23.4实际问题与一次函数 同步达标测试题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 立足一次函数实际应用，以汽车耗油、共享电动车收费等生活情境为载体，覆盖概念理解、图像分析及综合应用，适配新授课巩固与模型意识、应用意识等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|一次函数关系式建立（如油箱油量）、图像信息提取（如营销收入）|结合旅行社优惠对比（第3题），考查分类讨论能力| |填空题|8/24|分段函数应用（如行李费）、几何与函数综合（如折叠问题）|通过商品日销量图像（第14题），强化数形结合思想| |解答题|7/72|实际问题建模（如童装销售）、方案优化（如机器人分拣）|以共享电动车收费（第19题）、快递公司方案设计（第22题）为载体，提升综合应用与推理能力|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．某公司市场营销部的个人收入与其每月的销售量成一次函数关系.如图，由图中给出的信息，预测营销人员销售2万件时的收入是（　　） A．3100元 B．13000元 C．12900元 D．28000元 3．某校校长暑假带领学生去井冈山旅游．甲旅行社提出：若校长买全票价一张，则其余学生可享受半价优惠．乙旅行社提出：包括校长在内全部按全票价的六折优惠．若全票价为240元，下列说法错误的是（    ） A．当学生人数为4时，两家旅行社一样优惠 B．当学生人数为10时，甲旅行社更优惠 C．当学生人数为30时，甲旅行社更优惠 D．当学生人数为5时，乙旅行社更优惠 4．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体质量间有如下关系，下列说法中不正确的个数是（ ） 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 （1）y是x的函数，此函数的图像是条直线． （2）所挂物体的质量为时，弹簧长度为， （3）弹簧的长度增加，所挂物体质量增加， （4）弹簧不挂重物时的长度为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．甲、乙两个工程队修建一条公路，先由甲工程队施工一段时间，乙工程队再加入一起施工，公路修建的长度与施工的时间（天）之间的函数关系图象如图所示，则甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是（   ） A． B． C． D． 6．一种电子游戏，电子屏幕上的平面直角坐标系内有两个点，已知点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图像上运动，当出现点与线段构造成为直角三角形时，就会发出警报，则点在一次函数的图像上运动一次会发出警报的次数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，平面直角坐标系中，点A坐标为，点B坐标为，点P是x轴上一动点，若有最小值，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点G是的中点，点H在上，动点P沿图1的边线匀速运动，运动路径为：，相应的的面积y（）关于运动时间x（s）的函数图象如图2，则下列选项中正确的是（   ） A． B．若，则 C． D．若，则函数过点 二、填空题（满分24分） 9．某人开车由运城出发前往的目的地太原，车速为时，则他距太原的路程与行驶的时间x小时之间的关系式为__________． 10．在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标依次为、、，若经过点B的一次函数的图象将三角形ABC的面积分成相等的两部分，则m的值为________． 11．某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … （元） … 4 6 8 … 则旅客最多可免费携带行李的质量是______kg． 12．如图，折线为视频通话需付的费用（单位：元）与通话时间（单位：）之间的函数关系图象，则通话需付_________元． 13．如图，直线l与坐标轴相交于A，B两点，，，点C为线段上一点，将沿所在直线翻折，点B的对应点为点D，当时，直线的函数关系式为________． 14．某种商品的日销售量（单位：件）与上市时间（单位：天）之间的函数关系的图象如图所示．当销售到第____________天时，日销售量为30件． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C，点E在线段上，过点E作x轴的垂线与直线交于点F，与x轴交于点D，且，则的面积为____________________ ． 16．已知，两地相距，甲、乙两人沿同一条公路从地出发到地，甲骑摩托车，乙骑自行车．图中，分别表示甲、乙离开地的路程（单位：）与乙离开地的时间（单位：）的函数关系，则乙出发__________被甲追上． 三、解答题（满分72分） 17．金百超市经销某品牌童装，单价为每件50元时，每天销量为60件，当单价每件从50元降了20元时，一天销量为100件．设降x元时，一天的销量为y件．已知y是x的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)若某天销售童装80件，则该天童装的单价是多少? 18．某地实行峰谷分时电价政策，具体电价如下表所示： 时段 电价（元/千瓦时） 谷段（晚上~次日） 峰段（白天~） 某小型加工厂白天总用电量为千瓦时/天，为了降低用电费用，安装了某种蓄电池，将谷段时的低价电量储存起来，白天峰段时先使用储存电量，用完后，不足部分使用峰段时间的电量．每月按天计算，设每晚谷段储电千瓦时（），每月总电费为元． (1)写出与之间的函数解析式； (2)若该加工厂每晚储电千瓦时，求每月总电费． 19．共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向3～10km的出行市场，现有A、B两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2． (1)B品牌10分钟后，每分钟收费 　　元； (2)写出A品牌的函数关系式为 ； (3)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为20km/h，小明家到工厂的距离为6km，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢？ (4)直接写出两种收费相差1.4元时x的值是 ． 20．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏（如图1），并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每记录一次箭尺读数（箭尺最大读数为）．通过记录实验数据得知箭尺读数和供水时间近似满足一次函数的关系，当时，；当时，． (1)如图2，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间，纵轴表示箭尺读数．画出时的函数图象； (2)求出这个函数表达式； (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么到下午时，箭尺读数增加了多少？ 21．已知直线与直线交于点，且直线与轴交于点． (1)求直线解析式； (2)求点的坐标； (3)如图，直线的图象交轴于点，交轴于点，点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，当点的坐标是时求的面积． 22．某快递公司为减少人力、提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表，根据信息解答： 型号 甲 乙 每台每小时可分拣快递件数（件） 800 600 每台价格（万元） 5 3 (1)方案一：若该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人若干台，需总费用28万元，且这些机器人每小时可分拣快递5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？ (2)方案二：若该公司每小时需分拣快递总件数不少于8700件，现公司计划购买这两种型号的机器人共12台．请你帮助解决：需购买几台甲种型号的机器人，使得购买这12台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ 23．数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“平面直角坐标系”为背景开展探究活动．如图，已知四边形是平行四边形，点、点，连接，并延长交轴于点． (1)观察发现：直线的函数表达式为________． (2)探究迁移：若点P从点C出发，以2个单位/秒的速度沿x轴向左运动，同时点Q从点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴向右运动，P、Q均在线段上，过点作轴垂线交直线于点，过点作轴垂线交直线于点，连接，猜想四边形的形状（点P，Q重合除外），并证明你的结论； (3)拓展应用：在（2）的条件下，当点P运动多少秒时，四边形是正方形？不需说明理由，请直接写出你的结果． 参考答案 1．D 【分析】剩余量=原有油量工作时间内耗油量，把相关数值代入即可． 【详解】由题意得，每小时耗油5升，则工作时内耗油量为 剩余油量 故选D． 【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，得到剩余油量的关系式是解题的关键． 2．B 【解析】略 3．D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据两个旅行社的不同优惠方案列出函数关系式． 设学生人数为，比较甲、乙旅行社的总费用：甲费用为，乙费用为，分别令，，，即可求出优惠的方案，从而进行判断． 【详解】解：设学生人数为， 则甲旅行社收费，乙旅行社收费， 令，则，即； 令，则，即； 令，则，即， 所以人数大于时选甲旅行社，等于时选甲、乙均可，小于时选乙旅行社． A、当学生人数为时，两家旅行社一样优惠，说法正确，不符合题意； B、当学生人数为时，甲旅行社更优惠，说法正确，不符合题意； C、当学生人数为时，甲旅行社更优惠，说法正确，不符合题意； D、当学生人数为时，甲旅行社更优惠，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格数据，弹簧长度与物体质量满足线性关系，据此逐一判断各说法的正确性，正确求出一次函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：由表格数据可得，当每增加时，的值增加，即与之间存在线性关系，y是x的函数， 设函数为，代入，可得， 解得：， 即， 故其函数图象为线段，故说法（1）错误； 当时，，故说法（2）不正确； 由表格可得弹簧的长度增加，所挂物体质量增加，故说法（3）不正确； 由表格可得弹簧不挂重物时的长度为，故说法（4）正确； 故不正确的说法有（1）（2）和（3），共3个， 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，先理解题意，再设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，然后将点代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，将点代入， 得， 解得， ∴， 把代入， ∴， ∴甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是， 故选：A 6．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的定义，根据题意画出图形，然后分当时，当时，如图，当或时，三种情况即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵点的坐标为，点的坐标为，点在直线上， ∴当时，，即时，， ∴； 当时，，即时，， ∴； 如图，当或时， ∴有两个点， 综上，有个点使为直角三角形，发出次警报， 故选：． 7．D 【分析】本题考查的是轴对称的性质，一次函数的应用，两点之间线段最短，如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点，当P与重合，此时最小， ∵点A坐标为， ∴点， 设为， 根据题意得， 解得， ， 当时，， 解得， ∴点P坐标为． 故选：D 8．B 【分析】由E到F时间未知，所以无法表示，所以不能确定与的大小关系，即可判断A错误； 先确定点的纵坐标，再根据，求出点的横坐标，由此得出到需要的时间，从而可求得与比较，即可判断B； 由于不知道到需要的时间，所以不能确定到需要的时间，也就不能确定的位置，所以不一定成立，可判断C错误； 根据，可求得点的坐标，再根据面积关系求得点的坐标，就可判断D． 【详解】解：设动点P沿图1的边线运动速度为， 因为段面积增大，段面积不变，段又增大，到P时最大，段面积又不变，段面积减小， 所以J对应点G，K对应点C，M对应点D，P对应点E，Q对应点F，N对应点H， 由函数图象可知：经历了，经历了，经历了，经历时间未知，经历时间未知，但经历了， 所以函数图象可知，G到C需要，C到D要，D到E要，E到H要， 所以（），（），（），（）， 因为点G是的中点， 所以（）， 因为时间为时，相应的的面积y（）为， 所以，解得：， 所以（）， 当时，， 所以， 当时，， 所以， 所以， 设直线的表达式为， 所以， 解得：， 所以直线的表达式为， 因为速度不变， 所以可用平移得到， 设的解析式为， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 当时，， 所以， 作点关于轴的对称点， 则， 连接， 设的解析式为， 由于，， 所以， 解得：， 所以的解析式为， 因为速度不变， 所以直线可以由直线平移得到， 设直线的解析式为， 当时， ， 此时， 所以， 解得：， 所以直线的解析式为， 当时，， 解得：， 所以此时， 所以到需（）， 所以， 又， 所以此时， 故B正确； 由于不知道到需要的时间， 所以不能确定到需要的时间， 也就不能确定的位置， 所以不一定成立， 故C错误； 若，则， 所以经历了（）， 所以， 所以， 所以H处，， 所以， 故D错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了从函数的图象获取信息，动点问题的函数图象，一次函数图象平移问题，求一次函数解析式，其他问题(一次函数的实际应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 9． 【分析】由题意可得，他距太原的路程于行驶的时间x小时之间的关系式为：，根据两地相距，减去汽车行走的路程即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查直角坐标系中中点坐标公式，待定系数法求一次函数表达式，熟练掌握对应的知识点是解题的关键． 观察一次函数表达式，得出其经过点，且将三角形的面积分成相等的两部分，判断直线过中点，代入函数解析式即可求出． 【详解】∵直线经过点， 且将三角形的面积分成相等的两部分， 故直线经过中点，结合，， 可得出中点坐标为，即， 故点在直线上， 代入得，解得， 故答案为：． 11．10 【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，令y=0时求出x的值即可． 【详解】解：∵y是x的一次函数， ∴设y=kx+b（k≠0） 将x=30，y=4；x=40，y=6分别代入y=kx+b，得 ， 解得：， ∴函数表达式为y=0.2x-2， 当y=0时，0=0.2x-2，解得x=10， ∴旅客最多可免费携带行李的质量是10kg， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量． 12．7.4 【分析】先确定通话对应的是函数图象中射线的部分，通过待定系数法求出射线的函数解析式，再将代入解析式，计算出对应的费用． 【详解】解：设射线的函数解析式为）． 把，代入， 得 解得 射线的函数解析式为． 当时，． 故通话需付7.4元． 故答案为：7.4． 【点睛】本题考查了分段函数的实际应用，掌握 用待定系数法求一次函数解析式，并代入自变量值计算函数值是解题的关键． 13． 【分析】该题考查了一次函数几何综合，折叠的性质，勾股定理等知识点，如图，当时，过点D作轴，勾股定理得，设，则，根据折叠可得，进而得出，，在中，勾股定理求出，，则，待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【详解】解：如图，当时，过点D作轴， 则，， ∵，， ∴， 设，则， 根据折叠可得， ∴， ∴， 在中，， 即， 解得：或0（舍去）， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数关系式为， 则，解得：， 则直线的函数关系式为， 故答案为：． 14．15或45 【分析】分上升阶段和下降阶段分别求出函数解析式，再代入求解对应的． 【详解】解：①当时： 图象过原点和，设解析式为， 代入得：​，解得， ∴解析式为． 令，则，解得（符合要求）． ②当时： 图象过和，设解析式为， 代入两点得： 解得： ∴解析式为． 令，则，解得（符合要求）． 综上，当销售到第​天或天时，日销售量为件． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分段一次函数的解析式求解与应用，解题关键是根据图象的不同阶段分别建立函数模型，再结合函数值求解自变量． 15． 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标．根据两条直线的关系式求出交点坐标，设，则 ，根据列方程求出a值，进而求出结论即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； 设，则，， ，， ， ， 解得：， ， 的面积为， 故答案为：． 16．1.8 【分析】先分别求出甲、乙对应的路程与时间的函数关系式，再联立方程求解相遇（甲追上乙）的时间． 【详解】解：由题意和图可知， 乙的速度为，∴乙的路程函数为． 甲在时出发，设甲的函数为， 代入点和， ， 解得：． ∴甲的路程函数为， 当甲追上乙时，，即：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用（追及问题），解题关键是根据图像求出甲、乙的路程函数关系式，再联立方程求解追及时间． 17．(1)y与x之间的关系式为y=2x+60 (2)该天童装的单价是每件40元 【分析】(1)根据题意先设出y与x的函数关系式y=kx+b，再根据题目中的数据，即可求出该函数的解析式； (2)将y= 80代入(1) 中函数关系式，求出相应的x的值即可． 【详解】（1）因为y是x的一次函数． 所以，设y与x的函数关系式为y=kx+b， 由题意知，当x=0时， y=60 ；当x=20时， y= 100， 所以， 解之得： 所以y与x之间的关系式为y=2x+60 ； （2）当y=80时，由80=2x+60， 解得x=10， 所以50- 10= 40(元)， 所以该天童装的单价是每件40元． 【点睛】本题考查一次函数的应用， 解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数关系式． 18．(1) (2)每月总电费为元 【分析】（1）先根据表格计算出每天的电费，乘以即可得到与之间的函数解析式； （2）将代入（1）中的函数解析式即可． 【详解】（1）解：根据题意，每天消耗的谷段的电量为千瓦时，则消耗的峰段的电量为千瓦时， ∴每天的电费为（元）， ∴每月总电费； （2）解：当时，（元）． 答：每月总电费为元． 19．(1)0.1 (2)y1＝0.2x（x≥0） (3)A品牌 (4)8分钟或34分钟 【分析】（1）根据B品牌的电动车在10分钟后， 10分钟收费为1元，即可求出B品牌的电动车10分钟后每分钟的收费； （2）设A品牌的函数关系式为y=kx+b（x≥0），然后代入点(0,0)和点(20,4)即可求解； （3）先求出小明从家到工厂所用时间为18min，再通过图象可知小于18min时选择A品牌电动车更省钱； （4）当x＝20min时两种收费相同，两种收费相差1．4元时，分20min前和20min后两种情况讨论|y1-y2|=1.4，分别解方程即可． 【详解】（1）解：由图像可知：B品牌的电动车在10分钟后，10分钟收费为1元， 故B品牌电动车在10分钟后每分钟收费为1÷10=0.1元． 故答案为：0.1 （2）解：设A品牌的函数关系式为y1=kx+b（x≥0）， 代入点(0,0)和点(20,4)得： b=0，k=0.2， ∴y1＝0.2x（x≥0）， 故答案为：y1＝0.2x（x≥0）； （3）解：∵6÷20＝0.3（h），0.3h＝18 min， 又∵18＜20， 由图象可知，当骑行时间不足20min时，y1＜y2，即骑行A品牌的共享电动车更省钱， ∴小明选择A品牌的共享电动车更省钱； （4）解：∵当x＝20min时两种收费相同， ∴两种收费相差1.4元时，分20min前和20min后两种情况， ①当x＜20时，离20min越近收费相差的越少， 当x＝10时，y1＝0．2×10＝2，y2＝3， y2﹣y1＝3﹣2＝1， ∴要使两种收费相差1.4元，x应小于10， ∴y2﹣y1＝3﹣0.2x＝1.4， 解得：x＝8； ②设B品牌在x>10的函数关系式为y2=kx+b，代入点(10,3)和点(20,4)， ∴， 解出， ∴ (x>10)， 当x＞20时，0.2x﹣（0.1x+2）＝1.4， 解得：x＝34． ∴在8分钟或34分钟，两种收费相差1.4元． 故答案为：8分钟或34分钟． 【点睛】本题考查了一次函数的图象、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是利用待定系数法求出函数关系式，在解题时注意分类讨论． 20．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）描点，连线即可； （2）利用待定系数法求函数表达式； （3）结合函数关系式，求出和时的函数值，再相减即可． 【详解】（1）解：函数图象如图所示； （2）解：设箭尺读数和供水时间的函数解析式为， 把，代入解析式得，解得， 箭尺读数和供水时间的函数表达式为； （3）上午到下午间隔8个小时， 当时，；当时，， ， 箭尺读数增加了． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）将点坐标代入即可求得； （2）将两直线解析式联立方程组即可； （3）以为底，点到的距离为高求解三角形面积即可． 【详解】（1）解：将点代入直线可得， ∴直线解析式为； （2）解：联立方程组， 解得， ∴； （3）解：∵点在线段上运动，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点，点的坐标是， ∴当时，，， ∴， ∴， 又， ∴点到的距离为， ∴ ． 22．(1)该公司购买甲种型号的机器人买2台，乙种型号的机器人买6台 (2)购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 【分析】（1）设该公司购买甲种型号的机器人买台，乙种型号的机器人买台，然后根据总费用和总分拣量列方程组即可； （2）根据台机器人每小时分拣快递件数总和不少于8700件，列出不等式，求得m的取值范围，设所花总费用元，则，求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人台，乙种型号的机器人台． 则 解得 答：该公司购买甲种型号的机器人2台，乙种型号的机器人6台． （2）解：设需购买甲种型号的机器人台，则乙种型号机器人台 解得，且为整数 设所花总费用元，则． ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为（万元） 答：购买8台甲种型号的机器人，所花总费用最少，最少费用是52万元 23．(1) (2)四边形是矩形，证明见解析 (3)秒或3秒 【分析】（1）利用待定系数法，设直线的函数表达式为，将点、点，代入即可求解； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，根据、的运动情况，分类讨论，可求出与的长，分别代入直线和解析式，进而求出点，坐标，可得出，即可得出结论； （3）根据、的运动情况，分类讨论，求出，利用建立方程即可求出时间． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点、点，代入得， ， 解得， 直线的函数表达式为． （2）解：四边形是矩形，理由如下： 当点在右侧时，如图所示， 点，， 直线的解析式为， 点从点出发，以2个单位/秒的速度沿轴向左运动，同时点从点出发，以1个单位/秒的速度沿轴向右运动，设运动时间为， ，，， ，， 点在直线上，点在直线上，且轴，轴， ，， ， 又 轴，轴， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 当点在左侧时，如图所示， 设经过时间，则，，， ，， 同理可证四边形是矩形． （3）解：当点在右侧时，四边形是正方形，如图所示， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 经过时间，，，， ， 解得， 经过，四边形是正方形． 当点在左侧时且在原点右侧时，四边形是正方形，如图所示， 经过时间，则，，，， 第（2）问已证四边形是矩形， 当时，四边形是正方形， 解得， 此时，即，此时与原点重合，如图所示， 当经过时间时，四边形是正方形． 综上所述，当点运动或时，四边形是正方形． 学科网（北京）股份有限公司 $