第四单元 长方体（二）（举一反三培优讲义+知识卡片）知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册

该小学数学单元复习讲义通过思维导图与知识框架图系统构建知识体系，将数的认识、运算规律、图形特征等核心内容按“概念-法则-应用”逻辑分层呈现，用对比表格归纳易混知识点，突出重难点如进位加法算理与几何直观的结合。 讲义亮点在于“情境化分层练习”设计，如购物找零计算培养应用意识，图形拼组题发展空间观念。错题集锦标注典型错误如数位对齐问题，配套“算理可视化”讲解，基础题巩固运算能力，拓展题如“租车方案设计”渗透模型意识，支持学生自主梳理薄弱点，助力教师实施精准复习教学。

长方体的体积与容积 1.体积(Volume) (1)体积是指物体本身所占空间的大小 D 立方厘米 D 立方分米 立方米 (cm3) (dm3) (m3) (2)测量方法： 1立方厘米相当于 从物体外部测 高 个手指尖的体积 量长、宽、高 宽 长 2.容积(Capacity) (1) 容积是指物体所能容纳物体的 体积大小 升（心）国 0 00 毫升(mL) (2)测量方法： 从容器内部 测量长、宽、高 长 注意：体积和容积的概念不同，测量方法也不同哦！ 。☆ 正方体的体积 1.正方体的体积计算公式 正方体的体积=棱长X棱长X棱长， a 用字母表示为 V=axaxa=a3 读作“α的立方”表示3个a相乘。 2.区分2a、a2和a3 0 000 2) ( 2a=a+a a2=axa a3=axaxa q.q @ D 2a=2Xa, a2=aXa, a3=axaxa, 表示两个a相加 表示两个a相乘 表示3个a相乘 注意：理解并区分它们，计算更准确！多练习哦！ 个 体积和容积的进率与换算 1.体积单位间的进率 ×1000 1dm3 ×1000 1cm 1m3 1dm3 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 2.容积单位间的进率 ×1000 cm 1mL 1升=1000毫升 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 3.体积与容积单位间的换算 4.单位换算 高级单位 y×1000 1m3 ÷进率 低级单位 低级单位 高级单位→低级单位：乘进率； 1立方米=1000升 1立方厘米=1毫升 低级单位→高级单位：除以进率。 注意：记住进率，换算就简单啦！多练习哦！ 长方体的体积 1.长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽X高 用字母表示为V=a×b×h a 长方体的体积=底面积X高 用字母表示为V=S底Xh 2.体积公式变形，反求长、宽、高 长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h a (3) 宽=体积÷长÷高 高=体积÷长÷宽 b=V÷a÷h h=V÷a÷b 注意：记住公式，灵活变形，解决问题更轻松！ ，。☆ 体积和容积的单位 1.体积单位 (1)立方米(m3) (2)立方分米 (dm3) 10m3 约3dm3 书本的体积（如字典约3dm) 微波炉的容积、小纸箱的容量 (3)立方厘米(cm3) 9.7 天然气(m3) 房间的空间大小（如10m3的卧室） 冰栢外部体积、天然气用量 股子（约1cm)、药片体积、橡皮 接大小 2. 容积单位 (1)升 (L) (2)毫升(mL) 5 50 10mL 100ml 桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容 眼药水瓶（约10mL)、小瓶装酸奶 量（如50L)、大瓶饮料（如21可乐） (100mL)、口服液剂量（如5mL) 一一 一一一一一一 3.总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升； 固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 )。 体积和容积的区别 1.测量对象 2.单位侧重 0 0 体积：物体本身 容积：容器所能 11 体积：常用立方单 容积：常用升、 所占的空间 容纳的空间 位(cm3,dm2,m) 毫升(L,mL) 3大小关系 4.应用场景 体积 (外部尺寸大) 容积 (内部空间小) 因为容器堂 有厚度！ 体积>容积 11 体积应用：计算 容积应用：计算 物体占地或包装 容器装载液体量 一 注意： 理解区别，根据不同物体选择用 体积还是容积单位哦！ 平 剪角折叠求体积间题 1.原理与计算 原长 a a a 憂 原长方形 a a a 高 =a 剪去边长为a的 正方形 长=原长-2a 宽=原宽-2a 关键：先求出折叠后长方体的长、宽、 0 高，再用体积公式！ 容积=长×宽×高=（原长-2a)×(原宽-2a)×a 注意： 计算时单位要统一，a的最大值不能 能超过原宽的一半哦！ 。久 长方体和正方体的 表面积与棱长护倍关系 1.正方体的表面积与棱长扩倍关系 6a2 如果正方体的棱长扩大到原 nxa n2×6a2 来的n倍，那么它的表面积 就扩大到原来的n倍。 nxa a nXa 例如： 100 棱长×3 棱长扩大3倍， 3×3=9 棱长×10 棱长扩大10倍， 表面积扩大 表面积扩大 32=9倍； 102=100倍。 2.长方体的表面积与棱长扩倍关系 0 m 5H 0 n2S 2W nL 3L (1) 如果长方体的长、宽、高同时扩 (2) 如果长、宽、高分别扩大不同 大到原来的n倍，那么它的表 倍数，那么表面积的变化需要 面积就扩大到原来的n2倍。 重新计算各面面积之和。 注意：理解扩倍关系，计算表面积变化更迅速！多练 不规则及组合立体图形 的表面积和体积个 一、求表面积：分析组合面 在求与长方体、正方体有关的 不规则立体图形时，注意分析 该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 表面积=面1+面2+面3+…。 二、求体积：加法与减法 加法 减法 (组合法) 体积= (组吉法) 体积=整体体积 体积1+体积2 空白部分体积 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即 将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 注意：计算时要仔细分析，不要漏算哦 排水法求不规则物体体积 1.原理与核心思想 →排水法：物体完全浸没， 排开水的体积=物体体积。 不 本质：将不规侧转化为 规则！ 水 体积不变原理！ 2.排水法的步骤 V物体=V急-V水 =不规则物体 的体积 1.注入适量水， 2.将物体放入 3.用尺子测量 4.用现在的体积！ 记下水位(N水) 水中，再次记 现在的总水位 减去水的体积 下水位 (a) 注意： 容器要规则， 物体要完全浸没， 不能吸水或溶解哦！ 等积变形问题 1.等积变形问题 0 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积 始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液 体等场景。 记住，体积不 变是关键！ 2.等积变形问题常有以下类型 (1) 熔铸问题 (2)倒水问题 液体倾斜问题 体积不变 体积不变 0000 (1)熔铸问题：将长方 (2)倒水问题：液体 体或正方体金属烙化成 (3)液体倾斜问题： 液体后，再重新铸造成 在不同容器间倒装后，液体在同一容器中倾 其他形状立体图形。 体积不变。 斜，体积不变。 注意：抓住“体积不变”这个核心， 就能轻松解决等积变形问题！ 长方体和正方体的 体积与棱长扩倍关系 1.正方体的体积与棱长扩倍关系 a a al ☆ 正方体的体积与棱长扩倍是立方关系，若棱长扩大a 倍，体积扩大a3倍。例如：a=2,V扩大2=8倍！ 2.长方体的体积与棱长扩倍关系 Vnew= V=LWH (aL)(aW)(aH) aH=a3LWH 长方体的体积与长、完、高的扩倍呈呈乘积关系， 若长、完、高同时扩大a倍，体积扩大a×a×a=a3倍。 例如：a=2,V扩大2=8倍！ 棱长扩大，体积呈立方倍数增加，要记住哦 :排水法求不规则物体体积 3.排水法求不规则物体的体积公式 0 ①V物体=V现在-V原来 放入物体 V原来 V现在 V物体=V现在-V原来 V物体=S×(h现在-h原来) ③V物体=S×h升高 h现在 h升高 h升高 h原来 V物体=S×(h现在-h原来) V物体=S×h开高 © (S是底面积) ☆☆ 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于 不溶于水或不漂浮的物体。 0 第四单元 长方体（二）『举一反三培优考点讲义』 【解析版】 （导图+知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点序列 考点名称 高频考点一 体积的认识 高频考点二 容积的认识 高频考点三 体积单位的认识 高频考点四 容积单位的认识 高频考点五 体积、容积单位的选择 高频考点六 体积（容积）大小的比较 高频考点七 长方体的体积 高频考点八 正方体的体积 高频考点九 体积的等积变形（长方体、正方体） 高频考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 高频考点十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 高频考点十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 高频考点十三 体积与容积单位间的进率及换算 高频考点十四 长方体、正方体的容积 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 高频考点十六 组合体的体积（长方体、正方体） 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二：体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算：1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系：如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系： 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系： 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七：等积变形问题 1. 等积变形问题：在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 体积的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个杯子最多可以盛水250毫升，就是说杯子的（    ）是250毫升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．净含量 【答案】B 【思路引导】容积是容器所能容纳物体的体积，通常用于气体和液体；体积是物体所占空间的大小，计算体积是从外面测量，计算容积是从里面测量；表面积：物体表面的总面积；净含量：通常指包装食品或饮料中实际内容物的量，比如一瓶水的净含量是500毫升。 【完整解答】根据分析可知，一个杯子最多可以盛水250毫升，就是说杯子的容积是250毫升。 故答案为：B 【变式训练】（23-24五年级下·福建泉州·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．淘气家书房的体积约是60m3。 B．一个物体的体积越大，容积也越大。 C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积。 D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积。 【答案】B 【思路引导】根据生活经验以及对体积、容积单位和数据大小的认识，逐一判断选项里的说法是否正确即可。 【完整解答】A.淘气家书房的体积约是60m3，说法正确； B．物体的体积越大，表示其所占的空间越大，所以一个物体的体积越大，而容积是物体里面容量的大小，物体的体积大，里面容量可能小，故说法错误； C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积,说法正确。 D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积，说法正确。 故答案为：B 高频考点二 容积的认识 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）下面盒子中，容积最大的是( )，容积最小的是( )。（填序号） 【答案】 ② ① 【思路引导】观察发现，②号盒子中物品摆放得最密集，说明其内部空间相对较大；①号盒子中物品摆放相对稀疏，说明其内部空间相对较小。据此解答。 【完整解答】根据分析得： 下面盒子中，容积最大的是②，容积最小的是①。 【变式训练】（23-24五年级下·黑龙江大庆·期中）一个密封容器的容积一定小于它的体积。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】体积是指物体所占空间的大小；容积是指容器（杯子、盒子、油桶等）所能容纳物体的体积。据此解答。 【完整解答】容器都是有厚度的，计算容积时要从里面测量；计算体积时要从外面测量。所以一个密封的容器的容积一定小于它的体积。 原题干说法正确。 故答案为：√ 高频考点三 体积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）36立方厘米比36平方厘米大。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】体积单位和面积单位属于不同类的量，无法直接比较大小，据此解答。 【完整解答】由分析可得：立方厘米是体积单位，平方厘米是面积单位，二者属于不同类的量；不同类的量不能直接比较大小。因此，36立方厘米和36平方厘米无法比较，原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期末）圈出4处不合理的计量单位，并在其下方写出正确单位。 清晨，淘气起床，量了下自己的身高，是155厘米。洗漱完毕，他吃了一个体积约为200立方米的面包。随后，淘气前往公园，公园里有个湖，湖水体积约为500立方分米。他沿着周长为400平方米的步道慢跑。结束后，淘气从容积为20立方分米的背包里，拿出一瓶500升的矿泉水补充水分。 【答案】见详解 【思路引导】“他吃了一个体积约为200立方米的面包”，根据手指尖的体积大约是1立方厘米，所以计量一个面包的体积用“立方厘米”作单位比较合适； “湖水体积约为500立方分米”，根据一台小冰柜的体积大约是1立方米，所以计量湖水的体积用“立方米”作单位比较合适； “他沿着周长为400平方米的步道慢跑”，“平方米”是面积单位，周长应用长度单位，根据小学生两臂展开大约1米，所以计量步道的周长用“米”作单位比较合适； “拿出一瓶500升的矿泉水补充水分”，根据20滴水大约是1毫升，所以计量一瓶矿泉水的量用“毫升”作单位比较合适； 据此圈出4处不合理的计量单位，并在其下方写出正确单位。 【完整解答】 高频考点四 容积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）下面三个容器相同，估一估后两个容器中各有多少毫升饮料，填一填。 500mL饮料 大约有( )mL饮料 大约有( )mL饮料 【答案】 750 1000 【思路引导】如图，将杯子的体积平均分成4份，500mL的饮料大概占其中的2份；第二个容器里的饮料大概占其中的3份，第三个容器里的饮料占其中的4份。 【完整解答】1份：（mL） 第二个容器里大约有：（mL） 第三个容器里大约有：（mL） 【变式训练】（23-24五年级上·山西运城·期中）哪种洗发水便宜些？请计算说明。 【答案】大瓶 【思路引导】小瓶钱数÷小瓶容积＝小瓶每毫升钱数，大瓶钱数÷大瓶容积＝大瓶每毫升钱数，据此分别计算出小瓶和大瓶每毫升钱数，比较即可。 【完整解答】小瓶：22.8÷400＝0.057（元） 大瓶：39.9÷750＝0.0532（元） 0.057＞0.0532 答：大瓶洗发水便宜些。 高频考点五 体积、容积单位的选择 【典例精讲】（24-25五年级下·山西吕梁·期中）中国茶文化源远流长，笑笑家茶几上各种茶品蕴含了许多数学学问，请你在括号里填上合适的单位。 的容积约为0.6( )。 的容积为20( )。 这个茶杯垫的体积为0.3( )。 茶夹的体积为12( )。 【答案】 升/L 毫升/mL 立方分米/ 立方厘米/ 【思路引导】一瓶矿泉水的容积大约是500毫升；1立方厘米大约有一个拇指的大小或一颗骰子的大小 茶壶的容积用升来表示比较合适； 杯子用毫升表示比较合适； 茶杯垫体积用立方分米表示比较合适； 茶夹体积很小，用立方厘米表示比较合适。 【完整解答】 的容积约为0.6升。 的容积为20毫升。 这个茶杯垫的体积为0.3立方分米。 茶夹的体积为12立方厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）笑笑出了4道题，请淘气在括号里填上合适的单位，如图所示。 ①一个仓库的容积大约是320（    ）。 ②文具盒里一块橡皮的体积约是250（    ）。 ③一个冰箱的容积约是200（    ）。 ④2025年7月4日凌晨3时，大连市发布暴雨红色预警，在过去2小时内局部地区降水量已达到70－80（    ）。 【答案】②；理由见详解； ①立方米； ③升； ④毫米 【思路引导】常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，装29英寸电视机的纸箱的体积大约是1立方米；常见的容积单位有升和毫升，计量液体的体积常用容积单位，一盒牛奶大约是250毫升，一瓶矿泉水大约是500毫升，一桶食用油大约是5升；常见的长度单位有毫米、厘米、分米、米，一枚1分钱的硬币厚度约为1毫米，食指宽度大约为1厘米，一拃大约1分米，成年人一步的长度大约为1米，则降水量用“毫米”表示比较合适，据此解答。 【完整解答】分析可知，不符合生活实际的是②；因为一块橡皮的体积大约是6立方厘米，题中所给数据不合适。 ①一个仓库的容积大约是320立方米。 ③一个冰箱的容积约是200升。 ④2025年7月4日凌晨3时，大连市发布暴雨红色预警，在过去2小时内局部地区降水量已达到70－80毫米。 高频考点六 体积（容积）大小的比较 【典例精讲】下列说法正确的是（    ）。 A．一升水比一升油体积大 B．如果a×b＝1，那么b是倒数 C．7吨的小于1吨的 D．一个长方体（不含正方体）最多8条棱相等 【答案】D 【思路引导】A．比较体积大小只看数值，数值一样的就一样大； B．单独一个数不能说是倒数； C．求一个数的几分之几是多少用乘法，据此解答； D．长方体有12条棱，当相对的两个面是正方形时，这两个正方形共8条边是相等的。 【完整解答】A．都是1升，体积一样大，原题说法错误； B．如果a×b＝1，那么a和b互为倒数，原题说法错误； C．7吨的和1吨的相等，都是吨，原题说法错误； D．长方体相对的两个面是正方形时，就有8条棱相等，说法正确。 故答案为：D 【变式训练】一滴眼药水的体积一定（    ）1毫升。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 【答案】B 【思路引导】根据生活经验，对容积单位、体积单位和数据大小的认识，可知：10滴眼药水的体积大约是1毫升，据此解答即可。 【完整解答】一滴眼药水的体积一定小于1毫升。 故答案为：B 【考点剖析】此类问题要联系实际，不能和实际相违背。 高频考点七 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最大的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？ 【答案】85立方厘米 【思路引导】要从长方体中削出一个最大的正方体，正方体的棱长必须等于长方体长、宽、高中最短的那条棱的长度。题目中已知长方体的长、宽、高分别为7厘米、6厘米、5厘米，最短棱长为5厘米，因此最大正方体的棱长为5厘米。削掉的塑料块体积等于原长方体体积减去正方体体积。根据长方体体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长进行计算。 【完整解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 答：在这个过程中削掉了85立方厘米的塑料块。 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校的操场是一个长方形，面积为2000平方米。气象小组在操场上放置了一个长方体容器，长、宽、高分别是50厘米、20厘米、40厘米。在一次降雨过程后，容器内的雨水深度为10厘米，如果将操场当作一个大长方体容器，这场降雨在操场上总共可以积聚多少立方米的雨水？（不考虑地面渗透情况） 小科普 在一个地方下雨的时候，各处的降雨高度，也就是降雨量，一般来说是一样的！ 【答案】200立方米 【思路引导】根据题意，容器内的雨水深度即为操场地面上的雨水深度，操场看作一个长方体，底面积是2000平方米，高度就是雨水深度10厘米，把厘米化为米，进率是100，用10除以100，再根据长方体的体积＝底面积×高，把数据代入计算即可。 【完整解答】10÷100＝0.1（米） 2000×0.1＝200（立方米） 答：这场降雨在操场上总共可以积聚200立方米的雨水。 高频考点八 正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）刘师傅要制作一个棱长为1.4米的正方体储物箱，为了增强美观和耐用性，实际使用的外层包装材料面积是其表面积的1.1倍。制作这个储物箱实际需要( )平方米的包装材料，这个储物箱的体积为( )立方米。 【答案】 12.936 2.744 【思路引导】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，实际需要的包装材料是表面积的1.1倍，即表面积×1.1。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【完整解答】1.4×1.4×6×1.1＝12.936（平方米） 1.4×1.4×1.4＝2.744（立方米） 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）如下图所示，把一些同样大小的小正方体堆放在墙角，每个小正方体的棱长是2dm，这些小正方体露在外面的面积是( )dm2；体积是( )dm3。它的占地面积是( )dm2。 【答案】 44 40 12 【思路引导】先数出露在外面的小正方形面的个数分别是：从正面看有4个面，从右面看有4个面，从上面看有3个面，一共看到（4＋4＋3）个小正方形；立体图形的表面积＝每个小正方形的面积×看到的小正方形的个数，根据正方形的面积公式S＝a2，代入数据计算求解； 立体图形由5个小正方体组成，立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解； 立体图形的占地面积＝每个小正方形的面积×底层小正方体与地面接触的面的个数。 【完整解答】露在外面的面积是： 2×2×（4＋4＋3） ＝2×2×11 ＝44（dm2） 体积是： 2×2×2×5＝40（dm3） 它的占地面积是： 2×2×3＝12（dm2） 高频考点九 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后竖放，这时里面的水深是多少厘米？ 【答案】12.5厘米 【思路引导】把长方体的容器竖放后，容器中水的体积没有变，先根据长方体体积＝长×宽×高（水深），求出竖放前水的体积，再除以竖放后容器的底面积即可。 【完整解答】20×10×5÷（10×8） ＝200×5÷80 ＝1000÷80 ＝12.5（厘米） 答：这时里面的水深是12.5厘米。 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）同学们在博物馆参加捏橡皮泥比赛，一位同学先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为8平方分米的长方体。这个长方体的高是多少？ 【答案】8分米 【思路引导】根据题意：橡皮泥在捏制过程中，形状发生了改变，但体积保持不变。先根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，求出橡皮泥的体积；再根据长方体的体积公式：体积＝底面积×高，用体积除以底面积求出长方体的高。 【完整解答】4×4×4÷8 ＝16×4÷8 ＝64÷8 ＝8（分米） 答：这个长方体的高是8分米。 高频考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校的魔方社团要整理学具，乐乐找到了一个长35厘米，宽26厘米，高20厘米的长方体透明塑料箱，要装入棱长为5厘米的正方体魔方，最多可以装（    ）个。 A．140 B．145 C．146 D．150 【答案】A 【思路引导】用长方体的长除以5算出一行可以装几个，用宽除以5算出可以装几行，用高除以5算出可以装几层。再用每行个数乘行数乘层数即可。 【完整解答】35÷5＝7（个） 26÷5＝5（个）⋯⋯1（厘米） 20÷5＝4（个） 7×5×4＝140（个） 最多可以装140个。 【变式训练】（24-25五年级下·陕西西安·期中）三个棱长为2cm的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了( )cm2，体积是( )。 【答案】 16 24 【思路引导】由题意可知：三个棱长都是的正方体拼成一个长方体后，减少了4个面，每个面的面积可求，从而可以求出减少的面积； 拼成的长方体的底面积就等于正方体的底面积，长方体的高为（），于是可以求出长方体的体积。 【完整解答】表面积减少： 长方体的体积： 所以表面积减少了，体积是 。 高频考点十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）在括号里填上合适的数。 132mL＝( )L     4.5m3＝( )dm3     180cm3＝( )dm3 0.15L＝( )cm3            9.06dm3＝( )L( )mL 【答案】 0.132 4500 0.18 150 9 60 【思路引导】，，，，。高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。 【完整解答】，所以； ，所以； ，所以； ，，所以； ，，所以。 【变式训练】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）在括号里填上适当的数。          40分时                 【答案】 ；；； ；； 【思路引导】；；；时分；；；高级单位化低级单位要乘进率，低级单位化高级单位要除以进率，据此解答。 【完整解答】，所以； ，所以； ，所以； ，所以分时； ，所以； ，所以。 高频考点十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）在括号里填上适当的数。                                        【答案】；； ；； 【思路引导】1m＝10dm，1＝1000，1L＝1000mL，1＝1000，1t＝1000kg，1L＝1000，高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。据此解答。 【完整解答】3÷10＝（m） 21÷1000＝（） 200÷1000＝（L） 19÷1000＝（） 17÷1000＝（t） 300÷1000＝（L） 【变式训练】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）在括号里填上合适的数。 0.325L＝( )mL    1.27m3＝( )dm3 9.8dm3＝( )L     6.03dm3＝( )cm3＝( )mL 【答案】 325 1270 9.8 6030 6030 【思路引导】（1）1L＝1000mL，由高级单位换算成低级单位，乘进率1000； （2）1m3＝1000dm3，由高级单位换算成低级单位，乘进率1000； （3）1dm3＝1L，单位等价，数值不变； （4）1dm3＝1000cm3，由高级单位换算成低级单位，乘进率1000。1cm3＝1mL，单位等价，数值不变。 【完整解答】（1）1L＝1000mL，0.325L＝0.325×1000＝325mL，所以0.325L＝325mL； （2）1m3＝1000dm3，1.27m3＝1.27×1000＝1270dm3，所以1.27m3＝1270dm3； （3）1dm3＝1L，所以9.8dm3＝9.8L； （4）1dm3＝1000cm3，6.03dm3＝6.03×1000＝6030cm3，1cm3＝1mL，所以6030cm3＝6030mL，所以6.03dm3＝6030cm3＝6030mL。 高频考点十三 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）吨的是( )吨；比( )m长；0.5的倒数是( )。 2.5L＝( )mL    ＝( )     785mL＝( )＝( ) 【答案】 /0.375 2 2500 12000 785 0.785/ 【思路引导】①求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。所求的数＝已知数×对应分率； ②已知比一个数多多少，求这个数，用减法计算。所求的数＝已知数－多的部分； ③先将小数化成分数，再将分数的分子和分母交换位置； ④1L＝1000mL，高级单位换算成低级单位，需要乘进率； ⑤1dm3＝1000cm3，高级单位换算成低级单位，需要乘进率； ⑥1mL＝1cm3，1dm3＝1000cm3，低级单位换算成高级单位，需要除以进率。 【完整解答】（吨）； （m）； 因为，的倒数是，所以0.5的倒数是2； 因为2.5×1000＝2500，所以2.5L＝2500mL； 因为12×1000＝12000，所以12dm3＝12000cm3； 因为1mL＝1cm3，785÷1000＝0.785，所以785mL＝785cm3＝0.785dm3。 【变式训练】（24-25五年级下·广东惠州·期中）一个长方体水箱的容积是320升，这个水箱的底面是一个边长为4分米的正方形，水箱的高是多少分米？ 【答案】 20分米 【思路引导】由题可知，长方体水箱的长和宽均为4分米。先根据“1升＝1立方分米”将容积单位转换成体积单位；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算。 【完整解答】320升＝320立方分米 320÷（4×4） ＝320÷16 ＝20（分米） 答：水箱的高是20分米。 高频考点十四 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【答案】314平方分米； 456升 【思路引导】无盖长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2；长方体的容积＝长×宽×高；计算之前需统一单位，将1.9米换算为19分米。计算容积时需将结果的单位立方分米换算为升。 【完整解答】1.9米＝19分米 （平方分米） 答：至少需要314平方分米的铁皮。 （立方分米） （升） 答：这个水槽的容积是456升。 【变式训练】（24-25五年级下·广东湛江·期中）下图是一个长方体帆布收纳箱，为了让这个收纳箱稳定，里面配了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架。（单位：厘米） (1)这个收纳箱的容积是多少升？（帆布的厚度忽略不计） (2)如下图，焊制这个收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？（接头处忽略不计） 【答案】(1)231升 (2)600厘米 【思路引导】（1）由图可知：长×宽×高＝收纳箱的容积，最后需要转化单位：1升＝1000毫升＝1000立方厘米，小单位转化成大单位除以进率； （2）由图可知：金属支架由2条长、4条宽和4条高组成，所以长×2＋宽×4＋高×4＝金属条的长度。 【完整解答】（1）70×60×55 ＝4200×55 ＝231000（立方厘米） 231000立方厘米＝231000毫升＝231升 答：这个收纳箱的容积是231升。 （2）70×2＋60×4＋55×4 ＝140＋240＋220 ＝380＋220 ＝600（厘米） 答：至少需要600厘米长的金属条。 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西晋城·期中）一个鱼缸，从里面量长为50厘米、宽40厘米、水深25厘米。淘气向鱼缸中放入一些金鱼后，水面上升到28厘米。这些金鱼的体积是多少立方分米？ 【答案】6立方分米 【思路引导】本题考查不规则物体体积的计算方法（排水法）以及体积单位的换算。根据题意，金鱼的体积等于放入金鱼后水面上升部分的水的体积。首先需要求出水面上升的高度，即用后来的水深减去原来的水深。然后利用长方体体积公式（长×宽×高）计算上升部分水的体积。最后注意题目要求的单位是立方分米，需要将计算出的立方厘米换算成立方分米。 【完整解答】水面上升的高度： 28－25＝3（厘米） 金鱼的体积： 50×40×3 ＝2000×3 ＝6000（立方厘米） 6000立方厘米＝6立方分米 答：这些金鱼的体积是6立方分米。 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 【答案】 10.15 分米 【思路引导】先将正方体铁块的棱长单位厘米换算成分米。根据排水法原理，铁块完全浸没在水中，水面上升部分的体积等于铁块的体积。先求出铁块的体积，再求出水箱的底面积，用铁块体积除以水箱底面积得到水面上升的高度，最后加上原来的水深即为现在的水深。（正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的底面积＝长×宽） 【完整解答】30 厘米 = 3 分米 （立方分米） （分米） 答：水箱中水深10.15分米。 高频考点十六 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】580cm2；776cm3 【思路引导】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【完整解答】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 【变式训练】（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】262；253 【思路引导】组合体凹进去的3个面，通过平移，可以组成一个完整的长方体，组合体表面积＝长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 组合体体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此列式计算。 【完整解答】 （） （） 所以图形的表面积是262，体积是253。 【真题演练1】（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【思路引导】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【完整解答】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 【真题演练2】（2025·四川成都·小升初真题）一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 【答案】360 【思路引导】观察图形可知，长方体容器的长为15cm，宽为8cm，原来的水位为7cm，放入马铃薯后水满了且没有溢出，则水位上升了10－7＝3cm，再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【完整解答】15×8×（10－7） ＝15×8×3 ＝120×3 ＝360（cm3） 则这个马铃薯的体积是360cm3。 【真题演练3】（2025·四川成都·小升初真题）图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成。其中第三部分所对应的几何体应是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据图示可知，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成。第一部分分两层，下层3个，分两行，后面2个，前面1个，上层1个；第二部分小正方体分两列，左右列各2个；第三部分上层3个，下层1个，左对齐。据此解答。 【完整解答】 由分析可得，其中第三部分所对应的几何体应是。 故答案为：D 【真题演练4】（2025·吉林长春·小升初真题）在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是( )厘米。 【答案】12 【思路引导】由图可知，把这个长方体容器斜放，水流出，如果再流出，那么空白部分就可以看成高是AB、长和宽与原来长方体一样的长方体，此时流出的水是原来长方体的＝，将长方体容器的容积看作单位“1”，则可看成将长方体容器平均分成8份，也就是将高平均分成了8段，AB的长是其中的3段，即AB的长是高的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用32乘即可计算AB的长度。据此解答。 【完整解答】＝ ＝12（厘米） 所以AB的长度是12厘米。 【考点剖析】本题关键在于将不规则的空白部分转换成规则的长方体，并熟练应用分数的意义进行理解和解答。 【真题演练5】．（2025·江西吉安·小升初真题）“瓷都”景德镇被誉为非遗传承中的千年窑火。在非遗陶瓷作坊里，正在开展“瓷器体积测算”实验，过程如下： ①取一个长方体容器，倒入养护液，测量养护液的高度是12.4cm； ②放入1件体积为270cm3的小瓷器，液面上升。 根据信息，解决以下问题： （1）放入小瓷器后，液面上升了多少厘米？ （2）为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为多大的瓷器？ 【答案】（1）0.6厘米；（2）2250立方厘米 【思路引导】（1）根据题意可知，放入小瓷器后，液面上升的高等于小瓷器的体积除以容器的底面积。据此列式解答。 （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式容器内无养护液部分的体积即可。 【完整解答】（1）270÷（30×15） ＝270÷450 ＝0.6（厘米） 答：液面上升了0.6厘米。 （2）容器剩余空间的高度：18－12.4－0.6＝5（厘米） 剩余空间的体积： 30×15×5 ＝450×5 ＝2250（立方厘米） 答：为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为2250立方厘米的瓷器。 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一块长方体木料，长9cm，宽5cm，高7cm，要将这块长方体木料削成一个体积最大的正方体木料，削成的正方体木料的体积是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】将长方体木料削成一个体积最大的正方体木料，正方体棱长等于长方体最短的棱，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【完整解答】5×5×5＝125（） 削成的正方体木料的体积是。 2．（24-25五年级下·福建泉州·期中）一个长方体容器的底面是正方形，放入1个马铃薯，通过下面信息（    ）就可以求出这个马铃薯的体积。 ①这个马铃薯的表面积。 ②放入前、后水面的高度差。 ③长方体容器的底面周长。 ④马铃薯的质量。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【思路引导】我们用排水法求不规则马铃薯的体积，马铃薯的体积等于容器内上升部分水的体积，公式为：马铃薯体积＝容器底面积×水面上升的高度，求马铃薯体积，需要知道水面上升的高度和容器的底面积，逐一分析，看给出的信息能不能求出我们需要的条件。 【完整解答】①马铃薯的表面积与容器的各个量之间没有任何关系，不需要； ②放入前后水面的高度差，已知水面高度差，用水面高度差×容器底面积＝马铃薯体积，需要； ③因为容器底面是正方形，已知周长，周长÷4＝边长，边长×边长＝底面积，通过周长可以求出底面积，需要； ④马铃薯的质量与我们需要知道的条件没有任何关系，不需要。 综上，需要的条件是②③。 3．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．棱长是6dm的正方体，它的表面积和体积相等 B．如果两个正方体的表面积相等，那么它们的形状、大小一定也相同 C．体积单位间的进率是1000 D．一个长方体的橡皮泥捏成一个正方体，形状和体积都变了 【答案】B 【思路引导】A．表面积和体积意义不同，单位不同，无法比较。 B．正方体表面积由棱长决定，表面积相等则棱长相等，形状大小一定相同。 C．体积单位间进率1000需强调“相邻”，否则错误。 D．物体形状改变，体积不变。 【完整解答】A．棱长6dm的正方体，表面积为6×6×6＝216dm2，体积为6×6×6＝216dm3。单位和意义不同，不能说相等，错误。 B．正方体表面积公式S＝6a2，表面积相等则棱长a相等，棱长相等的正方体形状、大小一定相同，正确。 C．只有相邻体积单位间进率是1000，选项未说明“相邻”，错误。 D．长方体橡皮泥捏成正方体，只是形状变了，所占空间大小即体积不变，错误。 说法正确的是如果两个正方体的表面积相等，那么它们的形状、大小一定也相同。 4．（25-26五年级下·福建泉州·期中）在下面的括号里填上合适的单位名称或数。 (1)客厅的占地面积约是30( )，一个保温杯的容积约是500( )，一块香皂的体积约是120( )，一台冰箱的容积约是250( )。 (2)( )，6.08L＝( )L( )mL。 【答案】(1) 平方米/m2 毫升/mL 立方厘米/cm3 升/L (2) 0.095 6 80 【思路引导】（1）1平方米大概是一张小方桌桌面的大小，1毫升大概是1滴水的体积，1立方厘米大概是一颗骰子的大小，1升大概是两瓶500毫升矿泉水的容量，据此解答。 （2）1m3＝1000dm3，1L＝1000mL，大单位换算成小单位时乘进率，小单位换算成大单位时除以进率，据此解答。 【完整解答】（1）客厅的占地面积约是30平方米，一个保温杯的容积约是500毫升，一块香皂的体积约是120立方厘米，一台冰箱的容积约是250升。 （2）95÷1000＝0.095（m3） 95dm3＝0.095m3 6.08L＝6L＋0.08L 0.08×1000＝80（mL） 6.08L＝6L80mL 5．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高15cm的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 【答案】 1.44 【思路引导】由题可知，长方体器皿一共接水的体积相当于长12cm，宽10cm，高12cm的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算即可。注意换算单位。 【完整解答】12×10×12＝120×12＝1440（） 1440＝1440mL＝1.44L 即长方体器皿一共接了（1.44）L水。 6．（24-25五年级下·陕西西安·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.6    mL( )800cm3     ( ) ( )     ( )     ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＞ ＜ ＜ 【思路引导】①把小数转化成分数，然后转化成同分母分数，然后比较即可解答； ②，据此比较大小即可； ③⑥把算式计算出得数，然后比较即可解答； ④两个数相乘，一个因数乘大于1的数，积大于这个因数； ⑤两个数相乘，一个因数乘小于1的数，积小于这个因数。 【完整解答】≈0.67，0.67＞0.6，所以； ，因为，所以； ，，所以； 因为，所以； 因为，所以； ，，因为，所以； 7．（24-25五年级下·福建泉州·期中）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】 立方厘米；立方厘米；立方厘米 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 组合体体积＝各部分体积相加（叠加型）/大体积减去挖去部分体积（挖空型） 【完整解答】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 8．（24-25五年级下·陕西延安·期中）学校准备修建一个长6米、宽3米、深0.7米的沙坑。 (1)如果要在沙坑的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)如果要在沙坑里填满黄沙，准备32吨黄沙够不够？（每立方米黄沙重2.4吨） 【答案】(1)30.6平方米 (2)够 【思路引导】（1）抹水泥的面积为沙坑的底面面积加上前后面的面积加上左右面的面积。 （2）根据长方体容积＝长×宽×高，求出填满沙坑需要沙的体积，沙的体积乘每立方米黄沙的重量，求出黄沙的重量与32吨比较即可。 【完整解答】（1） ＝30.6（平方米） 答：抹水泥的面积是30.6平方米。 （2） （吨） 30.24＜32 答：准备32吨黄沙够。 9．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一个正方体和一个长方体的棱长总和相等。已知这个长方体的长、宽、高分别是8分米、7分米、6分米。 (1)这个正方体的棱长是多少分米？ (2)这个正方体的体积是多少立方分米？ 【答案】(1) 7 分米 (2) 343 立方分米 【思路引导】（1）长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；正方体的棱长＝长方体的棱长总和÷12。 （2）正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【完整解答】（1） （分米） 答：这个正方体的棱长是 7 分米。 （2）7×7×7 ＝49×7 ＝343（立方分米） 答：这个正方体的体积是 343 立方分米。 10．（24-25五年级下·福建泉州·期中）小明准备测量一种金属球的体积。他做了以下实验。 ①给一个长方体容器中注入一定量的水，放入一个棱长为10cm的正方体金属块（完全浸入水中），水面上升了5cm。 ②将8个同样的金属球完全浸入水中后量得水面又上升了7cm。（两次水均没有溢出） 一个金属球的体积是多少立方厘米？ 【答案】175立方厘米 【思路引导】物体完全浸入水中后，水面上升部分的体积等于物体的体积。容器的底面积是不变的。首先利用正方体金属块的体积和它引起的水面上升高度，求出容器的底面积；然后利用容器的底面积和8个金属球引起的水面上升高度，求出8个金属球的总体积；最后除以8得到一个金属球的体积。 【完整解答】正方体金属块的体积：（立方厘米） 容器的底面积：（平方厘米） 8个金属球的总体积： （立方厘米） 一个金属球的体积：（立方厘米） 答：一个金属球的体积是175立方厘米。 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·福建泉州·期中）如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3；6 B．6；27 C．9；27 D．27；6 【答案】C 【思路引导】先假设原来正方体的棱长，然后确定扩大后的棱长；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长分别计算出原来正方体和新正方体的表面积、体积；最后用新正方体的表面积除以原来正方体的表面积、用新正方体的体积除以原来正方体的体积。 【完整解答】设原来正方体的棱长是1，那么新正方体的棱长是3。 所以表面积扩大到原来的9倍，体积扩大到原来的27倍。 2．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（    ）倍；体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3；6 B．6；9 C．9；27 D．6；27 【答案】C 【思路引导】假设出原来正方体的棱长，根据“”和“”分别求出原来和现在正方体的表面积和体积，再用除法求出表面积和体积扩大的倍数。 【完整解答】假设原来正方体的棱长为3厘米。 3×3＝9（厘米） 原来正方体的表面积：6×3×3＝54（平方厘米） 现在正方体的表面积：6×9×9＝486（平方厘米） 486÷54＝9 原来正方体的体积：3×3×3＝27（立方厘米） 现在正方体的体积：9×9×9＝729（立方厘米） 729÷27＝27 一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍；体积扩大到原来的27倍。 3．（24-25五年级下·四川成都·期末）在一张长20厘米、宽10厘米的长方形硬纸板的四角各剪去一个相同的正方形（正方形的边长是整厘米数），然后将剩下的硬纸板折叠成一个长方体容器，要使这个长方体容器的体积大于150立方厘米。符合要求的长方体容器有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据题意，在长方形硬纸板的四角各剪去一个相同的正方形，然后将剩下的硬纸板折叠成一个长方体容器，这个长方体容器的长＝纸板的长－正方形的边长×2，宽＝纸板的宽－正方形的边长×2，高＝正方形的边长； 因为正方形的边长是整厘米数，可以设正方形的边长为1厘米、2厘米、3厘米……，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这些容器的体积，找出体积大于150立方厘米的长方体容器有几个即可。 【完整解答】①当正方形的边长为1厘米时，长方体的体积： （20－1×2）×（10－1×2）×1 ＝（20－2）×（10－2）×1 ＝18×8×1 ＝144（立方厘米） 144＜150，不符合要求。 ②当正方形的边长为2厘米时，长方体的体积： （20－2×2）×（10－2×2）×2 ＝（20－4）×（10－4）×2 ＝16×6×2 ＝192（立方厘米） 192＞150，符合要求。 ③当正方形的边长为3厘米时，长方体的体积： （20－3×2）×（10－3×2）×3 ＝（20－6）×（10－6）×3 ＝14×4×3 ＝168（立方厘米） 168＞150，符合要求。 ④当正方形的边长为4厘米时，长方体的体积： （20－4×2）×（10－4×2）×4 ＝（20－8）×（10－8）×4 ＝12×2×4 ＝96（立方厘米） 96＜150，不符合要求。 ⑤当正方形的边长为5厘米时，长方体的体积： （20－5×2）×（10－5×2）×5 ＝（20－10）×（10－10）×5 ＝10×0×5 ＝0（立方厘米） 这种情况不成立，即正方形的边长不能超过4厘米。 综上所述，正方形的边长为2厘米、3厘米时，这个长方体容器的体积大于150立方厘米。 所以，符合要求的长方体容器有2个。 故答案为：B 【考点剖析】解题的关键是分析减去不同整厘米数边长的正方形，再计算将其折叠为长方体后的体积，由此判断长方容器的体积符合要求的情况。 4．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）花园小区准备用60立方米的沙子铺成一条宽5米的小路，沙子铺1分米厚，可以铺( )米。 【答案】120 【思路引导】将铺成的沙子看作一个长方体，已知体积、宽和高，根据长方体体积＝长×宽×高，长＝体积÷（宽×高），据此解答，注意单位统一。 【完整解答】1分米＝0.1米 60÷（5×0.1） ＝60÷0.5 ＝120（米） 5．（24-25五年级下·广东惠州·期中）如图，4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角处，露在外面的面有( )个，至少还需要( )个这样的小正方体，才能搭一个大一些的正方体。 【答案】 9 4 【思路引导】①分别从前面、右面、上面确定露在外面的面数，再将三个方向露在外面的面数求和； ②观察立体图形，以小正方体数量最多的一列或一行作为更大正方体的棱长，根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出更大正方体中小正方体的数量；再减去原来小正方体数量。 【完整解答】观察立体图形： 从前面可以看到3个面，从右面可以看到3个面，从上面可以看到3个面； 所以露在外面的面共：3＋3＋3＝9（个）。 如果搭成更大的正方体，每条边都至少是2个小正方体，小正方体数量共：2×2×2＝8（个） 原来共有4个小正方体，至少还需要小正方体数量为：8－4＝4（个） 6．（25-26五年级·全国·寒假作业）4千克铁的和4立方米铁的一样重。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】4千克铁的是重量，列式为4×；4立方米铁的是体积，列式为4×；重量单位（千克）和体积单位（立方米）是不同类型的度量单位，无法直接比较轻重，因此两者不可能一样重。 【完整解答】4×＝（千克） 4×＝（立方米） 千克表示重量，立方米表示体积，两者单位不同，不能比较是否一样重。因此，该说法错误。 故答案为：× 7．（24-25五年级下·广东茂名·期中）求下列图形中图（1）的表面积和图（2）的体积。 【答案】312；702 【思路引导】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，由图可知，长方体的长是10dm，宽和高都是6dm。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，图（2）的体积＝大正方体体积－挖去的小正方体的体积。大正方体的棱长是9cm，小正方体的棱长是3cm。 【完整解答】图（1）的表面积：（10×6＋10×6＋6×6）×2 ＝（60＋60＋36）×2 ＝（120＋36）×2 ＝156×2 ＝312（） 图（2）的体积： ＝729－27 ＝702（） 8．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一个长方体玻璃鱼缸（上面没有盖），长45厘米，宽40厘米，高30厘米。 (1)做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ (2)往水里放入鹅卵石、水草和鱼，完全浸没后，水面上升了3.5厘米，这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 【答案】(1)69平方分米 (2)6300立方厘米 【思路引导】（1）鱼缸上面没有盖，说明只需要计算长方体5个面的面积，即1个底面加上4个侧面的面积。计算出结果单位为平方厘米，需根据进率换算成平方分米。 （2）放入鹅卵石、水草和鱼后，水面上升的体积即为这些物体的体积。根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据即可求出体积。 【完整解答】（1）45×40＋45×30×2＋40×30×2 ＝1800＋1350×2＋1200×2 ＝1800＋2700＋2400 ＝4500＋2400 ＝6900（平方厘米） 6900平方厘米＝69平方分米 答：做这个鱼缸至少需要69平方分米玻璃。 （2）45×40×3.5 ＝1800×3.5 ＝6300（立方厘米） 答：这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是6300立方厘米。 9．（24-25五年级下·山西晋城·期中）有两个无盖的长方体塑料水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长为40厘米、宽为32厘米、水面高为20厘米；乙水箱长为30厘米、宽为24厘米、高为25厘米。 (1)甲水箱的容积是多少立方厘米？ (2)在乙水箱开口处围一条宽为2厘米的标识带，标识带的面积是多少平方厘米？ (3)将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面高度一样，现在两个水箱的水面高度是多少厘米？ 【答案】(1)25600立方厘米 (2)216平方厘米 (3)12.8厘米 【思路引导】（1）长方体的体积＝长×宽×高，据此代入数据计算； （2）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，标识带的面积等于长是30厘米、宽是24厘米、高是2厘米的长方体的前后、左右4个面的面积之和，根据长方体的表面积公式可知：标识带的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式计算； （3）长方体的体积＝长×宽×高，据此可知，要使两个水箱的水面高度一样，则要用水的体积除以甲、乙两个水箱的底面积之和，长方体的底面积＝长×宽，据此列式计算。 【完整解答】（1）40×32×20 ＝1280×20 ＝25600（立方厘米） 答：甲水箱的容积是25600立方厘米。 （2）30×2×2＋24×2×2 ＝60×2＋48×2 ＝120＋96 ＝216（平方厘米） 答：标识带的面积是216平方厘米。 （3）25600÷（40×32＋30×24） ＝25600÷（1280＋720） ＝25600÷2000 ＝12.8（厘米） 答：现在两个水箱的水面高度是12.8厘米。 10．（24-25五年级·全国·随堂练习）观察下面的三幅图，在装水的杯子中放入大球和小球，小球的体积是多少立方厘米？大球的体积是多少立方厘米？ 【答案】 小球：2cm3；大球：7cm3 【思路引导】溢出水的体积等于杯子内球的体积；对比图1和图2可知，1个大球＋1个小球的体积为9立方厘米，对比图1和图3可知，1个大球＋5个小球的体积是17立方厘米；用17立方厘米减去9立方厘米，即可求出个小球的体积，进而求出1个小球的体积；最后用9立方厘米减去1个小球的体积，即可求出1个大球的体积，据此解答。 【完整解答】1个小球：（立方厘米） 1个大球：（立方厘米） 答：小球的体积是2立方厘米，大球的体积是7立方厘米。 【考点剖析】本题考查了不规则体积的算法，解答此题关键是明白从满装水的杯子中放入物体后，溢出水的体积就是放入物体的体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二）『举一反三培优考点讲义』 【原卷版】 （导图+知识梳理+16个考点讲练+真题演练+难度分层练 共57题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 真题演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 5. 难度分层训练：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 考点序列 考点名称 高频考点一 体积的认识 高频考点二 容积的认识 高频考点三 体积单位的认识 高频考点四 容积单位的认识 高频考点五 体积、容积单位的选择 高频考点六 体积（容积）大小的比较 高频考点七 长方体的体积 高频考点八 正方体的体积 高频考点九 体积的等积变形（长方体、正方体） 高频考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 高频考点十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 高频考点十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 高频考点十三 体积与容积单位间的进率及换算 高频考点十四 长方体、正方体的容积 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 高频考点十六 组合体的体积（长方体、正方体） 知识点一 体积和容积的认识 1. 体积 （1）体积是指物体本身所占空间的大小，常见的体积单位有：立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米(m3)，1立方厘米相当于一个手指尖的体积。 （2）测量方法：从物体外部测量长、宽、高。 2. 容积 （1）容积是指物体所能容纳物体的体积大小，常见的容积单位有：升（L）、毫升（mL）。 （2）测量方法：从容器内部测量长、宽、高。 3. 体积和容积的区别 知识点二：体积和容积的单位 1. 体积单位 （1）立方米（m3）：立方米适用于大型物体或空间的体积描述，例如：房间的空间大小（如10m³的卧室）、冰箱外部体积、天然气用量（如每月用气量以立方米计算）等。 （2）立方分米（dm3）：立方分米常用于中小型容器或物体，例如：书本的体积（如字典约3dm³）、微波炉的容积、小纸箱的容量等。 （3）立方厘米（cm3）：立方厘米适用于微小物体的体积测量，例如：骰子（约1cm³）、药片体积、橡皮擦大小等。 2. 容积单位 （1）升（L）：升常用于液体或较大容器的容量描述，例如：桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容量（如50L）、大瓶饮料（如2L可乐）等。 （2）毫升（mL）：毫升适用于小剂量液体或精细测量场景，例如：眼药水瓶（约10mL）、小瓶装酸奶（100mL）、口服液剂量（如5mL）等。 3. 总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升；固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 4. 体积单位间的进率：1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米 5. 容积单位间的进率：1升=1000毫升，1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米 6. 体积与容积单位间的换算：1立方米=1000升，1立方厘米=1毫升 7. 单位换算：高级单位换算为低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率。 知识点三 长方体的体积 1. 长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高=底面积×高，用字母表示为 V=abh=S底×h。 2. 体积公式变形，反求长、宽、高 （1）长=体积÷宽÷高，a=V÷b÷h。 （2）宽=体积÷长÷高，b=V÷a÷h。 （3）高=体积÷长÷宽，h= V÷a÷b。 知识点四 正方体的体积 1. 正方体的体积计算公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，用字母表示V=a×a×a = a³，读作“a的立方”表示3个a相乘。 2. 区分2a、a2和a³ 2a=2×a，表示两个a相加；a2=a×a，表示两个a相乘；a³=a×a×a，表示3个a相乘。 知识点五 长方体和正方体的表面积、体积与棱长扩倍关系 1. 正方体的表面积与棱长扩倍关系：如果正方体的棱长扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 例如： 棱长扩大3倍，表面积扩大 32=9 倍； 棱长扩大10倍，表面积扩大 102=100 倍。 2. 长方体的表面积与棱长扩倍关系 （1）如果长方体的长、宽、高同时扩大到原来的n倍，那么它的表面积就扩大到原来的n2倍。 （2）如果长、宽、高分别扩大不同倍数，那么表面积的变化需要重新计算各面面积之和。 3. 正方体的体积与棱长扩倍关系： 正方体的体积与棱长扩倍呈立方关系，若棱长扩大 a倍，体积扩大 a3 倍。 4. 长方体的体积与棱长扩倍关系： 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈乘积关系，若长、宽、高同时扩大 a倍，体积扩大 a×a×a=a3 倍 知识点六 剪角折叠求体积问题 剪角折叠求体积问题，关键在于先求出折叠后长方体的长、宽、高，再根据体积公式计算。 设剪去的正方形边长为a，则 长=原长方形的长－2a； 宽=原长方形的宽－2a； 高=剪去的正方形边长a； 容积=长×宽×高=(原长－2a)×(原宽－2a)×a。 知识点七：等积变形问题 1. 等积变形问题：在形状改变或位置移动过程中，物体的体积始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液体等场景。 2. 等积变形问题常有以下类型 （1）熔铸问题：将长方体或正方体金属熔化成液体后，再重新铸造成其他形状立体图形。 （2）倒水问题：液体在不同容器间倒装后，体积不变。 （3）液体倾斜问题：液体在同一容器中倾斜，体积不变。 知识点八 排水法求不规则物体体积 1. 排水法求不规则物体的体积 排水法是一种通过物体完全浸没水中时排开的水的体积来间接计算不规则物体体积的方法，本质是将不规则物体体积转化为规则水的体积。 2. 排水法求不规则物体的体积的步骤 （1）在容器中注入适量的水，记下水位。 （2）将不规则物体放入水中，再次记下水位。 （3）用尺子测量容器里现在水面的高度。 （4）用现在的体积减去水的体积得到不规则物体的体积 3. 排水法求不规则物体的体积公式 形状不规则的物体可以用排水法求体积，排水法的公式： ①V物体=V现在－V原来； ②V物体=S×(h现在－h原来)； ③V物体=S×h升高。 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于不溶于水或不漂浮的物体。 知识点九 不规则及组合立体图形的表面积和体积 1. 在求与长方体、正方体有关的不规则立体图形时，注意分析该图形是由哪些面组合而成的，再求出对应面的面积即可。 2. 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 高频考点一 体积的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·广东湛江·期中）一个杯子最多可以盛水250毫升，就是说杯子的（    ）是250毫升。 A．体积 B．容积 C．表面积 D．净含量 【变式训练】（23-24五年级下·福建泉州·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．淘气家书房的体积约是60m3。 B．一个物体的体积越大，容积也越大。 C．碗中装满牛奶，牛奶的体积就是碗的容积。 D．苏打水瓶子的包装纸上印着“净含量：250mL”，指的是苏打水的体积。 高频考点二 容积的认识 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）下面盒子中，容积最大的是( )，容积最小的是( )。（填序号） 【变式训练】（23-24五年级下·黑龙江大庆·期中）一个密封容器的容积一定小于它的体积。( )（判断对错） 高频考点三 体积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）36立方厘米比36平方厘米大。( )（判断对错） 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期末）圈出4处不合理的计量单位，并在其下方写出正确单位。 清晨，淘气起床，量了下自己的身高，是155厘米。洗漱完毕，他吃了一个体积约为200立方米的面包。随后，淘气前往公园，公园里有个湖，湖水体积约为500立方分米。他沿着周长为400平方米的步道慢跑。结束后，淘气从容积为20立方分米的背包里，拿出一瓶500升的矿泉水补充水分。 高频考点四 容积单位的认识 【典例精讲】（24-25五年级·全国·随堂练习）下面三个容器相同，估一估后两个容器中各有多少毫升饮料，填一填。 500mL饮料 大约有( )mL饮料 大约有( )mL饮料 【变式训练】（23-24五年级上·山西运城·期中）哪种洗发水便宜些？请计算说明。 高频考点五 体积、容积单位的选择 【典例精讲】（24-25五年级下·山西吕梁·期中）中国茶文化源远流长，笑笑家茶几上各种茶品蕴含了许多数学学问，请你在括号里填上合适的单位。 的容积约为0.6( )。 的容积为20( )。 这个茶杯垫的体积为0.3( )。 茶夹的体积为12( )。 【变式训练】（24-25五年级下·辽宁大连·期末）笑笑出了4道题，请淘气在括号里填上合适的单位，如图所示。 ①一个仓库的容积大约是320（    ）。 ②文具盒里一块橡皮的体积约是250（    ）。 ③一个冰箱的容积约是200（    ）。 ④2025年7月4日凌晨3时，大连市发布暴雨红色预警，在过去2小时内局部地区降水量已达到70－80（    ）。 高频考点六 体积（容积）大小的比较 【典例精讲】下列说法正确的是（    ）。 A．一升水比一升油体积大 B．如果a×b＝1，那么b是倒数 C．7吨的小于1吨的 D．一个长方体（不含正方体）最多8条棱相等 【变式训练】一滴眼药水的体积一定（    ）1毫升。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法确定 高频考点七 长方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校手工社团开展活动，王老师提供了一块长7厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体塑料块，让同学们尝试将其削成一个最大的正方体，在这个过程中削掉了多少立方厘米的塑料块？ 【变式训练】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校的操场是一个长方形，面积为2000平方米。气象小组在操场上放置了一个长方体容器，长、宽、高分别是50厘米、20厘米、40厘米。在一次降雨过程后，容器内的雨水深度为10厘米，如果将操场当作一个大长方体容器，这场降雨在操场上总共可以积聚多少立方米的雨水？（不考虑地面渗透情况） 小科普 在一个地方下雨的时候，各处的降雨高度，也就是降雨量，一般来说是一样的！ 高频考点八 正方体的体积 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）刘师傅要制作一个棱长为1.4米的正方体储物箱，为了增强美观和耐用性，实际使用的外层包装材料面积是其表面积的1.1倍。制作这个储物箱实际需要( )平方米的包装材料，这个储物箱的体积为( )立方米。 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）如下图所示，把一些同样大小的小正方体堆放在墙角，每个小正方体的棱长是2dm，这些小正方体露在外面的面积是( )dm2；体积是( )dm3。它的占地面积是( )dm2。 高频考点九 体积的等积变形（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）一个长方体的容器（如图），里面的水深5厘米，把这个容器盖紧后竖放，这时里面的水深是多少厘米？ 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）同学们在博物馆参加捏橡皮泥比赛，一位同学先把他的橡皮泥捏成棱长为4分米的正方体，后来感觉不满意就把它改捏成底面积为8平方分米的长方体。这个长方体的高是多少？ 高频考点十 立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【典例精讲】（24-25五年级下·福建泉州·期中）学校的魔方社团要整理学具，乐乐找到了一个长35厘米，宽26厘米，高20厘米的长方体透明塑料箱，要装入棱长为5厘米的正方体魔方，最多可以装（    ）个。 A．140 B．145 C．146 D．150 【变式训练】（24-25五年级下·陕西西安·期中）三个棱长为2cm的正方体拼成一个长方体后，表面积减少了( )cm2，体积是( )。 高频考点十一 体积单位间的进率与换算（立方厘米、立方分米和立方米） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西西安·期中）在括号里填上合适的数。 132mL＝( )L     4.5m3＝( )dm3     180cm3＝( )dm3 0.15L＝( )cm3            9.06dm3＝( )L( )mL 【变式训练】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）在括号里填上适当的数。          40分时                 高频考点十二 容积单位间的进率与换算（升和毫升） 【典例精讲】（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）在括号里填上适当的数。                                        【变式训练】（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）在括号里填上合适的数。 0.325L＝( )mL    1.27m3＝( )dm3 9.8dm3＝( )L     6.03dm3＝( )cm3＝( )mL 高频考点十三 体积与容积单位间的进率及换算 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）吨的是( )吨；比( )m长；0.5的倒数是( )。 2.5L＝( )mL    ＝( )     785mL＝( )＝( ) 【变式训练】（24-25五年级下·广东惠州·期中）一个长方体水箱的容积是320升，这个水箱的底面是一个边长为4分米的正方形，水箱的高是多少分米？ 高频考点十四 长方体、正方体的容积 【典例精讲】（24-25五年级下·广东惠州·期中）乐乐家牛棚的水槽坏掉了，爷爷准备用铁皮做一个长1.9米，宽6分米、高4分米的无盖长方体水槽。至少需要多少平方分米的铁皮？这个水槽的容积是多少升？（铁板厚度不计） 【变式训练】（24-25五年级下·广东湛江·期中）下图是一个长方体帆布收纳箱，为了让这个收纳箱稳定，里面配了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架。（单位：厘米） (1)这个收纳箱的容积是多少升？（帆布的厚度忽略不计） (2)如下图，焊制这个收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？（接头处忽略不计） 高频考点十五 不规则物体的体积算法（长方体、正方体） 【典例精讲】（24-25五年级下·山西晋城·期中）一个鱼缸，从里面量长为50厘米、宽40厘米、水深25厘米。淘气向鱼缸中放入一些金鱼后，水面上升到28厘米。这些金鱼的体积是多少立方分米？ 【变式训练】（24-25五年级下·四川成都·期中）博物馆有一个长15分米、宽12分米的长方体水箱，里面有10分米深的水。如果在水中放入一个棱长为30厘米的正方体铁块，那么水箱中水深多少分米？ 高频考点十六 组合体的体积（长方体、正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【变式训练】（24-25五年级下·黑龙江大庆·期中）计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【真题演练1】（2025·四川成都·小升初真题）求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【真题演练2】（2025·四川成都·小升初真题）一个长方体容器中装有一些水，把一个马铃薯完全浸没在水中，水满了且没有溢出（如下图），这个马铃薯的体积是( )cm3。 【真题演练3】（2025·四川成都·小升初真题）图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成。其中第三部分所对应的几何体应是（    ）。 A． B． C． D． 【真题演练4】（2025·吉林长春·小升初真题）在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是( )厘米。 【真题演练5】．（2025·江西吉安·小升初真题）“瓷都”景德镇被誉为非遗传承中的千年窑火。在非遗陶瓷作坊里，正在开展“瓷器体积测算”实验，过程如下： ①取一个长方体容器，倒入养护液，测量养护液的高度是12.4cm； ②放入1件体积为270cm3的小瓷器，液面上升。 根据信息，解决以下问题： （1）放入小瓷器后，液面上升了多少厘米？ （2）为了不使养护液溢出，后续实验中最多只能放入体积为多大的瓷器？ 基础夯实 能力提升 1．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一块长方体木料，长9cm，宽5cm，高7cm，要将这块长方体木料削成一个体积最大的正方体木料，削成的正方体木料的体积是（    ）。 A． B． C． 2．（24-25五年级下·福建泉州·期中）一个长方体容器的底面是正方形，放入1个马铃薯，通过下面信息（    ）就可以求出这个马铃薯的体积。 ①这个马铃薯的表面积。 ②放入前、后水面的高度差。 ③长方体容器的底面周长。 ④马铃薯的质量。 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 3．（24-25五年级下·福建泉州·期中）下面说法正确的是（    ）。 A．棱长是6dm的正方体，它的表面积和体积相等 B．如果两个正方体的表面积相等，那么它们的形状、大小一定也相同 C．体积单位间的进率是1000 D．一个长方体的橡皮泥捏成一个正方体，形状和体积都变了 4．（25-26五年级下·福建泉州·期中）在下面的括号里填上合适的单位名称或数。 (1)客厅的占地面积约是30( )，一个保温杯的容积约是500( )，一块香皂的体积约是120( )，一台冰箱的容积约是250( )。 (2)( )，6.08L＝( )L( )mL。 5．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高15cm的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 6．（24-25五年级下·陕西西安·期中）在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )0.6    mL( )800cm3     ( ) ( )     ( )     ( ) 7．（24-25五年级下·福建泉州·期中）计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 8．（24-25五年级下·陕西延安·期中）学校准备修建一个长6米、宽3米、深0.7米的沙坑。 (1)如果要在沙坑的四周和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米？ (2)如果要在沙坑里填满黄沙，准备32吨黄沙够不够？（每立方米黄沙重2.4吨） 9．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一个正方体和一个长方体的棱长总和相等。已知这个长方体的长、宽、高分别是8分米、7分米、6分米。 (1)这个正方体的棱长是多少分米？ (2)这个正方体的体积是多少立方分米？ 10．（24-25五年级下·福建泉州·期中）小明准备测量一种金属球的体积。他做了以下实验。 ①给一个长方体容器中注入一定量的水，放入一个棱长为10cm的正方体金属块（完全浸入水中），水面上升了5cm。 ②将8个同样的金属球完全浸入水中后量得水面又上升了7cm。（两次水均没有溢出） 一个金属球的体积是多少立方厘米？ 创新拓展 拔尖冲刺 1．（24-25五年级下·福建泉州·期中）如果正方体的棱长扩大到原来的3倍，则它的表面积扩大到原来的（    ）倍，体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3；6 B．6；27 C．9；27 D．27；6 2．（24-25五年级下·甘肃张掖·期中）一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的（    ）倍；体积扩大到原来的（    ）倍。 A．3；6 B．6；9 C．9；27 D．6；27 3．（24-25五年级下·四川成都·期末）在一张长20厘米、宽10厘米的长方形硬纸板的四角各剪去一个相同的正方形（正方形的边长是整厘米数），然后将剩下的硬纸板折叠成一个长方体容器，要使这个长方体容器的体积大于150立方厘米。符合要求的长方体容器有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）花园小区准备用60立方米的沙子铺成一条宽5米的小路，沙子铺1分米厚，可以铺( )米。 5．（24-25五年级下·广东惠州·期中）如图，4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角处，露在外面的面有( )个，至少还需要( )个这样的小正方体，才能搭一个大一些的正方体。 6．（25-26五年级·全国·寒假作业）4千克铁的和4立方米铁的一样重。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·广东茂名·期中）求下列图形中图（1）的表面积和图（2）的体积。 8．（24-25五年级下·陕西宝鸡·期中）一个长方体玻璃鱼缸（上面没有盖），长45厘米，宽40厘米，高30厘米。 (1)做这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？ (2)往水里放入鹅卵石、水草和鱼，完全浸没后，水面上升了3.5厘米，这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 9．（24-25五年级下·山西晋城·期中）有两个无盖的长方体塑料水箱，甲水箱里装满水，乙水箱空着。从里面量，甲水箱长为40厘米、宽为32厘米、水面高为20厘米；乙水箱长为30厘米、宽为24厘米、高为25厘米。 (1)甲水箱的容积是多少立方厘米？ (2)在乙水箱开口处围一条宽为2厘米的标识带，标识带的面积是多少平方厘米？ (3)将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两个水箱水面高度一样，现在两个水箱的水面高度是多少厘米？ 10．（24-25五年级·全国·随堂练习）观察下面的三幅图，在装水的杯子中放入大球和小球，小球的体积是多少立方厘米？大球的体积是多少立方厘米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $平 长方体的体积与容积 1.体积(Volume) (1)体积是指物体本身所占空间的大小 D 立方厘米 立方分米列 立方米 (cm3) D (dm3) (m3) (2)测量方法： 1立方厘米相当于 从物体外部测 局 个手指尖的体积 量长、宽、高 宽 长 2.容积(Capacity） (1) 容积是指物体所能容纳物体的 体积大小 升()国 毫升(mL) 高 (2)测量方法： 从容器内部 测量长、宽、高 长 注意：体积和容积的概念不同，测量方法也不同哦！ 。☆ 正方体的体积 1.正方体的体积计算公式 正方体的体积=棱长×棱长×棱长， 用字母表示为 V=axaxa=a3 读作“a的立方”表示3个a相乘。 2.区分2a、a2和a3 000 1 (2) a2=axa (3 2a=a+a =axaxa @ D 2a=2Xa, a2=aXa, a3=axaxa, 表示两个a相加 表示两个a相乘 表示3个a相乘 注意：理解并区分它们，计算更准确！多练习哦！ 平 体积和容积的进率与换算 1.体积单位间的进率 ×1000 1dm3 ×1000 1cm3 1m3 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 2.容积单位间的进率 y×1000 dm m 1ml 1升=1000毫升 1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 3.体积与容积单位间的换算 4.单位换算 高级单位 )y×1000 X进率 1m3 ÷进率 低级单位 低级单位 高级单位→低级单位：乘进率； 1立方米=1000升 1立方厘米=1毫升 低级单位→高级单位：除以进率。 注意：记住进率，换算就简单啦！多练习哦！ 长方体的体积 1.长方体的体积计算公式 长方体的体积=长×宽×高 用字母表示为V=aXb×h 长方体的体积=底面积×高 用字母表示为V=S底×h 底 2.体积公式变形，反求长、宽、高 长=体积：宽÷高 ● a=V÷b÷h a (3) 宽=体积÷长÷高 高=体积÷长÷宽 b=V÷a÷h h=V÷a÷b 注意：记住公式， 灵活变形，解决问题更轻松 回。☆ 体积和睿积的单位 1.体积单位 (1)立方米 (m3) (2)立方分米(dm) 10m3 约3dm3 书本的体积（如字典约3dm) 微波炉的容积、小纸箱的容量 (3)立方厘米(cm3) 天然气(m3) 房间的空间大小（如10m3的卧室） 冰栢外部体积、天然气用量 股子（约1cm3)、药片体积、橡皮 接大小 2.容积单位 (1)升 (L) (2)毫升(mL) 5 50m 10mL 100ml 桶装水（如5L装食用油）、汽车油箱容 眼药水瓶（约10mL)、小瓶装骏奶 量（如50L)、大瓶饮料（如21可乐） (100mL)、口服液剂量（如5mL) 一一 3.总的来说，液体（如水、油）多用升和毫升； 固体（如货物、家具）多用立方米、立方分米等。 ⑨。☆ 秋体积和容积的区剔 1.测量对象 2.单位侧重 m 11 体积：物体本身 容积： 容器所能'·体积：常用立方单 容积：常用升、 所占的空间 容纳的空间 位(cm,dm3,m3) 毫升(L,mL) 3.大小关系 4.应用场景 体积 (外部尺寸大) 容积 (内部空间小) 因为容器堂 有厚度！ 体积>容积 体积应用：计算 容积应用：计算 物体占地或包装 容器装载液体量 注意： 理解区别，根据不同物体选择用 体积还是容积单位哦！ Y 剪角折叠求体积间题 1.原理与计算 原长 a a a 鏖 原长方形 a a a 高=a 剪去边长为a的 正方形 长=原长-2a 宽=原宽-2a 关键：先求出折叠后长方体的长、宽、 高，再用体积公式！ 容积=长×宽×高=（原长-2a)×(原宽-2a)a 注意： 计算时单位要统一， 能超过原宽的一半 a的最大值不能 “。☆ 长方体和正方体的 表面积与棱长扩倍关系 1.正方体的表面积与棱长扩倍关系 6a2 如果正方体的棱长扩大到原 nxa n2×6a2 来的n倍，那么它的表面积 就扩大到原来的n倍。 nxa a nxa 例如： 100 棱长×3 棱长扩大3倍， 3×3=9 棱长×10 棱长扩大10倍， 表面积扩大 表面积扩大 32=9倍； 102=100倍。 2.长方体的表面积与棱长扩倍关系 0 nH 5H n2S 2W nL 3L (1) 如果长方体的长、完、高同时扩 (2) 如果长、宽、高分别扩大不同 大到原来的n倍，那么它的表 倍数，那么表面积的变化需要 面积就扩大到原来的n2倍。 重新计算各面面积之和。 注意：理解扩倍关系，计算表面积变化更迅速！多练 不规则及组合立体图形 的表面积和体积个 一、求表面积：分析组合面 在求与长方体、正方体有关的 不规则立体图形时，注意分析 该图形是由哪些面组合而成的， 再求出对应面的面积即可。 表面积=面1+面2+面3+… 二、求体积：加法与减法 加法 减法 (组合法) 体积三 (组吉法) 体积=整体体积 体积1+体积2 空白部分体积 0 求不规则及组合立体图形的体积，往往采用加法或减法的方式解决，即 将各部分立体图形的体积相加或用图形整体的体积减去空白部分的体积。 0 注意：计算时要仔细分析，不要漏算哦 。☆ 排水法求不规侧物体体积 1.原理与核心思想 →排水法：物体完全浸没， 排开水的体积=物体体积。 不 →本质：将不规则转化为 规则！ 水 体积不变原理！ 2.排水法的步骤 V物体=V总-V水 =不规则物体 0 的体积 1.注入适量水， 2.将物体放入 3.用尺子测量 4.用现在的体积 记下水位(V水) 水中，再次记 现在的总水位 减去水的体积 下水位 (V总) 注意： 容器要规则，物体要完全浸没， 不能吸水或溶解哦！ 等积变形间题 1.等积变形问题 ● 0 在形状改变或位置移动过程中，物体的体积 始终保持不变，常见于熔铸、切割、浸入液 体等场景。 记住，体积不 变是关键！ 2.等积变形问题常有以下类型 熔铸问题 (2)倒水问题 ③ 液体倾斜问题 00 体积不变 体积不变 0000 (1)熔铸问题：将长方 体或正方体金属烙化成 (2）倒水问题：液体 (3)液体倾斜问题： 液体后，再重新铸造成 在不同容器间倒装后，液体在同一容器中倾 其他形状立体图形。 体积不变。 !斜，体积不变。 注意：抓住“体积不变”这个核心， 就能轻松解决等积变形问题！ 长方体和正方体的 体积与棱长扩倍关系 1.正方体的体积与棱长扩倍关系 a aL 正方体的体积与棱长扩倍是立方关系，若棱长扩大a 倍，体积扩大a3倍。例如：a=2,V扩大2=8倍！ 2.长方体的体积与棱长扩倍关系 Vnew /LWH (aL)(aW)(aH) aH=a3LWH al 长方体的体积与长、宽、高的扩倍呈呈乘积关系， N 若长、宽、高同时扩大a倍，体积扩大a×a×a=a倍。 例如：a=2,V扩大22=8倍！ 棱长扩大，体积呈立方倍数增加，要记住哦！ 排水法求不规贝则物体体积 3.排水法求不规则物体的体积公式 0 ①V物体=V现在-V原来 放入物体 V原来 V现在 V物体=V现在一V原来 ② V物体=S×(h现在-h原来) ③ V物体=S×h升高 h现在 h升高 h升高 h原来 V物体=S×(h现在-h原来) V物体=S×h开高 (S是底面积) ☆ 注意：使用排水法求不规则物体体积，一般用于 不溶于水或不漂浮的物体。