专题23.4一次函数与方程（组）、不等式6大题型专项突破（期末复习讲义）2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题23.4一次函数与方程（组）、不等式（组） 【6大题型专项突破】 【题型1 一次函数与方程】........................................................................................................................1 【题型2 一次函数与方程组】....................................................................................................................4 【题型3 一次函数与不等式】....................................................................................................................6 【题型4 一次函数与不等式组】..............................................................................................................10 【题型5 一次函数与方程、不等式综合】..............................................................................................12 【题型6 求直线围成的图形面积】..........................................................................................................17 题型1 一次函数与方程 【例1-1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的解为直线与x轴交点横坐标，结合函数图象，得出答案即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴当，， ∴方程的解为． 【例1-2】（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 【例1-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 【变式1-1】（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数与一元一次方程的联系，以及点P坐标，可直接得出方程的解． 理解一次函数与一元一次方程的联系是解题关键． 【详解】解：由图知，一次函数的图象经过点P， 方程的解是． 【变式1-3】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 题型2 一次函数与方程组 【例2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，运用数形结合的思想即可解答． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴方程组的解是：． 【变式2-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由函数图象可知：方程组的解是． 【变式2-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为_____． 【答案】 【分析】先将交点横坐标代入，即可得交点坐标，再根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解答． 【详解】解：由图可知，交点的横坐标为1， 将代入得，， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为． 【变式2-3】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得， ∴， ∴的解是． 【变式2-4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系，一次函数图象的交点坐标就是两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解，据此可得到方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与（是常数，）的图象的交点坐标是， ∴方程组的解是． 题型3 一次函数与不等式 【例3-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数图象，写出直线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图可知，关于x的不等式的解集为． 【例3-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小，且时，，所以不等式的解集为． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数中随的增大而减小， 时，， 时，， 不等式的解集为． 【例3-3】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 【变式3-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象找到一次函数的函数值大于或等于1时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从函数图象的角度看，求关于的不等式的解集就是确定直线在上方部分对应x的取值范围．因此先将点代入函数，求出n的值，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵直线过点 ∴，解得， ∴直线与直线交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 【变式3-4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 【答案】 【分析】根据函数图象找到直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由图象可知：直线与直线相交于点， ∴不等式的解集是. 题型4 一次函数与不等式组 【例4-1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ，故正确． 【例4-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到直线在直线上方且在轴下方，所对应的的范围即可． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为． 【变式4-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】根据函数图象即可解答． 【详解】解：观察函数图象得到不等式的解集为， 不等式的解集为； 所以不等式组的解集为． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 【变式4-3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 【例5】（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________．题型5 一次函数与方程、不等式综合 【答案】3 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与轴、轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：一次函数经过第一、二、三象限， ，故①正确； 一次函数与轴交于负半轴，与轴交于， ，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式组的解集是，故⑤正确； 正确的一共有3个． 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析． 【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标； （2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围； （3）根据题意可得，即可得的取值范围； （4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可． 【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为． （2）解：根据图象可得不等式的解集为． （3）解：∵，， ∴， ∴． （4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系： 形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到； 图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集； 本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式． 【变式5-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 题型6 求直线围成的图形面积 【例6】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【分析】（1）把代入解析式，求出的值，把点的坐标代入求出的值即可； （2）根据函数图象求出不等式的解集即可； （3）设直线于轴的交点为，先求出点与点的坐标，然后根据三角形面积公式，求结果即可. 【详解】（1）解：将代入，得： ， ， 将代入，得： ， 解得：． （2）解：根据函数图象可知， 当时，直线在直线的下方， 不等式的解集为：． （3）解：由（1）得， 直线的解析式为：， 当时，，则， 当时，，则直线与轴交点为，如图， ． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象的交点问题，求一次函数解析式，根据直线的交点求出不等式的解集，解题的关键是数形结合，求出两条直线的交点坐标． 【变式6-1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）联立两个函数的解析式，求出交点坐标； （2）分别求出点和点的坐标，再求出的面积； （3）利用图象判断时，的取值范围． 【详解】（1）解：联立一次函数与，得， ， 解得， ∴点的坐标为； （2）解：将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； （3）解：由图象可知，在点以及点的右侧，的图象不高于的图象， ∴当时，的取值范围为． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把点代入得出，然后再代入进行求解即可； （2）由题意易得，则有，然后可得， 设点，进而建立方程进行求解即可； （3）根据函数图象直接进行求解即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， ∴， ∴； （2）解：令时，则有，解得：， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴点在线段上， ∴， 设点， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由图象可知：不等式的解集为． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值，于是可得点，将代入直线，得一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）根据函数图象即可直接得出答案； （3）设点E坐标为，先求出直线与轴的交点，再求出直线与轴的交点、与轴的交点，进而可求出、的长，然后求出，判断出点在第二象限，根据列出方程求解即可得到点的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：∵直线：经过 ， ∴， 解得， ， 将代入直线，得：， 解得， ，； （2）解：根据图象可以看出，关于x的不等式的解集为； （3）解：由（1）得直线的解析式为， 设点E坐标为， 令，解得， ∴， 令 ，解得， ∴， ∴， 将代入，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积为6，且 ， ∴点E在第二象限， ∴ ∴ ． ∴， 则 ， ∴点E坐标为， 设直线平移后的解析式为，则 ， 解得， ∴平移后的直线表达式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.4一次函数与方程（组）、不等式（组） 【6大题型专项突破】 【题型1 一次函数与方程】........................................................................................................................1 【题型2 一次函数与方程组】....................................................................................................................2 【题型3 一次函数与不等式】....................................................................................................................3 【题型4 一次函数与不等式组】................................................................................................................5 【题型5 一次函数与方程、不等式综合】................................................................................................7 【题型6 求直线围成的图形面积】............................................................................................................8 题型1 一次函数与方程 【例1-1】（25-26八年级上·陕西西安·期中）一次函数（k，b为常数，且）的图象如图所示，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级·上海·寒假作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 __________ ． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图所示，一次函数的图象经过点P，则方程的解是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1-3】（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 题型2 一次函数与方程组 【例2】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·吉林长春·期中）如图为一次函数与一次函数的图象，则方程组的解为_____． 【变式2-3】（25-26八年级下·吉林长春·阶段检测）如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是_____． 【变式2-4】（25-26八年级下·上海普陀·期中）已知一次函数与（k是常数，）的图像的交点坐标是，则方程组的解是__________． 题型3 一次函数与不等式 【例3-1】（25-26八年级下·河南周口·期中）若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知一次函数（，为常数，且）的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【例3-3】（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则不等式的解集是_______． 题型4 一次函数与不等式组 【例4-1】（25-26八年级下·吉林长春·期中）一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，直线，直线分别与轴交于点与点则不等式组的解集为______． 【变式4-2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【变式4-3】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（    ） A． B． C． D．或 【例5】（25-26八年级下·山东济南·阶段检测）一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，根据图象有下列五个结论：①，②，③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是________．题型5 一次函数与方程、不等式综合 【变式5-1】（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【变式5-2】（25-26八年级下·广东清远·期中）函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)利用图象求方程的解； (2)利用图象求不等式的解集； (3)若，求的取值范围； (4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解． 【变式5-3】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 题型6 求直线围成的图形面积 【例6】（25-26八年级下·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与正比例函数交于点． (1)求m和k的值． (2)结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． (3)若点在直线上，连接，求的面积． 【变式6-1】（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积； (3)结合图象，直接写出时，的取值范围． 【变式6-2】（25-26八年级下·河南郑州·期中）如图，已知直线分别与x，y轴交于点A、B，与直线相交于点，点P为直线上一点． (1)求n和k的值； (2)若点P在射线上，且，求点P的坐标； (3)观察函数图象，请直接写出不等式的解集． 【变式6-3】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与直线交于，直线分别与x轴、y轴交于C、D，连接． (1)求出m、n的值； (2)直接根据图象写出关于x的不等式的解集； (3)将直线沿y轴向上平移后与直线交于点E，若的面积为6，求平移后的直线表达式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $