精品解析：陕西西安市碑林区西安工业大学附属中学2025-2026学年下学期第三次适应性训练九年级数学试卷

第三次适应性训练 九年级数学试卷 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 比大2的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 计算（﹣2x2y）3的结果是（　　） A. ﹣2x5y3 B. ﹣8x6y3 C. ﹣2x6y3 D. ﹣8x5y3 5. 如图，是等腰直角三角形斜边上的中线，于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，平行四边形中，分别为边上两点，，，连接交于点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：m2-6m+9=_______． 10. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为 _________． 11. 芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 12. 如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 13. 如图，点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点A，．若为等腰三角形且面积为10，则，满足的数量关系是_________． 14. 如图，平行四边形中，，，，为边上一点，，直线平分平行四边形的面积与周长，当最大时，则的长为______． 三、解答题：（共12小题，78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程： 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 19. 如图，在菱形中，点P是边的中点，延长至Q，使得，连接，求证：． 20. 化学课上，高老师给同学们变了个魔术，在白纸上用无色溶液写隐形文字，然后喷上小苏打水，纸上立刻显现出红色字迹．这是因为无色酚酞溶液遇碱变红、遇酸或中性试剂不变色，常用来做化学密信．现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分别装有酚酞等五种液体，如图所示． （1）请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是_________； （2）高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，分别取出适量溶液并在试管中充分混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 21. 春光明媚的一个周末，小明一家出外游玩．小明爸爸试飞一架无人机，让其静止悬浮田野上空O处进行拍照，如图，小明在路旁一斜坡A处测得无人机的仰角为，小明妈妈在水平地面D处测得无人机的仰角为，已知斜坡长为米，坡度，水平地面长为50米．求此时无人机离地面的高度．（参考数据：，，） 22. 2026春晚舞台上，机器人表演节目成为一大亮点，《武》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量与表演时长分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如下表． 表演时长分钟 剩余电量 （1）求y与x的函数关系式； （2）若机器人剩余电量为时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？ 23. 为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 24. 如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 25. 学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 26. 【问题提出】 （1）如图①，中，，，为平面内一点且满足，则的最小值为_________． 【问题探究】 （2）如图②，等边中，，分别在，上，，与交于点，并且，求等边外接圆的半径． 【问题解决】 （3）古城环山路转盘新建一处“秦美公园”，图③所示的直角三角形为公园的一部分，点位置为一风雨亭，，米，米．点为小路上一点，其中米，．为线段上一点，段设计修建为盆景花弄墙，长度为米，段为一组“丝路群雕”，长度为米．现准备修一条观光小道，点分别在上，且满足，取中点作为观景打卡点，要保证拍照“丝路群雕”获得最优视野（即最大），请你帮忙计算的最大值及此时四边形的面积．（风雨亭、打卡点大小，盆景花弄墙、小道、丝路群雕等宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三次适应性训练 九年级数学试卷 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 比大2的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的加法运算，求比一个数大几的数，用加法列式计算即可得到结果． 【详解】根据题意列算式得：， 比大的数是， 故选C． 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 如图，已知为直线上一点，，平分．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义及角的和差计算，邻补角互补求角度等知识点． 先由求出，再根据角平分线求出，最后根据邻补角求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B． 4. 计算（﹣2x2y）3的结果是（　　） A. ﹣2x5y3 B. ﹣8x6y3 C. ﹣2x6y3 D. ﹣8x5y3 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的乘方法则，即可求解． 【详解】解：（﹣2x2y）3＝（﹣2）3（x2）3y3 ＝﹣8x6y3． 故选：B． 【点睛】本题主要考查积的乘方法则，掌握积的乘方等于各个因式乘方的积，是解题的关键． 5. 如图，是等腰直角三角形斜边上的中线，于点E，则图中等腰直角三角形的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再根据等腰三角形的三线合一性质，可得，因此可知是等腰直角三角形，同理可得是等腰直角三角形，依此方法，也可逐步判断，是等腰直角三角形，即可得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形斜边上的中线， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， 同理是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， 同理是等腰直角三角形， 图中等腰直角三角形有，，，，，共5个． 6. 在同一平面直角坐标系中，直线向上平移个单位长度后，与直线的交点可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．先根据平移规律求出直线向上平移m个单位的直线解析式，再把各选项点坐标代入与，验证即可． 【详解】解：直线向上平移个单位后，得到， A．把代入得，， ∴交点不可能是，故A不合题意； B．把代入得，， ∴交点不可能是，故B不合题意； C．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点可能是，故C符合题意； D．把代入得，， 把代入，求得， ∴交点不可能是，故D不合题意； 故选：C． 7. 如图，平行四边形中，分别为边上两点，，，连接交于点，若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作交于点，如图，先根据平行四边形的性质得到，再证明，得到，所以，接着证明，得到，然后根据三角形面积公式得到，所以． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的抛物线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，计算各点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 【详解】解：∵ 抛物线 中，对称轴为直线 ，且 ，抛物线开口向上， 分别计算三个点到对称轴的距离： ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∴ ， 又∵ 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大， ． 第二部分（非选择题 共96分） 二．填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 分解因式：m2-6m+9=_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接应用完全平方公式即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解题的关键． 10. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的方式摆放，按照这样的规律摆下去，用含n的代数式表示第n个图形需要棋子的枚数为 _________． 【答案】3n+1 【解析】 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 第1个图形需要棋子数为，观察发现后面每个图形比它前面的图形多3个黑色棋子，然后找出3的倍数与序号数的关系即可得到第n个图形需要棋子数． 【详解】解：第1个图形需要棋子数为， 第2个图形需要棋子数为， 第3个图形需要棋子数为， …， 所以第n个图形需要棋子数为，即． 故答案为：． 11. 芳芳同学用两个全等的正五边形硬纸片和一个正n边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图是所拼的这个平面图形的一部分，则可求得n的值为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据无缝拼接的条件计算出正n边形的内角的度数，再由多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：∵正五边形的内角为， ∴由题意得：正n边形的内角为， ∴， 解得， ∴n的值为10． 12. 如图，半径长，点A、B、C是的三等分点，点D为圆上一点，连接，且，交于点E，则的度数为_________． 【答案】##75度 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理证明，则由圆周角定理得到，再由点A、B、C是三等分点，得到，即可利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ． ∵半径长， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 连接， ∵点A、B、C是三等分点， ∴, ∴， ∴． 13. 如图，点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，轴交y轴于点A，．若为等腰三角形且面积为10，则，满足的数量关系是_________． 【答案】 【解析】 【分析】设点C的坐标为，点B的坐标为，根据及轴，利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据三角形面积公式及反比例函数k的几何意义列式计算即可． 【详解】解：设点C的坐标为，点B的坐标为， 点C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，  、， 轴交y轴于点A， 、轴， ， ， 是等腰三角形， 过点C作于点D ， ， ，即， ， ， ， ， ． 14. 如图，平行四边形中，，，，为边上一点，，直线平分平行四边形的面积与周长，当最大时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接对角线相交于点，作于点，利用，求得，，，推出是等腰直角三角形，当点与点重合时，最大，此时点与点重合，据此计算即可求解． 【详解】解：连接对角线相交于点，作于点， 当直线经过点时，直线平分平行四边形的面积与周长， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得，解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，最大，此时点与点重合， ∴． 三、解答题：（共12小题，78分，解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程去分母化为整式方程求解，再检验方程的解即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验，当时，， 原分式方程的解为． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】，． 【解析】 【分析】先对括号内的分式通分相加，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分完成化简，最后代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据可知，尺规作图作即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， 如下图所示， 以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于点、于点， 以点为圆心，长度为半径画弧交于点， 以点为圆心，的长度为半径画弧， 交前弧于点， 作射线，交于点， 则有， 点即为所求． 19. 如图，在菱形中，点P是边的中点，延长至Q，使得，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，则可证明，再由线段中点的定义和已知条件证明，据此可证明，则． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点P是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 化学课上，高老师给同学们变了个魔术，在白纸上用无色溶液写隐形文字，然后喷上小苏打水，纸上立刻显现出红色字迹．这是因为无色酚酞溶液遇碱变红、遇酸或中性试剂不变色，常用来做化学密信．现有五个完全相同且无标签的棕色细口瓶，里面分别装有酚酞等五种液体，如图所示． （1）请一位同学随机选出一瓶溶液，选中蒸馏水的概率是_________； （2）高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，分别取出适量溶液并在试管中充分混合，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查等可能事件的概率和画树状图求概率． （1）根据等可能事件的概率公式计算即可． （2）画出树状图展示所有种等可能的结果，找到两种溶液混合后溶液变红的次数，计算即可. 【小问1详解】 解：从瓶液体中选择一个，选中蒸馏水概率是； 【小问2详解】 解：瓶液体分别为：， 根据高老师从五瓶液体中随机选取两瓶，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两种溶液混合后溶液变红的结果有：，，，，共种情况， ∴其中两种溶液混合后溶液变红的概率为：． 21. 春光明媚的一个周末，小明一家出外游玩．小明爸爸试飞一架无人机，让其静止悬浮田野上空O处进行拍照，如图，小明在路旁一斜坡A处测得无人机的仰角为，小明妈妈在水平地面D处测得无人机的仰角为，已知斜坡长为米，坡度，水平地面长为50米．求此时无人机离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】此时无人机离地面的高度米 【解析】 【分析】过点A作于点G，过点C作于点H，根据坡度，设米，则米，根据勾股定理得出,求出，设米，则米，求出米，解直角三角形得出米，求出米，根据，得出，求出y的值，得出答案即可． 【详解】解：过点A作于点G，过点C作于点H，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， ∵坡度， ∴， 设米，则米， 根据勾股定理得：， ∴, 解得：，负值舍去， ∴米，米， ∴米， 设米，则米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴（米）， 答：此时无人机离地面的高度米． 22. 2026春晚舞台上，机器人表演节目成为一大亮点，《武》惊艳亮相．这不仅是一场精彩的科技表演，更是中国科研能力的集中展现．某科研团队研发时发现此型号机器人的剩余电量与表演时长分钟之间存在一次函数关系，相关数据记录如下表． 表演时长分钟 剩余电量 （1）求y与x的函数关系式； （2）若机器人剩余电量为时将自动停止表演，求该机器人在充满电后最长表演时长为多少分钟？ 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）设出一次函数的一般式，从表格中选取两组对应数据代入，组成二元一次方程组，求解方程组得到和的值，进而确定函数关系式． （2）将剩余电量代入（1）中求得的函数关系式，解关于的一元一次方程，得到的值即为最长表演时长． 【小问1详解】 解：设与的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得，， 与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 答：该机器人在充满电后最长表演时长为分钟． 23. 为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）270人 【解析】 【分析】（1）先求出调查的总人数，然后求出A项和C项的人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以议题A所占的百分比，即可得出答案； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， C项的人数为：（人）， A项的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：议题A所在扇形的圆心角度数为： ． 【小问3详解】 解：该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有： （人）． 24. 如图，在中，以为直径作，点C和点D都是圆上的一点，过点D作的切线交延长线于点E，且． （1）求证：； （2）若，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角和切线的性质得到，则可得到，，根据等边对等角和三角形外角的性质可证明，则可证明，得到，即； （2）设，由勾股定理得，则，据此求出，得到；根据，得到，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴可设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 25. 学习抛物线内容后，数学兴趣小组的同学到户外进行实践探究活动．图1是一座三孔桥的横截面示意图，三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的．如图2所示，研究小组以线段所在的直线表示水平的水面，以O为坐标原点，以所在的直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．小组通过查阅资料，了解到正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．请你帮助解决以下问题： （1）求中间大孔抛物线的函数表达式； （2）若雨季来临水位上涨，大孔水面宽度小于等于10米时桥面警戒，禁止通行，请通过计算判断当小孔刚好被淹没时，此桥面可否通行？ 【答案】（1） （2）此桥面可通行． 【解析】 【分析】（1）读懂题意，先得，再设中间大孔抛物线的函数表达式为，运用待定系数法求出二次函数的解析式，即可作答． （2）读懂题意，把代入，求出，即可作答． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 设中间大孔抛物线的函数表达式为， 把分别代入， 得， 解得， ∴中间大孔抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵小孔顶点距离水面的高度．雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没， ∴把代入， 得， 解得， ∴， ∴， 答：此桥面可通行． 26. 【问题提出】 （1）如图①，中，，，为平面内一点且满足，则的最小值为_________． 【问题探究】 （2）如图②，等边中，，分别在，上，，与交于点，并且，求等边外接圆的半径． 【问题解决】 （3）古城环山路转盘新建一处“秦美公园”，图③所示的直角三角形为公园的一部分，点位置为一风雨亭，，米，米．点为小路上一点，其中米，．为线段上一点，段设计修建为盆景花弄墙，长度为米，段为一组“丝路群雕”，长度为米．现准备修一条观光小道，点分别在上，且满足，取中点作为观景打卡点，要保证拍照“丝路群雕”获得最优视野（即最大），请你帮忙计算的最大值及此时四边形的面积．（风雨亭、打卡点大小，盆景花弄墙、小道、丝路群雕等宽度忽略不计） 【答案】（1） （2） （3）的最大值为，此时四边形的面积为 【解析】 【分析】（1）作直线，过点作交的延长线于点，过点作交于点，根据得到的长度，通过证明四边形是平行四边形，得到，得到的最小值为点到直线的垂线段的长度，即可得到答案． （2）过点作于点，作的角平分线交于点，首先证明，得到对应角相等，继而证明，得到对应线段成比例，继而得到的长度，根据等边三角形三线合一的性质得到点为的外接圆的圆心，设为，根据特殊角的直角三角形的性质得到由表示的和的长，根据勾股定理建立一元二次方程，解得的值，继而得到答案． （3）过点作交于点，连接，首先证明四边形是平行四边形，得到点为的中点，过点作于点，根据三角形中位线定理得到点在的中垂线上运动，作的中垂线，交于点，则为直线上的一点，连接，作的外接圆，当切直线于点时，此时达到最大，过点作于点，连接，过点作于点，首先证明点共线，继而根据的直角三角形的性质得到，，，的长度，以及，的长度，连接，通过证明，得到的长度，以及的长度，得证，通过证明，得证四边形是正方形，得到是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质和圆周角定理，得到，继而得到此时；根据，再根据已知条件，相似三角形的判定和性质和三角形中位线定理得到和的长度，继而得到的值． 【小问1详解】 解：如图，作直线，过点作交的延长线于点，过点作交于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点在过点且平行于的直线上运动， ∴的最小值为点到直线的垂线段的长度，即的长度； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，作的角平分线交于点， ∵为等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∵为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵为的角平分线， ∴根据等边三角形三线合一，即点为的外接圆的圆心， 设为，则， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，根据勾股定理有，即： ， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴等边外接圆的半径为； 【小问3详解】 解：如图，过点作交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，米，米， ∴在中，（米）， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点为的中点， 如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴点在的中垂线上运动， 如图，作的中垂线，交于点，则为直线上的一点，连接，作的外接圆，当切直线于点时，此时达到最大， 过点作于点，连接，过点作于点， ∵，米， ∴以为其中一条直角边，为直角，为其中一个锐角的直角三角形的另一条直角边长为：（米）， ∵米， ∴即为上述直角三角形的另一条直角边，为斜边， ∴点共线， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴米， ∵，，， ∴， ∴， ∴（米），（米）， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：米， （米）， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴米， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，过点作于点， ∴， 为中点，，，， ， ， ， 米， ， ， ， 米， 米， 米， 平方米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $