第八章 进阶篇 进阶6 定直线问题【题型突破】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕直线与圆、圆锥曲线中的定直线问题核心考点，按高考考向预测、解题方法提炼、典型题型突破、拓展知识应用的逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、高考真题精讲、分层限时训练等环节，帮助学生构建定直线问题的解题体系。 讲义创新采用“特殊位置预判-代数推理验证”的探究式教学策略，如例1中先通过特殊位置求出定直线方程，再对一般情况进行代数化简验证，培养学生数学思维与逻辑推理能力。融入极点极线等拓展知识，设置基础巩固到综合应用的分层限时训练，确保学生高效突破代数变形与逻辑推理难点，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径，有效提升学生的高考应考能力。

第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶6　定直线问题 【高考考向预测】 定直线问题多出现于解析几何中，指动点、动直线、动曲线在运动过程中始终对应某条固定直线，常涉及轨迹、对称、距离、垂直等条件，一般通过设参列式、代数化简、消参推导出定直线方程，也可借助特殊位置先行预判；近三年常搭配椭圆、抛物线在解答题中考查，考频稳定；预测2027 年仍会结合直线与圆锥曲线综合命题，多与定值、定点、轨迹问题融合，侧重代数变形与逻辑推理，提升运算复杂度与题型综合性。 重点解读　定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型突破●明方向】 题型一　点在定直线上 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P(2，1)在C上，且PA1，PA2的斜率之积为. (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于M，N两点(均与P不重合)，与直线x=2交于点Q，且点M，N在直线x=2的两侧，若|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上. (1)【解析】由题意知A1(-a，0)，A2(a，0)，0<a<2， 所以·=·==， 解得a=， 又-=1， 所以b=1，所以C的方程为-y2=1. (2)【证明】因为|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|， 所以=， 又因为点M，N在直线x=2的两侧， 所以直线PQ：x=2是∠MPN的平分线， 所以kMP+kNP=0. 由题意可知，直线l的斜率存在且斜率不是±， 设直线l：y=kx+m， M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠2，x2≠2， 联立 可得(2k2-1)x2+4kmx+2m2+2=0， Δ=8(m2-2k2+1)>0， 故x1+x2=-，x1x2=， y1+y2=-， kMP+kNP=+=+=0， 化简得2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0， 故+(m-1-2k)-4(m-1)=0， 即(k+1)(m+2k-1)=0，而直线l不过P点， m+2k-1≠0，故k=-1. 所以线段MN的中点R的坐标为=(2m，-m)， 所以点R恒在直线y=-x上. 【思维升华】证明点在定直线上的一般方法 (1)联立方程消去参数. (2)挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标. (3)将横、纵坐标分别用参数表示，再消去参数. (4)设点，对方程变形解得定直线. 跟踪训练1　椭圆C：+=1(a>b>0)，长轴长为4，焦点坐标为(±1，0). (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，3)的直线与椭圆交于异于A，B的两点M，N，直线BM，AN的交点G在一条定直线上，求出该定直线的方程. 【解析】(1)因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为(±1，0)， 所以即 又b==， 故椭圆C的方程为+=1. (2)由题意得A(0，)，B(0，-)， 依题意直线MN的斜率存在且不为0， 设直线MN的方程为y=kx+3(k≠0)， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0，x2≠0， 联立 整理得(3+4k2)x2+24kx+24=0， 由Δ=576k2-96(3+4k2)>0，即k2>， 所以x1+x2=，x1x2=. 所以kx1x2=-(x1+x2)， 又直线AN的方程为y-=x， 直线BM的方程为y+=x， 联立 得== =， 代入kx1x2=-(x1+x2)， 可得= ==-=-(2-)， 所以y=1，即直线BM与AN的交点G在定直线y=1上. 题型二　三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 【解析】(1)由题意，得解得 故椭圆C的标准方程为+=1. (2)△MAB的外心在定直线2x-y-1=0上.理由如下： 由题意设直线l的方程为y=x+t， 因为直线l不能过点M(1，1)，所以t≠， 联立 得3x2+4tx+4t2-6=0， 所以Δ=16t2-12(4t2-6)>0， 即-<t<，且t≠. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=， 若直线MA⊥x轴，则A(1，-1)， 代入直线l：y=x+t， 得t=-，不符合题意，故x1≠1； 同理可得x2≠1， 所以直线MA，MB的斜率一定存在， 则kMA+kMB=+ = = ==0， 即直线MA与MB的斜率互为相反数. 设直线MA的方程为y-1=k(x-1)， 即y=kx+1-k. 若k=0，则直线MA：y=1， 此时A(-1，1)，代入直线l：y=x+t， 则t=，不符合题意，故k≠0， 联立 得(2k2+1)x2+4k(1-k)x+2(1-k)2-3=0， 由Δ=4(2k+1)2>0得k≠-， 则k≠-且k≠0，则x1+1=-， 设线段MA的中点为N(x0，y0)， 所以x0==-， 所以y0=kx0+1-k =k·+1-k=， 即N， 所以线段MA的垂直平分线的方程为 y-=-， 即y=-x+， ① 直线MB的方程为y-1=-k(x-1)，k≠0，且k≠， 同理可得线段MB的垂直平分线的方程为 y=x-， ② 联立①②，得即2x-y-1=0， 故△MAB的外心在定直线2x-y-1=0上. 【思维升华】三角形内切圆的圆心在三角形的角平分线上，角平分线是角的关系，因此找角与斜率的关系即可. 跟踪训练2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，点M(2，)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(-8，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求证：△ABF1的内心在一条定直线上. (1)【解析】因为椭圆两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)， 所以c=2，则a2=b2+4， ① 又点M(2，)在椭圆C上， 所以+=1. 即+=1， ② 联立①②，解得a2=16，b2=12， 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)【证明】由题意可知直线AB的斜率存在，且不为0， 设直线AB的方程为x=my-8(m≠0)， 联立 得(3m2+4)y2-48my+144=0， 则Δ=(-48m)2-4(3m2+4)×144=576m2-2 304>0，得m2>4， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1+y2=，y1y2=， 若直线AF1⊥x轴，则A(-2，±3)， 代入直线AB的方程得m=±2，与m2>4矛盾，不符合题意，故x1≠-2， 同理可得x2≠-2， 所以直线AF1，BF1的斜率一定存在， 设直线AF1，BF1的斜率分别为k1，k2. 所以k1+k2=+=+=， 因为y1(my2-6)+y2(my1-6)=2my1y2-6(y1+y2)=2m×-6×=0， 所以k1+k2=0恒成立，则直线AF1，BF1的倾斜角互补， 即∠AF1B的平分线为直线x=-2， 所以△ABF1的内心在定直线x=-2上. 极点、极线 1.极点与极线的定义 过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极. 一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系. 2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系 如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点； 如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点； 如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点. 典例　(1)(多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是(　　) A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P的极线方程为x0x+y0y=r2 B.已知点P(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为+=1 C.对于双曲线-=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1 D.对于抛物线y2=2px，若点P，则对应的极线为抛物线的准线 【答案】ABD 【解析】对于A，点P与圆的位置关系有三种，不妨设点P(x0，y0)在圆C的外部， 两切点分别为T1(x1，y1)，T2(x2，y2)， 两条切线的方程分别为xix+yiy=r2(i=1，2)， ∵P(x0，y0)在切线上，∴x0x1+y0y1=r2， x0x2+y0y2=r2， ∴T1(x1，y1)，T2(x2，y2)在直线x0x+y0y=r2上，由两点确定一条直线知直线T1T2的方程为x0x+y0y=r2，A正确； 对于B，极线l与椭圆相交，且为由点P向椭圆所引两条切线的切点弦所在直线，设两切点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，两条切线的方程分别为 lPA：+=1，lPB：+=1， ∵P(x0，y0)在切线上，∴ 即点A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足+=1， 故切点弦AB所在直线方程，即为点P相应的极线方程，为+=1，B正确； 对于C，证明方法同椭圆，可得极线方程为-=1，C错误； 对于D，由阿基米德三角形的性质可知D正确. (2)过椭圆C：+=1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，则PQ所在的直线方程为　　　　　　　　　. 【答案】+=1 【解析】方法一　由题意知直线PQ为点M关于椭圆C的极线，所以直线PQ的方程为+=1. 方法二　由题意设P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则直线AB为点P关于椭圆C的极线， 其方程为+=1. 又M(3，2)在直线AB上， 所以+=1， ① 同理+=1， ② 由①②可得直线PQ的方程是+=1. 【限时训练】 （40分钟） 1.(17分)已知A(0，1)，F(0，-2)分别是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的上顶点和下焦点. (1)求C的标准方程；(5分) (2)过F的直线与C的上、下支分别交于B，D两点(B异于A)，直线x=t平分线段BD且与C的下支交于点E，证明：直线AE与直线BD的交点在定直线上.(12分) (1)【解析】由题意得a=1，c=2， 所以b==， 所以C的标准方程为y2-=1. (2)【证明】由题意，直线BD的斜率存在， 设直线BD的方程为y=kx-2，B(x1，y1)，D(x2，y2). 联立 消去y，得(3k2-1)x2-12kx+9=0， 由于x1，x2同号，即x1x2=>0， 所以k2>，Δ=36(k2+1)>0， 所以t=(x1+x2)=， 联立 解得y=±，所以E， 所以直线AE的方程为y=x+1， 即y=-kx+1， 联立解得y=-， 所以直线AE与直线BD的交点在定直线y=-上. 2.(17分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)过点D，其离心率e=，点A为椭圆E的上顶点，过点A的两条直线l1，l2与椭圆E分别交于B，C两点，与直线x=t(t≠0)分别交于M，N两点，△AMN的重心为点G. (1)求椭圆E的方程；(3分) (2)求弦长|AB|的最大值；(4分) (3)已知点P(-2，-1)，若=λ，其中λ∈R且λ≠0，证明：当t在变化时，重心G在一条定直线上，并求出这条定直线方程.(10分) 【解析】(1)由e=得=， 又∵a2=b2+c2，∴a=2b， 由D在椭圆E：+=1(a>b>0)上， 得+=1， ∴b=1，a=2，∴椭圆E的方程为+y2=1. (2)设B(x0，y0)，A(0，1)， |AB|====，其中y0∈(-1，1)， ∴当y0=-时，|AB|取得最大值，最大值为. (3)由=λ(λ∈R且λ≠0)知B，C，P三点共线，又P(-2，-1)，故直线BC的斜率存在且不为0， ∴设直线BC的方程为y+1=k(x+2)(k≠0)， B(x1，y1)，C(x2，y2)，x1≠0，x2≠0， 联立消去y，整理得(4k2+1)x2+8k(2k-1)x+4(2k-1)2-4=0， Δ=[8k(2k-1)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-4]=64k>0，k>0， 则x1+x2=-，x1x2=， 直线l1：y=x+1， 令x=t得yM=t+1， ∴M， 同理得N， ∴yG==+1 =+1 =+1 =+1 =(2k+1-2k)+1=+1， 又xG==，∴yG=xG+1， ∴点G在定直线y=x+1上. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 第八章 直线和圆、圆锥曲线 进阶6　定直线问题 【高考考向预测】 定直线问题多出现于解析几何中，指动点、动直线、动曲线在运动过程中始终对应某条固定直线，常涉及轨迹、对称、距离、垂直等条件，一般通过设参列式、代数化简、消参推导出定直线方程，也可借助特殊位置先行预判；近三年常搭配椭圆、抛物线在解答题中考查，考频稳定；预测2027 年仍会结合直线与圆锥曲线综合命题，多与定值、定点、轨迹问题融合，侧重代数变形与逻辑推理，提升运算复杂度与题型综合性。 重点解读　定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 解决定直线问题的核心在于确定定点的轨迹.主要方法有： (1)设点法：设点的轨迹，通过已知点轨迹，消去参数，从而得到轨迹方程. (2)待定系数法：设出含参数的直线方程，待定系数法求解出系数. (3)验证法：通过特殊点位置求出直线方程，对一般位置再进行验证. 【题型突破●明方向】 题型一　点在定直线上 例1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，点P(2，1)在C上，且PA1，PA2的斜率之积为. (1)求C的方程； (2)已知直线l与C交于M，N两点(均与P不重合)，与直线x=2交于点Q，且点M，N在直线x=2的两侧，若|MP|·|NQ|=|MQ|·|NP|，线段MN的中点为R，证明：点R在一条定直线上. 跟踪训练1　椭圆C：+=1(a>b>0)，长轴长为4，焦点坐标为(±1，0). (1)求椭圆C的方程； (2)椭圆C的上、下顶点分别为A，B，过点P(0，3)的直线与椭圆交于异于A，B的两点M，N，直线BM，AN的交点G在一条定直线上，求出该定直线的方程. 题型二　三角形内心(外心、重心、垂心)在定直线上 例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M(1，1)是椭圆C上一点，且点M到点F1，F2的距离之和为2. (1)求椭圆C的标准方程； (2)斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，则△MAB的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；若不在，请说明理由. 跟踪训练2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，点M(2，)在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若过点P(-8，0)的直线与椭圆C交于A，B两点，求证：△ABF1的内心在一条定直线上. 极点、极线 1.极点与极线的定义 过点P(x0，y0)的动直线交圆锥曲线于A，B两点，过A，B的切线交点的轨迹叫做点P关于圆锥曲线的极线，点P叫做相应于此极线的极点，简称极. 一个极点与其对应的极线称作一对配极元素，它们之间的关系称作一对配极关系. 2.极点、极线与圆锥曲线的位置关系 如图(1)，若极点P在圆锥曲线外，则相应的极线l与点P的切点弦重合，即相应的极线l是由点P向圆锥曲线所引的两条切线的切点弦所在直线，极线l与圆锥曲线有两个交点； 如图(2)，若极点P在圆锥曲线内，则极线l是圆锥曲线经过点P的弦的两端点处的两条切线交点的轨迹，此时，极线l与圆锥曲线相离，它们无交点； 如图(3)，若极点P在圆锥曲线上，则相应的极线l与在点P处的切线重合，即相应的极线l就是圆锥曲线在点P处的切线，极线l与圆锥曲线有唯一交点. 典例　(1)(多选)已知点P是异于原点的一点，则下列关于极线方程的说法中，正确的是(　　) A.已知点P(x0，y0)和圆C：x2+y2=r2，则关于点P的极线方程为x0x+y0y=r2 B.已知点P(x0，y0)在椭圆+=1(a>b>0)外，则点P相应的极线方程为+=1 C.对于双曲线-=1，与点P(x0，y0)对应的极线方程为+=1 D.对于抛物线y2=2px，若点P，则对应的极线为抛物线的准线 (2)过椭圆C：+=1内一点M(3，2)，作直线AB与椭圆交于点A，B，作直线CD与椭圆交于点C，D，过A，B分别作椭圆的切线交于点P，过C，D分别作椭圆的切线交于点Q，则PQ所在的直线方程为　　　　　　　　　. 【限时训练】 （40分钟） 1.(17分)已知A(0，1)，F(0，-2)分别是双曲线C：-=1(a>0，b>0)的上顶点和下焦点. (1)求C的标准方程；(5分) (2)过F的直线与C的上、下支分别交于B，D两点(B异于A)，直线x=t平分线段BD且与C的下支交于点E，证明：直线AE与直线BD的交点在定直线上.(12分) 2.(17分)已知椭圆E：+=1(a>b>0)过点D，其离心率e=，点A为椭圆E的上顶点，过点A的两条直线l1，l2与椭圆E分别交于B，C两点，与直线x=t(t≠0)分别交于M，N两点，△AMN的重心为点G. (1)求椭圆E的方程；(3分) (2)求弦长|AB|的最大值；(4分) (3)已知点P(-2，-1)，若=λ，其中λ∈R且λ≠0，证明：当t在变化时，重心G在一条定直线上，并求出这条定直线方程.(10分) / 学科网（北京）股份有限公司 $