知：翻折过程中当面时，三棱锥体积最大，此时，故③错误； 对于④：设的中点为，则，点的轨迹是以为圆心为半径的上半圆，所以点的轨迹长度为，故④正确.    故答案为：①②④. 【例5.5.】 已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】线面角的概念及辨析、求线面角、二面角的概念及辨析、求二面角 【分析】过作，垂足为，先根据二面角的定义作出二面角的平面角，再由最小角定理分析出当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值，分别求出的值，即可求出. 【详解】 如图所示，过作，垂足为，作交于点，连接. ，，. ，，平面. 平面，， 就是二面角的平面角，. ，为垂足， 为在平面β内的射影， 就是与平面β所成的线面角. 由最小角定理可知是与平面β内的任意一条直线所成角中的最小角， B为β内异于O的任意一点， 当且仅当与重合时，取到最小值， 此时取到最大值. 在中，，. 由勾股定理可得. 又，，. 在中，. 【例5.6.】 如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、求线面角、求二面角 【分析】先根据已知条件得出为等腰直角三角形，为一个角为的直角三角形，再通过作垂线构造出与平面所成角以及锐二面角的平面角，然后利用几何关系得到，从而将转为关于的表达式，最后利用基本不等式得出最大值. 【详解】因为，所以为等腰直角三角形，取中点， 则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以， 故是直角三角形，为直角，又，可得， 作，垂足为，因为平面平面，平面平面， 所以平面， 则即为与平面所成角，再作，因为平面， 所以，又，故平面，于是有， 从而即为锐二面角的平面角，而由及 可得，所以，即， 得，因为为线段上的动点且不含端点， 可知，所以， 等号在即时取得，所以的最大值为. 【例5.7.】 边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】作交于点，连接，根据平行和二面角，设，根据余弦定理计算范围； 【详解】如图，作交于点，连接． 则，于是． 设，则． 从而 故选：D． 【例5.8.】 如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 【例5.9.】 （多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.38 【知识点】求异面直线所成的角、线面角的概念及辨析、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据定义分别作出 ， ， ，再利用三角函数值域以及单调性即可得出AD正确，分别假设三棱台趋近于棱柱或者高为0时，可得的大小无法比较. 【详解】取的中点为，连接 ，作 ，垂足为，连接 ，如下图所示： 根据正三棱台性质可得 ，又因为 ，且 平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以， 又因为 ， ，且 平面， 所以平面， 依题意可知直线与直线所成角为 ， 直线与平面所成角为 ，二面角的平面角为 ； 易知，且， 即可得 ，所以 ，因此可得A正确，D正确； 又因为当三棱台趋近于三棱柱，且点趋近于点时，此时 ，可得； 当三棱台的高趋近于0，且点趋近于点时，此时 ，可得； 所以的大小无法比较，因此选项B错误，C错误. 题型6：立体几何中的交线问题 【例6.1.】 以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】弧长的有关计算、球的截面的性质及计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先在正四面体中求出高，判断出底面与球相交，交线是一个圆，进而求出底面圆的半径为，即可求出球与底面相交的交线长；然后在侧面在三个侧面等边三角形中，求出到对边中点的距离都是，即可得知每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径，圆心角为的圆弧， 算出三个侧面与球相交的总弧长，即可求出交线P的总长度. 【详解】    如图所示的正四面体，棱长为6，设底面中心为， 在等边中，为边的中点， 可知， 所以在中，求得正四面体的高 ， 所以正四面体的底面与球相交，交线是一个圆，圆心恰为， 设底面圆的半径为，则， 所以球与底面交线的周长为. 在三个侧面等边三角形中， 到对边中点的距离都是，例如， 所以每个侧面与球的交线是以为圆心，以为半径， 圆心角为的圆弧，所以弧长为， 所以三个侧面的总弧长为. 所以交线P的总长度为. 故答案为： 【例6.2.】 已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】正棱锥及其有关计算、棱锥中截面的有关计算、球的截面的性质及计算、证明线面垂直 【分析】由题意可得以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线，其中表面，的交线相同，取的中点，连接，过作‖，过作‖，过作于，连接，可证得平面，所以可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的表面，，有交线， 取的中点，连接，过作‖，过作‖，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为2， 所以， 所以, 所以，得， 因为，所以, 所以以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以弧的长为， 同理可得以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，2为半径的球与四棱锥的表面的交线为点为圆心，为半径的四分之一圆，弧的长为， 所以以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 ， 故答案为： 【例6.3.】 已知正三棱锥中，，为底面正三角形的中心，以为球心，半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交的所有交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】正棱锥及其有关计算、球的结构特征辨析、球的截面的性质及计算 【分析】先根据正三棱锥的性质找出相关线段的垂直关系，确定一些关键线段的长度；然后分别求出球与正三棱锥不同面相交所得圆弧的半径和圆心角；最后根据弧长公式计算各段圆弧的长度，进而求出球面与正三棱锥表面相交所得到曲线的总长度. 【详解】因为正三棱锥，如图1，设中点为，连接. 根据正三棱锥的性质，顶点在底面上的射影在底面三角形的中心，且等腰三角形三线合一， 所以，（是侧面等腰三角形的高，是底面正三角形ABC边AB上的高）. 过作，交于，由于，，，可得平面， 又平面，所以，而，且都在平面内，所以平面. 已知为线段CH上靠近的三等分点，，，那么. 在中，可得. 根据三角形面积公式，可得，则，故， 如图2，球与的交线为以为圆心，以为半径的圆在内部的三段圆弧. 因为正三棱锥底面是正三角形，其中心到三边的距离相等， 所以每段圆弧所对的圆心角为，每段弧长为，三段弧长之和为.   如图3，球与的交线为以为圆心，以为半径的圆在内部的一段圆弧. 若，由题设易知为等腰直角三角形，则， 所以是等腰直角三角形，则， 所以且，故且， 所以，可得，结合对称性易得，且，则， 所以在内部的弧线为以为半径的圆弧的四分之三，其弧长为.   因为有三段球与交线的圆弧和三段球与交线的圆弧（正三棱锥有三个侧面和一个底面）， 所以球面与正三棱锥的表面相交所得到的曲线的长为.   故选：A. 【例6.4.】 在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】球的截面的性质及计算 【分析】根据题意，作图，分别求出球面与正六棱柱各个面所交的弧线的长度之和，可计算得到答案. 【详解】因为球的半径为2，所以球不与侧而及侧面相交， 连接．由题得，．所以， 所以球与侧面交于点，，与侧面交于点，． 在正六边形中，易得，因为平面，平面． 所以，又，平面， 所以平面，即平面，且，又，． 所以球与侧面的交线为以为直径的半圆，同理可得球与侧面的交线为以为直径的半圆． 由题易得，则球与上底面及下底面的交线均为个半径为的圆． 所以球面与该正六棱柱各面的交线总长为． 故选：D．    【例6.5.】 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（    ）    A．3 B． C． D．2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】结合面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理和性质定理，作出为平面，再运用勾股定理计算平面与直三棱柱的侧面的交线的长度. 【详解】如图，作，为垂足，又， ，平面， 所以平面，连接，过作，交于点， 因为平面，平面， 所以，且，平面， 所以平面，又平面，则， 易知，， 又，且，， 所以，则，即，所以. 连接，过作，交于，因为，所以， 则平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面，则， 因为，，，平面， 所以平面， 连接，则平面就是平面.    由，得，则，所以， 所以. 【例6.6.】 如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________. 【答案】 /0.5 / 【难度】0.4 【知识点】平面的基本性质及辨析、等角定理及其辨析、面面平行证明线线平行 【分析】利用平面基本事实作出直线，进而求出；利用面面平行的性质结合等角定理，再利用和角的正切计算即得. 【详解】在正方体中，是棱的中点， 延长与延长线交于点，连接，则直线即为直线，， 由，得，又，于是， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，， 所以. 故答案为：； 【例6.7.】 已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.22 【知识点】用定义求向量的数量积、棱柱的展开图及最短距离问题 【分析】先根据条件确定点的轨迹，再根据最小可确定点的位置，求出在上的投影，利用平面向量数量积的几何意义求即可. 【详解】由题意可得， 取值最小时，在平面内，球在平面的交线为如图所示的圆弧.    故取值最小时，三点共线， 过点作于，则， 又，故， 所以，解得，从而， 因此. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 立体几何中的压轴小题 目录 题型1：球与截面面积问题 2 题型2：体积、面积、周长、距离的定值问题 3 题型3：体积、面积、周长、距离的最值与范围问题 5 题型4：线段之和的最值问题 6 题型5：空间角问题 7 题型6：立体几何中的交线问题 9 题型1：球与截面面积问题 【例1.1.】 已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，三棱锥的体积为，为的中点，则过点的平面截球所得截面面积的最小值是______. 【例1.2.】 在三棱锥中，已知，，平面平面ACD，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，E、F分别在线段OB、CD上运动（端点除外），，当三棱锥的体积最大时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为_____. 【例1.3.】 如图，是边长为的正三角形的一条中位线，将沿翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________；过靠近点的三等分点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是___________ 【例1.4.】 四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（   ） A． B． C． D． 【例1.5.】 已知正方形的边长为，将沿对角线翻折，使二面角的大小为，则平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 已知正三棱锥的外接球为球，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面图形面积的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型2：体积、面积、周长、距离的定值问题 【例2.1.】 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（    ） A．为定值，为定值 B．为定值，不为定值 C．不为定值，为定值 D．不为定值，不为定值 【例2.2.】 在正三棱柱中，，P，Q分别为棱，上的动点，则（    ） A．的周长为定值 B．三棱锥B-APQ的体积为定值 C．若，则 D．若平面，则 【例2.3.】 （多选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A．三棱锥的体积为定值 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．的最小值为 D．点在正方体表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【例2.4.】 （多选）已知正方体的棱长为1，，其中，且，则下列选项正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的轨迹长度为 D．当时，取最小值 【例2.5.】 （多选）在棱长为的正四面体中，，分别为棱和（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成角分别为，，则（   ） A．点到平面和平面的距离之和是定值 B．的正负由点位置确定，与点位置无关 C．的最大值为 D．正四面体顶点在球的球面上，当时，则过点截球的截面面积最小值为 【例2.6.】 （多选）已知正四面体的棱长为，其外接球的球心为．点满足，过点作平面平行于和，设分别与该正四面体的棱、、相交于点、、，则（    ） A．四边形的周长为定值 B．当时，四边形为正方形 C．当时，截球所得截面的周长为 D．，使得四边形为等腰梯形 题型3：体积、面积、周长、距离的最值与范围问题 【例3.1.】 在三棱锥中，，都是等边三角形，且，则三棱锥表面积的最大值为________． 【例3.2.】 如图，为圆锥的底面圆的直径，，，为的中点，点是圆上的动点（点、在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 （多选）如下图，在正三棱柱中，，D是棱上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（    ） A．若D是棱中点，则三棱锥的体积为 B．三棱锥体积为定值 C．周长的最小值为 D．棱AB上总存在点E，使得直线平面 【例3.4.】 如图，球内切于圆柱，圆柱的高为，为底面圆的一条直径，为圆上任意一点，则平面截球所得截面面积最小值为__________若为球面和圆柱侧面交线上的一点，则周长的取值范围为__________．    【例3.5.】 在中，，，点为斜边上的一点，沿直线将折起形成二面角.当折起后三棱锥的体积最大时，求________，此时二面角的正切值为________. 【例3.6.】 已知三棱锥中，两两垂直，.若此三棱锥的体积为定值，当点到平面距离最大时，直线与平面所成角的正弦值为_______. 题型4：线段之和的最值问题 【例4.1.】 在直三棱柱中，，点是直线上一动点，则的最小值是_________. 【例4.2.】 在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【例4.3.】 在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是_________． 【例4.4.】 已知正方体的棱长为1，球与正方体的各面均相切，为球上一点，，分别为，上的点，则的最小值为________. 【例4.5.】 已知正方体的棱长为1，为平面内一动点，且直线与平面所成角为，点为正方形的中心，若点为直线上一动点，则的最小值为__________． 【例4.6.】 （多选）已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，且，则的最小值为 B．若，且，则的最小值为 C．若，则的最小值为 D．的最小值为 题型5：空间角问题 【例5.1.】 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【例5.2.】 已知三棱锥的顶点，，，均在半径为的球面上，平面，，，则二面角的正切值最小为________． 【例5.3.】 （多选）在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的有（    ） A．直线平面 B．三棱锥体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最小值为 【例5.4.】 如图，已知菱形中，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，则在翻折过程中，给出下列四个结论：    ①平面平面： ②与的夹角为定值： ③三棱锥体积最大值为： ④点的轨迹的长度为. 其中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②④ 【例5.5.】 已知二面角的大小为，，，且，B为β内异于O的任意一点，且的最大值是，则（   ） A． B． C． D． 【例5.6.】 如图，在三棱锥中，，，平面平面．若为线段上的动点（不含端点），记与平面所成角为，锐二面角的平面角为，则的最大值为______． 【例5.7.】 边长为的正方形和正方形所在的两个半平面所成的二面角为分别是对角线和上的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例5.8.】 如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【例5.9.】 （多选）如图，在正三棱台中，为的中点，是上的动点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则下列关于的大小，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型6：立体几何中的交线问题 【例6.1.】 以点O为球心，半径为的球的表面与以点O为顶点，棱长为6的正四面体表面的交线为P，则P的总长度为________． 【例6.2.】 已知正四棱锥的所有棱长均为2，以点为球心，2为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为__________. 【例6.3.】 已知正三棱锥中，，为底面正三角形的中心，以为球心，半径作一个球，则球面与正三棱锥的表面相交的所有交线的总长为（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 在正六棱柱中，，为棱的中点，则以为球心，2为半径的球面与该正六棱柱各面的交线总长为（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点，过点作与垂直的平面，且平面与该三棱柱的侧面的交线为线段，则（    ）    A．3 B． C． D．2 【例6.6.】 如图，在正方体中，是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与所成的角为，则__________，__________. 【例6.7.】 已知直三棱柱，为等腰直角三角形，，以点为球心、半径为2的球与此直三棱柱表面相交，交线为，点为上的动点，当取最小值时，此时的值为（ ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $