一次函数的应用 期末复习一本通 —— 清单・练・测 全程通关2025-2026学年人教版八年级下册数学

第二十三章 一次函数 一次函数的应用 知识点 一次函数的应用 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）；（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比较函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． （3）行程问题 （4）分段计费问题 （5）含参问题 （6）几何综合题 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键，设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据各类会员卡的收费标准列出式子，再比较，即可得出答案． 【详解】解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得， 不够买会员卡时，， 购买A类会员年卡，， 购买B类会员年卡，， 购买C类会员年卡，， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，， 此时， ∵游泳的次数介于次之间 ∴当时，， 即此时购买C类会员年卡，消费最低， ∴最省钱的方式为购买C类会员年卡， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点A在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是4，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是4， ∴，，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移5个单位得到点C， ∵ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的图象性质，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键 3．如图所示的是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：）关于上升时间（单位：）的函数图象．下列结论：①当时，两个探测气球位于同一高度；②当时，；③当时，甲气球位置高．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是根据图象进行解答． 根据图象进行解答即可． 【详解】解：①当时，两个探测气球位于同一高度，说法正确，符合题意； ②当时，，说法正确，符合题意； ③当时，甲气球位置高，说法正确，符合题意； 其中正确的有①②③，是个， 故选：A． 4．甲、乙两个工程队修建一条公路，先由甲工程队施工一段时间，乙工程队再加入一起施工，公路修建的长度与施工的时间（天）之间的函数关系图象如图所示，则甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，先理解题意，再设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，然后将点代入，进行计算，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：设甲､乙两队合作后y与x之间的函数关系式为，将点代入， 得， 解得， ∴， 把代入， ∴， ∴甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是， 故选：A 5．如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了一次函数的图象和性质，需要根据三角形的性质和直线的条件，确定b的取值范围．首先，利用等腰直角三角形的性质和点的坐标确定点B的坐标．然后，根据直线经过点的条件，推导出b与k的关系．最后结合图象分析直线与三角形各边相交的情况，确定b的取值范围． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴点B的坐标为， ∵直线经过点， 将点代入直线，得到， 根据题意结合图象可知，直线绕点旋转且与三角形有交点， 那么当直线经过点时，b的取值最小，当直线经过点时，b的取值最大， 将点代入得，解得：，则， 将点代入得，解得：，则， 故直线与三角形有交点时，的取值范围为， 故选：A． 6．某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午整，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为66克时的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由表格数据可知电子秤读数与沉沙时间成一次函数关系，根据数据求出一次函数解析式，再代入求出x的值，最后结合起始时间计算即可． 【详解】解：观察表格数据发现每过2小时，增加克，即每小时增加6克． ∴与是一次函数关系，设解析式为 ． 将 ， 和，代入得 ， 解得， ∴函数关系式为 ， 令 ，代入函数关系式： 解得， ∵实验开始时间是上午，沉沙时间小时， ∴结束时间为：． 故选：B． 7．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点在直线上表示出点坐标及长，利用矩形性质和求出长，进而得到点的坐标，代入求解即可. 【详解】解：设点的坐标为（）， 点在直线上，且四边形为矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即， ， ， ， 点的横坐标为， 四边形是矩形 ， 点的横坐标为，纵坐标为，即 点在直线上 ， ， ， . 8．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力F与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 C．当时，拉力F与之间的函数表达式为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】B 【分析】观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设段的函数解析式为：，代入，得： ， 解得：， ，故C不符合题意； C、将，代入， 此时石块所受浮力是：，故B符合题意； D、将代入，得， 此时石块距离水底，故D不符合题意． 二、填空题 9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 10．如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，先求出点的坐标，勾股定理求出的长，折叠，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴； 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案．解题的关键是读懂题意，正确求出函数关系式． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度，为， 故答案为：15． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 【答案】3 【分析】根据题意，可设直线的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到，再根据三角形面积公式计算． 【详解】解：直线直线，则可设直线的解析式为， 又， ，解得， 即直线的解析式为， 又，四边形是长方形， 当时，， ， 又， ． 三、解答题 13．2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 【答案】(1) (2)能购买15套汉诺塔 【分析】（1）根据“一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折”进行求解即可； （2）先判断购买的数量是否大于10套，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，当时，费用为， 当时，费用为． 与之间的函数关系式为； （2）解：， 数学老师的购买数量大于10套． 令， 解得， 答：若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买15套汉诺塔． 14．某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件．在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件．工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系． (1)分别求段和段所对应的函数解析式； (2)试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 【答案】(1)段所对应的函数解析式为；段所对应的函数解析式为 (2)11天 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出日销售利润为1280元时，销售量为320；根据题意可得销售量越大，日销售利润越大，据此把代入到段和段所对应的函数解析式中求出对应的x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设段所对应的函数解析式为， 将代入中，得． 解得， ∴段所对应的函数解析式为， 设段所对应的函数解析式为． ∵直线段经过点，， ∴， 解得 ∴段所对应的函数解析式为． （2）解：， ∴当日销售利润为1280元时，销售量为320件， ∵日销售利润（售价进价）销售量，且售价进价， ∴销售量越大，日销售利润越大 在段，当时，，解得． 在段，当时，， 解得， ∴当时，日销售利润不低于1280元 （天）． ∴试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有11天． 15．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? 【答案】(1)甲种光伏板的单价为700元 (2)一共有11种购买方案，购买甲种光伏板为180块，乙种光伏板为400块总费用最低，最低费用为486000元 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，分式方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍，列出方程，解方程即可； （2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，列出不等式，解不等式组得出，设总费用为w元，根据题意得出，根据一次函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元， 由题意得， 解得：， 经检验，为原方程的根， 甲种光伏板的单价为700元． （2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块， 由题意得：， 解得， 为正整数， 满足条件的有11种取值，所以一共有11种购买方案， 设总费用为w元， 则， ， ∴w随的增大而增大. 越小，总费用越低， 当时，总费用最低， 即购买甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为400块总费用最低， 最低费用为元． （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用——调价购买问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，分段计费，是解题的关键． 设购买刺绣手帕x条，需付款y元，当时，，当时，，根据小悦有150元钱，可得，解得． 【详解】解：设购买刺绣手帕x条，需付款y元， 当时， ；　 当时， ． 小悦有150元钱， ∴． ∴当时，． 解得，不合题意； 当时，， 解得，符合． 则她最多能购买11条手帕． 故选：A． 2．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当拉力时，重物的重力 B．当时， C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用．由图可得拉力与重力成一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，逐项判断即可求解． 【详解】解：由图象可知，拉力与重力成一次函数关系，拉力F随着重力的增加而增大， 故选项C结论正确，不合题意； 设，将和代入，得：， 解得， ， 当拉力时，解得， 故选项A结论正确，不合题意； 由图可得，当时，， 故选项B结论错误，符合题意； 由图可得，当时，， 故选项D结论正确，不合题意； 故选：B． 3．某游泳馆有、两种收费，所付总费用与游泳次数之间的关系如图所示．去年小明共游泳25次，他预计今年也是25次左右，你认为小明预计今年最划算应付费（    ） A．300元 B．400元 C．500元 D．600元 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取信息和一次函数的实际应用，分配方案问题； 分别计算不同的收费方式所需的费用，再进行比较即可． 【详解】解：由题可知，种收费方式，总费用与游泳次数的关系式为：； ①选择种收费方式，游泳25次应付费用元； ②选择种收费方式，游泳25次应付费用元； ③20次选择种收费方式，5次选择种收费方式，游泳25次应付费用元； ∵， ∴小明预计今年最划算应付费用元， 故选：B． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，已知轴上的点的坐标为，以，为邻边构造平行四边形，过点作，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，平行四边形的性质，由得，，则有，又四边形时平行四边形，则，通过，求出，再通过勾股定理可得，最后通过线段和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、动点问题，求得的面积y随t变化的函数解析式是解题的关键． 根据动点的变化，当点M在边上运动时，，求得；当点M在边上运动时，，，令求解即可． 【详解】解：根据图象可知，即， 当点M在边上运动时，， ∴，解得：， 当点M在边上运动时，， ∴， 令，解得：． 故选：C． 6．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（    ） A．二楼离地面的高度为6米 B．乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C．当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D．乙先到达一楼地面 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：令时，则有， ∴二楼离地面的高度为6米，故A正确； 设乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 由图象可把点代入得：， 解得：， ∴乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系为， 令时，则有，解得：， ∴乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒，故B正确； 把分别代入和得：， ∴当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米，故C正确； 令时，则有，解得：， ∵， ∴甲先到达一楼地面，故D错误； 故选D． 7．如图1，在正方形中，E是边的中点，动点P从点A出发，沿着的路径以的速度运动到点C，设点P的运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，一次函数的性质，根据点P的运动过程，分情况讨论的面积变化，再结合图象求出面积最大值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可知，点P从点A运动到点C所用时间为， 因为运动速度为， ∴正方形的边长为：， ∵E是边的中点， ∴， ∴， 当点P从上运动时，的底边不变，边上的高越来越大，即y随x的增大而增大； 当点P从上运动时，的高为，底边越来越小，即y随x的增大而减小； ∴当点P运动到点B时，的面积最大， ∴面积的最大值为：， 故选：B． 8．如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题通过分析直线平移过程中与矩形边的相交情况，结合函数图象获取关键信息，进而求出矩形的边长，最终计算出矩形的面积． 【详解】由图象可知，当时，，此时直线平移后过点， 图②中点时，直线平移后过点；点时，直线平移后过点， 当时，，此时直线平移后过点，如图①， ∴当时，平移后的解析式为， 令，则，即， 当从变化到时，直线从点平移到点， ∴， ∵直线从点平移到点，从变化到时， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题 9．如图，菱形中，对角线在y轴的正半轴上，且，直线过点C，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征及菱形的性质是解题的关键．设与交于点M，根据菱形的特征，得到，再根据一次函数图象上点的坐标特征，可求得点C的坐标，从而得到，再根据菱形的性质，即得答案． 【详解】解：设与交于点M， 四边形是菱形， ，， 令，则， ， ， ． 故答案为：． 10．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用．过点A作轴于点C，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点A的坐标为，进而得到直线的解析式，即可求解． 【详解】解：过点A作轴于点C，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 把代入得： ∴，解得：， ∴直线的解析式为， ∵点B的纵坐标为1， 把代入得： ，解得：， ∴点B的坐标为． 故答案为： 11．如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 12．正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的规律题，理解图示，掌握一次函数图像的性质是解题的关键． 根据点和点分别在直线和x轴上，分别求出点的坐标，并结合图形特点，找横纵坐标的规律，即可求解． 【详解】解：如图， ∵直线， ∴当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， 当时，， ∴， ∴的横坐标是，的纵坐标是， …… ∴的横坐标是，的纵坐标是 ∴点的坐标是，即． 三、解答题 13．陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 【答案】(1) (2)7天后冰箱里的蔬菜不能食用，理由见解析 【分析】（1）设菌落总数与天数之间的函数关系式为，结合表格数据利用待定系数法求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式中求出菌落总数，再与50比较判断，即可解题． 解题的关键在于结合表格数据利用待定系数法求出一次函数解析式． 【详解】（1）解：设菌落总数与天数之间的函数关系式为， 结合表格数据可得， 解得， 菌落总数与天数之间的函数关系式为； （2）解：当时，， ， 7天后冰箱里的蔬菜不能食用． 14．在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据已知直接可得，； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）令时，，求出h的值即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知可得：，， 故答案为：14，8； （2）解：设段与之间的函数表达式为， ∴，解得：， ∴； （3）解：在中，令时，， 解得， ∵， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 15．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． 【答案】(1)；15；1 (2) (3)4 (4)1.2或2或2.6 (5) ；24 【分析】本题主要考查一次函数的应用，通过待定系数法求函数表达式，并根据甲、乙两人的行程情况列出方程是解题的关键． （1）由图象可知，乙比甲提前到达地的时间为甲、乙分别到达地的时间差，乙的速度可由到达地的距离除以到达地的时间即可； （2）根据函数图象，分两段求函数表达式，当时，根据甲、乙速度相同，甲比乙先出发骑行3km，得到一段y关于x的函数表达式；当时，设y关于x的函数表达式为，由于图象经过，两点，将两点分别代入函数表达式得到方程组，求解方程组即可； （3）先根据图象确定乙到达地时对应的值，再代入甲此时对应的函数表达式求出值，用总路程减去值得到甲离地的距离即可； （4）分两种情况讨论，甲、乙相遇前后和乙到达地后的情况，根据甲、乙两人相距2km列出方程求解即可； （5）根据甲乙相遇时两人路程相等，结合图象列出方程，求解方程，再求出此时距离地的距离即可． 【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲提前到达， 而乙的速度为， 由于开始时，甲、乙两人骑行速度相同， 则， 故答案为：，，； （2）解：由（1）知，，乙的骑行速度为, 当时，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； 当时，设y关于x的函数表达式为， 图象经过，两点，代入函数表达式得： 解得 因此，y关于x的函数表达式为, 综上所述，甲骑行过程中，y关于x的函数表达式为：； （3）解：由图象可知，时，乙到达地， 则在中，令得， 因此，乙到达B地时，甲离B地的路程为， 故答案为：； （4）解：由题意得，乙的骑行速度为， 则乙骑行过程中，y关于x的函数表达式为：， ①甲、乙两人相遇前后相距时， 则， 解得或； ②乙到达地后，甲、乙相距时, 则 综上所述，当或或时，甲、乙两人相距， 故答案为：或或； （5）解：由题意结合图象可得，当两人相遇时，甲的函数表达式为， 乙的函数表达式为， 则， 解得， 此时距离地的距离为． 因此，乙出发时两人相遇，此时距离A地 故答案为：，． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．小明同学了解到身高（）与脚长（）之间近似存在着一个函数关系，部分对应数据如表： 脚长 … … 身高 … … 若小明的脚长为，则他的身高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，根据表格数据，身高与脚长呈一次函数关系，求出函数解析式后代入计算即可． 【详解】解：从表格数据可知，脚长每增加，身高增加， 设函数关系为， 将点代入，得， 解得， 所以 当时， () 故选C． 2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（    ）． 0 1 2 8 A．8 B．7 C．5 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是解题的关键．根据题意，运用待定系数法可得一次函数解析式，再令，代入计算即可． 【详解】解：∵秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系， ∴设一次函数解析式为， 当时，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，得， 解得， ∴所挂物重为， 故选：B． 3．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度不低于10厘米至少需要经过（    ） A．16天 B．32天 C．40天 D．60天 【答案】C 【分析】该题主要考查了一次函数的应用，求出植物的高度(厘米)与观察时间(天)的函数解析式，再求出时，对应的的值，根据函数的增减性即可解答，解题的关键是求出函数解析式． 【详解】解：根据题意设植物的高度(厘米)与观察时间(天)的函数解析式为： 将代入得： 解得： 故解析式为： 将代入， 解得：， 故随的增大而增大， 故该植物的高度超过10厘米至少需要经过40天， 故选：C． 4．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式． 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，然后根据一次函数解析式求出点、的坐标，再求出点、的坐标，再由对称的性质找出点M的坐标，结合勾股定理得出，即可求解． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图． 令中，则 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点为线段的中点， 点． ∵点 在线段上， ∴， 解得：，即点， ∴， ∴， ∴周长的最小值为： 故选：A． 5．如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（   ） A．该长方体金属块的重力是 B．该长方体金属块的高度是 C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 【答案】D 【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D． 【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意； B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意； D、当时，设， 把代入得， 解得， ∴， 在中，当时，， ∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意． 6．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线求出点B坐标，得出，过点D作于点E，证明，得，，设点，则，，得出，代入，求出a的值即可． 【详解】解：∵，当时，， ∴， ∴， 过点D作于点E，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 设点，则，， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴ ∴点D的坐标为． 7．如图，把放在平面直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，解决本题的关键是明确线段扫过的面积应为平行四边形的面积． 先求出，，求出点横坐标为10，求出，根据平行四边形面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示．    ∵点A、B的坐标分别为， ∴， ∵， ∴ ． ∴． ∵平移后的点（即点）在直线上， ∴，解得． 即． ∴． ∴． 即线段扫过的面积为72． 故选：C． 8．小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象和数形结合的思想解答．从图象获取信息，利用速度等于路程除以时间求解，即可判断①②；由于小桐从超市到博物馆所用的时间为分，则点D的坐标为，再由点C的坐标为，利用待定系数法求解，即可判断③；先求出线段所在直线的函数表达式，再与线段所在直线的函数表达式联立求得，即可判断④． 【详解】解：小桐骑自行车的速度为：米/分 故①正确， 小海步行的速度为：米/分，故②正确； 根据题意，点B的坐标为，则点C的坐标为．因为小桐从超市到博物馆所用的时间为分，则点D的坐标为． 设线段所在直线的函数表达式为， 把，代入表达式得， 解得， 所以线段所在直线的函数表达式为，故③不正确 设线段所在直线的函数表达式为， 把，代入表达式得， 解得， 所以线段所在直线的函数表达式为． 可列方程组， 解得， 所以分钟后小桐与小海相遇，故④不正确． 故选：B． 二、填空题 9．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是_____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的应用，先求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵在上， ∴ 解得： 根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度， 故答案为：． 10．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，天然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 11．虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， ∴设， 又∵时，， ∴，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…，直线轴于点（且为整数）．函数的图象与直线分别交于点，；函数的图象与直线分别交于点，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作，…，四边形的面积记作，那么________． 【答案】4049 【分析】本题考查的是一次函数和几何综合，读懂题意，根据直线解析式求出，的值是解题的关键． 根据直线解析式表示出，的值，再根据直线与直线互相平行并判断出四边形是梯形，然后根据梯形的面积公式求出的表达式，然后把代入表达式进行计算即可得出解． 【详解】解：根据题意，当时，，， ∴，． 因为直线轴于点，直线轴于点， 所以，且与间的距离为1， 所以四边形是梯形， 所以． 当时，． 故答案为：4049． 三、解答题 13．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】问题一：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克； 问题二：（1）；（2）最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，解决本题的关键是利用一次函数的性质确定购买方案． 问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克，列二元一次方程组求解即可； 问题二：（1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵，根据两种树吸收二氧化碳的数量列出w与a的函数关系式即可； （2）根据“采购杨树不超过30棵”列出不等式求出a的范围，根据一次函数的性质可知w随a的增大而增大，从而确定采购方案． 【详解】解：问题一：设一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是y克． 根据题意，得， 解得， 答：一辆燃油车每公里产生的二氧化碳排放量是186克，一辆电动汽车每公里产生的二氧化碳排放量是74克． 问题二： （1）设购买了a棵杨树，则购买的冷杉树为棵， 根据题意，得， 与a的函数关系式为； （2）解：， 随a的增大而增大， ， 当时，w的值最大， （棵） ∴购买30棵杨树、70棵冷杉在一年内吸收的二氧化碳总量最大， 即最优采购方案是购买30棵杨树和70棵冷杉． 14．如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分； ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为； （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点． 15．项目式学习 【项目背景】声音的音调高低由物体振动的频率决定．在自制乐器“水瓶琴”中，我们通过改变水瓶中的水量来调整空气柱长度，从而改变振动频率，发出不同音调．某数学综合实践小组对水瓶中的水量和频率之间的关系进行了如下探究： 项目名称 水瓶琴调音师：用数学模型打造精准演奏的“水之乐器” 驱动性问题 如何通过数学建模与实践探究，设计并制作一把能稳定演奏出标准“”音（）的水瓶琴，并分析模型的适用边界． 数据收集 实践小组选取了6个相同规格的玻璃瓶，分别加入不同水量，用频率测量仪测得以下数据： 编号 1 2 3 4 5 6 水量 40 100 160 220 280 340 频率 544 496 448 400 352 304 实践反思 数学模型是对实际问题的近似描述，它往往只在特定条件和范围内有效．在应用模型时，需要结合实际情况验证其合理性．    (1)【数据探究】在平面直角坐标系中描出这些点，并判断y关于x的函数类型． (2)【模型构建】请求出y与x的关系． (3)【模型应用】若想使水瓶琴发出频率为的“”音，请问需要向瓶中加入多少毫升水？ 【答案】(1)图见解析，一次函数 (2) (3)需要向瓶中加入水 【分析】（1）结合表中数据描出各点，连线可得这些点在同一线上，符合一次函数图像； （2）根据待定系数法求解即可； （3）令，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：如图， 函数类型判断：观察数据，水量每增加，频率减少，变化均匀，且这些点在同一线上，因此是一次函数． （2）解：设，代入和得， 解得， 表达式为． （3）解：当时，， 解得， 所以需要向瓶中加入水． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 一次函数的应用 知识点 一次函数的应用 判断等量关系为一次函数的情况 （1）函数图象是直线（或直线的一部分）；（2）用表格呈现数据时：当自变量的变化值均匀时，函数的变化值也是均匀的，而且当自变量的变化值为1时，函数的变化值就是自变量的系数； （3）用语言呈现数据时：当自变量每变化1个单位时，因变量就相应变化个单位 常见类型 （1）最优方案或方案选择问题：常通过比较函数值的大小关系确定方案； （2）利润最大或费用最少问题：通过函数增减性确定最值． （3）行程问题 （4）分段计费问题 （5）含参问题 （6）几何综合题 注意：根据实际情况确定变量的取值范围 （A组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一家游泳馆的游泳收费标准为30元／次，若购买会员年卡，可享受如下优惠： 会员年卡类型 办卡费用（元） 每次游泳收费（元） 类 50 25 类 200 20 类 400 15 例如，购买类会员卡，一年内游泳20次，消费元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于次之间，则最省钱的方式为（   ） A．购买类会员年卡 B．购买类会员年卡 C．购买类会员年卡 D．不购买会员年卡 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形的顶点A在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是4，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔（单位：）关于上升时间（单位：）的函数图象．下列结论：①当时，两个探测气球位于同一高度；②当时，；③当时，甲气球位置高．其中正确的有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．甲、乙两个工程队修建一条公路，先由甲工程队施工一段时间，乙工程队再加入一起施工，公路修建的长度与施工的时间（天）之间的函数关系图象如图所示，则甲工程队单独施工时，每天修建公路的长度是（   ） A． B． C． D． 5．如图，三角形位于第二象限，已知，，其中点A的坐标为，点C的坐标为．若直线经过点且与三角形有交点，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”．该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该小组进行实验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据： 沉沙时间（小时） 0 2 4 6 8 电子秤读数（克） 6 18 30 42 54 若本次实验开始记录的时间是上午整，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为66克时的时间是（    ） A． B． C． D． 7．如图，点、分别在直线和直线上，、是轴上两点，若四边形是矩形，且，则的值是（   ） A．1 B． C． D． 8．在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数拉力F与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 C．当时，拉力F与之间的函数表达式为 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 二、填空题 9．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 10．如下图，直线 与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在y轴上的点处，则点M 的坐标是___________． 11．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第_________秒时1号和2号无人机在同一高度． 12．如图，在平面直角坐标系中，点，，，四边形是长方形，点C在x轴的负半轴，直线直线并与交于点E，则的面积是_____． 三、解答题 13．2026年3月14日是第七个“国际数学日”，今年国际数学日的主题是“数学与希望”．某校计划开展趣味数学活动，数学老师欲购买汉诺塔作为活动道具，已知文具店里汉诺塔售价为15元套，文具店的优惠方案如下：一次购买不超过10套，则每套打九折；若一次购买超过10套，则前10套打九折，超过的部分打八折．设数学老师购买套汉诺塔，购买费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若数学老师计划用195元购买汉诺塔，则他能购买多少套汉诺塔？ 14．某景点计划推出一款文创雪糕，该产品的成本价为8元/件．在正式投放市场前，通过一个月（30天）的试营销，售价定为12元/件．工作人员对销售情况进行跟踪记录，并将结果绘制成图象如下，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系． (1)分别求段和段所对应的函数解析式； (2)试营销这段时间，日销售利润不低于1280元的天数共有多少天？ 15．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍． (1)求甲种光伏板的单价是多少？ (2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案?哪种方案的费用最低?最低费用是多少元? （B组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．某非遗传承人出售手工刺绣手帕，每条15元，若一次性购买超过8条，超出部分每条按10元出售．小悦有150元准备购买这种刺绣手帕，她最多能购买的手帕条数为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 2．在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材进行提升重物实验时（不计绳重和摩擦），他把得到的拉力F（N）和所悬挂重物的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，请你根据图象判断以下结论错误的是（    ） A．当拉力时，重物的重力 B．当时， C．拉力随着重物重力的增大而增大 D．当滑轮组不挂重物时，所用拉力为 3．某游泳馆有、两种收费，所付总费用与游泳次数之间的关系如图所示．去年小明共游泳25次，他预计今年也是25次左右，你认为小明预计今年最划算应付费（    ） A．300元 B．400元 C．500元 D．600元 4．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别相交于，两点，已知轴上的点的坐标为，以，为邻边构造平行四边形，过点作，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图①，在长方形中，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿的方向运动到点D，的面积y与运动时间t的函数关系如图②所示，当的面积为3时，t的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）之间的函数关系为，乙离一楼地面的高度（单位：m）与下行时间（单位：s）的函数关系如图2所示．下列选项错误的是（    ） A．二楼离地面的高度为6米 B．乙从二楼沿步行楼梯到地面用时30秒 C．当下行10s，乙离地面的高度比甲离地面的高度大1米 D．乙先到达一楼地面 7．如图1，在正方形中，E是边的中点，动点P从点A出发，沿着的路径以的速度运动到点C，设点P的运动时间为，的面积为，y与x的函数图象如图2所示，则面积的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图①，将矩形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，．将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．已知直线在起始位置的解析式为．设在平移过程中该直线被矩形的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图象如图②所示，则矩形的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，菱形中，对角线在y轴的正半轴上，且，直线过点C，则___________． 10．边长为1的8个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，且与其中一个正方形的边交于点，则点的坐标为___________． 11．如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为______． 12．正方形，，，…，按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，则点的坐标是________． 三、解答题 13．陈阳在学习完生物学中的《细菌》一节课后得知：“冰箱里低温的环境可以让细菌的繁殖速度变得非常缓慢，甚至失去活性”，但是妈妈告诉他，冰箱里的低温环境只能延缓食物变质的速度，食物在冰箱中放置若干天后一样会变质不能食用，陈阳想进一步了解食物在冰箱中的情况，于是他在家长的陪同下做了一个实验：将新鲜的蔬菜放置于冰箱冷藏室的环境中，逐天统计蔬菜上的菌落总数．经观察发现，蔬菜上的菌落总数是天数（天）的一次函数，他记录的部分数据如下： 天数/天 1 2 3 4 … 菌落总数 20 26 32 38 … (1)求出菌落总数与天数之间的函数关系式； (2)若蔬菜上的菌落总数达到50时就不能食用，那么7天后冰箱里的蔬菜能否食用？ 14．在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 15．甲、乙两人骑自行车从A地到B地．甲先出发骑行3km时，乙才出发；开始时，两人骑行速度相同，后来甲改变骑行速度，乙骑行速度始终保持不变；乙出发后，甲到达B地．如图，x表示乙骑行时间，y表示骑行的距离，图象反映了甲、乙两人骑行的距离与时间之间的对应关系． (1)乙比甲提前______h到达B地，乙的骑行速度为_____， ； (2)求甲骑行过程中，y关于x的函数表达式； (3)乙到达B地时，甲离B地的路程为 km； (4)在甲到达B地前，当 h时，甲、乙两人相距2km； (5)乙出发 h时两人相遇，此时距离A地 km． （C组） 满分：60分 得分：______ 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征．小明同学了解到身高（）与脚长（）之间近似存在着一个函数关系，部分对应数据如表： 脚长 … … 身高 … … 若小明的脚长为，则他的身高为（    ） A． B． C． D． 2．如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离与所挂物重之间满足一次函数关系，下表为记录几次数据之后所列表格：若秤砣到提钮的水平距离是，此时挂重物为（    ）． 0 1 2 8 A．8 B．7 C．5 D．10 3．某生物兴趣小组观察一种植物的生长情况，得到这种植物的高度（厘米）与观察时间（天）的函数关系图象如图所示．照此计算，该植物的高度不低于10厘米至少需要经过（    ） A．16天 B．32天 C．40天 D．60天 4．如图，直线与轴，轴分别交于点和点，点在线段上，且点的坐标为，点为线段的中点，点为线段上一动点，连接，则周长的最小值为（  ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（   ） A．该长方体金属块的重力是 B．该长方体金属块的高度是 C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 6．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x轴的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．如图，把放在平面直角坐标系中，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 8．小海和小桐相约去博物馆参观，小海从学校步行出发直接去博物馆． 同时，小桐从家骑自行车出发，途中，他去超市购物后，按原来的速度继续去博物馆．小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图1所示，他们离小桐家的路程为(米)与所经过的时间(分)之间的函数关系如图2所示， 有下列结论： ①小桐骑自行车的速度为米/分 ②小海步行的速度为米/分 ③线段所在直线的函数表达式为 ④分钟后小桐与小海相遇 其中正确的是（   ） A．②③ B．①② C．①④ D．②④ 二、填空题 9．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是_____________． 10．为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，天然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 11．虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 12．如图，直线轴于点，直线轴于点，直线轴于点，…，直线轴于点（且为整数）．函数的图象与直线分别交于点，；函数的图象与直线分别交于点，如果的面积记作，四边形的面积记作，四边形的面积记作，…，四边形的面积记作，那么________． 三、解答题 13．绿动未来——追踪碳排放 【素材呈现】 素材一：在对A城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳． 【问题解决】 问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克？ 问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克． （1）求w与a的函数关系式； （2）杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 14．如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 15．项目式学习 【项目背景】声音的音调高低由物体振动的频率决定．在自制乐器“水瓶琴”中，我们通过改变水瓶中的水量来调整空气柱长度，从而改变振动频率，发出不同音调．某数学综合实践小组对水瓶中的水量和频率之间的关系进行了如下探究： 项目名称 水瓶琴调音师：用数学模型打造精准演奏的“水之乐器” 驱动性问题 如何通过数学建模与实践探究，设计并制作一把能稳定演奏出标准“”音（）的水瓶琴，并分析模型的适用边界． 数据收集 实践小组选取了6个相同规格的玻璃瓶，分别加入不同水量，用频率测量仪测得以下数据： 编号 1 2 3 4 5 6 水量 40 100 160 220 280 340 频率 544 496 448 400 352 304 实践反思 数学模型是对实际问题的近似描述，它往往只在特定条件和范围内有效．在应用模型时，需要结合实际情况验证其合理性．    (1)【数据探究】在平面直角坐标系中描出这些点，并判断y关于x的函数类型． (2)【模型构建】请求出y与x的关系． (3)【模型应用】若想使水瓶琴发出频率为的“”音，请问需要向瓶中加入多少毫升水？ 学科网（北京）股份有限公司 $