精品解析：2026年陕西西安市工业大学附属中学九年级阶段性教学诊断数学试题

九年级阶段性教学诊断 数学 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值，有理数大小的比较，熟练掌握大小比较是解题的关键． 【详解】，， 故选A． 2. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形是轴对称图形，故本选项符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，求出，根据两直线平行，内错角相等，求出，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ， ， ，， ， ．     故选：A． 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查积的乘方与幂的乘方的运算，需根据相关运算法则分别计算各选项，再与对比得出答案． 【详解】解：∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴对各选项计算如下： A选项：，符合要求； B选项：； C选项：； D选项：； ∴只有A选项计算结果等于． 故选：A． 5. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形性质求出的度数，设，在中用表示出和，进而表示出和，再通过作高利用勾股定理表示出，最后根据列方程求解． 【详解】解：在中，，， ． ， ． 设，在中，， ，． 是的中点， ， ． 过点作于点， 在中，， ， ． ，， ． ， ， 解得：， 即． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平移后的直线解析式为，分别计算直线经过线段端点、时的值，从而确定的取值范围，最后结合选项得出答案． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度后，所得直线的解析式为， 当直线经过点时，，解得， 当直线经过点时，，解得， ∴若平移后的直线与线段有交点，则的取值范围是， ∵，， ∴只有选项C符合题意． 7. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠AOC=80°，则∠D的度数为（ ） A. 80° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据邻补角的性质求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可． 解：∵∠AOC=80°， ∴∠BOC=100°， ∴∠D=∠BOC=50°， 故选C． 考点：圆周角定理． 8. 已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合题目给出的两个条件列出关于的不等式组，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向上，当时，， ∴将代入解析式得：， 化简得，解得， ∵当时，随的增大而增大，开口向上的二次函数对称轴右侧随增大而增大， ∴抛物线对称轴不大于， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得：， 综上，的取值范围是． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分．） 9. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据点在数轴上的位置判断式子的正负，根据实数在数轴上对应点的位置，判定出符号以及绝对值的大小，即可进行判断即可，解题的关键是根据实数在数轴上的位置，正确判断出实数的符号和绝对值的大小． 【详解】解：由实数在数轴上对应点的位置可知：，，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角问题，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据正多边形内角计算公式求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵八边形是正八边形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：． 11. 在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 【答案】100 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点，设函数表达式为，当时， ，即可求解． 【详解】解：设函数表达式为，当时， ， ∴， ∴当时， ∴ 故答案为：100． 12. 如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据等面积求出，勾股定理再求出，证明，可得，根据即可得解． 【详解】连接交于点O，如图， 四边形是菱形，边长为，对角线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，在矩形中；点，分别为边上的动点，将矩形沿翻折，顶点分别落在点处．若，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，根据点到圆的最小距离为点与圆心的连线与圆的较近的交点间的线段的长度求解即可． 【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系 ， 则，，， ， 设，则，  ， ， 由折叠的性质可知，为关于的对称点，且在折痕上  ， ， 在中，，  ，  设 ， 由得： ， 整理得，   ① ， 由得： ， 整理得 ，  ，，   ② 当时，由①得，  代入②得 ， ，  ， ，   ， ∴ ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， 连接交圆于点，此时最小 ，  ，  ， 当时，与重合，， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式乘法、负整数指数幂运算、绝对值的化简，按照运算法则分别计算每一项，再合并即可得到最终结果． 【详解】解： 原式 ． 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分计算，同时利用除法法则转化为乘法，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得将分为两个等腰三角形．保留作图痕迹，不写作法 【答案】作图见解析． 【解析】 【分析】作AC的垂直平分线交AC于D，连接BD，根据直角三角形斜边上的中线性质得到． 【详解】解：如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图操作及直角三角形斜边上的中线性质，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 18. （本题满分分）已知：如图，在中，为上的一点，平分，且，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】因为平分， 所以． 在和中， ， 所以≌， 所以， 又因为， 所以， 所以． 19. 随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 【答案】0.9万件 【解析】 【分析】设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设A机器人分拣的包裹总量为万件，则B机器人分拣的包裹总量为万件， 由题意可得：， 解得：， ∴A机器人分拣的包裹总量为0.9万件． 20. 在今年的国际数学日（3月14日），某校的七年级（一）班开展“讲数学家故事”的活动．A、B、C、D四张卡片上分别印有四位中国数学家：祖冲之、刘徽、华罗庚、陈景润（卡片除图案外其他均相同）．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事 （1）随机抽取一张卡片，卡片上是数学家祖冲之的概率是 ； （2）小安随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小安抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小安抽到的两张卡片中恰好有“数学家华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴随机抽取了一张卡片，则抽到“数学家祖冲之”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A B C D 由表格可知，一共有 12 种等可能性的结果数，其中小安抽到的两张卡片中恰好有“数学家华罗庚”卡片的结果数有 6 种， ∴小安抽到的两张卡片中恰好有“数学家华罗庚”卡片的概率为． 21. 如图①，西安鄠邑区渼陂湖素有“关中山水最佳处”的美誉，景区地标云溪塔为仿唐密檐式九层空心塔，如图②所示，塔身，塔体建于高台之上，高台高度无法直接测量．小明和父母借助手机上可以测量距离和角度的软件，在距地面点高的观测点处，测得云溪塔塔尖的仰角为；沿水平观景步道向后退至点处，再次在离地高的观测点处测得塔尖的仰角为．两点均位于湖边水平观景步道上，且与塔底、塔尖在同一竖直平面内，求塔下高台的高度．（参考数据：，，）． 【答案】塔下高台的高度约为 【解析】 【分析】设与的延长线交于点，连接并延长交于点，先证明四边形、是矩形，设，根据在中，在中，建立方程解得，继而得到． 【详解】解：如图，设与的延长线交于点，连接并延长交于点， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形、是矩形， ，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ，解得：， ， ， ， 答：塔下高台的高度约为． 22. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（%）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为 ，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 【答案】（1）200 （2）140平方米 （3） 【解析】 【分析】（1）将已知的代入函数，通过解方程求出的值． （2）先由（1）得到完整的函数解析式，再将代入函数，求出对应的值，即为开始充电时的打扫面积． （3）先将代入函数求出此时的电量，再根据剩余电量充电电量目标电量列出方程，求解得到的值． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 所以． 【小问2详解】 解：由（1）得， 当时，． 答：建议在满电量状态下打扫140平方米后开始充电． 【小问3详解】 解：当时，代入， 得，解得：，即此时电量为． 由题意得， 解得：． 23. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（） 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动中随机抽取了个豌豆荚，图中 ， ； （2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中；（只填写字母） （3）豌豆荚中豆粒数最多的果实饱满、品质优良，具有更高的市场与食用价值，根据调查数据，现将D类、E类豌豆荚定为精品豌豆荚，请估算某超市购进的50公斤豌豆荚中，精品豌豆荚的质量约为多少公斤． 【答案】（1）100；40；35 （2）C （3） 【解析】 【分析】（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）根据样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：总抽取豌豆荚数为：个； ∴； ∴． 【小问2详解】 解：100个数据的中位数是排序后第50、51个数据的平均数：累计频数：A类 类 ，前两类共19个数据，加上C类后累计为， 因此第50、51个数据都落在C类． 【小问3详解】 解：D、E类总频数为，占总样本的比例为， 因此50公斤豌豆荚中，精品质量约为：公斤． 答：精品豌豆荚的质量约为公斤． 24. 如图，为的直径，为弦，于点E．点F为圆外一点，连接 ，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理，等弧对等弦，等边对等角，推出 ，进而得到，得到，即可得证； （2）易得四边形为平行四边形，进而得到 ，进而求出的长，连接，设的半径为，勾股定理求出的值，进而得到的值，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【小问1详解】 证明：∵为的直径，为弦，于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， ∵为的半径， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 连接，设的半径为，则 ， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴. 25. 如图①，是某海底世界时空隧道的截面图，上半部分可近似看作一条抛物线，下半部分可近似看作矩形．如图②所示，以点O为坐标原点，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知矩形长，宽，隧道最高点距离地面． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为清洁隧道玻璃，工人师傅设计了一个清洁设备，是一条滑轨（点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上），是高度为3米的竖直支撑杆，为竖直的伸缩清洁臂，当点P在上滑动时，伸缩清洁臂可清洁隧道玻璃．若，请问：伸缩清洁臂能否彻底清洁上方的玻璃？请说明理由． 【答案】（1） （2）伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃；理由见解析 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出点G的坐标为，再求出直线的解析式为：，利用二次函数求出隧道玻璃与滑轨间的最大距离为，根据，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵矩形长，宽, ∴点坐标为，B点坐标为， ∵隧道最高点距离地面， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ； 【小问2详解】 解：伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃；理由如下： 把代入得：， 解得：，， ∵点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为，则点P的坐标为， ， ∵当时，取最大值， ∴隧道玻璃与滑轨间的最大距离为， ∵，， ∴， ∴伸缩清洁臂不能彻底清洁上方的玻璃． 26. 问题探究 （1）如图，已知四边形，，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，求四边形的面积； 问题解决 （2）“光影为笔，草坪为卷．”某市文化公园规划打造沉浸式草坪灯光秀，将一条长为240米的园区道路设为观众主要观影步道，其一侧的开阔草坪作为灯光秀表演区．如图②，为提升灯光层次与视觉冲击力，管理部门在步道端点A、B处设置固定主灯光投射点，在表演区内设置移动主灯光投射点C、D．其中，点C、D到步道中点P的距离均等于长的一半，且 ．现设计团队拟在表演区域内增设两个联动灯光投射点M、N，分别位于与的中点处，以形成动态光影核心区域．为增强视觉冲击力，需使的光影覆盖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的区域？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由．（步道宽度与灯光投射点大小均忽略不计） 【答案】（1）3 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）连接，记交点为，根据，得出垂直且平分，，则，，勾股定理求出，即可得，根据三角形中位线定理和平行线的性质即可证明四边形是矩形，即可求解． （2）由题得米，则四边形四点共圆且圆心为，为等边三角形，如图 1 所示，根据三角形中位线定理和等边三角形的性质证出根据 ，作于点，在 中，根据特殊三角形的性质和三角形面积公式得出 ，即可得当的值最大时，的面积最大．如图 2，将绕点逆时针旋转，得到，设，作的延长线于，连接，求出米，在中，根据勾股定理列方程求出，即可得当最大时，最大，即最大时，的值最大．延长到，使，则 ，得出当为的直径时，最大，即可解答． 【小问1详解】 解：连接，记交点为， ， ∴垂直且平分，， ，， ， ， ∵点分别是的中点， ， ，且， ∴， 四边形是矩形， ． 【小问2详解】 解：由题得米， ∴四边形四点共圆且圆心为，为等边三角形， 如图 1 所示， ∴为的直径， ，， ， ∵分别是与的中点，P是的中点， ∴分别是的中位线， 且，且， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ， ， 过点N作于点，则， 在 中，， ， ∴当的值最大时，的面积最大． 如图 2，将绕点逆时针旋转，得到， 则 ， ， ∵ ， ∴ ， ， 设， ， 过点作的延长线于， 在 中， ， ∴，， 连接，过点P作， ∵ ， ∴， ∴米， 在中，， 化简得：， ∴当最大时，最大，即最大时，的值最大． 延长到，使， ， 连接， ∴是等边三角形， ， ∴点的运动轨迹为的外接圆， ∵为的弦， ∴当为的直径时，最大． 此时， 米， 米， 米， ， 即 ， 平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性教学诊断 数学 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 下列人工智能助手图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算结果等于的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，边的中点为D，边上的点E满足．若，则DE的长是（ ） A. B. 6 C. D. 3 6. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线沿y轴向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的值可以是（ ） A. 1 B. C. 3 D. 7. 如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若∠AOC=80°，则∠D的度数为（ ） A. 80° B. 60° C. 50° D. 40° 8. 已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分．） 9. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则______．（填“”“”或“”） 10. 如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形为正八边形，连接，，与交于点，______． 11. 在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a =______只/平方千米． 12. 如图，已知菱形的边长为，对角线，作，交于点F，则的长为______． 13. 如图，在矩形中；点，分别为边上的动点，将矩形沿翻折，顶点分别落在点处．若，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得将分为两个等腰三角形．保留作图痕迹，不写作法 18. （本题满分分）已知：如图，在中，为上的一点，平分，且，． 求证：． 19. 随着智慧物流的发展，全自动化的物流机器人系统大大提升了物流园区的包裹流转速度．某公司用A，B两台不同型号的机器人分拣物流仓库的包裹．已知A机器人每小时可分拣1.8万件包裹，B机器人每小时可分拣1.2万件包裹，两台机器人同时开始分拣工作，A机器人比B机器人提前1小时结束，发现B机器人分拣的包裹总量是A机器人分拣的包裹总量的2倍．求A机器人分拣的包裹总量． 20. 在今年的国际数学日（3月14日），某校的七年级（一）班开展“讲数学家故事”的活动．A、B、C、D四张卡片上分别印有四位中国数学家：祖冲之、刘徽、华罗庚、陈景润（卡片除图案外其他均相同）．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事 （1）随机抽取一张卡片，卡片上是数学家祖冲之的概率是 ； （2）小安随机抽取两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小安抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚的概率． 21. 如图①，西安鄠邑区渼陂湖素有“关中山水最佳处”的美誉，景区地标云溪塔为仿唐密檐式九层空心塔，如图②所示，塔身，塔体建于高台之上，高台高度无法直接测量．小明和父母借助手机上可以测量距离和角度的软件，在距地面点高的观测点处，测得云溪塔塔尖的仰角为；沿水平观景步道向后退至点处，再次在离地高的观测点处测得塔尖的仰角为．两点均位于湖边水平观景步道上，且与塔底、塔尖在同一竖直平面内，求塔下高台的高度．（参考数据：，，）． 22. 随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（%）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为． （1） ； （2）为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？ （3）已知该扫地机器人电池容量为 ，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值． 23. 豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（） 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动中随机抽取了个豌豆荚，图中 ， ； （2）所调查豆子粒数的中位数落在 类中；（只填写字母） （3）豌豆荚中豆粒数最多的果实饱满、品质优良，具有更高的市场与食用价值，根据调查数据，现将D类、E类豌豆荚定为精品豌豆荚，请估算某超市购进的50公斤豌豆荚中，精品豌豆荚的质量约为多少公斤． 24. 如图，为的直径，为弦，于点E．点F为圆外一点，连接 ，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 25. 如图①，是某海底世界时空隧道的截面图，上半部分可近似看作一条抛物线，下半部分可近似看作矩形．如图②所示，以点O为坐标原点，地面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知矩形长，宽，隧道最高点距离地面． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）为清洁隧道玻璃，工人师傅设计了一个清洁设备，是一条滑轨（点G在抛物线对称轴右侧的抛物线上），是高度为3米的竖直支撑杆，为竖直的伸缩清洁臂，当点P在上滑动时，伸缩清洁臂可清洁隧道玻璃．若，请问：伸缩清洁臂能否彻底清洁上方的玻璃？请说明理由． 26. 问题探究 （1）如图，已知四边形，，，，点E、F、G、H分别是、、、的中点，求四边形的面积； 问题解决 （2）“光影为笔，草坪为卷．”某市文化公园规划打造沉浸式草坪灯光秀，将一条长为240米的园区道路设为观众主要观影步道，其一侧的开阔草坪作为灯光秀表演区．如图②，为提升灯光层次与视觉冲击力，管理部门在步道端点A、B处设置固定主灯光投射点，在表演区内设置移动主灯光投射点C、D．其中，点C、D到步道中点P的距离均等于长的一半，且 ．现设计团队拟在表演区域内增设两个联动灯光投射点M、N，分别位于与的中点处，以形成动态光影核心区域．为增强视觉冲击力，需使的光影覆盖面积尽可能大．请问，是否存在符合设计要求的面积最大的区域？若存在，求面积的最大值；若不存在，请说明理由．（步道宽度与灯光投射点大小均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $