西藏拉萨市七年级下册2025-2026学年下学期自编数学期末试卷（人教版）

**基本信息** 立足七下全册知识，融合传统文化（如篆体汉字平移、《张丘建算经》古诗）与实际应用（租车运货、手机使用寿命调查），梯度设计考查数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（模型意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、平移、不等式组等|以篆体汉字考平移，体现空间观念；结合古诗列方程组，渗透模型意识| |填空题|6/18|角度计算、运算程序等|设计运算程序题，考查创新意识；长方形内小长方形面积问题，培养几何直观| |解答题|10/72|几何推理、数据统计等|几何证明题强化推理能力；租车方案问题关联实际，发展应用意识|

绝密★启用前 拉萨市七年级下册2025-2026学年第二学期自编期末试卷（新人教版） 数学 考试范围：七下所有内容；考试时间：120分钟 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）篆体，为汉字古代书体之一，也叫篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）实数、π+1、﹣0.020020002、中，无理数是（　　） A． B．π+1 C．﹣0.020020002 D． 3．（3分）下列说法中错误的是（　　） A．0的算术平方根是0 B．36的平方根为±6 C．5 D．﹣4的算术平方根是﹣2 4．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，2）向左平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，4） D．（1，0） 6．（3分）如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 7．（3分）以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（　　） A．对乘坐飞机的乘客进行安检 B．了解全班学生的体重 C．检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况 D．调查某品牌手机的使用寿命 8．（3分）下列各式，属于二元一次方程的个数有（　　） ①xy+2x﹣y＝7 ②4x+1＝x﹣y ③ ④x＝y ⑤x2+y2＝2 ⑥6x﹣2 ⑦x+y+z＝1 A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 10．（3分）《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌．如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　 　 °． 12．（3分）若a，b为实数，且，则（a+b）2024＝ 　 　 ． 13．（3分）已知点M（3，1），N（a+3，a），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为 　 　 ． 14．（3分）统计得到的一组数据有80个，其中最大值为139，最小值为47，取组距为10，则可以分成 　 　 组． 15．（3分）长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 　 　 cm2． 16．（3分）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　 　 ． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 18．（5分）解方程组 （1） （2）． 19．（5分）解不等式组，把解集用数轴表示出来并写出满足条件的正整数解． 20．（6分）在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，5），C（﹣5，2）． （1）画出三角形ABC； （2）将三角形ABC平移到三角形A1B1C1，平移后A1（4，2），请画出三角形A1B1C1； （3）直接写出三角形A1B1C1面积 　 　 ． 21．（6分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝68°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝4：3，求∠EOF的度数． 22．（6分）某校进行信息技术模拟测试，八（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6个小组，制成不完整的频数分布直方图，其中在39.5～59.5分的学生数占全班学生总数的8%，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班共有多少名学生？ （2）补全频数分布直方图． （3）若80分及80分以上为优秀，则优秀人数占全班人数的百分比是多少？ 23．（8分）根据题意完成下列推理过程： 已知：如图，AB∥DE，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°． 证明：过点C作CF∥AB． ∵AB∥CF（已知）， ∴∠B＝　 　 （　 　 ）． ∵AB∥DE，CF∥AB（已知）， ∴CF∥DE （　 　 ）． ∴∠2+　 　 ＝180°（　 　 ）． ∵∠2＝∠BCD﹣　 　 （已知）， ∴∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（等量代换）． 24．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠ACB＝∠CFE＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 25．（8分）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）根据题意要求，请写出有哪几种具体的租车方案． 26．（10分）【问题背景】观察小猪的猪蹄，从中可以抽象出如图1所示的图形． 【问题探究】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．可以得到∠AEC与∠A、∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，求∠D的度数. 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 拉萨市七年级下册2025-2026学年第二学期自编期末试卷（新人教版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）篆体，为汉字古代书体之一，也叫篆书．下列用篆体书写的汉字中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【解答】解：四个图形中只有B选项中的图形是经过平移得到的． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握该知识点是关键． 2．（3分）实数、π+1、﹣0.020020002、中，无理数是（　　） A． B．π+1 C．﹣0.020020002 D． 【分析】根据无限不循环小数叫无理数解答即可． 【解答】解：， 实数、π+1、﹣0.020020002、中，只有π+1是无理数， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的定义，掌握无理数的定义的解题的关键． 3．（3分）下列说法中错误的是（　　） A．0的算术平方根是0 B．36的平方根为±6 C．5 D．﹣4的算术平方根是﹣2 【分析】根据平方根、算术平方根的定义，结合选项即可得出答案． 【解答】解：A、0的算术平方根是0，说法正确，故本选项错误； B、36的平方根为±6，说法正确，故本选项错误； C、5，说法正确，故本选项错误； D、﹣4没有算术平方根，说法错误，故本选项正确． 故选：D． 【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，注意掌握负数没有平方根、一个正数的算术平方根为正数，0的算术平方根是0． 4．（3分）一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可． 【解答】解：不等式组， 整理得：， 解得：x＜2， 解集表示在数轴上，如图所示： ． 故选：C． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 5．（3分）在平面直角坐标系中，将点P（1，2）向左平移2个单位长度后得到点Q，则点Q的坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（3，2） C．（1，4） D．（1，0） 【分析】向左平移2个长度单位长度，即点P的横坐标减2，纵坐标不变，得到点Q的坐标． 【解答】解：点P（1，2）向左平移2个长度单位后，坐标为（1﹣2，2），即Q（﹣1，2）． 故选：A． 【点评】本题本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（3分）如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1＝55°，则∠2＝（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【分析】由AC⊥BC可得∠1+∠3＝90°，求出∠3＝35°，再根据平行线的性质即可得出∠2＝∠3＝35°． 【解答】解：如图， ∵AC⊥BC， ∴∠1+∠3＝90°， ∵∠1＝55°， ∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣55°＝35°， ∵直线a∥b， ∴∠2＝∠3＝35°（两直线平行，内错角相等）， 故选：A． 【点评】本题考查垂线，平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 7．（3分）以下调查方式中，适合采用抽样调查的是（　　） A．对乘坐飞机的乘客进行安检 B．了解全班学生的体重 C．检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况 D．调查某品牌手机的使用寿命 【分析】对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【解答】解：A、对乘坐飞机的乘客进行安检，适合采用全面调查，故A选项不合题意； B、了解全班学生的体重，适合采用全面调查，故B选项不符合题意； C、检测“嫦娥一号”各零部件的质量情况，适合采用全面调查，故C选项不合题意； D、调查某品牌手机的使用寿命，适合采用抽样调查，故D选项合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 8．（3分）下列各式，属于二元一次方程的个数有（　　） ①xy+2x﹣y＝7 ②4x+1＝x﹣y ③ ④x＝y ⑤x2+y2＝2 ⑥6x﹣2 ⑦x+y+z＝1 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有未知数项的次数均为1，逐个判断即可． 【解答】解：①xy+2x﹣y＝7，xy项的次数为2，不是二元一次方程； ②4x+1＝x﹣y，整理得3x+y+1＝0，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； ③，是分式，该式不是整式方程，不是二元一次方程； ④x＝y，整理得x﹣y＝0，是整式方程，含两个未知数，所有未知数项次数均为1，是二元一次方程； ⑤x2+y2＝2，未知数项的次数为2，不是二元一次方程； ⑥6x﹣2，不是等式，不属于方程，不是二元一次方程； ⑦x+y+z＝1，含有三个未知数，不是二元一次方程． 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程的定义，正确进行计算是解题关键． 9．（3分）下列命题为真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．不相交的两条直线是平行线 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据对顶角的概念、平行线的概念和性质、平行公理判断即可． 【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； D、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 10．（3分）《张丘建算经》中有这样一首古诗：甲乙隔溪牧羊，二人互相商量；甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样；问甲乙各几羊，让你算个半晌．如果设甲有羊x只，乙有羊y只，那么可列方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】根据甲得乙羊九只，多乙一倍正当；乙说得甲九只，两人羊数一样，可以列出相应的方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，直线AB、CD交于点O，OE⊥CD，∠BOE＝55°，则∠AOC＝ 　35　 °． 【分析】根据垂直定义可得：∠COE＝90°，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵OE⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠BOE＝55°， ∴∠AOC＝180°﹣∠COE﹣∠BOE＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查了垂线，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 12．（3分）若a，b为实数，且，则（a+b）2024＝ 　1　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣1＝0，b+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2， ∴（a+b）2024＝（1﹣2）2024＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 13．（3分）已知点M（3，1），N（a+3，a），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为 　1　 ． 【分析】根据平行于y轴的直线上点的坐标特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵点M（3，1），N（a+3，a），且直线MN与y轴平行， ∴a+3＝3， 解得a＝0， ∴点N的坐标为（3，0）， 则MN＝1﹣0＝1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键． 14．（3分）统计得到的一组数据有80个，其中最大值为139，最小值为47，取组距为10，则可以分成 　10　 组． 【分析】根据组数＝（最大值﹣最小值）÷组距进行计算，再结合具体情况得出答案． 【解答】解：（139﹣47）÷10＝9.2， 又由于分组时，起始组的起始值要比最小值要小一些，终末组的终末值要比最大值要大一些， 因此分成10组为好， 故答案为：10． 【点评】本题主要考查频数（率）分布表，解答本题的关键是根据统计中分组的方法和步骤，利用组数＝（最大值﹣最小值）÷组距进行计算，再考虑具体情况得出答案． 15．（3分）长方形ABCD中放置了6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 　44　 cm2． 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论． 【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得：， 解得：， ∴图中阴影部分的面积＝14（2y+6）﹣6xy＝14×（2×2+6）﹣6×8×2＝44． 故答案为：44． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 16．（3分）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　1≤x＜7　 ． 【分析】根据“程序运行1次得出的结果＜37，运行2次得出的结果≥37”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：1≤x＜7， ∴x的取值范围为1≤x＜7． 故答案为：1≤x＜7． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 三．解答题（共10小题，满分72分） 17．（10分）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）去括号合并解题； （2）先运用绝对值、立方根、算术平方根、平方化简，然后合并解题即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝2+（﹣3）﹣7+1 ＝﹣7． 【点评】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、立方根、算术平方根、平方等知识，掌握相关知识是解题关键． 18．（5分）解方程组 （1） （2）． 【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组利用加减消元法求出解即可． 【解答】解：（1）， 把①代入②得：3x+2（2x﹣3）＝8， 解得：x＝2， 把x＝2代入①得：y＝1， 则方程组的解为； （2）， ①×2+②得：﹣9y＝﹣9，即y＝1， 把y＝1代入①得：x＝1， 则方程组的解为． 【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19．（5分）解不等式组，把解集用数轴表示出来并写出满足条件的正整数解． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤2， ∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： ∴它的所有正整数解为：1，2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（6分）在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣2，5），C（﹣5，2）． （1）画出三角形ABC； （2）将三角形ABC平移到三角形A1B1C1，平移后A1（4，2），请画出三角形A1B1C1； （3）直接写出三角形A1B1C1面积 　6　 ． 【分析】（1）根据坐标描出点A，B，C的坐标，即可求解； （2）根据点A平移到点A1（4，2）处，确定平移的方向和距离，作图即可； （3）直接根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求； （2）如图，△A1B1C1即为所求； （3）三角形A1B1C1面积为4×3＝6，． 故答案为：6． 【点评】本题考查坐标与图形，坐标与平移，三角形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（6分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC． （1）若∠AOF＝68°，求∠COE的度数； （2）若∠AOF：∠COE＝4：3，求∠EOF的度数． 【分析】（1）由角平分线的定义可得∠AOC的度数，由垂线的定义可得∠AOE的度数，据此可得答案； （2）设∠AOF＝4x，∠COE＝3x，则可推出∠EOF＝x，根据垂线的定义可推出4x+x＝90°，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠AOF＝68°，OF平分∠AOC， ∴∠AOC＝2∠AOF＝136°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝136°﹣90°＝46°； （2）∵∠AOF：∠COE＝4：3， ∴可设∠COE＝3x，∠AOF＝4x， ∵OF平分∠AOC， ∴∠COF＝∠AOF＝4x， ∴∠EOF＝∠COF﹣∠COE＝4x﹣3x＝x， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOF+∠EOF＝90°， 即4x+x＝90°， ∴x＝18°，即∠EOF＝18°． 【点评】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． 22．（6分）某校进行信息技术模拟测试，八（1）班的最高分为99分，最低分为40分，课代表将全班同学的成绩（得分取整数）进行整理后分为6个小组，制成不完整的频数分布直方图，其中在39.5～59.5分的学生数占全班学生总数的8%，结合频数分布直方图提供的信息，解答下列问题： （1）八（1）班共有多少名学生？ （2）补全频数分布直方图． （3）若80分及80分以上为优秀，则优秀人数占全班人数的百分比是多少？ 【分析】（1）根据频率进行计算即可； （2）求出“69.5～79.5”的频数，即可补全频数分布直方图； （3）根据优秀率的意义进行计算即可． 【解答】解：（1）（2+2）÷8%＝50（人）， 答：八（1）班共有50名学生； （2）50﹣2﹣2﹣8﹣8﹣18＝12（人）， 补全频数分布直方图如下： （3）100%＝52%， 答：优秀人数占全班人数的52%． 【点评】本题考查频数分布直方图，掌握频率是正确解答的关键． 23．（8分）根据题意完成下列推理过程： 已知：如图，AB∥DE，求证：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°． 证明：过点C作CF∥AB． ∵AB∥CF（已知）， ∴∠B＝　∠1　 （　两直线平行，内错角相等　 ）． ∵AB∥DE，CF∥AB（已知）， ∴CF∥DE （　平行于同一条直线的两条直线互相平行　 ）． ∴∠2+　∠D ＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）． ∵∠2＝∠BCD﹣　∠1　 （已知）， ∴∠D+∠BCD﹣∠B＝180°（等量代换）． 【分析】过点C作CF∥AB，推出AB∥CF∥DE，根据平行线的性质得出∠B＝∠1，∠2+∠D＝180°，即可推出答案． 【解答】证明：过点C作CF∥AB． ∵AB∥CF（已知）， ∴∠B＝∠1（两直线平行，内错角相等）， ∵AB∥DE，CF∥AB（已知）， ∴CF∥DE（平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴∠2+∠D＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠2＝∠BCD﹣∠1（已知）， ∴∠D+∠BCD+∠B＝180°（等量代换）， 故答案为：∠1，两直线平行，内错角相等，平行于同一条直线的两条直线互相平行，∠D，两直线平行，同旁内角互补，∠1． 【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：平行线的性质是：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然，此题是一道中档题目，难度适中． 24．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠ACB＝∠CFE＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论； （2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE， ∵∠B＝∠D， ∴∠DCE＝∠D， ∴AD∥BE； （2）解：∵AB∥CD，∠ACB＝∠CFE＝60°， ∴∠BAE＝∠CFE＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE， ∴∠EAC+∠BAC＝60°， ∵∠BAC＝2∠EAC， ∴∠EAC＝20°， ∴∠BAC＝∠ACD＝40°， ∵∠ACB+∠ACD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝180°﹣∠ACB﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∴∠B＝∠DCE＝80°． 【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键． 25．（8分）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有36吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆（一种或两种车型都可），一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ （2）根据题意要求，请写出有哪几种具体的租车方案． 【分析】（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的货车一次运完36吨货物且每辆车都载满货物，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为自然数，即可得出各租车方案． 【解答】解：（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨， 根据题意得：， 解得：． 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨； （2）根据题意得：3a+4b＝36， ∴b＝9a， 又∵a，b均为自然数， ∴或或或， ∴共有4种租车方案， 方案1：租用B型9辆； 方案2：租用A型车辆4辆，B型6辆； 方案3：租用A型车辆8辆，B型3辆； 方案4：租用A型车辆12辆． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 26．（10分）【问题背景】观察小猪的猪蹄，从中可以抽象出如图1所示的图形． 【问题探究】（1）如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE、CE．可以得到∠AEC与∠A、∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线AB∥CD，若∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°，求∠D的度数. 【分析】（1）过E作EF∥AB，得到EF∥CD，推出∠A＝∠AEF，∠C＝∠FEC，由∠AEC＝∠FEA+∠FEC，即可证明∠AEC＝∠A+∠C． （2）由（1）的结论，即可求解． 【解答】解：（1）∠AEC＝∠A+∠C，理由如下： 如图1，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠A＝∠AEF，∠C＝∠FEC， ∵∠AEC＝∠FEA+∠FEC， ∴∠AEC＝∠A+∠C． （2）如图2，∵∠E＝∠B＝60°，∠F＝85°， ∴∠BHF＝180°﹣60°﹣85°＝35°， 由（1）得：∠D＝∠HED﹣∠AHE＝25°． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠A＝∠AEF，∠C＝∠FEC，得到∠AEC＝∠A+∠C． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5 第1页（共1页） 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