第三单元 分数乘法（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+6个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共59题-2025-2026学年北师大版数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

null2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共59题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 分数与整数相乘 4 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 7 高频考点三 打折的意义及应用（分数) 8 高频考点四 分数乘分数 9 高频考点五 因数和积的大小关系（分数乘法） 13 高频考点六 倒数的认识 14 奥数拓展 拔尖冲刺 15 奥数拓展一 分数与整数相乘 15 奥数拓展二 求一个数的几分之几的问题 17 奥数拓展三 分数乘分数 19 奥数拓展四 分数乘小数 21 奥数拓展五 因数和积的大小关系（分数乘法） 23 奥数拓展六 倒数的认识 24 奥数拓展七 自然数与倒数的和或差的问题 26 优选真题 实战演练 27 【基础夯实 知识巩固】 27 【拓展提高 能力拔尖】 32 知识点一 分数乘法的意义 1. 分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 知识点二 分数乘法的计算法则 1. 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5.规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6.分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三 分数乘法解决问题 1. 找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 2. 写数量关系式技巧 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 ①两个量的关系：画两条线段图； ②部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量） 5. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 （1）单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； （2）单位“1”的量×[1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几]＝另一个数量。 知识点四 倒数的认识 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西运城·期末）结合图形，认真观察，解答下面问题。 （1）根据图形和算式填空。 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（    ）个一 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） （2）整数、小数和分数乘法计算的道理一样吗？请说明理由。 （3）这样的道理对你以后的学习有什么启发？ 【答案】（1）（2）（3）见详解 【思路引导】（1）由整数乘法可知，结果是6，6可以表示6个一，所以3个一乘2得6个一。 小数乘法中，0.3表示3个0.1，0.6表示6个0.1，所以3个0.1乘2得6个0.1。 分数乘法中，表示3个，表示6个，所以3个乘2得6个。 （2）整数、小数和分数乘法计算的道理是一样的。理由：都是求几个相同加数的和的简便运算。从图形和算式来看，整数乘法是几个“一”的和的简便运算；小数乘法是几个“十分之一”等计数单位的和的简便运算；分数乘法是几个“几分之一”的和的简便运算，都是相同加数求和的简便运算。 （3）在以后的学习中，对于新的数学运算，可以从已有的整数、小数、分数乘法的道理出发，利用知识之间的联系来学习新的知识，这样能更好地掌握数学知识的规律。 【规范解答】（1）填空如下： 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（6）个一 3个（0.1）乘2得（6）个（0.1） 3个（）乘2得（6）个（） （2）答：道理一样，因为都是求几个相同加数的和的简便运算。 （3）答：利用知识之间的联系来学习新的知识，这样能更好地掌握数学知识的规律。（答案不唯一） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）在学校劳动实践基地的蔬菜种植区，西红柿的种植面积是60平方米，黄瓜的种植面积比西红柿多。黄瓜比西红柿多种植了多少平方米？ （1）画一画。 （2）列式解决问题。 【答案】（1）图见详解 （2）20平方米 【思路引导】（1）先画一个长方形表示西红柿的种植面积60平方米，再把它平均分成3份，黄瓜的种植面积比西红柿的种植面积多1份，据此在下方画出表示黄瓜种植面积的长方形，并在图上标注信息和数据，完成线段图。 （2）把西红柿的种植面积看作单位“1”，黄瓜的种植面积比西红柿多，即黄瓜比西红柿多的面积占西红柿面积的，单位“1”已知，用西红柿的种植面积乘，求出黄瓜比西红柿多种植的面积。 【规范解答】（1）如图： （2）（平方米） 答：黄瓜比西红柿多种植了20平方米。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西运城·期末）王凯在高考调休的日子里，对自己每一天的学习生活做了一个简单规划：大约有的时间户外运动，的时间课业学习，的时间睡眠，其余的时间用于餐饭和休闲娱乐。 （1）王凯用于户外运动、课业学习和睡眠的时间一共占全天时间的几分之几？ （2）用于餐饭和休闲娱乐的时间一共占全天时间的几分之几？是多少小时？ 【答案】（1） （2）；7小时 【思路引导】（1）把户外运动、课业学习和睡眠的时间各占一天时间的分率求和； （2）把一天的时间看作单位“1”，减去户外运动、课业学习和睡眠的时间所占分率就是餐饭和休闲娱乐的时间占一天时间的分率。用24小时乘这个分率就是餐饭和休闲娱乐的时间。 【规范解答】（1） 答：王凯用于户外运动、课业学习和睡眠的时间一共占全天时间的。 （2） （小时） 答：用于餐饭和休闲娱乐的时间一共占全天时间的，是7小时。 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）某种松鼠的体长在20cm到28cm之间，它的尾巴约占体长的。下列不可能是这种松鼠的尾巴长度的是（    ）。 A．15cm B．20cm C．21cm D．24cm 【答案】D 【思路引导】把松鼠的体长看作单位“1”，分别用体长的最长值和最短值乘尾巴对应分率，就是这种松鼠的尾巴最长和最短长度，再选择即可。 【规范解答】（cm） （cm） 这种松鼠的尾巴长度最长是21cm，最短是15cm。 A．这种松鼠的尾巴长度最短是15cm，有可能； B．15＜20＜21，这种松鼠的尾巴长度有可能是20cm； C．这种松鼠的尾巴长度最长是21cm，有可能； D．24＞21，这种松鼠的尾巴长度不可能是24cm。 不可能是这种松鼠的尾巴长度的是24cm。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁营口·期末）笑笑看一本故事书，第一天看了总页数的，第二天看了余下的。两天看的页数相比较（    ）。 A．第一天多 B．第二天多 C．一样多 【答案】C 【思路引导】将这本故事书的总页数看作单位“1”， 第一天看了总页数的，则余下的为（1－），第二天看了余下的，用乘法计算即可求出第二天看了总页数的分率，再比较大小。据此解答。 【规范解答】 所以，两天看的页数一样多。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）黄豆中蛋白质含量约占，用黄豆能提取( )千克蛋白质。 【答案】240 【思路引导】能提取的蛋白质的质量＝用的黄豆质量×，最后结果要把吨换算成千克。 【规范解答】（吨） （千克） 高频考点三 打折的意义及应用（分数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）“618购物节”某专卖店全场九折优惠。妈妈用1800元买到一款扫地机器人，它的原价是多少元？解决这个问题时，下列对数量关系的理解不正确的是（    ）。 A．原价现价1800元 B． C．“九折”表示“现价是原价的” D．“九折”相当于“降价了” 【答案】D 【思路引导】商店有时降价出售商品，叫作打折扣销售，俗称“打折”，几折就表示十分之几，如：打九折出售，就是按原价的出售，折扣＝现价÷原价，现价＝原价×折扣，原价＝现价÷折扣，据此解答。 【规范解答】A．分析可知，现价＝原价×折扣，则原价现价1800元，该选项正确； B．把商品的原价看作单位“1”，把单位“1”平均分成10份，现在的价格1800元占其中的9份，该选项正确； C．分析可知，几折就表示现价占原价的十分之几，即“九折”表示“现价是原价的”，该选项正确； D．把商品的原价看作单位“1”，现价是原价的，1－＝，“九折”相当于“降价了”，该选项错误。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）在图书展销会上，淘气看中了一套图书，原价150元。现在打八折优惠，每套只需要( )元，每套优惠了( )元。 【答案】 120 30 【思路引导】打八折意味着现价是原价的，原价为150元，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，所以现价为150×＝120元； 用原价减去现价即可计算出优惠金额，即150－120＝30元。 【规范解答】150×＝120（元） 150－120＝30（元） 因此，现在打八折优惠，每套只需要120元，每套优惠了30元。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西吕梁·期末）六一儿童节，是时光赠予童年的魔法锦囊，轻轻一启，便涌出整个世界的温柔与惊喜。文采汇演组为六一儿童节提前创编了精彩节目，为确保表演效果，他们准备采购20套单价为120元的表演服，去哪家商店买更合算？ 甲：所有服装八折优惠 乙：每满1000元，返现金150元 【答案】甲 【思路引导】甲商家所有服装八折优惠，八折就是按原价的销售，首先根据“总价＝单价×数量”计算出20套表演服的原价，然后用原价乘计算出在甲商家购买的实际费用；乙商家每满1000元返现金150元，计算出20套表演服的原价里有几个1000元，2400÷1000＝2……400，其中商2表示有2个1000元，余数400表示剩下不足1000元的部分，那么可返现金的金额为2个150元，然后用原价减去返现金额就是在乙商家购买的实际费用；最后比较两家的实际费用，找出费用少的商店。 【规范解答】120×20＝2400（元） 2400×＝1920（元） 2400÷1000＝2（个）……400（元） 2400－2×150 ＝2400－300 ＝2100（元） 1920＜2100 答：去甲商店买更合算。 高频考点四 分数乘分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·四川成都·期末）一根铁丝，先用去，再用去剩下的，最后剩下全长的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】把这根铁丝看作单位“1”，先用去，还剩，再用去剩下的，就是再用去的，也就是，用还剩的减去用去的，就是最后剩下全长的几分之几。 【规范解答】用去还剩： 用去剩下的： 最后剩下全长的： 所以最后剩下全长的。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）探究。 （1）画图表示。 （2）参照下图整数、小数乘法的拆分思路，写出的计算过程。 ＝（    ）（    ） ＝（        ） ＝     ＝ （3）思考：结合画图和计算的过程，淘气发现，乘法计算都是将“计数单位”ד计数单位”、“计数单位的个数”ד计数单位的个数”。 可以看作（    ）个与（    ）个相乘，也就是看有（    ）个。 【答案】（1）见详解； （2）3；2；3；2；6；；； （3）3；2；6 【思路引导】（1）画图要“先分后取”，需先将整体平均分成7份取3份，再平均分成5份取2份，图见详解； （2）模仿整数、小数乘法的“计数单位×计数单位，个数×个数”填写计算过程； （3）根据分数计数单位的定义：分数计数单位是分子为1，分母为任意非零自然数的分数，分子是几就有这几个这样的计数单位，由此解答。 【规范解答】（1）画图：先画一个长方形表示单位“1”，平均分成7份，涂其中3份（表示）；再将这3份平均分成5份，涂其中2份，即为；如图： 先将整体平均分成7份取3份 再平均分成5份取2份 （2）计算过程： （3）计数单位：是3个，是2个，相乘后是个。 故可以看3个与2个，相乘也就是看有6个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）一个西瓜，八戒吃了，悟空吃了剩下部分的。下面的讨论中，有（    ）个是错的。 ①悟空说：“我俩吃的一样多。” ②八戒说：，猴哥吃的比我多。” ③沙僧说：“他们分完了，剩下的给我，我们三人一样多。” ④唐僧说：“我是平均分给你们的。” A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】将一个西瓜看作单位“1”，八戒吃了，还剩这个西瓜的（1－），剩下的对应分率×＝悟空吃了这个西瓜的几分之几；1－八戒吃了这个西瓜的几分之几－悟空吃了这个西瓜的几分之几＝沙僧吃了这个西瓜的几分之几。 【规范解答】1－＝ 悟空：×＝ 沙僧：1－－ ＝－ ＝ ①悟空和八戒都吃了这个西瓜的，悟空说：“我俩吃的一样多。”说法正确； ②悟空和八戒吃的一样多，八戒说法错误； ③三人都吃了这个西瓜的，沙僧说：“他们分完了，剩下的给我，我们三人一样多。”说法正确； ④三人吃的同样多，唐僧说：“我是平均分给你们的。”说法正确。 有1个是错的。 故答案为：A 高频考点五 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·安徽淮南·期末）不计算，在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＜ 【思路引导】一个数（0除外），乘大于1的数，积比原数大；乘小于1的数，积比原数小，据此填空。 【规范解答】＞1，＞    ＜1，＜    ＜1，＜ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·四川成都·期末）比一比，写想法。在括号里填上“＞”“＜”或“＝”，你是怎么比的？至少写出两种比较方法。 (1)( ) (2)我是这样比较的： 方法一：_____________________ 方法二：___________________ 【答案】(1)＜ (2) 0＜＜1，＜ 、，＜，＜ 【思路引导】（1）根据下边的分析方法进行比较即可。 （2）一个数（0除外），乘小于1的数，积比原数小；加上一个大于0的数，和比原数大，由此可以比较出大小； 分别计算出两个算式的结果，再比较。分数与分数相乘，用分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母；计算结果能约分的要约分。异分母分数相加减，先通分再计算。 【规范解答】（1）＜ （2）方法一：0＜＜1，因此＜，＜；则＜； 方法二：、，＜，因此＜。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·福建泉州·期末）分数和在直线上的位置如下图所示，若，那么下列选项有可能正确表示位置的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】由图可知，，根据一个非0数乘一个小于1的数，积就小于这个非0数。，可得，，因此，由此解答。 【规范解答】 A．，图中关系符合，因此该选项正确； B．，图中大小关系为，不符合，因此该选项错误； C．，图中大小关系为，不符合，因此该选项错误； D．，图中大小关系为，不符合，因此该选项错误。 故答案为：A 高频考点六 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁营口·期末）( )＝1，( )＝1。 【答案】 【思路引导】（1）根据加法各部分关系，一个加数＝和－另一个加数； （2）乘积是1的两个数互为倒数，分数的倒数只需交换分子分母位置。 【规范解答】1－＝，即＋＝1 ​的倒数是，即×＝1​ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）下面不能表示互为倒数关系的等式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；找出不符合倒数意义的等式即可。 【规范解答】A．，差为1，不满足倒数的意义，符合题意； B．，乘积为1，和10互为倒数，不符合题意； C．，乘积为1，和互为倒数，不符合题意； D．，乘积为1，和互为倒数，不符合题意。 故答案为：A 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·吉林长春·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )             ( )         ( )1       ( ) 【答案】 ＜ ＞ ＝ ＜ 【思路引导】一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于这个数。一个数加上一个大于0的数，和大于这个数本身。互为倒数的两个数相乘，积为1。分数乘分数方法是，分子乘分子，分母乘分母；异分母分数相加，先通分成同分母然后再相加。据此分析计算解答即可。 【规范解答】，所以＜； ，所以＞； 和互为倒数，所以＝1； ＝；＝，＜，所以＜。 奥数拓展一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）现有甲、乙、丙3个数，每次计算其中2个数的平均数，3次计算的结果分别是、12、30，那么甲、乙、丙中最大的数比最小的数大___________。 【答案】36 【思路引导】根据平均数的意义和求法，可知任意两个数的和分别是：×2、12×2、30×2，据此用×2＋12×2＋30×2即可求出三个数的和的2倍，再除以2即可求出三个数的和；然后用三个数的和分别减去任意两个数的和，即可求出第三个数；然后用最大的数减去最小的数即可。 【规范解答】（×2＋12×2＋30×2）÷2 ＝（＋12＋30）×2÷2 ＝＋12＋30 ＝ －×2 ＝－ ＝ －12×2 ＝－24 ＝ －30×2 ＝－60 ＝ ＜＜ －＝36 甲、乙、丙中最大的数比最小的数大36。 【考点剖析】本题主要考查平均数的意义和应用，掌握相应的求法是解答本题的关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一件羽绒服原价560元。两家商场以不同的方式促销。 百货商场 满200元送80元现金，满400元送200元现金。 中央市场 本柜台羽绒服在原价的基础上一律打六五折出售。 你认为到哪个商场购买羽绒服更便宜？ 【答案】百货商场 【思路引导】由于百货商场满400元送200元现金，560＞400，则会便宜200元，求出此时的价格；中央市场是打六五折出售，即按照原价的进行出售，单位“1”是原价，单位“1”已知，用乘法，即560×，求出此时的价格，再比较即可。 【规范解答】560－200＝360（元） 560×＝364（元） 364＞360 答：到百货商场购买羽绒服更便宜。 【考点剖析】本题主要考查折扣问题，要清楚打几折就是按照原价的十分之几进行出售，几几折是按照原价的一百分之几十几。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）六年级二班有48名学生，其中男生占。全班有38人报名“周末小志愿者”活动。这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有( )人，最少有( )人。 【答案】 30 20 【思路引导】全班人数×男生所占分率＝男生人数，即48×＝30（人），报名参加活动的人数大于全班男生人数，所以当全班男生都参加时，就是参加活动男生人数最多的时候，当女生全部参加活动时，就是参加活动男生人数最少的时候，据此解答。 【规范解答】48×＝30（人） 48－30＝18（人） 当男生全部参加时，此时参加活动的男生人数就最多，就是30人； 当女生全部参加活动时，参加活动的男生人数最少，是：38－18＝20（人） 这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有 30人，最少有20人。 【考点剖析】此题主要考查分数乘法的应用，解题关键是找出什么情况下男生人数最多，什么情况下男生人数最少。 奥数拓展二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西渭南·期中）《舞马鹿》是粤北山区特有的民间舞蹈，传说已有150多年历史，每年新年期间，有舞狮队和舞马鹿队的表演。某次表演中舞狮队有48人，舞马鹿队的人数比舞狮队多，则舞马鹿队比舞狮队多多少人？ 【答案】12人 【思路引导】把舞狮队的人数看作单位“1”，舞马鹿队比舞狮队多的人数对应舞狮队人数的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【规范解答】48×＝12（人） 答：舞马鹿队比舞狮队多12人。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江苏南通·期中）甲、乙两根一样长的绳子，甲用去了米，乙用去了，用去的绳子（    ）。 A．甲长 B．乙长 C．一样长 D．无法比较 【答案】D 【思路引导】把绳子的原长看作单位“1”，根据赋值法，分别假设出绳子的长度等于1米，小于1米，大于1米的长度，进而解答。 【规范解答】当绳长等于1米时。 甲用去了米 乙用去了：1×＝（米） ＝，则甲用去的米等于乙用去的。 当绳长小于1米时，假设为米。 甲用去了米 乙用去了：×＝（米） ＞，则甲用去的米大于乙用去的。 当绳长大于1米时，假设为2米。 甲用去了米 乙用去了：2×＝（米） ＜，则甲用去的米小于乙用去的。 由于不知道甲、乙两根绳子的具体长度，所以无法比较甲和乙用去的绳子长度。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东深圳·阶段检测）下列情境中，能用解答的是（    ）。 ①有12名同学，其中有的同学参加跑步，参加跑步的同学有多少名？ ②一个长方形的长是12米，宽是长的，长方形的面积是多少平方米？ ③一根长12米的绳子，用去全长的，用去多少米？ ④做一个蝴蝶结需米彩带，做12个这样的蝴蝶结需要多少米彩带？ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【思路引导】算式表示求的是多少，或者表示12个相加的和，逐一判断即可。 【规范解答】① 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 列式为： ② 先求宽，列式为；再求面积，需用长乘宽。 列式为： ③ 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 列式为： ④ 求12个是多少，用乘法计算。 列式为：或 能用解答的是①③④。 奥数拓展三 分数乘分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）高铁的发展给我们的生活带来了极大便利，李阿姨乘坐高铁去云南旅游，列车开出全程的时，她开始睡觉，等她醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的几分之几？ 【答案】 【思路引导】等李阿姨醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，将睡前行驶的路程看作单位“1”，则列车已经行驶了的，用乘法求出李阿姨醒来时列车行驶的路程占总量的分率，再用这个分率减去睡前行驶的分率解答。 【规范解答】 答：在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数。那么，该近似值的最后一位小数是( )。 【答案】9 【思路引导】将循环小数转换成分数的方法：设这个循环小数等于x，循环节有多少个数字，则就乘1后面几个0，之后再减去x即可得到一个整数，再根据等式的性质2以及分数和除法的关系，即可把循环小数用分数表示；据此把两个循环小数都用分数表示出来，再根据分数乘法的计算方法：分子乘分子，分母乘分母，得到的结果再转换成小数，用分子除以分母得到的结果是小数；由于结果是循环小数，保留一百位小数，那么看小数点后的101位是多少，即101除以循环节的位数，得到的余数即是剩余的数量，再找到对应的第一百位数字和第一百零一位数字，据此即可填空。 【规范解答】解：设x＝，则1000x＝ 1000x－x＝－ 999x＝27 x＝27÷999 x＝ 解：设y＝，则1000000y＝ 1000000y－y＝－ 999999y＝179672 y＝179672÷999999 y＝ ×＝ ＝4856÷999999＝ 101÷6＝16……5 则101位上的数字是5，第100位上的数是8，由此即可知道第100位上的数要进一， 8＋1＝9 所以该近似值的最后一位小数是9。 【考点剖析】本题主要考查循环小数化分数的方法以及循环小数的认识，重点掌握循环小数化分数的方法是解题的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南驻马店·期中）一节劳动课小时，老师示范讲解用了全课的，学生动手操作用了全课的，剩下的时间用于成果展示和交流。成果展示和交流的时间占全课的几分之几？大约是多少分钟？ 【答案】；10分钟 【思路引导】把全课时间看作单位“1”，成果展示和交流的时间占全课时间的分率＝1－（老师示范讲解的时间占全课时间的分率＋学生动手操作的时间占全课时间的分率），成果展示和交流的时间＝全课时间×成果展示和交流的时间占全课时间的分率，最后根据“1小时＝60分钟”把单位转化为“分钟”。 【规范解答】1－（＋） ＝1－（＋） ＝1－ ＝ ×＝（小时） ×60＝10（分钟） 答：成果展示和交流的时间占全课的，大约是10分钟。 奥数拓展四 分数乘小数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下列算式（    ）的结果在和之间。 A．× B．× C．× D．× 【答案】C 【思路引导】根据分数与分数的乘法计算法则，计算出各选择的计算结果，再进行比较，即可解答。 【规范解答】A．×＝；＜，×的结果不在和之间，不符合题意； B．×＝，＜，×的结果不在和之间，不符合题意； C．×＝，＜＜，×的结果在和之间，符合题意； D．×＝，＞，×的结果不在和之间，不符合题意。 下列算式×的结果在和之间。 故答案为：C 【考点剖析】熟练掌握分数与分数的乘法计算以及异分母分数比较大小的方法是解答关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明在学完分数乘法时很快就计算出下面算式的得数。 21×＝ ×＝ 1.8×＝ 小明：我发现：“一个数（0除外）乘一个比1小的分数，积一定小于它本身”。 小明真是个善于发现的好孩子！如果让你继续研究分数乘法中积的其他变化规律，聪明的你还能发现分数乘法中的其他规律吗？请举例说明并写出你的结论。（每个规律最少举2个例子） 【答案】6；；0.6 我发现：“一个数（0除外）乘一个比1大的分数，积一定大于它本身”； 举例：1.2×2＝2.4；×＝；×6＝2； 我发现：“一个数（0除外）乘一个等于1的数，积一定等于它本身”； 举例：3×1＝3；×1＝；0.8×1＝0.8。 【思路引导】先根据分数乘法的计算方法计算出这三个算式的结果，再得出规律；再把第二个乘数写成大于1，或等于1，得出规律。 【规范解答】 21×＝6 ×＝ 1.8×＝0.6 我发现：“一个数（0除外）乘一个比1大的分数，积一定大于它本身”； 举例：1.2×2＝2.4；×＝；×6＝2； 我发现：“一个数（0除外）乘一个等于1的数，积一定等于它本身”； 举例：3×1＝3；×1＝；0.8×1＝0.8。 【考点剖析】解决本题通过计算，得出乘法算式中计算的规律。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）×□，要使积小于，方框里可以填( )，要使积大于，方框里可以填( )。 【答案】 小于1的数 大于1的数 【思路引导】因为一个分数乘一个小于1的数，得到的积比这个分数小；一个分数乘大于1的数，得到的积比这个分数大。据此解答。 【规范解答】由分析知： ×□，要使积小于，方框里可以填（小于1的数），要使积大于，方框里可以填（大于1的数）（答案不唯一） 【考点剖析】了解一个分数乘一个小于1的数，得到的积比这个分数小、一个分数乘一个大于1的数，得到的积比这个分数大，是解答本题的关键。 奥数拓展五 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 【答案】D 【思路引导】由题中图可知：m大于0，m小于n且m和n都小于1，t大于2且小于3。一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。分别对每个选项中的算式进行计算，算结果的范围，找到结果最接近2和3之间即可。 【规范解答】A．n、m大于0且小于1，n＋m的结果大于0且小于2； B． n、m大于0且小于1，n大于m，所以n－m的结果大于0且小于1； C． n、m大于0且小于1，n×m的结果比n小，所以结果大于0且小于1； D． n、m大于0且小于1，n是m的两倍多，所以n÷m的结果大于2且小于3，最符合题意； 故答案为：D 【考点剖析】本题主要考查学生对用字母表示数的理解，其中能计算出每个算式的结果的取值范围是解题关键。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃定西·期末）在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 ( )    ( )    ( ) ( )     ( )    ( ) 【答案】 ＞ ＜ ＝ ＜ ＞ ＝ 【思路引导】在分数除法中，当被除数不为零时，除以一个大于1的数，商一定小于它本身；当被除数不为零时，除以一个小于1的数，商一定大于它本身，被除数不为零时，除以1，商一定等于它本身；在分数乘法中，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数大于1时，积比原来的因数大，当另一个因数小于1时，积比原来的因数小，一个因数（0除外）保持不变，当另一个因数等于1时，积等于原来的因数。据此解答。 【规范解答】5＞1，所以＞ ，所以＜ 1＝1，所以＝ 5＞1，所以＜ ，所以＞ 1＝1，所以＝ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南驻马店·期中）已知（A、B、C均不为0），那么A、B、C三个数中，( )最大，( )最小。 【答案】 B C 【思路引导】当乘法算式的乘积相等且不为0时，如果已知因数越小，那么与它相乘的另一个因数越大；相反地，已知因数越大，与它相乘的另一个因数就越小；比较已知三个因数的大小关系即可。 【规范解答】分析可知，因为＜＜，所以B＞A＞C，A、B、C三个数中，B最大，C最小。 奥数拓展六 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级·全国·寒假作业）已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少？ 【答案】5和7 【思路引导】质数是大于1的自然数，除了1和它本身之外，没有其他因数。已知两个质数的倒数和是，首先要明确：两个质数的倒数相加时，通分后的分母是这两个质数的乘积，分子是这两个质数的和。因此我们可以先对分母35分解质因数，再验证分子是否符合两个质数的和的条件。 【规范解答】分解分母的质因数： 35＝5×7 验证分子是否匹配： 5＋7＝12，与倒数和的分子12一致。 验证5和7的倒数和： 结果与题目中两个质数的倒数和是一致。 答：这两个质数是5和7。 【考点剖析】“已知两个质数的倒数和求这两个质数”的问题，关键在于抓住分数加法的通分规律：两个质数的倒数相加，分母是两个质数的积，分子是两质数的和。解题时先对倒数和的分母分解质因数，再验证分解后的质数之和是否等于分子，即可快速确定答案。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·山东烟台·期中）两个质数的乘积是的倒数，这两个质数是( )和( )。 【答案】 3 7 【思路引导】根据倒数的定义：乘积是1的两个数互为倒数，例如：如果a、b不为0，a×b＝1，则a是b的倒数，b是a的倒数。一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。的倒数是21，将21拆分成2个质数相乘，据此解答。 【规范解答】设这两个质数为和。根据题意，两个质数的乘积是，即。所以，因此。将21分解质因数：21＝3×7，3和7都是质数。 所以这两个质数是3和7。 【考点剖析】本题考查了倒数的求法以及质数的认识。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级·全国·随堂练习）如果甲的倒数大于乙的倒数，那么甲与乙相比较，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 【答案】B 【思路引导】若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数。举例验证比较大小，据此解答。 【规范解答】假如甲数的倒数是，乙数的倒数是，，据此求出甲数是2，乙数是3，此时甲数小于乙数。 故答案为：B 【考点剖析】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，注意两个数倒数的大小与这两个数的大小比较正好相反，大的反而小，小的反而大。 奥数拓展七 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个非零自然数与它的倒数和是20.05，这个自然数是（    ）。 A． B．21 C．20 D． 【答案】C 【规范解答】把20.05化成带分数是20 20＝20＋ 20×＝1 所以这个自然数是20。 故答案为：C 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·浙江杭州·期中）两个连续的奇数的倒数差是，这两个连续的奇数分别是( )和( )。 【答案】 11 13 【思路引导】两个连续奇数一定是互质数，它们的倒数差的分母是这两个连续奇数的积。那么由143＝11×13可把143拆成两个奇数11和13的乘积即可得解。 【规范解答】由分析可得：143＝11×13，，那么这两个连续的奇数分别是11和13。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）两个自然数的倒数和是，这两个数是（    ）。 A．2和4 B．5和6 C．2和3 【答案】C 【思路引导】假设这两个自然数为a和b，则这两个自然数的倒数为和，这两个自然数的倒数和等于（＋），将各选项的数分别带入算式进行计算，即可选出正确答案。 【规范解答】根据分析，将各选项数值带入（＋） A．＋ ＝＋ ＝ 所以A不符合题意； B．＋ ＝＋ ＝ 所以B不符合题意； C．＋ ＝＋ ＝ 所以C符合题意； 故答案为：C 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个西瓜，八戒吃了西瓜的，猴哥吃了剩下部分的，沙僧吃完最后剩下的。你知道他们谁吃的西瓜多？  （    ） A．八戒 B．猴哥 C．沙僧 D．一样多 【答案】D 【思路引导】将西瓜总量看作单位“1”，八戒吃了西瓜的，用1－求出剩下部分占总量的几分之几，再把剩下部分看作单位“1”，利用分数乘法求出猴哥吃的占比，最后用总量减去前两人吃的占比求出沙僧吃的占比，进行比较即可。 【规范解答】把西瓜的总量看作单位“1”。 八戒吃了西瓜的： 八戒吃完后剩下部分占总量的： 猴哥吃了剩下部分的，即占总量的： 沙僧吃了最后剩下的，占总量的： 因为，所以三人吃的西瓜一样多。 2．（24-25五年级下·辽宁鞍山·阶段检测）《庄子·杂篇·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完，如果我们第一天取走这根木棒的一半，第二天取走剩下部分的一半，……那么第六天取走的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】把这根木棒的长度看作单位“1”，第一天取走，第二天取走剩下部分的，即总长度的，以此类推，第几天取走的长度就是几个连乘。求第六天取走的长度，即6个连乘。 【规范解答】把木棒总长度看作单位“1”。 3．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说：“一尺长的木棍，每天截一半，永远也截不完。”求第四天截取的长度是这根木棍的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】把这根木棍的总长度看作单位“1”。“日取其半”意味着每天截取的长度是前一天剩下长度的。第一天截取后剩下；第二天截取的长度是第一天剩余部分的，即总长度的；第三天截取的长度是第二天剩余部分的，即总长度的；第四天截取的长度是第三天剩余部分的，即总长度的。 【规范解答】把这根木棍的总长度看作单位“1”。 第一天截取的长度： 第二天截取的长度： 第三天截取的长度： 第四天截取的长度： 所以第四天截取的长度是这根木棍的。 4．（24-25五年级下·河北张家口·期末）已知（A、B、C≠0），A、B、C三个数中，( )最大。 【答案】C 【思路引导】三个乘法算式的乘积相等，当积保持不变时，其中一个因数越小，对应的另一个因数就越大。据此比较已知因数的大小，推导另一个因数的大小关系。 【规范解答】＝，＝，＝。 因为＜＜，即＜＜，所以C＞A＞B。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）五（5）班学生去榜罗镇会议纪念馆参观，一共用了4小时，其中路上用去的时间占，午饭和休息时间共占，剩下的时间安排参观活动，参观的时间占( )，参观用了( )小时。 【答案】 2 【思路引导】把一共用的时间看作单位“1”，路上用去的时间占，午饭和休息时间共占，则参观的时间占总时间的分率＝1－（路上用去的时间占总时间的分率＋午饭和休息时间共占总时间的分率），参观的时间＝一共用的时间×参观的时间占总时间的分率。 【规范解答】1－（＋） ＝1－（＋） ＝1－ ＝ 4×＝2（小时） 6．（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）假分数的倒数一定都是真分数。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。分子大于或等于分母的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。乘积是1的两个数互为倒数。 【规范解答】比如是假分数，它的倒数是1。所以原题说法错误。 故答案为：× 7．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）n＋＝n×15÷4（n≠0）。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据分数与除法的关系，先将n×15÷4中的15÷4转换为，则题干中的等式变为：n＋＝n×，即等号左边是n和相加，等号右边是n和相乘，可以设代入后进行验证是否相等。 【规范解答】n×15÷4＝n× 设并代入验证： 左边： 右边： 因为 ，所以原题说法错误。 故答案为：× 8．（25-26五年级下·陕西西安·期中）解方程。 （1）    （2） 【答案】x＝；x＝5 【思路引导】（1）利用等式的性质，等式两边同时减去，计算等式右侧即可解得方程。 （2）先计算左边乘法的结果，再利用等式的性质，等式两边同时加上这个结果，等式两边再同时除以x前面的数即可解得方程。 【规范解答】（1）x＋＝ 解：x＋－＝－ x＝ （2）5x－×8＝15 解：5x－10＝15 5x－10＋10＝15＋10 5x＝25 5x÷5＝25÷5 x＝5 9．（25-26五年级下·陕西渭南·期中）回收的废纸可以通过加工，将它质量的加工为再生纸继续使用。五（1）班上周共收集了千克废纸，这些废纸可以加工出2.8千克再生纸吗？ 【答案】不可以 【思路引导】把收集的废纸总质量看作单位“1”，再生纸的质量等于废纸总质量乘，先计算出可加工的再生纸质量，再与2.8千克比较大小。 【规范解答】×＝＝2.5（千克） 2.5千克＜2.8千克 答：这些废纸不可以加工出2.8千克再生纸。 10．（24-25五年级下·天津西青·期末）跑步能增强小学生的身体素质，使他们在日常生活中更加活跃和健康。一天体育课上，小亮在学校操场上跑了千米，而小明跑了学校操场一圈的，你认为他们谁跑得更远？你觉得有几种可能？请说明理由。 温馨提示：陈述理由时，可以先假设操场一圈是多少米，再进行比较。 【答案】有3种可能；当操场一圈大于1千米时，小明跑得多；当操场一圈等于1千米时，两人跑得一样多；当操场一圈小于1千米时，小亮跑得多。（理由合理即可） 【思路引导】小亮跑了千米，这里的单位“1”是1千米；小明跑了操场一圈的，这里的单位“1”是操场一圈的长度。因为操场一圈的长度是不确定的，所以千米与操场一圈的的大小关系无法直接确定，需要分情况讨论操场一圈的长度与1千米的关系，从而得出三种可能的结果。 【规范解答】将小亮跑的距离换算成米：（米）即小亮跑了500米。 小明跑了操场一圈的，其具体距离取决于操场一圈的长度。根据温馨提示，我们假设操场一圈的长度进行比较： 情况一：假设操场一圈的长度正好是1000米。小明跑的距离：（米）此时两人跑得一样远。 情况二：假设操场一圈的长度小于1000米（例如标准跑道一圈400米）。小明跑的距离：400×＝200（米）此时500米＞200米，小亮跑得更远。 情况三：假设操场一圈的长度大于1000米（例如1200米）。小明跑的距离：（米）此时600米＞500米，小明跑得更远。 答：综上所述，因为操场一圈的长度不确定，所以有3种可能： 当操场一圈大于1千米时，小明跑得多； 当操场一圈等于1千米时，两人跑得一样多； 当操场一圈小于1千米时，小亮跑得多。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广东广州·期末）李珍倒满了一杯牛奶，喝了半杯后，觉得味道单调，又用果汁加满了杯子，拌匀后又喝了半杯。在她所喝的液体量中，有（    ）杯是果汁。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据题意，李珍第一次喝了半杯，第二次又喝了半杯，一共喝了一杯。杯子中加入的果汁量是杯，拌匀后又喝了半杯，这半杯里果汁的含量是杯的一半，据此列式解答。 【规范解答】（杯） 所以，在她所喝的液体量中，有杯果汁。 2．（24-25五年级下·山东济南·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．正方体一个面的面积总是它表面积的 B．所有真分数都比1小 C．一个西瓜，表哥吃了，我也吃了 D．1米的和2米的相等 【答案】C 【思路引导】本题主要考查正方体表面积的特征、真分数的定义、单位“1”的应用以及分数乘法的意义。正方体6个面完全相同；真分数小于1；同一单位“1”的部分和不能大于1；求一个数的几分之几用乘法计算。逐项分析即可。 【规范解答】A．正方体有6个完全相同的面，表面积是6个面的面积之和，所以一个面的面积是表面积的1÷6＝，此选项正确。 B．真分数是指分子小于分母的分数，真分数的分数值一定小于1。此选项正确。 C．把一个西瓜看作单位“1”，表哥和我吃的分率之和为＋＝，因为＞1，所以不可能两人共吃了一个西瓜的。此选项错误。 D．1 米的是1×＝（米），2 米的是2×＝（米），两者相等。此选项正确。 3．文文和乐乐到文具店去买了同样的文具后，两人的钱都有剩余，文文剩下了所带钱数的，乐乐剩下所带钱数的。（    ）带的钱多？ A．文文 B．乐乐 C．一样多 D．无法判断 【答案】B 【思路引导】文文剩下所带钱数的，证明文文花了他所带钱的；乐乐剩下所带钱数的，说明乐乐花了他所带钱数的；因为他们买了同样的文具，所以文文所带钱的就等于乐乐所带钱的，进而运用积相等时，一个因数大了，另一个因数则小的知识进行解答。 【规范解答】文文花了所带钱数的：1－＝， 乐乐花了所带钱数的：1－＝， 因为买了同样的文具，所以文文的总钱数×＝乐乐的总钱数×， 又因为＜，则乐乐的总钱数＞文文的总钱数。 故答案为：B 【考点剖析】此题重点考查对分数的意义和分数大小比较的灵活运用。 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）黑色部分可以用乘法算式( )表示。 【答案】 【思路引导】先把整个长方形看作单位“1”，平均分成4份，取其中的3份，这部分用分数表示是。再把这的部分看作新的单位“1”，平均分成2份，取其中的1份，也就是取的，列式即可。 【规范解答】可以用乘法算式表示。 5．（24-25五年级下·湖北宜昌·期末）一根长10m的绳子，第一次用去，第二次用掉，还剩( )m。 【答案】7.6 【思路引导】要求剩下的长度，用绳子原来的长度减去两次用去的长度。第一次用去，是把绳子原来的长度看作单位“1”，用去了10m的，用10乘。 【规范解答】10－10×－ ＝10－2－ ＝8－0.4 ＝7.6（m） 6．体育商店有足球和排球共200只，且两种球的个数差不多，每只足球售价30元，每只排球售价25元，当足球售完后，排球全部售完。这时售出的两种球一共卖( )元。 【答案】5000 【思路引导】设体育商店有足球x只，那么排球有200－x（只），售出的足球为x×30（元），售出的排球为25（200－x）元，两者相加即可求出答案。 【规范解答】设体育商店有足球x只，那么排球有200－x（只）， x×30＋25（200－x） ＝25x＋5000－25x ＝5000（元） 【考点剖析】解题的关键是用字母表示出足球的数量，排球的数量，进而根据题中的数量关系求出售出的两种球一共卖的价钱。 7．（24-25五年级下·广东深圳·期末）用你喜欢的方法计算，但必须写出计算过程。                      【答案】； 【思路引导】（1）先把约分简化，再用分子乘分子、分母乘分母的方法计算分数乘法，最后对结果约分得到答案。 （2）先算括号里的分数减法（通分后计算），再用减去括号算出的结果，通分后得到答案。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ 8．（24-25五年级下·广东深圳·期末）学校开展阅读习作比赛，获奖总人数有240人，其中一等奖获奖人数占获奖总人数的，二等奖获奖人数占获奖总人数的。一等奖获奖人数比二等奖少多少人？ 【答案】42人 【思路引导】求一个数的几分之几是多少，单位“1”已知，用具体量乘分率。题目中单位“1”为获奖总人数，且获奖总人数为240人，是已知的。一等奖获奖人数占获奖总人数的，用获奖总人数乘求出一等奖获奖的人数，二等奖获奖人数占获奖总人数的，用获奖总人数乘求出二等奖获奖的人数，最后用二等奖获奖人数减去一等奖获奖人数解答。 【规范解答】 （人） 答：一等奖获奖人数比二等奖少42人。 9．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 【答案】28人 【思路引导】根据题意，有的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，则两种读物都订的人占（＋－1），所以两种读物都订的有48×（＋－1），据此解答即可。 【规范解答】48×（＋－1） ＝48× ＝28（人） 答：两种读物都订阅的有28人。 【考点剖析】根据订两种读物的人数分别占全部人数的分率，求出两种读物都订的人数占全部人数的分率是完成本题的关键。 10．（25-26五年级上·福建泉州·期末）教育部对学生睡眠时间提出明确要求，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时。 (1)小文是一名五年级的学生，他每天睡10时，他一天的睡眠时间占全天的几分之几？ (2)上高中的小钟每天睡眠时间占全天的，他的睡眠时间符合教育部的相关规定吗？请你用文字、画图或列算式的方法说明你的想法。 【答案】(1) (2)符合；方法说明见详解 【思路引导】解答这道题需明确：求一个数是另一个数的几分之几，用除法；求一个数的几分之几是多少，用乘法；一天等于24小时。 （1）题目中已知小文每天睡10时，求他一天的睡眠时间占全天的几分之几，用计算即可。 （2）小钟每天睡眠时间占全天的，也就是24小时的，据此求出小钟每天的睡眠时间，再与高中生应达到8小时的标准作比较即可。 【规范解答】（1） 答：他一天的睡眠时间占全天的。 （2）（小时） 高中生应达到8小时，所以小钟的睡眠时间符合教育部的相关规定。 答：小钟的睡眠时间符合教育部的相关规定。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第三单元 分数乘法『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+6个考点讲练+7个奥数拓展+真题演练 共59题） 同学你好，该份讲义用于北师大版五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 3 考点讲练 真题汇总 4 高频考点一 分数与整数相乘 4 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 5 高频考点三 打折的意义及应用（分数) 5 高频考点四 分数乘分数 6 高频考点五 因数和积的大小关系（分数乘法） 7 高频考点六 倒数的认识 8 奥数拓展 拔尖冲刺 8 奥数拓展一 分数与整数相乘 8 奥数拓展二 求一个数的几分之几的问题 8 奥数拓展三 分数乘分数 9 奥数拓展四 分数乘小数 10 奥数拓展五 因数和积的大小关系（分数乘法） 10 奥数拓展六 倒数的认识 11 奥数拓展七 自然数与倒数的和或差的问题 11 优选真题 实战演练 11 【基础夯实 知识巩固】 11 【拓展提高 能力拔尖】 13 知识点一 分数乘法的意义 1. 分数乘整数与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数的和的简便运算。 2. 分数乘分数是求一个数的几分之几是多少。 知识点二 分数乘法的计算法则 1. 分数与整数相乘：分子与整数相乘的积做分子，分母不变。（整数和分母约分） 2. 分数与分数相乘：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。 3. 小数与分数相乘 （1）把小数转化成分数，按分数乘分数的方法进行计算； （2）把分数转化成小数，按小数乘小数的方法进行计算。 4.为了计算简便，能约分的要先约分，再计算 注意：当带分数进行乘法计算时，要先把带分数化成假分数再进行计算。 5.规律：（乘法中比较大小时） 一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。 一个数（0除外）乘小于1的数（0除外），积小于这个数。 一个数（0除外）乘1，积等于这个数。 6.分数混合运算的运算顺序和整数的运算顺序相同。 7.整数乘法的交换律、结合律和分配律，对于分数乘法也同样适用。 知识点三 分数乘法解决问题 1. 找单位“1”：在分率句中分率的前面；或“占”、“是”、“比”的后面。 2. 写数量关系式技巧 （1）“的”相当于“×”、“占”、“是”、“比”相当于“=”； （2）分率前是“的”：单位“1”的量×分率=分率对应量； （3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量×（1±分率）=分率对应量。（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少） 3. 画线段图 ①两个量的关系：画两条线段图； ②部分和整体的关系：画一条线段图。 4. 连续求一个数的几分之几是多少的解题方法 单位“1”的量×分数＝对应量（比较量） 5. 已知一个数量比另一个数量多（或少）几分之几，求这个数量的解题方法 （1）单位“1”的量±单位“1”的量×另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几＝另一个数量； （2）单位“1”的量×[1±另一个数量比单位“1”多(或少)的几分之几]＝另一个数量。 知识点四 倒数的认识 1. 定义：乘积为1的两个数互为倒数 注意：一个数不能称之为倒数。 2. 求一个数的倒数的方法 （1）求真分数、假分数的倒数：交换分子、分母的位置； （2）求整数的倒数：先把整数（O除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置； （3）求小数的倒数：先把小数化成分数，再交换分子、分母的位置； （4）求带分数的倒数：先把带分数化成假分数，再交换分子、分母的位置.。 3. 注意：1的倒数是1，0没有倒数。 高频考点一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西运城·期末）结合图形，认真观察，解答下面问题。 （1）根据图形和算式填空。 整数乘法 3×2＝6 小数乘法 0.3×2＝0.6 分数乘法 3个一乘2得（    ）个一 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） 3个（    ）乘2得（    ）个（    ） （2）整数、小数和分数乘法计算的道理一样吗？请说明理由。 （3）这样的道理对你以后的学习有什么启发？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）在学校劳动实践基地的蔬菜种植区，西红柿的种植面积是60平方米，黄瓜的种植面积比西红柿多。黄瓜比西红柿多种植了多少平方米？ （1）画一画。 （2）列式解决问题。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西运城·期末）王凯在高考调休的日子里，对自己每一天的学习生活做了一个简单规划：大约有的时间户外运动，的时间课业学习，的时间睡眠，其余的时间用于餐饭和休闲娱乐。 （1）王凯用于户外运动、课业学习和睡眠的时间一共占全天时间的几分之几？ （2）用于餐饭和休闲娱乐的时间一共占全天时间的几分之几？是多少小时？ 高频考点二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）某种松鼠的体长在20cm到28cm之间，它的尾巴约占体长的。下列不可能是这种松鼠的尾巴长度的是（    ）。 A．15cm B．20cm C．21cm D．24cm 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁营口·期末）笑笑看一本故事书，第一天看了总页数的，第二天看了余下的。两天看的页数相比较（    ）。 A．第一天多 B．第二天多 C．一样多 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）黄豆中蛋白质含量约占，用黄豆能提取( )千克蛋白质。 高频考点三 打折的意义及应用（分数) 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）“618购物节”某专卖店全场九折优惠。妈妈用1800元买到一款扫地机器人，它的原价是多少元？解决这个问题时，下列对数量关系的理解不正确的是（    ）。 A．原价现价1800元 B． C．“九折”表示“现价是原价的” D．“九折”相当于“降价了” 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）在图书展销会上，淘气看中了一套图书，原价150元。现在打八折优惠，每套只需要( )元，每套优惠了( )元。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·山西吕梁·期末）六一儿童节，是时光赠予童年的魔法锦囊，轻轻一启，便涌出整个世界的温柔与惊喜。文采汇演组为六一儿童节提前创编了精彩节目，为确保表演效果，他们准备采购20套单价为120元的表演服，去哪家商店买更合算？ 甲：所有服装八折优惠 乙：每满1000元，返现金150元 高频考点四 分数乘分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级上·四川成都·期末）一根铁丝，先用去，再用去剩下的，最后剩下全长的（    ）。 A． B． C． D． 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）探究。 （1）画图表示。 （2）参照下图整数、小数乘法的拆分思路，写出的计算过程。 ＝（    ）（    ） ＝（        ） ＝     ＝ （3）思考：结合画图和计算的过程，淘气发现，乘法计算都是将“计数单位”ד计数单位”、“计数单位的个数”ד计数单位的个数”。 可以看作（    ）个与（    ）个相乘，也就是看有（    ）个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁丹东·期末）一个西瓜，八戒吃了，悟空吃了剩下部分的。下面的讨论中，有（    ）个是错的。 ①悟空说：“我俩吃的一样多。” ②八戒说：，猴哥吃的比我多。” ③沙僧说：“他们分完了，剩下的给我，我们三人一样多。” ④唐僧说：“我是平均分给你们的。” A．1 B．2 C．3 D．4 高频考点五 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·安徽淮南·期末）不计算，在括号填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )    ( )    ( ) 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·四川成都·期末）比一比，写想法。在括号里填上“＞”“＜”或“＝”，你是怎么比的？至少写出两种比较方法。 (1)( ) (2)我是这样比较的： 方法一：_____________________ 方法二：___________________ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·福建泉州·期末）分数和在直线上的位置如下图所示，若，那么下列选项有可能正确表示位置的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点六 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·辽宁营口·期末）( )＝1，( )＝1。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·广东深圳·期末）下面不能表示互为倒数关系的等式是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·吉林长春·期末）在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )             ( )         ( )1       ( ) 奥数拓展一 分数与整数相乘 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）现有甲、乙、丙3个数，每次计算其中2个数的平均数，3次计算的结果分别是、12、30，那么甲、乙、丙中最大的数比最小的数大___________。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一件羽绒服原价560元。两家商场以不同的方式促销。 百货商场 满200元送80元现金，满400元送200元现金。 中央市场 本柜台羽绒服在原价的基础上一律打六五折出售。 你认为到哪个商场购买羽绒服更便宜？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）六年级二班有48名学生，其中男生占。全班有38人报名“周末小志愿者”活动。这个班报名“周末小志愿者”活动的男生最多有( )人，最少有( )人。 奥数拓展二 求一个数的几分之几的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·陕西渭南·期中）《舞马鹿》是粤北山区特有的民间舞蹈，传说已有150多年历史，每年新年期间，有舞狮队和舞马鹿队的表演。某次表演中舞狮队有48人，舞马鹿队的人数比舞狮队多，则舞马鹿队比舞狮队多多少人？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·江苏南通·期中）甲、乙两根一样长的绳子，甲用去了米，乙用去了，用去的绳子（    ）。 A．甲长 B．乙长 C．一样长 D．无法比较 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·广东深圳·阶段检测）下列情境中，能用解答的是（    ）。 ①有12名同学，其中有的同学参加跑步，参加跑步的同学有多少名？ ②一个长方形的长是12米，宽是长的，长方形的面积是多少平方米？ ③一根长12米的绳子，用去全长的，用去多少米？ ④做一个蝴蝶结需米彩带，做12个这样的蝴蝶结需要多少米彩带？ A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 奥数拓展三 分数乘分数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·陕西咸阳·期中）高铁的发展给我们的生活带来了极大便利，李阿姨乘坐高铁去云南旅游，列车开出全程的时，她开始睡觉，等她醒来时，列车行驶的路程是睡前行驶路程的，在李阿姨睡觉的这段时间，列车行驶的路程是全程的几分之几？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（2025·湖南长沙·小升初真题）将循环小数与相乘，取近似值，要求保留一百位小数。那么，该近似值的最后一位小数是( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南驻马店·期中）一节劳动课小时，老师示范讲解用了全课的，学生动手操作用了全课的，剩下的时间用于成果展示和交流。成果展示和交流的时间占全课的几分之几？大约是多少分钟？ 奥数拓展四 分数乘小数 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）下列算式（    ）的结果在和之间。 A．× B．× C．× D．× 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）小明在学完分数乘法时很快就计算出下面算式的得数。 21×＝ ×＝ 1.8×＝ 小明：我发现：“一个数（0除外）乘一个比1小的分数，积一定小于它本身”。 小明真是个善于发现的好孩子！如果让你继续研究分数乘法中积的其他变化规律，聪明的你还能发现分数乘法中的其他规律吗？请举例说明并写出你的结论。（每个规律最少举2个例子） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）×□，要使积小于，方框里可以填( )，要使积大于，方框里可以填( )。 奥数拓展五 因数和积的大小关系（分数乘法） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）数m、n、t在数线上的位置如图所示，与数t最接近的是（    ）。 A．n＋m B．n－m C．n×m D．n÷m 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·甘肃定西·期末）在括号里填上“＞”“＜”“＝”。 ( )    ( )    ( ) ( )     ( )    ( ) 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级下·河南驻马店·期中）已知（A、B、C均不为0），那么A、B、C三个数中，( )最大，( )最小。 奥数拓展六 倒数的认识 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级·全国·寒假作业）已知两个质数的倒数和是，求这两个质数是多少？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（25-26五年级上·山东烟台·期中）两个质数的乘积是的倒数，这两个质数是( )和( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级·全国·随堂练习）如果甲的倒数大于乙的倒数，那么甲与乙相比较，（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＜乙 C．甲＝乙 奥数拓展七 自然数与倒数的和或差的问题 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）一个非零自然数与它的倒数和是20.05，这个自然数是（    ）。 A． B．21 C．20 D． 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24六年级上·浙江杭州·期中）两个连续的奇数的倒数差是，这两个连续的奇数分别是( )和( )。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）两个自然数的倒数和是，这两个数是（    ）。 A．2和4 B．5和6 C．2和3 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）一个西瓜，八戒吃了西瓜的，猴哥吃了剩下部分的，沙僧吃完最后剩下的。你知道他们谁吃的西瓜多？  （    ） A．八戒 B．猴哥 C．沙僧 D．一样多 2．（24-25五年级下·辽宁鞍山·阶段检测）《庄子·杂篇·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是一尺长的木棒，每日截取它的一半，永远截不完，如果我们第一天取走这根木棒的一半，第二天取走剩下部分的一半，……那么第六天取走的长度是这根木棒的（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25五年级下·辽宁大连·期末）我国古代哲学名篇《庄子·天下》中有这样一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说：“一尺长的木棍，每天截一半，永远也截不完。”求第四天截取的长度是这根木棍的（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25五年级下·河北张家口·期末）已知（A、B、C≠0），A、B、C三个数中，( )最大。 5．（24-25五年级下·甘肃定西·期末）五（5）班学生去榜罗镇会议纪念馆参观，一共用了4小时，其中路上用去的时间占，午饭和休息时间共占，剩下的时间安排参观活动，参观的时间占( )，参观用了( )小时。 6．（25-26五年级下·陕西咸阳·期中）假分数的倒数一定都是真分数。( )（判断对错） 7．（24-25五年级下·辽宁沈阳·期末）n＋＝n×15÷4（n≠0）。( )（判断对错） 8．（25-26五年级下·陕西西安·期中）解方程。 （1）    （2） 9．（25-26五年级下·陕西渭南·期中）回收的废纸可以通过加工，将它质量的加工为再生纸继续使用。五（1）班上周共收集了千克废纸，这些废纸可以加工出2.8千克再生纸吗？ 10．（24-25五年级下·天津西青·期末）跑步能增强小学生的身体素质，使他们在日常生活中更加活跃和健康。一天体育课上，小亮在学校操场上跑了千米，而小明跑了学校操场一圈的，你认为他们谁跑得更远？你觉得有几种可能？请说明理由。 温馨提示：陈述理由时，可以先假设操场一圈是多少米，再进行比较。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广东广州·期末）李珍倒满了一杯牛奶，喝了半杯后，觉得味道单调，又用果汁加满了杯子，拌匀后又喝了半杯。在她所喝的液体量中，有（    ）杯是果汁。 A． B． C． D． 2．（24-25五年级下·山东济南·期末）下列说法错误的是（    ）。 A．正方体一个面的面积总是它表面积的 B．所有真分数都比1小 C．一个西瓜，表哥吃了，我也吃了 D．1米的和2米的相等 3．文文和乐乐到文具店去买了同样的文具后，两人的钱都有剩余，文文剩下了所带钱数的，乐乐剩下所带钱数的。（    ）带的钱多？ A．文文 B．乐乐 C．一样多 D．无法判断 4．（24-25五年级下·广东深圳·期末）黑色部分可以用乘法算式( )表示。 5．（24-25五年级下·湖北宜昌·期末）一根长10m的绳子，第一次用去，第二次用掉，还剩( )m。 6．体育商店有足球和排球共200只，且两种球的个数差不多，每只足球售价30元，每只排球售价25元，当足球售完后，排球全部售完。这时售出的两种球一共卖( )元。 7．（24-25五年级下·广东深圳·期末）用你喜欢的方法计算，但必须写出计算过程。                      8．（24-25五年级下·广东深圳·期末）学校开展阅读习作比赛，获奖总人数有240人，其中一等奖获奖人数占获奖总人数的，二等奖获奖人数占获奖总人数的。一等奖获奖人数比二等奖少多少人？ 9．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 10．（25-26五年级上·福建泉州·期末）教育部对学生睡眠时间提出明确要求，小学生每天睡眠时间应达到10小时，初中生应达到9小时，高中生应达到8小时。 (1)小文是一名五年级的学生，他每天睡10时，他一天的睡眠时间占全天的几分之几？ (2)上高中的小钟每天睡眠时间占全天的，他的睡眠时间符合教育部的相关规定吗？请你用文字、画图或列算式的方法说明你的想法。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $